TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 23 (48) - Thaùng 12/2016<br />
<br />
<br />
<br />
Đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu – giả tuyến tính<br />
<br />
Characterizations of solution sets of - pseudolinear optimization problems<br />
<br />
ThS. Đổng Quang Phúc<br />
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh<br />
<br />
Dong Quang Phuc, M.Sc.<br />
Nguyen Huu Canh High School<br />
<br />
Tóm tắt<br />
Bài báo này giới thiệu kết quả về các đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu có hàm mục tiêu thuộc<br />
lớp hàm Lipschitz -giả tuyến tính trên tập hợp -invex. Bài báo cũng thu lại được một số kết quả<br />
trước đây về đặc trưng tập nghiệm đối với lớp hàm giả tuyến tính khả vi.<br />
Từ khóa: đặc trưng tập nghiệm, -giả invex, -giả tuyến tính.<br />
<br />
Abstract<br />
The aim of this paper is to introduce characterizations of solution sets of optimization problems, where<br />
the objective functions are Lipschitz - pseudolinear functions and the feasible sets are - invex sets.<br />
Obtained results cover characterizations of solution sets of some smooth pseudolinear optimization<br />
problems reported in literature.<br />
Keywords: characterization of solution set, -pseudoinvex, -pseudolinear.<br />
<br />
<br />
1. Giới thiệu Mangasarian giới thiệu khái niệm hàm giả<br />
Trong lý thuyết tối ưu, vấn đề đặc lồi, giả lõm và tựa lồi, tựa lõm cài đặt trên<br />
trưng tập nghiệm bài toán tối ưu là một chủ lớp hàm khả vi [15]. Năm 1981, Craven [5]<br />
đề quan trọng. Đối với một bài toán tối ưu giới thiệu khái niệm hàm invex cho lớp<br />
có nhiều nghiệm, nếu biết được đặc trưng hàm khả vi. Theo đó, hàm f khả vi trên tập<br />
tập nghiệm, các phương pháp tìm nghiệm mở X gọi là là invex trên X nếu tồn tại<br />
có thể được đề xuất một cách thích hợp. hàm véc-tơ : X X R n sao cho<br />
Điều này rất thuận lợi cho việc tìm nghiệm<br />
f ( x) f ( y) ( x, y)T f ( y), x, y X .<br />
tối ưu bằng các phương pháp số. Trong bài<br />
báo này chúng tôi quan tâm đến đặc trưng Rõ ràng rằng một hàm lồi khả vi là<br />
tập nghiệm cho một dạng bài toán tối ưu có hàm invex với ( x, y) x y . Đặc điểm<br />
hàm mục tiêu là hàm lồi suy rộng trên một của hàm invex là chúng được đặc trưng bởi<br />
tập lồi suy rộng. tính chất mọi điểm dừng của hàm invex<br />
Đối với lớp hàm lồi suy rộng, đã có trên tập mở X đều là điểm cực tiểu toàn<br />
nhiều lớp hàm khác nhau được giới thiệu cục của f trên X . Tương tự như hàm giả<br />
trong những năm qua. Năm 1965, lồi và tựa lồi khả vi, Hanson [8], năm<br />
<br />
164<br />
1981, đã giới thiệu khái niệm mở rộng của [10], [1], [11], [13], [2], [12], [3].<br />
hàm tựa lồi và giả lồi mà sau này được gọi Theo mạch nghiên cứu đó, mục đích<br />
hàm khả vi giả invex và tựa invex [16] trên của bài báo này là thiết lập đặc trưng tập<br />
tập mở X R n . Năm 1984, Chew và nghiệm của một dạng bài toán không lồi<br />
Choo quan tâm đến lớp hàm giả tuyến tính với các giả thiết -invex cài đặt cho tập<br />
[7], đó là lớp hàm khả vi vừa giả lồi và giả ràng buộc và tính chất hàm -giả tuyến<br />
