Đề cương ôn tập Toán lớp 10 năm 2014-2015: Tổng hợp kiến thức và bài tập

Ề Ậ Ợ ủ ề Ệ Ch đ 1 : M NH Đ T P H P ấ ề Ệ Ề

V n đ 1 : M NH Đ A: TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT

1.Ñònh nghóa:Meänh ñeà laø moät caâu khaúng ñònh Ñuùng hoaëc Sai. Moät meänh ñeà

Cho meänh ñeà P.Meänh ñeà “Khoâng phaûi P ” laø meänh ñeà khoâng theå vöøa ñuùng hoaëc vöøa sai 2.Meänh ñeà phuû ñònh:

phuû ñònh cuûa P. Kyù hieäu laø P . Neáu P ñuùng thì P sai, neáu P sai thì P ñuùng

3. Meänh ñeà keùo theo vaø meänh ñeà ñaûo : Cho 2 meänh ñeà P vaø Q. Meänh ñeà “neáu P thì Q” goïi laø meänh ñeà keùo theo

Q chæ sai khi P ñuùng Q sai Kyù hieäu laø P (cid:0)

Q. Meänh ñeà P (cid:0) Q. Khi ñoù meänh ñeà Q (cid:0) P goïi laø meänh ñeà ñaûo cuûa P (cid:0) Q

Q ñuùng khi caû P vaø Q cuøng ñuùng Q.Meänh ñeà P (cid:0)

Cho meänh ñeà P (cid:0) 4. Meänh ñeà töông ñöông Cho 2 meänh ñeà P vaø Q. Meänh ñeà “P neáu vaø chæ neáu Q” goïi laø meänh ñeà töông ñöông , kyù hieäu P (cid:0) 5. Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “ (cid:0) x(cid:0) Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “ (cid:0) x(cid:0) X, P(x) ” laø meänh ñeà “(cid:0) x(cid:0) X, P(x)” X, P(x) ” laø meänh ñeà “(cid:0) x(cid:0) X, P(x)”

ệ ủ ủ ề

ế " "

B: BAØI TAÄP: ệ ậ Bài 1 : L p m nh đ ph đ nh c a các m nh đ sau và xét tính đúng sai c a chúng a. c. x e. M i hình vuông đ u là hình thoi

ề ủ ị :P “ 15 không chia h t cho 3” =�ﾡ x x .1 : ọ :Q “ 2 1> ” =�ﾡ x x . 1 : ộ ề ả b. d. f. Có m t tam giác cân không ph i là tam giác

đ uề Bài 2 : Cho s th c

và xét tính đúng sai c a nóủ ố ự x Xét các m nh đ ề ệ ộ ố ữ ỉ " :"P x là m t s h u t ộ ố ữ ỉ " :"Q x là m t s h u t ề P Q(cid:0) ề ả ủ ệ ệ ỉ ệ ị ủ x mà m nh đ đ o sai. ệ ề ề ả ề và $ t các m nh đ sau

ể a. Phát bi u m nh đ ể b. Phát bi u m nh đ đ o c a m nh đ trên ộ c. Ch ra m t giá tr c a Bài 3 : Dùng kí hi u ệ " ộ ố ọ ố ự ộ ệ ế ề ị ằ ả ủ ộ ố ữ ỉ

ơ ố ố ủ nhiên đ u l n h n s đ i c a nó ề ủ i các m nh đ sau và xét tính đúng sai c a chúng " b. a. ể ế đ vi a. Có m t s nguyên không chia h t cho chính nó ớ b. M i s th c c ng v i không đ u b ng chính nó ỏ ơ c. Có m t s h u t nh h n ngh ch đ o c a nó ề ớ ọ ố ự d. M i s t ệ ể Σ ﾡ $ Σ ﾡ x : : - - " $ c. d. ﾡ � ﾡ � x x : 1 1 : - -

" $ e. f. �ﾡ x : : ề ủ ị ủ ệ ề = - 2 $ " a. b. �ﾡ ể �ﾡﾡ � x x ờ Bài 4: Phát bi u thành l x x 0 2 1 x = + x x 1 + + > 2 x x x ờ Bài 5 : Phát bi u thành l x 1 : x 0 2 1 x = + x x 1 + + > 2 x x 1 0 ậ i các m nh đ sau.Xét tính đúng sai và l p m nh đ ph đ nh c a chúng. + + 2 x x : 1 0 ệ � 2 0

Trang 1

Baøi 6 : Duøng phöông phaùp chöùng minh phaûn chöùng ñeå chöùng minh : a. Vôùi n laø soá nguyeân döông, neáu n2 chia heát cho 3 thì n chia heát laø soá voâ tyû b. Chöùng minh raèng 2

Ậ Ợ ấ V n đ 2 : T P H P

c. Vôùi n laø soá nguyeân döông , neáu n2 laø soá leû thì n laø soá leû d. Neáu a(cid:0) b(cid:0) c thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca e. Neáu a.b chia heát cho 7 thì a hoaëc b chia heát cho 7 f. Neáu x2 + y2 = 0 thì x = 0 vaø y = 0 ề A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT :

1. Taäp hôïp laø khaùi nieäm cuûa toaùn hoïc . Coù 2 caùch trình baøy taäp hôïp Lieätkeâ caùc phaàn töû :

A = (cid:0) a; 1; 3; 4; b(cid:0) hoaëc N = (cid:0) 0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . (cid:0) Chæ roõ tính chaát ñaëc tröng cuûa caùc phaàn töû trong taäp hôïp ;

daïng A = (cid:0) {x/ P(x)(cid:0)

)

( x x A

A = (cid:0) x(cid:0) N/ x leû vaø x < 6(cid:0) (cid:0) " *. Taäp con :

A = (cid:0) 1 ; 3; 5(cid:0) � � � x B ) �� x B

� � A B ( "� x x A coù ít nhaát 2 taäp con laø (cid:0) vaø A = A B Cho A ≠ (cid:0)

2. Caù c ph e ù p to a ù n tre â n ta ä p hôïp : Ph e ù p hôïp Ph e ù p gia o Hie ä u cu û a 2 ta ä p hôïp

A\ B = (cid:0) x /x(cid:0) A vaø x(cid:0) B(cid:0)

A(cid:0) B = (cid:0) x /x(cid:0) A hoaëc x(cid:0) B(cid:0)

E thì CEA = E\A = (cid:0) x /x(cid:0) E vaø x(cid:0) A(cid:0)

A(cid:0) B = (cid:0) x /x(cid:0) A vaø x(cid:0) B(cid:0) Chuù yù: Neáu A (cid:0) 3. Caù c ta ä p con cu û a ta ä p hôïp so á th öï c

Taäp hôïp Hình bie å u die ã n

Teân goïi, kyù hie ä u Ñoaïn [a ; b] (cid:0) x(cid:0) R/ a (cid:0) x (cid:0) b(cid:0) //////////// [ ] ////////

////////////( ) ///////// Khoaûng (a ; b ) (cid:0) x(cid:0) R/ a < x < b(cid:0)

Khoaûng (-(cid:0) ; a) )///////////////////// (cid:0) x(cid:0) R/ x < a(cid:0)

(cid:0) Khoaûng(a ; + (cid:0) ) Nöûa khoaûng [a ; (cid:0) x(cid:0) R/ a< x (cid:0) x < b(cid:0) (cid:0) R/ a (cid:0) ///////////////////( ////////////[ ) /////////

b) ////////////( ] ///////// (cid:0) x(cid:0) R/ a < x (cid:0) b(cid:0)

Nöûa khoaûng (a ; ]///////////////////// (cid:0) x(cid:0) R/ x (cid:0) a(cid:0)

Nöûa khoaûng (-(cid:0) ;

Trang 2

Bài t pậ :

ị ỗ ậ Bài 1 : Tìm m t tính ch t đ c tr ng xác đ nh các ph n t

{

} 10

ấ ặ 1 A B ; ; ; ; a. b. ư � � � � 1 1 1 1 ; ; 2 6 12 20 30 ợ 2 3 4 6 ; ; 3 8 15 24 35 ộ � = � � ầ ử ủ c a m i t p h p sau : 5 � = � � ệ ầ ử ủ ậ c a t p h p sau = = < - �ﾡ t kê các ph n t -� ﾡ A k �� k B x x k 3 1/ ợ } 3 , 5 / Bài 2 : Li a. b.

ﾡ C x / 3 c. � �

{

}

{

}

+ = = + (cid:0) (cid:0) ﾡﾡ k A B l 19 2 k 3 1/ 4 / l 6 � = Σ�� x � ậ ứ .Ch ng t ; ỏ B A(cid:0)

ợ ợ ị

{

} 0;1; 2;3; 4 ;

c. f. = ợ Bài 3 : Cho hai t p h p ộ ậ Bài 4 : Cho A là m t t p h p tùy ý.Hãy xác đ nh các t p h p sau : b. A A(cid:0) e. A �� { B a. A A(cid:0) d. A �� { = A C ậ \A A \A (cid:0) } 0;3;6;9 Bài 5 : Cho

} 0; 2; 4;6;8 ; ) )

( (

A B A ề ế ậ ả ị a. Xác đ nh

( (

= ) ) A B A ả ậ B C� � . Có nh n xét gì v k t qu ? B C� � . Có nh n xét gì v k t qu ? b. Xác đ nh

{

= = ị { B C A C� � và C� � và { } 0; 2; 4;6;8;10 ; ề ế } 4;5;6;7;8;9;10 Bài 6 : Cho

)

} 0;1; 2;3; 4;5;6 ; ) (

) B C� �

.Hãy tìm : ( = ( A c.

A B A B A a. d. ( A b. e. (

)

ợ ố ụ ố Bài 7 : Xác đ nh m i t p h p s sau và bi u di n trên tr c s : - (cid:0) - (cid:0) B C� � ) C� � ị 5;3 3;7

) )

[

]

) �

- - (cid:0) - (cid:0) B C� � ) C� � ể ễ ( 1;5 ( 3;3 0;5

) �� ;3 ( ) 3;3 \ 0; 4

) ) ( ) 2;3 \ 0;5

( \ 0; +(cid:0) ) 1;3 )0; 4 \ ﾡ

- - ỗ ậ ) ( 0;7 ( - + 2; ) 0; 2 ) a. ( d. ( g. ( ﾡ c. f. ( i. (

( = -

)

(

)

( �

) 3;5 ,

(cid:0) A A = - B ợ A B(cid:0) ( ) ( = - 3; 2 5;0 4;6 1; 2 a. b.

} 3

b. ( e. ( h. ( , v i ớ ) 3;7 < < ị ậ Bài 8 : Xác đ nh t p h p ] [ = B 1;5 , { = �ﾡ A x x ả ể .Hãy bi u di n ợ ủ ễ A thành h p c a các kho ng. Bài 9 : Cho t p ậ

} 2

= / 2 { γ ﾡ x A x / ễ ậ ữ ả ợ thành h p các n a kho ng. ể Bài 10 : Bi u di n t p

{

} 1 1

1 > = = - < ﾡ � ﾡ � A B x x / / . .Hãy tìm A B(cid:0) và A B(cid:0) Bài 11 :Cho - x 2

{

} 3 ;

} 5

= ﾡ � ﾡ � � � 2 ; � � = B A x x � � x � � � { x - < 1 / + > x 2 / . .Hãy tìm A B(cid:0)

Bài 12 : Cho Baøi 13 :

C vaø B(cid:0) D , chöùng minh raèng (A(cid:0) B)(cid:0) (C(cid:0) D)

C) = (A\B)(cid:0) C) = (A\B)(cid:0) a. Cho A (cid:0) b. CMR : A \(B(cid:0) c. CMR : A \(B(cid:0) (A\C) (A\C) ủ ề Ố Ch đ 2 : HÀM S ớ ế ứ ầ

)

( f x

= ậ ị ộ ữ ạ ằ ả ả có t p xác đ nh là ữ D , K là m t n a kho ng ( n a kho ng hay đo n ) n m trong

)

( f x 0

Trang 3

= (cid:0) ộ ồ ị ủ ố ế ữ Nh ng ki n th c c n nh Hàm s :ố y Hàm s ố D ố ấ ủ Tính ch t c a hàm s : Đi m ể ( thu c đ th c a hàm s n u ;x y 0 0 y 0 ( 0x thu c ộ D )

)

( ) < f x 1 ) ( > f x 1

( f x 2 ( f x 2

)

(

) =

)

( f x

" (cid:0) � � ế K : x x , 1 2 < K x : 1 x 2 " (cid:0) � � ế < K x : 1 (cid:0) ố ồ ị ủ x 2 ố ằ x x , 1 2 ( m là h ng s ). Đ th c a hàm s ố f n m trên đ ằ ườ ng ặ ẳ = - " (cid:0) f x ẵ ồ ị ủ ố là hàm s ch n : � và . Đ th c a hàm s ố f có tr cụ

)

(

) = -

)

( f x

-� x D x D :

� và

ụ - " (cid:0) f x ồ ị ủ : .Đ th c a hàm s ố f có tâm đ iố

(

x = y ( a >

x = y ( a <

Hàm s ố f đ ng bi n trên ồ Hàm s ố f ngh ch bi n trên ị K : K : y m= ổ Hàm s không đ i trên ớ Ox . th ng song song ( ho c trùng ) v i -� y x D x D : ố ứ đ i x ng là tr c tung. ( = y f x ố ẻ là hàm s l ố ọ ộ O ứ x ng là g c t a đ ấ ố ậ Hàm s b c nh t : = (cid:0) (cid:0) + ax b a y ﾡ ậ ị ố ể ứ .T p xác đ nh : (cid:0) ả - (cid:0) - (cid:0) +(cid:0) - (cid:0) ở Hàm s cho b i bi u th c ế B ng bi n thiên : +(cid:0) +(cid:0)

+ ax b )0 + ax b )0 - (cid:0) +(cid:0)

(

= (cid:0) (cid:0) ồ ố ườ ệ ố ẳ ằ ị ủ Đ th c a hàm s là đ ng th ng có h s góc b ng a , c t ắ Ox t iạ

)

- + ax b a )0;b y i ạ (

2d là hai đ

1a và

2a thì

(cid:0) ườ ệ ệ ố t có h s góc là b � � và c t ắ Oy t ;0 � � a � � 1d và ( ) N u ế (

a 1 ۹ a

2 �

^ ng th ng phân bi ( ( ( d ) 1 ẳ ) ( ) a=�P d d 1 1d c t ắ ( ) ) ( ) d d 1 a 1 = - a a 2. 1

)

( c a

ố ậ Hàm s b c hai = + + (cid:0) (cid:0) ax bx y 0 ﾡ ố ứ ể ậ ị .T p xác đ nh : (cid:0) ả ở Hàm s cho b i bi u th c ế B ng bi n thiên:

- - - (cid:0) - (cid:0) +(cid:0) +(cid:0) b a 2 b a 2 D +(cid:0) +(cid:0) = + + + y c bx c - 4a = y ( a < + ax bx ( )0 a > ax )0

)

( c a

D - - (cid:0) (cid:0) 4a D = + + (cid:0) - - (cid:0) ax bx y 0 ; ồ ị ủ ể ỉ ố Đ th c a hàm s là parabol có đ nh là đi m ; có tr cụ a 4 - b � � a 2 � � � �

= - ướ ề ố ướ x ố ứ đ i x ng là ; h ng b lõm lên trên khi i khi a > và xu ng d 0 a < . 0 b a 2

ề Ạ ƯƠ Ề Ố NG V HÀM S ấ ậ ố

)

( ) A x (cid:0)

( A x

Trang 4

= ủ ) V n đ 1 : Đ I C ị T p xác đ nh c a hàm s ( = y A x 0 ậ ị ố y T p xác đ nh là Hàm s có nghĩa khi D = ﾡ ;

( ) A x (cid:0)

) ( A x >

)

= = y y 0 0 ố ố Hàm s có nghĩa khi ; Hàm s có nghĩa khi 1 ( A x 1 ( A x

ẫ ậ

ủ ố ị Bài t p m u : ậ Bài 1: Tìm t p xác đ nh c a các hàm s sau : - - x 3 = = y y b. a. - + 2 x x 3 x 2 2 1

{

Bài gi - + ﾡ \ ố . V y ậ i :ả a. Hàm s có nghĩa khi x 1 -�۹ 1 0

} 1 )

(cid:0) D = ( D = - ; 2 . V y ậ b. Hàm s có nghĩa khi - > x 2

)

( f x

0 ố ố ẵ ẻ ủ x <� x 2 c a các hàm s sau : + x 2 = + = Bài 2 : Xét tính ch n l ( f x x 2 3 b. a. x Bài gi i :ả

