Tổng hợp một số bài toán nhị thức NewTon

Chia sẻ: Ngoclan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

380
lượt xem 129
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của x + y tương ứng với các hàng sau của tam giác

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp một số bài toán nhị thức NewTon

ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông V NHÒ THÖÙC NEWTON (phần 2) Daïng 2: ÑAÏO HAØM HAI VEÁ CUÛA KHAI TRIEÅN NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC – Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. – Ñaïo haøm 2 veá moät soá laàn thích hôïp . – Choïn giaù trò x sao cho thay vaøo ta ñöôïc ñaúng thöùc phaûi chöùng minh. Chuù yù : • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k C n ta ñaïo haøm hai veá trong khai trieån (a k + x)n.. • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k(k – 1) Cn ta ñaïo haøm 2 laàn hai veá cuûa k khai trieån (a + x)n. Baøi 136. Chöùng minh : a) C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1 n n n n b) C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n c) 2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n . n n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc : n(a + x)n-1 = C1 an −1 + 2C2 an −2 x + 3C3 an −3 x 2 + ... + nCn x n −1 n n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1 n n n n b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc :
C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n c) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc : 2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n . n n n n Baøi 137. Cho (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 . Tính : a) a97 b) S = a0 + a1 + … + a100 c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + … + 100a100 Ñaïi hoïc Haøng haûi 1998 Giaûi Ta coù : (x – 2)100 = (2 – x)100 = C100 2100 − C100 2 99.x + ... + C100 2100 − k (−x)k + ... + C100 x100 0 1 k 100 a) ÖÙng vôùi k = 97 ta ñöôïc a97. Vaäy a97 = C100 23 (−1)97 97 100 ! −8 × 100 × 99 × 98 = –8. = = – 1 293 600 3!97! 6 b) Ñaët f(x) = (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 Choïn x = 1 ta ñöôïc S = a0 + a1 + a2 + … + a100 = (–1)100 = 1. c) Ta coù : f ′(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 Maët khaùc f(x) = (x – 2)100 ⇒ f ′(x) = 100(x – 2)99 Vaäy 100(x – 2)99 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 Choïn x = 1 ta ñöôïc M = a1 + 2a2 + … + 100a100 = 100(–1)99 = –100. Baøi 138. Cho f(x) = (1 + x)n vôùi n ≥ 2. a) Tính f // (1)
b) Chöùng minh 2.1.C2 + 3.2.C3 + 4.3.C4 + ... + n(n − 1)Cn = n(n − 1)2 n −2 . n n n n Ñaïi hoïc An ninh 1998 Giaûi a) Ta coù : f(x) = (1 + x)n ⇒ f ′(x) = n(1 + x)n – 1 ⇒ f // (x) = n(n – 1)(1 + x)n – 2 Vaäy f // (1) = n(n – 1)2n – 2 . b) Do khai trieån nhò thöùc Newton f(x) = (1 + x)n = Cn + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + Cn x 4 + ... + Cn x n 0 n n n 4 n ⇒ f ′(x) = n(1 + x)n - 1 = C1 + 2xC2 + 3x 2 C3 + 4x 3C4 + ... + nx n −1Cn n n n n n ⇒ f ′′(x) = n(n – 1)(1 + x)n - 2 = 2C2 + 6xC3 + 12x 2 C4 + ... + n(n − 1)x n −2 Cn n n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n(n – 1)2n – 2 = 2C2 + 6C3 + 12C n + ... + n(n − 1)C n . n n 4 n Baøi 139. Chöùng minh 2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 + 4.2 n − 4 C4 + ... + nCn = n3n −1 . n n n n n Ñaïi hoïc Kinh teá Quoác daân 2000 Giaûi Ta coù : (2 + x)n = C0 2 n + C1 2 n −1 x + C2 2 n −2 x 2 + C3 2 n −3 x 3 + ... + C n x n n n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc n(2 + x)n – 1 = C1 2 n −1 + 2xC2 2 n −2 + 3x 2 C3 2 n −3 + ... + nx n −1Cn n n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n3n – 1 = 2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3C3 2 n −3 + ... + nCn . n n n n Baøi 140. Chöùng minh C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn = n4 n −1 . n n n n Ñaïi hoïc Luaät 2001