lõm (tức là f và ( f ) đều giả lồi). Năm tính cài đặt cho hàm mục tiêu thông qua<br />
1989, Rueda [18] đã giới thiệu hàm khả vi việc sử dụng đạo hàm Clarke. Kết quả này<br />
- giả tuyến tính từ khái niệm giả invex. là sự mở rộng kết quả trong bài báo số [9].<br />
Các định nghĩa về hàm lồi suy rộng nêu Chúng tôi cũng chú ý rằng gần đây, đặc<br />
trên đều được định nghĩa cho hàm khả vi. trưng tập nghiệm cho bài toán tối ưu với<br />
Dựa vào đạo hàm suy rộng theo nghĩa của hàm mục tiêu Lipschitz địa phương, giả<br />
Clarke, một số khái niệm hàm lồi suy rộng invex trên một tập mở invex được giới<br />
từ lớp hàm khả vi được mở rộng cho lớp thiệu trong bài báo [19]. Đặc biệt, đặc<br />
hàm Lipschitz địa phương. Khái niệm hàm trưng tập nghiệm cho bài toán tối ưu có<br />
invex xác lập cho lớp hàm Lipschitz địa hàm mục tiêu là -giả tuyến tính trên tập<br />
phương được gọi là c-invex được giới -invex được giới thiệu trong bài báo [20]<br />
thiệu. Khi mở rộng như thế, đặc trưng của thông qua dưới vi phân Clarke.<br />
hàm Lipschitz c-invex cũng được đặc trưng Bài báo được tổ chức như sau: Phần<br />
qua tính chất mọi điểm dừng đều là cực tiếp theo được dành để giới thiệu các kiến<br />
tiểu toàn cục. thức cơ bản liên quan đến định nghĩa của<br />
Lịch sử của vấn đề đặc trưng tập một số lớp hàm lồi suy rộng và một số kết<br />
nghiệm có thể sơ lược qua như sau: Năm quả cần thiết cho các chứng minh của phần<br />
1988, Mangasarian [14] lần đầu tiên giới chính của bài báo. Kết quả chính của bài báo<br />
thiệu các công thức đặc trưng tập nghiệm liên quan đến đặc trưng tập nghiệm và được<br />
của bài toán lồi với ràng buộc tập lồi cho giới thiệu trong phần cuối cùng của bài báo.<br />
bài toán. Ví dụ minh họa cũng được giới thiệu.<br />
Min f ( x) 2. Kiến thức cơ bản<br />
x C Cho hàm f : R n R Lipschitz địa<br />
Kể từ đó đến nay đã có nhiều công phương tại x R n và vectơ bất kì d R n .<br />
trình liên quan đến chủ đề này được công Theo định nghĩa của Clarke [6], đạo hàm<br />
bố. Các bài báo quan tâm đến chủ đề này là suy rộng của hàm f tại x theo hướng d<br />
khá phong phú. Từ bài toán lồi với ràng<br />
và dưới vi phân của hàm f tại x được<br />
buộc tập, đến bài toán lồi có ràng buộc bất<br />
đẳng thức lồi, mở rộng ra với một hệ vô định nghĩa tương ứng bởi<br />
hạn các ràng buộc lồi. Tiếp đó đặc trưng f ( y td ) f ( y )<br />
f c ( x; d ) lim sup<br />
tập nghiệp của bài toán tối ưu véc-tơ và y x t<br />
t 0<br />
một số lớp bài toán tối ưu không lồi cũng và<br />
f ( x) u R n | f c ( x, d ) u, d , d R n .<br />
được xem xét. Có thể liệt kê một số công c<br />
trình tiêu biểu về đặc trưng tập nghiệm<br />
trong những năm qua như: [4], [9], [17], Đạo hàm theo hướng d của hàm f<br />
<br />
165<br />
<br />
<br />
tại điểm x được định nghĩa bởi giới hạn f (x) f (y) (x, y)T f (y) 0, x, y X ,<br />
sau đây (nếu giới hạn vế phải tồn tại) iii) Hàm f được gọi là - giả tuyến<br />
f (x td) f (x)<br />
f '(x;d) lim . tính nếu f và ( f ) là - giả invex với<br />
t0 t<br />
cùng một hàm .<br />
Hàm f được gọi là chính quy tại<br />
Để chuẩn bị cho kết quả chính nói<br />
