Đại số 10: Chương 5 - Thống kê

Chia sẻ: Nguyen Van Thuan Thuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 5 "Thống kê" thuộc chương trình Đại số 10 cung cấp cho các bạn bảng phân bố tần số, tần suất, bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp, số trung bình cộng, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số 10: Chương 5 - Thống kê

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa ĐẠI SỐ 10 Chương 5. Thống Kê www.saosangsong.com.vn
Chương 5.Thống Kê 2 § 1. Bảng phân bố tần số - tần suất. Bảng phân bố tần sô – tần suất ghép lớp A. Tóm tắt giáo khoa 1.Khái niệm cơ bản : Thống kê là khoa học về các phương pháp thu thập,tổ chức,trình bày,phân tích và xử lý dữ liệu Một tập hợp hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu.Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu 2. Bảng phân bố tần số - tấn suất Số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá trị đó Ta thường trình bày mẫu số liệu trong một bảng gồm 2 cột : giá trị và tần số gọi là bảng phân bố tần số Tần suất fi của giá trị xi tà tỉ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N n fi = i N Người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm Nếu trình bày mẫu số liệu gồm 3 cột : giá trị , tần số , tần suất thì ta có bảng phân bố tần số- tần suất Ví dụ : Điều tra số con trong 30 gia đình là 0, 8 , 0 , 2, 2 ,2, 4 , 5 ,3 , 5 , 2 . 7 , 3 , 4 , 6 , 5 , 2 , 1 ,1,2,5,1,3,4,3,6,3,2,4,6 Dấu hiệu là số con trong một gia đình, kích thước mẫu là 30 Ta lập bảng phân bố tần số - tấn suất Số con xi của 1 gia đình Tần số (ni ) Tần suất ( fi ) 0 2 6,6% 1 3 10% 2 7 23,3% 3 5 16,6% 4 4 13,3% 5 4 13,3% 6 3 10% 7 1 3,3% 8 1 3,3% N = 30 3.Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Khi trong một mẫu số liệu có rất nhiều số liệu,ta thực hiện việc ghép những số liệu thống kê vào một lớp [xi , xi+1) x +x Giá trị xi0 = i i +1 là giá trị trung tâm của lớp thứ i . 2 Tần số ni của lớp thứ i là số dữ liệu trong lớp đó Bảng của mẫu số liệu gọi là bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Ví dụ : Điều tra chiều cao của 30 học sinh nam trong một trường THPT ,ta thu được mẫu số liệu sau ( đơn vị cm ): 145 , 147 , 1,48 ,148 , 149 , 150 , 150 , 150, 152 , 152 152 , 152 , 155, 155 ,155, 156 , 158 , 158 , 159 , 160 160 , 161 ,162 , 163 , 164 , 165 , 167 , 170 , 171 , 173 Ta chia các số liệu trên thành các lớp theo các khoảng có độ dài bằng nhau như: [145;150) ; [150;155) ; [155 ; 160) ; [160; 165) ; [165; 170) ; [170; 175) Ta có bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp sau : www.saosangsong.com.vn 2 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 3 Các lớp số đo Tần số Tần suất [145; 150) 5 16.6% [150; 155) 7 23,3% [155 ; 160) 7 23,3% [160; 165) 6 20% [165; 170) 2 6,6% [170;175) 3 10% N = 30 B. Giải toán : Ví dụ 1 : Cho bảng số liệu thống kê năng suất lúa hè thu (tạ/ha)của 30 tỉnh như sau : 25 30 25 30 35 35 40 40 45 25 30 30 40 25 45 45 35 25 35 40 35 35 40 40 30 35 35 35 40 30 a) Hãy lập bảng phân phối thực nghịêm tần số - tần suất rời rạc b) Nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê Giải a) Bảng phấn phối thực nghiệm tần số – tần suất rời rạc Năng suất lúa xi Tần số xi Tần suất fi 25 5 