Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian" nhằm giúp học sinh biết cách tìm tòi, phát hiện các tính chất của hình học, các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích để giải quyết bài toán liên quan đến đề tài nghiên cứu. Bên cạnh đó nâng cao tinh thần và năng lực tự học, tự nghiên cứu, phát triển các năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi, định hướng, giải quyết các bài toán của bản thân học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lí do chọn đề tài Mục tiêu đối với giáo dục phổ thông đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. Trong quá trình dạy học toán ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư duy cho học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên. Thực tế cho thấy nhiều giáo viên khi dạy học vẫn còn nặng về khâu truyền thụ kiến thức, các kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, chưa chú trọng nhiều về việc dạy học sinh cách học, do đó chưa phát triển được năng lực tư duy và sáng tạo cho học sinh. Thông thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trực tiếp các bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài toán đó. Học sinh chỉ có khả năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn. Chính vì vậy việc bồi dưỡng, phát triển tư duy tương tự hóa, khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinh phổ thông. Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận, phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệ thống cao. Mặt khác, Toán học là một bộ môn đòi hỏi phải tư duy logic, phải biết vận dụng và kết hợp linh hoạt nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc hình thành phương pháp giải từng dạng toán cho các em học sinh là rất cần cần thiết, đặc biệt là để vừa đảm bảo tính chính xác và cả sự nhanh lẹ. Trong chương trình Toán học THPT, hình học không gian là một trong những chủ đề trọng tâm, xuyên suốt. Đặc biệt các bài toán về cực trị, liên quan đến chủ đề này luôn gây không ít khó khăn cho người học; các bài toán loại này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11, 12 và kỳ thi tốt nghiệp THPT ở mức độ vận dụng của đề thi. Để học tốt chủ đề này người học ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có thêm nhiều kỹ năng giải, có tư duy độc lập và tư duy sáng tạo. Vì vậy, trong quá trình dạy học, nếu người dạy biết cách khai thác các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức, các đại lượng Hình học từ những kiến thức cơ bản, bài tập đơn giản thì không những giúp các em học tập có hiệu quả mà còn tạo hứng thú học tập cho các em học sinh, và còn góp phần quan trọng trong việc rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho người học. Từ những ý tưởng và lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu (SKKN) là: ‘‘Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian”. 1.2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu về mặt lý luận dạy học. 1
- Nghiên cứu và khai thác một số tính chất hình học phẳng và hình học không gian vào giải quyết bài toán cực trị hình không gian. - Bước đầu giúp học sinh biết cách tìm tòi, phát hiện các tính chất của hình học, các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích để giải quyết bài toán liên quan đến đề tài nghiên cứu. Bên cạnh đó nâng cao tinh thần và năng lực tự học, tự nghiên cứu, phát triển các năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi, định hướng, giải quyết các bài toán của bản thân học sinh. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Học sinh khá giỏi THPT, đặc biệt là học sinh khối 11, 12 đam mê và có định hướng tham gia các kì thi HSG hay kì thi tốt nghiệp THPT với mục tiêu cao. - Giáo viên THPT - Bám sát nội dung chương trình Toán THPT. - Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG. 1.4. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu - Phương pháp điều tra, phân tích - Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng các bài toán hỗ trợ học sinh luyện tập trong quá trình tự học, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và đồng nghiệp sử dụng để rút ra các kết luận, bổ sung vào đề tài. - Xây dựng từng lớp các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian theo từng nội dung mà đề tài đưa ra. - Định hướng khai thác, mở rộng hoặc sáng tạo ra bài toán mới phát huy được năng lực tư duy của học sinh . 1.5. Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài Nội dung chính của đề tài là khai thác một số bài toán hình học không gian phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Đề tài chỉ đề cập tới một số bài toán điển hình về cực trị có thể vận dụng trong hình học không gian, chưa bao quát hết tất cả các dạng toán. Tuy nhiên thông qua các bài toán này phần nào giúp các em nắm được phương pháp chung để vận dụng vào giải quyết các bài toán cũng như phát hiện và phát triển thêm bài toán mới, nhiều cách giải quyết bài toán góp phần nâng cao năng lực tư duy của bản thân người học. Đề tài khai thác được một số bài toán liên hệ thực tế để học sinh có cái nhìn sinh động hơn và sâu sắc hơn về toán học nói chung và hình học không gian nói riêng. Đề tài tập trung vận dụng kết quả bài toán đại số hay tính chất hình học để giải quyết bài toán hình học đồng thời vận dụng nó để giải quyết những bài toán mới và có thể mở rộng, nâng cao mức độ của bài toán. Vì thế nó giúp học sinh cũng cố được kiến thức đã học vừa phù hợp để ôn thi tốt nghiệp THPT vừa làm tài liệu tự học hỗ trợ cho học sinh khá giỏi. 2
Phần II. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở khoa học a) Cơ sở lí luận: - Năng lực tư duy Có thể hiểu năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận, giải quyết vấn đề, xử lí tình huống trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn. Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018 môn Toán , một trong những biểu hiện quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát” (Bộ GD-ĐT, 2018). - Phát triển năng lực tư duy Có thể nói, phát triển năng lực tư duy HS chính là hình thành và rèn luyện cho HS 4 yếu tố cơ bản của tư duy gắn liền với việc hình thành và phát triển cho học sinh các thao tác của tư duy (phân tích, so sánh, suy luận, tổng hợp, khát quát, đánh giá, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa); các phẩm chất của tư duy (tính linh hoạt, tính sáng tạo, tính bền bỉ, tính năng động, tính đa dạng, đa chiều trong tư duy); các kỹ năng của tư duy (kỹ năng tư duy phê phán, kỹ năng tư duy đối thoại, kỹ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng tư duy giải quyết vấn đề). - Khai thác một số tính chất hình học phẳng và hình học không gian, kiến thức về cực trị hàm số, các bất đẳng thức đại số cơ bản thường dùng, sử dụng cho các bài toán tìm cực trị hình học không gian, từ đó HS có thể tự tìm phương pháp giải quyết bài toán phù hợp, và cao hơn là có thể phát biểu các bài toán mới. b) Cơ sở thực tiễn - Sau khi giải quyết một bài toán ngoài việc kiểm tra, mở rộng bài toán thì chúng ta luôn suy nghĩ xem phương pháp, kết quả của nó có thể vận dụng như thế nào vào việc giải các bài toán khác. - Giải toán có tác dụng bổ sung, hoàn thiện, nâng cao và liên kết các phần kiến thức lý thuyết liên quan một cách trực tiếp rõ ràng nhất. Đồng thời giúp cho học sinh phát triển tính tự giác tích cực, tạo tiền đề nâng cao các năng lực tư duy, khả năng tự học, củng cố cách trình bày lời giải, khả năng khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu quả. - Thông qua hệ thống bài tập nâng cao giúp giáo viên có thêm một kênh thông tin đánh giá năng lực tư duy trong học tập của học sinh. Từ đó phát hiện và hỗ trợ các em phát huy được khả năng bản thân hiệu quả và toàn diện nhất. 2.2. Thực trạng của vấn đề 3
