Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần hình thành một số năng lực tư duy Toán học thông qua dạy học chủ đề hàm số bậc hai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Góp phần hình thành một số năng lực tư duy Toán học thông qua dạy học chủ đề hàm số bậc hai" có nhiệm vụ tổng hợp một số cơ sở lí luận và thực tiễn về TD, TD toán học và việc phát triển TD toán học cho HS. Đề xuất một số biện pháp sư phạm (kết hợp ví dụ cụ thể) góp phần hình thành một số năng lực tư duy Toán học cho học sinh THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần hình thành một số năng lực tư duy Toán học thông qua dạy học chủ đề hàm số bậc hai

MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ..................................................................................................... 1 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI .................................................................................................. 1 II. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ........................................................................................ 2 III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU .................................................................................... 2 IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .............................................................................. 2 V. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI .......................................................................................... 2 PHẦN II. NỘI DUNG ....................................................................................................... 2 A. CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI .............................................. 2 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI ........................................................................................... 2 1.1. Năng lực ............................................................................................................ 2 1.2. Năng lực toán học .............................................................................................. 3 1.2.1. Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học ................................................ 3 1.2.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực toán học của HS THPT................................. 3 1.3. Năng lực tư duy và lập luận toán học ................................................................ 3 1.3.1 Khái niệm tư duy ......................................................................................... 3 1.3.2. Các thao tác của tư duy ............................................................................... 4 1.3.3. Năng lực tư duy .......................................................................................... 4 1.3.4. Năng lực tư duy toán học........................................................................... 4 1.3.5. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học ................................... 5 2. Cơ sở thực tiễn của đề tài ........................................................................................ 5 2.1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên .................................................................. 5 2.2. Thực trạng học tập của học sinh ........................................................................ 6 B. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HS THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI ....................................................................... 6 3.1. Biện pháp 1. Bồi dưỡng và luyện tập cho HS kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai ...................................................................................................................................... 6 3.1.1. Biện pháp 1.1. Thiết kế hoạt động khởi động từ các tình huống thực tiễn nhằm kích thích tính tò mò, tạo hứng thú học tập cho học sinh............................... 8 3.1.2. Biện pháp 1.2. Thiết kế hoạt động hình thành, củng cố khái niệm hàm số bậc hai theo từng bước hoạt động nhận thức có tính sư phạm cao ........................ 11 3.1.3. Biện pháp 1.3. Thiết kế hoạt động nhận dạng và thể hiện về đồ thị hàm số bậc hai nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho HS..................................................... 12 3.1.4. Biện pháp 1.4. Thiết kế hoạt động nhận dạng và thể hiện về bảng biến thiên hàm số bậc hai nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho HS. ....................................... 14 3.1.5. Biện pháp 1.5. Thiết kế hoạt động vận dụng kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai nằm giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn ........................................... 15
