Đại số tổ hợp: Nhị thứ Newton

Chia sẻ: Up Up | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

313
lượt xem 95
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học, định lý khai triển nhị thức (ngắn gọn là định lý nhị thức) là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức có n+1 số hạng. Để hiểu hơn về lý thuyết và áp dụng của định lý này, mời các bạn tham khảo tài liệu dưới đây

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số tổ hợp: Nhị thứ Newton

ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông V NHÒ THÖÙC NEWTON (phần 1) Nhò thöùc Newton coù daïng : (a + b)n = C0 anb0 + C1 an-1b1 + … + Cn a0bn n n n n = ∑ C n an − k b k (n = 0, 1, 2, …) k k =0 Caùc heä soá C n cuûa caùc luõy thöøa (a + b)n vôùi n laàn löôït laø 0, 1, 2, 3, … ñöôïc saép k thaønh töøng haøng cuûa tam giaùc sau ñaây, goïi laø tam giaùc Pascal : (a + b)0 = 1 1 (a + b)1 = a + b 1 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1 2 1 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 1 3 3 1 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4+ 6 4 1 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 1 5 10 10 5 1 Caùc tính chaát cuûa tam giaùc Pascal : (i) C0 = Cn = 1 : caùc soá haïng ñaàu vaø cuoái moãi haøng ñeàu laø 1. n n Cn = Cn − k (0 ≤ k ≤ n) : caùc soá haïng caùch ñeàu soá haïng ñaàu vaø cuoái baèng nhau. (ii) k n (iii) Cn + Cn +1 = Cn +1 (0 ≤ k ≤ n – 1) : toång 2 soá haïng lieân tieáp ôû haøng treân baèng k k k +1 soá haïng ôû giöõa 2 soá haïng ñoù ôû haøng döôùi. (iv) C0 + C1 + … + C n = (1 + 1)n = 2n n n n Caùc tính chaát cuûa nhò thöùc Newton : Soá caùc soá haïng trong khai trieån nhò thöùc (a + b)n laø n + 1. (i) Toång soá muõ cuûa a vaø b trong töøng soá haïng cuûa khai trieån nhò thöùc (a + b)n laø n. (ii) (iii) Soá haïng thöù k + 1 laø C n an – k bk. k
Daïng 1: TRÖÏC TIEÁP KHAI TRIEÅN NHÒ THÖÙC NEWTON Khai trieån (ax + b)n vôùi a, b = ± 1, ± 2, ± 3 … 1. Cho x giaù trò thích hôïp ta chöùng minh ñöôïc ñaúng thöùc veà C0 , C1 , …, Cn . n n n Hai keát quaû thöôøng duøng n ∑C x (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x2 + … + Cn xn = (1) k k n n n n n k =0 n ∑ (−1) (1 – x)n = C0 – C1 x + C2 x2 + … + (–1)n Cn xn = Cn x k k k (2) n n n n k =0 • Ví duï : Chöùng minh a) C 0 + C1 + … + Cn = 2n n n n b) C 0 – C1 + C2 + … + (–1)n C n = 0 n n n n Giaûi a) Vieát laïi ñaúng thöùc (1) choïn x = 1 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. b) Vieát laïi ñaúng thöùc (2) choïn x = 1 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh . Tìm soá haïng ñöùng tröôùc xi (i ñaõ cho) trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa 2. moät bieåu thöùc cho saün • Ví duï : Giaû söû soá haïng thöù k + 1 cuûa (a + b)n laø Cn an – k bk .Tính soá haïng thöù 13 k trong khai trieån (3 – x)15. Giaûi Ta coù : (3 – x)15 = C15 315 – C1 314x + … + C15 315 – k .(–x)k + … + – C15 x15 0 k 15 15 Do k = 0 öùng vôùi soá haïng thöù nhaát neân k = 12 öùng vôùi soá haïng thöù 13 Vaäy soá haïng thöù 13 cuûa khai trieån treân laø : 15! C12 33(–x)12 = 27x12. = 12.285x12. 15 12!3! Ñoái vôùi baøi toaùn tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x trong khai trieån nhò thöùc (a + b)n 3. (a, b chöùa x), ta laøm nhö sau : - Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : Cn an – k bk =cm. xm. k