x Rn nếu f ' ( x; d ) tồn tại và trong phần tiếp theo, chúng tôi nhắc lại<br />
f ' ( x; d ) f c ( x; d ) , với mọi d R n . định nghĩa về hàm Lipschitz -giả tuyến<br />
Hàm f được gọi là chính quy trên tập C tính dựa trên khái niệm -invex. Trước hết<br />
nếu f chính quy tại mọi điểm thuộc C . chúng tôi giới thiệu khái niệm tập -invex<br />
(có tài liệu chỉ gọi là tập invex).<br />
Bổ đề 2.1 Cho hàm f : R n R là<br />
Định nghĩa 2.3 Cho tập khác rỗng<br />
Lipschitz địa phương tại x R n . Khi đó: X R n và ánh xạ : X X R n . Tập<br />
i) f ( x; rd ) rf ( x; d ), r 0 ,<br />
c c<br />
X được gọi là - invex nếu với mọi<br />
ii) f c (x; d) (f )c (x;d) , x, y X , với mọi [0;1] , ta có<br />
iii) c (f )( x) c f ( x). y ( x, y) X .<br />
Chứng minh: Từ Định nghĩa 2.3, nếu<br />
i) Với mọi r 0 , ta có ( x, y) x y thì X là tập lồi (Ta nói<br />
f ( y trd ) f ( y) f ( y trd ) f ( y)<br />
f c ( x; rd ) lim sup<br />
y x t<br />
r lim sup<br />
yx tr<br />
rf c ( x; d ). tính chất -invex là tính chất lồi suy<br />
t 0 t 0<br />
rộng). Định nghĩa sau đây là sự mở rộng<br />
ii) Xem [6, mệnh đề 2.1.1], kết quả c).<br />
khái niệm của hàm -invex khả vi.<br />
iii) Xem [6, mệnh đề 2.3.1].<br />
Chú ý: Ta có (f ) '(x;d) f '(x;d) . Định nghĩa 2.4 Cho X R n là tập<br />
Thật vậy - invex và hàm f : R n R là Lipschitz<br />
(f)(x td) (f)(x) f(x td) f(x) địa phương trên R n .<br />
(f)'(x;d) lim lim f '(x;d)<br />
t0 t t0 t i) Hàm f được gọi là - giả invex<br />
Định nghĩa 2.1 Hàm h : R n R trên X nếu với mọi x, y X , ta có<br />
được gọi là lẻ dưới, nếu<br />
f c ( y; ( x, y)) 0 f ( x) f ( y)<br />
h( x) h( x) 0, x R n \ 0.<br />
hay<br />
Định nghĩa 2.2 Cho f : X R là<br />
f ( x) f ( y) f c ( y; ( x, y)) 0 ,<br />
hàm khả vi trên tập mở X R . n<br />
ii) Hàm f được gọi là - giả tuyến<br />
i) Hàm f được gọi là - giả invex<br />
tính trên X nếu các hàm f và ( f ) đều<br />
nếu tồn tại hàm véc-tơ : X X R n<br />
là - giả invex trên X .<br />
sao cho<br />
Trong Định nghĩa 2.4, nếu<br />
(x, y)T f (y) 0 f (x) f (y), x, y X , ( x, y) x y thì f là hàm Lipschitz<br />
ii) Hàm f được gọi là - tựa invex giả lồi.<br />
nếu tồn tại hàm véc-tơ : X X R n Nhận xét 2.1<br />
sao cho Từ Định nghĩa 2.4, ta thấy rằng hàm<br />
<br />
166<br />
f là - giả invex trên X nếu với mọi Ký hiệu S là tập nghiệm của (P) và<br />
x, y X , tồn tại c f ( y) sao cho giả sử rằng S . Trong các định lý về<br />
đặc trưng tập nghiệm dưới đây, giả sử rằng<br />
, ( x, y) 0 f ( x) f ( y). z là một nghiệm đã biết trước của bài<br />
Để thu được kết quả về đặc trưng tập toán.<br />
nghiệm cho trường hợp hàm mục tiêu Bổ đề 3.1 Với bài toán (P), z là một<br />
Lipschitz là - giả tuyến tính, chúng tôi cần nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi<br />
đến một điều kiện và các bổ đề sau đây: y C , đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo<br />
Cho X R n là tập - invex với mọi hướng. Khi đó, nếu hàm f chính quy<br />
ánh xạ : X X R n . Điều kiện sau tại z thì với mọi<br />
đây được ký hiệu là điều kiện (C) (Xem x C , ta có<br />
[21]): f c ( z; ( x, z)) 0 f ( x) f ( z ).<br />