Giaûi Ta coù : (3 + x)n = C0 3n + C1 3n −1 x + C2 3n −2 x 2 + C3 3n −3 x 3 + ... + Cn x n n n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc n(3 + x)n – 1 = C1 3n −1 + 2xC2 3n −2 + 3x 2 C3 3n −3 + ... + nCn x n −1 n n n n Choïn x = 1 ⇒ n4n – 1 = C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn . n n n n Baøi 141. Tính A = C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 + ... + (−1)n −1 nCn n n n n n Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1999 Giaûi Ta coù : (1 – x )n = C0 − C1 x + C2 x 2 − C3 x 3 + ... + (−1)n Cn x n n n n n n Laáy ñaïo haøm hai veá ta ñöôïc –n(1 – x)n – 1 = −C1 + 2xC2 − 3x 2 C3 + ... + (−1)n nCn x n −1 n n n n Choïn x = 1 ta coù : 0 = −C1 + 2C2 − 3C3 + ... + (−1)n nCn n n n n ⇒ A = C1 − 2C2 + 3C3 + ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n Baøi 142. Chöùng minh vôùi n ∈ N vaø n > 2 1 1 (Cn + 2C2 + 3C3 + ... + nCn ) < n! n n n (*) n Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + xC1 + x 2 C2 + ... + x n Cn n n n n Laáy ñaïo haøm theo x hai veá ta ñöôïc : n(1 + x)n – 1 = C1 + 2xC2 + ... + nx n −1Cn n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n2n – 1 = C1 + 2C2 + ... + nCn n n n
1 Vaäy (*) ⇔ (n.2 n −1 ) < n! ⇔ 2n – 1 < n! (**) n Keát quaû (**) seõ ñöôïc chöùng minh baèng qui naïp (**) ñuùng khi n = 3. Thaät vaäy 4 = 22 < 3! = 6 Giaû söû (**) ñuùng khi n = k vôùi k > 3 nghóa laø ta ñaõ coù : k! > 2k – 1 Vaäy (k + 1)k! > (k + 1)2k – 1 ⇔ (k + 1)! > 2 . 2k – 1 = 2k (do k > 3 neân k + 1 > 4 ) Do ñoù (**) ñuùng khi n = k + 1. Keát luaän : 2n – 1 < n! ñuùng vôùi ∀ n ∈ N vaø n > 2. Baøi 143. Chöùng minh a) 1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n−2 n n n b) 1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0 n n n c) 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C n + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 n n 4 n d) 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 Cn − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) . n n 4 n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n Ñaïo haøm 2 veá 2 laàn , ta ñöôïc : n(n – 1)(a + x)n – 2 = 1.2C2 an −2 + 2.3C3 an −3 x + ... + (n − 1)nCn x n −2 n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n −2 n n n b) Vôùi a = 1, x = – 1, ta ñöôïc : 1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0 n n n c) Vôùi a = 2, x = 1, ta ñöôïc : 1.2.2 n −2 C2 + 2.3.2 n −3 C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 n n n ⇔ 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 n n n n d) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc :
1.2.2 n −2 C2 − 2.3.2 n −3 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nCn = n(n − 1) n n n n ⇔ 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) . n n n n Baøi 144. Chöùng minh : a) 3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 2 n −1 (6 + n) . n n n b) 3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 . n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n n n n n Nhaân 2 veá vôùi x3, ta ñöôïc : x3(a + x)n = C0 an x 3 + C1 an −1x 4 + C2 an −2 x 5 + ... + Cn x n +3 . n n n n Ñaïo haøm 2 veá, ta ñöôïc : 3x2(a + x)n + nx3(a + x)n – 1 = 3C0 an x 2 + 4C1 an −1x 3 + ... + (n + 3)Cn x n + 2 . n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 3.2 n + n2 n −1 = 2 n −1 (6 + n) . n n n b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc : 3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 . n n n ----------------------------------------- Daïng 3: TÍCH PHAÂN HAI VEÁ CUÛA NHÒ THÖÙC NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC + Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. + Laáy tích phaân xaùc ñònh hai veá thöôøng laø treân caùc ñoaïn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2] ta seõ ñöôïc ñaúng thöùc caàn chöùng minh. Chuù yù : Cn k • Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp hai veá k +1 trong khai trieån cuûa (a + x)n.
1 • Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa C n ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp k k + m +1 hai veá trong khai trieån cuûa xm(a + x)n. Baøi 145. Cho n ∈ N vaø n ≥ 2. 1 a) Tính I = ∫ x (1 + x ) dx 2 3 n 0 1 0 1 1 1 2 1 2 n +1 − 1 b) Chöùng minh : Cn + Cn + Cn + ... + Cn = n . 3 6 9 3(n + 1) 3(n + 1) Ñaïi hoïc Môû 1999 Giaûi 1 1 1 a) Ta coù : I = ∫ x (1 + x ) dx = ∫ (1 + x ) d(x + 1) 2 3 n 3 n 3 0 3 0 1 1 (1 + x 3 )n +1 ⎤ 1 I= . ⎥ = 3(n + 1) ⎡2 − 1⎤ . ⎣ n +1 ⎦ 3 n + 1 ⎦0 b) Ta coù : (1 + x3)n = C0 + C1 x 3 + C2 x 6 + ... + Cn x 3n n n n n ⇒ x2(1 + x3)n = x 2 C0 + x 5C1 + x 8C2 + ... + x 3 n + 2 Cn n n n n Laáy tích phaân töø 0 ñeán 1 hai veá ta ñöôïc : 1 ⎡ x3 x6 x9 x 3n +3 ⎤ I = ⎢ C0 + C1 + C2 + ... + 3n + 3 ⎥ 0 n n n ⎣3 6 9 ⎦ 2 n +1 − 1 1 0 1 1 1 2 1 Vaäy : = C n + Cn + Cn + ... + Cn n 3(n + 1) 3 6 9 3n + 3 n Cn k 2 n +1 − 1 Baøi 146. Chöùng minh ∑ k +1 n +1 k =0 = Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 2000 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n n n n n ∫ (1 + x) dx = ∫ ( C + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n ) dx 1 1 Vaäy n 0 n n n n 0 0 1 1 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ ⎡ x2 x3 x n +1 ⎤ ⇔ ⎢ n +1 ⎥ = ⎢ C0 x + C1 + C2 + ... + Cn n + 1⎥0 n n n n ⎣ ⎦0 ⎣ 2 3 ⎦
2 n +1 − 1 1 1 1 ⇔ = C0 + C1 + C2 + ... + n n n Cn n n +1 2 3 n +1 2 n +1 − 1 n Cn k ⇔ n +1 = ∑ k +1 k =0 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2 n +1 − 1 n Baøi 147. Tính : C0 + n Cn + Cn + ... + Cn . 2 3 n +1 Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái B 2003 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + Cn x n n n n n n ∫ (C + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + C n x n ) dx 2 2 Vaäy ∫ (1 + x)n dx = 0 1 1 n n n n n 2 2 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ ⎡ x2 x3 x4 x n +1 ⎤ ⇔ ⎢ n +1 ⎥ = ⎢ C0 x + C1 + C 2 + C3 + ... + Cn n + 1 ⎥1 n n n n n ⎣ ⎦1 ⎣ 2 3 4 ⎦ 3n +1 2 n +1 1 2 1 2 1 2 ⇔ − = C0 [x]1 + C1 ⎡ x 2 ⎤ + C2 ⎡ x 3 ⎤ + ... + n 2 n ⎣ ⎦1 3 n ⎣ ⎦1 Cn ⎡ x n +1 ⎤ n ⎣ ⎦1 n +1 n +1 2 n +1 3n +1 − 2 n +1 1 2 −1 2 2 2 −1 3 n 2 n +1 −1 ⇔ = Cn + Cn 0 + Cn + ... + Cn n +1 2 3 n +1 Baøi 148. Chöùng minh : 1 1 (−1)n n +1 n 1 + (−1)n 2C0 − 22.C1 + 23.C2 + ... + n n n 2 Cn = 2 3 