3.2. Biện pháp 3.2. Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng tương tự hóa, khái quát hóa thông qua giải và xây dựng các bài toán về hàm số bậc hai ...................... 20 3.2.1 Biện pháp 2.1. Tương tự hóa ......................................................................... 20 3.2.2. Biện pháp 2.2. Khái quát hóa ....................................................................... 22 3.3. Biện pháp 3. Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng xây dựng hệ thống bài toán mới từ bài toán cơ bản về hàm số bậc hai. ........................................................ 24 3.4. Biện pháp 4. Bồi dưỡng cho HS kỹ năng phân tích, tổng hợp và so sánh để tìm chìa khoá lời giải các bài toán. .................................................................................. 33 3.5. Biện pháp 5. Hướng dẫn và tập luyện cho HS khả năng nhìn bài dưới nhiều góc độ khác nhau để giải được bài toán theo nhiều cách và lựa chọn cách tối ưu. ........ 38 3.6. Biện pháp 6. Bồi dưỡng tư duy logic, tư duy sáng tạo thông qua việc cho HS tập sáng tác các bài toán mới .......................................................................................... 41 3.7. Biện pháp 7. Đưa ra các bài toán thực tế tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn, để HS rèn luyện tư duy và lập luận toán học .............. 43 3.8. Biện pháp 8. Phát triển tư duy phê phán thông qua việc cho HS phát hiện các sai lầm, đánh giá nhận xét lời giải ............................................................................. 46 C. THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI ........................................................................................... 50 1. Đối tượng thực nghiệm .......................................................................................... 50 2. Kết quả thực nghiệm .............................................................................................. 50 2.1. Kết quả thực nghiệm tại trường THPT Hà Huy Tập ....................................... 50 2.2. Kết quả thực nghiệm tại trường THPT Cửa Lò 2 ........................................... 51 3. Những kết luận rút ra từ thực nghiệm .................................................................... 51 PHẦN 3. KẾT LUẬN ...................................................................................................... 52 I. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI ............................................................................................. 52 1. Tính mới của đề tài ................................................................................................ 52 2. Tính khoa học ......................................................................................................... 53 3. Tính hiệu quả và phạm vi áp dụng ......................................................................... 53 II. MỘT SỐ KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT ............................................................................ 54 1. Với các cấp quản lí giáo dục.................................................................................. 54 2. Với giáo viên .......................................................................................................... 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 55 PHỤ LỤC ......................................................................................................................... 56
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong những năm gần đây, tốc độ phát triển nhanh chóng của tri thức nhân loại và sự tiến bộ của khoa học kĩ thuật, đặc biệt là công nghệ thông tin làm cho mô hình dạy học theo tiếp cận nội dung không còn phù hợp nữa. Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực của học sinh là một bước ngoặt lớn đánh dấu sự chuyển mình mạnh mẽ về chất của ngành Giáo dục và Đào tạo nước ta trong giai đoạn hiện nay. Mục tiêu dạy học chuyển từ việc chủ yếu trang bị kiến thức sang hình thành, phát triển phẩm chất và năng lực người học. Để thực hiện thành công Chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam 2011- 2020, Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ VIII Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI đã thông qua Đề án “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế”. Trong Chương trình hành động của ngành Giáo dục, có những nội dung triển khai các dự án, đề án về đổi mới phương pháp dạy học, hướng dẫn và thu hút nhiều học sinh (HS) Trung học phổ thông (THPT) nghiên cứu khoa học kỹ thuật, tổ chức nhiều “sân chơi” trí tuệ cho HS. Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’. Để đáp ứng được những yêu cầu trên, ở nhà trường dạy học các môn học không chỉ đơn thuần là giúp cho HS có được một số kiến thức cụ thể nào đó. Điều cơ bản hơn, quan trọng hơn là trong quá trình dạy học các tri thức cụ thể đó, rèn luyện cho HS tiềm lực để khi ra trường họ có thể tiếp tục tự học tập, có khả năng nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo giải quyết vấn đề, đáp ứng được những đòi hỏi đa dạng của hoạt động thực tiễn không ngừng phát triển. Nói cách khác, hệ thống giáo dục phải linh hoạt hơn, cần phải quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách học, cách tư duy (TD) nói chung và tư duy Toán học nói riêng, tạo điều kiện cho HS có phương pháp TD tốt để các em có thể tiếp tục tự học suốt đời. Trong chương trình GDPT hiện hành và chương trình GDPT năm 2018 thì chủ đề hàm số bậc hai được bố trí về thời lượng và vị trí quan trọng có ý nghĩa và ứng dụng rất lớn trong các chủ đề dạy học khác và trong cuộc sống. 1
Vì vậy việc hình thành và phát triển tư duy Toán học cho học sinh trong việc dạy học chủ đề hàm số bậc hai đóng vai trò rất quan trọng giúp học sinh có phương pháp tư duy, yêu thích hơn bộ môn Toán qua đó sẽ rèn luyện những năng lực cần thiết cho nhiệm vụ học tập và cuộc sống. Từ những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu củ là: “Góp phần hình thành một số năng lực tư duy Toán học thông qua dạy học chủ đề hàm số bậc hai”. II. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Đề tài có nhiệm vụ tổng hợp một số cơ sở lí luận và thực tiễn về TD, TD toán học và việc phát triển TD toán học cho HS. Đề xuất một số biện pháp sư phạm (kết hợp ví dụ cụ thể) góp phần hình thành một số năng lực tư duy Toán học cho học sinh THPT. - Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với học sinh, giáo viên toán qua đó thấy được hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung chủ đề hàm số bậc hai nói riêng cũng như học môn toán nói chung. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh bậc trung học phổ thông. - GV dạy toán bậc trung học phổ thông. - Tài liệu về PPDH, hàm số bậc hai. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp điều tra, phân tích. - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thực nghiệm. V. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần I. Đặt vấn đề. Phần II. Nội dung. Phần III. Kết luận. PHẦN II. NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lí luận của đề tài 1.1. Năng lực Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như 2
hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt, có tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một tình huống nhất định. 1.2. Năng lực toán học 1.2.1. Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 1.2.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực toán học của HS THPT Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc “học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống và bối cảnh khác nhau. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân. Môn Toán cấp THPT nhằm giúp học sinh phát triển năng lực toán học với các yêu cầu cần đạt: Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu được những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá được cho vấn đề tương tự; sử dụng được công cụ, phương tiện học toán, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. 1.3. Năng lực tư duy và lập luận toán học 1.3.1 Khái niệm tư duy Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng” Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó” 3
1.3.2. Các thao tác của tư duy Các giai đoạn hoạt động của tư duy Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảy sinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người. Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề; Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm; Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết; Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết; Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Các thao tác tư duy Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy. Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác sau: + Phân tích và tổng hợp. Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. + So sánh và tương tự. So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng. Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối tượng kia. + Trừu tượng hóa. Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động). + Khái quát hóa và đặc biệt hóa. Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. 1.3.3. Năng lực tư duy Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn. 1.3.4. Năng lực tư duy toán học Năng lực tư duy toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin một cách hiệu quả 4
thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau. 1.3.5. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học Theo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (Bộ GD-ĐT, 2018), biểu hiện và yêu cầu cần đạt về năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh THPT được tổng hợp ở bảng sau: Năng lực tư duy và lập luận Yêu cầu cần đạt của HS cấp THPT toán họcthể hiện qua việc: - Thực hiện được các thao tác tư duy - Thực hiện được tương đối thành thạo các như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy tương đồng và khác biệt trong những tình nạp, diễn dịch. huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát. - Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết - Sử dụng được các phương pháp lập luận, lập luận hợp lí trước khi kết luận. quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề. - Giải thích hoặc điều chỉnh được - Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, cách thức giải quyết vấn đề về giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, phương diện toán học. điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học. 2. Cơ sở thực tiễn của đề tài 2.1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên Qua điều tra thực tế dạy học môn Toán tại trường THPT Cửa Lò 2, trường THPT Hà Huy Tập và một số trường THPT khác các tác giả có một số nhận định như sau: Hiện nay việc xây dựng và phát triển năng lực tư duy Toán học có nhiều cách triển khai nhưng không phải cách nào cũng đem lại hiệu như mong muốn có rất nhiều nguyên nhân nhưng nguyên nhân có yếu tố quyết định trực tiếp là người thầy vì người thầy trực tiếp thực hiện nhiệm vụ dạy học trong đó có nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho học sinh, hình thành và phát triển các kỹ năng tư duy và đặc biệt là tư duy Toán học. Trong việc giảng dạy có nhiều thầy cô tâm huyết với nghề, hết mình vì tương lai của học sinh, thường xuyên trau dồi chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học, tăng cường tự học về công nghệ thông tin, chuyển đổi số trong dạy học. Bên cạnh đó vẫn còn có không ít các thầy cô quan tâm nhiều đến việc rèn luyện tư duy cho học sinh đặc biệt tư duy Toán học. Môn Toán ở trường phổ thông nói chung và chủ đề về hàm số bậc hai nói riêng có hệ thống bài tập đa dạng, phong phú có nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống và 5
trong các chủ đề khác của Toán học vì thế có thể hình thành và phát triển tư duy cho học sinh song nhiều giáo viên chưa chú ý đến điều này. Giáo viên chỉ chú trọng đưa ra các hệ thống bài tập theo các dạng giúp học sinh luyện và các bài tương tự và sau này sử dụng trong các đề kiểm tra và thi. Đặc biệt trong các tiết dạy như vậy giáo viên chưa đưa ra được sự tò mò để tìm hiểu các kiến thức. Trog các đề kiểm tra chỉ chủ yếu kiểm tra kiến thức thông thường chưa kiểm tra được các yêu cầu về sự tư duy của học sinh. Nói cách khác giáo viên chưa có nhiều biện pháp kịch hoạt tư duy cho học sinh. 2.2. Thực trạng học tập của học sinh Học sinh chỉ chủ yếu tìm hiểu các dạng toán có trong các đề thi, các bài tập để rèn luyện; ít quan tâm đến các bài toán về thực tế, những kiến thức, những cơ sở để hình thành khái niệm, kiến thức mới. B. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HS THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI 3.1. Biện pháp 1. Bồi dưỡng và luyện tập cho HS kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai Nếu học sinh không nắm vững định nghĩa, tính chất của hàm số bạc hai thì e rằng việc giải bài tập dạng này thật là khó khăn. Để đạt được nhiệm vụ chung nói trên, cả giáo viên và học sinh cần phải hiểu một cách sâu sắc và nắm vững định nghĩa, tính chất của hàm số bậc hai.Trong thực tiễn giảng dạy, chúng tôi nhận thấy số đông HS có kiến thức về hàm số bậc hai thiếu tính bài bản và hệ thống, điều này dẫn đến việc các em hay mắc những lỗi sai kiến thức cơ bản trong quá trình lập luận. Hoặc nắm kiến thức cơ bản một cách máy móc, không thể vận dụng kiến thức vào giải toán. Các kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai bao gồm: +) Định nghĩa hàm số bậc hai. +) Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc hai. +) Đồ thị hàm số bậc hai. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng y  ax 2  bx  c , trong đó a, b, c là những hằng số và a  0. Tập xác định của hàm số bậc hai là  . Đồ thị hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c là một đường parabol có đỉnh là điểm  b   b I   ;   có trục đối xứng là đường thẳng x   . Parabol này quay bề  2a 4a  2a lõm lên trên nếu a  0 , xuống dưới nếu a  0 . Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c  a  0  : 6
 b  Nếu a  0 thì hàm số bậc hai đồng biến trên khoảng   ;    và nghịch biến  2a   b   trên khoảng .  ;   .;  là giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai.  2a  4a  b  Nếu a  0 thì hàm số bậc hai đồng biến trên khoảng  ;   và nghịch biến  2a   b   trên khoảng   ;    ;  là giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai.  2a  4a Trên đây là các kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai. Một câu hỏi đặt ra là trong quá trình dạy học, GV cần thiết kế bài giảng như thế nào nhằm hình thành và phát triển phẩm chất và năng lực cho HS, bài giảng đó có điểm nào khác với việc dạy học truyền thụ kiến thức truyền thống ? Dạy học phát triển năng lực là quá trình thiết kế, tổ chức và phối hợp giữa hoạt động dạy và hoạt động học, tập trung vào kết quả đầu ra của quá trình này. Trong đó nhấn mạnh người học cần đạt được các mức năng lực như thế nào sau khi kết thúc một giai đoạn (hay một quá trình) dạy học. Đặc điểm quan trọng nhất của dạy học phát triển năng lực là xác định và đo lường được “năng lực” đầu ra của học sinh. Dựa trên mức độ làm chủ kiến thức, kỹ năng và thái độ của học sinh trong quá trình học tập. Dưới đây là những đặc điểm nổi bật của dạy học theo định hướng phát triển năng lực: Đặc điểm về mục tiêu: Chú trọng hình thành phẩm chất và năng lực thông qua việc hình thành kiến thức, kỹ năng; mục tiêu dạy học được mô tả chi tiết và có thể đo lượng và đánh giá được. Dạy học để biết cách làm việc và giải quyết vấn đề. Đặc điểm về nội dung dạy học: Nội dung được lựa chọn nhằm đạt được các mục tiêu năng lực đầu ra. Chú trọng các kỹ năng thực hành, vận dụng vào thực tiễn. Nội dung chương trình dạy học có tính mở tạo điều kiện để người dạy và người học dễ cập nhật tri thức mới. Đặc điểm về phương pháp tổ chức: Người dạy chủ yếu đóng vai trò là người tổ chức, cố vấn, hỗ trợ người học chiếm lĩnh tri thức; chú trọng phát triển khả năng giải quyết vấn đề. Đẩy mạnh tổ chức dưới dạng các hoạt động, người học chủ động tham gia các hoạt động nhằm tìm tòi khám phá, tiếp nhận tri thức mới. Giáo án được thiết kế có sự phân hóa theo trình độ và năng lực của người học Người học có nhiều cơ hội được bày tỏ ý kiến, quan điểm và tham gia phản biện. Đặc điểm về không gian dạy học: Không gian dạy học có tính linh hoạt, tạo không khí cởi mở, thân thiện trong lớp học. Lớp học có thể trong phòng hoặc ở ngoài trời, trong công viên, bảo tàng… nhằm dễ dàng tổ chức các hoạt động nhóm. Đặc điểm về đánh giá: Tiêu chí đánh giá dựa vào kết quả “đầu ra”, quan tâm tới sự tiến bộ của người học. Chú trọng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào thực 7
tiễn. Ngoài ra 1 đặc điểm quan trọng trong đánh gia đó là: người học được tham gia vào quá trình đánh giá, nâng cao năng lực phản biện, một phẩm chất quan trọng của con người thời kỳ hiện đại. Đặc điểm về sản phẩm giáo dục:Tri thức người học có được là khả năng áp dụng vào thực tiễn. Phát huy khá năng tự tìm tòi, khám phá vừ ứng dụng nên người học không bị phụ thuộc vào học liệu. Người học trở thành những con người tự tin năng động và có năng lực. 3.1.1. Biện pháp 1.1. Thiết kế hoạt động khởi động từ các tình huống thực tiễn nhằm kích thích tính tò mò, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Khởi động là hoạt động đầu tiên, hoạt động này nhằm giúp học sinh huy động những kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm của bản thân về các vấn đề có nội dung liên quan đến bài học mới. Hoạt động khởi động sẽ kích thích tính tò mò, sự hứng thú, tâm thế của học sinh ngay từ đầu tiết học. Hoạt động khởi động thường được tổ chức thông qua hoạt động cá nhân hoặc hoạt động nhóm sẽ kích thích sự sáng tạo, giúp học sinh hình thành năng lực hợp tác, tinh thần học hỏi, giúp đỡ nhau khi thưc hiện nhiệm vụ. Chuẩn bị phần khởi động như thế nào cho hiệu quả phải dựa vào nội dung bài, đối tượng học sinh và cả điều kiện của giáo viên. Vai trò thứ hai của hoạt động khởi động là huy động vốn tri thức, kĩ năng nền tảng của học sinh. Bởi dạy học là một quá trình kiến tạo. Nếu ví tri thức, kĩ năng học sinh tiếp nhận được ví như ngôi nhà, thì nền móng sẽ xuất phát từ những tri thức, kĩ năng vốn có, nền tảng của người học. Quan điểm dạy học kiến tạo đặc biệt chú ý đến việc huy động kiến thức, kĩ năng, hệ giá trị nền tảng của cá nhân người học tạo tiền đề cho việc tiếp nhận kiến thức mới. Vì vậy, một khởi động bài học hiệu quả nên tạo ra cơ hội cho các em tự làm sống lại những kiến thức nền đã có, cần thiết cho việc học bài mới. Sau đây chúng tôi xin nêu một số ví dụ về hoạt động khởi động dạy học bài hàm số bậc hai. Ví dụ 1.1.1. (Bài toán mở đầu 1) Ông An có 50 m lưới B40 cao 1,5 m. Ông An muốn dùng tấm lưới đó rào chắn 3 mạt áp bên bờ tường của khu vườn nhà thành một mảnh đất hình chữ nhật để nuôi gia cầm. Hỏi ông An cần thiết kế hình chữ nhật với kích thước nào để có thể nuôi được nhiều gia cầm nhất có thể? Để đi đến khái niệm hàm số bậc hai, GV yêu cầu HS thực hiện HĐ sau: Gọi x mét ( 0  x  25 ) là khoảng cách từ điểm A trên bức tường ra đến điểm I nơi đóng cọc hàng rào. Hãy tính theo x : a) Độ dài KL của hàng rào. b) Diện tích S  x  của mảnh đất được rào chắn. 8
Khi thực hiện HĐ trên HS sẽ tính được S  x   x  50  2 x   2 x 2  50 x . Đây là một hàm số cho bởi công thức, gọi là hàm số bậc hai chứa biến số x . Một cách tổng quát em hãy phát biểu định nghĩa về hàm số bậc hai? Rõ ràng bài toán mở đầu này, rất gần gũi với HS, nó kích thích được sự tò mò, mong muốn tìm hiểu, mong muốn giải quyết của HS. GV khéo léo dẫn dắt HS từng bước để dần dần đi đến hình thành kiến thức mới. Từ kiến thức mới quay trở lại giải quyết bài toán mở đầu này. Để giải quyết trọn vẹn bài toán mở đầu trong ví dụ 1, GV dẫn dắt HS đi tìm hiểu các kiến thức về hàm số bậc hai, để từ đó quay trở lại giải bài toán mở đầu. Ví dụ 1.1.2. Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội là một trong những hình ảnh đẹp về kiến trúc của nhà trường. Độ cao y (mét) của một điểm thuộc vòng cung cổng có thể biểu thị theo độ dài x (mét) tính từ chân cổng bên trái dọc theo đường dưới chân cổng bên phải. Biết rằng chiều rộng của cổng tính từ hai bên chân cồng là 10 (m). Bằng các phần mềm Toán học, em có thể tìm được mỗi liên hệ đó hay không? Vói HĐ này rõ ràng ngoài việc giúp hình thành khái niệm hàm số bậc hai dưới dạng quy nạp, còn góp phần hình thành và phát triển năng lực sử dụng phương tiện và công cụ toán học rất tốt. HS chỉ cần sử dụng chức năng vẽ đường cong đi qua các điểm trên phần mềm Geogebra, khi đó phần mềm sẽ mô phỏng lại hình dáng đường cong của cái cổng và cho ra công thức của hàm số tương ứng, chính là tìm ra mối liên hệ giữa x, y trong ví dụ 2 nói trên, đó chính là y  0,33.x 2  3,3x . Với các cách thực hiện như trên, rõ ràng giúp HS tiếp cận và hình thành khái niệm hàm số bậc hai theo con đường quy nạp. Đi từ ví dụ cụ thể và có tính thực tiễn, HS có nhu cầu nhận thức và có mong muốn giải quyết bài toán mở đầu này. Mỗi cách thức HĐ mở đầu trên đều có ý đồ riêng, có những lợi thế riêng. Tùy thuộc vào điều kiện, hoàn cảnh của từng địa phương, trang thiết bị dạy học, năng lực tiếp thu của HS mà có cách thức phù hợp nhất. 9
Ví dụ 1.1.3. Giáo viên có thể giao nhiệm vụ để HS thực hiện trước buổi học như sau: Chia lớp thành 4 hoặc 6 nhóm. Nhiệm vụ của các nhóm là lựa chọn một trong các môn thể thao như bóng rổ, bóng đá, bóng chuyền (hoặc môn thể thao nào đó thích hợp tương tự). Sau đó các nhóm sẽ tiến hành quay video quá trình ném bỏng rổ, từ khi ném đến khi bóng bay vào rổ. Tương tự với môn bóng đá, một HS xút bóng qua hàng rào vào gôn. Ở môn bóng chuyền thì quay video lại quá trình đệm bóng giữa hai HS. Sau khi đã quay lại video, các nhóm tiến hành phân tích quỹ đạo của các quả bóng trong video mà nhóm quay được nhờ các phần mềm hỗ trợ như Geogebra, sketchpad; Cabri 2d,… Sau khi đã dùng phần mềm hỗ trợ để tìm quỹ đạo của bóng, tiếp tục dùng phần mềm để tìm mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ của quả bóng được gán trong hệ trục tọa độ. Từ đây các nhóm cho nhận xét. Giáo viên có thể đặt thêm các câu hỏi cho các nhóm để buộc các nhóm tìm hiểu sâu hơn về các hoạt động trên như tính chiều cao của quả bóng khi biết hoành độ. Tính chiều cao lớn nhất, …. Sau đó đến tiết học thì GV cho các nhóm tiến hành báo cáo kết quả HĐ của nhóm, báo cáo kết luận của các nhóm về các yêu cầu GV đưa ra. Các nhóm thảo luận, nhận xét và đánh giá lẫn nhau. GV điều hành buổi thảo luận đó, cuối cùng GV chốt, kết luận về HĐ nhóm, đặt vấn đề về điểm chung của các nhóm, đưa ra vấn đề thực tế và cụ thể từ các HĐ nhóm mà tại đó HS chưa thể trả lời được hoặc chỉ trả lời được một phần hoặc chỉ mang tính phỏng đoán từ đó đi vào bài học mới, là các kiến thức mà sau khi học xong HS có thể tự mình trả lời được các câu hỏi của GV. GV cũng có thể hướng dẫn HS đăng nhập webside: https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile- motion_vi.html Đây là webside gồm các thí nghiệm ảo của các môn khoa học cơ bản như vật lí, hóa học, sinh học, toán học. Ở đây, các em tìm hiểu về việc ném xiên và tìm 10
hiểu về quỹ đạo đi của vật ném xiên. Sau khi chụp ảnh quỹ đạo các em dùng phần mềm Toán học để tìm ra công thức của hàm số có quỹ đạo như ảnh chụp. Sau đó chúng ta có thể thực hiện như trên. Lợi thế của trang này là thí nghiệm ảo nên HS rất dễ làm, dễ thực hiện, nhưng rõ ràng nó không sinh động và chân thực như cách trên. (Hình ảnh chụp từ webside: https://phet.colorado.edu/ ) 3.1.2. Biện pháp 1.2. Thiết kế hoạt động hình thành, củng cố khái niệm hàm số bậc hai theo từng bước hoạt động nhận thức có tính sư phạm cao Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa khái niệm đó. Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm; khâu này thường được thực hiện bằng các hoạt động sau: Nhận dạng và thẻ hiện khái niệm: Trong ba hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với các hàm số bậc hai, hãy xác định các hệ số a, b, c ? 11
a ) y  7 x 2  5 x  2; b) y  2 x  5 x  4; c) y  x 2  2 x  x . Hãy cho hai ví dụ về hàm số bậc hai? Trong HĐ này GV có thể yêu cầu HS lấy thêm các ví dụ về hàm số bậc hai trong các TH đặc biệt b  0, c  0 . Hoạt động ngôn ngữ: Hãy phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của của mình? Hãy phát biểu lại định nghĩa ở cách diễn đạt khác? Hệ thống hóa các khái niệm đã học: Trong chương Hàm số và đồ thị, đến thời điểm này em đã biết được những hàm số nào? GV nên lưu ý cho HS hàm số y  ax 2  a  0  đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với . b  c  0 .. Để giúp HS hiểu sâu sắc hơn về hàm số bậc hai, đặc biệt mối quan hệ giữa x và y khi cho công thức hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c  a  0  , GV cho HS thực hiện HĐ sau: Xét hàm số bậc hai y  2 x 2  50 x , thay dấu ? bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng sau: x 0 1 2 3 4 5 6 8 10 y ? ? ? ? ? ? ? ? ? Thực hiện ví dụ này chính là một HĐ của tư duy hàm, nói lên sự phụ thuộc, mối liên hệ giữa hai đối tượng x và y . Ngoài ra các số liệu thu được từ HĐ trên sẽ được sử dụng để tiến hành hoạt động tìm hiểu về đồ thị hàm số bậc hai ở phần sau. GV cũng có thể cho HS thực hiện HĐ luyện tập nhằm cùng cố khái niệm hàm số bậc hai bằng cách diễn tả khác về hàm số bậc hai, chẳng hạn như sau: Cho hàm số y   x  3 2  4 x  . Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai hay không? Nếu có, hãy xác định các hệ số a, b, c của nó. Hãy tính giá trị của hàm số 1 tại các điểm x  3; x  2; x   ; x  0; x  2; x  2022 . 2 Thông qua HĐ trên chúng ta thấy, giá trị y của hàm số hoàn toàn tính được khi chúng ta biết được giá trị của biến x . GV đặt câu hỏi ngược lại, vậy cho giá trị của hàm số, liệu chúng ta có thể tìm được giá trị của x hay không? Với dạng câu hỏi lật ngược vấn đề như trên sẽ dẫn dắt HS đi đến kết luận là quy về việc giải phương trình bậc hai mà các em đã học ở lớp 9. 3.1.3. Biện pháp 1.3. Thiết kế hoạt động nhận dạng và thể hiện về đồ thị hàm số bậc hai nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho HS Sau khi HS đã học xong về cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai, ngoài yêu cầu kĩ năng vẽ đồ thị hàm số bậc hai một cách thành thạo, GV cần thiết kế các hoạt động nhận biết về đồ thị hàm sô bậc hai tương ứng với hàm số bậc hai. Nhận biết về hình dáng đồ thị tương ứng với các hệ số a, b, c . 1 Ví dụ 1.3.1. Hàm số y   x 2  x  2 có đồ thị là hình nào dưới đây? 2 12
A. B. C. D. Lời giải Ta thấy do nên bề lõm quay xuống dưới, nên loại các phương án A, C; b Trục đối xứng của đồ thị là x    1  0 , do đó phương án lựa chọn là B; 2a Ví dụ 1.3.2. Hàm số nào cho dưới đây có đồ thị như hình bên? A. y   x 2  5 x  2 . B. y  x 2  5 x  2 . C. y  x 2  4 x  2 . D. y   x 2  5 x  2 . Lời giải Trước hết loại phương án A, D vì đồ thị quay bề lõm lên trên nên hàm số có hệ số a  0 . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên đó là đồ thị hàm số y  x 2  5 x  2 . Ví dụ 1.3.3. Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình vẽ.Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  0; b  0; c  0 . B. a  0; b  0; c  0 . C. a  0; b  0; c  0 . D. a  0; b  0; c  0 . Lời giải Dựa vào đồ thị chúng ta thấy parabol quay bề lõm xuống dưới (loại phương án C), cắt trục tung tại điểm có tung độ dương (loại phương án A) và có trục đối xứng nằm bên phải trục tung nên a  0  a  0  b  .   2a  0 b  0 13
Ví dụ 1.3.4. Cho hàm số bậc hai y  f  x   ax 2  bx  c  a  0  có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. b  0  c . B. b  0, c  0 . C. b  0  c . D. b  0, c  0 . Lời giải Bề lõm quay lên nên a  0 . b Hoành độ đỉnh dương nên   0 , suy ra b  0 . 2a Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c  0 . 3.1.4. Biện pháp 1.4. Thiết kế hoạt động nhận dạng và thể hiện về bảng biến thiên hàm số bậc hai nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho HS. Ví dụ 1.4.1. Trong các bảng biến thiên cho dưới đây, bảng biến thiên của một hàm bậc hai A. . B. C. D. . Ví dụ 1.4.1. là một ví dụ rất cơ bản nhằm giúp HS nắm vững hơn kiến thức về bảng biến thiên của hàm số bậc hai. Ví dụ 1.4.2. Bảng biến thiên dưới đây là của 1 hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn x ∞ +∞ 2 phương án A, B, C, D? 3 A. y  2 x 2  2 x . B. y  2 x 2  2 x  2 . y 2 C. y  2 x 2  2 x  1 . D. y  2 x 2  2 x  1 . ∞ ∞ Lời giải 14
 a  0 1   b 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy    2 nên loại các phương án B, D.  2a 2   1 3 y 2   2  3    Dễ thấy phương án không thỏa mãn điều kiện  3 và phương án C thỏa mãn. Ví dụ 1.4.3. Cho hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  có   b 2  4ac và có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Kết quả nào sau đây là đúng? A. a  0, b  0,   0 . B. a  0, b  0,   0 . C. a  0, b  0,   0 . D. a  0, b  0,   0 . Lời giải Từ bảng biến thiên ta có: +) Đồ thị của hàm số có bề lõm hướng xuống dưới nên a  0 . b +) Hoành độ đỉnh: x    2  0  b  4a  0 . 2a  +) Tung độ đỉnh: y    1  0    4a  0 . 4a Vậy a  0, b  0,   0 . 3.1.5. Biện pháp 1.5. Thiết kế hoạt động vận dụng kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai nằm giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn Như chúng ta đã biết trong dạy học (DH) toán cần phải: i) Đặt tri thức bài học trong hoàn cảnh thực tiễn (TT) chứa đựng nó, dẫn đến việc đặt bài toán trong tình huống TT, thông qua đó nảy sinh nhu cầu cần giải quyết để xây dựng bài toán. ii) Xuất phát từ nhu cầu giải quyết một tình huống cụ thể trong TT dẫn đến việc xây dựng một mô hình để GQVĐ đó. Từ đó mô hình này được tiếp tục khái quát hóa để giải quyết cho những tình huống tương tự. Có thể nói đây là quá trình mô hình hóa toán học (TH) và giải quyết bằng PP TH chung. iii) Để kiến thức TH xem như là sản phẩm "khám phá lại" của HS thì cần đặt bài toán trong mối liên hệ với chính TT nảy sinh kiến thức và PP TH. Khi đó, việc giải quyết những bài toán này sẽ làm cho các em tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức TH cho chính mình. iv) Bằng việc khai thác tình huống TT để xây dựng bài toán cho HS giải quyết thì sẽ tăng cường được hoạt động tương tá c giữa các HS với nhau, tương tác giữa HS với TT trong quá trình giải bài toán. 15
v) Trong nội bộ TH, các mạch kiến thức lồng ghép với nhau, trong đó kiến thức này lại có thể tạo ra TT học tập môn Toán hay tạo ra cơ sở hoặc tình huống để kiến thức khác hình thành và phát triển. Mặt khác, kiến thức TH gắn liền với nhu cầu giải quyết các vấn đề nảy sinh từ các môn học khác (được khai thác từ mối quan hệ chặt chẽ giữa TH với Vật lí, Hóa học, Sinh học, ...) và TT đời sống. Theo định hướng phát triển Chương trình 2018 thì Chương trình môn Toán phải hướng tới mục tiêu cuối cùnglà giúp cho HS đạt được một mức độ được quy định về các NL chung và NL đặc thù của TH, trong đó có NLGQVĐ, NL mô hình hóa (với vấn đề đặt ra từ các tình huống TT). Ví dụ 1.5.1. Một viên bi rơi tự do từ độ cao 39,1 m xuống đất. Độ cao h (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công gt 2 thức h  39,2  (m), trong đó h, t  0, g  9,8 m / s 2 là gia tốc trọng trường. 2 a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất ? b) Sau bao nhiêu lâu thì viên bi ở độ cao 19,6 m ? Trong nửa quãng đường cuối, viên bi rơi mất bao nhiêu thời gian? Lời giải a) Thời gian để viên bi chạm đất chính là thời gian kể từ khi bi bắt đầu rơi đến khi chiều cao của nó bằng 0. Ta có phương trình: 39,2  3,9t 2  0  t 2  8  t  8 (giây). b) Thời gian để viên bi từ lúc bắt đầu rơi đến khi ở độ cao 19,6 m là nghiệm của phương trình: 39,2  4,9t 2  19,6  t 2  4  t  2 (giây). Thời gian để viên bi rơi ở nửa quãng đường cuối là: 822   2  1  0,8284 (giây). Nhận xét. Bài toán trên là một bài toán có nội dung thực tế và hàm số bậc hai liên quan đến chuyển động rơi tự do của vật. Khi giải bài toán này, chúng ta lại liên kết 2 mảng kiến thức về phương trình bậc hai và hàm số bậc hai lại với nhau. Ví dụ 1.5.2. (Giải quyết bài toán mở đầu 1) Ông An có 50 m lưới B40 cao 1,5 m. Ông An muốn dùng tấm lưới đó rào chắn 3 mạt áp bên bờ tường của khu vườn nhà thành một mảnh đất hình chữ nhật để nuôi gia cầm. Hỏi ông An cần thiết kế hình chữ nhật với kích thước nào để có thể nuôi được nhiều gia cầm nhất có thể? Lời giải 16
Gọi x mét ( 0  x  25 ) là khoảng cách từ điểm A trên bức tường ra đến điểm I nơi đóng cọc hàng rào. Khi đó: Độ dài KL là 50  2x (mét). Diện tích S  x  mảnh đất được rào chắn là S  x   x  50  2 x   2 x 2  50 x (m2) Để có thể nuôi được nhiều gia cầm nhất đồng nghĩa với việc là khu đất nói trên có diện tích lớn nhất. Bài toán trở thành đi tìm giá trị của x để biểu thức s  x   2 x 2  50 x đạt giá trị lớn nhất. Với điều kiện 0  x  25 ta có bảng biến thiên của hàm số s  x   2 x 2  50 x như sau: x 25 0 25 2 S  x 312,5 0 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max S  x   S 12,5   312,5 (m2).  0;25 Vậy để nuôi được nhiều gia cầm nhất ông An nên thiết kế khu đất thành hình chữ nhật có 2 kích thước là 12,5 và 25 mét. Trong đó 12,5 m chiều rộng chính là phần hàng rào tiếp giáp với tường. Ví dụ 1.5.3. Một quả bóng đước đá lên, nó sẽ đạt đến một độ cao nào đó rồi rơi xuông. Biết rằng quả bóng được đá từ mặt đất, quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol. Sau 2 giây kể từ lúc đá quả bóng đạt độ cao lớn nhất là 12 m. a) Tính độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 3 giây? b) Sau bao lâu kể từ khi đá lên thì quả bóng sẽ chạm đất? Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oth như hình vẽ bên: t là thời gian, tính bằng giây; h là chiều cao của bóng tính bằng mét. a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng như trong hình bên. h  t   at 2  bt  c . Vì parabol quay bề lõm xuống dưới nên a  0 . Theo giả thiết quả bóng được đá lên từ mặt đất nên ta có h  0   0  c  0 . Sau 2 giây quả bóng đạt độ cao lớn nhất nên 17
 b  2 b  4a a  3  2 a   . Vậy h  h  t   3t 2  12 (m).  f  2   12 4a  2b  12 b  12  Độ cao của bóng sau 3 giây được đá lên là: h  3  3.32  12.3  11 (m). b) Quả bóng trở lại đất khi nó có độ cao h  0 , tức là t  0 t  0    2  t  4.  h  t   0  3t  12t  0 Vậy sau 4 giây kể từ lúc đá lên quả bóng sẽ chạm đất. Cách 2. Quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung parabol có trục đối xứng là đường thẳng t  2 . Điểm xuất phát và điểm quả bóng chạm đất đối xứng nhau qua trục đối xứng là đường thẳng t  2 . Vì thế sau 4 giây quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên. Ví dụ 1.5.4. Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó CD  6 m, AD  4 m , phía trên cổng có dạng hình parabol. Người ta cần thiết kế cổng sao cho những chiến xe container chở hàng với bề ngang thùng xe là 4 m , chiều cao là 5,2 m có thể đi qua được (chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe và thùng xe có dạng hình hộp chữ nhật). Hỏi đỉnh I của parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là bao nhiêu ? Lời giải Gọi O là trung điểm của AB, K là điểm thuộc đoạn thẳng OA sao cho OK  2m . Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình của đường cong parabol có dạng y  ax 2  c  a  0  . Theo giả thiết ta có parabol đi qua  2 ; 1,2  ,  3;0  nên ta có:  6  a 4a  c  1,2  25   . 9 a  c  0 c  54  2,16  25 Vậy đỉnh I của parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là 6,16 m . 18