(C) : Với mọi x, y X , với mọi Chứng minh: Nếu f là -giả tuyến<br />
0;1, ta có tính trên C thì f và ( f ) là - giả<br />
(y, y (x, y)) (x, y), invex. Khi đó, với mọi x C , ta có<br />
<br />
(x, y (x, y)) (1 )(x, y). f c ( z; ( x, z )) 0 f ( x) f ( z )<br />
<br />
3. Đặc trưng tập nghiệm tối ưu của ( f ) ( z; ( x, z )) 0 ( f )( x) ( f )( z )<br />
c<br />
<br />
bài toán - giả tuyến tính Do f chính quy tại z nên<br />
Trong phần này, chúng tôi quan tâm<br />
<br />
f (z;η(x,z)) 0 f(x) f(z),<br />
c<br />
đến đặc trưng tập nghiệm của lớp hàm c (3.1)<br />
Lipschitz địa phương trên R n có cài đặt f (z;η(x,z)) 0 f(x) f(z).<br />
<br />
thêm giả thiết - giả tuyến tính. Cần nhắc Vì<br />
lại rằng tập nghiệm của bài toán tối ưu giả vậy f c ( z; ( x, z )) 0 f ( x) f ( z ) .<br />
tuyến tính trong trường hợp hàm khả vi đã Ngược lại, với mỗi x C , giả sử<br />
được nghiên cứu và giới thiệu trong bài f ( x) f ( z ) , ta cần chứng minh<br />
báo [9], và được tổng hợp giới thiệu lại<br />
trong tài liệu [16]. Các định lý sau đây mô f c ( z; ( x, z )) 0 . Với mỗi 0;1 đặt<br />
tả đặc trưng tập nghiệm cho bài toán (P) y * z ( x, z ) C . Ta sẽ chứng minh<br />
với hàm mục tiêu là hàm Lipschitz và thỏa f ( y * ) f ( z) .<br />
một tính chất lồi suy rộng. Đồng thời tập<br />
C cũng là tập lồi suy rộng. Giả sử f ( y * ) f ( z ) tức là,<br />
Xét bài toán sau đây: f ( x) f ( z ) f ( y * ) . (3.2)<br />
(P) Min f (x) Do f là - giả invex nên từ i) của<br />
x C, Định nghĩa 2.4 ta có<br />
trong đó C R n là tập -invex và f c ( y * ; ( z, y * )) 0 .<br />
(3.3)<br />
f là hàm Lipschitz và -giả tuyến tính Do điều kiện (C) được thỏa mãn nên<br />
trên C , trong đó hàm : C C R n thỏa <br />
( z, y * ) ( x, y * ) . Từ (3.3) và bổ<br />
mãn điều kiện (C). 1 <br />
<br />
<br />
167<br />
<br />
<br />
đề 2.1 ta có điều kiện:<br />
c * f ( x) f ( z) p( x, z). f c ( z; ( x, z)).<br />
f c ( y * ; ( x, y * )) f ( y ; ( x, y * )) 0<br />
1 1 Chứng minh: Ta xét 2 trường hợp sau:<br />
Suy ra<br />
Trường hợp 1: Nếu f c ( z; ( x, z )) 0 ,<br />
f c ( y * ; ( x, y * )) 0 . (3.4)<br />
với mọi x C thì do Bổ đề 3.1 ta có<br />
Nếu ( x, y ) 0 thì f ( y ; ( x, y * )) 0<br />
* c *<br />
f ( x) f ( z ) . Khi đó, có thể chọn<br />
(mâu thuẫn với (3.4)) nên ( x, y * ) 0 . p( x, z) 0 tùy ý.<br />
c<br />
Do f ( y ;.) lẻ dưới nên Trường hợp 2: Nếu f c ( z; ( x, z )) 0 ,<br />
*<br />
<br />
<br />
f c ( y * ; ( x, y * )) f c ( y * ; ( x, y * )) 0 . với mọi x C thì do Bổ đề 3.1 ta<br />
có f ( x) f ( z) . Chọn hàm p : C C R<br />
Vậy ta có f c ( y * ; ( x, y * )) 0 . Do<br />
sao cho<br />
f là -giả invex nên f ( x) f ( y * )<br />
f ( x) f ( z )<br />
(mâu thuẫn với (3.2)). p ( x, z ) . (3.6)<br />
f c ( z; ( x, z ))<br />
Giả sử f ( y * ) f ( z ) , tức là<br />
Ta sẽ chứng tỏ p( x, z ) 0 , với<br />
f ( y * ) f ( z ) f ( x) (3.5)<br />
mọi x C .<br />
Hay ( f )( z ) ( f )( y ) . *<br />
Giả sử f ( x) f ( z ) . Do f là -giả<br />
Do ( f ) là -giả invex nên invex nên<br />
( f ) ( y ; ( z, y )) 0 .<br />
c * *<br />
f c ( z; ( x, z )) 0 . (3.7)<br />
Kết hợp điều kiện (C) và chú ý rằng Từ (3.6), ta được p( x, z ) 0 , với<br />