n +1 n +1 Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 1996 Giaûi Ta coù : (1 – x)n = C0 − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n Cn x n n n n n ∫ (C − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n C n x n ) dx 2 2 Vaäy ∫ (1 − x)n dx = 0 0 0 n n n n 2 2 ⎡ (1 − x)n +1 ⎤ ⎡ 1 x3 (−1)n x n +1 n ⎤ ⇔ ⎢ − = ⎢C0 x − x 2 C1 + C2 + ... + Cn ⎥ n + 1 ⎥0 ⎣ n n n ⎣ ⎦ 2 3 n +1 ⎦0 (−1)n +1 − 1 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n ⇔ − = 2Cn − Cn + Cn + ... + 0 Cn n +1 2 3 n +1 1 + (−1)n 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n ⇔ = 2Cn − Cn + Cn + ... + 0 Cn n +1 2 3 n +1
Baøi 149. Chöùng minh : 1 1 1 (−1)n a) (−1) C + (−1) n 0 n n −1 Cn + ... + Cn = n 2 n +1 n +1 1 1 1 b) C0 − C1 + ... + (−1)n n n Cn = n . 2 n +1 n +1 Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n ∫ (a + x) dx = ∫ ( C a + C1 an −1x + ... + C n x n ) dx 1 1 Vaäy : n 0 n n n n 0 0 1 1 (a + x)n +1 ⎛ 1 1 ⎞ ⇔ = ⎜ C0 an x + C1 an −1x 2 + ... + n n Cn x n +1 ⎟ n n +1 0 ⎝ 2 n +1 ⎠0 (a + 1)n +1 − an +1 1 1 ⇔ = C0 an + C1 an −1 + ... + n n Cn . n n +1 2 n +1 a) Vôùi a = –1 , ta ñöôïc : 1 1 −(−1)n +1 (−1)n (−1)n C0 + (−1)n −1 C1 + ... + n n Cn = n = 2 n +1 n +1 n +1 b) Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n ∫ (C a + C1 an −1x + ... + C n x n ) dx −1 −1 Vaäy ∫ (a + x)n dx = 0 n 0 0 n n n −1 −1 (a + x)n +1 ⎛ 1 1 ⎞ ⇔ = ⎜ C0 an x + C1 an −1x 2 + ... + n n Cn x n +1 ⎟ n n +1 0 ⎝ 2 n +1 ⎠0 (a − 1)n +1 − an +1 1 1 ⇔ = −C0 an + C1 an −1 − ... + (−1)n +1 n n Cn . n n +1 2 n +1 Vôùi a = 1, ta ñöôïc : 1 1 −1 −C0 + C1 − ... + (−1)n +1 n n Cn = n . 2 n +1 n +1 1 1 1 ⇔ C0 − C1 + ... + (−1)n n n Cn = n . 2 n +1 n +1
1 Baøi 150. Tính ∫ 0 x(1 − x)19 dx 1 0 1 1 1 2 1 1 Ruùt goïn S = C19 − C19 + C19 + ... + C18 − C19 19 19 2 3 4 20 21 Ñaïi hoïc Noâng nghieäp Haø Noäi 1999 Giaûi • Ñaët t=1–x ⇒ dt = –dx Ñoåi caän x 0 1 t 1 0 1 0 Vaäy I= ∫0 x(1 − x)19 dx = ∫ 1 (1 − t)t19 (−dt) 1 1 1 20 1 21 ⎤ 1 1 1 ⇔ I = ∫ (t − t )dt =19 t − t ⎥ = 20 − = 0 20 21 ⎦ 0 20 21 420 • Ta coù : (1 – x)19 = C19 − C1 x + C19 x 2 + ... + C18 x18 − C19 x19 0 19 2 19 19 ⇒ x(1 – x)19 = xC19 − C1 x 2 + C19 x 3 + ... + C19 x19 − C19 x 20 0 19 2 18 19 1 1 ⎡ x 2 0 x3 1 x 20 18 x 21 19 ⎤ Vaäy I = ∫ x(1 − x) dx = ⎢ C19 − C19 + ... + 19 C19 − C19 ⎥ 0 ⎣2 3 20 21 ⎦0 1 1 0 1 1 1 1 ⇔ = C19 − C19 + ... + C18 − C19 19 19 420 2 3 20 21 1 Vaäy S= . 420 Baøi 151. 1 a) Tính ∫ 0 x(1− x 2 )n dx 1 0 1 1 1 2 1 3 (−1)n n 1 b) Chöùng minh C n − C n + C n − C n + ... + Cn = 2 4 6 8 2n + 2 2(n + 1) Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1997 Giaûi
1 1 1 a) Ta coù : I = ∫ x(1 − x 2 )n dx = − ∫0 (1 − x ) d(1 − x ) 2 n 2 0 2 1 1 ⎡ (1 − x 2 )n +1 ⎤ 1 ⇔ I= − ⎢ ⎥ = − 2(n + 1) ⎡ 0 − 1 ⎤ ⎣ n +1 ⎦ 2 ⎣ n + 1 ⎦0 1 ⇔ I= . 2(n + 1) b) Ta coù : (1 – x2)n = C0 − C1 x 2 + C2 x 4 − C3 x 6 + ... + (−1)n Cn x 2n n n n n n ⇒ x(1 – x2)n = xC0 − C1 x 3 + C2 x 5 − C3 x 7 + ... + (−1)n Cn x 2n +1 n n n n n 1 1 ⎡ x2 x4 x6 x8 (−1)n 2n + 2 n ⎤ Vaäy I = ∫ x(1 − x ) dx = ⎢ C0 − C1 + C2 − C3 + ... + 2 n n n n n x Cn ⎥ 0 ⎣2 4 6 8 2n + 2 ⎦0 1 1 1 1 1 (−1)n n ⇔ = C0 − C1 + C2 − C3 + ... + n n n n Cn 2(n + 1) 2 4 6 8 2n + 2 Baøi 152* .Chöùng minh : 1 0 1 1 1 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2 Cn + C n + ... + Cn = n . 3 4 n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) Giaûi a) Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + ... + C n x n n n n Suy ra : x2(a + x)n = C0 an x 2 + C1 an −1x 3 + ... + Cn x n + 2 n n n ∫ (C a x + C1 an −1x 3 + ... + C n x n + 2 )dx 1 1 Vaäy ∫ x 2 (a + x)n dx = 0 n 2 n 0 0 n n 1 0 n 1 1 n −1 1 = Cn a + Cn a + ... + Cn n 3 4 n+3 Ñeå tính tích phaân ôû veá traùi, ñaët t=a+x ⇒ dt = dx Ñoåi caän : x 0 1 t a a+1
Suy ra : 1 a +1 ∫ 0 x 2 (a + x)n dx = ∫a (t − a)2 t n dt a +1 a +1 ⎛ t n +3 2at n + 2 a2 t n +1 ⎞ = ∫ (t − 2at + a t )dt = ⎜ n +2 n +1 2 n − + ⎟ a ⎝ n+3 n+2 n +1 ⎠ a (a + 1)n +3 − an +3 2a ⎡(a + 1) − a ⎤ a2 ⎡(a + 1)n +1 − a n +1 ⎤ n+2 n +2 = − ⎣ ⎦+ ⎣ ⎦ n+3 n+2 n +1 Vôùi a = 1, ta ñöôïc : 1 2 n +3 − 1 2(2 n + 2 − 1) 2 n +1 − 1 ∫ 0 x 2 (a + x)n dx = n+3 − n+2 + n +1 ⎛ 4 4 1 ⎞ ⎛ 2 1 1 ⎞ = 2 n +1 ⎜ − + ⎟+⎜ − − ⎟ ⎝ n + 3 n + 2 n +1⎠ ⎝ n + 2 n + 3 n +1⎠ n2 + n + 2 2 = 2 n +1 − (n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2 = (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 0 1 1 1 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2 Suy ra : Cn + Cn + ... + Cn = n . 3 4 n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung taâm Boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)