Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian.

Chia sẻ: Paradise2 Paradise2 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

102
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề v: phương pháp toạ độ trong trong không gian.', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian.

Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian. 1. Tọa độ của điểm, vectơ. Lý huyết Yêu cầu nắm được:   - Tính độ dài vecto u  a; b; c  : u  a 2  b 2  c 2 - Cho A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; y B ; z B  , C  xC ; yC ; zC  Tính tọa độ trung điểm I của đoạn AB, và trọng tâm G của tam giác ABC. x A  xB  xC x A  xB    xG   xI  3 2   y  yB  yC y  yB   G  yG  A I  yI  A ; 3 2   z A  z B  zC z A  zB    zG   zI  2 3       - Tính tọa độ vecto AB : AB   xB  x A ; y B  y A ; z B  z A  - Độ dài đoạn AB:    xB  x A 2   yB  y A 2   zB  z A 2 AB  AB    - Tính tích có hướng của 2 vecto u  a; b; c  , v  a; b; c   b c c a a b u , v    ; ;    b c c a a b   u , v    bc  bc; ca  ca ' ab  ab     - Tính tích vô hướng của 2 vecto u  a; b; c  , v  a; b; c   u.v  aa  b.b  c.c   - Tính góc giữa hai vecto u  a; b; c  , v  a; b; c 
  aa  bb  cc u.v  cos u , v     a 2  b 2  c 2 . a2  b2  c2 u .v - Nắm được: Cách tính tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa mãn môt hệ thức vecto. Ví dụ: 2. Mặt cầu. Lý huyết  Mặt cầu tâm I  a; b; c  và bán kính R có ph/trình  x  a  2   y  b 2   z  c 2  R 2  Dạng thứ hai: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (2) Với đ/kiện a 2  b 2  c 2  d  0 , thì (2) là p/trình mặt cầu tâm I  a; b; c  , bán kính R  a 2  b2  c 2  d . Một số dạng thường gặp: Mặt cầu có tâm I  a; b; c  và đi qua một điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm không đồng phẳng. M  xM ; yM ; z M  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Chú ý:    : Ax  By  Cz  D  0 được tính theo công thức A.xM  B. yM  C .z M  D d  M ;       A2  B 2  C 2 Dạng 1: Mặt cầu đi qua một điểm M và có tâm cho trước I  a; b; c  Cách giải: - Bán kính mặt cầu là R  MI Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm A 1; 2; 3 và đi qua điểm M  0;2;2  . Lời giải:
 Mặt cầu đi qua điểm M  0;2;2  nên có bán kính bằng 1  0 2   2  2 2   3  2 2 R  MA   26  P/trình mặt cầu (tâm A 1; 2; 3 ): 2 2    x  12   y  2 2   z   3   26 2 2 2 Hay  x  1   y  2    z  3  26 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết A 1; 2; 1 và B  3;0; 3 . Giải:  Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I của đoạn AB. x A  xB 1  3   xI   2 2 2  y y 2  0  Tọa độ tâm I là  yI  A B   1 2 2  z A  z B 1   3    zI    2  2 2 Hay i  2; 1; 2   Bán kính mặt cầu 2 2 1  2 2   2   1    1   2    3 R  IA   P/trình mặt cầu cần tìm: 2 2 2   x  2 2   y   1    z   2    3 2 2 2 Hay  x  2    y  1   z  2   3 I  a; b; c  Dạng 2: Mặt cầu có tâm tiếp xúc với mặt phẳng và  P  : Ax  By  Cz  D  0 . Cách giải:
- Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mp  P  . Ví dụ 3: Viết ph/trình mặt cầu có tâm M  0; 1;1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P : x  y  2z 1  0 . Lời giải:  Mặt cầu tiếp xúc với mp  P  nên bán kính m/cầu bằng khoảng cách từ tâm M đến mp  P  : 0   1  2.1  1 2 2   R  d  M , P      2 6 6 12  12   2   P/trình mặt cầu cần tìm (tâm M  0; 1;1 ): 2 2 2 2 2   y   1   x  0   z  1     6 2 2 2 Hay x 2   y  1   z  1  3 Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7). 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E. 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF . 3. Phương trình mặt phẳng. Lý huyết Dạng 1: Mặt phẳng đi qua điểm M  xM ; yM zM  và có vecto pháp tuyến  n   A; B; C  . PTTQ của mp là A  x  xM   B  y  yM   C  z  zM   0 Một số dấu hiệu:
- Mặt phẳng  P  vuông góc với đường thẳng AB¸ hoặc đường thẳng  d  . Khi đó     vecto AB hoặc vecto chỉ phương ud của  d  là vecto pháp tuyến của mp  P  .  - Mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  , khi đó vecto pháp tuyến nQ của mp  Q  cũng là vecto pháp tuyến của mp  P  . Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  đi qua điểm A 1; 2; 3 và : x 1 y z  2 a) vuông góc với đường thẳng  d  :   1 2 3 b) song song với mặt phẳng  Q  : x  y  3z  0 c) vuông góc với đường thẳng AB với A  0;1;1 , B  1;2;0  Lời giải:  a) Đ/thẳng  d  có vecto chỉ phương u   2; 1;3 .    P    d  nên  P  nhận u   2; 1;3 làm vecto pháp tuyến. Mặt khác  P  đi qua điểm A 1; 2; 3 .  Vậy p/trình tổng quát của  P  : 2  x  1   1  y  2   3  z   3   0 Hay 2 x  y  3 z  9  0  b)   P  ||  Q  nên vecto pháp tuyến của  Q  , n  1; 1; 3 cũng là vecto pháp tuyến của  P  .  Mặt khác  P  đi qua điểm A 1; 2; 3 .  Vậy p/trình tổng quát của  P  : 1 x  1  1 y  2   3  z   3   0 Hay x  y  3 z  8  0
