intTypePromotion=3

Đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu n – giả tuyến tính

Chia sẻ: ViVatican2711 ViVatican2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
2
lượt xem
0
download

Đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu n – giả tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này giới thiệu kết quả về các đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu có hàm mục tiêu thuộc lớp hàm Lipschitz n -giả tuyến tính trên tập hợp n -invex. Bài viết cũng thu lại được một số kết quả trước đây về đặc trưng tập nghiệm đối với lớp hàm giả tuyến tính khả vi.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu n – giả tuyến tính

  1. TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 23 (48) - Thaùng 12/2016 Đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu  – giả tuyến tính Characterizations of solution sets of  - pseudolinear optimization problems ThS. Đổng Quang Phúc Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Dong Quang Phuc, M.Sc. Nguyen Huu Canh High School Tóm tắt Bài báo này giới thiệu kết quả về các đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu có hàm mục tiêu thuộc lớp hàm Lipschitz  -giả tuyến tính trên tập hợp  -invex. Bài báo cũng thu lại được một số kết quả trước đây về đặc trưng tập nghiệm đối với lớp hàm giả tuyến tính khả vi. Từ khóa: đặc trưng tập nghiệm,  -giả invex,  -giả tuyến tính. Abstract The aim of this paper is to introduce characterizations of solution sets of optimization problems, where the objective functions are Lipschitz  - pseudolinear functions and the feasible sets are  - invex sets. Obtained results cover characterizations of solution sets of some smooth pseudolinear optimization problems reported in literature. Keywords: characterization of solution set,  -pseudoinvex,  -pseudolinear. 1. Giới thiệu Mangasarian giới thiệu khái niệm hàm giả Trong lý thuyết tối ưu, vấn đề đặc lồi, giả lõm và tựa lồi, tựa lõm cài đặt trên trưng tập nghiệm bài toán tối ưu là một chủ lớp hàm khả vi [15]. Năm 1981, Craven [5] đề quan trọng. Đối với một bài toán tối ưu giới thiệu khái niệm hàm invex cho lớp có nhiều nghiệm, nếu biết được đặc trưng hàm khả vi. Theo đó, hàm f khả vi trên tập tập nghiệm, các phương pháp tìm nghiệm mở X gọi là là invex trên X nếu tồn tại có thể được đề xuất một cách thích hợp. hàm véc-tơ  : X  X  R n sao cho Điều này rất thuận lợi cho việc tìm nghiệm f ( x)  f ( y)   ( x, y)T f ( y), x, y  X . tối ưu bằng các phương pháp số. Trong bài báo này chúng tôi quan tâm đến đặc trưng Rõ ràng rằng một hàm lồi khả vi là tập nghiệm cho một dạng bài toán tối ưu có hàm invex với  ( x, y)  x  y . Đặc điểm hàm mục tiêu là hàm lồi suy rộng trên một của hàm invex là chúng được đặc trưng bởi tập lồi suy rộng. tính chất mọi điểm dừng của hàm invex Đối với lớp hàm lồi suy rộng, đã có trên tập mở X đều là điểm cực tiểu toàn nhiều lớp hàm khác nhau được giới thiệu cục của f trên X . Tương tự như hàm giả trong những năm qua. Năm 1965, lồi và tựa lồi khả vi, Hanson [8], năm 164