16,6% 30 6 20% 35 9 30% \ 40 7 23.3% 45 3 10% N = 30 b) Ta thấy năng suất 35 tạ/ha có tấn suất cao nhất 30% nên ta nói số liệu thống kê có xu hướng tập trung vào 35 tạ/ha Ví dụ 2 : Số điểm toán của 50 học sinh lớp 10 được thống kê như sau : 5, 3, 6, 3, 5, 7, 3, 7 2, 2, 10, 4, 5, 6, 2, 6, 7, 6, 7, 6, 8, 1, 9, 8, 7, 8, 4, 10, 4, 10, 2, 7, 7, 3, 6, 1, 7, 4, 3, 4, 6, 6, 6, 4, 5, 1, 6, 5, 4, 3. a) Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp với các lớp sau : [1,2] ; [3,4] ; [5,6] ; [7,8 ] ; [ 9,10] b) Nhận xét về xu hướng tập trung của số liệu thống kê Giải a) Bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp Các lớp điểm số Tần số Tần suất fi [1,2] 7 14% [3,4] 13 26% \ [5.6] 15 30% [7,8] 11 22% [9,10] 4 8% N = 50 b) Số liệu thống kê có xu hướng tập trung vào khoảng [5,6] www.saosangsong.com.vn 3 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 4 Ví dụ 3 :. Chiều cao (đơn vị cm) của 40 học sinh được thống kê như sau : 138 164 150 132 144 125 148 157 146 158 140 147 186 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 160 145 135 142 150 156 145 128 a) Hãy lập bảng phân phối tần suất ghép lớp với các lớp sau : [118;128) [128;138) [138;148) v.v… b) Nhận xét về xu hướng tập trung của số liệu thống kê Giải a) Bảng phân phối tần số ghép lớp Các lớp chiều cao Tần số Tần suất fi [118;128) 3 7,5% [128;138) 5 12,5% [138;148) 15 37,5% [148;158) 8 20% [158;168) 5 12,5% [168;178) 3 7,5% [178,188) 1 2,5% N = 40 b) Chiều cao của 40 học sinh có xu hướng tập trung trong 2 khoảng từ 138cm-148cm C. Bài tập rèn luyện : 5.1. Sản lượng thủy sản năm 2000 (đơn vị 10 tấn) của 30 tỉnh thành : 770 1162 530 50 290 1254 1954 562 84 135 420 843 395 440 25 92 35 322 870 1765 52 305 164 210 564 1910 28 635 96 76 Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp ,với các lớp sau: [25; 325} [325; 625) [625; 925) [925 ; 1225) [1225; 1525) [1525; 1825) [ 1825; 2125) 5.2. Thống kê số con trong mỗi gia đình của 60 gia đình trong một quận : 2 1 4 2 3 0 2 3 4 2 2 5 1 2 2 3 3 5 7 2 3 4 4 2 1 2 3 2 2 4 6 5 3 4 4 7 2 1 1 5 6 3 5 2 2 3 4 3 5 4 3 3 5 7 2 1 3 4 6 2 Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số ,tần suất 5.3. Điểm kiểm tra toán của 50 học sinh được thống kê như sau : 5 4 8 6 6 4 3 6 7 3 7 6 4 3 4 3 8 6 3 6 4 6 6 7 9 4 5 6 3 4 5 4 4 5 6 8 2 6 6 3 7 5 2 6 2 7 5 6 6 4 www.saosangsong.com.vn 4 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 5 Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất 5.4. Người ta thảy 50 lần 3 con súc sắc và mỗi lần ghi tổng số các số của 3 mặt trên ,ta thu thập được : 13 6 13 8 10 7 11 12 13 9 15 11 12 14 9 11 13 12 7 15 10 5 9 16 10 9 9 18 12 9 12 8 10 12 8 15 18 12 12 9 10 6 15 8 11 15 13 14 10 8 Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất 5.5.. Trong đợt kiểm tra dây chuyền sản suất của một nhà máy sản suất dồ hộp,người ta cân 25 hộp trong dây chuyền sản suất (theo gam): 101 95 97 101 99 103 93 97 106 100 97 104 95 105 103 97 100 106 101 92 104 102 103 94 99 Hãy lập bảng phân phối tần suất ghép lớp ,với cá lớp sau : [92; 95) [95; 98) [98; 101) [101;104) [104;107) C.Hướng dẫn giải : 5.1 Bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớpcủa sản lượng thủy sản: Các lớp sản lượng