Khoa Xáy Dựng Thủy lợi - Thủy điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Thủy Lợi
Bài giảng thủy lực 1 Trang 67
CHƯƠNG IV
CHUYỂN ĐỘNG THẾ & LỚP BIÊN
Potential Flow & Boundry Layers
***
⇓4.1 CHUYỂN ĐỘNG THẾ
I. Khái niệm về lưu số
II. Các tính chất cơ bản của chuyển động thế
III. Nguyên lý JU-CỐP-SKI
IV. Thế phức
V. Một vài ví dụ hàm phức trong dòng chảy thế phẳng
⇓4.2 LỚP BIÊN
I. Khái niệm
II. Phương trình lớp biên phẳng
Khoa Xáy Dựng Thủy lợi - Thủy điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Thủy Lợi
Bài giảng thủy lực 1 Trang 68
⇓4.1 CHUYỂN ĐỘNG THẾ
I. Khái niệm về lưu số:
Cho trường vectơ ),,( wvuV
r, người ta định nghĩa
lưu số vectơ dọc theo đường bất kỳ (C) nối liền
điểm A và điểm B bởi tích phân :
∫∫ ==Γ
c
s
c
ds.Vsd.V r
r
Hay: ∫++=Γ
c
)dz.wdy.vdx.u(
Tích phân nầy có thể tính toán, đặc biệt đối với những
đường vòng khép kín.
Ví dụ dòng chảy có đường dòng đồng tâm, vận tốc V =
ω
.r
Lưu số dọc theo đường (C1) là :
2
1111 ..2.2...
11
rrrdsVdsV
cc
s
ωππω
====Γ ∫∫
Như vậy: Γ1 tăng theo bình phương bán kính .
Lưu số dọc theo đường ABCD là :
)rr(.wr..r.wr..r.w
ABCD
2
1
2
21122 −α=α−α=Γ
Chú ý: Giá trị Γ đổi dấu khi đổi chiều đường cong (C) .
II. Các tính chất cơ bản của chuyển động thế
- Trong trường hợp tổng quát, tích phân ∫
=Γ
c
sd.v
r
r
phụ thuộc đường đi từ A đến
B. Để tích phân nầy chỉ phụ thuộc điểm A và B thì biểu thức u.dx + v.dy + w.dz là vi
phân toàn phần của hàm số ϕ nào đó, điều nầy dẫn đến : 0
=
Vtor
r
(4.1)
- Dòng chảy thỏa tính chất nầy gọi là dòng chảy không xoáy và hàm số thỏa mãn
tính chất :
z
w,
y
v,
x
u∂
∂ϕ
=
∂
∂
ϕ
=
∂
∂
ϕ
= (4.2)
Hay : ϕ= d
a
g
r
Vr
r (4.3)
Dòng chảy còn được gọi là dòng chảy có thế vận tốc hay dòng chảy thế, và chúng ta sẽ
có:
∫ϕ−ϕ==Γ
B
A
AB )z,y,x()z,y,x(sd.V r
r (4.4)
Khi đường cong khép kín thì Γ = 0
Đối với chất lỏng không nén, từ phương trình liên tục divV = 0, ta có được :
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ∆ zyx (4.5)
Hay : ∆ϕ = 0.
Vậy hàm số ϕ thỏa phương trình Laplace hay ϕ là hàm số điều hòa.
D
r1
r2
(C1) C
B
A
→
v
v
r
A
B
M
Khoa Xáy Dựng Thủy lợi - Thủy điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Thủy Lợi
Bài giảng thủy lực 1 Trang 69
Trong chuyển động phẳng thì: dϕ = ux.dx + uy.dy = dy.
y
dx.
x∂
∂ϕ
+
∂
∂ϕ
Nếu ϕ = const, thì: dϕ = 0 và 0=
∂
ϕ
+
∂
ϕdy.
y
dx.
x (4.6)
Đây là phương trình đường đẳng thế lưu tốc trong chuyển động phẳng. Ta lại có phương
trình đường dòng trong chuyển động phẳng :
ux.dy - uy.dx = 0 (4.7)
Nếu tìm được hàm Ψ(x,y) sao cho :
yx u
x
,u
y−=
∂
∂
ψ
=
∂
∂
ψ
(4.8)
Thì phương trình đường dòng của chuyển động phẳng sẽ là :
0=
∂
∂ϕ
+
∂
∂ψ dy.
y
dx.
x , hoặc dΨ = 0 (4.9)
Do đó Ψ(x,y) = const, nên trị đường dòng không đổi dọc theo mỗi đường dòng.
Từ (4.2) và (4.8) ta có mối liên hệ :
yx
∂
∂
∂
∂ϕ
Ψ
= và xy
∂
∂
∂
∂ϕ
Ψ
−= (4.10)
Do đó : y
.
yx
.
x∂
∂
ψ
∂
∂ϕ
=
∂
∂ψ
∂
∂ϕ (4.11)
Điều nầy có nghĩa là hai họ ϕ và Ψ trực giao nhau trong chuyển động thế phẳng và được
gọi là những hàm số liên hiệp.
Biểu thức (4.10) là điều kiện Cosi - Riemann cho phép ứng dụng hàm phức để nghiên
cứu chuyển động thế .
Mặt khác, ta có lưu lượng : dQ = ux.dy - uy.dx (4.12)
Mà ux = x
u
yy
∂
∂
∂
∂
Ψ
−=
Ψ,
Nên dQ = ψ=
∂
∂ψ
+
∂
∂
ψ
ddx.
x
dy.
y (4.13)
Do đó : 12
2
1
21 ψ−ψ=ψ= ∫
ψ
ψ
ψ−ψ dQ (4.14)
Điều nầy có nghĩa hiệu số những trị số hàm số dòng cho ta lưu lượng chất lỏng chảy
giữa hai đường dòng đó. Đó là ý nghĩa của hàm số dòng.
