Dạy học khám phá hình học 10 bằng GeoGebra: Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

––––––––––

Lê Viết Minh Triết

DẠY HỌC KHÁM PHÁ HÌNH HỌC 10

VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM ĐỘNG

GEOGEBRA

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

––––––––––

Lê Viết Minh Triết

DẠY HỌC KHÁM PHÁ HÌNH HỌC 10

VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM ĐỘNG

GEOGEBRA

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. TS. NGUYỄN PHÚ LỘC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu

trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào

khác. Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu điều được ghi rõ nguồn gốc.

Tác giả luận án

LÊ VIẾT MINH TRIẾT

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu

trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào

khác. Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu điều được ghi rõ nguồn gốc.

Tác giả luận án

LÊ VIẾT MINH TRIẾT

iii

MỤC LỤC

Trang

......................................................................................................... LỜI CAM ĐOAN i

.iii ................................................................................................................... MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT .......................................................................... TẮT viii

DANH MỤC CÁC BẢNG........................................................................................... ix

...........................................................................................xii DANH MỤC CÁC HÌNH

............................................................................................................1 PHẦN MỞ ĐẦU

1. ........................................................................................................1 do chọn đề tài Lí

1.1 Tổ chức quá trình dạy học theo hướng học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện,

suy luận giải quyết vấn đề đang được quan tâm trong bối cảnh đổi mới chương trình

...........................................................................................1 giáo dục phổ thông hiện nay

1.2 Phương tiện công nghệ (đặc biệt công cụ phần mềm toán học) hỗ trợ ngày càng đắc

lực cho dạy học môn toán theo hướng học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy

luận giải quyết vấn đề......................................................................................................2

1.3 Đặc điểm nội dung chương trình hình học 10...........................................................3

1.4 Tổng quan các loại phần mềm hỗ trợ dạy học Toán và các nghiên cứu liên quan...4

1.5 Phần mềm GeoGebra – một lựa chọn cho việc hỗ trợ tổ chức hoạt động dạy học

khám phá các tri thức trong chương trình hình học 10 ................................................10

1.6 Tổng quan các nghiên cứu ứng dụng phần mềm động GeoGebra vào dạy học .....11

.....................................................................................................18 2. Đề tài nghiên cứu

3. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................18

4. Nhiệm vụ nghiên cứu...............................................................................................18

.................................................................................................18 5. Phạm vi nghiên cứu

........................................................................................19 6. Phương pháp nghiên cứu

7. Cấu trúc của luận án ...............................................................................................19

..................................................................................21 8. Những luận điểm cần bảo vệ

9. Những đóng góp chính của luận án về khoa học và thực tiễn.............................21

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ ..................................................................................23 LUẬN LÍ

1.1 Lí Hoạt động...............................................................................................23 thuyết

1.1.1. Hệ thống của một hoạt động ............................................................................... 24

1.1.2. Cấu trúc của một hoạt động................................................................................. 24

1.1.3. Quá trình phát sinh công cụ................................................................................. 26

1.2 Dạy học khám phá ................................................................................................. 33

1.2.1. Khái niệm khám phá ........................................................................................... 33

1.2.2. Khái niệm dạy học khám phá .............................................................................. 34

1.2.3. Đặc điểm của dạy học khám phá ......................................................................... 36

1.2.4. Các kiểu dạy học khám phá................................................................................. 37

1.2.5. Các mô hình dạy học khám phá và tác động hỗ trợ của GeoGebra .................... 38

1.2.6. Vai trò của dạy học khám phá ............................................................................. 41

1.3 Phần mềm toán học động GeoGebra ................................................................... 42

1.3.1. Tính năng biểu diễn “kép động” của GeoGebra: Sự liên kết giữa biểu diễn đại số

động và biểu diễn hình học động .................................................................................. 42

1.3.2. Tính năng ấn kéo ................................................................................................. 44

1.3.3. Tính năng đo lường ............................................................................................. 47

1.3.4. Tính năng cá thể hóa công cụ .............................................................................. 48

1.3.5. Tính năng tạo vết và quỹ tích .............................................................................. 48

1.4 Một số khái niệm ................................................................................................... 48

1.4.1. Môi trường và sự phản hồi .................................................................................. 48

1.4.2. Hợp đồng dạy học ............................................................................................... 49

1.4.3. Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại ................................................... 50

1.4.4. Dạy học khái niệm toán học ................................................................................ 50

1.4.5. Dạy học giải các bài toán .................................................................................... 53

1.5 Kết luận chương 1 ................................................................................................. 57

CHƯƠNG 2. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .......................... 59

2.1 Nghiên cứu 1: Khảo sát ý kiến nhận định của GV và HS về phần mềm

GeoGebra ..................................................................................................................... 59

2.1.1. Mục đích khảo sát ............................................................................................... 59

2.1.2. Tiến trình nghiên cứu .......................................................................................... 60

2.1.3. Đối tượng khảo sát .............................................................................................. 60

2.1.4. Thời gian khảo sát ............................................................................................... 60

2.1.5. Công cụ khảo sát và xử lí dữ liệu ........................................................................ 60

2.2 Nghiên cứu 2: Dạy học khám phá tri thức mới với sự hỗ trợ của GeoGebra .. 61

2.2.1. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 61

2.2.2. Tiến trình nghiên cứu .......................................................................................... 61

2.2.3. Trường hợp dạy học khám phá Phương trình đường tròn với sự hỗ trợ của

GeoGebra ....................................................................................................................... 62

2.2.4. Trường hợp dạy học khám phá Phương trình đường elip với sự hỗ trợ của

GeoGebra ....................................................................................................................... 68

2.3 Nghiên cứu 3: Dạy học khám phá giải bài tập toán với sự hỗ trợ của phần mềm

động GeoGebra ............................................................................................................ 75

2.3.1. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 75

2.3.2. Tiến trình nghiên cứu .......................................................................................... 75

2.3.3. Trường hợp dạy học giải bài toán cực trị hình học với GeoGebra ...................... 75

2.3.4. Trường hợp dạy học giải bài toán lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện

cho trước với GeoGebra ................................................................................................ 77

2.3.5. Trường hợp dạy học giải bài toán tìm tập hợp điểm với GeoGebra ................... 80

2.3.6. Trường hợp dạy học giải bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng hình

học với GeoGebra .......................................................................................................... 83

2.3.7. Trường hợp dạy học giải bài toán xác định vị trí của một điểm thỏa mãn điều kiện

cho trước với GeoGebra theo mô hình BAbSPWG ...................................................... 84

2.4 Kết luận chương 2 .................................................................................................. 85

CHƯƠNG 3. KHẢO SÁT NHẬN ĐỊNH CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH VỀ

PHẦN MỀM ĐỘNG GEOGEBRA ........................................................................... 87

3.1 Kết quả khảo sát nhận định của GV xoay quanh vấn đề sử dụng phần mềm

GeoGebra hỗ trợ dạy học Toán .................................................................................. 87

3.2 Kết quả khảo sát nhận định của HS về cách sử dụng các công cụ của phần mềm

GeoGebra ..................................................................................................................... 91

3.3 Kết luận chương 3 .................................................................................................. 96

CHƯƠNG 4. DẠY HỌC KHÁM PHÁ TRI THỨC MỚI VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA

GEOGEBRA ................................................................................................................ 97

4.1 Dạy học khám phá Phương trình đường tròn với sự hỗ trợ của GeoGebra ... 97

4.1.1. Nghiên cứu cơ sở đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn

với GeoGebra ................................................................................................................ 97

4.1.2. Mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn với GeoGebra .............. 106

4.1.3. Kết quả thực nghiệm dạy học khám phá Phương trình đường tròn với GeoGebra

..................................................................................................................................... 110

4.2 Dạy học khám phá Phương trình elip ............................................................... 116

4.2.1. Nghiên cứu cơ sở đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương trình đường elip

với GeoGebra .............................................................................................................. 116

4.2.2. Mô hình dạy học khám phá Phương trình đường elip với GeoGebra ............... 123

4.2.3. Kết quả thực nghiệm dạy học khám phá Phương trình elip với GeoGebra ...... 132

4.3 Kết luận chương 4 ............................................................................................... 135

CHƯƠNG 5. DẠY HỌC KHÁM PHÁ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC VỚI

SỰ HỖ TRỢ CỦA GEOGEBRA ............................................................................. 139

5.1 Trường hợp dạy học giải bài toán tìm cực trị với GeoGebra ......................... 139

5.1.1. Tổng quan về bài toán cực trị hình học trong chương trình Hình học 10 ......... 139

5.1.2. Đề xuất mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm với sự hỗ trợ của

GeoGebra ..................................................................................................................... 141

5.1.3. Kết quả thực nghiệm ......................................................................................... 143

5.1.4. Kết luận và thảo luận ......................................................................................... 153

5.2 Trường hợp dạy học giải bài toán lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều

kiện cho trước với GeoGebra ................................................................................... 156

5.2.1. Đề xuất phương án sử dụng GeoGebra hỗ trợ giải toán theo quy trình bốn bước

của Polya ..................................................................................................................... 156

5.2.2. Kết quả thực nghiệm ......................................................................................... 157

5.2.3. Thảo luận về ảnh hưởng của GeoGebra đến lời giải của HS ............................ 163

5.2.4. Kết quả khảo sát quan điểm của giáo viên, sinh viên về lời giải một bài toán . 165

5.2.5. Kết luận và thảo luận ......................................................................................... 172

5.3 Trường hợp dạy học giải bài toán tìm tập hợp điểm với GeoGebra .............. 172

vii

5.3.1. Mô hình dạy học giải toán quỹ tích với sự hỗ trợ của GeoGebra ..................... 172

5.3.2. Kết quả nghiên cứu đối với bài toán tìm tập hợp điểm ..................................... 174

5.3.3. Kết luận và thảo luận ......................................................................................... 182

5.4 Trường hợp dạy học giải bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng hình

học với GeoGebra ...................................................................................................... 183

5.4.1. Kết quả thực thực nghiệm HS giải toán theo tiến trình Polya với sự hỗ trợ của

GeoGebra ..................................................................................................................... 183

5.4.2. Giới hạn của HS ................................................................................................ 193

5.4.3. Mô hình giải toán bằng phân tích lùi với sự hỗ trợ của GeoGebra ................... 193

5.5 Trường hợp dạy học giải bài toán xác định vị trí của một điểm thỏa mãn điều

kiện cho trước với GeoGebra theo mô hình BAbSPWG ....................................... 201

5.5.1. Kết quả thực nghiệm trong môi trường giấy, bút .............................................. 202

5.5.2. Kết quả thực nghiệm trong môi trường GeoGebra ............................................ 203

5.6 Kết luận chương 5 ................................................................................................ 206

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 207

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .............................................. 209

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 211

PHỤ LỤC ................................................................................................................... 229

viii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ

AT Lí huyết Hoạt động (Activity Theory)

Mô hình giải toán bằng phân tích lùi với sự hỗ

BAbSPWG trợ của GeoGebra (Backwards Analysis – based

Solving Problem With GeoGebra)

Công nghệ thông tin CNTT

Chiến lược CL

CT GDPT Chương trình giáo dục phổ thông

Dạy học khám phá DHKP

Phần mềm hình học động DGS

GV Giáo viên

HS Học sinh

HH10 Hình học 10

LG Lời giải

Nxb Nhà xuất bản

SGK Sách giáo khoa

SGV Sách giáo viên

SBT Sách bài tập

THPT Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Dạng thức 1 (đường thẳng đi qua điểm và vuông góc) ........................... 31

Bảng 1.2. Dạng thức 2 (đường thẳng vuông góc và đi qua điểm) ........................... 32

Bảng 1.3. Dạng thức 3 (đường kính và dây cung) ................................................... 32

Bảng 1.4. Các kiểu DHKP Nguyễn Phú Lộc (2001); Moore (2014) ....................... 37

Bảng 1.5. Các mức độ DHKP (Lê Võ Bình, 2007) .................................................. 37

Bảng 1.6. Hai hình thức sử dụng GeoGebra trong dạy học giải toán ...................... 57

Bảng 2.1. Rubric đánh giá năng lực khám phá phương trình đường tròn của HS ... 68

Bảng 2.2. Mô tả các lớp thực nghiệm ...................................................................... 73

Bảng 2.3. Rubric đánh giá năng lực khám phá của HS ............................................ 74

Bảng 3.1: Tiềm năng GeoGebra trong dạy học Toán .............................................. 90

Bảng 3.2. Độ tin cậy của mỗi nhóm câu hỏi ............................................................ 91

Bảng 3.3: Mức độ trung bình của mỗi nhóm nhận thức .......................................... 92

Bảng 3.4. Mức độ nhận thức của HS đối với buổi giới thiệu GeoGebra ................. 92

Bảng 3.5.Mức độ nhận thức của HS trong buổi học thứ I ....................................... 93

Bảng 3.6. Mức độ nhận thức của HS đối với buổi học thứ II .................................. 93

