intTypePromotion=1

Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng - Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

Chia sẻ: Nguyễn Tấn Sĩ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:117

6
808
lượt xem
382
download

Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng - Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng - các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng - Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

  1. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau: Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M ( x0 ; y0 ) ( C) . − Tính đạo hàm và giá trị f ' ( x0 ) . − Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 . Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ( C ) có hệ số góc k = f ' ( x0 ) . Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k . − Giải phương trình: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 y0 . − Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 . Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 , khi đó: − Nếu d //∆ � ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a. 1 − Nếu d ⊥ ∆ � ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = − . a Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A ( x A ; y A ) ( C) . − Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A f ( x ) = k ( x − xA ) + y A − Điều kiện tiếp xúc của ( d ) và ( C ) là hệ phương trình sau phải có nghiệm: f '( x) = k Tổng quát: Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) và ( C ') : y = g ( x ) . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với f ( x) = g ( x) nhau là hệ sau có nghiệm. . f '( x) = g '( x) 1. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): i. Tại điểm có hoành độ x = 2 . ii. Tại điểm có tung độ y = 3. iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2009 = 0 . iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d 2 : x + 24 y + 2009 = 0 . 2. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 ⇔ x(x2 + mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. 2 ∆g = m 2 − 4 > 0 m>2 � � . g ( 0) = 1 0 m < −2 S = xB + xC = −m Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0 . P = xB xC = 1 Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: f ( xC ) f ( xB ) = −1 � xB xC ( 3xB + 2m ) ( 3 xC + 2m ) = −1 � xB xC �xB xC + 6m ( xB + xC ) + 4m 2 � −1 � 1 � + 6m ( − m ) + 4m 2 � −1 �9 �= 9 � �= � 2m 2 = 10 � m = � 5 (nhận so với điều kiện) Trang 1
  2. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng 2x 3. Cho hàm số y = . (ĐH Khối−D 2007) x +1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB 1 �1 � bằng ĐS: M � ; −2 � − và 4 �2 � M ( 1;1) . 1 m 1 4. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y = x 3 − x 2 + (*) (m là tham số). (ĐH Khối−D 2005) 3 2 3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2. b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng 5 x − y = 0 ĐS: m=4. 5. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 − x + 3m ( Cm ) . Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành. 6. Cho hàm số y = x 4 + x 3 + ( m − 1) x 2 − x − m ( Cm ) . Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành. 7. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 3 − 3x 2 + 4 . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). 8. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 4 − 2 x 2 + 1 . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C). 9. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 3 − 3x + 2 . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). 10. Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) (ĐH Khối−B 2008) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9). Lời giải: f(x)=4x^3-6x^2+1 y a. D=R, y’ = 12x – 12x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1. 2 2 2 3 1 6 4 + − = BBT : x y x x −∞ 0 1 +∞ -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 y' + 0 − 0 + y 1 +∞ -2 CĐ CT −∞ −1 -4 b. Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – 9. Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : -6 4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9. ⇔ 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1). ⇔ x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0. 5 � � 15 5 ⇔ x = –1 hay x = ; y’(−1) = 24; y ' � � = . 4 �� 4 4 15 21 Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = x− . 4 4 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô y = f ( x ) ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: − Nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 là hoành độ của điểm cực trị. Trang 2