  2. 1981, đã giới thiệu khái niệm mở rộng của [10], [1], [11], [13], [2], [12], [3]. hàm tựa lồi và giả lồi mà sau này được gọi Theo mạch nghiên cứu đó, mục đích hàm khả vi giả invex và tựa invex [16] trên của bài báo này là thiết lập đặc trưng tập tập mở X  R n . Năm 1984, Chew và nghiệm của một dạng bài toán không lồi Choo quan tâm đến lớp hàm giả tuyến tính với các giả thiết  -invex cài đặt cho tập [7], đó là lớp hàm khả vi vừa giả lồi và giả ràng buộc và tính chất hàm  -giả tuyến lõm (tức là f và ( f ) đều giả lồi). Năm tính cài đặt cho hàm mục tiêu thông qua 1989, Rueda [18] đã giới thiệu hàm khả vi việc sử dụng đạo hàm Clarke. Kết quả này  - giả tuyến tính từ khái niệm giả invex. là sự mở rộng kết quả trong bài báo số [9]. Các định nghĩa về hàm lồi suy rộng nêu Chúng tôi cũng chú ý rằng gần đây, đặc trên đều được định nghĩa cho hàm khả vi. trưng tập nghiệm cho bài toán tối ưu với Dựa vào đạo hàm suy rộng theo nghĩa của hàm mục tiêu Lipschitz địa phương, giả Clarke, một số khái niệm hàm lồi suy rộng invex trên một tập mở invex được giới từ lớp hàm khả vi được mở rộng cho lớp thiệu trong bài báo [19]. Đặc biệt, đặc hàm Lipschitz địa phương. Khái niệm hàm trưng tập nghiệm cho bài toán tối ưu có invex xác lập cho lớp hàm Lipschitz địa hàm mục tiêu là  -giả tuyến tính trên tập phương được gọi là c-invex được giới  -invex được giới thiệu trong bài báo [20] thiệu. Khi mở rộng như thế, đặc trưng của thông qua dưới vi phân Clarke. hàm Lipschitz c-invex cũng được đặc trưng Bài báo được tổ chức như sau: Phần qua tính chất mọi điểm dừng đều là cực tiếp theo được dành để giới thiệu các kiến tiểu toàn cục. thức cơ bản liên quan đến định nghĩa của Lịch sử của vấn đề đặc trưng tập một số lớp hàm lồi suy rộng và một số kết nghiệm có thể sơ lược qua như sau: Năm quả cần thiết cho các chứng minh của phần 1988, Mangasarian [14] lần đầu tiên giới chính của bài báo. Kết quả chính của bài báo thiệu các công thức đặc trưng tập nghiệm liên quan đến đặc trưng tập nghiệm và được của bài toán lồi với ràng buộc tập lồi cho giới thiệu trong phần cuối cùng của bài báo. bài toán. Ví dụ minh họa cũng được giới thiệu. Min f ( x) 2. Kiến thức cơ bản x C Cho hàm f : R n  R Lipschitz địa Kể từ đó đến nay đã có nhiều công phương tại x  R n và vectơ bất kì d  R n . trình liên quan đến chủ đề này được công Theo định nghĩa của Clarke [6], đạo hàm bố. Các bài báo quan tâm đến chủ đề này là suy rộng của hàm f tại x theo hướng d khá phong phú. Từ bài toán lồi với ràng và dưới vi phân của hàm f tại x được buộc tập, đến bài toán lồi có ràng buộc bất đẳng thức lồi, mở rộng ra với một hệ vô định nghĩa tương ứng bởi hạn các ràng buộc lồi. Tiếp đó đặc trưng f ( y  td )  f ( y ) f c ( x; d )  lim sup tập nghiệp của bài toán tối ưu véc-tơ và y x t t 0 một số lớp bài toán tối ưu không lồi cũng và  f ( x)  u  R n | f c ( x, d )  u, d , d  R n . được xem xét. Có thể liệt kê một số công c trình tiêu biểu về đặc trưng tập nghiệm trong những năm qua như: [4], [9], [17], Đạo hàm theo hướng d của hàm f 165