Bảng 3.7: Nhận thức của HS đối với buổi học thứ III ............................................. 94

Bảng 3.8: Nhận thức của HS đối với buổi học thứ IV ............................................. 95

Bảng 4.1. Thống kê kết quả bài làm của HS .......................................................... 102

Bảng 4.2. Hoạt động khám phá Phương trình đường tròn với GeoGebra ............. 110

Bảng 4.3. Thao tác biểu diễn đường tròn tâm 𝐴(1; 2), bán kính bằng 2 ............... 111

Bảng 4.4. Kết quả bài làm của HS khi thực hiện Phiếu học tập số 5 ..................... 113

Bảng 4.5. Thao tác của HS kiểm tra kết quả Câu 1 và câu 3 ................................. 114

Bảng 4.6. Kết quả thống kê Phiếu khảo sát 1 (elip) ............................................... 119

Bảng 4.7. Kết quả thống kê Phiếu khảo sát 2 (elip) ............................................... 120

Bảng 4.8. Hình vẽ và lời giải thích của học sinh .................................................... 121

Bảng 4.9. Quá trình thao tác GeoGebra ở Pha 1 .................................................... 125

Bảng 4.10. Quá trình thao tác GeoGebra trong bước 2 của Pha 2 ......................... 128

Trang

Bảng 4.11. Thống kê kết quả Phiếu học tập 4 sau thực nghiệm ............................ 133

Bảng 4.12. Thống kê bài làm của HS về mối liên hệ hình học giữa 𝑎, 𝑏 và 𝑐 ...... 135

Bảng 4.13. Tổng hợp kết quả trả lời Phiếu Elip.PhieuKS.02 của mỗi phương pháp

................................................................................................................................ 135

Bảng 4.14. Kết quả đánh giá năng lực khám phá phương trình đường tròn ........ 138

Bảng 4.15. Kết quả đánh giá năng lực khám phá phương trình chính tắc của elip 138

Bảng 5.1. Hoạt động hình thành giả thuyết ........................................................... 144

Bảng 5.2. Kết quả quá trình HS tự giải toán với GeoGebra .................................. 148

Bảng 5.3. Hoạt động hình thành và kiểm chứng giả thuyết .................................. 149

Bảng 5.4. Hoạt động hướng dẫn chứng minh ........................................................ 151

Bảng 5.5. Hoạt động hướng dẫn của GV ............................................................... 152

Bảng 5.6. Bảng tổng hợp phương pháp dựng điểm 𝐶 ........................................... 153

Bảng 5.7. Bảng tổng hợp các kĩ thuật tìm tọa độ điểm 𝐶 ...................................... 153

Bảng 5.8. Bảng thống kê phương pháp dựng điểm 𝐶 trong các nghiên cứu ......... 155

Bảng 5.9. Mô hình sử dụng GeoGebra hỗ trợ quy trình giải toán G. Polya .......... 157

Bảng 5.10. Bảng thống kê kết quả của HS trong môi trường giấy, bút ................. 158

Bảng 5.11. Kết quả bài làm của HS trong môi trường GeoGebra (pha 2) ............ 159

Bảng 5.12. Tiến trình thao tác công cụ GeoGebra trong bước tìm hiểu đề ........... 159

Bảng 5.13. Tiến trình thao tác công cụ GeoGebra phát hiện chiến lược S3 ......... 160

Bảng 5.14. Tiến trình thao tác GeoGebra phát hiện chiến lược S5đb ................... 161

Bảng 5.15. Tiến trình thao tác GeoGebra phát hiện chiến lược S4 ....................... 161

Bảng 5.16. Tiến trình thao tác GeoGebra phát hiện chiến lược S5 ....................... 162

Bảng 5.17. Bảng thống kê quan điểm của GV, SV về lời giải .............................. 165

Bảng 5.18. Các nhận định của GV và SV về lời giải cho mức điểm 0,25 ............ 167

Bảng 5.19. Nhận định của GV và SV cho điểm 0,25 ............................................ 168

Bảng 5.20. Nhận định của GV và SV cho điểm 0 ................................................. 169

Bảng 5.21. Nhận định của GV và SV cho điểm 1 ................................................. 170

Bảng 5.22. Mô hình giải toán quỹ tích với sự hỗ trợ của GeoGebra ..................... 173

Bảng 5.23. Biểu diễn bài toán theo quy trình 1 ..................................................... 175

Bảng 5.24. Biểu diễn bài toán theo quy trình 2 ...................................................... 175

Bảng 5.25: Thống kê các chiến lược giải trong GeoGebra .................................... 205

Table 5.26. Quá trình phân tích lùi tìm chiến lược giải của HS ............................. 206

xii

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1. Mô hình cơ bản của hoạt động theo Lev S. Vygostky (1986) ................. 24

Hình 1.2. Sơ đồ các thứ bậc của một hoạt động ...................................................... 25

Hình 1.3. Từ dụng cụ trở thành công cụ .................................................................. 27

Hình 1.4. Sơ đồ sự phát sinh công cụ (Trouche, 2000, 2018, 2020) ....................... 31

Hình 1.5. Quá trình phát sinh công cụ GeoGebra đối với HS ................................. 33

Hình 1.6. Tháp phân loại các kiểu DHKP ............................................................... 38

Hình 1.7. Sơ đồ mô tả khái quát các mô hình DHKP (tương đồng, cộng biến) ...... 39

Hình 1.8. Sơ đồ mô tả khái quát lại các mô hình DHKP (dị biệt) ........................... 40

Hình 1.9. Mô hình DHKP định lí có khâu nêu giả thuyết (Nguyễn Phú Lộc, 2003a)

.................................................................................................................................. 40

Hình 1.10. Mô hình DHKP với mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung (Nguyễn

Phú Lộc, 2003b, 2010a) ........................................................................................... 40

Hình 1.11. Giao diện mặc định (tiếng Việt) của GeoGebra phiên bản 5.0 .............. 43

Hình 1.12. Giao diện đa biểu diễn của GeoGebra ................................................... 44

Hình 1.13. Tiến trình dạy học khái niệm (Lê Văn Tiến, 2019) ............................... 52

Hình 1.14. Mô hình SPWG – Giải toán với GeoGebra (Loc, 2014) ....................... 57

Hình 2.1. Các bước nghiên cứu dạy học tri thức mới .............................................. 61

Hình 2.2. Tiến trình nghiên cứu thực nghiệm dạy học Phương trình đường tròn ... 65

Hình 2.3. Phiếu học tập 1 (phương trình đường tròn) ............................................. 66

Hình 2.4. Phiếu học tập 2 (Nhận dạng phương trình đường tròn) ........................... 66

Hình 2.5. Mô hình tổ chức dạy học khám phá có hướng dẫn với GeoGebra .......... 67

Hình 2.6. Mối liên hệ hình học giữa a, b và c .......................................................... 69

Hình 2.7. Phiếu khảo sát số 1 (Elip.PhieuKS.01) .................................................... 70

Hình 2.8. Phiếu khảo sát số 2 (Elip.PhieuKS.02) .................................................... 70

Hình 2.9. Tiến trình nghiên cứu thực nghiệm dạy học Phương trình chính tắc elip 71

Hình 2.10. Hình thức tổ chức dạy học khám phá có hướng dẫn với GeoGebra...... 73

Hình 2.11. Mô hình tổ chức DHKP Bài toán Heron tia sáng ở thực nghiệm đợt 1 . 76

Trang

Hình 2.12. Mô hình tổ chức DHKP Bài toán Heron tia sáng ở thực nghiệm đợt 2 . 77

Hình 2.13. Mô hình tổ chức HS giải toán trong môi trường giấy bút ...................... 78

Hình 2.14. Mô hình tổ chức HS giải toán trong môi trường GeoGebra .................. 78

Hình 2.15. Bài làm của nhóm N5 (trường phổ thông Thái Bình Dương) ................ 78

Hình 2.16. Nội dung Phiếu khảo sát quan điểm GV về lời giải ............................... 80

Hình 2.17. Mô hình giải toán trong môi trường giấy, bút ........................................ 82

Hình 2.18. Mô hình tổ chức giải toán trong môi trường GeoGebra......................... 82

Hình 2.19. Mô hình tổ chức giải toán trong môi trường GeoGebra......................... 84

Hình 2.20. Mô hình tổ chức giải toán trong môi trường GeoGebra......................... 85

Hình 3.1. Các loại phần mềm động và mức độ sử dụng .......................................... 87

Hình 3.2. Mức độ dễ sử dụng các loại phần mềm động ........................................... 88

Hình 3.3. Biểu đồ so sánh mức độ thân thiện của phần mềm động ......................... 89

Hình 3.4. Mức độ tiện ích các công cụ chức năng của phần mềm động .................. 89

Hình 4.1: Hình 3.16 SGK HH10 .............................................................................. 98

Hình 4.2. Lời giải của HS T.M.T (Lớp 10, trường THPT Bình Thủy) .................. 103

Hình 4.3. Lời giải của N.P.N.T (Lớp 10, trường THPT Trương Định) ................. 103

Hình 4.4. Lời giải của HS N.P.N.T (Lớp 10, trường THPT Bình Thủy) ............... 104

Hình 4.5. Lời giải của HS T.H.M (Lớp 10, trường THPT Trương Định) ............. 104

Hình 4.6. Sơ đồ mô hình DHKP đường tròn với GeoGebra .................................. 107

Hình 4.7. Nhận dạng phương trình đường tròn ...................................................... 113

Hình 4.8. Bài làm của 1 HS trường PT Việt Mỹ .................................................... 115

Hình 4.9. Hình hoạt động 1 và hoạt động 2 SGK .................................................. 116

Hình 4.10. Hình vẽ elip SGK ................................................................................. 117

Hình 4.11. Mô hình động elip (GV.PTH) .............................................................. 123

Hình 4.12. Hai hoạt động khám phá elip ................................................................ 123

Hình 4.13. Hoạt động 1 – Khám phá Phương trình chính tắc của elip .................. 124

Hình 4.14. Phiếu học tập số 1 (elip) ....................................................................... 126

Hình 4.15. Phiếu học tập số 2 (elip) ....................................................................... 126

Hình 4.16. Hoạt động 2 – Khám phá mối liên hệ giữa các thành phần của elip .... 130

xiii

Hình 4.17. Phiếu học tập 4 (elip) ........................................................................... 132

Hình 4.18. Elip. Kết quả Phiếu học tập 4 .............................................................. 134

Hình 4.19. Elip. Phiếu học tập 4. Lời giải chưa hoàn chỉnh của HS ..................... 134

Hình 4.20. Kết quả kiểm định Chi-squared bằng www.socscistatistics.com ........ 136

Hình 4.21. Kết quả kiểm định Chi-squared bằng phần mềm R ............................. 136

Hình 5.1. Mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm với GeoGebra ............ 143

Hình 5.2. Giả thuyết sai: 𝐶 ≡ 𝐴1 ........................................................................... 144

Hình 5.3. Vị trí của 𝐶 để bác bỏ giả thuyết sai ...................................................... 144

Hình 5.4. Giả thuyết sai: : 𝐶 ≡ 𝐴2 ........................................................................ 145

Hình 5.5. Vị trí của 𝐶 để bác bỏ giả thuyết sai ...................................................... 145

Hình 5.6. Giả thuyết sai: 𝐶 ≡ 𝐷 ............................................................................ 145

Hình 5.7. Vị trí của 𝐶 để bác bỏ giả thuyết sai ...................................................... 145

Hình 5.8. Giả thuyết đúng về vị trí của C .............................................................. 145

Hình 5.9. Chấp nhận và củng cố giả thuyết đúng .................................................. 145

Hình 5.10. Xác định vị trí điểm 𝐶 bằng chiến lược tam giác đồng dạng .............. 146

Hình 5.11. Hình minh họa cho việc chứng minh giả thuyết 3 ............................... 147

Hình 5.12. Vị trí điểm C bằng chiến lược giao điểm ............................................. 150

Hình 5.13. Vị trí tiếp tuyến của elip là 𝐶 với (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) min ............................... 156

Hình 5.14. Cách dựng hình làm xuất hiện chiến lược S3 ...................................... 160

Hình 5.15. Cách dựng hình làm xuất hiện chiến lược S5đb .................................. 160

Hình 5.16. Cách dựng hình làm xuất hiện chiến lược S4 ...................................... 162

Hình 5.17. Cách dựng hình làm xuất hiện chiến lược S5 ...................................... 163

Hình 5.18. Bài làm của nhóm N1 (trường phổ thông Thái Bình Dương) ............. 164

Hình 5.19. Bài làm của nhóm N7 (trường phổ thông Thái Bình Dương) ............. 164

Hình 5.20. Bài làm của nhóm N5 (trường phổ thông Thái Bình Dương) ............. 164

Hình 5.21. Phản hồi của GV01 .............................................................................. 166

Hình 5.22. Nhận định và đề xuất phương án chấm điểm của GV.03 .................... 166