  3. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng f ' ( x0 ) = 0 − Nếu thì hàm số đạt cực đại tại x = x0 . f '' ( x0 ) < 0 f ' ( x0 ) = 0 − Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 . f '' ( x0 ) > 0 Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp a 0 − Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị . ∆y' > 0 − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành � yCĐ . yCT < 0 . − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung � xCĐ .xCT < 0 . yCĐ + yCT > 0 − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành . yCĐ . yCT > 0 yCĐ + yCT < 0 − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành . yCĐ . yCT > 0 − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành � yCĐ . yCT = 0 . Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. 1 1. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + ( m + 2 ) x − 1 . Định m để: 3 a. Hàm số luôn có cực trị. b. Có cực trị trong khoảng ( 0; + ) . c.Có hai cực trị trong khoảng ( 0; + ). ( ) 2. Định m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + m 2 − 1 x + 2 b 2 − 4ac đạt cực đại tại x = 2. 3. Cho hàm số y = x3 -3x2+3mx+3m+4. a. Khảo sát hàm số khi m = 0. b. Định m để hàm số không có cực trị. c.Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu. 4. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 9 x + 3m − 5 . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy. 5. Cho hàm số y = x 3 + ( 1 − 2m ) x 2 + ( 2 − m ) x + m + 2 . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 1 6. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + ( 2m − 1) x − m + 2 ( Cm ) . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương. 3 ĐS: m = −4 2 6 . 3 2 2 (2 ) 7. Cho hàm số y = − x − 3x + 3 m − 1 x − 3m − 1 (1), m là tham số. (ĐH Khối−B năm 2007) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm s ố (1) cách đ ều g ốc t ọa độ. Trang 3
  4. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng 1 ĐS : b m = . 2 4 2 ( 2 8. Cho hàm số y = mx + m − 9 x + 10 ) (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐH Khối−B năm 2002) m < −3 b. ĐS : 00 ∆>0 * x1 < x2 < 0 � P > 0 * 0 < x1 < x2 � P > 0 * x1 < 0 < x2 � P < 0 S 0 1. Cho hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( m + 1) x + 1 . Định m để: a. Hàm số luôn đồng biến trên R. b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( 2; + ) . 2. Cho hàm số y = x 3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + ( 12m + 5 ) x + 2 . a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; + ). b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ; −1) . Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1). (1) vô nghiệm ⇔ 1) và (C2) không có điểm chung. (C (1) có n nghiệm ⇔ 1) và (C2) có n điểm chung. (C (1) có nghiệm đơn x1 ⇔ 1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1). (C (1) có nghiệm kép x0 ⇔ 1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0). (C Trang 4