nếu f ( y ;.) lẻ dưới thì ( f ) ( y ;.)<br />
c * c *<br />
mọi x C .<br />
cũng lẻ dưới. Bằng lập luận như trên, ta sẽ Giả sử f ( x) f ( z ) . Khi đó<br />
nhận được f ( y * ) f ( x) , mâu thuẫn với ( f )( x) ( f )( z) . Vì ( f ) là - giả<br />
(3.5). invex nên<br />
Tóm lại, ta có f ( y * ) f ( z ) hay ( f ) c ( z; ( x, z )) 0 .<br />
f ( z ( x, z)) f ( z) . Khi đó, do f Từ Bổ đề 2.1, ta nhận<br />
chính quy tại z nên được f ( z; ( x, z )) 0 .<br />
c<br />
<br />
f ( z ( x, z)) f ( z) Nếu ( x, z ) 0 thì f c ( z; ( x, z )) 0<br />
f c ( z; ( x, z)) f ' ( z; ( x, z)) lim 0, 0;1.<br />
0 (mâu thuẫn với (3.7)) nên ( x, z ) 0 . Khi<br />
Vậy f ( x) f ( z ) dẫn đến<br />
đó, do f c (z;.) lẻ dưới nên<br />
f ( z; ( x, z )) 0 .<br />
c<br />
<br />
f c ( z; ( x, z)) f c ( z; ( x, z)) 0<br />
Bổ đề 3.2 Với bài toán (P), z là một<br />
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi Từ (3.6), ta được p( x, z ) 0 , với<br />
y C , đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi x C . Tóm lại, bổ đề được chứng<br />
minh. <br />
mọi hướng và hàm f chính quy tại z . Khi<br />
Chú ý rằng các phiên bản của hai bổ<br />
đó với mỗi x C tồn tại hàm đề trên đây đã được chứng minh trong bài<br />
p : C C R sao cho p( x, z ) 0 thỏa báo [20] bằng cách sử dụng dưới vi phân<br />
<br />
168<br />
Clarke. Ở đây, chúng tôi trực tiếp dùng đạo f c ( z; ( x, z )) 0 . Do Bổ đề 3.2, tồn tại<br />
hàm Clarke.<br />
p( x, z ) 0 sao cho<br />
Định lý 3.1 Với bài toán (P), z là một<br />
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y C , f ( x) f ( z) p( x, z). f c ( z; ( x, z)) f ( z) .<br />
đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi Vậy f ( x) f ( z ) . Do đó, x S , tức<br />
<br />
hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó là S 2 S . Vậy S S 2 . <br />
<br />
<br />
<br />
S S1 , với S1 x C | f ( z; ( x, z )) 0 .<br />
c<br />
Tương tự như Nhận xét 3.1, trong định<br />
Chứng minh: Do Bổ đề 3.1, ta có lý 3.2, nếu thay giả thiết f chính quy tại<br />
<br />
x S f ( x) f ( z ) f c ( z; ( x, z )) 0 x S1 z bởi giả thiết f chính quy trên C ta có<br />
Nhận xét 3.1 Trong Định lý 3.1, nếu hệ quả sau:<br />
thay giả thiết f chính quy tại z bởi giả Hệ quả 3.3 Với bài toán (P), z là một<br />
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y C ,<br />
thiết f chính quy trên C thì<br />
đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi hướng<br />
f c ( x; ( z, x)) f ' ( x; ( z, x)) . Ta thu<br />
và hàm f chính quy trên C . Khi đó,<br />
được hệ quả sau đây.<br />
<br />
~ ~<br />
Hệ quả 3.1 Với bài toán (P), z là một S S 2 , với S 2 x C | f ' ( x; ( z, x)) 0 .<br />
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y C , Hệ quả sau đây được suy ra từ định lý<br />
đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi hướng nêu trên khi f được giả sử là khả vi trên<br />
và hàm f chính quy tại trên C . Khi đó tập mở C .<br />
Hệ quả 3.4 Với bài toán (P), giả sử f<br />
~ ~<br />
S S1 , với S1 x C | f ( x; ( z, x)) 0 .<br />
'<br />
là khả vi và -giả tuyến tính trên tập mở<br />
Hệ quả 3.2 Với bài toán (P), z là một<br />