- Trong thực tế quá trình dạy học tại trường, tôi thấy việc học tập bộ môn hình học không gian còn khá nhiều khó khăn đối với học sinh, - Việc dạy học chủ đề cực trị hình học không gian của đa số giáo viên còn gặp khá nhiều khó khăn trong việc lựa chọn cách thức tổ chức dạy học và xây dựng nguồn bài tập phong phú, đa dạng để kích thích được tư duy người học. - Nhóm nội dung kiến thức về cực trị trong hình học không gian là một trong những nội dung cần thiết cho học sinh khá giỏi. Sách giáo khoa, sách bài tập cũng đã đề cập đến dạng toán này. Và đặc biệt có khá nhiều bài toán xuất hiện trong các kì thi HSG, các bài toán mức độ vận dụng trong kì thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây. Do đó, nội dung đề tài mang tính thời sự cao và đáp ứng được nhu cầu giảng dạy cũng như học tập của một bộ phận không nhỏ giáo viên và học sinh. - Thực tế nội dung liên quan đến đề tài vẫn còn hạn chế nhiều về nguồn tài liệu một cách hệ thống nên bài viết phần nào hỗ trợ giáo viên và học sinh có thêm nguồn tài liệu bổ ích phục vụ cho công tác giảng dạy và học tập bộ môn hình học không gian. - Trong quá trình giải toán, tiềm năng sáng tạo của học sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi xử lý tình huống. Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy rằng để gây hứng thú học tập, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá kiến thức, học sinh, giáo viên cần phải trang bị cho mình các kiến thức, kỹ năng, các phương pháp học tập phù hợp. Bản thân nhận thấy trong quá trình tham gia giảng dạy lớp 12 và bồi dưỡng HSG tỉnh, chúng ta thường bắt gặp các bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao, trong đó có các bài toán cực trị trong hình học không gian thường hay gặp ở các chủ đề về thể tích, góc, khoảng cách, biểu thức về độ dài, Oxyz, ... Do vậy bản thân rất trăn trở suy nghĩ tìm cách rèn luyện cho học sinh cách tư duy khi đứng trước các bài toán này. Tôi hy vọng rằng, qua đề tài này có thể phần nào thực hiện được điều đó. 2.3. Triển khai nội dung của đề tài Đối với bài toán cực trị trong hình học không gian có nhiều phương pháp giải nhưng trong giai đoạn hiện nay để phù hợp với yêu cầu thực tế giải quyết các bài toán này, đòi hỏi các đối tượng học cần nghiên cứu sâu sát, để có kĩ năng chuyển hóa, sự nhìn nhận vấn đề một cách tốt nhất, vận dụng linh hoạt để hướng đến các hướng giải quyết theo một lớp phương pháp cụ thể, từ đó người học có thể giảm bớt nhiều khó khăn khi trong quá trình định hướng cũng như giải quyết bài toán đó. Việc đề xuất các hướng giải quyết cho bài toán cực trị hình không gian theo các lớp phương pháp đã phân loại cụ thể góp phần phát triển năng lực tư duy của người học. Qua đó học sinh sẽ vạch ra được các hướng giải quyết cho mỗi bài toán và dần dần hình thành kĩ năng để có được sự lựa chọn phù hợp từng phương pháp dựa vào đặc thù của mỗi bài toán. Cụ thể trong đề tài này tôi phân chia khai thác các 4