  5. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) có đồ thị là (C). 2 2 1. a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. ( ) 2 b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 2 − 1 − 2m + 1 = 0 . 2. 3 2 Cho hàm số y = x + kx − 4 . a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3. b. Tìm các giá trị của k để phương trình x3 + kx 2 − 4 = 0 có nghiệm duy nhất. 3. Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 . (ĐH Khối−D 2006) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. 15 ĐS: b. m > , m 24 . 4 4. Cho hàm số y = − x3 + 3mx2 + 3(1 − m2)x + m3 − m2 (1) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2002) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm k để phương trình − x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). −1 < k < 3 ĐS: b. , c. y = 2 x − m 2 + m . k ‫ �ٹ‬k 2 0 Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức về khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB = ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 . Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 và điểm Ax0 + By0 + C M(x0;y0) khi đó d ( M ,.∆ ) = . A2 + B 2 1. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 − 3 x + 3m + 2 ( Cm ) . Định m để ( Cm ) có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất. 2x + 2 2. Cho hàm số ( C ) : y = . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là x −1 nhỏ nhất. 2x + 2 3. Cho hàm số ( C ) : y = . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của ( C) sao cho đoạn MN nhỏ x −1 nhất. 1 4. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y = mx + (*) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2005) x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = . 4 b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( Cm) đến tiệm cận xiên 1 bằng . ĐS: m=1. 2 Trang 5
  6. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y = f ( x, m ) ta đưa về dạng F ( x, y ) = mG ( x, y ) . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là F ( x, y ) = 0 nghiệm của hệ phương trình . G ( x, y ) = 0 Cho hàm số y = x − 3 ( m − 1) x − 3mx + 2 ( Cm ) . Chứng minh rằng ( Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định khi m 3 2 1. thay đổi. Cho hàm số ( Cm ) : y = ( 1 − 2m ) x + 3mx − ( m + 1) . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên. 4 2 2. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ( m + 3) x − 3 ( m + 3) x − ( 6m + 1) x + m + 1 ( Cm ) luôn đi qua ba điểm 3 2 3. cố định. Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f(x) có đồ thị (C) y = f ( x ) có đồ thị (C’) y = f ( x ) có đồ thị (C “) y = f ( x) 0, ∀x D . Do đó ta phải y = f ( x ) có f ( − x ) = f ( x ) , giữ nguyên phần phía trên trục Ox và ∀x D nên đây là hàm số chẵn lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox do đó có đồ thị đối xứng qua trục lên trên. tung Oy. f(x)=x^3-2x^2-0.5 y f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) y f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 y f(x)=x^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 (C) (C') (C'') x x x Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 . 3 b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2 x − 9 x 2 + 12 x = m . (ĐH Khối A−2006) f(x)=2x^3-9x^2+12x y f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x) y 6 6 4 4 2 2 3 2 2 3 2 9 12 2 9 12 = − + = − + y x x x x y x x x x -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 a. ĐS: b. 4
  7. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG Điểm I ( x0 ; y0 ) là tâm đối xứng của đồ thị ( C ) : y = f ( x ) ⇔ Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) x + x ' = 2 x0 x ' = 2 x0 − x thuộc (C) thỏa: f ( x ) + f ( x ') = 2 y0 f ( x ) + f ( 2 x 0 − x ) = 2 y0 Vậy I ( x0 ; y0 ) là tâm đối xứng của (C) f ( x ) = 2 y0 − f ( 2 x0 − x ) . 1. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + m ( 1) (m là tham số). a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B−2003) ĐS: a. f ( x0 ) = − f ( − x0 ) , ∀x0 0 ⇒ … m>0. x3 11 2. Cho hàm số y = − + x 2 + 3x − có đồ thị ( C ) . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung. 3 3 3. Cho hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c ( 1) . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;−1). 4. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Khối D−2008) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lời giải: a. D = R. y' = 3x2 − 6x = 3x(x − 2), y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2. f(x)=x^3-3x^2+4 4 y y" = 6x − 6, y" = 0 ⇔ x = 1. 