Tần số Tần suất [25; 325) 15 50% [325; 625) 6 20% [625; 925) 4 13,4% [925; 1225) 1 3,3% [1225; 1525) 1 3,3% [1525; 1825) 1 3,3% [1825; 2125) 2 6,7% 30 5.2. Bảng phân phối thực nghiệm tần số-tần suất số con trong 60 gia đình Số con 1 gia đình Tần số Tần suất 0 1 1,6% 1 6 10% 2 17 28,3% 3 13 21,7% 4 10 16,7% 5 7 11,7% 6 3 5% 7 3 5% 60 5.3. Bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất điểm toán của 50 học sinh Điểm toán Tần số Tần suất 2 3 6% 3 7 14% 4 10 20% 5 6 12% 6 15 30% 7 5 10% 8 3 6% 9 1 2% www.saosangsong.com.vn 5 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 6 50 5.4. Bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất của tổng các mặt trên của 3 con súc sắc sau 50 lần thảy Tổng số 3 mặt Tần số Tần suất 5 1 2% 6 2 4% 7 2 4% 8 5 10% 9 7 14% 10 6 12% 11 4 8% 12 8 16% 13 5 10% 14 2 4% 15 5 10% 16 1 2% 18 2 4% 50 5.5. Bảng phân phối tần suất ghép lớp của trọng lượng 25 hộp (gam) Các lớp trọng Tấn số Tần suất lượng [92; 95) 3 12% [95; 98) 6 24% [98; 101) 4 16% [101; 104) 7 28% [104; 107) 5 20% 25 §2.Biểu đồ A. Tóm tắt giáo khoa Để có được những hình ảnh trực quan về tình hình phân bố của các số liệu thống kê,người ta mô tả các bảng phân phối thực nghiệm tần số - tần suất bằng các biểu đồ,đồ thị a) Biểu đồ tần số - tần suất hình cột Vẽ hai đường thẳng vuông góc : trên trục nằm ngang ta ghi các khoảng xác định lớp ghép,trên trục đứng ta ghi tần số hay tần suất.Vẽ các hình chữ nhật có đáy bằng khoảng ghép lớp và chiều cao bằng tần số hay tần suất của lớp tương ứng. Ví dụ : Xem bảng phân phối thực nghiệm trong ví dụ 2 Vẽ biểu đồ tần số hình cột 16 14 b) Đường gấp khúc tần suất 12 Ta cũng có thể mô tả bảng phân phối thực nghiệm 10 bằng đường gấp khúc : Trên mặt phẳng tọa độ vẽ 8 các điểm (x i0 ;fi ) với i = 1,2,3… 6 4 Rồi vẽ các đoạn thẳng nối các điểm này với nhau 2 ta được đường gấp khúc.Đường gấp khúc này gọi 0 là đường gấp khúc tần suất www.saosangsong.com.vn 6 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 7 Các lớp chiều cao xi0 Tần số Tần suất fi [118;128) 123 3 7,5% [128;138) 133 5 12,5% [138;148) 143 15 37,5% [148;158) 153 8 20% [158;168) 163 5 12,5% [168;178) 173 3 7,5% [178,188) 183 1 2,5% N = 40 37,5 20 14,5 12,5 7,5 2,5 123 133 143 153 163 173 183 3. Biểu đồ hình quạt Hình tròn được chia thành những hình quạt.Mỗi lớp được tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của nhóm đó . Hình thu được gọi là biểu đồ hình quạt Ví dụ 1: Diện tích các lục địa trên thế giới được phân chia như sau : Au Chau Lục địa Diện tích (triệu km2) Bac My Chau Á Châu 26,9 A Chau Âu Châu 4,9 Bắc Mỹ Châu 24,1 Nam Mỹ Châu 17,9 Nam My Chau Nga 20,5 Uc Chau Phi Châu 10,1 Úc Châu 8,5 Nga Phi Chau Tổng cộng 133,3 Vẽ biểu dồ hình quạt Góc ở tâm của hình quạt biểu diễn diện tích Á Châu : 360o × 26,9 α1 = = 72o 133,3 www.saosangsong.com.vn 7 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 8 Ví dụ 2 : Người ta phỏng vấn sở thích của 28 học sinh trong lớp 9 Sở thích Thể thao Truyền Đọc Âm Tin N hình sách nhạc học Tần số 7 8 3 4 6 28 Vẽ biểu đồ hình tròn mà mỗi lớp tương ứng với hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của sở thích Giải Sở thích Tần số Tần suất Góc hình quạt Thể thao 7 25% 90o Truyền hình 8 28,6% 103o Đọc sách 3 10,7% 39o Âm nhạc 4 14,3% 51o Tin học 6 21,4% 77o N = 28 Góc ở tâm của hình quạt biểu diễn truyen hinh Số học sinh yêu thích thể thao là: the thao 360o × 25 α1 = = 90o 100 doc sach Tin hoc am nhac B. Giải toán Ví dụ 1 . Vẽ biểu đồ tần suất ghép lớp hình cột trong bài tập rèn luyện 1 50 40 30 3-D Column 1 20 10 0 Ví dụ 2.Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số trong bài tập rèn luyện 2 www.saosangsong.com.vn 8 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 9 13 10 7 6 3 1 4 1 2 3 5 6 7 Ví dụ 3.Vẽ biểu dồ hình quạt tần suất ghép lớp trọng lượng của 24% 25 hộp bài tập rèn luyện 5. 16% Góc ở tâm của hình quạt biểu diễn trọng lượng của lớp 12% [92; 95) là : 360o × 12 α1 = = 43o 100 20% 28% C.Bài tập rèn luyện : 5.6 Thống kê chiều cao (cm) của 40 học sinh 136 162 148 132 142 125 147 155 146 158 140 145 136 146 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 136 161 145 142 159 156 145 128 135 Lập bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp với các lớp : [118, 124) , [124, 130) , [130, 136) ….Vẽ biểu đồ hình cột và biểu đồ đường gấp khúc tần số 5.7 Thống kê xếp loại văn hóa cuối năm học của lớp 10 có 40 học sinh như sau : 5 học sinh giỏi 25 học sinh tiên tiến và 10 học sinh trung bình Vẽ biểu đồ hình quạt D. Hướng dẫn giải : 5.6. a) Bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp Các lớp ghép Giá trị trung tâm Tần số [118, 124) 121 1 [124, 130) 127 3 [130, 136) 133 3 [136, 142) 139 6 [142, 148) 145 12 [148,154) 151 3 [154, 160) 157 5 [160, 166) 163 4 [166, 172) 169 1 [172, 178) 175 2 www.saosangsong.com.vn 9 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 10 12 10 8 6 4 2 0 Biểu đồ đường gấp khúc 12 6 5 4 3 2 1 121 127 133 139 145 151 157 163 169 175 5.7. Biểu đồ hình quạt 360 × 5 Hình quạt góc ở tâm của học sinh giỏi : α1 = = 450 40 360 × 25 gioi Học sinh khá α 2 = = 2250 40 360 × 10 Học sinh trung bình α1 = = 900 trung binh kha 40 §3 . Số trung bình cộng , Mốt , Số trung vị A.Tóm tắt giáo khoa I. Số trung bình cộng : 1.) Công thức tính : a) Trường hợp bảng phân phối thực nghiệm rời rạc : 1 1 k x= (n1 x1 + n2 x2 + .... + nk xk ) = ∑ ni xi n n i =1 n vì tần suất fi = i nên ta có công thức : n k x = f1 x1 + f 2 x2 + ... + f k xk = ∑ fi xi i =1 www.saosangsong.com.vn 10 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 11 b) Trường hợp bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp ; 1 k k x = ∑ ni xi0 = ∑ f i xi0 n i =1 i =1 0 Trong đó x i ; ni ; fi lần lượt là giá trị trung tâm,tần số,tần suất của lớp thứ i và n là số các số k liệu thống kê n = ∑n i =1 i Số trung bình có một ý nghĩa cụ thể : đó là giá trụ chung của các dữ liệu nếu tổng số của chúng được chia đồng đều Ví dụ 1 : Số trung bình của điểm toán của 50 học sinh trong bảng thực nghiệm rời rạc sau : Điểm toán Tần số Tần suất 2 3 6% 3 7 14% 4 10 20% 5 6 12% 6 15 30% 7 5 10% 8 3 6% 9 1 2% 50 là: 1 x= (2.3 + 3.7 + 4.10 + 5.6 + 6.15 + 7.5 + 8.3 + 9.1) 50 = 5,1 Ví dụ 2 : Chiều cao trung bình của 40 học sinh trong bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp sau : Các lớp chiều cao xi0 Tần số Tần suất fi [118;128) 123 3 7,5% [128;138) 133 5 12,5% [138;148) 143 15 37,5% [148;158) 153 8 