bài toán cực trị theo một số nhóm phương pháp giải quyết đồng thời cho học sinh tự rèn luyện và tổng hợp một số kết quả của học sinh trong từng dạng bài đã giáo. 2.3.1. Khai thác các tính chất hình học giải quyết bài toán tìm cực trị hình học 1. Các tính chất a) Nhóm tính chất hình học liên quan đến độ dài Tính chất 1. Trong không gian, cho 2 điểm phân biệt A, B . Với điểm M tùy ý, ta luôn có:  MA  MB  AB . Dấu “=” xảy ra khi M , A, B thẳng hàng và M thuộc đoạn AB .  MA  MB  AB . Dấu “=” xảy ra khi M , A, B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB ( M có thể trùng với A hoặc B ). Tính chất 2. Cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R và điểm A không thuộc mặt cầu  S  . Gọi M là một điểm di động trên mặt cầu  S  , khi đó ta luôn có tính chất sau: R  IA  AM  IA  R . (Tính chất 2 được mở rộng lên từ tính chất tương tự trong hình học phẳng về điểm và đường tròn). b) Nhóm tính chất hình học liên quan đến khoảng cách Tính chất 3. Cho mặt phẳng  P  và điểm M  P  . Với điểm N tùy ý thuộc  P  ta luôn có: MN  MH , với H là hình chiếu vuông góc của M trên  P  . Dấu “=” xảy ra khi N  H . Tính chất 4. Cho đường thẳng d và điểm M d . Với điểm N tùy ý trên d , ta luôn có MN  MH , với H là hình chiếu vuông góc của M trên d . Dấu “=” xảy ra khi N H . Tính chất 5. Cho hai điểm phân biệt A và B . Một mặt phẳng  P  thay đổi luôn đi qua B . Khi đó d  A;  P    AB . Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi  P   AB . Tính chất 6. 1. Cho điểm A và đường thẳng d  A  d  . Một mặt phẳng  P  thay đổi luôn chứa đường thẳng d . Khi đó d  A;  P    d  A; d  . Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi  P  vuông góc với mặt phẳng chứa A và d . 2. Cho điểm A không thuộc mặt phẳng  P  và đường thẳng d thay đổi nằm trong mặt phẳng  P  . Khi đó d  A;  P    d  A; d  . Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi d đi qua hình chiếu vuông góc của A lên  P  . c) Nhóm tính chất hình học liên quan đến góc Tính chất 7. Cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nhưng không vuông góc. Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa d2. Khi đó (d1;(P)) < (d1; d2). Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi (P) vuông góc với mặt phẳng chứa d1 và d2. Chứng minh: 5
Gọi I  d1  d2 . Lấy M  d1 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên  P d1 M d2 I H K ;sin  d1;  P    sin MIH  MK MH Mặt khác sin  d1; d2   sin MIK  MI MI  sin  d1;  P    sin  d1; d2    d1;  P     d1; d2  . Khi đó MH  MK . Dấu “=” xảy ra khi H  K .  Mặt phẳng  P  vuông góc với mặt phẳng chứa d1 , d 2 Tính chất 8. Trong không gian cho hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau và đường    thẳng d   Q  . Khi đó, d ,  P    P  ,  Q  , dấu “=” xảy ra khi d vuông góc với giao tuyến của  P  và  Q  . Chứng minh: Gọi I  d   P  . Lấy M  d , M  I . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên  P  và K là hình chiếu của H lên giao tuyến của  P  và  Q  . Khi đó HK  HI (Q) M d I K (P) H Ta có tan   P  ;  Q    tan MKH  , tan  D;  P    tan MIH  MH MH KH IH Do đó: tan  d ;  P    tan   P  ;  Q     d ;  P      P  ;  Q   . Dấu bằng xảy ra khi K  I hay d  a với a   P    Q  . d) Nhóm tính chất liên quan đến véc tơ. 2  AB 2  AB , A, B .  u  v  u  v  u  v , u1  u2  ...  un  u1  u2  ...  un 6
 Cho n điểm phân biệt A1, A2 ,..., An và bộ số k1, k2 ,..., kn thỏa mãn n k1  k2  ...  kn  0 . Khi đó tồn tại duy nhất điểm I sao cho  k .IA  0 . i 1 i i  Trong không gian, bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng khi và chỉ khi với điểm M tùy ý ta luôn có MA  a.MB  b.MC  c.MD và a  b  c 1. Trong nội dung này, tác giả chọn lọc và đưa ra một số bài toán cực trị hình không gian có sử dụng đến các tính chất hình học đã được hệ thống ở trên. Đồng thời đưa ra những phân tích, quy trình huy động kiến thức và một số bình luận phù hợp để việc tìm ra lời giải cho bài toán khi chưa có hoặc không có thuật giải tổng quát. Qua đó góp phần truyền thụ cho học sinh cách