2 −∞ O x x 0 1 2 +∞ -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 y' + 0 − | − 0 + -2 y" − − 0 + + -4 y 4 +∞ CĐ 2 CT -6 −∞ U 0 -8 2. d : y − 2 = k(x − 1) ⇔ y = kx − k + 2. -10 Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3x2 + 4 = kx − k + 2 ⇔ x3 − 3x2 − kx + k + 2 = 0. ⇔ (x − 1)(x2 − 2x − k − 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨g(x) = x2 − 2x − k − 2 = 0. Vì ∆' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > − 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!. Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN f( x) = 1.7 x 6 1. Định nghĩa: g ( x) = 0 y h( y) = 0 ⇔ lim MH =0 (d) (d) là tiệm cận của (C) M →∞ ( M ∈( C ) ) 2. Cách xác định tiệm cận 4 ( C) a. Tiệm cận đứng: lim→fx0( x ) = ∞ ⇒ ( d ) : x = x 0 . x f( ) ( ) b. Tiệm cận ngang: lim→∞ x = y 0 ⇒ d : y = y 0 . x 2 M H c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=λx+µ trong đó: f ( x) λ = lim ; µ = lim [ f ( x ) − λx ] . x →∞ x x →∞ -10 -5 x 5 Trang 7
  8. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng Các trường hợp đặc biệt: ax + b *Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) y = mx + n  n +TXĐ: D= R\ −   m n +TCĐ: lim n = ∞ ⇒ ( d ) : x = − m a a y +TCN: lim y = ⇒ (d) : y = x →− x →∞ m m m f(x)=x/(x-1) y f(x)=1 3 x(t)=1 , y(t)=t T ?p h?p 1 a 2 y= I m 1 x -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 n x =− -2 m -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 x +1 1. Cho hàm số y = có đồ thị (C). x −1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất. 2x + 1 2. Cho hàm số y = có đồ thị (H). 2−x a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại giao điểm với trục tung. c. Tìm những điểm N (xN >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn nhất. HD câu b, c. * Gọi M klà giao điểm của (C) với trục tung⇒M ( 0;1) . Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 1 hay 3x − y + 1 = 0 ( ∆ ) . f(x)=(2x+1)/(1-x) y � 3 � y=3x+1 * Lấy N ( x0 ; y0 ) � H ) � N �0 ; −2 + ( x � ( x0 > 1) . Khi đó , x(t)=1 , y(t)=t 2 � 1 − x0 � f(x)=-2 M Series 1 x 3 f(x)=-(1/3)x-13/3 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 3x0 + 2 − +1 3 1 − x0 . Đặt g ( x0 ) = 3x0 + 3 − . d ( N , ∆) = 1 − x0 -2 10 d ( N , ∆ ) min g ( x ) min . H -4 N(2;-5) 3 * Khảo sát hàm g ( x0 ) = 3x0 + 2 − trên khoảng ( 0; + ), -6 1 − x0 3 x0 = 0 g ' ( x0 ) = 3 − -8 , g ' ( x0 ) = 0 , (lập bảng biến thiên …) ( 1 − x0 ) 2 x0 = 2 -10 * Do x0 > 1 nên ta chỉ nhận nghiệm x0 = 2 thay vào N ta được N ( 2; −5 ) . Vậy N ( 2; −5 ) thì d ( N , ∆ ) = 6 10 . -12 min 5 −−−−−−−−−−−−−−−−− Dạng 10: DIỆN TÍCH−THỂ TÍCH Trang 8
  9. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp) I. a. Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: y b f(x S= f ( x ) − g ( x ) dx ) a g(x) O Chú ý: a b y x Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b y ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b. b. Thể tích d f(x Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox ) ξ(x) b O a b x c ∫ [ f ( x) ] x 2 được tính bởi công thức: V =π dx a O Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=ξ(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức: d ∫ [ξ ( y ) ] 2 V =π dy c Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)≥g(x), ∀ [a;b]) x∈ ∫ {[ f ( x ) ] } b − [ g ( x ) ] dx 2 2 được tính bởi công thức: V =π . a * * * Dạng 10 này sẽ được trình bày cụ thể hơn trong chuyên đề Tích phân−Ứng dụng. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ • y=ax; TXĐ D=R • Bảng biến thiên a>1 0
  10. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng II. Hàm số lgarit x > 0 • y=logax, ĐK:  ; D=(0;+∞) 0 < a ≠ 1 • Bảng biến thiên a>1 00; m, n∈R ta có: an 1 − − 1 anam =an+m; m = a n − m ;( n =a m ; a0=1; a 1= ); a a a n a an m n m (a ) =a ; nm (ab) =a b ; n n n   = m ; a n = n am . b b 2.Công thức logarit: logab=c⇔ac=b (00) Với 0