Hình 5.23. Minh họa nhận định của GV4 .............................................................. 171

Hình 5.24. Nhận định của GV 29 .......................................................................... 172

xiv

Hình 5.25. Hình minh họa trình bày của nhóm N3 ................................................ 174

Hình 5.26. Ý tưởng giải bài toán của nhóm N13 ................................................... 175

Hình 5.27. Kết quả kiểm tra bằng GeoGebra ......................................................... 177

Hình 5.28. Trình bày điều chỉnh lời giải của nhóm N13 ....................................... 178

Hình 5.29. Minh họa kĩ thuật 1 (vẽ hình) ............................................................... 180

Hình 5.30. Trình bày của nhóm N5 ........................................................................ 181

Hình 5.31: 𝐻 là trực tâm ......................................................................................... 182

Hình 5.32: 𝐻 là trọng tâm ....................................................................................... 182

Hình 5.33. Điểm 𝐴 chạy trên elip ........................................................................... 182

Hình 5.34: Điểm 𝐴 chạy trên đa giác ..................................................................... 182

Hình 5.35: Hình vẽ của nhóm 1 ............................................................................. 183

Hình 5.36. Trình bày lời giải của nhóm 1 .............................................................. 184

Hình 5.37. Hình vẽ của nhóm 2 .............................................................................. 184

Hình 5.38. Trình bày lời giải của nhóm 2 .............................................................. 185

Hình 5.39. Hình vẽ của nhóm 3 .............................................................................. 185

Hình 5.40. Trình bày lời giải của nhóm 3 .............................................................. 186

Hình 5.41. Kết quả của hành động 4 ...................................................................... 187

Hình 5.42. Dựng hình của nhóm 4 ......................................................................... 187

Hình 5.43. Dựng 𝐴𝐻 .............................................................................................. 188

Hình 5.44. 𝐴𝐶 cắt n tại 𝐼 ......................................................................................... 188

Hình 5.45:.Trình bày của nhóm 4 (trường hợp góc A nhọn) ................................. 189

Hình 5.46. Hình vẽ của nhóm 4 (góc 𝐴 tù) ............................................................ 189

Hình 5.47. Trình bày lời giải của nhóm 4 (trường hợp góc 𝐴 tù) .......................... 189

Hình 5.48. Hình vẽ hoàn chỉnh của nhóm 4 ........................................................... 190

Hình 5.49. Hình vẽ của nhóm 5 .............................................................................. 190

Hình 5.50. Trình bày lời giải của nhóm 5 .............................................................. 191

Hình 5.51. Hình vẽ của nhóm 6 .............................................................................. 192

Hình 5.52. Trình bày lời giải của nhóm 6 .............................................................. 192

Hình 5.53. Vấn đề tìm ra “?”- cầu nối giữa kết luận và dữ liệu. ............................ 194

Hình 5.54. Tiến trình phân tích lùi với GeoGebra ................................................. 194

Hình 5.55. Hình vẽ tương ứng của bài toán 1 ........................................................ 196

Hình 5.56. Hình biểu diễn bài toán 1 ở bước lập kế hoạch ................................... 197

Hình 5.57. Hình biểu diễn bài toán 1 (trường hợp 𝐵𝐴𝐶 > 90𝑜) ........................... 197

Hình 5.58. Hình mô phỏng cho chiến lược 1 ......................................................... 198

Hình 5.59. Hình mô phỏng cho chiến lược 2 ......................................................... 198

Hình 5.60. Hình mô phỏng cho chiến lược 3 ......................................................... 199

Hình 5.61. Hình mô phỏng cho chiến lược 4 ......................................................... 200

Hình 5.62. Hình mô phỏng xác định mối quan hệ ................................................. 200

Hình 5.63. Minh họa hình vẽ trong môi trường giấy bút ....................................... 202

Hình 5.64. Trình bày lời giải chiến lược 1............................................................. 202

Hình 5.65. Trình bày lời giải chiến lược 2............................................................. 202

Hình 5.66: Trình bày lời giải chiến lược 3 ............................................................ 203

Hình 5.67. 𝑀 ở vị trí có tọa độ (7; 0) .................................................................... 203

Hình 5.68. Phát hiện BHKM là hình chữ nhật ...................................................... 204

Hình 5.69. Tiến trình lập luận tìm tòi chứng minh của nhóm N5 ......................... 205

Hình 5.70. Trình bày lời giải của nhóm N5 (tìm tọa độ điểm M) ......................... 205

xvi

xvii

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

1.1 Tổ chức quá trình dạy học theo hướng học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện,

suy luận giải quyết vấn đề đang được quan tâm trong bối cảnh đổi mới chương trình

giáo dục phổ thông hiện nay

Trong quá khứ, chịu ảnh hưởng của phương pháp dạy học truyền thống, người học

toán chủ yếu được tập trung đào tạo và rèn luyện thành thạo kĩ năng và nhớ lại kiến thức

để trả lời các câu hỏi được người khác đặt ra cho mình. Theo đó, học sinh (HS) học theo

kiểu bắt chước và thường thụ động tiếp thu, giáo viên (GV) quan tâm chủ yếu tới việc

trình bày của mình sao cho chính xác, rõ ràng và dễ hiểu mà ít quan tâm đến cái mà HS

cần, cái mà HS nghĩ và hoạt động của chính người học.

Quá trình phát triển của nền kinh tế tri thức trên thế giới cũng như ở Việt Nam đòi

hỏi giáo dục phải liên tục đổi mới nhằm nâng cao chất lượng nguồn nhân lực. Vì thế,

nội dung chương trình giáo dục luôn được các nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu cải

tiến. Đồng thời, các quan điểm về phương pháp giáo dục đã thay đổi theo hướng hiện

đại, nó không phải là nhồi nhét một mớ kiến thức hỗn độn mà là đào tạo phương pháp

suy nghĩ, phương pháp nghiên cứu, phương pháp học tập và phương pháp giải quyết vấn

đề.

Ở Việt Nam, bên cạnh việc đổi mới chương trình, đổi mới nội dung thì việc đổi

mới phương pháp dạy học theo hướng hiện đại, phát huy tính tích cực chủ động, sáng

tạo của người học, khắc phục lối truyền đạt một chiều, ghi nhớ máy móc được xác định

là một nhiệm vụ trọng tâm (Nghị Quyết số 29-NQ/TW; Luật giáo dục, 2009; Luật giáo

dục năm, 2019). So với chương trình giáo dục phổ thông 2006 (Bộ Giáo dục và Đào tạo,

2006) thì chương trình giáo dục phổ thông 2018 đã cụ thể hóa các phương pháp dạy học

theo định hướng “lấy HS làm trung tâm”: GV đóng vai trò tổ chức, hướng dẫn hoạt

động cho HS, tạo môi trường học tập thân thiện và những tình huống có vấn đề để

khuyến khích HS tích cực tham gia vào các hoạt động khám phá vấn đề (Bộ Giáo dục

và Đào tạo, 2018a). Người dạy cần phát huy tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng

lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân người học. Nói cách khác,

GV cần tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó HS được tham gia tìm

tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018b).

1.2 Phương tiện công nghệ (đặc biệt công cụ phần mềm toán học) hỗ trợ ngày càng

đắc lực cho dạy học môn toán theo hướng học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện,

suy luận giải quyết vấn đề

Từ những năm 2000, phương tiện công nghệ hiện đại đã xâm nhập vào hầu hết các

lĩnh vực của khoa học và đời sống con người. Ở Việt Nam, việc sử dụng phương tiện

dạy học hiện đại, phần mềm dạy học đã được Bộ giáo dục và Đào tạo coi trọng: sử dụng

công nghệ thông tin như là một công cụ hỗ trợ đắc lực nhất cho đổi mới phương pháp

giảng dạy, học tập ở tất cả các môn học (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2001).

Phương tiện công nghệ trở thành một công cụ hữu hiệu để hỗ trợ GV và HS trong

việc dạy học. Các tác giả Nguyễn Bá Kim &Vũ Dương Thụy (2004) khẳng định: máy

tính điện tử cũng có thể được sử dụng trong quá trình dạy học để cải tiến PPDH nhằm

nâng cao chất lượng giáo dục. Tác giả Đào Thái Lai (2006) cho rằng: khi phương tiện

công nghệ tham gia vào quá trình dạy học, nó sẽ làm môi trường dạy học thay đổi và

tác động mạnh mẽ tới mọi thành tố của quá trình dạy học. Tác giả Nguyễn Thị Nga

(2016) nhận định: các công cụ công nghệ thông tin cho phép HS nhận được nhanh chóng

biểu diễn của một vấn đề, một khái niệm để mang lại cho nó một nghĩa và tạo điều kiện

cho HS chiếm lĩnh chúng. Nó gắn kết các mặt khác nhau (đại số, hình học, bảng tính,

…) của cùng một khái niệm hay một tình huống; Nó hỗ trợ khám phá tình huống bằng

cách làm xuất hiện những hình dáng khác nhau trong trạng thái động; phần mềm dạy

học phát ra những phỏng đoán từ một thực nghiệm tương tác khi nghiên cứu một vấn

đề chứa đựng những câu hỏi mở hay một sự phức tạp nào đó và khi tiến hành những

xác minh đầu tiên; giúp HS chuyên tâm vào việc giải quyết các vấn đề xuất phát từ các

tình huống trong đời sống mà việc tính toán thường dài và phức tạp; nó giúp tiến hành

nhanh chóng việc kiểm tra một số kết quả nhận được.

Hiện nay, định hướng về phương pháp giáo dục trong Chương trình giáo dục phổ

thông tổng thể 2018 nêu rõ “các hoạt động học tập của HS bao gồm hoạt động khám

phá vấn đề, hoạt động luyện tập và hoạt động thực hành, […] được thực hiện với sự hỗ

trợ của thiết bị dạy học, đặc biệt là công cụ tin học” (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018a).

Trước đây, đối với giáo dục toán học, việc ứng dụng phương tiện công nghệ chưa

được cụ thể hóa thành những nội dung cụ thể trong chương trình giáo dục phổ thông

2006. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018b) yêu cầu: “tăng cường sử dụng công nghệ thông

tin và các phương tiện, thiết bị hiện đại một cách phù hợp và hiệu quả”. Theo Bộ Giáo

dục và Đào tạo (2006, 2018b) thì việc ứng dụng phương tiện công nghệ đã cụ thể hóa

thành những nội dung cụ thể và xác định tường minh năng lực sử dụng công cụ và

phương tiện học toán, xem nó là một trong những thành phần cốt lõi của năng lực toán

học của HS.

1.3 Đặc điểm nội dung chương trình hình học 10

Nội dung chương trình hình học 10 bổ sung hai phương pháp mới để nghiên cứu

hình học: đó là phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ.

Phương pháp vectơ cho phép tiếp cận các kiến thức toán học phổ thông một cách

rõ ràng. Nó còn là cái cầu để chuyển từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp tọa

độ theo cấu tạo chương trình của trường phổ thông Việt Nam. Khi nghiên cứu hình học

bằng phương pháp này, các giả thuyết về những khó khăn mà HS phải đương đầu đã

được Lê Thị Hoài Châu (1998) kiểm chứng qua một số thực nghiệm với HS ở Việt Nam

chẳng hạn như “… Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học”.

Phương pháp tọa độ trong chương trình hình học ở trường phổ thông được xem là

một trọng tâm. Nó đem lại một công cụ có hiệu quả cao trong nghiên cứu hình học.

Cùng với phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ cho phép thiết lập mối quan hệ chặt

chẽ giữa đại số và hình học (Lê Thị Hoài Châu, 2008). Trong trường hợp này các đối

tượng và các mối liên hệ hình học được thay thế bằng những đối tượng và những mối

quan hệ đại số, thông qua trung gian là một hệ tọa độ, Nói cách khác, người ta dịch tính

chất hình học thành những biểu thức và phương trình đại số, chuyển bài toán hình học

thành bài toán đại số và làm việc thuần túy trong lĩnh vực đại số. Với phương pháp tọa

độ, chương trình hình học THPT không chỉ xem xét không chỉ đường thẳng, mặt phẳng

mà còn cả đường tròn, mặt cầu, các đường cônic và tính chất của chúng.

Với phương pháp tọa độ, người dạy có thể trang bị cho HS các thuật giải nhiều

dạng toán hình học. Lợi thế của phương pháp này trong nghiên cứu hình học là lời giải

bài toán mang tính khái quát cao vì không phụ thuộc vào hình vẽ. Tuy nhiên, theo Lê

Thị Hoài Châu (2008), HS có thể gặp chướng ngại do sự ngắt quãng giữa một bên là

ngôn ngữ hình thức và một bên là biểu tượng không gian. Vì thế, vấn đề về sự tận dụng

trực giác hình học trong quá trình tìm kiếm lời giải cần phải được khai thác.