chứa C là tập -invex, với z là một<br />
nghiệm đã biết. Giả sử f khả vi và - giả<br />
~ <br />
tuyến tính trên tập mở chứa C là tập - nghiệm đã biết. Khi đó S S 2' S 2' , với<br />
~ <br />
~<br />
invex. Khi đó S S1' S1' , với S' x C | f ( x), ( z, x) 0,<br />
~ 2<br />
S' x C | f ( x), ( z, x) 0, <br />
1 S ' x C | f ( z ), ( x, z ) 0.<br />
2<br />
S' x C | f ( z ), ( x, z ) 0. Định lý 3.3 Với bài toán (P), z là một<br />
1<br />
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y C ,<br />
Định lý 3.2 Với bài toán (P), z là một<br />
đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi hướng<br />
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi y C ,<br />
<br />
đạo hàm f c ( y;.) là lẻ dưới theo mọi và hàm f chính quy tại z . Khi đó S S 3 ,<br />
hướng và hàm f chính quy tại z . Khi đó <br />
với S3 x C | f c ( z; ( x, z )) f c ( x; ( z, x)).<br />
<br />
S S 2 , với S 2 x C | f c ( z; ( x, z )) 0. Chứng minh : Lấy x S , do Định lý<br />
Chứng minh: Do Định lý 3.1 nên 3.1 ta có f c ( z; ( x, z)) f c ( x; ( z, x)) 0 ,<br />
<br />
tức là f c ( z; ( x, z )) f c ( x; ( z, x)) . Suy<br />
S S 2 . Lấy x S2 thì x C và<br />
<br />
169<br />
<br />
<br />
~ <br />
ra x S 3 , tức là S S 3 . invex. Khi đó, S S3' S3' , với<br />
~<br />
Ngược lại, lấy x S 3 . Ta có x C và S ' x C | f ( x), ( z, x) f ( z ), ( x, z ) ,<br />
3<br />
f c ( z; ( x, z )) f c ( x; ( z, x)) . (3.8) <br />
<br />
S 3' x C | f ( z ), ( x, z ) f ( x), ( z, x) .<br />
Ta cần chứng minh x S . Giả sử<br />
x S . Khi đó, Các Hệ quả 3.2, 3.4 và 3.6 chính là các<br />
nội dung đã được chứng minh trực tiếp<br />
f ( z ) f ( x) . (3.9)<br />
trong bài báo số [9] tại các Định lý 3.1, Hệ<br />
Vì f là -giả invex, theo Định nghĩa quả 3.1 và Định lý 3.3 và được giới thiệu<br />
2.4, ta được lại trong tài liệu số [16] tại các Định lý<br />
f c ( x; ( z, x)) 0 . (3.10) 5.18, Hệ quả 5.19, Định lý 5.20.<br />
Từ (3.8) và (3.10) suy ra<br />
TÀI LIỆU THAM KHẢO<br />
f c ( z; ( x, z )) 0<br />
Mặt khác, do Bổ đề 3.2, tồn tại 1. N.Dinh, V. Jeyakumar and G.M. Lee (2006),<br />
Lagrange multiplier characterizations of<br />
p( x, z ) 0 sao cho solution sets of constrained pseudolinear<br />
f ( x) f ( z) p( x, z). f c ( z; ( x, z)) f ( z) . optimization problems, Optimization 55,<br />
241-250.<br />
Điều này mâu thuẫn với (3.9). Do đó<br />
2. T.Q. Son and N. Dinh (2008),<br />
x S , tức là S 3 S . Characterizations of optimal solution sets of<br />
convex infinite programs, TOP 16,147-163.<br />
<br />
Vậy S S 3 . 3. T.Q. Son and D.S. Kim (2014), A new<br />
approach to characterize the solution set of a<br />
Trong định lý 3.3, bây giờ chúng ta pseudoconvex programming problem, J.<br />
thay giả thiết f chính quy tại z bởi giả Comput. Appl. Math. 261, 333-340.<br />
thiết f chính quy trên C thì ta có hệ quả 4. J.V. Burke and M. Ferris (1991),<br />
Characterization of solution sets of convex<br />
sau đây: programs, Operations Research Letters 10,<br />
Hệ quả 3.5 Với bài toán (P), z là một 57-60.<br />
nghiệm đã biết. Giả sử rằng với mỗi 5. B.D. Craven (1981), Invex functions and<br />