  11. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)⇔f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0 0  [ g ( x ) > 0] .  f ( x) = a g( x)  f ( x) = g ( x)  Đặt ẩn phụ. 2. Bất phương trình mũ−logarit a. Bất phương trình mũ: a > 0 a > 0  af(x)>ag(x) ⇔  ;  af(x)≥ ag(x) ⇔  . ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > 0 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 0 Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x)⇔ f(x)>g(x); a ≥a ⇔ f(x) g(x) f(x)≥g(x). * Nếu 0logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0  ; logaf(x)≥logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0  . ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) > 0] ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ≥ 0]   Đặt biệt:  f ( x) > g ( x) + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ⇔  ; g( x) > 0  f ( x) < g( x) + Nếu 0 0 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x 2 +x − 4.2 x 2 −x − 22 x + 4 = 0 � 2 x( 2 −x ) − 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích: (2 x2 − x ) − 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 ( log 9 x ) = log 3 x.log 3 2 ( 2x + 1 − 1 . ) Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: � 3 x − 2 log 3 2 x + 1 − 1 � 3 x = 0 . � log .log � ( ) Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ đ ược thì ta bi ến đ ổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 x + 2( x − 2)3x + 2 x − 5 = 0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2 x − 5 = 0 � t = −1, t = 5 − 2 x . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: log 3 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2 x + 6 = 0 . Đặt t = log3(x+1), ta có: 2 t 2 + ( x − 5 ) t − 2 x + 6 = 0 � t = 2, t = 3 − x ⇒ x = 8 và x = 2. Trang 11
  12. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng ( a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) � u = v . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng ( a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ∃c ∈ ( a; b ) : F ( b) − F ( a ) F ' ( c) = . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì ∃c � a; b ) : F ' ( c ) = 0 � F ' ( x ) = 0 ( b−a có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: x + 2.3log 2 x = 3 . Hướng dẫn: x + 2.3log 2 x = 3 � 2.3log 2 x = 3 − x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên ph ương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 x + 2 x = 5 x + 3x . Phương trình tương đương 6 x − 5 x = 3x − 2 x , giả sử phương trình có nghiêm α. Khi đó: 6 α − 5 α = 3α − 2 α . Xét hàm số f ( t ) = ( t + 1) − t α , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c ( 2;5 ) sao α ( c α −1 − cα −1 � 0 � α = 0, α = 1 , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. cho: f ( c ) = 0 � α � + 1) ' � �= 2 −x Ví dụ 3: Giải phương trình: −2 x + 2 x −1 = ( x − 1) 2 . Viết lại phương trình dưới dạng 2 x −1 + x − 1 = 2 x 2 −x + x2 − x , xét hàm số f ( t ) = 2 t + t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng: f ( x − 1) = f ( x 2 − x ) � x − 1 = x 2 − x � x = 1 . Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + 2 x = 3 x + 2 . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 � f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 � Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. y e x = 2007 − y −1 2 Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. x e = 2007 − y x2 − 1 x HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f ( x ) = e + − 2007 . x x −1 2 Nếu x < −1 thì f ( x ) < e − 2007 < 0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm. −1 Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. b a 1 1 Ví dụ 6: Cho a ≥ b > 0 . Chứng minh rằng � a + a � � b + b �(ĐH Khối D−2007) � 2 � � 2 � � 2 � � 2 � 1 1 1 ln � a + a � ln � b + b � �2 � �2 � ln � x + x � �2 � HD: BĐT 1 � 1 � � 2 � � 2 � Xét hàm số . 2 �với b ln � � + �+ 2 a � �b � a ln �2 � f ( x) = � � 2a � � 2b � a b x x>0 Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a ≥ b > 0 ta có f (a) ≤ f ( b ) (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Trang 12