Các tác phẩm nghiên cứu của Đào Tam (2007) và Lê Thị Hoài Châu (2008) đề

nghị rằng khi dạy học nội dung phương pháp tọa độ, người dạy cần chú trọng quan tâm

khai thác yếu tố trực quan khi dạy học cần phải khai thác yếu tố trực quan, đặc biệt là

“trực quan ảo nhờ sự hỗ trợ của máy tính điện tử”.

Ở Việt Nam, hiện nay, mặc dù có nhiều chương trình máy tính hỗ trợ việc dạy học

môn Toán đã và đang được GV sử dụng, nhưng điểm đáng quan tâm là đa số các chương

trình, phần mềm, tiện ích được sử dụng trong việc dạy và học môn Toán ở trường phổ

thông là các chương trình của nước ngoài, các chương trình phải trả phí cao hoặc các

chương trình miễn phí nhưng không hỗ trợ ngôn ngữ tiếng Việt như Cabri Geometry,

Geometer’s Sketchpad, Geoplan-Geospace, Casyopé.

Trong chương trình cũng như SGK hình học 10 hiện hành, máy tính bỏ túi được

đề cập tường minh và có hướng dẫn sử dụng, có thực hành trong một số chủ đề. Trong

khi đó, việc sử dụng các phần mềm, các chương trình dạy học như thế nào là tùy thuộc

vào bản thân, kinh nghiệm của từng GV, HS. Chính vì thế, vấn đề chọn lựa một phần

mềm máy tính nào tiện dụng làm công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc dạy học là cần thiết.

Câu hỏi ban đầu được đặt ra là: phần mềm toán học nào là tiện dụng đối với GV

và HS? Nó có thể được sử dụng như thế nào để trở thành công cụ hỗ trợ đắc lực cho

việc dạy và học môn Toán?

1.4 Tổng quan các loại phần mềm hỗ trợ dạy học Toán và các nghiên cứu liên quan

Trong những thập niên 80, máy tính và đồ họa máy tính đã gây được sự chú ý của

các nhà giáo dục toán. Các thiết bị kĩ thuật này nhanh chóng tác động đến quan điểm về

nội dung, chương trình và phương pháp sư phạm trong giáo dục toán. Sự phát triển vượt

bậc của khoa học máy tính đã mở ra một khía cạnh mới cho việc sử dụng máy tính.

Hiện nay, phần mềm đại số, phần mềm thống kê, phần mềm hình học động và phần

mềm toán học động là các loại chính của những phần mềm giáo dục dùng để giảng dạy

và học tập môn Toán (P. Drijvers & Trouche, 2007; Friedlander, 1998).

Mỗi chương trình có những lợi thế riêng và đặc biệt hữu ích cho việc nghiên cứu

một chủ đề toán học hoặc hỗ trợ các phương pháp giảng dạy nào đó. Tuy nhiên, ranh

giới giữa các loại phần mềm ngày càng không rõ nét và các tính năng đặc trưng chúng

thường được bổ sung cho nhau.

1.4.1 Phần mềm đại số (Computer algebra system - CAS)

Hệ thống đại số máy tính (CAS) là một chương trình phần mềm cho phép tính toán

trên biểu thức toán học trong một cách tương tự như các tính toán thủ công truyền thống

của các nhà toán học và nhà khoa học. Cốt lõi của hệ thống này là lưu trữ và biến đổi

các biểu diễn toán học hoàn toàn trên dạng biểu tượng. Một số phần mềm đại số máy

tính như Derive [Texas Instruments Inc., 2008], Maple [Maplesoft, 2008] và

Mathematica [Wolfram Research Inc., 2008]. Nhìn chung, phần mềm hệ thống đại số

máy tính chủ yếu là làm việc với các kí hiệu và biểu diễn đại số của đối tượng toán học.

Nó cho phép thao tác với các biểu thức đại số, hàm số và cho phép thực hiện các hoạt

động cơ bản toán học như các phép toán, rút gọn biểu thức đại, phân tích thành nhân

tử, phép tính đạo hàm, phép tính tích phân, chuỗi, và ma trận. Ngoài ra, nó cho phép vẽ

đồ thị các của hàm số và phương trình. Vì thế, hệ thống đại số máy tính thường được

hệ điều hành sử dụng đầu vào là bàn phím và cho phép người dùng thực hiện các thuật

toán riêng của họ bằng cách sử dụng các lệnh và cú pháp đặc biệt. Ngoài ra, hầu hết các

hệ thống đại số máy tính cho phép hiển thị đồ thị của các hàm số. Tuy nhiên, sự biểu

diễn đó không thể điều khiển trực tiếp bằng cách sử dụng con chuột. Nói chung, sự biểu

diễn hình học của các đối tượng (chẳng hạn đồ thị của hàm số) không thể được sửa đổi

trực tiếp bởi người dùng (Hohenwarter & Jones, 2007; Hohenwarter & Preiner, 2007).

1.4.2 Phần mềm thống kê

Phần mềm thống kê được thiết lập dựa trên ý tưởng kết nối giữa số học và đại số

(chẳng hạng MS Excel). Ứng dụng này cho phép hiển thị các văn bản chữ và số hoặc

giá trị số trong bảng các ô được tổ chức trong các hàng và cột, công thức có thể được sử

dụng để tính toán các giá trị mới bằng cách giới thiệu ở các ô khác. Bất cứ khi nào các

nội dung của một ô được sửa đổi, tất cả nội dung của các ô có liên quan khác lập tức

được cập nhật tự động (Friedlander, 1998). Phần mềm này chủ yếu được sử dụng như

là công cụ cho phép tính toán học và thống kê, nó cho phép HS tập trung vào các lập

luận toán học bằng cách giải phóng họ ra khỏi gánh nặng của các phép tính và các thao

tác đại số (Friedlander, 1998; Ozgun-Koca, 2000). Với bảng tính, HS có thể tìm kiếm

các dạng mẫu, xây dựng các biểu thức đại số, khái quát hóa khái niệm, biện minh cho

giả thuyết này, và thiết lập sự tương đương của hai mô hình như nhu cầu nội tại và có ý

nghĩa hơn là thực hiện các yêu cầu đặt ra bởi các GV. Bảng tính thường được điều hành

sử dụng đầu vào bàn phím, công thức, và các câu lệnh. Nó cho phép vẽ các biểu đồ khác

nhau từ dữ liệu có sẵn và tự động điều chỉnh thích ứng khi thay đổi dữ liệu.

1.4.3 Phần mềm hình học động và các nghiên cứu liên quan

Phần mềm hình học động (Dynamic Geometry Software – DGS) là một thuật ngữ

chung để mô tả các gói phần mềm có thể đáp ứng cho hình học động chẳng hạn như

Geometry Supposer (Schwartz & Yerushalmy, 1987), Cabri-géométre (J.-M. Laborde,

1990) và Geometer’s Sketchpad (Jackiw, 1991), GeoGebra (Hohenwarter, 2002) và

những môi trường lập trình như Logo (Feurzeig et al., 1970).

Theo Kortenkamp (1999), hình học động là lý thuyết của phép dựng hình hoặc là

sự mô tả hàm số, hoặc các đối tượng dưới sự thay đổi thông số. Nó cung cấp cho người

dùng các công cụ để tạo ra các yếu tố cơ bản của hình học Euclide (điểm, đường thẳng,

đoạn thẳng, tia, và đường tròn) thông qua việc điều khiển trực tiếp bởi một thiết bị trỏ

(chẳng hạn chuột, thiết bị cảm ứng, bút cảm ứng (stylus) hoặc phím mũi tên) và các

phương tiện để xây dựng mối quan hệ hình học giữa các đối tượng. Sau khi xây dựng,

các đối tượng được thay đổi chỉ đơn giản bằng thao tác ấn kéo bất kỳ một bộ phận cấu

thành của chúng. DGS cung cấp cho các đối tượng toán học cơ bản như: điểm, đoạn,

thẳng, đường tròn, vectơ, và cônic. Ngoài ra, nó có thể nghiên cứu hình học giải tích

thông qua một hệ thống tọa độ, và nghiên cứu đồ thị hàm số bằng cách tạo ra quỹ tích

của một điểm nhất định ở đó giá trị của y được biểu diễn tương ứng bởi biểu thức chứa

x. Mặc dù, bàn phím nhập liệu các con số và biểu thức đầu vào có thể có trong hầu hết

các DGS, nhưng nó thường bị giới hạn trong một loạt các lệnh đặc biệt và biểu thức xác

định trước. Vì vậy, việc nhập dữ liệu đầu vào như vậy chỉ được sử dụng chủ yếu để thực

hiện các phép tính mà kết quả có thể được tích hợp vào quá trình xây dựng.

Như vậy, phần mềm hình học động là một chương trình máy tính, nó cho phép

người sử dụng tạo ra và sau đó thao tác trên đối tượng được xây dựng thuộc về hình học.

Cụ thể là, người dùng bắt đầu việc dựng hình bằng cách đặt một vài điểm và sử dụng

chúng để xác định các đối tượng mới (đường thẳng, đường tròn, điểm khác, …). Sau khi

hoàn thành việc dựng hình, người dùng có thể di chuyển các điểm để quan sát sự thay

đổi của hình được dựng.

Hiện nay, phần mềm toán học động đang trở nên phổ biến và được sử dụng rộng

rãi trong giáo dục toán học. Nó không chỉ hỗ trợ việc dạy học hình học phẳng mà còn

cả hình học không gian. Phần mềm toán học động cung cấp môi trường để HS giao tiếp

với máy tính và nhận ra cách dựng hình của các đối tượng thuộc về hình học. Bằng thực

nghiệm, HS sẽ hiểu các tính chất liên hệ giữa các đối tượng hình học. Thông qua các

thực nghiệm, HS hiểu tiến trình liên kết các khái niệm thuộc về hình học một cách tương

ứng sự phát minh trong một cách đầy ý nghĩa (Noss, 1987). Một vài nghiên cứu đã đề

cập với những ảnh hưởng của học tập dựa trên máy tính và DGS trong việc phát triển

khả năng hiểu biết của HS về hình học và phát hiện rằng việc sử dụng công nghệ, mà

đặc biệt là DGS, nó có ích cho HS để phát triển năng lực hiểu biết khái niệm hình học

và khi HS giao tiếp với DGS cũng có thể giúp họ khám phá, dự đoán, dựng hình và giải

thích các mối liên hệ giữa các đối tượng hình học (Jones, 2000, 2001, 2002a, 2002b,

2005; Marrades & Gutierrez, 2000).

Một lợi thế của DGS là, khi HS giao tiếp với nó, HS có cơ hội để nhận ra những

cách dựng hình khác nhau của cùng một đối tượng. Trong trường hợp này, dựng hình

trong môi trường hình học động khác với vẽ hình tĩnh trong môi trường giấy và bút chì.

DGS cho phép truy cập dễ dàng dẫn đến khả năng HS hiểu biết kiến thức sâu sắc hơn

so với dựng hình trong môi trường giấy bút, bởi vì điểm có thể được thay đổi (Guven,

2012). Nhờ hoạt động này, HS nhận ra những vị trí khác nhau của hình nhiều hơn là

kích thước đặc biệt của nó và vị trí, tại đó giúp cho HS có thể hình thành ra những dự

đoán và khái quát. DGS như là một công cụ để hỗ trợ HS dự đoán, một phương tiện để

hỗ trợ HS khám phá và kiểm tra các tính chất toán học (Arcavi & Hadas, 2000).

Môi trường hình học động quy định sự khác biệt giữa bản vẽ và hình vẽ. C. Laborde

(2001) đã nhấn mạnh sự khác biệt quan trọng giữa bản vẽ và hình vẽ: bản vẽ hàm ý nói

đến đối tượng thực thể trong khi hình vẽ quy cho đối tượng có tính chất lí thuyết. Nghiên

cứu của Balacheff &Kaput (1996) cho thấy sự khác biệt này ảnh hưởng đến hoạt động

khám phá các tính chất hình học của HS.

Phương thức kéo thả hỗ trợ rất tốt cho việc kiểm tra những dự đoán và xây dựng

cách giải thích cũng như xác nhận sự khác biệt giữa bản vẽ và hình vẽ (Arzarello,

Olivero, Uk, et al., 2002; Holzl, 1996; Hoyles & Jones, 1998; Jones, 2000; Sowder &

Harel, 1998). Phương thức này làm cho môi trường hình học động rất có tiềm năng đề

giúp HS tập trung trên những gì biến đổi và những gì bất biến trong một hình hình học

và cho phép HS nảy sinh nhiều ý tưởng kiểm chứng và chứng minh (Jones, 2000).

Các nghiên cứu của Gawlick (2002, 2005a, 2005b) trình bày những kết quả nghiên

cứu liên quan đến những ảnh hưởng khác nhau của việc sử dụng DGS đến thành tích

học tập của HS. Mục tiêu của nghiên cứu là khám phá và kiểm tra các biện pháp theo

từng bước từ thử nghiệm đến thường xuyên sử dụng DGS trong lớp học. Theo kết quả

của nghiên cứu này, một vấn đề quan trọng, nó nên cần được xem xét trong sự kết hợp

DGS vào trong lớp học đó là sự thay đổi cần thiết và phù hợp môi trường giáo dục.

Gawlick (2002) khẳng định rằng: “GV phải được đặt vào vị trí để phát triển chuỗi

phương pháp dạy học mới, và các trường học cần phải có các thiết bị tốt để làm cho

hình học động làm việc tại nhà và đánh giá” (tr. 91).

Nghiên cứu của Jones (2001) đạt được mục tiêu nhằm thu được thông tin về sự

hiểu biết của những HS lứa tuổi 12 khi sử dụng DGS. Phân tích dữ liệu từ nghiên cứu

chỉ ra rằng, việc sử dụng DGS trong quá trình hoạt động có thể giúp HS đến gần hơn sự

giải thích thuộc về toán học. Hơn nữa, tác giả đã phát hiện rằng tính năng động của phần

mềm ảnh hưởng đến việc hình thành cách giải thích của HS. Holzl (1996) đã nghiên cứu

những ảnh hưởng của việc sử dụng liên tục phần mềm hình học động Cabri trong môi

trường lớp học, ở đó DGS là một phần không thể thiếu của môi trường học tập. Nghiên

cứu đã trích dẫn bằng chứng rằng, DGS sở hữu tiềm năng đáng kể về hình học biến hình

và ứng dụng của DGS chỉ nên được thực hiện sau khi cân nhắc kĩ lưỡng. Gillis (2005)

đã thiết kế một nghiên cứu để điều tra dự đoán của HS trong môi trường hình học tĩnh

và động. Dữ liệu đã được kiểm tra cả về số lượng và chất lượng. Dữ liệu định tính được

thu thập bằng cách quan sát, khảo sát, phỏng vấn những người tham gia, và phân tích

định lượng các phỏng đoán đó đã được thực hiện bởi HS trong cả hai môi trường động

và tĩnh. Một kết quả của nghiên cứu, HS sử dụng DGS đã được xây dựng thành công

hơn trong các giả thuyết liên quan. Hơn nữa, tính đúng đắn của giả thuyết của họ là cao

hơn so với các HS làm việc trong một môi trường hình học tĩnh.

Bằng phương pháp nghiên cứu trường hợp, Marrades &Gutierrez (2000) trình bày

các kết quả của hai trường hợp HS trung học đã làm việc với động hình học. Mục đích

nghiên cứu là điều tra những cách thức mà phần mềm động có thể được sử dụng để nâng

cao sự hiểu biết của HS về bản chất tự nhiên của chứng minh toán học và nâng cao kĩ

năng chứng minh của họ. Sau khi phân tích các câu trả lời, các phương pháp chứng minh

được HS nêu ra, tác giả xác nhận lợi ích của việc học tập trong môi trường hình học

động là nâng cao kĩ năng chứng minh của HS. C. Laborde (2001) báo cáo một phân tích

những tiến trình dạy học với sự tích hợp của DGS. Những tiến trình dạy học sử dụng

trong nghiên cứu này đã được phát triển bởi các GV trong khoảng thời gian ba năm. Tác

giả cho thấy rằng trong khi DGS là một nhà cung cấp phương tiện trực quan, nó đã trở

thành một thành phần thiết yếu và có ý nghĩa đối với các nhiệm vụ trong quá trình giảng

dạy. Nhờ vào DSG, HS có thể hình thành những khái niệm về các đối tượng toán học

mà họ xây dựng. Theo kết quả của nghiên cứu, Laborde cho rằng sự tích hợp của công

nghệ máy tính trong lớp học toán học là một quá trình lâu dài và khó khăn. Mariotti

(2000) báo cáo kết quả thực nghiệm giảng dạy được thực hiện tại lớp 9 và 10 của một

trường trung học khoa học, là một phần của một dự án nghiên cứu. Mục đích của nghiên

cứu đã làm rõ vai trò của một DGS trong tiến trình dạy và học. Các chức năng của các

thành phần cụ thể của phần mềm đã được mô tả và phân tích như là công cụ được sử

dụng bởi các GV trong các hoạt động dạy học tại lớp. Theo Mariotti, HS được tạo điều

kiện rất nhiều trong sự hình dung, sự khám phá, và việc sử dụng các chiến lược giải

quyết vấn đề, nhờ vào việc sử dụng các phần mềm động. Trong những nghiên cứu làm

sáng tỏ các chức năng của môi trường hình học động có thể được tóm tắt như sau: Thứ

nhất, môi trường hình học động, giúp HS tạo ra những mô hình tương tác động để suy

nghĩ về hình dạng hình học (Jones, 2001; Üstün & Ubuz, 2004). Thứ hai, trong một môi

trường động, HS không khó để nhớ các tính chất của hình dạng hình học. Thứ ba, DGS

cho phép các HS trải nghiệm những thuộc tính trong hành động trước khi sử dụng nó ở

một mức độ chính thức hơn (C. Laborde, 2001).

Hiện nay, DGS đã trở thành một trong những phần mềm được sử dụng rộng rãi

nhất trong các trường trung học và các trường đại học trên toàn thế giới. Theo Sträßer

(2002), phần mềm hình học động là một trong những phần mềm tốt trong các loại phần

mềm dành cho giáo dục Toán.

Phần mềm hình học động bắt đầu cho một cách mạng trong giáo dục: máy tính

dùng trong nhà trường có thể được dành cho việc giảng dạy hình học. Chức năng trung

gian của máy tính như một sự liên kết giữa kinh nghiệm cá nhân của người học và sự

biểu diễn hình thức của phạm vi kiến thức thuộc về hình học có thể được trải qua bởi

vài môi trường học tập hình học động. Ngày nay, có nhiều gói phần mềm dành cho hình

học động, chúng được cải tiến cả về chất lượng lẫn giao diện và chi phí sử dụng.

1.4.4 Phần mềm toán học động

Xuất phát từ ý tưởng “cần phát triển phần mềm hơn nữa để cung cấp một gói duy

nhất có thể kết hợp tất cả các tính năng của hình học động và đại số” được đưa ra bởi

Schumann &Green (2000), các nghiên cứu đã cho ra đời những gói phần mềm toán học

có khả năng kết hợp tính năng của DGS, hệ thống đại số máy tính, và bảng tính thành

một gói duy nhất. Các phần mềm này được gọi chung bằng thuật ngữ “phần mềm toán

học động” chẳng hạn như GeoGebra (Hohenwarter, 2002) và GEONExT (Universit¨at

Bayreuth, 2007).

1.5 Phần mềm GeoGebra – một lựa chọn cho việc hỗ trợ tổ chức hoạt động dạy học

khám phá các tri thức trong chương trình hình học 10

GeoGebra – cầu nối giữa các nhánh của Toán học như hình học, đại số và cả giải

tích là một phần mềm toán học động được thiết kế dành riêng cho việc giảng dạy và học

tập toán từ bậc tiểu học đến cả bậc đại học. Nó tích hợp hệ thống hình học động với các

tính năng cơ bản của hệ thống đại số và cả thống kê thành một gói với triết lí là “toán

học động – hình học động, đại số động và tính toán động” (Hohenwarter & Jones, 2007;

Hohenwarter & Preiner, 2007). Tác giả phần mềm là Markus Hohenwarter, giảng viên

trường đại học Salzburg, Cộng hòa Áo. Định hướng chiến lược “miễn phí mãi mãi” là

một đặc điểm quan trọng nhất của phần mềm. GeoGebra hỗ trợ ngôn ngữ tiếng Việt và

tương thích với các hệ điều hành khác nhau (các hệ điều hành dành cho máy vi tính như

window, mac, và các hệ điều hành dành cho điện thoại thông minh như android, ios,

…). Nó được sử dụng rộng rãi và được cập nhật thường xuyên bởi cộng đồng người sử

dụng và nhà phát triển từ nhiều quốc gia trên thế giới (Tatar, 2013a). Vì vậy, khi sử dụng

GeoGebra, GV và HS không chỉ có thể dễ dàng trao đổi ý tưởng, học hỏi kinh nghiệm,

giao lưu với cộng đồng GeoGebra mà còn không phải lo lắng về chi phí. Một mặt,

GeoGebra có thể được sử dụng để biểu diễn trực quan các khái niệm toán học. Mặt khác,

GeoGebra còn là môi trường tương tác dành cho người học có thể trải nghiệm, khám

phá (Fahlberg-Stojanovska & Stojanovski, 2009). Phần mềm toán học động GeoGebra

được nhiều nhà giáo dục toán học quan tâm, được Mehanovic (2011), Akkaya et al.

(2011) và Tatar (2013) sử dụng với thuật ngữ gọn hơn là “phần mềm động GeoGebra”.

1.6 Tổng quan các nghiên cứu ứng dụng phần mềm động GeoGebra vào dạy học

1.6.1 Các nghiên cứu ngoài nước

Luận án của Mehdiyev (2009) nghiên cứu những mức độ thúc đẩy động lực khi

học tập với phần mềm động GeoGebra; mức độ gia tăng sự chú ý và thảo luận, giao tiếp

giữa HS – HS, HS – GV trong lớp học; những cách phần mềm động hỗ trợ HS học tập

tích cực trong giờ hình học; mức độ ảnh hưởng của phần mềm động đến sự hiểu biết các

khái niệm hình học; ảnh hưởng của phần mềm động đến quá trình giải quyết vấn đề của

HS. Tác giả Núria Iranzo (2009) nghiên cứu phương thức tích hợp GeoGebra vào quá

trình dạy học theo lí thuyết tiếp cận công cụ của Rabardel (2001). Kết quả phân tích ảnh

hưởng của GeoGebra đến các chiến lược giải các bài toán hình học phẳng cho thấy

GeoGebra giúp HS nâng cao hiểu biết kiến thức toán học. Sipos &Kosztolányi (2009)

nghiên cứu dạy học các định lí hình học bằng cách mô hình ảo với sự hỗ trợ của

GeoGebra theo quy trình (1) thử nghiệm dựa vào DGS, (2) thực nghiệm trong tư duy

của người học sau khi một số hình ảnh hoặc phép dựng hình xuất hiện ở màn hình máy

tính, (3) hình thành phỏng đoán, giả thuyết, (4) chứng minh quy nạp. Dựa vào lí thuyết

Hoạt động và lí thuyết Kiến tạo, Uddin (2011) nghiên cứu sử dụng GeoGebra với vai

trò là một công cụ trung gian. Kết quả nghiên cứu cho thấy hiệu quả của các mô hình

tương tác động từ GeoGebra đối với quá trình học tập và nhận biết khái niệm toán học

của HS. Đồng thời, tác giả nhấn mạnh rằng công cụ “ấn kéo” của GeoGebra đã giúp HS

hiểu biết kiến thức một cách sâu sắc. Điều này, người học khó thực hiện được trong môi

trường giấy bút. Luận án của Kekana (2016) trình bày kết quả nghiên cứu đánh giá năng

lực tư duy hình học của HS dựa trên các cấp độ tư duy hình học của Van Hieles thông

qua việc sử dụng phần mềm GeoGebra vào dạy học nội dung kiến thức về phép biến

hình. Bằng phương pháp nghiên cứu bán thực nghiệm, tác giả cho thấy hiệu quả của

việc sử dụng GeoGebra đối với việc cải thiện năng lực tư duy hình học của HS. Siahaan

(2017) xác định khả năng giải toán của HS đối với bài toán hệ phương trình tuyến tính

bằng cách sử dụng GeoGebra. Tác giả giới thiệu mô hình dạy học khám phá đến HS

nhằm tạo hứng thú học toán cho họ. Kết quả là sự quan tâm của HS đối với toán học,

đặc biệt là về chủ đề hệ phương trình tuyến tính ngày càng tăng. Nghiên cứu của Murni

et al. (2017) trình bày ảnh hưởng của việc sử dụng GeoGebra trong mô hình học tập

khám phá về khả năng giải bài toán và thái độ của HS đối với toán học. Nghiên cứu này

gần như là thử nghiệm và phương pháp đối chứng sau thử nghiệm được sử dụng trong

nghiên cứu này. Kết quả phân tích dữ liệu cho thấy việc sử dụng GeoGebra trong học

tập khám phá có thể dẫn đến việc giải quyết vấn đề và thái độ của HS đối với toán học

tốt hơn. Điều này là do việc trình bày các vấn đề bằng cách sử dụng GeoGebra có thể

hỗ trợ HS xác định và giải quyết vấn đề và thu hút sự quan tâm của HS vì GeoGebra

cung cấp một quy trình phản hồi tức thì cho HS. Kết quả của nghiên cứu cho thấy việc

sử dụng GeoGebra trong việc học khám phá có thể được áp dụng trong học tập và giảng

dạy các chủ đề rộng hơn, bên cạnh chủ đề “diện tích hình tròn” trong nghiên cứu. Nghiên

cứu của Juandi &Priatna (2018) đề xuất giải pháp cải thiện năng lực tư duy trực quan

toán học của HS trung học thông qua việc triển khai Mô hình học tập khám phá với sự

hỗ trợ của Geogebra. Kết quả của nghiên cứu này là: 1) việc áp dụng mô hình học tập

khám phá với sự hỗ trợ của Geogebra giúp HS cải thiện năng lực tư duy trực quan Toán

học cao hơn đáng kể so với những HS ở các lớp thông thường; 2) có sự khác biệt trong

việc cải thiện năng lực Toán học của HS giữa các nhóm dựa trên khả năng tư duy trực

quan toán học nền tảng trước đó họ có (cao, trung bình và thấp), 3) khả năng tư duy trực

quan Toán học của nhóm HS khá - giỏi cao hơn đáng kể so với nhóm trung bình và yếu)

hiệu quả chất lượng cải thiện năng lực tư duy trực quan đối với những HS có kiến thức

khá-giỏi và yếu là loại trung bình, và chất lượng việc cải thiện đối với HS có kiến thức

trung bình là loại cao. Các tác giả Rambe et al. (2018) giới thiệu mô hình học tập khám

phá với sự trợ giúp của phần mềm GeoGebra nhằm tăng hứng thú học tập của HS.