thức suy nghĩ, định hướng tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán và từ đó hình thành một số năng lực tư duy cũng như nâng cao kĩ năng, hiệu quả giải các bài toán trong quá trình các em tự học. Mỗi bài toán được đưa ra sau khi phân tích sẽ được trình bày theo hướng tìm ra thuật giải chung gồm: Bước 1: Phân tích bài toán: Tìm ra những yếu tố để phát hiện và liên hệ đến một tính chất hình học cụ thể đã biết. Bước 2: Sử dụng tính chất đó giải quyết bài toán. Bước 3: Khai thác các bài toán cùng dạng và hướng dẫn cho học sinh tự học 2. Ví dụ áp dụng Trong phần này tác giả hướng dẫn học sinh tự rèn luyện bằng các bài toán phân loại theo yêu cầu bài toán sử dụng tính chất hình. Ta xét bài toán cực trị liên quan đến thể tích khối đa diện, bài toán cực trị về độ dài gắn liền với thực tế, bài toán về góc, khoảng cách sử dụng vecto tọa độ và các tính chất hình học liên quan. Bài toán 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , G là trọng tâm tam giác BCD . Gọi I là trung điểm cạnh SG . Mặt phẳng  P  thay đổi luôn đi qua I , cắt các cạnh AB, AC, AD lần lượt tại M , N , P . Khi khoảng cách từ A đến  P  là lớn nhất, tính thể tích khối đa diện MNPABC . A M P I B N D G C Bước 1: Phân tích bài toán 7
Bài toán đã chỉ rõ mặt phẳng đi qua điểm I cố định. Nên sử dụng Tính chất 5 ta suy ra d  A;  P    AI suy ra khoảng cách lớn nhất bằng AI . Bước 2: Giải quyết bài toán Áp dụng tính chất 5, ta được d  A;  P    AI . Dấu “=” xảy ra khi VAMNP 1 7 7 2a 3 AI   P    P  //  BCD     VMNP. ABC  VABCD  . VABCD 8 8 96 Bước 3: Khai thác các bài toán kết hợp tính chất liên quan đến khoảng cách và hướng dẫn cho học sinh tự học. Sử dụng các tính chất 5, 6 về khoảng cách độ dài và thay đổi một số yếu tố của bài toán liên quan đến giả thiết hay yêu cầu đưa ra, ta có thêm bài toán mới theo các mức độ khác nhau. Bài toán 1.1. Trong mặt phẳng  P  cho S tam giác ABC đều cạnh bằng 8cm và một điểm S di động ngoài mặt phẳng  P  sao cho tam giác MAB luôn có M 2 diện tích bằng 16 3cm , với M là trung điểm của SC . Gọi  S  là mặt cầu đi qua bốn đỉnh M , A , B , C . Khi thể tích khối chóp S . ABC lớn nhất, tính bán A C kính nhỏ nhất của  S  . I H B Bài toán 1.2. Cho hình chóp S . ABCD S có ABCD là hình vuông cạnh 2a . Cạnh SA vuông với mặt phẳng  ABCD  và SA  a 2 . Gọi E là điểm trên đoạn BD sao cho DE  3EB . Gọi M là điểm thuộc đoạn AB sao cho AM  x . Tìm x để khoảng cách từ D đến  SME  là lớn A D nhất. M E B C 8
Bài toán 1.3. Cho hình chóp đều S S . ABCD có AB  a, SA  2a . Mặt phẳng  P  thay đổi đi qua A và cắt các E N cạnh SB, SD lần lượt tại M , N sao cho 1 1 3 M I   . Tìm giá trị lớn nhất của SM SN a D khoảng cách từ C đến  P  . A O B C Sản phẩm học sinh tự học 1.1. Cách 1: Cách 2: 9
1.2. 1.3. 10
Bài toán 2. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC 1 và ASB  ASC  CSB  30 . Mặt phẳng    thay đổi luôn đi qua A và cắt các cạnh SB, SC tại M , N . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AMN . Bước 1: Phân tích bài toán  Bài toán yêu cầu ta đi tìm min  AM  MN  NA .  Biểu thức trên là tổng độ dài các đoạn thẳng có quy luật nối tiếp nhau nên ta nghĩ đến việc sử dụng Tính chất 1  Vì 3 đoạn thẳng AM , MN , NA thuộc 3 mặt bên của hình chóp nên chưa thể áp dụng tính chất 1 ngay được. Hơn nữa việc gắn biến hoặc xây dựng mối liên hệ giữa 3 đoạn thẳng này cũng khá rắc rối và chưa có cơ sở để thực hiện. 11
 Từ đó gợi mở cho học sinh nãy sinh ý tưởng trải hình chóp ra phẳng như hình vẽ dưới đây S D=A S N N Trải phẳng C M A C M B B A Bước 2: Hướng giải bài toán Trải hình chóp S . ABC ra phẳng ta được hình vẽ như ở trên ( D chính là điểm A ban đầu). Khi đó chu vi tam giác AMN là P  AM  MN  NA  AH  HK  KD  AD . Dấu “=” xảy ra  M  H , N  K . Vì tam giác SAD vuông cân tại S , nên AD  SA 2  2 . Vậy, chu vi tam giác AMN nhỏ nhất bằng 2. Bước 3: Khai thác các bài toán thực tế liên quan đến độ dài đường gấp khúc và hướng dẫn cho học sinh tự học Từ bài toán này, có thể khai thác các bài toán thực tế áp dụng tính chất đường gấp khúc có thay đổi hình thức của giả thiết hay kết luận cho học sinh tự rèn luyện thêm. Bài toán 2.1. Người ta cần trang trí một S kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S . ABCD cạnh bên bằng 200m , góc L K ASB 150 bằng đường gấp khúc dây I J đèn led vòng quanh kim tự tháp H G F AEFGHIJKLS (như hình vẽ). Trong đó E điểm L cố định và LS  40m . Tính độ C dài đoạn dây tối thiểu dùng để trang trí B kim tự tháp. A D 12
Bài toán 2.2. Cho hình lập phương ABCD. ABCD cạnh a . Một con kiến xuất phát từ đỉnh A đi trên các mặt của hình lập phương. Tính quãng đường ngắn nhất con kiến đi từ A đến B mà phải đi qua tất cả các mặt ABCD, CDDC, ABCD của hình lập phương. Bài toán 2.3. Cho hình chóp hình tứ giác đều SABCD cạnh bên SA  600 (mét), ASB  15O . Chọn trên các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt các điểm Q, M , N , P sao cho độ dài đường gấp khúc AMNPQ ngắn nhất. Tính tỉ số AM  MN k . NP  PQ Sản phẩm học sinh tự học 2.1. 13
2.2. 2.3. 14
Bài toán 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA  a , AB  SB  SC  SD  a 3. Gọi M là điểm thay đổi trên đường thẳng CD . Gọi  là góc giữa SM và mặt phẳng  ABC  , tính tan  khi  lớn nhất. Bước 1: Phân tích bài toán  Bài toán yêu cầu xác định số đo góc nhỏ nhất giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta liên tưởng đến việc sử dụng nhóm tính chất liên quan đến góc, cụ thể là Tính chất 7  Từ giả thiết đề cho thiết lập được một số mối quan hệ giữa các yếu tố của bài toán để giải quyết nó. + Gọi O là tâm của hình bình thoi ABCD . Xét hai tam giác ABD và SBD ta có: AB  SB , AD  SD , BD chung. Suy ra ABD  SBD  AO  CO  SO (hai đường trung tuyến tương ứng). Tam giác SAC có đường trung tuyến SO và AO  CO  SO . Do đó SAC vuông tại S . Từ đó ta tính được AC  SA2  SC 2  2a , OD  CD 2  OC 2  a 2 . + Gọi H là hình chiếu của S trên AC , từ giả thiết ta có: BD   SAC   SH   ABC  . SA.SC a.a 3 a 3 + Trong SAC ta có SH . AC  SA.SC  SH    AC 2a 2  d  S ,  ABC    a 3 2 3a 2 9a 2 3a Ta có HC 2  SC 2  SH 2  3a 2    HC  4 4 2 Do SH   ABC     SMH . 15
Bước 2: Giải quyết bài toán SH Sử dụng Tính chất 7 ta có  lớn nhất khi tan   lớn nhất  HM HM ngắn nhất  M là hình chiếu của H trên đường thẳng CD . Ta có CHM đồng HM HC HC.DO a 6 dạng CDO    HM   . Khi đó OD DC DC 2 a 3/2 2 tan    . a 6/2 2 Bước 3: Khai thác các bài toán sử dụng tính chất hình học trong tọa độ không gian và hướng dẫn cho học sinh tự học Các ví dụ trên đã góp phần định hướng tư duy cho học sinh, tôi thấy nhiều em tự tin hơn và không còn bị động mỗi khi gặp dạng toán này nữa. Thông qua quy trình thực hiện tương tự, tôi có giao một nhiệm vụ cho học sinh 12 khi các em tiếp cận đến phần vecto và tọa độ trong không gian. Yêu cầu đặt ra là “Các em hãy xây dựng một nhóm bài toán cực trị có sử dụng một số tính chất hình học về độ dài, góc, khoảng cách hay vecto”. Kết quả thu được từ tập thể học sinh lớp 12A6 THPT Chuyên Phan Bội Châu như sau: Bài toán 4. Cho mặt cầu  S  : x2   y  2   z  4  9 , và điểm A1;  2;0  . Gọi 2 2 M là điểm thuộc  S  . Tìm giá trị lớn nhất của AM . Bước 1: Phân tích bài toán  Bài toán cho mặt cầu, một điểm cố đinh không thuộc với một điểm bất kì thuộc mặt cầu đó.  Ta liên hệ đến Tính chất 2 để xác định vị trí tương đối của điểm cố định với mặt cầu và xác định yêu cầu bài toán. Bước 2: Giải quyết bài toán Dễ thấy I  0;2; 4  , R  3 là tâm và bán kính mặt cầu  S  . Ta có IA  33  3  R nên điểm A nằm ngoài mặt cầu. Từ đó kết luận AM  IA  R  33  3 là giá trị lớn nhất cần tìm. Bước 3: Phát triển bài toán Bằng việc thay đổi vị trí tương đối của điểm cố định ở giả thiết Bài toán 4 cộng thêm kết hợp các tính chất về tâm tỉ cự ta có sáng tạo lớp bài toán tương tự sau: Bài toán 4.1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 8;5; 11 , , B  5;3; 4  , C 1;2; 6  và mặt cầu  S  :  x  2   y  4   z  1  9 . Tìm 2 2 2 M  S  sao cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn phân tích: Bài toán này đòi hỏi ta phải biến đổi nhằm quy quy đại lượng thay đổi về một bằng cách xác định tâm tỉ cự của hệ điểm đã cho. Lúc này ta chọn điểm I để IA  IB  IC  0  I  2;0;1 . Suy ra điểm I cố định và ta có: 16
Với I :       MA  MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC   MI  IA  IB  IC .   Khi đó, bài toán trở thành tìm M  S  sao cho IM nhỏ nhất. Bài toán 4.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  7;0; 11 , , B  5;3; 4  , C 1;2; 6  và mặt cầu  S  :  x  2   y  4   z  1  9 . Gọi M là 2 2 2 một điểm thuộc mặt cầu  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  MA2  MB2  3MC 2 . Hướng dẫn phân tích: Cách áp dụng giống bài toán 4.1, ta hhọn điểm I thỏa mãn IA  IB  3IC  0  I  3;3;  3 . Khi đó: P  MI 2  IA2  IB2  3IC 2 , P nhỏ nhất khi MI lớn nhất. Bài toán 4.3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 4;  2;4  , B  2;6;4  , C  5;  1;6  . Gọi điểm M bất kì thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho AMB  900 . Tính độ dài lớn nhất của đoạn thẳng CM . Hướng dẫn phân tích:  Dữ kiện bài toán AMB  900 cho ta biết về tập hợp điểm M là mặt cầu đường kính AB  Kết hợp với giả thiết M thuộc mặt phẳng  Oxy  ta kết luận được M chạy trên một đường tròn  C  cố định.  Từ đó ta cố gắng đưa bài toán về bài toán xét trong mặt phẳng  Oxy  z C O y x M H C' Gọi I là trung điểm của AB  I 1;2;4  . Vì AMB  900 nên M thuộc mặt cầu  S  AB tâm I , bán kính R  5. 2 Mặt khác M  Oxy   M thuộc đường tròn  C  tâm H 1;2;0  , bán kính r  3 (bạn đọc tự giải). 17
Gọi C  là hình chiếu của C trên mặt phẳng  Oxy   C  5; 1;0  và CC  6 . Ta có: CM 2  CC2  CM 2  36  CM 2 , do đó: CM lớn nhất  CM lớn nhất. Lại có: CM max  r  CH  8 . Vậy, CM max 10 . Bài toán 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B  1;2;0  , C  3; 1;2  và điểm M thuộc mặt phẳng    :2 x  y  2 z  7  0 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  MA  4MB  6MC . Bước 1: Phân tích bài toán  Về mặt ý tưởng giải quyết bài toán này cũng có ba yếu tố thay đổi do điểm M bất kì nên ta dùng kiến thức tâm tỉ cự để tìm điểm I thỏa mãn IA  4IB  6IC  0  I  21;15; 11 .  Biến đổi kết luận bài toán về một đại lượng thay đồi là P  MI  MI , khi đó P nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Đến đây ta liên tưởng đến Tính chất 3 để giải quyết bài toán. Bước 2: Vận dụng tính chất giải quyết bài toán Ta có, với điểm I nêu trên, P  MI  MI . Do I và mặt phẳng    cố định, ta gọi H là hình chiếu của I trên    . Khi đó IM  IH  Pmin  IH  d  I ,      24 . Bước 3: Phát triển bài toán. Từ Bài toán 5, thay biểu thức vecto của kết luận thành biểu thức độ dài hay chuyển mặt phẳng cố định về đường thẳng cố định ta có được các bài toán sau: Bài toán 5.1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  1  0 và ba điểm A1;2;0  , B 1;  2;4  , C  3;  10;12  . Điểm M  a ; b ; c  thuộc  P  sao cho MA2  MB 2  2MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp số: M  1;1;1 . Bài toán 5.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;4  , x5 y 2 z B  3;3; 1 và đường thẳng d :   . Xét điểm M thay đổi trên d , 2 1 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2MA2  3MB 2 . Đáp số: Pmin 160 . Bài toán 5.3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  3  0 và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  5  0 . Giả sử M  P  và N  S  sao cho MN cùng phương với véc tơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính độ dài đoạn thảng MN . Đáp số: MN max  3 2 . 18
Bài toán 5.4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng thay đổi lần lượt có phương trình là  P  : ax  2by  z  2a  b  3  0 ,  Q  : mx  ny  4 z  3m  4n  4  0 không đi qua M  2;1;0 . Đường thẳng d đi qua M không cắt  P  và  Q  . Trong trường hợp tổng khoảng cách từ d tới  P  và  Q  đạt giá trị lớn nhất. Tìm một vectơ chỉ phương của d . Đáp số: u   3;5;0  . Bài toán 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;1 , x 1 y  5 z B 1;2; 3 và đường thẳng  :   . Viết phương trình đường thẳng d 2 2 1 đi qua A vuông góc với đường thẳng  đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất. Bước 1: Phân tích bài toán  Giả thiết bài toán cho đường thẳng d đi qua A vuông góc với đường thẳng  dẫn đến ý tưởng sử dụng Tính chất 6 là cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với  .  Từ đó ta có kết quả mô tả bằng hình ảnh sau:  B A d K H P) Bước 2: Giải quyết bài toán  Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với  :  P : 2x  2 y  z  9  0 .  5  Xác định hình chiếu H của B trên  P  : H  0;1;   , ta có:  2 d  B, d   d  B,  P    BH .  Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng đi qua A, H . Phương trình x  2 y  2 z 1 đường thẳng AH :   . 4 6 7 19
Bước 3: Phát triển bài toán Ta có thể phát triển một số bài toán cực trị hình giải tích dạng này ở mức độ vận dụng. Bài toán 6.1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z  3  16 và các điểm A1;0;2  , B  1;2;2  . Gọi  P  2 2 2 là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của  P  với mặt cầu  S  có diện tích nhỏ nhất khi viết phương trình  P  . Đáp số: x  y  z  3  0 .  5 Bài toán 6.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;  ,  2  5 B  4;2;  . Tìm M thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho ABM  450 và tam giác MAB  2 có diện tích nhỏ nhất. Đáp số: M  0;1;0  . Bài toán 6.3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x  2 y 1 z x4 y 5 z 3 d:   và đường thẳng  :   . Hai mặt phẳng  P  , 3 2 3 2 3 4  Q  vuông góc với nhau, luôn chứa d và cắt  tại hai điểm M , N . Tìm độ dài ngắn nhất của MN . 182 Đáp số: MN min  . 638 Kết quả nêu trên là những tình huống cơ bản giúp học sinh dễ nhận ra được các tính chất hình học đã được giới thiệu ở trên.Từ ý tưởng xây dựng các bài toán bài toán cực trị cơ bản trong hình học tọa độ các em có thể giải quyết được các bài toán nâng cao hơn nữa. Khá nhiều bài toán cực trị trong hình học không gian, thường chứa đựng trong nó bản chất là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay một biểu thức đại số nào đó. Từ đó, tác giả muốn khai thác các bài toán dạng này để góp phần tạo hứng thú học tập, bớt tâm lí e ngại cho học sinh đồng thời giúp các con hình thành tư duy thuật giải cho những lớp bài toán cực trị hình học. Qua việc chuyển giao giữa yếu tố hình học và yếu tố đại số của một bài toán phần nào phát triển năng lực tư duy toàn diện hơn cho người học. 2.3.2. Sử dụng công cụ khảo sát hàm số vào bài toán tìm cực trị hình học Sử dụng kiến thức về tính đơn điệu cực trị của hàm số luôn là một vấn đề khá hấp dẫn, tôi muốn thông qua khai thác các ví dụ cụ thể, rèn luyện được cho học sinh biết chuyển từ bài toán cực trị trong hình học về bài toán cực trị của hàm số và đồng 20