  13. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng Ví dụ: Giải phương trình log 7 x = log3 ( x + 2) . Đặt t = log 7 x � x = 7t Khi đó phương trình trở thành: t t �7� 1 t = log 3 ( 7 + 2) � 3 = 7 + 2 � 1 = � �+ 2. � � t t t �� . �3 � 3 �� 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình log 4 6 ( x 2 − 2 x − 2) = 2 log 5 ( x2 − 2 x − 3 ) . Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log 6 ( t + 1) = log5 t . log x ( ) Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x + 3 6 = log 6 x . Đặt t = log 6 x , phương trình tương đương t 3 �� 6t + 3t = 2t � 3t + � �= 1 . 2 �� log b ( x +c ) 3. Dạng 3: a =x ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình 4log7 ( x +3) = x . Đặt t = log 7 ( x + 3) � 7t = x + 3 , phương trình tương đương t t 4 �� �� 1 4t = 7t − 3 � � �+ 3. � �= 1 . 7 �� �� 7 Ví dụ 2: Giải phương trình 2 log3 ( x + 5 ) = x + 4 . Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2 log3 ( t +1) = t Ví dụ 3: Giải phương trình 4log3 ( x +1) − ( x − 1) 2log3 ( x +1) − x = 0 . 4. Dạng 4: s ax + =c log s b ( dx +e ) +α +β x , với d = ac + α , e = bc + β Phương pháp: Đặt ay + b = log s (dx + e) rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax +b + acx = s ay +b + acy . Xét f ( t ) = s at +b + act . Ví dụ: Giải phương trình 7 x −1 = 6 log 7 (6 x − 5) + 1 . Đặt y − 1 = log 7 ( 6 x − 5 ) . Khi đó chuyển thành hệ � = 6 ( y − 1) + 1 7 x −1 7 x −1 � = 6y − 5 � � � y −1 � 7 x −1 + 6 x = 7 y −1 + 6 y . Xét hàm số f ( t ) = 7t −1 + 6t suy ra x=y, Khi đó: y − 1 = log 7 ( 6 x − 5 ) 7 = 6x − 5 7 x −1 − 6 x + 5 = 0 . Xét hàm số g ( x ) = 7 − 6 x + 5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của x −1 phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. 8 2x 18 Ví dụ: Giải phương trình x −1 + x = x −1 1− x 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 8 1 18 HD: Viết phương trình dưới dạng x −1 + 1− x = x −1 1− x , đặt u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1.u , v > 0 . 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 8 1 18 + = Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: u v u + v u.v = u + v Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a. ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) − 4 = 0 x x ( ) +( ) x x b. 2− 3 2+ 3 =4 c. ( 7 + 4 3 ) − 3 ( 2 − 3 ) + 2 = 0 x x d. ( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 ) = 2 x+3 x x ( ) ( ) x x e. 2 −1 + 2 + 1 − 2 2 = 0 (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1. f. 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. Trang 13
  14. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng 2 2 g. 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0 (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. 2 2 k. 2 x − x − 22+ x − x = 3 (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=−1, x=2. i. 3.16 x + 2.8 x = 5.32 x 1 1 1 j. 2.4 x + 6 x = 9 x Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 4 x + y = 128 5 x + y = 125 a. b. 53 x −2 y −3 = 1 2 4( x − y ) −1 = 1 2 x + 2 y = 12 c. x+ y =5 log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy ) d. 2 (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2) − xy + y 2 3x = 81 x −1 + 2 − y =1 e. (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). 3log 9 ( 9 x 2 ) − log 3 y 3 = 3 1 log 1 ( y − x ) − log 4 =1 f. 4 y (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) x + y = 25 2 2 23 x = 5 y 2 − 4 y g. 4 x + 2 x +1 (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). =y 2x + 2 Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a . ( m − 2 ) .2 x + m.2− x + m = 0 . b . m.3x + m.3− x = 8 . Bài 4: Cho phương trình log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) 2 2 a. Giải phương trình khi m=2. b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn � 3 � 1; 3 . � � ĐS: a. x = 3 3 , b. 0 ≤ m ≤ 2 Bài 5: Cho bất phương trình 4 x −1 − m. 2 x + 1 > 0 ( ) a. Giải bất phương trình khi m= . 