- Soá haïng ñoäc laäp vôùi x coù tính chaát : m = 0 vaø 0 ≤ k ≤ n, k ∈ N. Giaûi phöông trình naøy ta ñöôïc k = k0. Suy ra, soá haïng ñoäc laäp vôùi x laø Cn 0 an − k 0 b k 0 . k 18 ⎛x 4⎞ Ví duï : Tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x trong khai trieån nhò thöùc ⎜ + ⎟ • ⎝2 x⎠ Giaûi Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : 18 − k k ⎛x⎞ ⎛4⎞ . ⎜ ⎟ = C18 2k −18.22k.x18− k .x − k = C18 23k −18.x18− 2k k k k C⎜⎟ 18 ⎝2⎠ ⎝x⎠ Soá haïng ñoäc laäp vôùi x trong khai trieån nhò thöùc coù tính chaát : 18 – 2k = 0 k=9 ⇔ Vaäy, soá haïng caàn tìm laø : C18 .29. 9 Ñoái vôùi baøi toaùn tìm soá haïng höõu tæ trong khai trieån nhò thöùc (a + b)n vôùi a, 4. b chöùa caên, ta laøm nhö sau : – Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : m n b = K c .d vôùi c, d ∈ ¤ n −k k k p q Can m n – Soá haïng höõu tyû coù tính chaát : ∈ N vaø ∈ N vaø 0 ≤ k ≤ n, k ∈ N. p q Giaûi heä treân, ta tìm ñöôïc k = k0. Suy ra soá haïng caàn tìm laø : Ck0 a n −k0 b k0 . n ( ) 7 Ví duï : Tìm soá haïng höõu tyû trong khai trieån nhò thöùc • 16 + 3 3 Giaûi Soá haïng toång quaùt trong khai trieån nhò thöùc laø : 7−k k ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 7−k k . ⎜ 3 ⎟ = C7 .16 3 .3 2 . k k C ⎜16 3 ⎟ 2 7 ⎝⎠ ⎝ ⎠ Soá haïng höõu tyû trong khai trieån coù tính chaát :
⎧7 − k ⎪ 3 ∈N ⎧7 − k = 3m ⎧ k = 7 − 3m (m ∈ Z) ⎪ ⎪k ⎪ ⎪ ⇔ k=4 ⇔ ⎨ k chaün ⇔ ⎨ k chaün ⎨ ∈N ⎪2 ⎪0 ≤ k ≤ 7 ⎪0 ≤ k ≤ 7 ⎩ ⎩ ⎪0 ≤ k ≤ 7, k ∈ N ⎪ ⎩ Vaäy, soá haïng caàn tìm laø : C17 .16.32 . 4 Baøi 120. Khai trieån (3x – 1)16. 316 C16 – 315 C1 + 314 C16 – … + C16 = 216. Suy ra 0 2 16 16 Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1998 Giaûi 16 ∑ (3x) (3x – 1)16 = Ta coù : 16 − i (−1)i .C16 i i =0 = C16 (3x)16 – C1 (3x)15 + C16 (3x)14 + … + C16 . 0 2 16 16 Choïn x = 1 ta ñöôïc : 216 = C16 316 – C1 315 + C16 314 – … + C16 . 0 2 16 16 Baøi 121. Chöùng minh : a) 2n C0 + 2n −1 C1 + 2n − 2 C n + ... + Cn = 3n 2 n n n b) 3n C0 − 3n −1 C1 + 3n − 2 C2 + ... + (−1) n Cn = 2n . n n n n Giaûi Ta coù : (x + 1)n = C0 x n + C1 x n −1 + ... + Cn . a) n n n Choïn x = 2 ta ñöôïc : 3n = C0 2n + C1 2n −1 + ... + Cn . n n n Ta coù : (x – 1)n = C0 x n − C1 x n −1 + ... + (−1) n Cn . b) n n n Choïn x = 3 ta ñöôïc : 2n = 3n C0 − 3n −1 C1 + 3n − 2 Cn + ... + (−1) n Cn . 2 n n n n −1 n ∑ Ckn = 2(2n −1 − 1) ; ∑C Baøi 122. Chöùng minh : (−1) k = 0 . k n k =1 k =0
Ñaïi hoïc Laâm nghieäp 2000 Giaûi n Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n = ∑ Cn x k (*) n k n n n k =0 Choïn x = 1 ta ñöôïc n ∑C 2n = =C0 + C1 + Cn + ... + Cn −1 + Cn k 2 n n n n n k =0 2n = 1 + C1 + Cn + ... + Cn −1 + 1 ⇔ 2 n n n −1 ∑C 2n – 2 = ⇔ k n k =1 n ∑C Trong bieåu thöùc (*) choïn x = – 1 ta ñöôïc 0 = (−1) k . k n k =0 Baøi 123. Chöùng minh : C0 + C 2 32 + C4 34 + ... + C2n 32n = 22n −1 (22n + 1) 2n 2n 2n 2n Ñaïi hoïc Haøng haûi 2000 Giaûi Ta coù : (1 + x)2n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + C 2n −1x 2n −1 + C2n x 2n (1) 2n 2n 2n 2n 2n (1 – x)2n = C0 − C1 x + C2 x 2 + ... − C2n −1x 2n −1 + C2n x 2n (2) 2n 2n 2n 2n 2n Laáy (1) + (2) ta ñöôïc : (1 + x)2n + (1 – x)2n = 2 ⎡C0 + C2n x 2 + ... + C2n x 2n ⎤ 2 ⎣ 2n ⎦ 2n Choïn x = 3 ta ñöôïc : 42n + (–2)2n = 2 ⎡C0 + C2n 32 + ... + C2n 32n ⎤ 2 ⎣ 2n ⎦ 2n 24n + 22n = C0 + C2 32 + ... + C2n 32n ⇔ 2n 2n 2n 2 22n (22n + 1) = C0 + C2 32 + ... + C2n 32n ⇔ 2n 2n 2n 2 22n −1 (22n + 1) = C0 + C2 32 + ... + C2n 32n ⇔ 2n 2n 2n Baøi 124. Tìm heä soá ñöùng tröôùc x5 trong khai trieån bieåu thöùc sau ñaây thaønh ña thöùc : f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7.
Ñaïi hoïc Kieán truùc Haø Noäi 1998 Giaûi 4 5 ∑ Ci4 (2x)4−i ; ∑ C (2x) Ta coù : (2x + 1)4 = (2x + 1)5 = 5−i i 5 i =0 i =0 6 7 ∑ Ci6 (2x)6−i ; ∑ C (2x) (2x + 1)6 = (2x + 1)7 = 7 −i i 7 i =0 i =0 soá haïng chöùa x5 cuûa (2x + 1)4 laø 0. Vaäy soá haïng chöùa x5 cuûa (2x + 1)5 laø C5 (2x)5 . 0 soá haïng chöùa x5 cuûa (2x + 1)6 laø C1 (2x)5 . 6 soá haïng chöùa x5 cuûa (2x + 1)7 laø C7 (2x)5 . 2 Do ñoù heä soá caàn tìm laø = 0 + C5 25 + C1 25 + C7 25 0 2 6 = (1 + C1 + C7 )25 = 28 × 32 = 896. 2 6 n ⎛1 ⎞ 8 Baøi 125. Tìm soá haïng chöùa x trong khai trieån ⎜ 3 + x 5 ⎟ bieát raèng ⎝x ⎠ Cn +1 − Cn +3 = 7(n + 3). n n +4 Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái A 2003 Giaûi Ta coù : Cn +1 − Cn +3 = 7(n + 3) (vôùi n ∈ N) n n +4 (n + 4)! (n + 3)! = 7(n + 3) ⇔ − 3!( n + 1) ! 3!n! (n + 4)(n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2)(n + 1) = 7(n + 3) ⇔ − 6 6 (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42 ⇔ (n2 + 6n + 8) – (n2 + 3n + 2) = 42 ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12. ⇔ 12 ⎛1 ⎞ 5 11 12 12 −36 + i + x 5 ⎟ = ∑ C12 (x −3 )12−i .(x 2 )i = ∑ C12 x 2 Ta coù : i i ⎜3 ⎝x ⎠ i=0 i =0
11 Yeâu caàu baøi toaùn –36 + i =8 (vôùi i ∈ N vaø 0 ≤ i ≤ 12) ⇔ 2 11i = 44 i = 8 (thoûa ñieàu kieän). ⇔ ⇔ 2 Vaäy soá haïng chöùa x8 laø 12 × 11×10 × 9 8 12!x 8 x = 495x8. = C12 x 8 = 8 4 × 3× 2 8!4! Baøi 126. Bieát raèng toång caùc heä soá cuûa khai trieån (x2 + 1)n baèng 1024. Haõy tìm heä soá a cuûa soá haïng ax12 trong khai trieån ñoù. Ñaïi hoïc Sö phaïm Haø Noäi 2000 Giaûi Ta coù : (x2 + 1)n = C0 (x 2 ) n + C1 (x 2 ) n −1 + ... + Cin (x 2 ) n −i + ... + C n n n n Theo giaû thieát baøi toaùn, ta ñöôïc C0 + C1 + ... + Cin + ... + Cn = 1024 n n n 2n = 1024 = 210 n = 10 ⇔ ⇔ Ñeå tìm heä soá a ñöùng tröôùc x12 ta phaûi coù 2(n – i) = 12 10 – i = 6 i=4 ⇔ ⇔ 10! 10 × 9 × 8 × 7 Vaäy a = C10 = = 210. = 4 4 × 3× 2 4!6! Baøi 127. Tìm heä soá ñöùng tröôùc x4 trong khai trieån (1 + x + 3x2)10. Giaûi Ta coù : (1 + x + 3x2)10 = [1 + x(1 + 3x)]10 = C10 + C10 x(1 + 3x) + C10 x 2 (1 + 3x) 2 + C10 x 3 (1 + 3x)3 + 0 1 2 3 C10 x 4 (1 + 3x) 4 + ... + C10 (1 + 3x)10 4 10 Heä soá ñöùng tröôùc x4 trong khai trieån chæ coù trong C10 x 2 (1 + 3x) 2 , C10 x 3 (1 + 3x)3 , 2 3 C10 x 4 (1 + 3x) 4 ñoù laø : 4 10! 10! 10! C10 9 + C10 9 + C10 = 9. +9 + 2 3 4 8!2! 3!7! 6!4!
= 405 + 1080 + 210 = 1695. Baøi 128. Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån [1 + x2(1 – x)]8. Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái A 2004 Giaûi Ta coù : [1 + x2(1 – x)]8 = C8 + C1 x 2 (1 − x) + C8 x 4 (1 − x) 2 + 0 2 8 + C8 x 6 (1 − x)3 + C8 x 8 (1 − x) 4 + C8 x10 (1 − x)5 + C8 x12 (1 − x)6 + 3 4 5 6 + C8 x14 (1 − x)7 + C8 x16 (1 − x)8 7 8 Soá haïng chöùa x8 trong khai trieån treân chæ coù trong C8 x 6 (1 − x)3 vaø C8 x 8 (1 − x) 4 3 4 ñoù laø C8 x 6 .3x 2 vaø C8 x 8 3 4 Vaäy heä soá cuûa x8 laø : 3C8 + C8 = 238. 3 4 n −1 n n ⎛ −x ⎞ ⎛ x2 1 ⎞ 1⎛ ⎞ ⎛ x2 1 −⎞ − x −1 − x Baøi 129. Cho ⎜ 2 + 2 3 ⎟ = C ⎜ 2 ⎟ + Cn ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ + ... 0 3 n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n −1 n ⎛ x2 1 ⎞ ⎛ − x ⎞ ⎛ −x ⎞ − +…+ C +C ⎜2 3 ⎟ . n −1 n 2 ⎟⎜ 2 3 ⎟ ⎜ n n ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bieát raèng C3 = 5C1 vaø soá haïng thöù tö baèng 20n. Tìm n vaø x. n n Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái A 2002 Giaûi Ta coù : (ñieàu kieän n ∈ N vaø n ≥ 3) C3 = 5C1 n n n (n − 1)(n − 2) n! n! = 5n ⇔ ⇔ =5 3!( n − 3) ! ( n − 1)! 6 n2 – 3n – 28 = 0 (n – 1)(n – 2) = 30 ⇔ ⇔ n = 7 ∨ n = –4 (loaïi do n ≥ 3) n=7 ⇔ ⇔ Ta coù : a4 = 20n = 140 3 4 ⎛ −x ⎞ ⎛ x −1 ⎞ 7! x − 2 . ⎜ 2 3 ⎟ = 140 2 = 140 ⇔ ⇔ 3 C ⎜2 2 ⎟ 7 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3!4! 2x – 2 = 22 x–2=2 x = 4. ⇔ ⇔ ⇔
12 ⎛ 1⎞ Baøi 130. Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån ⎜ x + ⎟ . ⎝ x⎠ Ñaïi hoïc Kinh teá Quoác daân 1997 Giaûi Ta coù : 12 i ⎛ 1⎞ 1 11 ⎛ 1 ⎞ 12 − i ⎛ 1 ⎞ 12 1 ⎜ x + ⎟ = C12 x + C12 x ⎜ ⎟ + ... + C12 x ⎜ ⎟ + ... + C12 12 0 12 i ⎝ x⎠ ⎝x⎠ ⎝x⎠ x Ñeå soá haïng khoâng chöùa x ta phaûi coù i ⎛1⎞ 0 x12 – 2i = x0 ⎜ ⎟ =x ⇔ 12 – 2i = 0 i=6 12 −i ⇔ ⇔ x ⎝ x⎠ 12! 12 ×11×10 × 9 × 8 × 7 Vaäy soá haïng caàn tìm laø : C12 = = 924. = 6 6 × 5× 4 × 3× 2 6!6! 7 ⎛ 1⎞ Baøi 131. Tìm soá haïng khoâng chöùa x (vôùi x > 0) trong khai trieån ⎜ 3 x + 4 ⎟ ⎝ x⎠ Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái D 2004 Giaûi 7 ⎛3 1⎞ 17 x + 4 ⎟ = ⎛ x3 + x 4 ⎞ 1 − Ta coù : ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 1 − − − = C (x ) + C (x ) (x ) + ... + C (x ) (x ) + ... + C (x ) 3 7 −i 0 37 1 36 i 4i 7 47 4 7 7 7 7 Ñeå tìm soá haïng khoâng chöùa x ta phaûi coù 1 1 (7 − i) − i = 0 4(7 – i ) – 3i = 0 28 – 7i = 0 ⇔ ⇔ 3 4 i=4 ⇔ 7! 7 × 6 × 5 Vaäy soá haïng khoâng chöùa x laø C 7 = = = 35. 4 3× 2 4!3! n ⎛ ⎞ 28 − Baøi 132. Trong khai trieån ⎜ x 3 x + x 15 ⎟ haõy tìm soá haïng khoâng phuï thuoäc x bieát ⎝ ⎠ C n + C n −1 + C n − 2 = 79 . n raèng n n
Ñaïi hoïc sö phaïm Haø Noäi 2 naêm 2000 Giaûi C n + C n −1 + C n − 2 = 79 Ta coù : n n n n ( n − 1) n! n! ⇔ ⇔ n+ = 78 1+ + = 79 ( n − 1)! 2!( n − 2 )! 2 n 2 + n – 156 = 0 n = –13 ∨ n = 12 ⇔ ⇔ Do n ∈ N neân n = 12. 12 12 ⎛3 ⎞ ⎛4 ⎞ 28 28 − − Ta coù : ⎜ x x + x ⎟ = ⎜x + x ⎟ 15 3 15 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12 −i ⎛ 4⎞ 28 16 12 12 − 16 − = ∑C ⎜ x ⎟ = ∑C x i i i i 3 15 5 .x 12 12 ⎝⎠ i =0 i =0 16 Yeâu caàu baøi toaùn ⇔ 16 – ⇔ i=5 i=0 5 12! Vaäy soá haïng caàn tìm C12 = = 792. 5 5!7! ( ) 124 Baøi 133. Trong khai trieån sau ñaây coù bao nhieâu soá haïng höõu tæ: 3−4 5 Giaûi 124 ⎛1 ⎞ 124 − k ( ) 1 ⎛ 1⎞ 1 124 124 ∑C 3− 5 = ⎜ 3 − 54 ⎟ = .(−5 ) 4 2 k 4k ⎜3 ⎟ 2 Ta coù : 124 ⎝ ⎠ ⎝⎠ k =0 k k 124 62 − ∑ (−1) k k 2 4 C3 .5 = 124 k =0 Soá haïng thöù k laø höõu tæ
k ⎧ ⎪62 − 2 ∈ N ⎧i ∈ N ⎧i ∈ N ⎪ ⎧0 ≤ k ≤ 124 ⎪k ∈N ⎪ ⎪ ⎪ ⎨0 ≤ k ≤ 124 ⇔ ⎨0 ≤ i ≤ 31 ⇔ ⇔ ⎨k ⎨ ⎪4 ⎪4 ∈N ⎪ k = 4i ⎪ k = 4i ⎩ ⎩ ⎩ ⎪k ∈ N ⎪0 ≤ k ≤ 124 ⎩ i ∈ {0,1,...,31} ⇔ Do ñoù trong khai trieån treân coù 32 soá haïng höõu tæ. Baøi 134 ∗ . Goïi a laø heä soá cuûa x3n-3 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa 3n -3 (x2 + 1) n . (x + 2)n. Tìm n ñeå a3n-3 = 26n. Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái D 2003 Giaûi n n ∑C ∑C x 2 n −i n −k i k .2 k 2 n n (x ) Ta coù : ( x + 1 ) . (x + 2) = . n n i =0 k =0 n n ∑ ∑C C 2k.x 3n − 2i − k i k = n n i =0 k =0 Do yeâu caàu baøi toaùn neân 3n – 3 = 3n – (2i + k) 2i + k = 3 ⇒ ⎧i = 0 ⎧i = 1 Do i, k ∈ N vaø i, k ∈ [0, n] neân hay ⎨ ⎨ ⎩k = 3 ⎩k = 1 Vaäy a3n – 3 = C0 C3 23 + C1 C1 21 = 26n nn nn n! + 2n2 = 26n 8. ⇔ 3! ( n − 3 )! 4 n(n – 1)(n – 2) + 2n2 = 26n ⇔ 3 2n2 – 3n – 35 = 0 2(n – 1)(n – 2) + 3n = 39 ⇔ ⇔ 7 n=5 ∨ n= − (loaïi do n ∈ N) n = 5. ⇔ ⇔ 2
10 ⎛1 2 ⎞ Baøi 135*. Trong khai trieån ⎜ + x ⎟ ⎝3 3 ⎠ a0 + a1x + … + a9x9 + a10x10 (ak ∈ R) Haõy tìm soá haïng ak lôùn nhaát. Ñaïi hoïc Sö phaïm Haø Noäi 2001 Giaûi 10 ⎛1 2 ⎞ 1 1 10 ∑C Ta coù : ⎜ + x ⎟ = 10 (1 + 2x)10 = 10 k (2x)k 10 ⎝3 3 ⎠ 3 3 k =0 1 kk Do ñoù : ak = C10 2 310 ⎧C10 2 k ≥ C10−1 2 k −1 k k ⎧ak ≥ ak −1 ⎪ Ta coù : ak ñaït max ⇒ ⇔ ⎨kk ⎨ ⎩ak ≥ ak +1 ⎪C10 2 ≥ C10 2 k +1 k +1 ⎩ ⎧ 2 k10! 2 k −1.10! ≥ ⎪ k! 10 − k ! (k − 1)! 11 − k ! ⎪( ) ( ) ⇔⎨ ⎪ 2 10! ≥ 2 .10! k k +1 ⎪ k! (10 − k )! (k + 1)! ( 9 − k )! ⎩ ⎧2 1 ⎪ k ≥ 11 − k 19 22 ⎪ ≤k≤ ⇔ ⇔⎨ ⎪1 ≥2 3 3 ⎪ ⎩10 − k k + 1 Do k ∈ N vaø k ∈ [0, 10] neân k = 7.Hieån nhieân ak taêng khi k ∈ [0, 7], vaø ak giaûm khi k ∈ [7, 10]. 27 7 Vaäy max ak = a7 = 10 C10 . 3 (coøn tieáp) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung taâm Boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)
ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông V NHÒ THÖÙC NEWTON (phần 2) Daïng 2: ÑAÏO HAØM HAI VEÁ CUÛA KHAI TRIEÅN NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC – Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. – Ñaïo haøm 2 veá moät soá laàn thích hôïp . – Choïn giaù trò x sao cho thay vaøo ta ñöôïc ñaúng thöùc phaûi chöùng minh. Chuù yù : • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k C n ta ñaïo haøm hai veá trong khai trieån (a k + x)n.. • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k(k – 1) Cn ta ñaïo haøm 2 laàn hai veá cuûa k khai trieån (a + x)n. Baøi 136. Chöùng minh : a) C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1 n n n n b) C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n c) 2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n . n n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc : n(a + x)n-1 = C1 an −1 + 2C2 an −2 x + 3C3 an −3 x 2 + ... + nCn x n −1 n n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1 n n n n b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc :
C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n c) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc : 2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n . n n n n Baøi 137. Cho (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 . Tính : a) a97 b) S = a0 + a1 + … + a100 c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + … + 100a100 Ñaïi hoïc Haøng haûi 1998 Giaûi Ta coù : (x – 2)100 = (2 – x)100 = C100 2100 − C100 2 99.x + ... + C100 2100 − k (−x)k + ... + C100 x100 0 1 k 100 a) ÖÙng vôùi k = 97 ta ñöôïc a97. Vaäy a97 = C100 23 (−1)97 97 100 ! −8 × 100 × 99 × 98 = –8. = = – 1 293 600 3!97! 6 b) Ñaët f(x) = (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 Choïn x = 1 ta ñöôïc S = a0 + a1 + a2 + … + a100 = (–1)100 = 1. f ′(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 c) Ta coù : Maët khaùc f(x) = (x – 2)100 f ′(x) = 100(x – 2)99 ⇒ 100(x – 2)99 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 Vaäy Choïn x = 1 ta ñöôïc M = a1 + 2a2 + … + 100a100 = 100(–1)99 = –100. Baøi 138. Cho f(x) = (1 + x)n vôùi n ≥ 2. a) Tính f // (1)
b) Chöùng minh 2.1.C2 + 3.2.C3 + 4.3.C4 + ... + n(n − 1)Cn = n(n − 1)2 n −2 . n n n n Ñaïi hoïc An ninh 1998 Giaûi a) Ta coù : f(x) = (1 + x)n f ′(x) = n(1 + x)n – 1 ⇒ f // (x) = n(n – 1)(1 + x)n – 2 ⇒ f // (1) = n(n – 1)2n – 2 . Vaäy b) Do khai trieån nhò thöùc Newton f(x) = (1 + x)n = Cn + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + Cn x 4 + ... + Cn x n 0 4 n n n n f ′(x) = n(1 + x)n - 1 = C1 + 2xC2 + 3x 2 C3 + 4x 3C4 + ... + nx n −1Cn ⇒ n n n n n f ′′(x) = n(n – 1)(1 + x)n - 2 = 2C2 + 6xC3 + 12x 2 C4 + ... + n(n − 1)x n −2 Cn n ⇒ n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n(n – 1)2n – 2 = 2C2 + 6C3 + 12C n + ... + n(n − 1)C n . 4 n n n Baøi 139. Chöùng minh 2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 + 4.2 n − 4 C4 + ... + nCn = n3n −1 . n n n n n Ñaïi hoïc Kinh teá Quoác daân 2000 Giaûi Ta coù : (2 + x)n = C0 2 n + C1 2 n −1 x + C2 2 n −2 x 2 + C3 2 n −3 x 3 + ... + C n x n n n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc n(2 + x)n – 1 = C1 2 n −1 + 2xC2 2 n −2 + 3x 2 C3 2 n −3 + ... + nx n −1Cn n n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n3n – 1 = 2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3C3 2 n −3 + ... + nCn . n n n n Baøi 140. Chöùng minh C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn = n4 n −1 . n n n n Ñaïi hoïc Luaät 2001
Giaûi Ta coù : (3 + x)n = C0 3n + C1 3n −1 x + C2 3n −2 x 2 + C3 3n −3 x 3 + ... + Cn x n n n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc n(3 + x)n – 1 = C1 3n −1 + 2xC2 3n −2 + 3x 2 C3 3n −3 + ... + nCn x n −1 n n n n Choïn x = 1 n4n – 1 = C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn . n ⇒ n n n Baøi 141. Tính A = C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 + ... + (−1)n −1 nCn n n n n n Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1999 Giaûi Ta coù : (1 – x )n = C0 − C1 x + C2 x 2 − C3 x 3 + ... + (−1)n Cn x n n n n n n Laáy ñaïo haøm hai veá ta ñöôïc –n(1 – x)n – 1 = −C1 + 2xC2 − 3x 2 C3 + ... + (−1)n nCn x n −1 n n n n Choïn x = 1 ta coù : 0 = −C1 + 2C2 − 3C3 + ... + (−1)n nCn n n n n A = C1 − 2C2 + 3C3 + ... + (−1)n −1 nCn = 0 n ⇒ n n n Baøi 142. Chöùng minh vôùi n ∈ N vaø n > 2 11 (Cn + 2C2 + 3C3 + ... + nCn ) < n! (*) n n n n Giaûi (1 + x)n = C0 + xC1 + x 2 C2 + ... + x n Cn Ta coù : n n n n Laáy ñaïo haøm theo x hai veá ta ñöôïc : n(1 + x)n – 1 = C1 + 2xC2 + ... + nx n −1Cn n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n2n – 1 = C1 + 2C2 + ... + nCn n n n
1 2n – 1 < n! Vaäy (*) (n.2 n −1 ) < n! (**) ⇔ ⇔ n Keát quaû (**) seõ ñöôïc chöùng minh baèng qui naïp (**) ñuùng khi n = 3. Thaät vaäy 4 = 22 < 3! = 6 Giaû söû (**) ñuùng khi n = k vôùi k > 3 nghóa laø ta ñaõ coù : k! > 2k – 1 (k + 1)k! > (k + 1)2k – 1 Vaäy (k + 1)! > 2 . 2k – 1 = 2k (do k > 3 neân k + 1 > 4 ) ⇔ Do ñoù (**) ñuùng khi n = k + 1. Keát luaän : 2n – 1 < n! ñuùng vôùi ∀ n ∈ N vaø n > 2. Baøi 143. Chöùng minh a) 1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n −2 n n n b) 1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0 n n n c) 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C n + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 4 n n n d) 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 Cn − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) . 4 n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n Ñaïo haøm 2 veá 2 laàn , ta ñöôïc : n(n – 1)(a + x)n – 2 = 1.2C2 an −2 + 2.3C3 an −3 x + ... + (n − 1)nCn x n −2 n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n −2 n n n b) Vôùi a = 1, x = – 1, ta ñöôïc : 1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0 n n n c) Vôùi a = 2, x = 1, ta ñöôïc : 1.2.2 n −2 C2 + 2.3.2 n −3 C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 n n n 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 ⇔ n n n n d) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc :
1.2.2 n −2 C2 − 2.3.2 n −3 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nCn = n(n − 1) n n n n 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) . ⇔ n n n n Baøi 144. Chöùng minh : a) 3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 2 n −1 (6 + n) . n n n b) 3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 . n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n n n n n Nhaân 2 veá vôùi x3, ta ñöôïc : x3(a + x)n = C0 an x 3 + C1 an −1x 4 + C2 an −2 x 5 + ... + Cn x n +3 . n n n n Ñaïo haøm 2 veá, ta ñöôïc : 3x2(a + x)n + nx3(a + x)n – 1 = 3C0 an x 2 + 4C1 an −1x 3 + ... + (n + 3)Cn x n + 2 . n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 3.2 n + n2 n −1 = 2 n −1 (6 + n) . n n n b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc : 3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 . n n n ----------------------------------------- Daïng 3: TÍCH PHAÂN HAI VEÁ CUÛA NHÒ THÖÙC NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC + Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. + Laáy tích phaân xaùc ñònh hai veá thöôøng laø treân caùc ñoaïn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2] ta seõ ñöôïc ñaúng thöùc caàn chöùng minh. Chuù yù : Cn k Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp hai veá • k +1 trong khai trieån cuûa (a + x)n.
1 Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa C n ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp k • k + m +1 hai veá trong khai trieån cuûa xm(a + x)n. Baøi 145. Cho n ∈ N vaø n ≥ 2. 1 ∫ x (1 + x ) dx a) Tính I = 2 3n 0 1011 12 1 2 n +1 − 1 b) Chöùng minh : . Cn + Cn + Cn + ... + Cn = n 3 6 9 3(n + 1) 3(n + 1) Ñaïi hoïc Môû 1999 Giaûi 1 1 1 ∫ x (1 + x ) dx ∫ (1 + x ) d(x a) Ta coù : I = = + 1) 2 3n 3n 3 3 0 0 1 1 (1 + x 3 )n +1 ⎤ 1 I= . ⎥ = 3(n + 1) ⎡2 − 1⎤ . n +1 ⎣ ⎦ 3 n + 1 ⎦0 b) Ta coù : (1 + x3)n = C0 + C1 x 3 + C2 x 6 + ... + Cn x 3n n n n n x2(1 + x3)n = x 2 C0 + x 5C1 + x 8C2 + ... + x 3 n + 2 Cn ⇒ n n n n Laáy tích phaân töø 0 ñeán 1 hai veá ta ñöôïc : 1 ⎡ x3 x6 x9 x 3n +3 ⎤ I = ⎢ C0 + C1 + C2 + ... + 3n + 3 ⎥ 0 n n n ⎣3 6 9 ⎦ 2 n +1 − 1 1 0 1 1 1 2 1 Vaäy : = C n + Cn + Cn + ... + Cn n 3(n + 1) 3 6 9 3n + 3 2 n +1 − 1 Cn k n ∑ k +1 n +1 Baøi 146. Chöùng minh = k =0 Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 2000 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n n n n n ∫ (1 + x) dx = ∫ ( C + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n ) dx 1 1 Vaäy n 0 n n n n 0 0 1 1 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ x2 x3 x n +1 ⎤ ⎡ = ⎢ C0 x + C1 + C2 + ... + Cn ⇔ ⎢ n +1 ⎥ n + 1⎥0 n n n n 2 3 ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦
1 1 1 2 n +1 − 1 = C0 + C1 + C2 + ... + Cn ⇔ n n n n n +1 2 3 n +1 Cn 2 n +1 − 1 k n ∑ k +1 = ⇔ n +1 k =0 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2 n +1 − 1 n Baøi 147. Tính : C0 + Cn + Cn + ... + Cn . n 2 3 n +1 Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái B 2003 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + Cn x n n n n n n ∫ (C + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + C n x n ) dx 2 2 ∫ Vaäy (1 + x )n dx = 0 n n n n n 1 1 2 2 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ x2 x3 x4 x n +1 ⎤ ⎡ = ⎢ C0 x + C1 + C 2 + C3 + ... + Cn ⇔ ⎢ n +1 ⎥ n + 1 ⎥1 n n n n n 2 3 4 ⎣ ⎦1 ⎣ ⎦ 3n +1 2 n +1 1 1 1 2 2 2 = C0 [x]1 + C1 ⎡ x 2 ⎤ + C2 ⎡ x 3 ⎤ + ... + Cn ⎡ x n +1 ⎤ 2 ⇔ − n⎣ ⎦1 3 n⎣ ⎦1 n⎣ ⎦1 n n +1 n +1 2 n +1 3n +1 − 2 n +1 1 2 −1 2 2 −1 n2 −1 2 3 n +1 = Cn + Cn + Cn + ... + Cn 0 ⇔ n +1 2 3 n +1 Baøi 148. Chöùng minh : 1 1 (−1)n n +1 n 1 + (−1)n 2C0 − 22.C1 + 23.C2 + ... + 2 Cn = n n n 2 3 n +1 n +1 Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 1996 Giaûi Ta coù : (1 – x)n = C0 − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n Cn x n n n n n ∫ (C − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n C n x n ) dx 2 2 ∫ Vaäy (1 − x)n dx = 0 n n n n 0 0 2 2 ⎡ (1 − x)n +1 ⎤ 1 x3 (−1)n x n +1 n ⎤ ⎡ = ⎢C0 x − x 2 C1 + C2 + ... + Cn ⎥ ⇔ − ⎢ n + 1 ⎥0 ⎣ n n n 2 3 n +1 ⎣ ⎦ ⎦0 (−1)n +1 − 1 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n = 2Cn − Cn + Cn + ... + Cn 0 ⇔ − n +1 2 3 n +1 1 + (−1)n 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n = 2Cn − Cn + Cn + ... + Cn 0 ⇔ n +1 2 3 n +1