y C , đạo hàm f ( y;.) là lẻ dưới theo<br />
c<br />
constrained local minima, Bulletin of<br />
Australian Mathematical Society 24, 357-366.<br />
mọi hướng và hàm f chính quy trên C .<br />
~ 6. Frank H. Clarke (1983), Optimization and<br />
Khi đó, S S 3 , với Nonsmooth Analysis, Reprint, New York.<br />
<br />
<br />
~ 7. K.L. Chew and E.U. Choo (1984),<br />
S3 x C | f ' ( z; ( x, z )) f ' ( x; ( z, x)) . Pseudolinear and efficiency, Math.<br />
Programming 28, 226-239.<br />
Hệ quả sau đây cũng được suy ra từ<br />
định lý nêu trên khi f được giả sử là khả 8. M.A. Hanson (1981), On Sufficiency of Kuhn-<br />
Tucker conditions, Journal of Mathematical<br />
vi trên tập mở C . Analysis Applications 80, 545-550.<br />
Hệ quả 3.6 Với bài toán (P), z là một 9. V. Jeyakumar and X.Q. Yang (1995),<br />
nghiệm đã biết. Giả sử f khả vi và -giả Characterizing the solution sets of pseudo-<br />
tuyến tính trên tập mở chứa C là tập - linear programs, Journal of Optimization<br />
Theory and Applications 87, 747-755.<br />
<br />
170<br />
10. V. Jeyakumar, G.M. Lee and N. Dinh 16. [16] S. K. Mishra and G. Giorgi (2008),<br />
(2004), Lagrange multiplier conditions Invexity and optimization, Springer- Verlag,<br />
characterizing optimal solution sets of cone- Berlin Heidelberg.<br />
constrained convex programs, Journal of<br />
Optimization Theory and Applications 123, 17. J.P. Penot (2003), Characterization of<br />
83-103. solution sets of quasiconvex programs,<br />
Journal of Optimization Theory and<br />
11. V. Jeyakumar, G.M. Lee and N. Dinh (2006),<br />
Applications} 117, 627-636.<br />
Characterizations of solution sets of convex<br />
vector minimization problems, European 18. N.G. Rueda (1989), Generalized Convexity in<br />
Journal of Operations Research 174, 1380- Nonlinear Programming, Journal of<br />
1395. Information and Optimization Sciences 10,<br />
12. D.S. Kim and T.Q. Son (2011), 395-400.<br />
Characterizations of Solution Sets of a class 19. [19] K.Q. Zhao, X. Wan and X.M. Yang<br />
of Nonconvex Semi-Infinite Programming (2013), A note on characterizing solution set<br />
Problems, J. Nonlinear Convex Anal. 12, of nonsmooth pseudoinvex problem,<br />
429-440.<br />
Optimization Letter 7, 117-126.<br />
13. C.S. Lalitha and M. Mehta (2008),<br />
Characterizations of solution sets of 20. K.Q. Zhao and L.P. Tang (2012), On<br />
mathematical programs in terms of Lagrange characterizing solution set of nondifferentiable<br />
multipliers, Optimization 58, 995-1007. -pseudolinear extremum problem,<br />
14. O.L. Mangasarian (1988), A simple Optimization 61, 239-249.<br />
characterization of solution sets of convex 21. Mohan, S. R, Neogy, S. K(1994), On invex<br />
programs, Operations Research Letters 7, 21-26. sets and preinvex functions, Journal of<br />
15. O.L. Mangasarian (1965), Pseudoconvex mathematical analysis and applications 189,<br />
functions, J. SIAM Control 2, 281-290. 901-908.<br />
<br />
<br />
Ngày nhận bài: 05/10/2016 Biên tập xong: 15/12/2016 Duyệt đăng: 20/12/2016<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
171<br />