16 9 b. Định m để bất phương trình thỏa ∀x R . Bài 6: Giải các phương trình sau: a. log5 x = log5 ( x + 6 ) − log5 ( x + 2 ) b. log5 x + log 25 x = log 0,2 3 2 ( c. log x 2 x − 5 x + 4 = 2 ) x+3 d. lg( x 2 + 2 x − 3) + lg x −1 =0 e. log2x−1(2x2+x−1)+logx+1(2x−1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. f. log 2 ( x + 1) − 6 log 2 x + 1 + 2 = 0 2 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. 1 g. log 2 ( 4 + 15.2 + 27 ) + 2 log 2 =0 x x (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23. 4.2 − 3 x Bài 7: Giải bất phương trình: a. 2 log 3 (4 x − 3) + log 1 ( 2 x + 3) 2 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3. 3 � x2 + x � b. log 0,7 � 6 log < �0 (ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x > 8. � x+4 � Trang 14
  15. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng c. log 5 ( 4 + 144 ) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 ( 2 + 1) x x− 2 (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. x 2 − 3x + 2 d. log 1 2 x 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: � − 2;1 U 2; 2 + 2 � 2 � �. ) ( −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những Nguyên hàm của những hàm số Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp thường gặp hàm số hợp ∫ dx = x + C ∫ 1 d ( ax + b ) = ( ax + b ) + C a ∫ du = u + C x α +1 u α +1 + C ( α ≠ 1) ( ax + b ) α dx = 1 ( ax + b ) + C (α ≠ 1) + C ( α ≠ 1) α +1 ∫ x α dx = α +1 ∫ ∫ u α du = α +1 a α +1 dx du ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ dx 1 = ln ax + b + C ( x ≠ 0 ) ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) ax + b a ∫ e dx = e + C ∫ e du = e + C x x u u 1 ax ∫ e ax + b dx = e ax + b + C a au ∫ a x dx = + C ( 0 < a ≠ 1) 1 ∫ a u dx = + C ( 0 < a ≠ 1) ln a ∫ cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C ln a a ∫ cos xdx = sin x + C 1 ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C ∫ sin xdx = − cos x + C 1 a 1 ∫ sin udu = − cos u + C 1 ∫ dx = tan ( ax + b ) + C 1 ∫ cos x dx = tan x + C 2 cos ( ax + b ) 2 a ∫ cos u du = tan u + C 2 1 1 1 ∫ dx = − cot ( ax + b ) + C 1 ∫ sin 2 x dx = − cot x + C sin ( ax + b ) 2 a ∫ sin 2 u du = − cot u + C I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 b Để tính tích phân ￲ f[u(x)]u / (x)dx ta thực hiện các bước sau: a Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u / (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x = a � t = u(a) = a, x = b � t = u(b) = b . b b �f[u(x)]u (x)dx = � / Bước 3. f(t)dt . a a e2 dx Ví dụ 7. Tính tích phân I = ￲ . e x ln x Giải dx Đặt t = ln x � dt = x x = e � t = 1, x = e � t = 2 2 Trang 15
  16. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng 2 dt 2 �I= ￲ = ln t 1 = ln 2 . 1 t Vậy I = ln 2 . p 4 Ví dụ 8. Tính tích phân I = cos x ￲ dx . 0 (sin x + cos x) 3 Hướng dẫn: p p 4 4 cos x 1 dx . Đặt t = t an x + 1 I= � x + cos x) (sin 3 dx = � an x + 1) (t 3 . cos2 x 0 0 3 ĐS: I = . 8 3 dx Ví dụ 9. Tính tích phân I = ￲ (1 + x) 2x + 3 . 1 2 Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 3 ĐS: I = ln . 2 1 3- x Ví dụ 10. Tính tích phân I = ￲ dx . 0 1+x Hướng dẫn: 3 3- x t 2 dt Đặt t = ￲ L 8￲ 2 ; đặt t = t an u L 1+x 1 (t + 1)2 p ĐS: I = - 3 + 2. 3 Chú ý: 1 3- x Phân tích I = ￲ dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn. 0 1+x 2. Đổi biến số dạng 1 b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính f ( x)dx ta thực hiện các bước sau: a Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx = u / (t )dt . Bước 2. Đổi cận: x = a � t = α , x = b � t = β . b β β �( x)dx = �u(t )]u (t )dt = �t )dt . / Bước 3. f f[ g( a α α 1 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = 1 ￲ dx . 0 1 - x2 Giải � p p � dx = cos t dt Đặt x = sin t, t �� ; - � �2 2� � 1 p x = 0 � t = 0, x = � t = 2 6 Trang 16