20% [158;168) 163 5 12,5% [168;178) 173 3 7,5% [178,188) 183 1 2,5% N = 40 1 Là : x = (3.123 + 5.133 + 15.143 + 8.153 + 5.163 + 3.173 + 1.183) 40 = 148 II. Mốt Mốt Mo là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân phối thực nghiệm tần số . Nếu trong bảng đó có hai giá trị có tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của các giá trị khác thì ta coi rằng : • Mốt là trung bình cộng của 2 giá trị đó,nếu chúng kề nhau và số trung bình cộng này có nghĩa; • Có 2 mốt là 2 giá trị đó trong những trường hợp còn lại www.saosangsong.com.vn 11 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 12 • Mốt bị chi phối bởi cách thành lập bảng phân phối thực nghiệm Ví dụ 1 : Khảo sát số con trong 100 gia đình : Số con : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Số gia đình :n 15 28 22 13 11 6 3 1 1 Ta có mốt là Mo = 1 Ví dụ 2 : Khảo sát tiền công nhật (ngàn đồng)của 100 người : Các lớp tiền lương Giá trị x io Tần số [20; 30) 25 2 [30; 40) 35 15 [40; 50) 45 23 [50; 60) 55 27 [60; 70) 65 16 [70; 80) 75 10 [80; 90) 85 5 [90; 100) 95 2 N = 100 Ta có mốt là Mo = 55 (giá trị trung tâm của lớp có tần số lớn nhất [50; 60) Ví dụ 3 : Cho khối dữ liệu sau : 4 , 8 , 8 , 4 , 1 , 10 ,200 Ta có hai số mốt là 4 và 8 III. Số trung vị : 1. Định nghĩa : Số trung vị Me của một dãy không giảm (hoặc không tăng) gồm n số liệu thống kê là : n +1 • Số đứng giữa dãy số ( số hạng thứ nếu n lẻ ) 2 • Trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu n chẵn Số trung vị chỉ lệ thuộc vào số chính giữa và không lệ thuộc vào các số quá nhỏ hay quá lớn Ví dụ 1: Với các số : 2 , 4 , 5 , 7 10 thì số trung vị là Me = 5 6+8 Với các số 1 ,2 , 6 , 8 , 10 , 10 thì số trung vị là Me = =7 2 Ví dụ 2 : Cho bảng phân phối thực nghiệm : Các lớp ghép Tần số Tích lũy [1; 2) 1 1 [2; 3) 3 4 [3; 4) 5 9 [4; 5) 4 13 [5; 6) 4 17 [6; 7) 2 19 [7; 8) 2 21 N = 21 Số trung vị số hạng thứ 11,5 thuộc lớp [4; 5) và 1× 1,5 Me = 4 + = 4,375 (dùng phép tam suất) 4 Ví dụ 3 : Cho bảng phân phối thực nghiệm : xi 0 1 2 3 www.saosangsong.com.vn 12 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 13 ni 4 8 4 2 Ta thử tìm số trung bình , số mốt và số trung vị Ta có N = 18 0.4 + 1.8 + 2.4 + 3.2 Số trung bình x = = 1, 2 18 Số mốt Mo = 1 (tần số lớn nhất là 8) Số trung vị Me = 1 ( trung bình cộng của hai số thứ 6 và thứ 7) B.Giải toán : Ví dụ 1. Thống kê điểm kiểm tra của một học sinh A như sau : Toán 5,5 với hệ số 3 Lý 5,5 với hệ số 2 Văn 5 với hệ số 3 Anh văn 4,5 với hệ số 2 Điểm kiểm tra của học sinh thứ hai B như sau : Toán 7,5 với hệ số 3 Lý 7 với hệ số 2 Văn 2,5 với hệ số 3 Anh văn 3,5 với hệ số 2 Tính điểm trung bình của 2 học sinh này và nhận xét kết quả Giải 5,5 × 3 + 5,5 × 2 + 5 × 3 + 4,5 × 2 Điểm trung bình cộng của A là x = = 5,1 10 7,5 × 3 + 7 × 2 + 2,5 × 3 + 3,5 × 2 Điểm trung bình cộng của B là x = = 5,1 10 Ta nhận thấy điểm trung bình của hai học sinh này bằng nhau,nhưng các điểm của học sinh A tập trung gần điểm trung bình,trái lại các điểm của học sinh B xa hơn điểm trung bình Ví dụ 2 .Tính chiều cao trung bình của 100 học sinh được thống kê trong bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp như sau : (đơn vị cm) Các lớp Giá trị trung Tần số tâm của lớp [146; 151) 148,5 20 [151; 156) 153,5 30 [156; 161) 158,5 40 [161; 166) 163,5 8 [166; 171) 168,5 2 N = 100 Giải 148,5 × 20 + 153,5 × 30 + 158,5 × 40 + 163,5 × 8 + 168,5 × 2 Chiều cao trung bình là x = = 155,6cm 100 Ví dụ 3 :Tính số trung bình cộng của kết quả nhảy cao của 55 học sinh (đơn vị cm) trong bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp sau : Các lớp Giá trị trung Tần số www.saosangsong.com.vn 13 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 14 tâm lớp [90; 95) 92,5 3 [95; 100) 97,5 6 [100; 105) 102,5 12 [105; 110) 107,5 20 [110; 115) 112,5 7 [115; 120) 117,5 4 [120; 125) 122,5 2 [125; 130) 127,5 1 N = 55 Giải Số trung bình được tính bởi : 92,5 × 3 + 97,5 × 6 + 102,5 × 12 + 107,5 × 20 + 112,5 × 7 + 117,5 × 4 x= 55 122,5 × 2 + 127,5 × 1 + = 106,77 cm 50 Ví dụ 4. Chiều cao của 100 học sinh (tính bằng cm) được thống kê trong bảng phân phối thực nghiệm sau : Chiều cao Số học sinh [130; 134) 2 [134; 138) 6 [138; 142) 33 [142; 146) 35 [146; 150) 20 [150; 154) 4 [154; 158) 3 [158;162) 5 a) Tính Mốt và số trung vị b) Tính số trung bình cộng Giải Chiều cao Số học sinh Giá trị trung tâm Tần số tích kũy [130; 134) 1 132 1 [134; 138) 6 136 7 [138; 142) 28 140 35 [142; 146) 33 144 68 [146; 150) 20 148 88 [150; 154) 4 152 92 [154; 158) 3 156 95 [158;162) 5 160 100 a) Tần số lớn nhất thuộc lớp ghép [142; 146) Vậy Mốt là M0 = 144 Số trung vị có tần số tích lũy 50 nên thuôc lớp ghép [142; 146) .Vậy 50 − 35 MBe = 142 + 4 × = 142 + 1,8 = 143,8 68 − 35 b) Số trung bình cộng : www.saosangsong.com.vn 14 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 15 132 + 136.6 + 140.28 + 144.33 + 148.20 + 152.4 + 156.3 + 160.5 x= 100 = 144,56 Ví dụ 5:Bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp của sức nặng (kg) 29 học sinh Các lớp Giá trị trung tâm Tần số Tích lũy [45; 50) 47,5 2 2 [50; 55) 52,5 6 8 [55; 60) 57,5 12 20 [60; 65) 62,5 5 25 [65; 70) 67,5 4 29 Tính Mốt và số trung vị Giải Số Mốt là số có tần số cao nhất thuộc lớp [50; 60) Vậy M0 =57,5 Ta có N = 29 nên sức nặng trung vị là số ở đó tần số tích luỹ là 29 N = = 14,5 . Ta thấy sức nặng trung vị nằm trong lớp [55; 60). 2 14,5 − 8 Thực hiện phép tam suất Me = 55 + 5 × = 55 + 2,7 = 57,7 kg 20 − 8 *Ví dụ 6 . Chứng minh rằng nếu ta cộng các số xi của dử liệu với một hằng số thì số trung bình cũng cộng với hằng số đó. Giải Ta biết số trung bình cho bởi công thức : x= ∑ ni xi với ∑ n = N i N Nếu ta cộng các số xi với hằng số a thì số trung bình mới là : X= ∑ ni ( xi + a) = ∑ ni xi + ∑ ani = x + a N N N *Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu ta nhân các số xi với một hằng số thì trung bình cộng cũng nhân với hằng số đó. Giải Ta biết số trung bình cho bởi công thức : x= ∑ ni xi với ∑ n = N i N Nếu ta nhân các số xi với hằng số a thì số trung bình mới là : X= ∑ ni ( xi × a) = ∑ ni xi × ∑ ani = x × a N N N * Ví dụ 8: Dùng kết quả của ví dụ 6 và 7 để tính số trung bình: Ta chọn gốc mới là số Mốt thì số các dữ liệu mới sẽ nhỏ . Cho bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp nhảy cao của 55 học sinh của một lớp : Các lớp (cm) Giá trị trung Tần số ni xi − 107,5 ni ti ti = tâm xi 5 [90, 95) 92,5 3 -3 -9 [95; 100) 97,5 6 -2 - 12 www.saosangsong.com.vn 15 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 16 [100; 105) 102,5 12 -1 - 12 [105; 110) 107,5 20 0 0 [110; 115) 112,5 7 1 7 [115; 120) 117,5 4 2 8 [120; 125) 122,5 2 3 6 [125; 130 127,5 1 4 4 Cộng 55 Cộng – 8 Ta chọn Mốt 107,5 làm gốc mới .