= - - (cid:0) D (cid:0) +(cid:0) ; ậ ố a. Ta có nh ng ư .V y hàm s đã cho không là hàm l ẻ 2 D (cid:0) 3 2 � .ta lai có 2 D(cid:0) �

{ } \ 0

2 +

(cid:0) - (cid:0) � � cũng không là hàm ch n.ẵ D = ﾡ .N u ế x D(cid:0) b. , do đó và x D .

x (cid:0) )

x- + 2 = -

(

) =

)

( f x

)

- thì ( x x (cid:0) 2 = - - Ta lai có , : f x - x x

( f x là hàm s l

V y ậ .ố ẻ

ủ ậ Bài t p ậ : ố ị Bài 1 : Tìm t p xác đ nh c a các hàm s (cid:0) (cid:0) x3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 1. 2. 3. y y 2x 3 (cid:0) (cid:0) 3x 2x 4x

(cid:0) (cid:0) 2x 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 4. 5. 6. y 2x 1 4 3x y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x5x3 x5 3x 10 x

(cid:0) x 2x 5x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 7. 8. 9. y 3x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2x x 5 3 1x x 6x 5 2x

(cid:0) (cid:0) 5x (cid:0) (cid:0) 3x (cid:0) y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 11. 10. 12. y y 2x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2x 2 (cid:0) (cid:0) x 2x 1x x x 5 4x 3 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 13. 14. 15. y y 2x x 1 (cid:0) x2 x 1 4x 2 (cid:0) x x

)

( f x

Bài 2 : Cho hàm s ố - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x , 0 = = - (cid:0) y 3 1 (cid:0) + 2 - (cid:0) x 2 x x > x x 2 , 0

Trang 5

ậ ủ ố = = - x x = x 5; 2; 2 ạ ị a. Tìm t p xác đ nh c a hàm s ố ị ủ b. Tính các giá tr c a hàm s đó t i

)

( g x

Bài 3 : Cho hàm s ố (cid:0) - (cid:0) 2 8, = = (cid:0) y + x 3 + < x > (cid:0) (cid:0) x x 2 7,

(

)

) 3 ;

) 1 ;

ủ - g g g 9

)

( f x

)

( f x

ố ị ậ a. Tìm t p xác đ nh c a hàm s ) g 2 ; b. Tính các giá tr ị Bài 4 : Cho hàm s ố (cid:0) > x , 0 (cid:0) x + (cid:0) = (cid:0) x 3 1 + (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x , 1 0 (cid:0) - (cid:0) x x 1 1 = ậ

(

) 3 ;

) 2 ; =

- - ủ ( f f f f y ) 1

) 0 ; b. Tính Bài 5 : Cho hàm s ố ( f x

+ - ố ị a. Tìm t p xác đ nh c a hàm s ( ( ) x x 1

)

( f x

= y ậ ủ

)

ồ ị ể ể ố ị a. Tìm t p xác đ nh c a hàm s ố b. Cho các đi m O(0;0), A(2;5), C(5;27), D(10,99). Đi m nào n m trên đ th hàm s ? ố ế ủ ị = - = ồ + x y 2 3 y x x b. a. ằ ươ ứ ng ng Bài 6 : Xét tính đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s trên các kho ng t + trên ( - +(cid:0) 5; 9 ả + 2 10

) ; 1

ế trên ﾡ 1 - (cid:0) - = = y f x ( ) c. . + trên (

ố 1 c a các hàm s sau : x ẵ ẻ ủ Bài 7 : Xét tính ch n l + 4 - x + 2 1 = + = - - - = y = - 2 a. b. c. d. y x x y x x 3 3 2 + 4 3 2 y

32 x

= - - = - x x= e. f. y g. h. y y x x= 23 1 5 y x x + - x x 1 1

= + ax b Ố y ề ấ V n đ 2 : HÀM S

ẽ ồ ị ố Bài 1 : V đ th các hàm s sau + > (cid:0) x x 2, 2 = - = - = (cid:0) y + x y 2 3 y + x 1 a. b. c. d. y = - 2 (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) ị sau: ba, b Bài 2. Xác đ nh (cid:0) (cid:0) 1.Đi qua hai đi m ể và x 1, 2 ố ể ồ ị đ đ th hàm s y ax (cid:0)32;B (cid:0) (cid:0)0;1A

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ườ 2.Đi qua và song song v i đ ẳ ng th ng y 1x 2 3 (cid:0) ệ ố ằ 3.Đi qua và có h s góc b ng 2

(cid:0)34;C (cid:0) (cid:0)1;2D (cid:0)4;2E

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ườ 4.Đi qua và vuông góc v i đ ẳ ng th ng y

(cid:0)2;4

x (cid:0)

(cid:0) ể ộ i đi m có hoành đ 1 2 và đi qua 5x M (cid:0)

ắ ụ ắ ụ ể N(3;(cid:0) 1) 5.C t tr c hoành t ạ 6.C t tr c tung t ạ ộ i đi m có tung đ là – 2 và đi qua

ế

ươ

ườ

ẳ

ớ ườ

1.Vi

t ph

ng trình đ

ng th ng đi qua

và song song v i đ

ẳ ng th ng

Bài 3. (cid:0) (cid:0) (cid:0) y:Δ 1

ế

ươ

ườ

ẳ

ớ ườ

2.Vi

t ph

ng trình đ

ng th ng đi qua

và vuông góc v i đ

ẳ ng th ng

(cid:0)4;3A (cid:0)2;1 B (cid:0)

Trang 6

(cid:0) (cid:0) (cid:0) y:d 1x 2x 1 3

( + k x

) 1

= - y + x 2 ồ ị ủ ng h p sau, tìm các giá tr c a ố ị ủ k sao cho đ th c a hàm s Bài 4 : Trong m i tr

ợ ỗ ườ a. Đi qua g c t a đ b. Đi qua đi m ể

= ớ ườ ố ọ ộ O )2;3 ( M - ẳ ng th ng y x 2

ố = - - - - x x y y x x 2 x= 2 3 2 2 c. Song song v i đ ẽ ồ ị Bài 5 : V đ th các hàm s sau + = y y b. a. c. d.

= - y - + x 3 1 ể ể ộ ồ ị . Xét đi m nào trong các đi m sau đây thu c đ th Bài 6 : Cho hàm s ố

(

)

(

)

)1;3

- B C D x= 3 2 + + + x x 1 2 )0;6 ( 5; 2 1;10 a. c. d.

( A - Bài 7 : Tìm các c p đ

b. ẳ ặ ườ ườ ợ ng th ng song song trong các tr ng h p sau đây:

= - - - x + = y y x 1 0 6 0,5 4 y = + 3 a. 3 b. c.

)

= x x y x 2 + x 1 0,5 1 d. 2 e. 2 f.

; y- = ị ộ ủ ể ế ằ ố ứ ọ .Hãy xác đ nh t a đ c a đi m t r ng B , bi B đ i x ng v i ớ A qua tr cụ y+ = 6 ( A x y 0 0

Bài 7: a. Cho tung. = - y y + x x= 3 3 1 ứ ằ ườ ố ứ ớ b. Ch ng minh r ng hai đ ẳ ng th ng + và 1 ụ đ i x ng v i nhau qua tr c

)

( f x

tung = y ế ằ ườ ể ứ , bi ồ ị ủ t r ng đ th c a nó là đ ố ẳ ng th ng đ i - ị x 0,5 = + + 2 y bx c

ố c. Tìm bi u th c xác đ nh hàm s = y ẳ ớ ườ ng th ng Ố Ậ ề ế ax ẽ ồ ị ậ ả ố ứ x ng v i đ ấ V n đ 3 : HÀM S B C HAI Bài 1 : L p b ng bi n thiên và v đ th các hàm s

22 x

21 x 2

= + + = - + 2 = + + = - - - y x 2 1 y x x y x y a. b. c. d. 2 2 6 3 2

)0; 4

ồ ị ủ ể ố (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ 1x y y 3x a. b. và Bài 2. Tìm t a đ giao đi m c a các đ th hàm s sau: 2 x 2x 1 y 4x 1 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 y 2x và 5 và c. y và x 2x 3 y x + y ố ậ ị 2x d. t đ th c a nó 4x = y bx Bài 3 :Xác đ nh hàm s b c hai

ườ 4 22 x ẳ ng th ng ể ( i đi m y + ,bi ế ồ ị ủ c 1x = và c t tr c tung t ạ ắ ụ

)

- ụ ố ứ a. Có tr c đ i x ng là đ ( I - ỉ b. Có đ nh là

(

) 0; 1

)

( M -

- 1; 2 ( A B c. Đi qua hai đi m ể và

1; 2 ộ ỉ

)4;0 ể d. Có hoành đ đ nh là 2 và đi qua đi m + x

)3;0

= - ố ậ ị ,bi t đ th c a nó ax y Bài 4 : Xác đ nh hàm s b c hai

2 4 ẳ ng th ng

ườ ể ( i đi m ế ồ ị ủ c x = và c t tr c hoành t ạ ắ ụ 2

(

)

) 2; 1 ( A -

- ụ ố ứ a. Có tr c đ i x ng là đ ( I - ỉ b. Có đ nh là

)2;3

( M -

B c. Đi qua hai đi m ể và

ộ ỉ d. Có hoành đ đ nh là và đi qua đi m ể

)2;1 ồ ị ể ệ

= - ử ụ ậ .Hãy s d ng đ th đ bi n lu n theo tham s ố m s đi m ố ể = - y m= 6 ườ + x và đ ẳ ng th ng ố ẽ ồ ị Bài 5: V đ th hàm s ủ chung c a parabol x y y + 2 5 1; 2 3- + 2 5 x + x 6

Trang 7

= + ấ ằ ỏ ị ị ằ + có giá tr nh nh t b ng khi x = và nh n giá tr b ng ậ ax bx c y 1 khi 3 4 1 2 Bài 6: Hàm s ố 1x =

)P c a hàm s nh n ậ

ệ ố , ị ự ế ả ủ ố a. Xác đ nh các h s ẽ ồ ị ( ,a b c .Kh o sát s bi n thiên và v đ th

)P t ạ

y mx= ườ ể c.ượ đ b. Xét đ ẳ ng th ng i hai đi m phân bi ệ t

)d c t ắ ( AB

)d .Khi đó ( ,A B .Hãy xác đ nh t a đ trung đi m c a đo n th ng ị Bài 7. Xác đ nh parabol

ở ( ệ , kí hi u b i ủ ạ ị ọ ộ 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ẳ ế ằ t r ng parabol đó: , bi bx y c

(cid:0)2;4B

(cid:0) ạ ụ ố ứ i đi m ể A(0;2) và đi qua đi m ể , c t tr c tung t a.Có tr c đ i x ng ax x (cid:0)

(cid:0) (cid:0) ỉ 3;0) 1; 5 6 và đi qua

ạ i 3 (cid:0) (cid:0) ể ộ ỉ x (cid:0) i đi m có hoành đ là 1 (cid:0) ắ ụ A((cid:0) 4) ế ớ ụ và ti p xúc v i tr c hoành t ắ ụ và c t tr c hoành t A(1;0), B( ạ C(3;2) 1;6), I( b.Có đ nh A(1;(cid:0) 4) c.Đi qua (cid:0)12;S d.Có đ nh e.Đi qua ba đi m ể

(cid:0)P có tr c đ i x ng là đ ụ ố ứ

(cid:0)0

(cid:0)P . Xác đ nh

(cid:0)P nh nậ

(cid:0)P có tr c đ i x ng là đ ụ ố ứ

Bài 8. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ t ế (cid:0) , bi ẳ ng th ng và x 1 (cid:0) (cid:0) abx ệ ố ba, ax y:P . Tìm các h s 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ồ ị ộ ị cb, bi t ế (cid:0) y (cid:0) (cid:0) (cid:0) bx c ụ ố ứ 2x làm tr c đ i x ng và đi qua có đ th là m t parabol (cid:0)2;5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ ng 1 ax y (cid:0) (cid:0) ỉ ồ ị (cid:0) có đ th ườ 1 ủ (cid:0) và đ nh c a A (cid:0) (cid:0)P . Tìm a và c đ ể (cid:0) ẳ y ng th ng c 4x (cid:0)P n m trên đ ằ a. Cho parabol (cid:0) (cid:0)1;3M (cid:0)P qua b. Cho hàm s ố ẳ ườ đ ng th ng x c. Cho hàm s ố x (cid:0) th ng ẳ 2

ƯƠ NG II - = y ộ ậ ị có chung m t t p xác đ nh hay không ? x= + và 4 y Bài 1 : Hai hàm s ố -

2 2

- ủ ớ ườ v i các đ y 2 Bài 2 : Tìm giao đi m c a parabol + - y ẳ ng th ng sau x= - y x 4 4 a. b. c. ằ = - y x + x 1 Ậ ÔN T P CH 2 16 x x 4 + = 22 x 3 x= - y ồ ị ằ ng trình và b ng đ th ẽ ồ ị ủ ể x= 1 2 ươ ả i ph ế ả ậ B ng cách gi ố Bài 3 : L p b ng bi n thiên và v đ th c a hàm s

22 x 3

)

(

( f x

= - y + x 2 ố ẽ ồ ị ủ Bài 4 : V đ th c a hàm s 8 3 = - m + x 2 ồ ị ủ ộ và có hoành đ l nộ ầ

Bài 5 : G i ọ A và B là hai đi m thu c đ th c a hàm s ố ể ượ l t là 1 và 3. ọ ộ ủ ể

ị ề ề ằ ở ằ ở ớ ớ ụ ụ a. Xác đ nh t a đ c a 2 đi m ệ b. V i đi u ki n nào c a ệ c. V i đi u ki n nào c a trên tr c hoành ? trên tr c hoành ? A và B ủ m thì đi m ể A n m ủ m thì đi m ể B n m

======================================================================== ủ ề ƯƠ Ệ ƯƠ Ch đ 3 : PH NG TRÌNH VÀ H PH NG TRÌNH

ấ ƯƠ Ấ Ẩ ề V n đ 1 : PH Ậ NG TRÌNH B C NH T 1 N.

ax b+ =

ả ệ ậ ươ ạ Gi i và bi n lu n ph ng trình d ng:

(

) 1

 N u ế

)1Pt (

(cid:0) (cid:0) = - a Pt 0 x ệ ấ có nghi m duy nh t b a

 N u ế

Trang 8

ệ ố a = , 0 b = thì 0 vô s nghi m

)1Pt (

b (cid:0)

 N u ế

a = , 0

thì vô nghi mệ

ậ

ả

ệ

ươ

i và bi n lu n ph

ng trình theo tham s m:

ố b/ (m (cid:0) 1)(x + 2) + 1 = m2

d/ (m2 + m)x = m2 (cid:0) 1

1.Gi a/ 2mx + 3 = m (cid:0) x c/ (m2 (cid:0) 1)x = m3 + 1 e/ m2x + 3mx + 1 = m2 (cid:0) 2x g/ (2m2 + 3)x (cid:0) 4m = x + 1 i/ m2(x (cid:0) 1) + 3mx = (m2 + 3)x (cid:0) 1 j/ (m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + 2

f/ m2(x + 1) = x + m h/ m2(1 (cid:0) x) = x + 3m

ả ệ ậ ươ ố i và bi n lu n ph ng trình theo tham s m: 2*.Gi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1mmx = a/ = 3 b/ (m (cid:0) 2) (cid:0) = 0 c/ = m d/ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 )4m(2 1x 2 1x m 1x m1 2 x

ể ươ ệ ấ : 3.Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m duy nh t

(cid:0) (cid:0) = a/ m(2x (cid:0) 1) + 5 + x = 0 b/ m2x (cid:0) 2m2x = m5 + 3m4 (cid:0) 1 + 8mx c/ (cid:0) (cid:0) x 2 mx 1x 1x

ể ươ ệ 4.Tìm m đ ph ng trình sau vô nghi m:

a/ m2(x (cid:0) 1) + 2mx = 3(m + x) (cid:0) 4 b/ (m2 (cid:0) m)x = 12(x + 2) + m2 (cid:0) 10

(cid:0) + = 2 c/ (m + 1)2x + 1 (cid:0) m = (7m (cid:0) 5)x d/ (cid:0) mx 1x 2x (cid:0) x

ể ươ ệ ậ ng trình sau có t p nghi m đúng trên R:

5. Tìm m m đ ph a/ m2(x (cid:0) 1) (cid:0) 4mx = (cid:0) 5m + 4 b/ 3m2(x (cid:0) 1) (cid:0) 2mx = 5x (cid:0) 11m + 10

c/ m2x = 9x + m2 (cid:0) 4m + 3 d/ m3x = mx + m2 (cid:0) m

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = A B A B ƯƠ Ạ (cid:0) PH NG TRÌNH D NG : và = A B = - (cid:0) A B (cid:0) (cid:0) 0B = A B = - (cid:0) A B (cid:0)

ươ i các ph ng trình sau

ả 1.Gi a/ (cid:0) x (cid:0) 1(cid:0) = x + 2 d/ (cid:0) x (cid:0) 3(cid:0) = 3x (cid:0) 1 g/ |3x - 1| = |2x + 3| |j/ |x + 3| = 2x + 1 : c/ 2 (cid:0) x (cid:0) 3(cid:0) = x + 1 b/ (cid:0) x + 2(cid:0) = x (cid:0) 3 f/ |3x2 - 2| = |6 - x2| e/ |3x + 4| = |x - 2| h/ |x2 - 2x| = |2x2 - x - 2| i/ |x2 - 2x| = |x2 - 5x + 6 k/ |x - 2| = 3x2 - x - 2 l/ |x2 - 5x + 4| = x + 4

m / |2x2 - 3x - 5| = 5x + 5

n / |x2 - 4x + 5| = 4x - 17 e */

= x1 (cid:0) x x1 (cid:0) x

(cid:0) (cid:0) x x 1x (cid:0) 2x x2 = = = f */ g */ h */ . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2x 1x (cid:0) x 3x 2x x 3x

Trang 9

ả ệ ậ ươ ố i và bi n lu n ph ng trình theo tham s m: 2*.Gi

b/ (cid:0) x (cid:0) m(cid:0) = (cid:0) x + 1(cid:0)

d/ (cid:0) 1 (cid:0) mx(cid:0) = (cid:0) x + m(cid:0)

ả a/ (cid:0) x + m(cid:0) = (cid:0) x (cid:0) m + 2(cid:0) c/ (cid:0) mx + 1(cid:0) = (cid:0) x (cid:0) 1(cid:0) i các ph 3*.Gi

b/ |x2 - 4x| = |x| + 1 e/ |x| + x + 1 = |3 - 2x| c/ |x2 - 4| + 2x = |x - 2| f/ 2x2 - 3|x - 1| + 1 = 0

ươ ng trình sau a/ |x2 - 4| + 2x = |x + 2| + 1 d/ x2 - 5|x - 1| - 1 = 0 g/ 2|x| - |x - 3| = 3 h/ |x| + x + 1 = |3x - 6|

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) i/ 2|x + 2| - |x - 1| + x = 0 ( j/ |x2 - 1| = -| x| + 1 ) (cid:0) A B 0 0 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B = A B ƯƠ và Ạ : PH NG TRÌNH D NG (cid:0) (cid:0) 0B = A B (cid:0) = A B

ả ươ : 1.Gi i các ph ng trình sau

= d/ x b/ 2 + 5x 2 c/ 5 - = - x 6 6

x - = 3 5 + = + x a/ 3 22 x 5 2

24 x

- + + = + g/ h/ - = x + + x x x f/ 3 2 1 e/ 4 2 x x 2 10 3 1

23 x

- - = 9 - = x 4 4 5 + x 2 5

ả : 2.Gi i các ph ng trình sau

x3 2

x 2

2x3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ = x - 2 = 2(x - 1) = 2x - 1 a/ b/ c/ 2x3 (cid:0)

1x9 = x - 4

x 2

1x3

2x1 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) = 2x - 7 = x - 2 d/ e/ f/ 2 7x2 (cid:0)

x41 (cid:0)

2xx64

(cid:0) (cid:0) - 9 = 3x = x + 4 = 3x + 4 g/ h/ i/ 8x2 (cid:0)

ả : 3*.Gi ng trình sau

x 2

2x3

x 2

6x6

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ i các ph = x2 - 3x - 4 a/ b/ x2 - 6x + 9 = 4

x 2

1x7

x 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = x2 + 7x + 4 = 4 c/ 4 d/ x2 + x +

x6 2

7x12

x 2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) - 9 = x + 3 e/ x2 + f/ = x2 - 2x g/ x2 + 11 = 7

x h/ x2 - 4x - 6 =

- = - x 1

x2 2

- (cid:0) (cid:0) i/ 3 2

- =

ươ ả : i các ph ng trình sau

x + = . 1 1

= -

+ 2

- - - - 4*.Gi a. x2 + b. 5

- + x

+ = x 9

KQ x :

0; 7

+ x

+ = 2 9

= 2

- c. 16 d.

+ 2

+ x

)

+ (7

)

= )(2

)

2 3

+ -

+ + +

+ + =

+ =

- - - - - - e. f.

2 2

5 = x

3 16 m

1 3 x

1)(3

)

x + x (

+ + 3 + + 1

ươ

h. g. - - -

2 5. Cho pt: x 3 ả a) Gi i pt khi m=2 . ệ ể b) Tìm m đ pt có nghi m . ả ng trình i ph Bài 6* Gi + = + + a) x 1 ươ Ph �

Trang 10

+ + + x x 4 x + - � 2 x 3 + - x x = x x x 3 2 ng trình ( 3 2 )( = 1 1) 0 0; 1

4 = = 2 x x + + 3 4 � � x x = x ( + - 2 2 ) 0 1 x + x 3 - - 5 97 - - � � x x x HD + x x = x 2 + = 3 9 4 : + (1 = 2 3) 9 1; 18

ấ ƯƠ Ậ . ề V n đ 2 : PH NG TRÌNH B C HAI

ủ ố ệ ệ 1. Bi n luân theo m s nghi m c a Pt

ủ ệ ậ ố ệ 1.Gi i và bi n lu n s nghi m c a các ph ng trình sau:

ả a/ x2 (cid:0) (2m + 1)x + m = 0 c/ (m (cid:0) 1)x2 + (2 (cid:0) m)x (cid:0) 1 = 0 ươ b/ mx2 (cid:0) 2(m + 3)x + m + 1 = 0 d/ (m (cid:0) 2)x2 (cid:0) 2mx + m + 1 = 0

ệ ệ ng trình có hai nghi m phân bi t: 2. Đ nh m đ ph

ể ươ ị a/ x2 (cid:0) 2mx + m2 (cid:0) 2m + 1 = 0 c/ mx2 (cid:0) (2m + 1)x + m (cid:0) 5 = 0 b/ x2 (cid:0) 2(m (cid:0) 3)x + m + 3 = 0 d/ (m (cid:0) 3)x2 + 2(3 (cid:0) m)x + m + 1 = 0

3. Đinh m đ ph ng trình có nghi m kép. ệ Tính nghi m kép đó

ệ b/ (m (cid:0) 1)x2 (cid:0) 2mx + m (cid:0) 2 = 0

ể ươ a/ x2 (cid:0) (2m + 3)x + m2 = 0 c/ (2 (cid:0) m)x2 (cid:0) 2(m + 1)x + 4 (cid:0) m = 0 d/ mx2 (cid:0) 2(m (cid:0) 1)x + m + 1 = 0

ị 2. Đ nh lí Viet

ệ ướ ệ ộ ng trình có m t nghi m cho tr c.Tính nghi m còn l ạ : i 1.Đ nh m đ ph

; x1 = 3

; x1 = 2

ể ươ ị a/ 2x2 (cid:0) (m + 3)x + m (cid:0) 1 = 0 b/ mx2 (cid:0) (m + 2)x + m (cid:0) 1 = 0 c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0 d/ x2 (cid:0) 2(m (cid:0) 1)x + m2 (cid:0) 3m = 0 ; x1 = 0

ề ỏ ể ươ 2.Đ nh m đ ph ệ : ệ ng trình có 2 nghi m th a đi u ki n

2 + x2

2 = 2

2 = 20

Đk : x1

2 + x2

Đk: x1

ị a/ (m + 1)x2 (cid:0) 2(m (cid:0) 1)x + m (cid:0) 2 = 0 b/ (m + 1)x2 (cid:0) 2(m (cid:0) 1)x + m (cid:0) 2 = 0 Đk: 4(x1 + x2) = 7x1x2 c/ x2 (cid:0) 2(m (cid:0) 1)x + m2 (cid:0) 3m + 4 = 0 d/ x2 (cid:0) (m (cid:0) 2)x + m(m (cid:0) 3) = 0 Đk: x1 + 2x2 = 1

e/ 2x2 (cid:0) (m + 3)x + m (cid:0) 1 = 0 Đk: + = 3 1 1x 1 2x

f/ x2 (cid:0) 4x + m + 3 = 0 Đk: (cid:0) x1 (cid:0) x2(cid:0) = 2

Ệ ề ấ ƯƠ Ậ Ấ V n đ 3 : H HAI PH Ẩ Ố NG TRÌNH B C NH T HAI N S :

= (cid:0) (cid:0) ươ ậ ấ Hê hai Ph ẩ : ng trình b c nh t hai n (cid:0) + a x b y 1 + a x b y 2 c 1 = c 2

ươ ế ng pháp th PP gi i : ả 1/ Ph

ươ ộ 2/ Ph ng pháp c ng

Trang 11

ị ứ 3/ Dùng đ nh th c

= = = = = = - - - D a b a b 1 2 2 1 D x c b c b 1 2 2 1 D y a c a c 1 2 2 1 a b 1 1 a b 2 2 c b 1 1 c b 2 2 a c 1 1 a c 2 2

(cid:0) = = ệ ấ x ; y (cid:0) D 0(cid:0) ệ h có nghi m duy nh t : D x D D y D

y (cid:0) 0 ( ho c Dặ

ệ ệ (cid:0) D = 0, Dx (cid:0) 0 ) : H vô nghi m

ệ ố (cid:0) D = Dx = Dy = 0 : hê có vô s nghi m

ệ ươ ẩ ậ ấ H ba ph ng trình b c nh t ba n

(

1 b y 2

+ = (cid:0) (cid:0) + = (cid:0) d 1 d + a x b y 1 ạ D ng tam giác (cid:0) = (cid:0) d c z 1 c z 2 c z 3

)1 ta suy ra z ,thay z vào ph

ươ ươ ứ ng trình th hai ta tính đ ượ c i ả : T ph

ươ ừ PP gi y , sau cùng ta thay vào ph ố ủ ệ ( ng trình cu i c a h ầ ng trình đ u ta tìm đ ượ x c

+ = (cid:0) (cid:0) (cid:0) d 1 = d ệ ươ ậ ẩ ấ ả ư ề ạ H ba ph ng trình b c nh t ba n: PP gi i: Đ a v d ng tam giác (cid:0) + = (cid:0) d + a x b y 1 + a x b y 2 + a x b y 3 c z 1 + c z 2 c z 3

( ) 4 1

)

( 6 2 )

( 8 3

(cid:0) - x + y = z 2 3 2 (cid:0) - (cid:0) 4 2 5 ả ệ i h Pt Ví d ụ 2. Gi (cid:0) + x + + y + = - z = x y z 2 5 3 (cid:0)

(

)2 Ta đ

- - (cid:0) (cid:0) x x 2 3 2 4 2 3 2 4 (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) + y + y = z = z + y + y 2 4 2 ộ ượ L y ấ ớ ( )1 nhân 2 r i c ng v i ồ c  .  (cid:0) (cid:0) + = (cid:0) (cid:0) 4 + x y 5 z = z = z 5 + = z y 5 2 3 8 4 8

)

(cid:0) = z (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 2 3 4 2 (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) + y + y = z = z =� (cid:0) y 4 2 x y z ; ; ; ừ ệ ậ .T đây ệ ( .V y h có nghi m (cid:0) (cid:0) 171 17 8 � ; � 76 38 19 � � � � = (cid:0) 5 z 19 8 (cid:0) = x (cid:0) (cid:0) 8 19 17 38 171 76

Bài t p:ậ

ả ệ ươ 1.Gi i các h ph ng trình sau:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ b/ + + (cid:0) (cid:0) c/ (cid:0) (cid:0) x x 7 2 = y 14 = y 4 17 5 x x2 y y5 11 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 (cid:0) (cid:0) 1 x 2 x 2 y 3 y

Trang 12

ả ệ ươ 2.Gi i các h ph ng trình sau:

)

( 9 3

(cid:0) + + = + - - (cid:0) (cid:0) x x y x y = z 12 3 4 5 12 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x + = y z 2 - + y = z x + y 2 3 5 7 a. b. c. (cid:0) (cid:0) (cid:0) + x + - - (cid:0) (cid:0) x z + y 2 - + y 7 = z 2 = z 4 x 2 y = z 7 = z 4 3 10 5 6 4 12 3 + y 18 = - z + x 3 2 3 (cid:0)

ả ệ ươ ệ 2.Gi ậ i và bi n lu n các h ph ng trình sau:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x m3my x)2m( my m2 x)1m( 2my (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ b/ c/ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ymx 1m2 x)1m( my 1m 1mymx2

Ệ ƯƠ ề ấ Ậ V n đ 4 : H PH NG TRÌNH B C HAI:

ả ệ ươ i các h ph ng trình sau: 1. Gi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x3 y2 36 y3x2 2 1y3x2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) b/ c/ a/ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) )3y)(2x( 18 xy x 6y 0 x xy 24

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x2 5 x y4 8 y x4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) e/ f/ d/ y 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x xy 7 (cid:0) (cid:0) x y2 4 x 2 x2 y 5

ả ệ ươ i các h ph ng trình sau: 2. Gi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 x x y 4 (cid:0) (cid:0) b/ a/ y 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 x xy y xy 21

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy x y 3 x y x y 2 (cid:0) (cid:0) d/ c/ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y xy 6 (cid:0) xy x y 1

3 yx

ả i các h ph ng trình sau: 3. Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ươ y xy x 6 (cid:0) x y x y 2 17 (cid:0) (cid:0) (cid:0) b/ c/ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ (cid:0) y xy x 3 0 (cid:0) (cid:0) y x xy y xxy ( ) 2 5 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) yx xy 30 7 12 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 1 y 13 6 d/ e/ f/ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xx yy 35 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y x y 5 (cid:0) xy 36

= y

a .

= x = y

= x

y x x y

ả ệ ươ i các h ph ng trình sau: 4. Gi (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; b. ; c. - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

- = y

= y

(

1 y

x 3

2 ) . = 3

- = x

1 - = - y x =

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d.. e. f. - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(1)

2 0 + + 2 2 x y

- = xy

(2)

Trang 13

ả ệ ươ i các h ph 5. Gi (cid:0) ng trình sau: + - = x (cid:0) ố 5. 1 (Kh i D – 2012) - - (cid:0)

+ + =

22 y

(1)

+ - y

= xy

x - =

+ =

y x

1 2

2 (2)

+ + 1

1 4

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5.2 5.3 - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ủ ề Ứ Ấ Ấ Ẳ ƯƠ Ch đ 4 : B T Đ NG TH C VÀ B T PH NG TRÌNH

Ứ Ẳ Ấ ề ấ V n đ 1 : B T Đ NG TH C

� �

� 0

ứ ế Ki n th c:



A B < A B

A B- - < A B

� 0 

Tính ch t:ấ

ộ Đk N i dung Tên g iọ

�

(cid:0) ắ ầ B c c u (cid:0) <� a c (cid:0) < a b < b c

< a b

+ < + a c b c

ế ủ ộ ố ớ ộ C ng hai v c a bpt v i m t s

<� c > < a b ac bc 0

>�

< a b

ac bc

0c <

ế ủ ộ ố ớ Nhân hai v c a bđt v i m t s

(cid:0) (cid:0) � + < + a c b d < a b < (cid:0) d c ấ ẳ ứ ề ộ C ng hai b t đ ng th c cùng chi u

+ 1

> (cid:0) ấ ẳ ứ ề a c> 0, 0 Nhân hai b t đ ng th c cùng chi u (cid:0) <� ac bd < a b < (cid:0) d c

< ế ủ ộ ừ Nâng hai v c a bđt lên m t lũy th a � < a b n nguyên ngươ d < < a b a b <� a b 0

a > 0 < a b <� a b

ộ ẳ ế ủ ứ Khai căn hai v c a m t đ ng th c < a b <� a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - x x x 0; x x ;

a > 0 x -� � � � a a a x

(cid:0) - (cid:0) x a (cid:0) (cid:0) x a (cid:0) (cid:0) (cid:0) x a

Trang 14

- (cid:0) a b + (cid:0) a b + a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ứ ấ a b ab 0, 0 : ả D u ‘=’ x y ra khi B t đ ng th c CôSi:

)

= y + a b 2 ( f x ị ớ ỏ ấ Cho HS Có TXĐ:D ấ Giá tr l n nh t ,nh nh t:

)

( f x M x D , (

) =

(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ  M là giá t l n nh t c a HS ị ớ $ M (cid:0) �(cid:0) x D f x , 0 0

)

( f x m x D ,

(

) =

(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ  m là giá t l n nh t c a HS ị ớ $ m (cid:0) �(cid:0) x D f x , 0 0

Bài t p:ậ

ứ ứ ẳ 1.Ch ng minh các đ ng th c sau:

3 x y

+ + (cid:0) + + (cid:0) " a b " > a > b , 0, 0 x y xy c/ a/ x y ,

(cid:0) " > a > b 0, 0 abcd " > a > b > c > d , 0, 0, 0, 0 e/ d/ 1 a 1 + (cid:0) b 4 + , a b b a a b + + + a b c d 4

) (

)

) ( a b b c

2 a b

+ + (cid:0) + + + (cid:0) + c a abc 8 a 2 g/ f/ h/( 1 + (cid:0) b 1 b 1 d 1 c 16 + + + a b c d

(

)

+ (cid:0)

)

j/ 1 a i/ ( a b + a b ab 2 2 1 a 1 + + (cid:0) c 1 b 9 + + a b c

ị ớ ấ 2.Tìm giá tr l n nh t:

a/ y = (1 (cid:0) x)x ,0 (cid:0) x (cid:0) 1 b/ y = (2x (cid:0) 1) (3 (cid:0) 2x) , x (cid:0) (cid:0) 1 2 3 2

c/ y = 4x(8 (cid:0) 5x) ,0 (cid:0) x (cid:0) d/ y = 3 + 4 , 1 (cid:0) x (cid:0) 5 x5 (cid:0) 1x (cid:0) 8 5

ấ ƯƠ Ấ ƯƠ V n đ 2 Ấ ề : B T PH NG TRÌNH VÀ B T PH NG TRÌNH M T N Ộ Ẩ :

Lý thuy tế :

ệ ủ ộ ấ ề ấ ứ ở ể ẩ ả ỏ ị ế 1. Đi u ki n c a m t b t Pt là t t các giá tr mà n ph i th a mãn các bi u th c hai v

ệ ấ ấ ươ ươ ế ệ ậ 2. Hai b t Pt(h b t Pt) là t ng đ ng n u chúng cùng t p nghi m

ổ ươ ế ươ 3. Các phép bi n đ i t ng đ ng

ộ ừ a/ Phép c ng ,tr

b/ Phép nhân , chia.

Bài t pậ :

ế ề ệ ấ ặ ươ 1/ Vi ỉ t đi u ki n và ch ra các c p b t Pt t ng đ ươ : ng

(

)

- < - x 3

+ < + và ( x 1

) 1

Trang 15

1 - - - + < + x x 2 3 4 x x và 2 3 3 a/ b/ 3 - - x x 1 < - 5 5

)

) (

(

) (

) - < 1

+ + (cid:0) - < + - x + x x + - x x x x x 18 4 2 8 18 1 2 5 0 0 và ( c/ ( d/ - x x 5 1

ả ấ 2. Gi ng trình sau:

+ > + - + > - - - - - i các b t ph ) ươ (

)

) (

x x x x x x x 2 3

) 1

) ( 1 3 2 1

5 1 3 a/( b/ (

(

)

(

) >

(

)

(

) > 1

+ - - c / d / x x x + x 2 3 4 0 0

ả ệ ấ ươ 3. Gi i các h b t ph ng trình sau

x(3

x)(1x(

0)4

x2 4

1x3 5

1x3 4

x2 3 1x x(

2 1x2

1 3x

x 3

5 2

8 1x 12

x35 2 x54 9

x2)(2 1x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ b) c) d) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ứ

ề

ấ

Ị

1x4 18 Ấ V n đ 3 : D U NH TH C

)

( f x

= + ax b ị ứ Nh th c

)

x - (cid:0) - +(cid:0) b a

( f x

ấ ớ ệ ố ấ ớ ệ ố Trái d u v i h s a 0 Cùng d u v i h s a

Bài t p:ậ

ứ ể ấ 1. Xét d u các bi u th c sau:

= - + = - - - x x x f x ( ) ( 2x+3)( + x 2)( 4) f x ( ) (4x1)( 2)(3 5)( 2x+7) a/ b/

= - f x = ( ) f x ( ) c/ d/ 1 + x 3 (2x1) 2

x3(x4 x2

4 2

x3 x

x2 x3

5 2

x3 x2

2 5

2x+1 (x1)(x+2) ấ ươ ả i các b t ph ng trình sau: b)(2x 3)(3x 4)(5x +2)> 0 (cid:0) c)25 16x2 > 8x2 10x )2 2.Gi a) 2x.(2x 5) > d) (2x (cid:0) 3) (3x + 2) > 0 e)(3x+ 2)(16 9x2) < 0 f) > 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g) h) > 0 j) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) - > x 6 4 d) 4 3

2x – 1 h) 2|x 1| < x

x + + - 2 + (cid:0) x 1 2 x - c) 2 2 g) |x 2| (cid:0) 1 )1x(x2 2x ấ ả ươ 3.Gi i các b t ph x - a) 2 b) 2 2 3 e) |2x 5| (cid:0) i) (cid:0) 2x + 1(cid:0) (cid:0) ng trình sau: x- < 9 x + 1 f)|2x + 1| < x + 3x (cid:0) 2 j/ x < 4x + 3

ấ ươ ệ ố ứ ị i các b t ph 4.Gi

ng trình ch a giá tr tuy t đ i sau: 4(cid:0) < 2x b/ (cid:0) x2 (cid:0) 4(cid:0) > x + 2 c/ (cid:0) 1 (cid:0) 4x(cid:0) (cid:0) 2x + 1 d/ (cid:0) x2 (cid:0) 1(cid:0) < 2x

ả a/ (cid:0) x (cid:0) e/ x + 5 > (cid:0) x2 + 4x (cid:0) 12(cid:0) f/ (cid:0) 5 (cid:0) 4x(cid:0) (cid:0) 2x (cid:0) 1 g/ 2(cid:0) x + 3(cid:0) > x + 6 h/ (cid:0) x2 (cid:0) 3x + 2(cid:0) > 2x (cid:0) x2

ả ấ ươ ứ ứ i các b t ph ng trình ch a căn th c sau: 5. Gi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ < 2 b/ < x + 2 c/ < x + 3 x4 (cid:0) 4 x 2 x4 4 21 x4

Trang 16

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d/ (cid:0) x (cid:0) 2 e/ < x (cid:0) 1 f/ > x + 1 x 2 x3 10 x2 2 5x3 x 2 x3 10

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g/ 3 > 2 (cid:0) 4xh/ x (cid:0) 1 x 2 6x x 2 x 12

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) i/ (cid:0) x (cid:0) 2 j/ > 2(x (cid:0) 1) x3 2 x13 4 x3 2 1x2

ươ ả

[

;0)

(0;

)

< ( nhân liên h p)ợ

1 3

2 2

1 8 x 2

+ - - - (cid:0) 6. Gi a) ( nhân liên h p)ợ c/ x x x + (cid:0) x (3 4 4) 1 0 ặ ( đ t y= 1x + ) ng trình : x x ấ i các b t ph + - x 1 1 2 - - - (cid:0) b) Nghi m ệ

Ấ ề ấ ƯƠ Ệ Ấ ƯƠ Ậ Ấ V n đ 4 : B T PH NG TRÌNH VÀ H B T PH NG TRÌNH B C NH T

Lý thuy t:ế

(

(cid:0) + ax by c ươ ấ ạ ậ ng trình b c nh t có d ng: , V i aớ 2 + b2 (cid:0) 0 ấ 1.B t ph

ể ễ ậ ệ

)

1b : V đ

)

(

= D Bi u di n t p nghi m: ( + ax by c ẽ ườ ẳ ng th ng

) D� (th

2b : L y ấ

( ;M x y 0 0

ườ ố ng là g c O)

3b : Tính

by+ by+ và so sánh v i ớ c ax 0 ax 0

4b : K t lu n: ế

ậ

)

D by+ ử ẳ ứ ệ (cid:0) N u ế ờ ( c< thì n a m t ph ng b ặ ủ ( ề ch a M là mi n nghi m c a ax 0

)

+ > D c by ử ẳ ứ ề ệ (cid:0) N u ế ax 0

ỏ ờ ệ ề ủ ệ ề ấ ươ ủ ( không ch a M là mi n nghi m c a )* thì nó là mi n nghi m c a b t ph ng trình ờ ( c< thì n a m t ph ng b ặ ủ ( Chú ý : N u b b mi n nghi m c a

ế < c + ax by

)

( ' **

)**

(cid:0) (cid:0) c (cid:0) ươ ấ ạ ậ ng trình b c nh t có d ng: ệ ấ 2.H b t ph (cid:0) (cid:0) + ax by + ' a x b y c

ệ ễ ể ủ ( ề Bi u di n mi n nghi m c a

(

) : ax by = +

)' :

1b : V các đ ẽ

+ D D c = a x b y c ' ' ' ườ ẳ ng th ng và (

2b : Bi u di n mi n nghi m c a m i b t ph

ỗ ấ ủ ễ ệ ề ể ươ ng trình và ủ tìm giao c a chúng.

Bài t p:ậ

ọ ậ ủ ệ ể ấ ươ 1. Bi u di n hình h c t p nghi m c a các b t ph ng trình sau:

x - <

1 0

> - (cid:0) - (cid:0) x y + x y 0 5 2 3 3 ễ y+ a/ 3 2 c/ d/ 2 b/ 2

ọ ậ ệ ấ ủ ể ễ ệ ươ 2. Bi u di n hình h c t p nghi m c a các h b t ph ng trình sau:

Trang 17

- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 2 3 (cid:0) (cid:0) a/ b/ - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 1 0 y + x x 0 + > y 2 3 0 2 3 1 0

ấ ề Ứ Ậ

)

( c a

( D = ac

)

+ = + D = (cid:0) - - V n đ 5 : TAM TH C B C HAI ( ) f x bx ax b b ac 0 , 4 Lý thuy t:ế

( f x luôn cùng d u v i a,

D < ấ ớ (cid:0) x(cid:0) R : 0

)

( f x luôn cùng d u v i a,

)

(cid:0) D = (cid:0) x ấ ớ 0 : - b a

( f x có 2 nghi m c a x

D > ệ ủ 1, x2 (gi : ả ử 1 < x2) ta có s x 0

x1 x2

ấ ớ ớ ớ Cùng d u v i a ấ 0 trái d u v i a ấ 0 cùng d u v i a

Áp d ng:ụ

(

- (cid:0) ạ ả ấ ươ Gi i b t ph ng trình: D ng 1: 0 - x x + x 4 + x 2 3 1

2 4

= - 3 Tam th c ứ có 2 nghi m ệ x 1 x= 21, x + x 3

x = -

ệ Tam th c ứ + có nghi m kép x x+ 2 1

- (cid:0) +(cid:0) x 1 1 3

2 4

- + - + + 0 0 x + x 3

- + 0 + + + x 1

2 2 x )1 VT(

[

]1;3

+ 0 - + + 0 +

ủ ệ Nghi m c a bpt:

(

2 2

) - = + x m 4 1

) ( 1 0 1

- - mx m ươ ỏ ị : Cho ph ng trình .Đ nh m th a: ạ D ng 2

(

ệ ệ ệ ươ ấ t. b.Có 2 nghi m trái d u. c.Có các nghi m d ng.

(

a. Có 2 nghi m phân bi ) 1

( - = - m m 4

) 1

- - ệ )0m (cid:0) Gi i: ả m D = ' - + 2 m m 3 1

)1 có 2 nghi m phân bi ệ ệ

(cid:0) (cid:0) - - m 1 13 - + 1 13 < < < < (cid:0) � � m 0 a.( t ho c ặ m 0 - (cid:0) 6 0 - + > 2 m m 3 1 0 6

( m m 4

) - < 1

)1 có 2 nghi m trái d u ấ ệ

- 1 4 < � � � < m 0 0 < 0 b. ( m m 1 4

)1 có các nghi m d

Trang 18

(cid:0) (cid:0) m (cid:0) D (cid:0) (cid:0) - - 1 3 (cid:0) < (cid:0) (cid:0) ệ ươ c. ( ng m 0 0 ' 0 > S 0 (cid:0) 6 (cid:0) > (cid:0) P 0

(

2 4

) + - x m 1

) ( 5 0 1

- - (cid:0) mx m ạ ể ấ ị ươ ệ ớ ọ : Đ nh m đ b t ph ng trình nghi m đúng v i m i x D ng 3

)1 tr thành ở

0m = (

0m = không th a đi u ki n ỏ

- ề x x 4 (cid:0)� 5 0 + .V y ậ ệ Bài toán 5 4

(

)1 nghi m đúng v i m i x

)* vô nghi mệ

0m (cid:0)

D (cid:0) - + (cid:0) m 3 4 0 � ệ ọ ớ + ( 0 � 0 �� < m 0 �

ớ ọ ệ ậ ị ể ( V y Không có giá tr m đ � m 3 � < m � )1 nghi m đúng v i m i x

Bài t pậ

ứ ậ ấ 1.Xét d u các tam th c b c hai sau:

c/ f(x) = x2 (cid:0) 2x (cid:0) 15

a/ f(x) = 2x2 (cid:0) 3x + 5 b/ f(x) = x2 (cid:0) 8x + 16 d/ f(x) = (cid:0) 3x2 + x (cid:0) 2 e/ f(x) = (cid:0) x2 + 2x (cid:0) 1 f/ f(x) = (cid:0) 2x2 + 7x (cid:0) 5

ấ ể :

ứ 2. Xét d u các bi u th c sau A = (2x (cid:0) 1)(x2 (cid:0) x (cid:0) 6) B = (4 (cid:0) 2x)(x2 (cid:0) 5x + 4) C = ((cid:0) x2 + x + 2)(1 (cid:0) 3x)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x2 D = (x2 (cid:0) 4)(x2 (cid:0) 8x + 15) E = F = x1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x4 3x 2 x 6x x

2 )x

2 )x4)(1x(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x2 x G = H = I= (cid:0) x3)(1x2( 2 (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 4 1 3x2 x 2x

ấ ươ 3.Gi

ậ ng trình b c hai sau: b/ (cid:0) x2 + 7x (cid:0) 10 < 0 0

ả i các b t ph a/ 2x2 (cid:0) x (cid:0) 3 > 0 e/ (cid:0) x2 (cid:0) x + 20 < 0 f/ 3x2 + x + 1 > 0 c/ 2x2 (cid:0) 5x + 2 (cid:0) d/ (cid:0) 3x2 + x + 10 (cid:0) 0 g/ 4x2 (cid:0) 4x + 1 > 0 h/ (cid:0) 9x2 + 6x (cid:0) 1 (cid:0) 0

ả ấ ươ 4. Gi i các b t ph ng trình sau

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 5x4 > 0 (cid:0) a/(x + 2)((cid:0) x2 + 3x + 4) (cid:0) 0 b/ 0 c/ d/ (x2 (cid:0) 5x + 6)(5 (cid:0) 2x) < 0 (cid:0) (cid:0) x x 1 1 1x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 3x (cid:0) 0 > 0 + > 2 e/ f/ g/ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5x 1x2 1x2 5x x21 x x x3 2 3x4

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 x 2 3x4 + < + (cid:0) < 1 (cid:0) x i/ j/ m/ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1x 2 2x 3 3x x 2 1 2 x 4 x2 x23

ị ể ươ ệ ng trinh sau có nghi m:

5. Đ nh m đ ph a/ x2 (cid:0) (3 + m)x + 4 + 3m = 0 b/ x2 (cid:0) 2mx (cid:0) m2 + 3m (cid:0) 1 = 0 c/ mx2 (cid:0) 2(m + 1)x (cid:0) 2m (cid:0) 2 = 0 d/ (m + 2)x2 (cid:0) (4 + m)x + 6m + 2 = 0

ị ể ươ ệ ấ ng trình sau có nghi m trái d u:

ể ươ ươ ệ ệ ị ng trình có 2 nghi m d ng phân bi t: 6. Đ nh m đ ph a/ x2 + 5x + 3m (cid:0) 1 = 0 b/ mx2 (cid:0) 2(m (cid:0) 2)x + m (cid:0) 3 = 0 c/(m + 2)x2 (cid:0) 2(m (cid:0) 1)x + m (cid:0) 2 =0 d/(m + 1)x2 (cid:0) 2(m (cid:0) 1)x + m (cid:0) 2 = 0 7. Đ nh m đ ph

Trang 19

a/ (m + 2)x2 + 2(3m (cid:0) 2)x + m + 2 = 0 b/ (2 (cid:0) m)x2 + (m (cid:0) 2)x + m + 1 = 0

c/ (m (cid:0) 1)x2 (cid:0) 2(m + 1)x + 2m + 5 = 0 d/ (2m + 1)x2 (cid:0) 2(2m + 1)x + 5 = 0

ể ươ ị ệ 8.Đ nh m đ ph ng trình có 2 nghi m âm

(

2 m m

) 21 x

+ + + - m + - = x m 3 2 5 0 a/ 2x2 (cid:0) (m + 3)x + m (cid:0) 1 = 0 b / (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 =0 ) c/ 2mx2 (cid:0) 4mx + 4m (cid:0) 1 = 0 d/ (

ệ ị ng trình nghi m đúng

ể ấ - + - b/ a/ mx - < x x" 2 10 5 0 0

)

( m m

- - + + + (cid:0) > - x mx 2 2 2 0 d/ c/ 1 - 2 4

ị ươ ệ ng trình vô nghi m

2 2

+ + (cid:0) - - (cid:0) - a/ b/ ươ 9. Đ nh m đ b t ph > 25 x m x 2 x mx = x x 3 ể ấ 10. Đ nh m đ b t ph + 2 x mx m mx mx m 3 0 2 1 0 2 ủ ề Ch đ 4 : LÖÔÏNG GIAÙC

180

Goùc 1

goùc beït

1 180

A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN : I. Ñôn vò ño go ù c va ø cu n g : 1. Ño ä:

. y

0180

rad

2. Radia n : (rad )

(cid:0)2

1800 3600 3. Baû n g ño å i ño ä sa n g rad va ø ng ö ô ï c laïi cu û a mo ä t so á go ù c (cu n g ) th o â n g duïn g : 300 00 Ñoä (cid:0) 600 (cid:0) 450 (cid:0) 900 (cid:0) (cid:0) 0 1200 2(cid:0) 3 1350 3(cid:0) 4 1500 5(cid:0) 6 6 4 3 2 Radia n

II. Goù c löôïn g gia ù c & cun g löôï n g gia ù c : 1. Ñòn h ng h ó a : (tia ng n)ọ

ể

(đi m ng n)

(cid:0)

ọ B

(cid:0)

ố

ể

(đi m g c)

(cid:0)

Ox (

)

(cid:0) (k 2

(tia g c)ố (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

AB

(cid:0) 2k

Trang 20

2. Ñöô ø n g tro ø n löôïn g gia ù c : So á ño cu û a mo ä t so á cu n g löôïn g gia ù c ña ë c bie ä t :

(cid:0)

(cid:0) k

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2k (cid:0) 2 (cid:0)

(cid:0) 2k

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) k

C D

(cid:0) (cid:0)

CA ,

(cid:0)

(cid:0) k

DB,

(cid:0) 2 (cid:0) k (cid:0) 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

III. Ñòn h ng h ó a ha ø m so á löôï n g gia ù c : 1. Ñöô ø n g tro ø n löôï n g gia ù c : A: ñieåm goác (cid:0)

y B 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 A

1(cid:0)R1(cid:0) C O

(cid:0) x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh ) y'Oy : truïc sin ( truïc tung ) t'At : truïc tang u'Bu : truïc cotang

1(cid:0)

(cid:0)

(cid:0) .

2. Ñòn h ng h ó a ca ù c ha ø m so á löôï n g gia ù c : a. Ñòn h ng h ó a : Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM= Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu Ta ñò n h ng h ó a : y

ụ Tr c cotang

T (cid:0)

Tr c sinụ 'u = (cid:0) OP

(cid:0)

1(cid:0)

OQ = AT (cid:0) a cos a sin a tan a = cot BU ụ Tr c cosin

ụ Tr c tang b. Caùc tín h ch a á t :

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vôùi moïi (cid:0) ta coù : (cid:0) 1 sin (cid:0) 1 hay sin 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 cos (cid:0) 1 hay cos 1

a a " (cid:0) (cid:0) tan xaùc ñònh

a a p (cid:0) (cid:0) cot xaùc ñònh " p p + k 2 k

Trang 21

c. Tính tuaàn hoaøn

+ a a sin(

a k (cid:0) Z ( ) p = 2 ) sin k p + = 2 ) cos k = )

a cos( a tan( a cot( a tan a = ) cot p + k p + k

3 /3

(cid:0) /3

2(cid:0) /3

(cid:0) /4

B (cid:0) 1 3/2

3(cid:0) /4

2/2

(cid:0) /6

IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät: Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät

3 /3

5(cid:0) /6

1/2

3/2

1/2

2/2

- 3/2

- 2/2

-1/2

(cid:0)

(Ñieåm goác)

(cid:0)

O

-1/2

3 /3

-(cid:0) /6

- 2/2

-(cid:0) /4

- 3/2 1

-(cid:0) /3

(cid:0)

V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät: Ñoù laø caùc cung : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) vaø - ,…) & (toång baèng 0) ( (cid:0) 1. Cung ñoái nhau :

Trang 22

6 (cid:0) (cid:0) vaø - (cid:0) ( toång baèng (cid:0) ) ( ,…) & (cid:0) 2. Cung buø nhau : 6 (cid:0) 5 6 (cid:0) 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) vaø ( toång baèng ) ( ,…) & (cid:0) 3. Cung phuï nhau : 2 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) vaø (cid:0) : ( ,…) & 4. Cung hôn keùm 2 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) vaø ( ,…) & 2 5. Cung hôn keùm (cid:0) (cid:0) : 6 3 (cid:0) 2 3 (cid:0) 7 6 1. Cung ñoái nhau: 2. Cung buø nhau :

a a = - - cos(

a a - - p cos( p sin( = - ) = ) sin( = - ) Ñoái cos a a - - Buø sin a cos a sin a tan tan( a ) cos a sin a tan

a a - - p tan( p cot( = - ) = - ) a cot cot( = - ) = - ) a cot

(cid:0) 3. Cung phuï nhau : 4. Cung hôn keùm 2

+ a = - a = - p cos( ) a sin p cos( a ) sin (cid:0) 2 2 Hôn keùm + a a = - p sin( a = ) cos p sin( a ) cos

Phuï cheùo + a = - a - 2 p tan( ) 2 p tan( = ) a cot a cot 2 sin baèng cos cos baèng tröø sin

+ a = - a - 2 p cot( ) a tan 2 p cot( = ) a tan 2 2

5. Cung hôn keùm (cid:0) :

a + = - )

a + = - p cos( p sin( ) Hôn keùm (cid:0) tang , cotang a + =

a + ) = p tan( p cot( ) a cos a sin a tan a cot

p (cid:0) tan , cos( ) Ví duï 1: Tính 21 4 (cid:0) 11 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A x x x cos( ) cos( (cid:0) 2 ) (cid:0) 3 cos( ) Ví duï 2: Ruùt goïn bieåu thöùc: 2

VI. Coâng thöùc löôïng giaùc: 1. Caùc heä thöùc cô baûn: + = a 2 cos a 2 sin 1 + a 2 1 tan =

a tan = + a 2 1 cot = a 1 a 2 cos 1 2 sin a cot = a a tan . cot = 1 a sin a cos a cos a sin

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x cos x x cos cos cos

Trang 23

Ví duï: Chöùng minh raèng: 1. sin 1 sin 2. sin sin31 2. Coâng thöùc coäng :

b + b = a a b - sin .sin

b a b a + b -

b + ) cos .cos = ) cos .cos = b a b + sin .sin a sin .cos

b a b b a - - a cos( a cos( a sin( a sin( ) sin .cos = ) sin .cos sin .cos

a a b tan( + ) = -

- b - a tan( ) = b tan +tan b a 1 tan .tan b a tan tan b a + 1 tan .tan

Ví duï: Chöùng minh raèng: p + = - a 1.cos a sin a 2cos( )

(cid:0) 2

(cid:0)

cos 2

4 p = + - a 2.cos a sin a 2cos( ) 4 (cid:0) 3. Coâng thöùc nhaân ñoâi: (cid:0)

= - a cos2 a 2 cos a 2 sin

(cid:0) 2

(cid:0)

sin 2

cos 2

a - = 2 2cos 1 (cid:0) (cid:0) a

4 cos a =

= - 2 1 2sin = a - a 4 sin

(cid:0)

a a sin2 2sin .cos

sin

cos

(cid:0) 2sin

1 2

(cid:0) = a tan2 a - a 2tan 2 1 tan

4 Coâng thöùc nhaân ba: (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3cos 3 cos (cid:0) (cid:0) cos 3 = - 4

= - a cos 3 a sin 3 a 3 4 cos a 3sin a 3cos a 3 4sin (cid:0) (cid:0) sin3 (cid:0) 3sin (cid:0) (cid:0) sin 3 4

2 cos

tan

5. Coâng thöùc haï baäc: + a - a - a a = a = 2 ; sin a = 2 ; tan + a 1 cos2 2 1 cos2 2 1 cos2 1 cos2

a 2

6.Coâng thöùc tính sin ,cos , tan theo

2 1 t + 2 1 t

- a = sin a = ; cos a = ; tan 2t + 2 1 t 2t + 2 1 t

Trang 24

7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cos .cos (cid:0) cos( (cid:0) ) cos( )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) sin .sin (cid:0) cos( (cid:0) ) cos( )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) sin .cos (cid:0) sin( (cid:0) ) sin( ) 1 2 1 2 1 2

(cid:0) x

Ví duï: 1. Bieán ñoåi thaønh toång bieåu thöùc: A (cid:0)B sin cos 2. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: x .5cos (cid:0) 5 12 3cos (cid:0) 7 12 8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích :

b + - + = a cos b cos a 2cos b a .cos 2 2 b + a - = - - b a .sin a cos b cos 2sin 2 2 a b + - + = b a .cos a sin b sin 2sin 2 a 2 b + - = - b a .sin a sin b sin 2cos 2 2 b + ) + = a tan b tan

b - ) = - a tan b tan

(cid:0) (cid:0) (cid:0) a sin( b a cos cos a sin( b a cos cos A x sin sin 2x sin 3x

Ví duï: Bieán ñoåi thaønh tích bieåu thöùc: 9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cos (cid:0) sin (cid:0) 2cos( (cid:0) 2sin( ) cos sin

(cid:0) 4 (cid:0) ) 4 (cid:0) (cid:0) 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cos (cid:0) sin (cid:0) 2cos( (cid:0) 2sin( ) ) cos sin 4 4 cos 4 cos 35 8

Ị ƯỢ

= -

sin

< <

a a a .

B.Bài T p:ậ I/. GIÁ TR L

� ﾡ p a ﾡﾡ�

NG GIÁC 3 5

�ﾡ p 3 .Tính cos ,tan ,cot ﾡﾡ � 2

)

180 < a < 270 .Tính sina , tana, cota.

tan15

Bài 1: Cho

Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 ( Bài 3: Cho

ế

Tính

t ế

t tanx = 2

+ -

2sin x 3sin x

3cos x 2cos x

= - 2 + - +

tan x tan x 2 sin x

o o 3. Tính sin15 ,cos15 ,cot15 . 1 3 2cos x

ế

Tính

t cotx = 3

cot x cot x - 3sin x cos x 2 4sin x 1

Trang 25

sinx = . Bài 4: Tính

ứ

a/sin x+cos x=12sin xcos x; b/sin x+cos x=13sin xcos x 2 c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx

ứ

ẳ

Bài 5: Ch ng minh: 4

= tan xcot x; b/

= 1+2tan x; c/

+tanx =

1 cosx

ứ 12cos x 2 sin x.cos x

1+sin x 1sin x

; f/

; e/

1sinx cosx

cosx 1+sinx

cosx 1+sinx sinx+cosx1 sinxcosx+1

= sinx.cosx;

; h/1

2 cos x 1+tanx

2 sin x 1+cotx 2

(

; j/

1+cosx sinx 1cosx 1+cosx )

sinx 1+cosx 1+cosx 1cosx ) ( i/ 1cosx 1+cot x =

ứ

2 sinx 4cotx sinx 1 1+cosx ứ ể Bài 7: * Ch ng minh các bi u th c sau đ c l p đ i v i x: ) A=2 sin x+cos x 3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x3 +sin x 2sin x3

ố ớ )

)

(

)

tan xtan y sin xsin y = sin x.sin y tan x.tan y ộ ậ ( 4 ) C=2 sin x+cos x+sin xcos x sin x+cos x ; D=3 sin xcos x +4 cos x2sin x +6sin x

( (

)

(

)

E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F=

;

( sin x+cos x1 sin x+cos x1

ﾡ

H=cosx 1sinx 1cosx 1sin x +sinx 1cosx 1sinx 1cos x ;(x

) sin x+3cos x1 6 6 4 sin x+cos x+3cos x1 p� � � � 0; ) � �� 2

Bài 6: Ch ng minh các đ ng th c sau: 2

Ị ƯỢ

Ủ

Ặ

Ệ

II/. GIÁ TR L

NG GIÁC C A CUNG Đ C BI T

ế

* Bi

t 1 HSLG khác

�ﾡ � p 3 ﾡ < < ﾡ p 2 x ﾡﾡﾡ� � 2

- p

sin

tan

(

) x ,

)

a/ Tính cosx ; b/ Tính

� � p � � + x , cos � � � � � � 2

� � p � � ( + x , cot 3 � � � � � � 2

Bài 1: Cho sinx = 0,96 v iớ

tan

2cos

(

) - p a

2cos ;

cot

) - p a

(

a ﾡﾡ

tan

sin

� p 3 � � � � 2

cot

- b b cot

tan

(

) b

tan

cos

cot

) - p a

(

� � � - � ﾡ b ﾡﾡ �

ứ

ể

� � � � p p � � � � - sin � � �� 2 2 � �ﾡ p ﾡ + sin ﾡﾡ� � 2 � � � � � � � p p p 3 � � � � � � - b cot � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 + � ) ( ( ) p - - 3 p a p b cos 2 ﾡ - ﾡﾡ� 2 ả Bài 3: Đ n gi n bi u th c:

A sin 13

cos

tan

(

) + - p a

( cot 12

) - p a

� � ; � � �

(

) - p a

B cos 15

sin

C sin 7

cos

tan

2 tan

(

) + + p a

( cot 3

) - p a

� � - a � � � � � - a � � � � � - a � � �

� � + � � � � � p 3 � � - tan � � � � � � 2 � � - � � �

� � � � � � � + � � �

� � - a � � �

� � � �ﾡ

p 9 2 p 7 2 p 5 2

� p 5 � - � � � 2 � � p 3 � � - .cot � � � � � � 2 � p 9 � - � � � 2

p 7 2

ứ

ể

ả Bài 4: Đ n gi n bi u th c:

Trang 26

Bài 2: Tính:

)

= A sin

...

) + + a o

2250

900

( sin 2 ) -

) + + a ( 2sin x

( p sin 3 ) o

+ + + ( cos x

( sin 100 ) o

a ( 2sin 720

)

( cos 540

)

ứ

ể

- p

tan

(

) x .sin x

(

) p 5

2sin 2550 cos

o 188

)

( ( B cos 1710 ả Bài 5: Đ n gi n bi u th c: � p 19 ﾡ - ﾡﾡ� 2

tan 368

2cos 638

( cos98

sin

x .cos x

(

) p

� ﾡﾡﾡ �

�ﾡ x .cos 36 ﾡﾡ � � p 9 ﾡ - ﾡﾡ� 2

cos75 sin

2535

555

)

(

)

(

( cos 207

) + + x

2 ( sin 33

) + + x

� � + � � �

) o tan 695 tan 245 � � � 2 � = sin x � � � � � �

( p 3 2

ứ

ứ Bài 6: Ch ng minh: ( a / sin825 cos � p 85 � b / sin x � � � 2 Bài 7: Cho tam giác ABC.Ch ng minh:

+ =

a / sin(A B)

sin A; b / cos A cos(B C)

0; c / sin

cos

;

+ A B 2

C 2

+ +

d / cos C cos(A B 2C)

0; e / sin A cos

+ + 3A B C 2

III/. CÔNG TH C L

NG GIÁC

ủ

ị

Ứ ƯỢ Bài 8: Tính giá tr các HSLG c a các cung sau:

ủ

ị

o o 15 ,75 ,105 ,285 ,3045 p p p p p 7 13 , , 12 12

103 12

299 12

19 12

= -

sin x

p < x < 2 )

, (

t ế

Bài 9: Tính giá tr các HSLG c a các cung sau:

p� �ﾡﾡ - x bi ﾡﾡﾡﾡ� � 3

p 3 2

(

)

,a b có

= . a/ Tính

tan a b+ b/ Tính a b+

, tan

tan

Bài 10: Tính cos

1 3

ả

ọ

Bài 11: Cho 2 góc nh n ọ

= -

p 4 tan x.tan y

3 2 2

12 13 1 2 ﾡﾡﾡ + = x y ﾡﾡﾡﾡﾡﾡ tan y

) y ; tan x

a/ Tính

= -

t ế

và

< x <

sin x

p 3 2

b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. 40 41

theo tana. Áp d ngụ : Tính tg15o

Bài 12: Cho 2 góc nh n x và y tho :

( + tan x p� �ﾡﾡ - Bài 13: Tính tan x ﾡﾡﾡﾡ� � 4 � �ﾡ p ﾡ + ﾡ a ﾡﾡﾡ� � 4

Bài 14: Tính tan

tan 20

A sin 20 cos10

o sin10 cos 20

+ o

tan15 o

o tan 25 -

1 tan 25 .tan 20

1 tan15 o - tan 225

D sin15

3 cos15

E sin15

cos15

3 3

o cot 81 .cot 69 o + cot 261

o tan 201

Bài 15: Tính:

� p 3 � � � � 4 � � � � + tan x � � � � � �

� � tan x � � �

� � � � � � � p p p � � � � + + = a / A cos x cos x � � � � � � � � � � � � � � � 3 4 6 � � � � � p 2 � � � � tan x tan x b / B tan x.tan x � � � � � � � � � � � � � 3

� � cos x � � � � p � + + � � 3

� cos x � � p 3

p 2 3

Trang 27

Bài 16: Tính:

ố ớ

ứ

ể

cos

B sin x

sin

A cos x

cos

� � + + x � � �

� � � � �

ứ � � p � � + + x � � � � � � 3

ộ ậ � � p � � - � � � � � � 3

� p 2 � � � � 3

� p 2 � - � � � 3

ứ

2 sin a 2 cos a

2 sin b 2 sin b +

2 cos a 2 - sin a sin a cosa

2 cos b 2 - cos b sin bcos b

2 sin a

d / sin

Bài 17: Ch ng minh bi u th c sau đ c l p đ i v i x:

Cho tam giác ABC.Ch ng minh

Bài 19: Lo i 5ạ : H th c l

3/ sin

cos

sin

4/ cos

cos

sin

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC cosB.cosC B 2 B 2

A 2 A 2

B 2 B 2

C 2 C 2

ﾡ

5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C

�ﾡ p ﾡﾡ � 2

6/ tan

tan

� ﾡﾡﾡ� A 2

C 2

B 2

C 2

7/ cot

cot

.cot

A 2

B 2

C 2

A 2 A 2

B 2

C 2

ả

ộ ế ( h c thu c k t qu )

Bài 18: Ch ng minh: ) ( ) ( - = b b .cos a a / cos a ) ) ( ( - = + b b .sin a b / sin a ( ) ) ( - = + b b .cos a c / sin a � � � � p p � � � � - = + - sin a a � � �� 4 4 ệ ứ ượ ng trong tam giác ứ :

8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1 ọ ế ổ :

Ổ

a / sin .sin

b / cos 5x.cos 3x

( c / sin x

( ) 30 cos x

)

Công th c bi n đ i BI N Đ I THÀNH T NG p 2 5

ứ Ế Ổ p 5

( ) - b .cos b c .cos c

)

(

)

� � � � � � � � ( .sin x f / sin x .cos 2x; g / 4 cos a � � ��

d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x; p 6

+ -

(

p 6 Ế Ổ Bài 20: BI N Đ I THÀNH TÍCH a / cos 4x d / sin a

+ cos 3x; b / cos3x ) ) + - b ; e / tan a b

( sin a

- cos 6x; c / sin 5x ) + + b tan a; f / tan 2a

sin x tan a

( Ứ ƯỢ

Ệ Bài 21: H TH C L

NG TRONG TAM GIÁC

Trang 28

ứ

ế

ả

ọ

Trong tam giác ABC.Hãy ch ng minh và h c thu c các k t qu sau :

9/ sinA + sinB + sinC = 4cos

.cos

10 / cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin

ộ B 2 B .sin .sin 2

A 2 A 2

C 2 C 2

)

11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 4cosA.cosB.cosC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = 1 2 2 ( 13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC 2 14/ cos A + cos B + cos C = 1 2cosA.cosB.cosC

15/ sinA + sinB sinC = 4sin

A 2

B .sin .cos 2

C 2

ABCD

ứ

vuông n u: ế

a / sin A

; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2

+ sin B sin C + cos B cos C

ABCD

ứ

cân n u:ế

Bài 23: Ch ng minh

a / sin A 2sin B.cos C; b /

tan A tan B 2cot

; c / tan A 2 tan B tan A.tan B; d /

2cos A

sin B sin C

C 2

Bài 22: Ch ng minh

ề

ứ

ế đ u n u:

a / cos A.cos B.cos C

; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cos C

3 2

ABCD

ứ

ặ

ế

(

a / tan A.tan B.tan

1; b /

; c /

) sin B C 2 2 +

) sin B C 2 2 -

cân ho c vuông n u: 2 tan B sin B C = tan C sin C 2

= sin B sin C sin B sin C

Bài 24: Ch ng minh 1 8 ABCD Bài 25: Ch ng minh

ạ

ậ

t:ế

a / sin 4A sin 4B sin 4C 0

b / cos A cos B cos C 1 c /

2sin C

sin A cos B

ABCD Bài 26: Hãy nh n d ng

======================================================================== HÌNH H CỌ : Ch đ 1 ủ ề :VECT Ơ Ị §1: CÁC Đ NH NGHĨA Ắ Ế A: TÓM T T LÝ THUY T

uuur ;CD

r ;b

ị ạ ơ ướ ệ

ơ ẳ là đo n th ng có d nh h ể ơ ng Ký hi u : ầ ể

uuur AB ố

có đi m đ u trùng đi m cu i : Ký hi u

r ho c ặ a r ệ 0

ơ có giá song song ho c trùng nhau

ơ ơ ơ ằ ướ ướ (cid:0) Vect (cid:0) Vect (cid:0) Hai vect (cid:0) Hai vect (cid:0) Hai vect – không là vect ươ cùng ph ng là hai vect ặ ươ ng thì ho c cùng h cùng ph ế b ng nhau n u chúng cùng h ặ ượ ướ ặ ng ho c ng c h ộ ng và cùng đ dài

Ậ Ộ

ậ

ể ơ ơ ể ể ố khác vect ầ không có đi m đ u và đi m cu i ể ể ơ ừ t 5 đi m A, B, C , D , O

uuur ơ AB ằ ộ b) Có đ dài b ng

ằ a) b ng vect

Trang 29

B. N I DUNG BÀI T P : Bài 1: Bài t p SGK : 1, 2, 3, 4, 5 trang 9 SGK nâng cao Bài 2: Cho 5 đi m A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vect là các đi m đó. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vect uuur ; OB uuur (cid:0) (cid:0) OB

ứ ầ ượ ọ ể giác ABCD, g i M, N, P, Q l n l t là trung đi m AB, BC, CD, DA. Bài 4 : Cho t

NP ự

(cid:0) (cid:0) ứ Ch ng minh :

ườ ạ ế ể ọ ố ng tròn ngo i ti p . G i B’ là đi m đ i

; Bài 5 : Cho tam giác ABC có tr c tâm H và O tâm là đ ứ x ng B qua O . Ch ng minh :

CB '

(cid:0) ứ

DA ,

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ự . Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD . D ng

AQ (cid:0)

ứ Ch ng minh

Ổ Ơ Ệ §2. T NG VÀ HI U HAI VECT ế : ắ A: Tóm t t lý thuy t

uuur r ; BC b=

ị

(cid:0) Đ nh nghĩa: Cho (cid:0) Tính ch t : ấ

ế ợ * K t h p )

ấ

uuur = AC

ể ắ

uuur = AC

uuur + AD

ắ

(cid:0) (cid:0) ơ

uuur r uuur r r AB a= = + . Khi đó AC a b r r r r = b a+ * Giao hoán : a b+ r r r r r r b+ ( a b+ (a + c = ) + c r r r ơ + 0 = a –không * Tín h ch t vect a uuur uuur (cid:0) Quy t c 3 đi m : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : + BC AB (cid:0) Quy t c hình bình hành . N u ABCD là hình bình hành thì ế (cid:0) Quy t c v hi u vec t ắ ề ệ

uuur AB CB

: Cho O , B ,C tùy ý ta có :

Ậ

ậ ơ ả Ộ B. N I DUNG BÀI T P : Bài 1:

Bài t p SGK :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 12 SGK c b n ; Bài 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK nâng cao uuur ; BO r = b r = a

r theo a uuur ; BC uuur Tính AB uuur ; DA ạ uuur Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đ t ặ AO r uuur và b ; CD uuur (cid:0) BC uuur + AB uuur (cid:0) theo a AC ể ợ ậ ỏ (cid:0) (cid:0) uuur a) (cid:0) AO uuuur (cid:0) = (cid:0) MO uuur AD uuur (cid:0) ; (cid:0) AB uuur (cid:0) = (cid:0) NB ằ uuur b) (cid:0) AC ứ Bài 5: Cho 7 đi m A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Ch ng minh r ng :

Bài 3: Cho hình vuông ABCD c nh a . Tính ữ ậ Bài 4: Cho hình ch nh t ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm t p h p đi m M , N th a uuur AD ể uuur a) AB uuur b) AD uuur c) AB uuur d) AB uuur + CD uuur + BE uuur + CD uuur AF uuur + ED uuur ED

OM ằ

OB ườ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ằ uuur = CB uuur = AE uuur + GA uuur CB ả ử s . Khi nào đi m M n m trên uuur + ED uuur uuur + BF + CD uuur = CB uur + EF OB uuur + GF r = 0 ,

ủ ủ uuur + EA uuur + CF uur + EF uuur + CD Bài 6 : Cho tam giác OAB. Gi ườ đ

OE ố ứ

OD ể

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ề ng phân giác ngoài c a góc AOB ? OB

ng phân giác trong c a góc AOB? Khi nào N n m trên đ Bài 7 : Cho ngũ giác đ u ABCDE tâm O Ch ng minh: OA ủ ộ ố ứ ớ ọ ố ứ ấ ỳ ủ ể ể

O ể Bài 8 : Cho tam giác ABC . G i A’ la đi m đ i x ng c a B qua A, B’ là đi m đ i x ng ớ v i C qua B, C’ là đi m đ i x ng c a A qua C. v i m t đi m O b t k , ta có: OA '

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

uuur + OE uuur + OF r = 0

OB ề uuur + OC uuur + AF

Trang 30

( M tùy ý ) uuur + OB uuur + AO uuur b) OA uuur + MC Bài 9: Cho l c giác đ u ABCDEF có tâm là O . CMR : uuur + OD uuur = AD ụ uuur a) OA uuur c) AB uuuur d) MA uuur + OC uuur + ME uuur + OE uuur = MB r = 0 uuuur + MD uuur + MF

ứ Ch ng minh r ng : uur + IQ

ẽ ườ ự r = 0 ng tròn tâm O , tr c tâm H , v đ ng kính AD ằ Bài 11: Cho tam giác ABC n i ti p trong đ

uuur + HC Bài 10: Cho tam giác ABC ; v bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS uur + PS ườ uuur = HD ứ ọ ằ ẽ uuur RF ộ ế uuur HB ủ uuur + HC uuur + HB uuur HA uuuur = HH ' ứ ứ ch ng minh: t FE,D,C,B,A, ằ a) Ch ng minh r ng ố ứ b) G i H’ là đ i x ng c a H qua O .Ch ng minh r ng ệ ể Cho 6 đi m phân bi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 12. 1/ 2/ AB DC AC DB (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3/ 4/ AB CD AC BD AB AD ED CE AD DC EB AB EB (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6/ AC DE DC CE CB AB AD EB CF AE BF CD 5/ Bài 13.

(cid:0) (cid:0) ề ạ AB AB;AC AC 1/ Cho tam giác ABC đ u c nh a. Tính

ề ạ ể ằ ọ BA (cid:0) BI 2/ Cho tam giác ABC đ u c nh b ng 8, g i I là trung đi m BC. Tính

(cid:0) (cid:0) ạ AC AB OC 3/ ề Cho tam giác ABC đ u, c nh a, tâm O. Tính

ữ ậ AD (cid:0) AO 4/ Cho hình ch nh t ABCD, tâm O, AB = 12a, AD = 5a. Tính

Ơ Ớ Ộ Ố Ủ §3: TÍCH C A VECT V I M T S

ế : t t lý thuy t

ị ơ ượ đ c xác đ nh:

ng v i ượ ướ c h ng v i ắ A. Tóm (cid:0) Cho k(cid:0) R , k a là 1 vect (cid:0) ế * N u k ớ a ; k < 0 thì k a ng ớ a

ộ * Đ dài vect ướ 0 thì k a cùng h ơ a b ng ằ (cid:0) k (cid:0) .(cid:0) a (cid:0) k

(cid:0) Tính ch t :ấ a) k(m a ) = (km) a b) (k + m) a = k a + m a

r k = 0 ho c ặ a = 0

(cid:0)

r =k a

r (cid:0) 0

ươ ố ỉ ng c) k( a + b ) = k a + kb r a

r ( a ủ ể

ệ ầ ẳ

ươ ượ ể không cùngph c bi u di n ng

r d) k a = 0 r ỏ b ) khi và ch khi có s k th a ố r ễ x

uuur uuur =k AC AB r ( m, n duy nh t )ấ + nb

r x luôn đ

r a

ế

ơ ả Bài 21 đ n 28 trang 23, 24 SGK nâng cao ế ể ể ộ

r (cid:0) b cùng ph (cid:0) Đi u ki n c n và đ đ A , B , C th ng hàng là có s k sao cho ề r r (cid:0) Cho b , " = m a Ậ Ộ N I DUNG BÀI T P : ậ Bài 4, 9 trang 17 SGK c b n ; Bài 1: Bài t p SGK : ọ Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuy n. G i I là trung đi m AM và K là m t đi m trên

1 3

ứ ẳ ạ c nh AC sao cho AK = ể AC. Ch ng minh ba đi m B, I, K th ng hàng

ể ượ ị ệ ứ ở c xác đ nh b i các h th c

ABOMA

;

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . Ch ng minh MN // AC

ể ọ

O ấ uuur + AE

Trang 31

ứ ể ẳ ằ Bài 3 : Cho tam giác ABC. Hai đi m M, N đ ứ BC ỏ Bài 5: Cho tam giác ABC ; trên BC l y D ; E th a BD = DE = EC . G i I là trung đi m BC , uuur ể . Ch ng minh r ng 3 đi m I ; S ; A th ng hàng + AC S là 1 đi m th a uuur ỏ SA uuur = AB uuur + AD

1 4

ể ằ ạ ể CA, J là đi m mà Bài 6 :Cho tam giác ABC. Đi m I n m trên c nh AC sao cho CI =

1 2

2 3

(cid:0) (cid:0) .

(cid:0) (cid:0) ứ ứ ẳ BI AC AB a) Ch ng minh : b) Ch ng minh B, I, J th ng hàng 3 4 Bài 7 : Cho tam giác ABC .

(cid:0) 2

(cid:0) ể a) Tìm đi m K sao cho

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ể B) Tìm đi m M sao cho

MB 1 3

OMC 1 3

BC ; CJ = Bài 8: Cho tam giác ABC. BI = CA ; AK = AB 1 3 ứ ằ a) Ch ng minh r ng: IC + JA + KB = 0 , AI + BJ + CK = 0 . Suy ra ABC và IJK cùng tr ng ọ tâm

ể t là trung đi m BC , CA , AB . Bài 9: Cho tam giac ABC có I, J , K l n l ọ

ứ ọ b) Tính IK ; IJ theo AB và AC ầ ượ G là tr ng tâm tam giác ABC ằ 1) Ch ng minh r ng AI + BJ + CK = 0 .Suy ra tam giác ABC và IJK cùng tr ng tâm

ị ở 2) D, E xác đ nh b i : AD = 2 AB và AE = AC . Tính DE và DG theo AB và AC .

ể 2 5 Suy ra 3 đi m D,G,E th ng hàng ề ằ ọ ẳ Bài 10 : Cho tam giác đ u ABC có tr ng tâm là G , M là 1 đi m n m trong tam giác. ẽ ể ủ

ứ Ch ng minh r ng = ầ ượ V MD ; ME ; MF l n l uuuur ằ MD ạ t vuông góc v i 3 c nh c a tam giác uuuur uuur MG + ME uuur + MF ớ 3 2 Bài 11.

ủ ể ể ộ ọ ỏ 1/ Cho hình bình hành ABCD. G i I là trung đi m c a AB và M là m t đi m th a . IC (cid:0) IM3

(cid:0) (cid:0) ứ ằ ẳ Ch ng minh r ng: . Suy ra B, M, D th ng hàng BM3 BI2 BC

ủ ể ấ ạ ọ 2/ Cho hình bình hành ABCD, g i I là trung đi m c a CD. L y M trên đo n BI sao cho BM = 2MI.

ứ ằ ẳ ể Ch ng minh r ng ba đi m A, M, C th ng hàng

ứ ể ằ ọ 3/ Cho hình bình hành ABCD có tâm O, g i M là trung đi m BC. Ch ng minh r ng:

(cid:0) (cid:0) AM AB AD 1 2

Bài 12.

ầ ượ ọ ứ ủ ằ ọ 1/ G i G và G’ l n l t là tr ng tâm c a tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Ch ng minh r ng:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) AA' BB' CC' 3 GG'

ủ ế ể ủ MQ . Cm 2/ Cho tam giác MNP có MQ là trung tuy n c a tam giác. G i ọ R là trung đi m c a

Trang 32

r ng:ằ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ RM2 RN RP 0

2OM

4OR

(cid:0) (cid:0) (cid:0) b/ , v i ớ O b t kìấ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ự ể ứ c/D ng đi m S sao cho t giác MNPS là hình bình hành. Cmr: MS MN PM MP2

ứ ể ằ ớ d/ V i đi m O tùy ý, hãy ch ng minh r ng:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; ON OS OM OP ON OM OP OS OI4

ứ ầ ượ ủ ể ạ ẳ ứ ằ NM, AB, CD 3/Cho t giác ABCD và l n l t là trung đi m c a đo n th ng . Ch ng minh r ng:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; b/ a/ CA DB CB DA MN2 AD BD AC BC MN4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ứ ể ằ ọ G i I là trung đi m c a BC. Ch ng minh r ng: c/ AB2 AI NA DA DB3

Ụ Ọ Ộ Ụ Ọ Ộ Ệ §4 :TR C T A Đ VÀ H TR C T A Đ :

ườ ể ẳ ị ộ ằ A. Tóm tẮt lý thuy tế : (cid:0) Tr c là đ ụ ng th ng trên đó xác đ nh đi m O và 1 vect có đ dài b ng 1.

r ơ i

ắ ụ ) ho c x’Ox

r i r i

r ) thì AB = AB i

ằ ụ ộ

r ; j

r i

ụ ồ ệ ặ ạ ố ủ AB )

r ; j

r ), n u ế a

r =x i

thì (x;y) là to đ c a = (x;y) ọ . Khi đó AB g i là đ dài đ i s c a (cid:0) Oy. Ký hi u Oxy ho c (O; r +y j

r ạ ộ ủ a

r . Ký hi u ệ a

ệ Ký hi u tr c (O; (cid:0) A,B n m trên tr c (O; (cid:0) H tr c t a đ vuông góc g m 2 tr c Ox ệ ụ ọ ộ r (cid:0) Đ i v i h tr c (O; ố ớ ệ ụ i r (cid:0) Cho a

= (x (cid:0)

r = (x;y) ;b r (cid:0) a r k a r b

r a

r ( a (cid:0) Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có

p =

ươ ố ỏ ỉ cùng ph ) khi và ch khi có s k th a x’=kx và y’= ky = (x’;y’) ta có r x’;y (cid:0) b y’) =(kx ; ky) ; (cid:0) k (cid:0) R r (cid:0) 0 ng

x+ 2

y+ 2

và yP =

x C

y C

= (xM – xN ; yM – yN) ể P là trung đi m MN thì x uuuur MN

G =

x B 3

y B 2

ọ ế (cid:0) N u G là tr ng tâm tam giác ABC thì x và yG =

Ộ Ậ

ậ

ầ ượ ạ ể t là trung đi m các c nh B. N I DUNG BÀI T P : ế Bài 1: Bài t p SGK :29 đ n 36 TRANG 30, 31 SGK nâng cao ể Bài 2 : Cho tam giác ABC . Các đi m M(1; 0) , N(2; 2) , P(1;3) l n l ọ ộ ủ ỉ BC, CA, AB. Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ể ể ẳ Bài 3 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m đ 3 đi m A, B, C th ng hàng

ệ ụ ọ ộ ề ọ ạ Bài 4 : Cho tam giác đ u ABC c nh a . Ch n h tr c t a đ (O;

i ; j ), ướ OA . ng

i cùng h ủ ỉ ủ

ể ướ trong đó O là trung đi m BC, ng v i ớ OC , j cùng h

ọ ộ ủ ọ ộ ọ ộ ạ ế a) Tính t a đ c a các đ nh c a tam giác ABC ể b) Tìm t a đ trung đi m E c a AC ườ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC c) Tìm t a đ tâm đ

i ; j ), trong đó O là tâm l c giác đ u ,

Trang 33

ệ ụ ọ ộ ụ ề ọ ụ ề Bài 5 : Cho l c giác đ u ABCDEF. Ch n h tr c t a đ (O;

ướ

ướ EC . ng ế ạ ọ ộ ụ ề ủ ụ ớ OD , j cùng h ng v i i cùng h ỉ Tính t a đ các đ nh l c giác đ u , bi t c nh c a l c giác là 6 .

ọ ộ ể t:

r = 0 uuur + BC ế uuur + 3 CD uuur = 2 BD

ớ ọ Bài 6:Cho A(1; 2), B (3; 4), C(5; 0). ế Tìm t a đ đi m D n u bi uuur uuur – 2 BD a) AD uuur uuur b) AD – 2 AB c) ABCD hình bình hành d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD v i BC = 2AD ằ ể ọ Bài 7 :Cho hai đi m I(1; 3), J(2; 4) chia đ an AB thành ba đ an b ng nhau AI = IJ = JB

ớ ố ứ t ABCD hình bình hành tâm K(5, 6)

ọ ộ ủ a) Tìm t a đ c a A, B ọ ộ ủ ể b) Tìm t a đ c a đi m I’ đ i x ng v i I qua B ọ ộ ủ c) Tìm t a đ c a C, D bi r Bài 8: Cho a

r c

r + c r r = b + a r + n b ỏ ấ Bài 9 : Tìm trên Ox t a đ M đ PA + PB nh nh t :

ế r r =(7; 2) =( 3 ; 4) và c =(2; 1) ; b r r r ơ u ọ ộ ủ 3 b = 2 a a) Tìm t a đ c a vect r r th a ỏ x ơ x ọ ộ ủ b) Tìm t a đ c a vect r r ỏ c ố = m a c) Tìm các s m ; n th a ể ọ ộ a) A(1; 2 ) và B(3; 4) b) A(1; 2 ) và B(2; 5) (cid:0) A(1;2), B( 2;6), C(4;4) Bài 10.Cho 3 đi m ể

ứ ẳ 1/Ch ng minh A, B, C không th ng hàng

ọ ộ ủ ể ạ 2/Tìm t a đ trung đi m I c a đo n AB

ọ ộ ọ ủ 3/Tìm t a đ tr ng tâm G c a tam giác ABC

ọ ộ ể ứ 4/Tìm t a đ đi m D sao cho t giác ABCD là hình bình hành

ọ ộ ể ủ ể ạ 5/Tìm t a đ đi m N sao cho B là trung đi m c a đo n AN

ọ ộ ủ ể ọ ủ ọ 6/Tìm t a đ các đi m H, Q, K sao cho C là tr ng tâm c a tam giác ABH, B là tr ng tâm c a

ủ ọ tam giác ACQ, A là tr ng tâm c a tam giác BCK

ọ ộ ể ố ứ ể 7/Tìm t a đ đi m T sao cho hai đi m A và T đ i x ng nhau qua B, qua C

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ể 8/ Tìm t a đ đi m U sao cho AB AC;2BU3 BU5

Ậ Ậ ƯƠ BÀI T P ÔN T P CH NG I ể Bài 1: Cho 6 đi m A,B,C,D,E,F . CMR: (cid:0) (cid:0) (cid:0) CD AD CD ABa )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) CD AC DB ABb )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AE BF CD ADc )

EB ể CF Bài 2 : Cho 2 đi m A,B :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) . CMR : IB IP 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) Cho P th a : ỏ a) Cho N th a : ỏ IA . CMR : PA 3(cid:0) NA NB IA IB IN PB 2(cid:0) 2 3

Trang 34

ể ạ ọ MG GA Bài 3 : Cho G là tr ng tâm tam giác ABC . M là 1 đi m trên đo n AG sao cho ể ( I là đi m tùy ý ) ể ( I là đi m tùy ý ) 1(cid:0) 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) MB MA MC 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) IB IA IC 2 ể t là trung đi m AB và CD 0 IM 4 ầ ượ giác ABCD , M và N l n l Bài 4: Cho t

(cid:0) MN AD BC (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị IB ID 0(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) CMR : b) CMR : ứ 2(cid:0) a) CMR : b) Tìm v trí I sao cho IA c) CMR: MD MC MB MA IC 0(cid:0) ằ

- Bai 5 : Cho ABCD là hình vuông tâm O canh b ng a . Tính uuur uuur b) AB AD uuur uuur + a) AB AD

+ uuur uuur + c) OB OD uuur d) 2AB uuur AD

1 2 ọ ố ứ ể ể ớ

ể ễ ơ AM MB CB AC AB; ;' ; ; '

qua BC AB ;' ể t là trung đi m AB,AC Bài 6: Cho tam giác ABC và G là tr ng tâm . B’ là đi m đ i x ng v i B qua G. M là trung đi m BC .Hãy bi u di n các véc t Bài7: Cho tam giác ABC , M,N l n l ể ẳ AG ; ầ ượ a) P,Q là trung đi m MN , BC .CMR : A,P,Q th ng hàng.

= = uuur ME uuuur uuur MN, BF uuur BC ọ ỏ b) G i E,F th a mãn: 1 3 1 3 ẳ ể

ứ r Bài 8: Cho a Ch ng minh r ng : 3 đi m A,E,F th ng hàng r =(2 ;3) và c

r =5 b r 2 c

ằ r =(0; 2) =(4;3) ; b r r r ơ u ọ ộ ủ 3 b = 2 a a)Tìm t a đ c a vect r r th a ỏ x ơ x ọ ộ ủ b)Tìm t a đ c a vect r r ỏ c ố = m a c)Tìm các s m ; n th a r + c r 3 a r + n b ọ Bài 9:Cho A(1; 2), B (3; 4), C(5; 0). G là tr ng tâm ế t:

uuur + 3 CD uuur = 2 BD

ớ

(cid:0) ỏ MA (cid:0) MG 3 ọ ằ 0 ọ Bài 10 :Cho hai đi m I(1; 3), J(2; 4) chia đ an AB thành ba đ an b ng nhau AI = IJ = JB

ớ

ọ ộ ể ế a)Tìm t a đ đi m D n u bi r uuur uuur = 0 – 2 BD a1) AD uuur uuur uuur a2) AD + BC – 2 AB a3)ABCD hình bình hành a4)ABCD hình thang có hai đáy là AB, CD v i AB = 4CD ọ ộ b) Tìm t a đ M th a : ể ọ ộ ủ aTìm t a đ c a A, B ể ọ ộ ủ b)Tìm t a đ c a đi m I’ đ i x ng v i I qua B ọ ộ ủ c)Tìm t a đ c a C, D bi ố ứ t ABCD hình bình hành tâm K(5, 6) ấ ỏ ế ể Bài 11 : Tìm trên Ox t a đ M đ PA + PB nh nh t :

ọ ộ a)A(1; 3 ) và B(3;2) b)A(1; 2 ) và B(3;7)

====================================================================== ƯỚ Ứ Ữ Ụ Ơ NG GI A 2 VECT VÀ NG D NG ng 2 : TÍCH VÔ H Ch ) ( t ng giác ữ ế trang 22 đ n trang 27 ơ : ừ ng gi a 2 véct 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ơ 180

Trang 35

: ữ ướ ươ ứ ượ I. Công th c l ướ II.Tích vô h ữ 1.Góc gi a 2 vect 2.Tích vô h ba , 0 ơ : ng gi a 2 vect

ba . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cos ba , ba ba (cid:0) . cos( ba ), ba .

^ O

*Chú ý :

r r a b r r > (cid:0) a.b 0 r r > (cid:0) a.b 0 r r =� a.b 0 r r ( ) a,b ..nhoïn r r ) ( a,b ..tuø

r r r r r (cid:0) (cid:0) r r = 2)(ka)b k(a.b) r r r r = 3)a.(b c) a.b a.c

(cid:0) ườ ẳ ng th ng AC : AC AB AC .' ế ủ AB trên đ

1)a.b x.x' y.y'

r 2) a

2 x

2 y

r r 4)a b

�

x.x' y.y' 0

+ x.x' yy' + + 2 2

'2 y x' y

2 x

ướ *Tính ch tấ : r r r r = 1)a.b b.a ứ ế *Công th c hình chi u : 'AB là hình chi u c a ứ ọ ộ *Bi u th c t a đ tích vô h ng : Cho AB . ,( yxbyxa ), )' ể r r ^ ,'( r r 3)Cos(a,b)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ể ữ y y , , ) ); xA ( xB ( AB x x y y ( ) ( )

ạ i A , AB = a.Tính uuur uuur c)BA.CA uuur uuur b)AB.BC

ữ ậ

*Kho ng cách gi a 2 đi m : BÀI T P:Ậ 1.Cho tam giác ABC vuông cân t uuur uuur a)BA.BC 2.Cho hình ch nh t ABCD tâm O , AB = a , AD = 2a.Tính: uuur uuur a)AB.AC uuur uuur b)AB.AO uuur uuur c)OA.OC

(cid:0) (cid:0) ( cba ). 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3,Cho .Tìm t a đ t:ế a b );3,1( )1,2( ọ ộ c bi (cid:0) (cid:0) b ( c )2 5 (cid:0) A(3,1) , B(4,0) , C(8,9)

ừ . T đó suy ra góc A là góc gì? AC (cid:0) (cid:0) (cid:0) ABC ủ A c a .Tính diên tích ABC (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ườ ạ ế ứ ừ ABC ạ ừ ng cao h t . ABC , tâm I c a đ ng tròn ngo i ti p .T đó ch ng minh I,H,G ẳ

2 a

(cid:0) AB AC , ) 135 ọ ộ 2 (cid:0) (cid:0) 3)Cho ABC a) Tính ABa ) . b)Tính chu vi ABC ườ ọ ộ c) Tìm t a đ A’ là chân đ ủ ọ ộ ự d) Tìm t a đ tr c tâm H c a ọ ộ ọ ABC e) Tìm t a đ tr ng tâm th ng hàng. ể 4)Cho 2 đi m A(3,1), B(4,2).Tìm t a đ M sao cho : AM = 2 và ấ ạ ỏ ị ừ ( ị đ t giá tr nh nh t. MC : MA MB ng trong tam giác ị (cid:0) ể T đó suy ra v trí M đ ệ ứ ượ III.H th c l 1.Đ nh lý Cosin: ớ Trong ABC v i BC = a , CA = b , AB = c ta có : + - = + - b c 2bc.cosA � = cosA

2 b

+ - = + - = a c 2ac.cosB cosA �

2 c

2 2 b c a 2bc 2 2 2 a c b 2ac + 2 2 2 a b c 2ab

- = + - = a b 2ab.cosC cosA �

Trang 36

ị : 2.Đ nh lý sin trong tam giác

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ R 2 Trong ABC v i BC = a , CA = b , AB = c ta có : A B C a sin c sin ạ ế b sin ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

2 m c

2 m a

2 m b

2 2a 2c b 4

ườ ế ủ ng trung tuy n c a tam giác : 2 + 2 - - - = = = + 2 2 2a 2b c 4 Trong đó R là bán kính đ ườ ộ 3.Đ dài đ + 2 2 2b 2c a 4

= = = S c h . c b h . b a h . a 1 2 4.Di n tích tam giác: 1 2

= = = S A C bc ac B sin a b . sin sin 1 2 1 2

= = = - - - S S p p a p b p c p p r S . ; )( )( ( ; = ); + + a b c 2

ạ

, ng hình h c trong tam giác 13 7

a, R, r, ma. 60o

ạ ượ a = ộ ế ọ 8b = , ườ c = . Tính góc A, di n tích tam giác S, h ệ ng tròn tâm O, , bi t ế , . ệ 1 2 1 2 abc R 4 BÀI T P:Ậ D ng toán 1. Tính các đ i l BÀI 1. Cho tam giác ABC có BÀI 2. Cho tam giác ABC n i ti p trong đ B = R = C = 45o 6

ạ ạ . ạ 1. Tính các c nh tam giác. 2. Tính S, sinA, ha, r. BÀI 3. Cho tam giác ABC cân t BC a= = 3 - 1. Tính R, r. i A, góc đáy 2.Tính ( = B C= 30o , c nh đáy ) ( ) + m m m m a b

BÀI 4. Cho tam giác ABC, có:

1. A = 60o, b = 8, c = 5. Tính a và R. b = , 2. 2 a = c = 2 6

ộ + . Tính A, B, C và R. 3 1 t ế a – b = 1, A = 30o, hc = 2. Tính sinB. . Tính đ dài ma. 60o

045

BAC = ; BC = a. , BÀI 5. Trong tam giác ABC, bi BÀI 6. Cho tam giác ABC, bi BÀI 7. Tam giác ABC có ? B = ; ? C = t ế b = 1, c = 3, ? 060

o cos75

2 6 ộ ứ 1. Tính đ dài AB, AC. 2. Ch ng minh = - 4

060

. BÀI 8. Tam giác ABC có c = 35, b = 20, ? A = ề

ha. ườ ườ 1. Tính chi u cao 2. Tính bán kính đ 3. Tính bán kinh đ ạ ế ng tròn ngo i ti p tam giác. ộ ế ng tròn n i ti p tam giác.

BÀI 9. Tam giác ABC có các c nh AB = 3, AC = 7, BC = 8. ệ ạ ế ủ ộ ế ạ 1. Tính di n tích tam giác. 2.Tính bán kính đ ng tròn b i ti p, ngo i ti p c a tam giác. ườ ế BÀI 10. Tam giác ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuy n AM = 8. ệ 1. Tính di n tích tam giác ABC. 2. Tính góc B. ạ ứ ứ ứ

ấ ẳ ằ

)

B cos cos D ng toán 2. Ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c trong tam giác BÀI 1. Cho tam giác ABC. Ch ng minh r ng: ( a b

)

- b c = A a c - C b B cos cos

2 - = c ) 2 cos = A sin cos

C A b 1. 2. ( 3. sin B sin cos

2 cot

cot

Trang 37

ﾡ 1 ứ ằ . Ch ng minh r ng . BÀI 2. Tam giác ABC có ẳ ứ - C c ( + B mc b = b m c

(

)

+ = b c + R r 2 ứ ạ ọ ớ b, c ta có

ứ ề ế ệ ươ ng BÀI 3. Ch ng minh v i m i tam giác vuông, hai c nh góc vuông BÀI 4. Cho tam giác ABC. BM, CN là các trung tuy n. Ch ng minh các đi u ki n sau là t ươ đ ^

)

25 a ( 2 cot

= ng: 1. BM CN + 2. = + c A B C b cot cot 3.

+ = ứ ằ ỉ khi và ch khi BÀI 5. Cho tam giác ABC. Ch ng minh r ng B = 60o 1 + a b 1 + b c 3 + + a b c

= ứ ạ ỉ 2 i A khi và ch khi BÀI 6. Ch ng minh tam giác ABC cân t

- b = ủ ệ ề ạ ỏ . BÀI 7. Các c nh c a tam giác ABC th a mãn đi u ki n a A sin B C sin cos + 3 3 c a + - b c a

(cid:0) ứ ằ a Ch ng minh r ng và ? . A = 60o + b c 2 PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG

2 + u2

2 ≠ 0, t laø tham

I. ÑÖÔØNG THAÚNG. 1. Phöông trình ñöôøng thaúng : a. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng : (cid:0) + (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ñöôøngthaúng (d) : coù PTTS laø ( u1 + (cid:0) (cid:0) (cid:0) = x x 0 = y y 0 u t 1 u t 2 qua M(x ;y ) 0 0 r = VTCP u (u ;u ) 2

Khi ñoù (d) coù heä soá goùc k = (vôùi u1 ≠ 0) vaø ñöôøng thaúng (d) ñi qua u u 1

= (1;k)

= AB =

ñieåm M0(x0;y0), coù phöông trình : y – y0 = k(x – x0) r Chuù yù : Neáu d coù heä soá goùc k thì d coù VTCP u r Neáu d ñi qua hai ñieåm A(xa;ya) vaø B(xb;yb) thì d coù 1 VTCP u (xb -xa; yb - ya) b. Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng : (cid:0) (cid:0) + = - (cid:0) coù PTTQ laø : a(x-x ) b(y y ) 0 Ñöôøng thaúng (d) : ( vôùi a2 + b2 ≠ 0) (cid:0) qua M(x ;y ) 0 r VTPT n (a;b) (cid:0)

0 = (cid:0) r Chuù yù : Neáu ñöôøng thaúng d : ax + by + c = 0 thì d coù VTPT n r b;a) hoaëc u = (b;-a) c. Phöông trình chính taéc :

ax + by + c = 0 (vôùi c = -ax0 – r = (- = (a;b) vaø coù VTCP u

(cid:0) - - (cid:0) = (cid:0) Ñöôøng thaúng (d) : coù PTCT laø : (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) (cid:0) (cid:0) x x 0 u 1 y y 0 u 2 qua M(x ;y ) 0 0 r = VTCP u (u ;u ) 2

d. Phöông trình ñöôøng thaúng theo ñoaïn chaén :

(cid:0) 1(cid:0) Ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm A(a;0) vaø B(0;b) vôùi a.b ≠ 0 laø : x a y b

1: a1x + b1y + c1 = 0 vaø d2 : a2x + b2y + c2 = 0. Ñeå xeùt vò

2. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : Cho hai ñöôøng thaúng d (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 0 (cid:0) trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng, ta xeùt heä : (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 c y b x 1 1 c y b x 2 2

Trang 38

a 2 + Heä (I) coù 1 nghieäm (x0;y0) khi ñoù d1 caét d2

+ Heä (I) coù voâ soá nghieäm khi ñoù d1 truøng d2 + Heä (I) coù voâ nghieäm khi ñoù d1 song song d2 *Neáu a1, a2, a3 ñeàu khaùc 0, ta coù :

d1 caét d2 (cid:0) a (cid:0) a b 1 b 2

(cid:0) (cid:0) d1 song song d2 (cid:0) c 1 c

(cid:0) (cid:0) d1 truøng d2 (cid:0) a 1 a 2 b 1 b

b 1 b 2 a c 1 1 a c 2 a1a2 + b1b2 = 0

m;ym) vaø N(xn;yn) khoâng thuoäc d

k1.k2 = -1

(axm + bym + c )(axn + byn (axm + bym + c )(axn + byn

0(x0;y0) ñeán ñöôøng thaúng d : ax + by + c = 0 laø :

* Chuù yù : • d1(cid:0) d2 (cid:0) • Neáu d1 : y = k1x + m1 vaø d2 : y = k2x + m2 thì d1(cid:0) d2 (cid:0) 3. Vò trí cuûa hai ñieåm ñoái vôùi ñöôøng thaúng : Cho ñöôøng thaúng d : ax + by + c = 0 vaø hai ñieåm M(x - Hai ñieåm M,N naèm cuøng phía ñoái vôùi d (cid:0) + c ) > 0- Hai ñieåm M,N naèm khaùc phía ñoái vôùi d (cid:0) + c ) < 0 4. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng : + Khoaûng caùch töø ñieåm M (cid:0) (cid:0) ax by c d(M0,d) = (cid:0) a

1: a1x + b1y + c1 = 0 vaø d2 : a2x + b2y + c2 = 0. Goùc giöõa

b 5. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng : Cho hai ñöôøng thaúng d (cid:0) aa 21 bb 21 hai ñöôøng thaúng laø : cos(d1,d2) = (cid:0) (cid:0) a b a 1 b 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ybxa c ybxa 1 c 1 (cid:0) (cid:0) * Chuù yù : (d1,d2) ≤ 900 6. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc : Hai ñöôøng thaúng caét nhau coù phöông trình d 1: a1x + b1y + c1 = 0 vaø d2 : a2x + b2y + c2 = 0. Phöông trình caùc ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi hai ñöôøng thaúng laø : (cid:0) (cid:0) a b a 1 b 1

BAØI TAÄP : 1. Trong mp Oxy cho ñieåm A(-3;4) vaø B(1;-2). Vieát phöông trình tham soá vaø phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng AB + - x 2 y 3 = 2. Cho ñöôøng thaúng (d) : vaø ñieåm B(-1;4). Vieát phöông trình toång quaùt cuûa 3 1

ñöôøng thaúng ñi qua B vaø vuoâng goùc vôùi (d) 3. Cho ñöôøng thaúng ((cid:0) ) : 2x – y – 7 = 0 vaø ñieåm A(4;-3). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua A vaø song song vôùi ñöôøng thaúng ((cid:0) ) 4. Cho (cid:0) ABC vôùi A(2;-2), B(2;3) vaø C(-2;0)

a. Vieát phöông trình ñöôøng cao AH cuûa (cid:0) ABC b. Vieát phöông trình ñöôøng trung tuyeán BM cuûa (cid:0) ABC (cid:0) (cid:0) 5. Cho ñöôøng thaúng (d) : vaø ñieåm M(1;3). Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán = x 4t = + y 1 3t (cid:0)

Trang 39

ñöôøng thaúng (d)

D coù troïng taâm G(-2,-1) caïnh AB : 4x + y + 15 = 0; AC : 2x + 5y + 3 = 0.

)

D coù ñænh A(-1,-3) 6. Cho hai ñöôøng thaúng caét nhau 2x + y – 3 = 0 vaø x + 2y + 1 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi hai ñöôøng thaúng treân (ÑS : 3x + 3y – 2 = 0 vaø x – y – 4 = 0) 7. Tromg mpOxy cho ñieåm A(-1;5) vaø B(4;3). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua A vaø caùch B moät khoaûng baèng 2 (ÑS : x – 2 = 0 vaø 3x – 4y – 10 = 0) 8*. Cho ñieåm A(-1;5) vaø B(5;-3). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua ñieåm M(4;3) vaø caùch ñeàu hai ñieåm A vaø B (ÑS : 4x + 3y – 25 = 0 vaø x – y – 1 = 0) 9. Cho ñöôøng thaúng (d) : mx + 3y – 3 = 0 vaø ñieåm A(1;3). Tìm giaù trò cuûa m, bieát khoaûng caùch töø A ñeán (d) baèng 2 (ÑS : m = 0, m = 4) 10*. Cho (cid:0) ABC coù A(1;-5, B(3;-9) vaø C(-13;2). Vieát phöông trình ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A (ÑS : x – y – 6 = 0) 11. Cho ABC a/ Tìm toaï ñoä ñænh A vaø trung ñieåm M cuûa BC b/ Tìm ñænh B vaø phöông trình caïch BC 12. Cho ABC a/ Bieát ñöôøng cao BH: 5x + 3y – 25 = 0; ñöôøng cao CK: 3x + 8y – 12 = 0 Tìm toaï ñoä ñænh B,C?

) d 1 : 2

)

d x x 3 0 : y+ + =

)d(cid:0)

- = (d) laø ñöôøng thaúng qua P vaø caét ( t ptế ;( 2 0 1d , ( ) 2d taïi A,B sao cho PA = PB . D , bieát ñænh C(4,-1) , ñöôøng cao vaø ñöôøng trung tuyeán b/ Bieát ñöôøng trung tröïc cuûa AB laø: 3x + 2y – 4 = 0 vaø troïng taâm G(4,-2). Tìm B,C? 13. Cho P(3,0) vaø 2 ñöôøng thaúng ( y- Vi 14. Laäp phöông trình caùc caïnh ABC keû töø moät ñænh coù phöông trình : 2x – 3y +12 = 0 vaø 2x + 3y = 0 15. Vieát phöông trình 3 caïnh tam giaùc ABC bieát C(4,3) ; ñöôøng phaân giaùc trong vaø trung tuyeán keû töø A coù phöông trình laàn löôït laø : x + 2y – 5 = 0 vaø 4x + 13y – 10 =0

ñoái xöùng cuûa (d) qua O D 16. Cho ñöôøng thaúng (d): 3x + 4y – 12 =0 a/ Xaùc ñònh A,B giao ñieåm (d) vaø Ox, Oy b/ Tìm toaï ñoï hình chieáu H cuûa goác O treân ñöôøng thaúng (d) c/ Vieát phöông trình ( 17. Cho ABC D coù M(-2,2) laø trung ñieåm cuûa BC, caïnh AB coù phöông trình : x – 2y – 2 = 0, caïnh AC coù phöông trình : 2x + 5y + 3 = 0. Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñænh cuûa ABC

(

)

M M M - (2,1); (5,3); (3, 4) 18. Vieát phöông trình 3 caïnh tam giaùc bieát 3 trung ñieåm laø :

) 3,1 ;

B A C 1, 4 19. Cho vaø (d): x – y – 1 = 0

(cid:0) a/ Tìm sao cho AM + BM nhoû nhaát

) 2, 4 ; ( M d (

( ) )

(cid:0) d sao cho AN + CN nhoû nhaát D coù phaân giaùc trong (AD): x – y = 0 , ñöôøng caoCH: 2x + y + 3 =0 caïnh AC qua N b/ Tìm 20. Cho ABC M(0,1) ; AB=2AM. Vieát phöông trình 3 caïnh cuûa tam giaùc

0;y0) cuûa (C) coù phöông trình : (x0 – a )(x – x0)+(y0 – b)(y

(cid:0) (cid:0) b a c

Trang 40

II. ÑÖÔØNG TROØN. 1. Phöông trình ñöôøng troøn : a. Phöông trình ñöôøng troøn taâm I(a;b) baùn kính R laø : (x – x0)2 + (y – y0) = R2 b. Nhaän daïng ñöôøng troøn Phöông trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 vôùi ñieàu kieän a 2 + b2 – c > 0 laø phöông trình ñöôøng troøn I(a;b) baùn kính R = c. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (C) coù taâm I(a;b) + Tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x + Ñieàu kieän tieáp xuùc :

2 vaø ñöôøng thaúng (d) : Ax + By + C = 0.

2 B

2 + 2y2 – 4x + 8y = 0

a A2

Cho ñöôøng troøn (C) : (x – a) + (y – b) = R (cid:0) (cid:0) Aa Bb C ñöôøng thaúng (d) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C) (cid:0) d(I,d) = R (cid:0) = (cid:0) A

-b

-a A1 ax 2 S

= + = - a • Caùc baùnh kính qua tieâu MF a 1 vaø MF 2 BAØI TAÄP : 1. Cho hai ñieåm A(2;5) vaø B(-4;1). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) nhaän AB laøm ñöôøng kính 2. Xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa ñöôøng troøn : 2x 3. Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua ba ñieåm A(1;3), B(5;6) vaø C(7;0) 4. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (C) : (x – 2) 2 + y2 = 13 taïi 5. Vieát phöông trình tieáp tuyeán ((cid:0) ) cuûa ñöôøng troøn (C) : (x + 1)2 + (y – 2) = 9 bieát tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm M(2;-1) (ÑS : y + 1 = 0 vaø x – 2 = 0) 6. Cho ñöôøng troøn (C) : (x – 2)2 + (y + 5)2 = 25 vaø ñöôøng thaúng (d) : 5x – 12y + 5m = 0. Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng (d) laø tieáp tuyeán 7*. Cho ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 vaø ñöôøng thaúng (d) : 4x – 3y + m = 0. Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå (d) caét (C) theo daây cung AB coù ñoä III. ELIP 1. Caùc khaùi nieäm • F1(-c;0) vaø F2(c;0) laø tieâu ñieåm, tieâu cöï F1F2 = 2c (c > 0) • MF1 + MF2 = 2a (a > c) • Caùc ñænh A1(-a;0) , A2(a;0) , B1(0;-b), B2(0;b) • Truïc lôùn A1A2 = 2a, truïc beù B1B2 = 2b (b2 = a2 – c2) • PQRS goïi laø hình chöõ nhaät cô sôû F1 ax a

= e < (e 1) • Taâm sai : c a

2 x a

2 y b

= + 1 (a > b > 0) 2. Phöông trình chính taéc cuûa elip :

BAØI TAÄP : 1. Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip (E) a/ Bieát ñænh A(0;-2) vaø moät tieâu ñieåm F(1;0)

1(-15;0)

= e b/ Tieâu cöï baèng 6, taâm sai 3 5

2. Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip coù truïc beù baèng 16 vaø moät tieâu ñieåm F 3. Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip, bieát elip ñi qua hai ñieåm M(0;4) vaø

2 x 9

2 y 5

� N 1; � � � � � � � + 8 6 5 4. Cho (E) : = coù tieâu ñieåm F1 vaø F2 ( F2 coù hoaønh ñoä döông) vaø 1

Trang 41

ñieåm M thuoäc (E) thoûa maõn MF1 = MF2. Tìm hoaønh ñoä ñieåm M