  3.  tại điểm x được định nghĩa bởi giới hạn f (x)  f (y)  (x, y)T f (y)  0, x, y  X , sau đây (nếu giới hạn vế phải tồn tại) iii) Hàm f được gọi là  - giả tuyến f (x  td)  f (x) f '(x;d)  lim . tính nếu f và ( f ) là  - giả invex với t0 t cùng một hàm  . Hàm f được gọi là chính quy tại Để chuẩn bị cho kết quả chính nói x  Rn nếu f ' ( x; d ) tồn tại và trong phần tiếp theo, chúng tôi nhắc lại f ' ( x; d )  f c ( x; d ) , với mọi d  R n . định nghĩa về hàm Lipschitz  -giả tuyến Hàm f được gọi là chính quy trên tập C tính dựa trên khái niệm  -invex. Trước hết nếu f chính quy tại mọi điểm thuộc C . chúng tôi giới thiệu khái niệm tập  -invex (có tài liệu chỉ gọi là tập invex). Bổ đề 2.1 Cho hàm f : R n  R là Định nghĩa 2.3 Cho tập khác rỗng Lipschitz địa phương tại x  R n . Khi đó: X  R n và ánh xạ  : X  X  R n . Tập i) f ( x; rd )  rf ( x; d ), r  0 , c c X được gọi là  - invex nếu với mọi ii) f c (x; d)  (f )c (x;d) , x, y  X , với mọi  [0;1] , ta có iii)  c (f )( x)   c f ( x). y   ( x, y)  X . Chứng minh: Từ Định nghĩa 2.3, nếu i) Với mọi r  0 , ta có  ( x, y)  x  y thì X là tập lồi (Ta nói f ( y  trd )  f ( y) f ( y  trd )  f ( y) f c ( x; rd )  lim sup y x t  r lim sup yx tr  rf c ( x; d ). tính chất  -invex là tính chất lồi suy t 0 t 0 rộng). Định nghĩa sau đây là sự mở rộng ii) Xem [6, mệnh đề 2.1.1], kết quả c). khái niệm của hàm  -invex khả vi. iii) Xem [6, mệnh đề 2.3.1]. Chú ý: Ta có (f ) '(x;d)  f '(x;d) . Định nghĩa 2.4 Cho X  R n là tập Thật vậy  - invex và hàm f : R n  R là Lipschitz (f)(x  td)  (f)(x) f(x  td)  f(x) địa phương trên R n . (f)'(x;d)  lim   lim  f '(x;d) t0 t t0 t i) Hàm f được gọi là  - giả invex Định nghĩa 2.1 Hàm h : R n  R trên X nếu với mọi x, y  X , ta có được gọi là lẻ dưới, nếu f c ( y; ( x, y))  0  f ( x)  f ( y) h( x)  h( x)  0, x  R n \ 0. hay Định nghĩa 2.2 Cho f : X  R là f ( x)  f ( y)  f c ( y; ( x, y))  0 , hàm khả vi trên tập mở X  R . n ii) Hàm f được gọi là  - giả tuyến i) Hàm f được gọi là  - giả invex tính trên X nếu các hàm f và ( f ) đều nếu tồn tại hàm véc-tơ  : X  X  R n là  - giả invex trên X . sao cho Trong Định nghĩa 2.4, nếu (x, y)T f (y)  0  f (x)  f (y), x, y  X ,  ( x, y)  x  y thì f là hàm Lipschitz ii) Hàm f được gọi là  - tựa invex giả lồi. nếu tồn tại hàm véc-tơ  : X  X  R n Nhận xét 2.1 sao cho Từ Định nghĩa 2.4, ta thấy rằng hàm 166