  c)  P   AB nên  P  nhận AB   1;1; 1 làm vecto pháp tuyến Mặt khác  P  đi qua điểm A 1; 2; 3 .  Vậy p/trình tổng quát của  P  : 1 x  1  1 y  2   1 z   3   0 Hay  x  y  z  4  0  x  y  z  4  0  Dạng 2: Mặt phẳng  P  xác định bởi hai vecto u , v không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên  P  . {Ôn thi ĐH-CĐ} Cách giải:    Vecto pháp tuyến của  P  là n  u , v  , tích có hướng của hai vecto u , v .  Một số dấu hiệu thường gặp: - Mp  P  song song với hai đường thẳng  d1  ,  d 2  không cùng phương. - Mp  P  vuông góc với hai mặt phẳng   ,    không song song. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1). 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. 2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4). 1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
   2. Gọi M là điểm sao cho MB  2 MC . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC. 4. Phương trình đường thẳng. Lý huyết   Đường thẳng    đi qua điểm M  xM ; yM ; z M  có vecto chỉ phương u   a; b; c  .  x  xM  at  - P/trình tham số của    :  y  yM  bt ,  t    z  z  ct  M x  xM y  y M z  z M - P/trình chính tắc của    :   a b c Yêu cầu: Từ các p/trình tham số và p/trình chính tắc của đ/thẳng phải biết lấy vecto chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng. Dạng 1: Đường thẳng đi qua điểm M  xM ; yM ; z M  và có vecto chỉ phương xác định trước. Một số dấu hiệu thường gặp:   - Đường thẳng    đi qua hai điểm M , N , khi đó vecto MN là vecto chỉ phương của    . - Đường thẳng    vuông góc với mặt phẳng  P  . Khi đó vecto pháp tuyến   nP của  P  là vecto chỉ phương của    . - Đường thẳng    song song với đường thẳng  d  , khi đó vecto chỉ phương của  d  cũng là vecto chỉ phương của    . Ghi nhớ: Nên vẽ hình minh họa để dễ xác định các yếu tố giải thiết cho và liên hệ tới mối quan hệ giữa chúng. Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng    , biết:
a)    đi qua hai điểm A 1; 2; 3 , B  0;1; 2  b)    đi qua điểm M 1; 1;1 và vuông góc với mặt phẳng   : x  3 y  z  0 . c)    đi qua điểm N  0;0; 2  và song song với đường thẳng  d  có p/trình  x  2t  d  :  y  1  t  z  2  Lời giải:    đi qua hai điểm A, B a)  Đường thẳng nên nhận vecto   AB   0  1;1  2; 2   3    1; 1;1 làm vecto chỉ phương.   Mặt khác    đi qua A 1; 2; 3 nên có p/trình tham số x  1  t   y  2  t , t    z  3  t     vuông góc với mp  P  nên nhận vecto pháp tuyến b)  Đường thẳng  n  1; 3;1 của  P  làm vecto chỉ phương của    .  Mặt khác    đi qua điểm M 1; 1;1 nên có p/trình tham số x  1  t   y  1  3t ,  t   z  1  t   c) Đ/thẳng  d  có vecto chỉ phương u  2;1;0  .   Đ/thẳng    song song với  d  nên nhận u  2;1;0  làm vecto chỉ phương.  Mặt khác    đi qua điểm N  0;0; 2  nên có p/trình tham số  x  0  2t   y  0  t , t  . z  2 
Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Bổ túc): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm E(1;0;2) , M(3;4;1) và N(2;3;4). 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN. Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2),N(3;1;5)và đường thẳng (d) có phương trình  x  1  2t  d  :  y  3  t .  z  6  t  1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d). 2. Viết p/trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N. 5. Góc, khoảng cách. Lý huyết  Khoảng cách từ điểm M  xM ; yM ; z M  đến đường thẳng    : Ax  By  Cz  D  0 được tính theo công thức A.xM  B. yM  C .z M  D d  M ;       A2  B 2  C 2 Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0.
1) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P). Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2 x  2 y  z  7  0 . 1. Viết phương trình đường thẳng MN. 2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mp(P). Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2; 1;3 , mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  10  0 . 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P). 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). 6. Tương giao giữa đường thẳng, mặt pẳng, mặt cầu. Bài toán tổng hợp Lý huyết Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(4; 3; 2), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0) và D(0; 0; 3). 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD. 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D.
Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6). 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG. Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; -1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. 1. Viết phương trình đường thẳng OG. 2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C. 3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S). Câu 4 (Đề TN 2007, L1, Ban KHXH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E 1;2;3 và mặt phẳng   : x  2 y  2 z  6  0 . 1). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mp   . 2). Viết phương trình tham số của đường thẳng    đi qua điểm E và vuông góc với mp   .