Độ dài mỗi khoảng là 5 Ta đặt xi = 5ti + 107.5 .Theo ví dụ 6 và 7 trên ta có : −8 x = 5t + 107.5 với t = = - 0,146 thì x = 5(- 1,46) + 107,5 = 106,77 55 C.Bài tập rèn luyện : 5.8. Điểm sinh vật của 20 học sinh được liệt kê như sau : 1 2 8 6 10 10 9 7 3 2 7 6 5 2 3 5 4 5 5 8 a) Hãy xếp các số này từ nhỏ đến lớn và tím điểm trung vị b) Lập bảng phân phối tần số ghép lớp với các lớp [1; 4) , [4; 7) , [7; 10] tìm điểm trung vị c) Lập bảng phân phối tần số ghép lớp với các lớp [1,3) , [3; 5) , [5; 7) ; [7;10) và tím số trung vị 5.9.Bảng phân phối thực nghiệm sức nặng ghép lớp của 100 học sinh được thống kê như sau (đơn vị kg) : Các lớp Tần số [50; 5 53) 18 [53; 42 56) 27 [56; 8 59) [59; 62) [62; 65) Tính sức nặng trung bình , số Mốt và số trung vị 5.10. Bảng phân phối thực nghiệm tiền công nhật (ngàn đồng bạc) của công nhân trong một xí nghiệp như sau : Lớp tiền công nhật Số người [30; 40) 11 [40; 50) 26 [50; 60) 63 [60; 70) 81 [70; 80) 35 [80; 90) 21 [90; 100) 13 a) Tính tiền công trung vị,tiền công trung bình và Mốt b) Vẽ đường gấp khúc tần suất www.saosangsong.com.vn 16 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 17 5.11 Thống kê số con trong 250 gia đình như sau ; Số con Số gia đình 0 1 1 6 2 24 3 57 4 70 5 59 6 31 7 2 Tính số Mốt, số trung vị và số trung bình cộng của dữ liệu 5.12 Cho hai bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp của năng suất lúa của 30 thửa ruộng ở địa phương A và 30 thửa ruộng ở địa phương B (đơn vị tạ/ha) Các lớp giá trị của x io Tần số ni A [15,50; 20,50) 18 3 [20,50; 25,50) 23 10 [25,50; 30; 50) 28 11 [30,50; 35,50) 33 6 Các lớp giá trị của x io Tần số ni B [15,50; 20,50) 18 3 [20,50; 25,50) 23 6 [25,50; 30; 50) 28 11 [30,50; 35,50) 33 7 [35,50; 40,50) 38 3 a) Tính các số trung bình cộng x , y b) Dựa vào kết quả trên xét xem năng suất lúa địa phương nào là cao hơn D.Hướng dẫn giải 5.8 a) Xếp các số liệu từ nhỏ đến lớn : 1 2 2 2 3 3 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 N =20 là số chẵn nên số trung vị là Me = 5 b) Bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp Các lớp Giá trị trung tâm Tần số Tích lũy [1; 4) 2,5 6 6 [4; 7) 5,5 7 13 [7; 10) 8,5 7 20 10 − 6 Số trung vị thuộc lớp [4; 7) Me = 4 + 3 × = 5,7 13 − 6 www.saosangsong.com.vn 17 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 18 Các lớp Giá trị trung tâm Tần số Tích lũy [1; 3) 2 4 4 [3; 5) 4 3 7 [5; 7) 6 6 13 [7; 10] 8,5 7 20 10 − 7 Số trung vị thuộc lớp [5; 7) nên Me = 5 + 2 × =6 13 − 7 5.9 Các lớp Tần số xi Tích lũy [50; 53) 5 51,5 5 [53; 56) 18 54,5 23 [56; 59) 42 57,5 65 [59; 62) 27 60,5 92 [62; 65) 8 63,5 100 51,5 × 5 + 54.5 × 18 + 57,5 × 42 + 60,5 × 27 + 63,5 × 8 Sức nặng trung bình x = = 100 57.95kg Số mốt Mo = 57,5 50 − 23 Số trung vị thuộc lớp [56; 59) nên Me = 56 + 3 × = 57,8 65 − 23 5.10. Lớp tiền công Tần số ni xi ni xi Tích lũy nhật [30; 40) 11 35 46 11 [40; 50) 26 45 1170 37 [50; 60) 63 55 3465 100 [60; 70) 81 65 5265 181 [70; 80) 35 75 2625 216 [80; 90) 21 85 1785 237 [90; 100) 13 95 1236 250 Vì N = 125 số trung vị thuộc lớp [60; 70) 125 − 100 Số trung vị là : Me = 60 + 10 × = 63,1 181 − 100 Mốt Mo = 65 Số trung bình x =62,37 5.11 Số con Tần số ni ni xi Tích lũy 0 1 0 1 1 6 6 7 2 24 48 31 3 57 171 88 4 70 280 158 5 59 295 217 6 31 186 248 7 2 14 250 N = 250 www.saosangsong.com.vn 18 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 19 Số Mốt Mo = 4 có tần số lớn nhất là 70 Số trung vị Me = 4 1000 Số trung bình x = =4 250 5.12 Các lớp giá trị của A x1 0 Tần nix io số ni [15,50; 20,50) 18 3 54 [20,50; 25,50) 23 10 230 [25,50; 30; 50) 28 11 308 [30,50; 35,50) 33 6 198 N = 30 Cộng 790 Các lớp giá trị của B x io Tần nix io số ni [15,50; 20,50) 18 3 54 [20,50; 25,50) 23 6 138 [25,50; 30; 50) 28 11 308 [30,50; 35,50) 33 7 231 [35,50; 40,50) 38 3 114 Cộng 845 N = 30 790 845 a) x = = 26,3 ; y = = 28,2 30 30 b) Năng suất địa phương B cao hơn §4. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN A.Tóm tắt giáo khoa 1. Định nghĩa : Độ lệch của một số là hiệu số giữa số đó và số trung bình. Bình phương các độ lệch cộng lại rồi chia đều gọi là phương sai Phương sai của mẫu số liệu kích thước N : { x1 , x2 ,..., xN } được tính bới công thức N 1 s2 = N ∑ ( x − x) i =1 i 2 trong đó x là số trung bình của mẫu số liệu Căn số học bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn N 1 s= N ∑ ( x − x) i =1 i 2 Ghi chú : 1. Phương sai đo mức độ phân tán của các số liệu trong dữ liệu xung quanh số trung bình .Phương sai càng lớn thì độ phân tán càng lớn 2. Công thức tính phương sai có thể biến đổi thành : 1 N 1 N s 2 = ∑ xi2 − 2 (∑ xi ) 2 N i =1 N i =1 Tính phương sai bằng công thức này thuận tiện hơn 2.Ví dụ : Ví dụ 1 : Kết quả học tập của hai học sinh A và B trong năm học như sau : www.saosangsong.com.vn 19 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE
Chương 5.Thống Kê 20 Môn Điểm TB của A Điểm TB của B Văn 7 5 Sử 7,5 5,5 Địa 7,8 5,5 Anh 7,5 8 Toán 8 8 Lý 7 9 Hóa 7,2 10 Sinh 8 7,5 GDCD 8.5 9 Thể dục 7,5 8 Kỷ thuật 7 7,5 * Điểm trung bình cả năm của các môn học không tính hệ số • Điểm trung bình của học sinh A : 7 × 3 + 7, 2 + 7,5 × 3 + 7,8 + 8 × 2 + 8,5 x= = 7,5 11 • Điểm trung bình của học sinh B : 5 + 5,5 × 2 + 7,5 × 2 + 8 × 3 + 9 × 2 + 10 y= = 7,5 11 * Phương sai và độ lệch chuẩn của học sinh A và B. 11 11 Ta có : ∑ xi = 83 và i =1 ∑x i =1 2 i = 628, 68 11 11 ∑ yi = 83,3 i =1 và ∑y i =1 2 i = 652 • Phương sai và độ lệch chuẩn các điểm môn học của A : 628, 68 83 2 s A2 = − ( ) = 57,15 – 56,93 = 0.22 11 11 sA = 0, 22 = 0,47 • Phương sai và độ lệch chuẩn các điểm môn học củ B : 652 83,3 2 sB2 = −( ) = 59,27 – 57,35 =1,92 11 11 sB = 1, 92 = 1,38 Nhận xét: Ta thấy 2 học sinh A va B có cùng điểm trung bình nhưng phương sai của học sinh B gấp 9 lần phương sai của học sinh A điều đó chứng tỏ học sinh A học đều các môn còn học sinh B học lệch. Ví dụ 2 : Tiền công nhật của 65 nhân viên trong xí nghiệp tư nhân được thống kê như sau (đơn vị ngàn đồng) Các lớp tiền lương Số nhân viên [50; 60) 8 [60; 70) 10 [70; 80) 16 [80; 90) 14 [90; 100) 10 [100; 110) 5 [110; 120) 2 www.saosangsong.com.vn 20 SAVE YOUR MONEY & TIME- SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILLS-SUIT YOUR PACE