III. Nguyên lý Ju-cốp-ski
Để dẫn đến nguyên lí Ju-cốp-ski , ta xét một cửa chớp có mặt cắt ngang như hình vẽ, các
chớp cách nhau đoạn t cho rằng dòng chảy qua cửa chớp là ổn định, phẳng, không xoáy,
trực giao với đường sinh cửa chớp.
- Áp dụng định lý động lượng đối với mặt bao ABCD có độ dày đơn vị các cạnh AB,CD
đủ xa cửa chớp, để có áp suất và vận tốc không đổi. Chiếu phương trình động lượng lên
trục ox , ta có:
ρ.Q(v2 - v1 ) = (ρ.t.u2 ).u2 - (ρ.t.u1).u1 (4.15)
ΣF = -X + (p1 - p2 ).t (4.16)
Khoa Xáy Dựng Thủy lợi - Thủy điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Thủy Lợi
Bài giảng thủy lực 1 Trang 70
Nên : ρ.t.(u22 -u12 ) = -X + (p1 - p2 ).t (4.17)
Dòng chảy ổn định nên: t.u1 = t.u2 ⇒ u1 = u2 (4.18)
Như vậy : X = (p1 - p2).t (4.19)
Chiếu phương trình động lượng lên trục oy ta có :
(ρ.t.u2 ).v2 - (ρ.t.u1).v1 = - Y (4.20)
Và vì u1 = u2 nên : Y = ρ.t.u1(v1- v2) (4.21)
Mặt khác từ phương trình Becnoulli ta có:
p1 + 22
2
2
2
2
1V.
p
V. ρ
+=
ρ (4.22)
Hay : 22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
)v
u
(
p
)v
u
(
p+ρ
+=
+ρ
+ (4.23)
Nên : 2
2
1
2
2
21
)vv.(
pp −ρ
=− (4.24)
Khử p1 - p2 giữa phương trình (4.19) và (4.24) được các thành phần của lực R (của chất
lỏng tác dụng lên cửa chớp):
2
2121 )vv).(vv.(
t
.
X
−
+
ρ
−=
)vv(u.
t
.Y 211
−
ρ=
Ta có lưu số Γ dọc ABCD theo chiều mũi tên:
Γ = -t.v1 + ΓBC + t.v2 + ΓDA
Vì : ΓBC = ΓAD = - ΓDA, nên Γ = t.(v2 - v1)
Nên: Γ
+
ρ= .
vv
X2
21 (4.25)
Y = - ρ.u1.Γ (4.26)
Y
Y
R
B
A
X
X
D
t
t
V1
U1=u2
V2
vm
O
⎩
⎨
⎧
→
2
2
2v
u
V
Khoa Xáy Dựng Thủy lợi - Thủy điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Thủy Lợi
Bài giảng thủy lực 1 Trang 71
Đặt 2
21 VV
Vm
rr
r+
=, có : um = u1; vm = 2
21 vv +
Nên : X = ρ.vm .Γ (4.27)
Y = -ρ.u1.Γ (4.28)
Ta thấy:
R
r trực giao với m
V
r
(do có tích vô hướng bằng không) và modun: R = ρ.Vm.Γ
Từ đó, ta có nguyên lý Kutta - Ju-cốp-ski:
Khi ta để cố định một lá cửa chớp và đưa các lá khác ra xa vô cùng, sự lệch góc do dòng
chảy là bằng không ( )VV 21
rr =
t = ∞ thì : v1 = v2
u1 = u2 = V
Lưu số Γ = t.(v2 - v1) không xác định, giả sử nó có giá trị hữu hạn thì lực R
r luôn luôn
thẳng góc với m
V
r
vectơ R
r thành phần X triệt tiêu.
Lực nâng lên cửa chớp lăng trụ trên đơn vị chiều dài là :
R = ρ.V.Γ (4.29)
Định lý Kutta - Ju-cốp-ski
• Nếu một vật lăng trụ đặt trong dòng chảy phẳng, ổn định có đường sinh thẳng góc
với dòng chảy,
• Dòng chảy là không xoáy bên ngoài vật nầy,
• Vận tốc V ở vô cùng có cường độ và phương cố định,
• Lưu số vectơ vận tốc quanh vật có giá trị Γ.
Vật nầy sẽ bị tác dụng lên một hợp lực R bởi chất lỏng có đặc tính:
9 Hướng của R
r nhận được bằng cách quay vectơV
r
một góc 2
π theo chiều
ngược với lưu sô,
9 Độ lớn là ρ.V.Γ.L, với L là chiều dài vật.
IV. Thế phức
- Chúng ta xét trường hợp dòng chảy phẳng dừng của chất lỏng lý tưởng không
nén. Tất cả các đường dòng song song với một mặt phẳng nào đó, ta gọi là mặt phẳng
(x,y) cho nên ϕ chỉ phụ thuộc x và y:
y
v
x
vyx
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
== , (4.30)
Khi đó bài toán tìm trường tốc độ đơn giản đi rất nhiều nhờ ứng dụng được hàm biến
phức.
Chúng ta lấy hàm phức: W = Ψ + iϕ phụ thuộc vào biến số phức nào đó:
z = x + iy ⇒ W = W(z)
- Các biến số x và y là độc lập, vì vậy trong trường hợp tổng quát giá trị đạo hàm
dz
dW có thể phụ thuộc vào vấn đề các vi phân dx và dy trong biểu thức dz = dx + idy, tức