  4. f là  - giả invex trên X nếu với mọi Ký hiệu S là tập nghiệm của (P) và x, y  X , tồn tại    c f ( y) sao cho giả sử rằng S   . Trong các định lý về đặc trưng tập nghiệm dưới đây, giả sử rằng  , ( x, y)  0  f ( x)  f ( y). z là một nghiệm đã biết trước của bài Để thu được kết quả về đặc trưng tập toán. nghiệm cho trường hợp hàm mục tiêu Bổ đề 3.1 Với bài toán (P), z là một Lipschitz là  - giả tuyến tính, chúng tôi cần nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi đến một điều kiện và các bổ đề sau đây: y  C , đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo Cho   X  R n là tập  - invex với mọi hướng. Khi đó, nếu hàm f chính quy ánh xạ  : X  X  R n . Điều kiện sau tại z thì với mọi đây được ký hiệu là điều kiện (C) (Xem x  C , ta có [21]): f c ( z; ( x, z))  0  f ( x)  f ( z ). (C) : Với mọi x, y  X , với mọi Chứng minh: Nếu f là  -giả tuyến   0;1, ta có tính trên C thì f và ( f ) là  - giả (y, y  (x, y))  (x, y), invex. Khi đó, với mọi x  C , ta có  (x, y  (x, y))  (1  )(x, y).  f c ( z; ( x, z ))  0  f ( x)  f ( z )  3. Đặc trưng tập nghiệm tối ưu của ( f ) ( z; ( x, z ))  0  ( f )( x)  ( f )( z ) c bài toán  - giả tuyến tính Do f chính quy tại z nên Trong phần này, chúng tôi quan tâm   f (z;η(x,z))  0  f(x)  f(z), c đến đặc trưng tập nghiệm của lớp hàm  c (3.1) Lipschitz địa phương trên R n có cài đặt  f (z;η(x,z))  0  f(x)  f(z).  thêm giả thiết  - giả tuyến tính. Cần nhắc Vì lại rằng tập nghiệm của bài toán tối ưu giả vậy f c ( z; ( x, z ))  0  f ( x)  f ( z ) . tuyến tính trong trường hợp hàm khả vi đã Ngược lại, với mỗi x  C , giả sử được nghiên cứu và giới thiệu trong bài f ( x)  f ( z ) , ta cần chứng minh báo [9], và được tổng hợp giới thiệu lại trong tài liệu [16]. Các định lý sau đây mô f c ( z; ( x, z ))  0 . Với mỗi   0;1 đặt tả đặc trưng tập nghiệm cho bài toán (P) y *  z   ( x, z )  C . Ta sẽ chứng minh với hàm mục tiêu là hàm Lipschitz và thỏa f ( y * )  f ( z) . một tính chất lồi suy rộng. Đồng thời tập C cũng là tập lồi suy rộng. Giả sử f ( y * )  f ( z ) tức là, Xét bài toán sau đây: f ( x)  f ( z )  f ( y * ) . (3.2) (P) Min f (x) Do f là  - giả invex nên từ i) của x  C, Định nghĩa 2.4 ta có trong đó C  R n là tập  -invex và f c ( y * ; ( z, y * ))  0 . (3.3) f là hàm Lipschitz và  -giả tuyến tính Do điều kiện (C) được thỏa mãn nên trên C , trong đó hàm  : C  C  R n thỏa   ( z, y * )    ( x, y * ) . Từ (3.3) và bổ mãn điều kiện (C). 1  167
  5.  đề 2.1 ta có điều kiện:   c * f ( x)  f ( z)  p( x, z). f c ( z; ( x, z)). f c ( y * ;  ( x, y * ))  f ( y ; ( x, y * ))  0 1  1  Chứng minh: Ta xét 2 trường hợp sau: Suy ra Trường hợp 1: Nếu f c ( z; ( x, z ))  0 , f c ( y * ; ( x, y * ))  0 . (3.4) với mọi x  C thì do Bổ đề 3.1 ta có Nếu  ( x, y )  0 thì f ( y ; ( x, y * ))  0 * c * f ( x)  f ( z ) . Khi đó, có thể chọn (mâu thuẫn với (3.4)) nên  ( x, y * )  0 . p( x, z)    0 tùy ý. c Do f ( y ;.) lẻ dưới nên Trường hợp 2: Nếu f c ( z; ( x, z ))  0 , * f c ( y * ; ( x, y * ))   f c ( y * ; ( x, y * ))  0 . với mọi x  C thì do Bổ đề 3.1 ta có f ( x)  f ( z) . Chọn hàm p : C  C  R Vậy ta có f c ( y * ; ( x, y * ))  0 . Do sao cho f là  -giả invex nên f ( x)  f ( y * ) f ( x)  f ( z ) (mâu thuẫn với (3.2)). p ( x, z )  . (3.6) f c ( z; ( x, z )) Giả sử f ( y * )  f ( z ) , tức là Ta sẽ chứng tỏ p( x, z )  0 , với f ( y * )  f ( z )  f ( x) (3.5) mọi x  C . Hay ( f )( z )  ( f )( y ) . * Giả sử f ( x)  f ( z ) . Do f là  -giả Do ( f ) là  -giả invex nên invex nên ( f ) ( y ; ( z, y ))  0 . c * * f c ( z; ( x, z ))  0 . (3.7) Kết hợp điều kiện (C) và chú ý rằng Từ (3.6), ta được p( x, z )  0 , với nếu f ( y ;.) lẻ dưới thì ( f ) ( y ;.) c * c * mọi x  C . cũng lẻ dưới. Bằng lập luận như trên, ta sẽ Giả sử f ( x)  f ( z ) . Khi đó nhận được f ( y * )  f ( x) , mâu thuẫn với ( f )( x)  ( f )( z) . Vì ( f ) là  - giả (3.5). invex nên Tóm lại, ta có f ( y * )  f ( z ) hay ( f ) c ( z; ( x, z ))  0 . f ( z   ( x, z))  f ( z) . Khi đó, do f Từ Bổ đề 2.1, ta nhận chính quy tại z nên được f ( z; ( x, z ))  0 . c f ( z   ( x, z))  f ( z) Nếu  ( x, z )  0 thì f c ( z; ( x, z ))  0 f c ( z; ( x, z))  f ' ( z; ( x, z))  lim  0,   0;1. 0  (mâu thuẫn với (3.7)) nên  ( x, z )  0 . Khi Vậy f ( x)  f ( z ) dẫn đến đó, do f c (z;.) lẻ dưới nên f ( z; ( x, z ))  0 . c  f c ( z; ( x, z))   f c ( z; ( x, z))  0 Bổ đề 3.2 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Từ (3.6), ta được p( x, z )  0 , với y  C , đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi x  C . Tóm lại, bổ đề được chứng minh.  mọi hướng và hàm f chính quy tại z . Khi Chú ý rằng các phiên bản của hai bổ đó với mỗi x  C tồn tại hàm đề trên đây đã được chứng minh trong bài p : C  C  R sao cho p( x, z )  0 thỏa báo [20] bằng cách sử dụng dưới vi phân 168
  6. Clarke. Ở đây, chúng tôi trực tiếp dùng đạo f c ( z; ( x, z ))  0 . Do Bổ đề 3.2, tồn tại hàm Clarke. p( x, z )  0 sao cho Định lý 3.1 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y  C , f ( x)  f ( z)  p( x, z). f c ( z; ( x, z))  f ( z) . đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi Vậy f ( x)  f ( z ) . Do đó, x  S , tức   hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó là S 2  S . Vậy S  S 2 .      S  S1 , với S1  x  C | f ( z; ( x, z ))  0 . c Tương tự như Nhận xét 3.1, trong định Chứng minh: Do Bổ đề 3.1, ta có lý 3.2, nếu thay giả thiết f chính quy tại  x  S  f ( x)  f ( z )  f c ( z; ( x, z ))  0  x  S1  z bởi giả thiết f chính quy trên C ta có Nhận xét 3.1 Trong Định lý 3.1, nếu hệ quả sau: thay giả thiết f chính quy tại z bởi giả Hệ quả 3.3 Với bài toán (P), z là một nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y  C , thiết f chính quy trên C thì đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi hướng f c ( x; ( z, x))  f ' ( x; ( z, x)) . Ta thu và hàm f chính quy trên C . Khi đó, được hệ quả sau đây.   ~ ~ Hệ quả 3.1 Với bài toán (P), z là một S  S 2 , với S 2  x  C | f ' ( x; ( z, x))  0 . nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y  C , Hệ quả sau đây được suy ra từ định lý đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi hướng nêu trên khi f được giả sử là khả vi trên và hàm f chính quy tại trên C . Khi đó tập mở C .   