  17. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng p p p 6 6 6 p cos t cos t p p �I= � 1 - sin 2 t dt = �cos t dt = ￲ dt = t 6 0 = - 0= . 0 0 0 6 6 p Vậy I = . 6 2 Ví dụ 2. Tính tích phân I = ￲ 4 - x 2 dx . 0 Hướng dẫn: Đặt x = 2 sin t ĐS: I = p . 1 dx Ví dụ 3. Tính tích phân I = ￲ . 0 1 + x2 Giải � p p� Đặt x = t an t, t �￲ - ￲ ; ￲ � dx = (t an 2 x + 1)dt ￲ ￲ ￲ � 2 2� p x = 0 � t = 0, x = 1 � t = 4 p p 4 4 2 t an t + 1 p �I= � + t an 1 2 t dt = � = 4. dt 0 0 p Vậy I = . 4 3- 1 dx Ví dụ 4. Tính tích phân I = ￲ 2 . 0 x + 2x + 2 Hướng dẫn: 3- 1 3- 1 dx dx I= � 2 = �1 + (x + 1) 2 . 0 x + 2x + 2 0 Đặt x + 1 = t an t p ĐS: I = . 12 2 dx Ví dụ 5. Tính tích phân I = ￲ . 0 4 - x2 p ĐS: I = . 2 3- 1 dx Ví dụ 6. Tính tích phân I = ￲ 2 . 0 x + 2x + 2 p ĐS: I = . 12 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác p 2 Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = cos2 x sin 3 xdx . ￲ 0 Hướng dẫn: Trang 17
  18. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng Đặt t = cos x 2 ĐS: I = . 15 p 2 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = cos5 xdx . ￲ 0 Hướng dẫn: Đặt t = sin x 8 ĐS: I = . 15 p 2 Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I = cos 4 x sin 2 xdx . ￲0 Giải p p p p 2 2 2 2 1 1 1 � � 2 x sin 2 2xdx = 16 � - cos 4x)dx + 4 � 2x sin 2 2xdx 4 I= cos x sin 2 xdx = cos (1 cos 0 4 0 0 0 p p p 1 2 1 �x 12 sin 3 2x � ￲ = p. 2 =￲ - 16 � = (1 - cos 4x)dx + � 2xd(sin 2x) ￲ sin 2 sin 4x + ￲ ￲ 8 0 � 16 64 24 � 0 32 0 p Vậy I = . 32 p 2 Ví dụ 14. Tính tích phân I = dx . ￲ cos x + sin x + 1 0 Hướng dẫn: x Đặt t = t an . 2 ĐS: I = ln 2 . a 2t 1 −t 2 2t Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan : sin a = 1 +t 2 ; cos a = 1 +t 2 ; tan a = 1 −t 2 . 2 3.2. Dạng liên kết p xdx Ví dụ 15. Tính tích phân I = ￲ . 0 sin x + 1 Giải Đặt x = p - t � dx = - dt x = 0 � t = p, x = p� t = 0 0 p p p (p - t)dt p t dt p dt �I =- � p sin(p - t) + 1 = 0 ( 0 sin) �sin t + 1 - sin t + 1 dt = p� t + 1 - I � I = 2 � t + 1 0 sin � p� t p p dt p p dt p d￲ - ￲ ￲ ￲ ￲ p p ￲2 � 4� p � p� = � 2 0 t t 2 = � 4 0 cos2 t - p = ￲ ￲ t - ￲ = p. = t an ￲ ￲ sin + cos 2 (2 ) 2 4 ( 2 0 )� p� 2 2 ￲ t cos ￲ - ￲ ￲ ￲2 4� � ￲ 0 ￲2 4� � ￲ Vậy I = p . Tổng quát: Trang 18
  19. Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng p p p � x)dx = 2 � x)dx . xf(sin f(sin 0 0 p 2 Ví dụ 16. Tính tích phân I = sin 2007 x ￲ dx . 0 sin 2007 x + cos2007 x Giải p Đặt x = - t � dx = - dt 2 p p x=0�t = , x= �t =0 2 2 p �I =- 0 sin 2007 2 - t( dx = ) p 2 cos2007 t ￲ p p ￲0 sin 2007 t + cos2007 t dx = J (1). p 2 sin 2007 ( 2 ) - t + cos2007 2 - t ( ) p p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p . 2 Mặt khác I + J = dx = ￲ 2 4 0 Tổng quát: p p 2 2 sin x n cos n x p � n x + cosn x dx = sin � n x + cos n x dx = 4 , n ￲ Z+ . sin 0 0 p p 6 2 6 Ví dụ 17. Tính tích phân I = sin x cos2 x ￲ dx và J = ￲ dx . 0 sin x + 3 cos x 0 sin x + 3 cos x Giải I - 3J = 1 - 3 (1). p p 6 6 dx 1 dx I +J = � x+ � x+p dx = 2 0 sin sin 0 3 cos x 3 ( ) p 1 Đặt t = x + � dt = dx ⇒I + J = ln 3 (2). 3 4 3 1- 3 1 1- 3 Từ (1) và (2)⇒I = ln 3 + , J = ln 3 - . 16 4 16 4 1 ln(1 + x) Ví dụ 18. Tính tích phân I=￲ dx . 0 1 + x2 Giải Đặt x = t an t � dx = (1 + t an 2 t)dt p x = 0 � t = 0, x = 1 � t = 4 p p 4 4 ln(1 + t an t) �I= �1 + t an 2 ( 1 + t an 2 t ) dt = � + t an t)dt . ln(1 0 t 0 p Đặt t = - u � dt = - du 4 Trang 19
  20. Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng p p t =0�u = , t = �u =0 4 4 p 0 4 � �p �� �I= � + t an t)dt = - � �+ t an ￲ 4 - ln(1 ln 1 ￲ u ￲� ￲ du � � ￲ � ￲� �� 0 p 4 p p 4 � � 1 - t an u � � 4 � 2 � = � � + 1 + t an u � = � � + t an u � ln � 1 � � � du � ln � � � 1 � du � 0 0 p p 4 4 p = � 2du - � ( 1 + t an u ) du = 4 ln 2 - ln ln I. 0 0 p Vậy I = ln 2 . 8 p 4 cos x Ví dụ 19. Tính tích phân I = ￲ x dx . p 2007 + 1 - 4 Hướng dẫn: Đặt x = - t 2. ĐS: I = 2 Tổng quát: Với a > 0 , a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - aa ; ] thì a a f(x) �a x +1 dx = �f(x)dx . -a 0 Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ᄀ và thỏa f(- x) + 2f(x) = cos x . p 2 Tính tích phân I = ￲ f(x)dx . p - 2 Giải p 2 Đặt J = ￲ f(- x)dx , x = - t � dx = - dt p - 2 p p p p x =- �t = , x = �t =- 2 2 2 2 p p 2 2 �I= � - t)dt = J f( p � 3I = J + 2I = �f(- x) + 2f(x) ] dx [ p - - 2 2 p p 2 2 = � xdx = 2� xdx = 2 . cos p cos - 0 2 2 Vậy I = . 3 Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản