HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP
Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Chú ý : .
Các bài toán hệ phương trình sau đây được trích trong tập “Hệ phương trình luyện thi đại học” của lớp
11C1K35-Trường THPT Đặng Thúc Hứa, Thanh Chương, Nghệ An.
Lời giải: Phan Thị Minh Ngọc (10C1K36), có tham khảo lời giải của các thành viên của diễn đàn
www.k2pi.net
Mọi góp ý các bạn vui lòng cập nhật thông tin tại diễn đàn www.k2pi.net
Một số bài toán đã được lược bỏ trong quá trình biên soạn. Đã chỉnh sửa lại đề cho cái bài sau: 16;37;69
Bài 1 (Nguyễn Thế Anh)
1.
3 2 2
3 2
3 3 3 4 1 1
3 6 6 12 1 2
x x y x y
y xy x y y
Lấy
1 2
ta có:
2 2
2 2
1 0
1 4 2 6 0
4 2 6 0
x y
x y x xy y x y x xy y x y
Trường hợp 1:
2 2 2 2
4 2 6 0 2 4 6 0
x xy y x y y x x xy
Ta có:
2
3
yx
Nên phương trình trên vô nghiệm.
Trường hợp 2 :
1 0 1
x y y x
.Thay vào
1
Ta có: 3 2
0
6 0 3 2 2
3 2 2
x
x x x x
x
o Với
0 1
x y
o Với
3 2 2 4 2 2
x y
o Với .
3 2 2 4 2 2
x y .
Vậy hệ có nghiệm là:
; 0;1 , 3 2 2;4 2 2 , 3 2 2;4 2 2
x y
2.
2 2
2
1 0
1 0
y x y x
xy
xy x y
ĐK:
; 0
x y
Từ phương trình đầu tiên của hệ ta có:
2 0
2 0
2 0
y x y x xy
x y
y x y x y x
Với
x y
. Thay vào phương trình thứ hai ta có: 2
1 0 1
x x
Với
2 0
y x
.Do
; 0
x y
. Nên phương trình vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm :
; 1;1
x y
Bài 2 (Nguyễn Văn Anh)
3.
3 3 2 2
3 3 2 2
2 3 5( )
8 0
5
5 1 2 2
x y x y x y
xy
x y x y
x y
x y
ĐK: 1
; 0 2
5
x y
Phương trình thứ nhất của hệ thương đương với:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP
Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
3 2 2
3 3 2 2
2 3 2 0 2 0
x y x y x y x y
x y x y
xy xy
x y x y
Với
x y
Ta thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 2
1 1
2 2
5 5
5 1 2 3
5 1 2 2 5 1 2 9 2 5 1 2 9 4 1
x x
x x x
x x x x x x x x x
23 2
2
2 13 2 13
22
99
1
9 1 9 3 1 0
9 4 1 4 5 1 2 0
xx
x
x x x x
x x x x
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
; 1;1
x y
Bài 3 (Hoàng Đình Chung).
6.
2 2
2 2 2 2
10 3 29 2 20
2 5 5 5 2 5 5 5
x y x xy x y
x y x y x x x y x y y y
Từ phương thứ hai của hệ ta được
2 2 2 2
2 2 2 2
2 5 2 5 5 5 5 5 0
1 1 1
10 0
2 5 2 5 5 5
5 5
10
x y x y x y x x y y x y
x y x y x y x y
x y x x y y
x y
Thay
10
x y
Vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2 2 2
10 10 10 3 10 27 10 0 10 17 73 0 10
y y y y y y y y y y
Với
10 0
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
; 0;10
x y
7.
3 2 2 2
2 2 2 2
5 2 2 2 0
10
2
x x x y xy xy
x x y xy y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2 2
2 2
0
5 2 2 2 0
5 2 2 2
x
x x xy x y y
x xy y x y
Với
0 0
x y
Với: 2 2
5 2 2 2
x xy y x y
kết hợp phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 2
2 2 2 2
5 2 2 2
2 2 2 0
x xy y x y
x x y xy y
Xét thấy
; 0;0
x y là 1 nghiệm của hệ. Với
; 0
x y
Đặt
x ay
ta có hệ :
2 2 2
2 3 3 2 2 2
5 2 2 2 2 1
2 2 2
a y ay y y y
a y ay a y y
22 2 2
2 2
2 2
5 2 2 2
5 2 2 2 1 2 2 2 0
2 2 2 1
1 3
2
5 2 2 2 2 1 0 1 3
2
a a a a a a a a a
a a a
a
a a a a
a
Với .
1 3
2
a
. Thế vào
1
ta tìm được:
3 1 1
y x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP
Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Với
1 3
2
a
Thế vào
1
ta tìm được:
3 1 1
y x
Vậy hệ có nghiệm:
; 0;0 , 1; 3 1 , 1; 3 1
x y
8.
2 2 6 2 3 4 2 4
2 0
24
x x y xy y xy y x y
xxy
y
Hướng dẫn: Rút
y
từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất rồi phân tích có nhân tử chung 2
1
y
9.
3 3 2 2 2
2 3 2 0
11 0
4 2
x y xy xy x y
yx y
Từ phương trình thứ của hệ ta có:
2
3 3 2 2 2
2 3 2 0 2 1 0
1
2
x y
x y xy xy x y x y x y
x
y
Với
1
2
x
y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2
1 1 1 0 2 0
2
xx x
x
Vô nghiệm
Với
x y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 1
1 0
5 1
yy
Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
11.
2 2 2
2
( ) 3 3 2 3 15 23
2 2 3
x y x y xy y y
x x y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 3
3 2 3 2
6 16 9 31 23 2 4 2 3 4 3
x x x y y y x x y y
Xét hàm số: 3
( ) 4
f t t t
2
' 3 4 0
f t t
Hàm số đồng biến
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng:
( 2) 3 2 3 1
f x f y x y y x
Thay 1
x y
vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
24
3 1 3 1 1 0 1
3 1 2
x x x x x
x
Với
1 0
x y
Vậy hệ có nghiệm:
; 1;0
x y
Bài 7 (Đậu Thị Giang)
13.
3 3 2
2 2
3 17 18 3 13 9
6 5 10 0
y xy x x x y
x y xy y x
Rút
xy
từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3
3 2 3 3
5 3 3 2 1 2 1 2
y y y x x y y x x
Xét hàm số: 3
( ) 2 0
f t t t
Hàm số đồng biến
1 1
f y f x x y
Thay
1
x y
vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP
Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
2
8
3 14 16 0
3
2
y
y y
y
Với
8 5
3 3
y x
Với
2 1
y x
Vậy hệ có nghiệm:
5 8
; 1;2 , ;
3 3
x y
14.
2 2
2 2
4 2 2 5 3
2 5 2 3 10
x xy y y x
x xy y x
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
1
1 4 2 3 0 4 3
2
x y
x y x y x
y
Với 1
x y
thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta : 2
4 1
3 3
9 6 8 0
2 5
3 3
x y
x x
x y
Với 4 3
2
x
y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ cho ta:
11 89
15 11 0
15 30
x x y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
4 1 2 5 11 89
; ; , ; , ;
3 3 3 3 15 30
x y
15.
2 2
2
3 3 3 9 3 4 0
3 6 2 10 3 0
x xy y x y
y xy x y
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
1
1 3 2 3 0 3
2 3
y
y x y
y x
Với
1
3
y
thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta: 2
2
16
3
3 10 0
8
3
3
x
x x
x
Với
2 3
y x
thay vào phương trình thứ nhất của hệ cho ta: 2
15 27 31 0
x x
Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 8 (Nguyễn Thị Giang)
16.
3 3 2 2
2 2
4 6 3 0
3 4 7 0
x y x x y y
x y x xy y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
3 2
3 3 2 2 3 2
4 6 3 0 1 4 1 6 1 4 6
x y x x y y x x x y y y
Xét hàm số: 3 2
( ) 4 6
f t t t t
ta có:
2
'( ) 3 8 6 0
f t t t
nên hàm số đồng biến.
Phương trình thứ nhất của hệ có dạng :
Thay
1
y x
vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 2
3 4 12 0
x x
Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
17.
2 2 0
3 5
x x y y xy y y x
x y x y xy
ĐK :
; 0
x y
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP
Phan Thị Minh Ngọc C1K36 THPT Đặng Thúc Hứa
Thế
xy
từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ ta có :
3
3 4 2 0 1 1
x x y y x x y x x y y y
Xét hàm số :
3
f t t t
ta có :
2
' 3 1 0
f t t
. Nên hàm số đồng biến
Phương trình có dạng :
1 1
f x f y x y
Thay
1
y x
vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
0 0 1
x x x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm
; 0;1
x y
Bài 9 (Nguyễn Thị Trà Giang)
18.
3
31
4 2
1 1 1
2
3 4 8 1
x y
y x y
x y y
ĐK:
1; 3 4 8
y x y
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2
3 4 2 4 1 0 1
3 2
x y y x y x y y x y
Do
2 2 2 1
1 3 3 3 2 3 1
3 3
3 2 3 2
y y y x y y x y y x y
Nên từ
1
ta có:
4
x y
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 3
1 1 1
2
2 1 1y y
.
Đặt 6
1
1
a
y
. Ta có:
2 3 2
1 1
1 2 1 0 1
2 2
a a a a a a
. Hay 6
1
1 1 1 2
1y y
y
Với
2 8
y x
Vậy hệ có nghiệm:
; 8;2
x y
19.
1 4 4
2 1 0
1 1 1
1
( 1)( 1) 1 2 1 2
2
x
x x
y y y
y
y x x y
ĐK:
1 ; 1
x y
Đặt
1 ; 1 0 ; 0
x a y b a b
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:
2
2 2 2 2 2 2
1 2 4 4 0 2 2 0
a b ab b ab b a b ab ab
Do
0 ; 0
a b
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2
2 2 2
2
2 0
0
2 0
b
b
a
a ab a b
Khi đó: 1 0
1
5
1 2
xx
y
y
Nhân thấy rằng
1
5
x
y
thõa mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có nghiệm:
; 1;5
x y .
Bài 10 (Nguyễn Phương Hà)