Hệ quả 3.4 Với bài toán (P), giả sử f ~ ~ S  S1 , với S1  x  C | f ( x; ( z, x))  0 . ' là khả vi và  -giả tuyến tính trên tập mở Hệ quả 3.2 Với bài toán (P), z là một chứa C là tập  -invex, với z là một nghiệm đã biết. Giả sử f khả vi và  - giả ~  tuyến tính trên tập mở chứa C là tập  - nghiệm đã biết. Khi đó S  S 2'  S 2' , với ~  ~ invex. Khi đó S  S1'  S1' , với S'  x  C | f ( x), ( z, x)  0, ~ 2 S'  x  C | f ( x), ( z, x)  0,  1 S '  x  C | f ( z ), ( x, z )  0.  2 S'  x  C | f ( z ), ( x, z )  0. Định lý 3.3 Với bài toán (P), z là một 1 nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y  C , Định lý 3.2 Với bài toán (P), z là một đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi hướng nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y  C ,  đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi và hàm f chính quy tại z . Khi đó S  S 3 , hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó  với S3  x  C | f c ( z; ( x, z ))  f c ( x; ( z, x)).   S  S 2 , với S 2  x  C | f c ( z; ( x, z ))  0. Chứng minh : Lấy x  S , do Định lý Chứng minh: Do Định lý 3.1 nên 3.1 ta có f c ( z; ( x, z))  f c ( x; ( z, x))  0 ,   tức là f c ( z; ( x, z ))  f c ( x; ( z, x)) . Suy S  S 2 . Lấy x  S2 thì x C và 169
  7.    ~  ra x  S 3 , tức là S  S 3 . invex. Khi đó, S  S3'  S3' , với  ~ Ngược lại, lấy x  S 3 . Ta có x  C và S '  x  C | f ( x), ( z, x)  f ( z ), ( x, z ) , 3 f c ( z; ( x, z ))  f c ( x; ( z, x)) . (3.8)  S 3'  x  C | f ( z ), ( x, z )  f ( x), ( z, x) . Ta cần chứng minh x  S . Giả sử x  S . Khi đó, Các Hệ quả 3.2, 3.4 và 3.6 chính là các nội dung đã được chứng minh trực tiếp f ( z )  f ( x) . (3.9) trong bài báo số [9] tại các Định lý 3.1, Hệ Vì f là  -giả invex, theo Định nghĩa quả 3.1 và Định lý 3.3 và được giới thiệu 2.4, ta được lại trong tài liệu số [16] tại các Định lý f c ( x; ( z, x))  0 . (3.10) 5.18, Hệ quả 5.19, Định lý 5.20. Từ (3.8) và (3.10) suy ra TÀI LIỆU THAM KHẢO f c ( z; ( x, z ))  0 Mặt khác, do Bổ đề 3.2, tồn tại 1. N.Dinh, V. Jeyakumar and G.M. Lee (2006), Lagrange multiplier characterizations of p( x, z )  0 sao cho solution sets of constrained pseudolinear f ( x)  f ( z)  p( x, z). f c ( z; ( x, z))  f ( z) . optimization problems, Optimization 55, 241-250. Điều này mâu thuẫn với (3.9). Do đó  2. T.Q. Son and N. Dinh (2008), x  S , tức là S 3  S . Characterizations of optimal solution sets of convex infinite programs, TOP 16,147-163.  Vậy S  S 3 .  3. T.Q. Son and D.S. Kim (2014), A new approach to characterize the solution set of a Trong định lý 3.3, bây giờ chúng ta pseudoconvex programming problem, J. thay giả thiết f chính quy tại z bởi giả Comput. Appl. Math. 261, 333-340. thiết f chính quy trên C thì ta có hệ quả 4. J.V. Burke and M. Ferris (1991), Characterization of solution sets of convex sau đây: programs, Operations Research Letters 10, Hệ quả 3.5 Với bài toán (P), z là một 57-60. nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi 5. B.D. Craven (1981), Invex functions and y  C , đạo hàm f ( y;.) là lẻ dưới theo c constrained local minima, Bulletin of Australian Mathematical Society 24, 357-366. mọi hướng và hàm f chính quy trên C . ~ 6. Frank H. Clarke (1983), Optimization and Khi đó, S  S 3 , với Nonsmooth Analysis, Reprint, New York.   ~ 7. K.L. Chew and E.U. Choo (1984), S3  x  C | f ' ( z; ( x, z ))  f ' ( x; ( z, x)) . Pseudolinear and efficiency, Math. Programming 28, 226-239. Hệ quả sau đây cũng được suy ra từ định lý nêu trên khi f được giả sử là khả 8. M.A. Hanson (1981), On Sufficiency of Kuhn- Tucker conditions, Journal of Mathematical vi trên tập mở C . Analysis Applications 80, 545-550. Hệ quả 3.6 Với bài toán (P), z là một 9. V. Jeyakumar and X.Q. Yang (1995), nghiệm đã biết. Giả sử f khả vi và  -giả Characterizing the solution sets of pseudo- tuyến tính trên tập mở chứa C là tập  - linear programs, Journal of Optimization Theory and Applications 87, 747-755. 170
  8. 10. V. Jeyakumar, G.M. Lee and N. Dinh 16. [16] S. K. Mishra and G. Giorgi (2008), (2004), Lagrange multiplier conditions Invexity and optimization, Springer- Verlag, characterizing optimal solution sets of cone- Berlin Heidelberg. constrained convex programs, Journal of Optimization Theory and Applications 123, 17. J.P. Penot (2003), Characterization of 83-103. solution sets of quasiconvex programs, Journal of Optimization Theory and 11. V. Jeyakumar, G.M. Lee and N. Dinh (2006), Applications} 117, 627-636. Characterizations of solution sets of convex vector minimization problems, European 18. N.G. Rueda (1989), Generalized Convexity in Journal of Operations Research 174, 1380- Nonlinear Programming, Journal of 1395. Information and Optimization Sciences 10, 12. D.S. Kim and T.Q. Son (2011), 395-400. Characterizations of Solution Sets of a class 19. [19] K.Q. Zhao, X. Wan and X.M. Yang of Nonconvex Semi-Infinite Programming (2013), A note on characterizing solution set Problems, J. Nonlinear Convex Anal. 12, of nonsmooth pseudoinvex problem, 429-440. Optimization Letter 7, 117-126. 13. C.S. Lalitha and M. Mehta (2008), Characterizations of solution sets of 20. K.Q. Zhao and L.P. Tang (2012), On mathematical programs in terms of Lagrange characterizing solution set of nondifferentiable multipliers, Optimization 58, 995-1007.  -pseudolinear extremum problem, 14. O.L. Mangasarian (1988), A simple Optimization 61, 239-249. characterization of solution sets of convex 21. Mohan, S. R, Neogy, S. K(1994), On invex programs, Operations Research Letters 7, 21-26. sets and preinvex functions, Journal of 15. O.L. Mangasarian (1965), Pseudoconvex mathematical analysis and applications 189, functions, J. SIAM Control 2, 281-290. 901-908. Ngày nhận bài: 05/10/2016 Biên tập xong: 15/12/2016 Duyệt đăng: 20/12/2016 171

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản