11 Hệ phương trình hay

Chia sẻ: Đỗ Thúy Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

314
lượt xem 67
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tổng hợp kiến thức và công thức cơ bản về hệ phương trình cách giải bài toán hệ phương trình. Giúp các bạn ôn tập toán nhanh và hiệu quả cho kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 11 Hệ phương trình hay

11 H PHƯƠNG TRÌNH HAY 8 1A 1 Gi i h phương trình:  x3 − y 3 = 35 2x2 + 3y 2 = 4x − 9y L i gi i p1 Phân tích: Đây có l là bài quen thu c đ i v i nhi u b n, đ gi i h này ta ph i quan sát các h ng t c a 2 phương trình. Phương trình ban đ u là b c 3, phương trình 2 là b c 2 và b c m t, t đó ta lien tư ng đ n h ng đ ng th c (a + b)3 , v y ta ph i c g ng tìm 1 h s nhân vào phương trình 1 ho c phương trình 2 đ khi c ng ho c tr 2 v ta s ra h ng đ ng th c đó. Gi i: Ta nhân phương trình (2) cho 3. Khi đó ta có h m i là: x3 − y 3 = 35 6x2 + 9y 2 = 12x − 27y -L Ta l y phương trình (1) tr đi phương trình (2), ta đư c: x3 − y 3 − 35 − 6x2 − 9y 2 + 12x − 27y = 0 ⇔ (x3 − 6x2 + 12x − 8) − (y 3 + 9y 2 + 27y + 3) = 0 ⇔ (x − 2)3 = (y + 3)3 ⇔ x = y + 5 Thay x = y + 5 vào m t trong 2 phương trình ban đ u ta s tìm đư c nghi m Đáp s : (x; y) = (3; −2); (2; −3) V y ý tư ng gi i quy t bài d ng này là tìm 1 h s α nhân vào phương trình ch a b c 2 và b c 1 đ uy khi c ng tr 2 v phương trình ta s thu đư c h ng đ ng th c (a + b)3 . (1) + (2).α ⇔ (x + a)3 = (y + b)3 Sau đây là m t s bài tương t đ các b n rèn luy n thêm: x3 + y 3 = 91 tD 1) Đáp s : (x; y) = (3; 4); (4; 3) 4x2 + 3y 2 = 16x + 9y x3 + y 3 = 9 2) Đáp s : (x; y) = (2; 1); (1; 2) x2 + 2y 2 = x + 4y x3 + 3xy 2 = −49 3) Đáp s : (x; y) = (−1; −4); (−1; 4) x2 − 8xy + y 2 = 8y − 17x 2 Gi i h phương trình:  −x3 + 3x + 4 = y Nh 2y 3 − 6y − 2 = x L i gi i Phân tích: Tho t nhìn bài này, có nhi u b n s c g ng dùng các phương pháp th ho c tìm h s nhân cho 1 phương trình nào đó đ bi n đ i, nhưng các cách đó s r t ph c t p ho c khó khăn trong vi c xoay s và tìm ki m. Vì th ta liên tư ng đ n vi c dùng phương pháp đánh giá đ tìm nghi m h phương trình. (n u b n nào nhanh m t có th đoán nghi m c a phương trình r i c g ng Lê tách đ so sánh v i nghi m đó đ bi n lu n nghi m duy nh t) Gi i: Ta có h phương trình đã cho tương đương v i: Lê Nh t Duy - L p 11A8 1
−(x3 − 3x − 2) = y − 2 −(x + 1)2 (x − 2) = y − 2 (1) ⇔ 8 2(y 3 − 3y − 2) = x − 2 2(y + 1)2 (y − 2) = x − 2 (2) T đó, ta xét: N u x > 2 thì t phương trình (1) ta suy ra y < 2, nhưng y < 2 thì s không th a 1A phương trình (2) vì th ta lo i. Tương t n u x < 2 ta cũng lo i. V y x = 2 ,suy ra y = 2. Th l i ta th y đó là nghi m c a h . Đáp s : (x; y) = (2; 2). 3 Gi i h phương trình: p1 x4 + y 2 = 698  81 x2 + y 2 + xy − 3x − 4y + 4 = 0 L i gi i Phân tích: Các b n s r t khó gi i n u c chú ý t i phương trình 1, vì nó là m t cái b c 4 và 1 cái b c 2 không liên quan gì nhau. Hãy quan sát phương trình 2 ta th y đó là phương trình b c cao nh t là b c 2 đ i v i các h ng t .Vì th ta s phân tích tích nghi m c a phương trình 2 theo n x và theo n y. M t là n u ∆ là s chính phương thì ta có th phân tích thành nhân t r i k t h p v i Gi i: T phương trình (2) ta có: -L phương trình 1 tìm nghi m,hai là ta có th tìm đi u ki n c a x và y đ bi n lu n phương trình. x2 + (y − 3)x + (y − 2)2 = 0 Đ phương trình có nghi m thì: 7 ∆ = (y − 3)2 − 4(y − 2)2 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 3 uy Tương t ta vi t phương trình (2) thành: y 2 + (x − 4)y + x2 − 3x + 4 = 0 Đ phương trình có nghi m thì: 4 ∆ = (x − 4)2 − 4(x2 − 3x + 4) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ tD 3 T đó ta suy ra: 256 49 687 698 x4 + y 2 ≤ + = < 81 9 81 81 V y h phương trình đã cho vô nghi m. 4 Gi i h phương trình:   18x2 2012 = y2 4 2 3  y x − 6x2 y 2 + 81 + 3 + x2 y 2 − 9y 2 x + y2 Nh   4 x(x + y 4 ) = y 6 (1 + y 4 ) L i gi i Xét y = 0 không là nghi m c a h phương trình, ta chia 2 v c a phương trình (2) cho y 5 T phương trìnnh th 2, ta có: x5 x + = y5 + y y5 y Xét hàm f (t) = t5 + t, f (t) = 5t4 + 1 > 0∀t. ⇔ x = y 2 Lê Thay vào phương trình (1) ta đư c: √ 4 √ x4 − 6x3 + 81 + 2012 x3 − 9x2 + 18x = x − 3 √ √ Đ t 4 x4 − 6x3 + 81 = a, 2012 x3 − 9x2 + 18x = b (a, b > 0). Ta có: 2 Trư ng THPT Thành Ph Cao Lãnh - t nh Đ ng Tháp
a+b=x−3 ⇒ (a + b)4 = a4 − 6b2012 ⇒ b = 0 8 a4 − 6b2012 = (x − 3)4 ⇒ x = 6 ho c x = 3 (nghi m x = 0 lo i) √ √ 1A Đáp s : (x; y) = 3; ± 3 ; 6; ± 6 5 Gi i h phương trình:  x + 6√xy − y = 6  (1) 3 3 x + 6(x + y ) − 2(x2 + y 2 ) = 3 (2) p1 x2 + xy + y 2  L i gi i Phân tích: Dùng b t đ ng th c đ đánh giá nghi m. Gi i: xy ≥ 0 Đi u ki n: x2 + xy + y 2 = 0 N u x = 0 ho c y = 0 thì h phương trình vô nghi m N u x ≤ 0, y ≤ 0(x, y không đ ng th i b ng 0) thì VT c a (2) âm, PT (2) không th a mãn. Do đó M t khác, ta có: √ x2 + y 2 -L x > 0, y > 0. Vì 2 xy ≤ x + y nên PT (1) suy ra: √ 6 = x + xy − y ≤ x + 3(x + y) − y = 4x + 2y ⇒ 2x + y ≥ 3 (3). 3(x2 + y 2 ) 3(x3 + y 3 ) 2(x3 + y 3 ) xy ≤ ⇒ x2 + xy + y 2 ≤ ⇒ 2 ≥ (4) 2 2 x + xy + y 2 x2 + y 2 Ta ch ng minh r ng: 2(x3 + y 3 ) ≥ 2(x2 + y 2 ) (5) uy x2 + y 2 Th t v y BDT (5) tương đương v i: 2(x3 + y 3 )2 ≥ (x2 + y 2 )3 ⇔ x6 + y 6 + 4x3 y 3 ≥ 3x4 y 2 + 3x2 y 4 (6) Áp d ng BDT Cauchy ta có: tD x6 + x3 y 3 + x3 y 3 ≥ 3 3 x1 2y 6 = 3x4 y 2 y 6 + x3 y 3 + x3 y 3 geq 3 x6 y 1 2 = 3x2 y 4 C ng v theo v ta đư c BDT (6) , suy ra BDT (5) đúng. 3(x3 + y 3 ) T (4) và (5) suy ra 2 ≥ 2(x2 + y 2 ) x + xy + y 2 K t h p v i PT (2) và lưu ý r ng: 2(x2 + y 2 ) ≥ x + y , ta đư c : 6(x3 + y 3 ) 3=x+ 2 − 2(x2 + y 2 ) ≥ x + 2(x2 + y 2 ) ≥ x + (x + y) = 2x + y (7) x + xy + y 2 T (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y. Ta đư c x = y = 1 ( th a m n đi u ki n). Nh Đáp s : (x; y) = (1; 1). 6 Gi i h phương trình:  x + y = 1 − 2y  2−y  1 + xy  x − y = 1 − 3x  1 − xy 3−x L i gi i Lê Phân tích: Bài này nhìn vào r t ph c t p, không bi t đ nh hư ng đi t đâu, vì th phãi c g ng tìm cách đ t n đ đưa v m t phương trình đơn gi n hơn. Gi i: Lê Nh t Duy - L p 11A8 3
 u − v = 2 − u (1)  u−1 v−1  8 Đ t: x = , y= , u+v u+2 u+1 v+1  uv − 1 = 3 − v (2)  uv + 1 3+v 1A T phương trình (1) ta có u−v 2−u 2−v 2 + v − 2u = = = ⇒ (2 − v)2 = (2 + v)2 − 4u2 ⇒ u2 = 2v u+v u+2 2 + v + 2u 2−v T phương trình (2) ta có : uv − 1 3−v 3u − uv 3u − 1 3u + 1 − 2uv = = = = uv + 1 3+v 3u + uv 3u + 1 + 2uv 3u − 1 ⇒ (3u − 1)2 = (3u + 1)2 − 4u2 v 2 ⇔ u2 v 2 = 3u p1 u2 = 2v V y ta có h : (3) u2 v 2 = 3u Xét u = 0 ⇒ v = 0 ⇒ x = y = −1 ⇒ xy = 1 (lo i do 1 − xy = 0) u2 = 2v Như v y (3) tương đương: uv 2 = 3 9 √ √ T h trên suy ra u > 0 ⇒ u2 v 4 = 9 ⇒ 2v.v 4 = 9 ⇒ v = 5 ⇒ u2 = 5 144 ⇒ u = 5 12 (do u > 0) 2 √   Đáp s : (x; y) = 5  √12 − 1 ; 2 5 -L 5 9 −1 12 + 1 5 9 + 1 2  7 Gi i h phương trình:  xy + (x − y)(√xy − 2) + √x = y + √y uy (x + 1) y + √xy + x(1 − x) = 4 L i gi i Phân tích: Ta th và d đoán h phương trình s có nghi m x = y. Vì th ta s tìm cách đ phân tD tích thành phương trình tích xu t hi n (x − y)(. . . ..). T đó ta quan sát và th y phương trình (1) là kh thi nh t. Gi i: Đi u ki n: x ≥ 0; y ≥ 0 Phương trình (1) tương đương: √ √ √ ⇔ xy + (x − y)( xy − 2) − y + ( x − y) = 0 √ y(x − y) + (x − y)( xy − 2) x−y ⇔ √ +√ √ =0 xy + (x − y)( xy − 2) + y x+ y √ y + xy − 2 1 ⇔ (x − y) √ +√ √ =0 Nh xy + (x − y)( xy − 2) + y x+ y T PT (2) suy ra : √ 4 4 4 y + xy = − x(1 − x) = + (x + 1) + (x − 1)2 − 2 ≥ 2. .(x + 1) + (x − 1)2 − 2 ≥ 2 x+1 x+1 x+1 T đó ta suy ra x = y. Thay x = y vào phương trình (2). Ta có: x3 − 2x2 − 3x + 4 = 0 ⇔ (x − 1)(x2 − x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ho c x2 − x − 1 = 0 Xét x = 1 ⇔ y = 1 √ √ √ Lê 2 1+ 5 1+ 5 1− 5 Xét x − x − 1 = 0. x = ⇔y= , x= (lo i vì x ≥ 0) √2 √ 2 2 1+ 5 1+ 5 Đáp s : (x; y) = (1; 1), ; 2 2 4 Trư ng THPT Thành Ph Cao Lãnh - t nh Đ ng Tháp
8 Gi i h phương trình: 8   x2 − y 2 = xy (x + 3) x2 (1 − 4xy 2 ) = y 2 (1 + 8x2 ) 1A L i gi i Phân tích: Ta chú ý r ng: Phương trình (2) bi n đ i m t chút ta đư c : x2 − 4x3 y 4 = y 2 + 8x2 y 2 ⇐⇒ x2 − y 2 = 4x3 y 4 + 8x2 y 2 Phương trình (1) sau khi đi u ki n ta bình phương hai v cũng thu đư c : x2 − y 2 = x2 y 2 (x + 3)2 p1 T i đây ta s ngh đ n phép th và b t nhân t chung ngay nên vi c còn l i ch là gi i các phương trình cơ b n. Gi i: T phương trình (1) ta bi n đ i :  xy(x + 3) ≥ 0 x2 − y 2 = xy(x + 3) ⇐⇒ (3) x2 − y 2 = x2 y 2 (x + 3)2 Ta l i có phương trình (2) ta bi n đ i thành :  -L x2 − 4x3 y 4 = y 2 + 8x2 y 2 ⇐⇒ x2 − y 2 = 4x3 y 4 + 8x2 y 2 Th vào (3) ta đư c h phương trình :   xy(x + 3) ≥ 0     xy(x + 3) ≥ 0 xy(x + 3) ≥ 0   x=0 ⇐⇒ ⇐⇒  (4) 4x3 y 4 + 8x2 y 2 = x2 y 2 (x + 3)2 x2 y 2 (x + 1)2 = 0  y = 0      x = −1 uy  V i: ) x = 0 =⇒ y = 0 ) y = 0 =⇒ x = 0 √ 5 tD ) x = −1 =⇒ y = ± 5 √ 5 Đáp s : (x; y) = (0; 0), −1; ± 5 9 Gi i h phương trình:  x3 − 8x = y 3 + 2y x2 − 3 = 3(1 + y 2 ) Nh L i gi i Phân tích: N u bài này ta làm như bình thư ng là th thì s là r t khó khăn trong vi c x lý. Nên ta s tìm 1 phương pháp khác, đó là phương pháp th vào m t h s nào đó c a 1 phương trình b ng 1 phương trình trong h đ t o s đ ng b c gi a 2 phương trình. Gi i: H đã cho tương đương v i:   x3 − y 3 = 2(4x + y) 3(x3 − y 3 ) = 6(4x + y) Lê ⇐⇒ x2 − 3y 2 = 6 x2 − 3y 2 = 6 Th x2 − 3y 2 = 6 vào phương trình (1) khi đã nhân 3, ta đư c: 3(x3 − y 3 ) = (x2 − 3y 2 )(4x + y) ⇐⇒ x3 + x2 y − 12xy 2 = 0 (∗) Lê Nh t Duy - L p 11A8 5
Xét y = 0 không là nghi m c a h , ta chia y 2 cho 2 v c a phương trình (∗), ta đư c: 8 x3 x2 12x (∗) ⇐⇒ 3 + 2 − =0 y y y x Đ t t = , suy ra: 1A y (∗) ⇐⇒ t3 + t2 − 12t = 0 ⇐⇒ t(t2 + t − 12) = 0 Xétt = 0 ⇐⇒ x = 0 ( không là nghi m) Xét t = 3 ⇐⇒ x = 3y Xét t = −4 ⇐⇒ x = −4y p1 Thay l n lư t vào 1 trong hai phương trình ban đ u ta gi i ra nghi m. 6 6 6 6 Đáp s : (x; y) = (3; 1), (−3; −1), −4 13 ; 13 , 4 13 , − 13 Sau đây là m t bài  tương t đ các b n rèn luy n thêm: x3 + 4y = y 3 + 16x 1) Gi i h phương trình: Đáp s : (x; y) = (−1; 3), (1; −3), (0; 2), (0; −2) 1 + y 2 = 5(1 + x2 ) 10 Gi i h phương trình:  (x − 3y) (6x + 18y + 5) = 4x -L (x2 + 2xy + 4y 2 ) (8x − 16y − 9) + 9x2 + 4x = 78y − 18xy + 26 L i gi i Phân tích: Do 2 phương trình c a h đ u có phương trình tích nên ta s phân ph i và rút g n cho b t c ng k nh. Sau đó s dùng các bi n pháp đ gi i. Gi i: Ta có: uy (x − 3y)(6x + 18y + 5) = 4x ⇐⇒ 6x2 + x = 54y 2 + 15y (x2 + 2xy + 4y 2 )(8x − 16y − 9) + 9x2 + 4x = 78y − 18xy + 26 ⇐⇒ 8x3 + 4x = 64y 3 + 36y 2 + 78y + 26 Như v y ta vi t h thành:  6x2 + x = 54y 2 + 15y tD 8y 3 + 4x = 64y 3 + 36y 2 + 78y + 26 Ta nhân phương trình th nh t v i 2 r i c ng v i phương trình th hai thì thu đư c: (2x + 1)3 = (4y + 3)3 . T đây ta có: x = 2y + 1. T i đây các b n th vào (1) ho c (2) gi i s ra nghi m. 12 7 1 1 Đáp s : (x; y) = ; , ;− 5 10 3 3 11 Gi i h phương trình: Nh  √ (x + x2 + 1)(y + y 2 + 1) = 1 1 −3 y + √ + =0 5x2 − 1 2 L i gi i Phân tích: Ta bi n đ i b ng cách dùng bi u th c liên h p t phương trình đ u . Gi i: T phương trình đ u ta có : Lê √ √ √ √ (x + x2 + 1)(x − x2 + 1)(y + y 2 + 1) = x − x2 + 1 ⇐⇒ y + y 2 + 1 = x2 + 1 − x Tương t ta cũng có: √ x + x2 + 1 = y 2 + 1 − y 6 Trư ng THPT Thành Ph Cao Lãnh - t nh Đ ng Tháp
C ng v theo v ta đư c x + y = 0 Thay vào phương trình 2 ta đư c : 8 1 3 y+ − =0 5y 2 − 1 2 Ta chuy n v sau đó bình phương , ta đư c: 1A (y − 1)(2y + 1)(10y 2 − 25y + 13) = 0 1 5 − 21 5 Ta ch nh n các nghi m : y = 1, y = − , y = , T đó ta suy ra nghi m c a h .  2 4  1 1  −5 + 21 5 − 21 5 5 Đáp s : (x; y) = (−1; 1), ;− , ; . p1 2 2 4 4 -L uy tD Nh Lê Lê Nh t Duy - L p 11A8 7