Nghiên cứu này đã giới thiệu cách giải các bài toán hệ phương trình tuyến tính, cả hai

biến và ba biến. Từ kết quả quan sát 5 lần được thực hiện trên HS ở trường trung học cơ

sở tại Bhayangkari Medan cho thấy hứng thú học tập tăng lên đáng kể. Điều này đồng

nghĩa với việc sự nghiêm túc và hứng thú học tập của HS đã tăng lên. Batubara (2019)

thực hiện nghiên cứu nhằm mục đích trả lời câu hỏi: (1) liệu khả năng tư duy phản biện

của HS ngày càng tăng thông qua các phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

được hỗ trợ bởi GeoGebra có cao hơn so với những HS được cung cấp các phương pháp

khám phá có hướng dẫn mà không có GeoGebra hỗ trợ hay không? (2) tác động giữa

việc học và kết quả năng lực học tập toán học của HS? Nghiên cứu này là một nghiên

cứu bán thực nghiệm. Kết quả cho thấy (1) năng lực tư duy phản biện của HS thông qua

ngày càng tăng các phương pháp học khám phá có hướng dẫn được hỗ trợ bởi GeoGebra

tốt hơn những HS được cung cấp các phương pháp học khám phá có hướng dẫn mà

không có GeoGebra; (2) Không có sự tác động giữa việc học và kết quả học tập của HS.

Nghiên cứu của Utami et al. (2019) trình bày các ảnh hưởng của mô hình học tập khám

phá được hỗ trợ bởi phần mềm GeoGebra và các mô hình học tập giảng dạy theo ngữ

cảnh (contextual teaching learning models ) đến năng lực giải quyết vấn đề toán học..

Kết quả cho thấy mô hình học tập khám phá có hỗ trợ của Geogebra tốt hơn mô hình

học tập giảng dạy theo ngữ cảnh trong việc nâng cao khả năng giải quyết vấn đề của HS.

1.6.2 Các nghiên cứu trong nước

Ở Việt Nam, các nghiên cứu ứng dụng phần mềm GeoGebra chủ yếu tập trung ở

các nội dung như sau:

- Nghiên cứu khảo sát tính hữu dụng của phần mềm GeoGebra dành cho đối tượng

là GV hoặc SV ngành Sư phạm Toán bằng việc xây dựng nội dung tập huấn, hướng dẫn

cách thức sử dụng công cụ chức năng của GeoGebra: Bài báo của Le Tuan Anh (2014)

trình bày kết quả thực nghiệm tổ chức hướng dẫn SV và học viên cao học chuyên ngành

Sư phạm toán sử dụng phần mềm GeoGebra lần lượt qua các giai đoạn: (1) Hướng dẫn

thực hành các thao tác cơ bản, (2) Thực hành dựng một số hình hình học cơ bản, (3)

Thực hành giải toán với phần mềm GeoGebra. Nghiên cứu chỉ ra rằng GeoGebra là hữu

dụng đối với người học. Đối với người giải toán, nhờ vào quy trình thao tác dựng hình

bằng GeoGebra, họ có thể tìm ra nhiều chiến lược giải khác nhau cho bài toán nhờ và

hiểu biết sâu hơn các tính chất của các đối tượng toán học. Nguyen Phu Loc &Le Viet

Minh Triet (2014) thực hiện các nghiên cứu: (1) khảo sát điều tra GV – những học viên

sau đại học chuyên ngành Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán về tình hình

sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy học Toán; (2) triển khai khóa hướng dẫn sử dụng

GeoGebra; (3) khảo sát ý kiến của GV về tính khả dụng của GeoGebra. Kết quả cho

thấy, GeoGebra là phần mềm mới mẻ đối với GV. Tuy nhiên, sau khóa tập huấn, GV có

ý kiến rằng GeoGebra là dễ sử dụng hơn so với các phần mềm khác.

- Nghiên cứu về thực trạng sử dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học: Nguyen

Phu Loc et al. (2020) thực hiện nghiên cứu khảo sát 71 GV bao gồm THPT Chuyên Vị

Thanh (14 GV), THPT Vị Thanh (15 GV), THPT Vị Thủy (7 GV), THPT Lê Hồng

Phong (6 GV), THPT Vĩnh Tường (5 GV), THPT Long Mỹ (19 GV), THPT Lương Tâm

(5 GV) tại tỉnh Hậu Giang về: 1) Thực trạng cơ sở vật chất phục vụ ứng dụng CNTT

trong giảng dạy; 2) Tần suất sử dụng CNTT trong dạy học toán ở trường trung học; 3)

Các phần mềm được sử dụng trong giảng dạy toán học; 4) Thái độ học tập của HS khi

GV ứng dụng CNTT vào dạy học; 5) Khả năng tiếp thu kiến thức của HS trong các bài

học với sự hỗ trợ của CNTT của GV ở các trường THPT.

• Kết quả khảo sát các phần mềm được sử dụng trong giảng dạy toán cho thấy số

lượng GV sử dụng các phần mềm được đề cập trên chiếm tỷ lệ rất cao; đặc biệt là

Geometer Sketchpad (45/71 GV), Cabri 2D, 3D (21/71 GV) và GeoSpace-GeoPlane

(13/71 GV). Điều này là do những năm trước đây, GV toán phổ thông ở tỉnh Hậu

Giang đã được các chuyên gia đào tạo để sử dụng các phần mềm toán học động như

Cabri 2D và 3D; Geometer Sketchpad, GeoSpace và GeoPlane. Tuy nhiên, cả ba

phần mềm này là đắt tiền đối với người dùng để mua và sử dụng. Một điều lưu ý,

GeoGebra là phần mềm nguồn mở, phần mềm miễn phí nhưng rất ít GV sử dụng nó

(6/71 GV). Điều này có thể được giải thích như sau: (1) GV chưa được đào tạo để

sử dụng phần mềm này; (2) Chỉ GV tự học hoặc GV trẻ tốt nghiệp từ các trường đại

học có học phần ứng dụng GeoGebra trong các chương trình đào tạo. (chẳng hạn

như Đại học Cần Thơ).

• Kết quả thống kê thái độ học tập của HS khi GV ứng dụng CNTT vào dạy học cho

thấy: 35/71 GV tin rằng HS thích học các bài học mà GV có tích hợp ứng dụng

CNTT. Một số GV (4/71) cho rằng HS không thích. Có được kết quả như trên là do

GV đã biết cách vận dụng công nghệ thông tin để làm cho bài giảng hấp dẫn và hiệu

quả hơn. Công nghệ thông tin có nhiều chức năng khác nhau, GV có thể áp dụng nó

để thiết kế trò chơi, câu đố để tìm hiểu và hiển thị hình ảnh của thế giới xung quanh

liên quan đến nội dung bài học. Qua đó, HS biết ý nghĩa thực tiễn của kiến thức toán

học, toán học gần với đời thực, công trình kiến trúc, hiện tượng tự nhiên thường

diễn ra theo quy luật toán học. GV đã học cách khai thác các hình ảnh liên quan đến

các nhà toán học, các yếu tố lịch sử liên quan đến toán học ở các trường trung học

thông qua Internet; từ đó không chỉ tạo hứng thú học toán cho HS mà còn tạo động

lực học tập và đam mê khoa học.

• Kết quả thống kê khảo sát GV về khả năng tiếp thu kiến thức của HS trong các bài

học với sự hỗ trợ của CNTT cho thấy: Đa số GV (64/71) tin rằng nhờ sự hỗ trợ của

công nghệ thông tin, HS tiếp thu bài tốt hơn. Tuy nhiên, có số ít GV (7/71) cho rằng

sử dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy có thể làm cho HS tiếp thu kiến thức

không đầy đủ.

- Các nghiên cứu ứng dụng GeoGebra vào hỗ trợ tình huống dạy học khái niệm:

Trần Trung &Lê Viết Minh Triết (2013) nghiên cứu trao đổi đề xuất phương án ứng

dụng GeoGebra vào dạy học các khái niệm theo con đường quy nạp ở chương Phương

pháp tọa độ trong SGK Hình học 10. Bài báo của Lê Thanh Phong (2014) trình bày kết

quả dạy học khái niệm và bài tập trong Giải tích 11 theo mô hình dạy học với sự hỗ trợ

của phần mềm GeoGebra. Nghiên cứu được tiến hành ở 2 lớp tương đương, trường Phổ

thông Phan Văn Hùng, Sóc Trăng, năm học 2012 - 2013. Kết quả nghiên cứu cho thấy

rằng việc dạy học một số yếu tố Giải tích với sự hỗ trợ phần mềm GeoGebra là khả thi.

Ngoài ra, phần mềm GeoGebra giúp học sinh dễ dàng tiếp thu các kiến thức được trình

bày, từ đó khám phá nội dung khái niệm và có thể dự đoán được kết quả của một số bài

tập. Phan Trọng Hải (2013a) nghiên cứu ứng dụng GeoGebra như một phương tiện trực

quan hỗ trợ tổ chức cho HS trung học phổ thông khám phá kiến thức “Phương trình

đường thẳng” trong chương trình Hình học 10. Nguyen Phu Loc &To Anh Hoang Nam

(2015) trình bày kết quả sử dụng GeoGebra mô hình hóa cách tiếp cận khái niệm elip

của SGK Hình học 10 nâng cao và thái độ của HS sau thực nghiệm bằng phương pháp

thực nghiệm đối chứng. Nguyen Phu Loc &Le Trong Phuong (2015) trình bày kết quả

ứng dụng GeoGebra giúp HS khám phá khái niệm Parabol và giải bài tập liên quan đến

Parabol trong chương trình Hình học 10 nâng cao bằng phương pháp thực nghiệm đối

chứng. Nguyễn Minh Hậu &Huỳnh Thị Lựu (2018) nghiên cứu sử dụng GeoGebra minh

họa mô hình dạy học chủ đề khối đa diện như một trực quan hóa nhằm nâng cao hiệu

quả dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông bằng phương pháp thực nghiệm đối

chứng.

- Các nghiên cứu ứng dụng GeoGebra vào hỗ trợ tình huống dạy học định lí: Lê

Viết Minh Triết (2013) trình bày một thử nghiệm dạy học nội dung định lí phép biến

hình theo phương pháp khám phá có khâu nêu giả thuyết với sự hỗ trợ của GeoGebra.

Kết quả ban đầu cho thấy GeoGebra là một phương tiện giúp HS tự hình thành giả thuyết

và định hướng được phương pháp kiểm chứng giả thuyết.

- Các nghiên cứu ứng dụng GeoGebra vào hỗ trợ tình huống dạy học giải bài tập:

Trần Trung et al. (2012) giới thiệu việc sử dụng phần mềm toán học động GeoGebra

làm phương tiện trực quan trong dạy học giúp HS dự đoán, chứng minh, minh họa, giới

hạn và mở rộng bài toán phép biến hình ở trường phổ thông.

- Nghiên cứu sự tiến triển lập luận chứng minh hình học dành cho đối tượng là SV

ngành Sư phạm Toán. Cụ thể, Nguyen Danh Nam (2012) nghiên cứu sự tiến triển lập

luận chứng minh hình học của HS trong môi trường hình học động, trong đó GeoGebra

là một minh họa. Căn cứ cơ sở vận dụng quy trình bốn bước giải bài toán và các cấp độ

tư duy trong giải toán hình học của Van Hiele, tác giả đưa ra các cấp độ chứng minh

hình học như sau: thông tin  Dựng hình  Bất biến  Giả thuyết  Lập luận 

Chứng minh  Đào sâu. Đồng thời tác giả cũng sử dụng các cấp độ này để đánh giá

khả năng lập luận và chứng minh với phần mềm GeoGebra. Đối tượng thực nghiệm của

tác giả chủ yếu tập trung vào SV năm thứ hai của một trường đại học sư phạm. Tran

Trung et al. (2014) cho một ví dụ minh họa tiến trình GV sử dụng GeoGebra hướng dẫn

HS phát hiện lời giải bài tập toán và trình bày kết quả khảo sát ý kiến của GV và HS về

hiệu quả của việc sử dụng GeoGebra. Bài báo cho thấy GeoGebra giúp HS có thái độ

học tập tốt hơn đặc biệt là trong việc tự học. Nguyễn Văn Thái Bình &Bùi Minh Đức

(2013) nghiên cứu xây dựng phiếu học tập động bởi phần mềm GeoGebra hỗ trợ HS

giải bài tập quỹ tích hình học bằng phép biến hình nhờ máy tính hoặc thông qua Internet

dựa vào quy trình bốn bước giải toán của Polya. Loc (2014) nghiên cứu phát triển một

mô hình giải toán với sự hỗ trợ của phần mềm động (trong đó GeoGebra là một minh

họa) có tên là PSWDS dựa trên cơ sở lí thuyết Hoạt động của Vygostky và lược đồ giải

toán của Polya. Đối tượng thực nghiệm của tác giả là học viên sau đại học. Từ mô hình

SPWG, Nguyen Phu Loc &Nguyen Thien Tuan (2015) đã phát triển thành mô hình dạy

học giải bài tập với sự hỗ trợ của GeoGebra – TSEWG. Các kết quả thực nghiệm cho

thấy rằng những mô hình này hiệu quả cho việc giảng dạy. Bùi Minh Đức (2017) nghiên

cứu sử dụng GeoGebra thiết kế mô hình thao tác động hỗ trợ dạy học giải bài tập hình

học không gian bằng phương pháp trải hình. Kết quả thực nghiệm cho thấy GeoGebra

góp phần kích thích hứng thú học tập của HS, tạo sự kết nối giữa hình học phẳng với

hình học không gian, góp phần giúp HS dễ tiếp cận các kiến thức của hình học không

gian. Nguyen Ai Quoc (2018) nghiên cứu thực nghiệm tình huống giả thực tiễn với sự

hỗ trợ của GeoGebra nhằm giúp học sinh hiểu được mối quan hệ giữa phương trình tham

số của đường thẳng trong Toán 10 và phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều

trong chương trình Vật lí 10.

Các nghiên cứu trên cho thấy rằng GeoGebra là một trong những công cụ đắc lực

cho đổi mới phương pháp dạy học và là một chủ đề đang nhận được sự quan tâm của

nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước.

Tuy nhiên, vẫn còn rất ít các nghiên cứu về cách thức dạy học tri thức mới trong

chương trình Hình học 10 với sự hỗ trợ của GeoGebra và ảnh hưởng của GeoGebra đến

việc tìm ra lời giải cho bài toán. Hơn nữa, tính năng đa biểu diễn (sự liên kết giữa biểu

diễn hình học, biểu diễn đại số và giải tích), tính năng ấn kéo, và tính năng đo lường của

GeoGebra chưa được nghiên cứu một cách sâu sắc. Vì vậy, việc nghiên cứu ứng dụng

GeoGebra vào hỗ trợ dạy học khám phá hình học 10 là cần thiết.

Hơn nữa, khi đối chiếu với ba mức độ ứng dụng phần mềm dạy học trong dạy học

Toán do tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011) đề xuất thì các nghiên cứu ở Việt Nam

chủ yếu dừng lại ở mức độ GV ứng dụng phần mềm GeoGebra để minh hoạ các hoạt

động dạy học. Câu hỏi đặt ra là: GeoGebra ảnh hưởng đến chiến lược giải quyết vấn đề

như thế nào nếu HS trực tiếp tương tác với nó.

2. Đề tài nghiên cứu

Xuất phát từ những lí do trên, đề tài nghiên cứu được chọn là: “Dạy học khám phá

hình học 10 với sự hỗ trợ của phần mềm động GeoGebra”.

3. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chung của luận án là nghiên cứu phát triển mô hình dạy học khám phá

với sự hỗ trợ của GeoGebra và nghiên cứu ảnh hưởng nó đối với HS trong việc tìm kiếm

lời giải bài tập toán.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ của luận án là nghiên cứu tìm lời giải đáp cho các câu hỏi nghiên cứu

 Câu hỏi nghiên cứu 1: GeoGebra có thật sự là phần mềm tiện dụng đối với GV

và HS ở Việt Nam?

 Câu hỏi nghiên cứu 2: Dạy học khám phá các tri thức mới trong dạy học Hình

học 10 có thể được tiến hành như thế nào với sự hỗ trợ của phần mềm động

GeoGebra?

 Câu hỏi nghiên cứu 3: Ảnh hưởng của phần mềm GeoGebra đối với HS trong

việc tìm kiếm các chiến lược giải quyết vấn đề toán học?

5. Phạm vi nghiên cứu

 Về nội dung kiến thức

Luận án tập trung nghiên cứu tổ chức dạy học khám phá các tri thức mới và dạy

học giải các bài toán trong chương trình Hình học 10, cụ thể:

- Nội dung dạy học khám phá tri thức mới bao gồm khám phá phương trình đường

tròn và khám phá phương trình đường elip. Các nội dung này được chọn bời vì chúng

là các đường cônic – một trong ba chuyên đề ứng dụng toán vào giải quyết vấn đề thực

tiễn, liên môn trong chương trình giáo dục phổ thông 2018. Ngoài ra, các bài toán đặt ra

liên quan đến các tri thức phương trình đường tròn, phương trình đường elip có sự xuất

hiện của phương trình đường thẳng. Đây là cơ hội để HS tiếp tục được thực hành giải

quyết các vấn đề toán học liên quan đến phương trình đường thẳng.

- Nội dung dạy học giải các vấn đề toán học (bài toán toán học) bao gồm (1) bài

toán lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước, (2) bài toán tìm cực trị,

(3) bài toán xác định mối liên giữa hai đối tượng hình học và (4) tìm tập hợp điểm thỏa

mãn điều kiện cho trước.

 Đối tượng khảo sát: GV, SV ngành Sư phạm Toán và HS trung học phổ thông.

 Địa bàn khảo sát và địa điểm thực nghiệm

Địa bàn khảo sát: Các tỉnh thành của khu vực Đồng bằng sông Cửu Long.

Địa điểm thực nghiệm: Các trường trung học phổ thông tại thành phố Cần Thơ.

 Thời gian thực hiện: Từ năm 2013 đến năm 2020.

6. Phương pháp nghiên cứu

Để tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi được nêu ở trên, các phương pháp nghiên cứu

sau được sử dụng: Nghiên cứu lí luận (Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các quan niệm

về lí thuyết Hoạt động, dạy học khám phá, tiềm năng của phần mềm động GeoGebra và

các mô hình dạy học khám phá với sự hỗ trợ của phần mềm động GeoGebra để hình

thành cơ sở lí thuyết cho đề tài); Phương pháp phân tích nội dung (Phân tích chương

trình, các sách giáo khoa để tìm hiểu cách tiếp cận tri thức đường tròn, Elip của các tác

giả SGK HH10 trong chương trình Toán ở trường phổ thông); Phương pháp nghiên cứu

thực tiễn (Khảo sát ý kiến của GV, HS về tính hữu dụng của GeoGebra); Phương pháp

nghiên cứu phát triển (Trên cơ sở các mô hình DHKP đã được tìm thấy, luận án phân

tích cải tiến thành các mô hình dạy học khám phá mới trong đó phần mềm động

GeoGebra đóng vai trò là một công cụ hỗ trợ đắc lực); Phương pháp phân tích sản phẩm

và phỏng vấn (Phân tích bài làm và phỏng vấn HS khi thực nghiệm các tình huống kiểm

chứng các giả thuyết được đặt ra từ kết quả phân tích nội dung); Phương pháp nghiên

cứu thực nghiệm (Triển khai thực nghiệm kiểm chứng tính hiệu quả của các mô hình

dạy học đã phát triển); Phương pháp nghiên cứu trường hợp (Quan sát, theo dõi hoạt

động khám phá của một nhóm HS cụ thể trong quá trình thực nghiệm) và Phương pháp

thống kê toán học (Phân tích các dữ liệu nghiên cứu).

7. Cấu trúc của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội dung chính của

luận án được trình bày trong 5 chương, cụ thể như sau:

Chương 1 (Cơ sở lí luận): Nội dung chương 1 trình bày tổng quan các cơ sở lí

thuyết và khung khái niệm được sử dụng trong luận án. Cơ sở lí thuyết làm nền tảng của

luận án bao gồm lí thuyết Hoạt động, dạy học khám phá. Khung khái niệm dùng trong

luận án bao gồm dạy học khái niệm, dạy học giải bài tập, môi trường, sự phản hồi. Đồng

thời, chương 1 cũng trình bày mối quan hệ giữa các khung lí thuyết này.

Chương 2 (Nội dung và phương pháp nghiên cứu): Chương này đề ra các nội dung,

phương pháp nghiên cứu, các quy trình thiết kế, công cụ và phương pháp thu thập dữ

liệu để trả lời các câu hỏi đã nêu trong phần nhiệm vụ nghiên cứu.

Chương 3 (Khảo sát ý kiến nhận định của GV và học sinh về tính hữu dụng của

phần mềm động GeoGebra): Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu khảo sát ý kiến

nhận định của GV và HS về việc sử dụng phần mềm GeoGebra nhằm trả lời cho Câu

hỏi nghiên cứu thứ 1. Các khảo sát được tiến hành trên đối tượng GV và HS thông qua

khóa giới thiệu và hướng dẫn sử dụng GeoGebra. Mục 3.1 trình bày kết quả so sánh ý

kiến nhận định của GV về mức độ dễ sử dụng, mức độ thân thiện, mức độ tiện ích và

tiềm năng của phần mềm GeoGebra trong dạy học Toán trước và sau khóa đào tạo ứng

dụng phần mềm dạy học. Mục 3.2 trình bày kết quả khảo sát GV về mức độ sử dụng các

loại phần mềm hỗ trợ dạy học Toán. Mục 3.3 trình bày kết quả khảo sát ý kiến của HS

về mức độ dễ sử dụng sau khóa học hướng dẫn sử dụng phần mềm GeoGebra.

Chương 4 (Dạy học khám phá tri thức mới với với sự hỗ trợ của GeoGebra):

Chương 4 trình bày kết quả trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu thứ 2. Trước nhất, chương

này trình bày kết quả nghiên cứu về các cơ sở đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương

trình đường tròn, Phương trình đường Elip bao gồm: (1) quan hệ thể chế dạy học Hình

học 10 đối với tri thức Phương trình đường tròn, Phương trình đường Elip; (2) quan hệ

cá nhân của HS đối với tri thức Phương trình đường tròn, Phương trình đường Elip; (3)

một số phương án dạy học Phương trình đường tròn, Phương trình đường Elip của các

đồng nghiệp. Tiếp đến, Chương 4 sẽ giới thiệu các mô hình dạy học khám phá Phương

trình đường tròn, Phương trình đường Elip với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra. Cuối

cùng, chương này trình bày kết quả thực nghiệm các mô hình đã được giới thiệu.

Chương 5 (Dạy học khám phá giải toán với sự hỗ trợ của phần mềm động

GeoGebra): Nội dung chương 5 trình bày các kết quả nghiên cứu nhằm trả lời cho câu

hỏi nghiên cứu 3. Đầu tiên, mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm với sự hỗ trợ

của phần mềm GeoGebra được phát triển dựa trên các mô hình giải toán đã được công

bố trước bởi các nhà khoa học. Kết quả thực nghiệm mô hình này và sự ảnh hưởng của

GeoGebra đối với HS trong việc tìm kiếm lời giải được phân tích, làm rõ theo quan điểm

của lí thuyết Hoạt động. Từ những hạn chế của HS trong quá trình giải toán theo quy

trình của G. Polya, mô hình giải toán bằng phân tích lùi với sự hỗ trợ của GeoGebra

được đề xuất nhằm cải tiến quy trình giải toán của G. Polya. Kết quả thực nghiệm cho

thấy mô hình này là khả thi.

8. Những luận điểm cần bảo vệ

- GeoGebra là tiện dụng đối với GV và HS ở Việt Nam.

- Các mô hình DHKP tri thức mới, các mô hình DHKP giải bài tập toán với sự hỗ

trợ của phần mềm GeoGebra được đề nghị trong luận là khả dụng trong giáo dục toán

học ở trường phổ thông.

- Với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra, HS phát hiện nhiều chiến lược giải toán

hơn so với trong môi trường giấy bút.

9. Những đóng góp chính của luận án về khoa học và thực tiễn

Luận án này có những đóng góp mới về khoa học như sau:

1. Tổng hợp, phân tích làm rõ các lí luận liên quan đến dạy học khám phá. Phân

tích mối liên hệ giữa dạy học khám phá với Lí thuyết hoạt động và lí thuyết tiếp cận

công cụ là phần mềm động GeoGebra trong dạy học Toán. Kết quả phân tích cho thấy

Lí thuyết hoạt động là cơ sở lí luận và là khung lí thuyết tham chiếu hữu dụng không chỉ

dùng để phân tích hoạt động dạy của GV và hoạt động học của HS mà còn dùng để phân

tích năng lực công cụ trong dạy học toán.

2. Trong phạm vi tiến trình dạy học toán ở trường phổ thông, ngày nay một tiết

dạy có thể được tiến hành với các hoạt động: khám phá, thực hành – luyện tập và vận

dụng. Kết nối về phương diện này, luận án đã đi sâu vào phần khám phá và thực hành

luyện tập. Cụ thể, luận án đã thiết lập từ các mô hình đã có để phát triển, tạo ra ba mô

hình dạy học khám phá kiến thức mới (bao gồm dạy học khám phá phương trình đường

tròn, dạy học khám phá phương trình elip và dạy học khám phá mối quan hệ giữa các

thành phần bán trục lớn, bán trục nhỏ và bán tiêu cự của elip) và bốn mô hình giải quyết

vấn đề toán học (bao gồm mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm với GeoGebra,

mô hình sử dụng GeoGebra hỗ trợ quy trình giải toán G. Polya, mô hình giải toán quỹ

tích với sự hỗ trợ của GeoGebra, Mô hình giải toán bằng phân tích lùi với sự hỗ trợ của

GeoGebra) với sự hỗ trợ của GeoGebra.

3. Đề tài đã khảo sát GV để làm rõ nhận định GeoGebra là tiện dụng đối với GV

và HS ở trường trung học. Khóa đào tạo GV về dạy học toán với GeoGebra, hướng dẫn

HS về học tập toán với GeoGebra cũng đã được triển khai trong đề tài. Kết quả khóa

đào tạo đã làm gia tăng năng lực sử dụng phần mềm động GeoGebra của GV trong

hướng dẫn các hoạt động toán học ở nhà trường phổ thông. Đối với HS, khóa hướng dẫn

về sử dụng GeoGebra đã tạo điều kiện ban đầu cho HS phát triển được năng lực sử dụng

phương tiện, công cụ trong học toán.

4. Quan điểm dạy học lấy người học làm trung tâm được xem như là một định

hướng đúng đắn đối với giáo dục trong và ngoài nước. Cụ thể hóa, người học cần được

tham gia vào các hoạt động nhằm thúc đẩy sự tích cực, tự giác, chủ động trong việc lĩnh

hội kiến thức. Về mặt này, luận án đã sử dụng một phương pháp dạy học tích cực – dạy

học khám phá để tác động vào học sinh. Các học sinh đã tích cực khám phá kiến thức

mới (phương trình đường tròn, phương trình elip và mối quan hệ giữa các thành phần

của elip) cũng như tìm tòi, phát hiện ra các chiến lược giải quyết cho 5 dạng toán trong

Hình học 10.

5. Trong mối quan hệ với việc đổi mới Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán

2018 và SGK Toán, luận án đáp ứng hai phương diện: sử dụng phương pháp dạy học

tích cực và ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học – cụ thể là phần mềm GeoGebra

trong dạy học Toán. Đề tài cũng đã thúc đẩy cho HS được năng lực giải quyết vấn đề

toán học và năng lực sử dụng phương tiện công cụ để học toán và đánh giá các năng lực

này ở HS bằng việc xây dựng Rubric đánh giá năng lực khám phá tri thức mới đối với

HS.

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN

Cơ sở lí luận cho luận án bao gồm lí thuyết về học tập khám phá (discovery

learning - AL), lí thuyết Hoạt động (Activity Theory - AT). Trong chương này, các quan

niệm của các nhà giáo dục về dạy học khám phá, các kiểu dạy học khám phá, các mô

hình dạy học khám phá và các khái niệm thuộc về lí thuyết Hoạt động sẽ được phân tích,

hệ thống. Ngoài ra, các chức năng của GeoGebra dùng trong luận án cũng được giới

thiệu và làm rõ. Để thuận tiện cho việc theo dõi, chúng tôi chỉ phân tích, tổng hợp một

số nội dung liên quan của các lí thuyết.

1.1 Lí thuyết Hoạt động

Lí thuyết Hoạt động có nguồn gốc từ triết học cổ điển Đức của Kant và Hegel, chủ

nghĩa duy vật biện chứng của Marx và mối quan hệ lịch sử xã hội và văn hóa xã hội của

các nhà tâm lí học người Nga Lev Vygotsky (1930s), Alexey Leont'ev (1975) và Yrjö

Engeström (1987). Lí thuyết Hoạt động gắn liền với lịch sử phát triển của hoạt động và

vai trò của các công cụ trung gian bên trong nó (Nguyễn Phú Lộc, 2016; Abboud-

Blanchard & Cazes, 2012; Vandebrouck et al., 2012)

Trong lí thuyết Hoạt động, hoạt động là sự tương tác của chủ thể hành động (con

người) với thế giới (Kaptelinin & Nardi, 1997). Sự tương tác này được mô tả như một

quá trình liên quan đến chủ thể và đối tượng. Theo Vandebrouck et al. (2012), điều cốt

yếu của lí thuyết Hoạt động là sự biến đổi biện chứng tâm lí và hành vi của các cá nhân

trong quá trình hoạt động. Điều này xuất phát từ thực tế rằng con người không chỉ phản

ứng với các điều kiện sống mà con người có thể thay đổi các điều kiện làm phương tiện

trung gian cho các hoạt động của họ. Engeström (1987) cho rằng việc tham gia vào hoạt

động tập thể không chỉ làm phát triển tiềm năng hoạt động mà còn mở ra một vùng phát

triển gần (Zone of Proximal Development - ZPD) cho cá nhân người học tự điều chỉnh

và thay đổi. Do đó, nghiên cứu về hoạt động và những thay đổi của nó là trọng tâm để

hiểu cách các cá nhân học.

Có hai khía cạnh quan trọng tạo ra sự khác biệt giữa tương tác trong hoạt động và

các loại tương tác khác là: (a) chủ thể của hoạt động có nhu cầu, cần được đáp ứng thông

qua sự tương tác với thế giới, và (b) hoạt động và chủ thể xác định lẫn nhau: hoạt động

làm biến đổi cả chủ thể và đối tượng và ngược lại đặc điểm của đối tượng và chủ thể

ảnh hưởng đến hoạt động. Chẳng hạn, trong hoạt động giải toán, bản chất bài toán và

khả năng người giải sẽ quyết định đến tiến trình giải; mặt khác, quá trình giải toán cũng

cho biết năng lực giải toán của chủ thể và làm biến đổi chủ thể (Nguyễn Phú Lộc, 2016;

Abboud-Blanchard & Cazes, 2012; Kaptelinin & Nardi, 1997; Vandebrouck et al.,

2012).

1.1.1. Hệ thống của một hoạt động

Theo Lev S. Vygotsky (1986, 2012), một hoạt động bao gồm chủ thể, đối tượng

và công cụ (Hình 1.1).

Công cụ

Chủ thể Đối tượng

Hình 1.1. Mô hình cơ bản của hoạt động theo Lev S. Vygostky (1986)

Chủ thể là một người hay một nhóm người cộng tác với nhau trong hoạt động.

Hoạt động do chủ thể thực hiện. Đối tượng là cái mà con người cần làm ra. Đối tượng

của hoạt động có thể ở dạng vật chất hay tinh thần, nó được biến đổi hay thay đổi tùy

theo mục đích của hoạt động. Đối tượng của hoạt động cũng chính là động cơ thúc đẩy

chủ thể hành động nhằm làm thay đổi đối tượng, biến nó thành những sản phẩm hay tiếp

nhận nó chuyển vào đầu óc của mình, tạo nên một cấu tạo tâm lí mới. Hoạt động bao

giờ cũng là hoạt động có đối tượng. Công cụ là một phương tiện trung gian mà chủ thể

sử dụng khi tác động lên đối tượng. Nó có thể là đối tượng vật chất (ví dụ: máy tính điện

tử, máy tính cầm tay, …) hay đối tượng phi vật chất (ví dụ: tư duy, ngôn ngữ, kí hiệu,

…). Một phương tiện trung gian được biến đổi thành công cụ khi chủ thể sử dụng để

giải quyết một nhiệm vụ. Công cụ được tạo ra và thay đổi trong quá trình phát triển của

hoạt động và bị ảnh hưởng bởi yếu tố văn hóa, lịch sử của việc sử dụng chúng. (Cole &

Engeström, 1993; Nguyễn Phú Lộc, 2016).

1.1.2. Cấu trúc của một hoạt động

Các thành phần của một hoạt động được Leont’ev (1978) cấu trúc lại thành ba bậc:

hoạt động gắn liền với động cơ (bậc 1), hoạt động được hợp thành bởi nhiều hành động,

hành động gắn liền với mục tiêu (bậc 2) và hành động bao gồm nhiều thao tác với công

cụ, thao tác công cụ gắn liền với điều kiện sử dụng công cụ (bậc 3) (Nguyễn Phú Lộc,

2016; Podolskiy, 2012).

Sơ đồ Hình 1.2 bên dưới được Kaptelinin &Nardi (2012) điều chỉnh từ công trình

nghiên cứu của Leont’ev (1978) để làm rõ các thứ bậc của một hoạt động.

Mục đích (Động cơ) Hoạt động

Mục tiêu Hành động 1 Hành động 2

Điều kiện Thao tác 1.1 Thao tác 1.2 Thao tác 2.1

Hình 1.2. Sơ đồ các thứ bậc của một hoạt động Hoạt động gắn liền với động cơ. Không có hoạt động nào mà không có động cơ;

hoạt động “không động cơ” không phải là hoạt động thiếu động cơ mà là hoạt động với

một động cơ ẩn giấu về mặt chủ quan và về mặt khách quan (Nguyễn Phú Lộc, 2016).

Động cơ là những bộ phận nghị lực cấu thành hoạt động, nó có thể bắt nguồn từ sự mong

muốn, ý định, khát vọng, nhu cầu, … Hoạt động là một hệ thống bao gồm một hành

động đơn lẻ hay một chuỗi hành động thực hiện hoạt động. Hành động gắn liền với mục

tiêu cụ thể hoặc nhiệm vụ phải hoàn thành để tiến tới đạt được mục đích của hoạt động.

Khởi đầu bất cứ hành động nào, mục tiêu phải được xác định rõ. Chấm dứt hành động

là việc đánh giá kết quả của hành động theo mục tiêu đã được thiết lập. Mối quan hệ

giữa mục tiêu với hành động cũng giống như mối quan hệ giữa động cơ với hoạt động.

Khi hành động, chủ thể không chỉ trả lời câu hỏi “Cái gì đạt được?” mà còn phải trả lời

cho câu hỏi “bằng cách nào để đạt được nó”. Vì vậy, hành động gồm nhiều thao tác.

Thao tác gắn liền với điều kiện. Thao tác được quy định bởi hoàn cảnh vật chất khách

quan của việc đạt mục tiêu, nó không do tự thân mục tiêu quy định. Thao tác thoạt đầu

là một hành động có ý thức, sau một thời gian thao tác trở thành hành động vô thức (tự

động hóa). Nếu hành động liên quan với mục tiêu thì thao tác liên quan đến điều kiện.

Giả sử rằng mục tiêu vẫn như cũ, nhưng điều kiện trong mục đích được đề ra lại thay

đổi; khi đó chỉ có thành phần thao tác của hành động thay đổi (Albrechtsen et al., 2001;

Kuutti, 1996; Nussbaumer, 2012; Leont’ev, 1978).

1.1.3. Quá trình phát sinh công cụ

1.1.3.1. Khái niệm công cụ

Trong lí thuyết Hoạt động, L. S. Vygotsky (1978) lưu ý rằng công cụ tạo thành

“một yếu tố trung gian mới nằm giữa các đối tượng và các hoạt động tâm lí hướng vào

nó” (xem Hình 1.1). Một công cụ, đã được phát triển trong một bối cảnh văn hóa và lịch

sử cụ thể, có thể là một dụng cụ vật chất, chẳng hạn như một cây vĩ cầm, một máy tính

hoặc một máy vi tính, mà còn là một công cụ nhận thức phi vật chất như ngôn ngữ hoặc

một biểu tượng đại số. Một “hoạt động công cụ” theo Vygotsky (1978) bao gồm một

vấn đề cần được giải quyết, các quá trình nhận thức liên quan đến giải quyết, và quá

trình nhận thức các công cụ được sử dụng để thực hiện và phối hợp các quá trình này.

Điều cần quan tâm ở đây là vai trò hoạt động của các phương tiện vật chất hay còn gọi

là dụng cụ, nó ảnh hưởng đến quá trình nhận thức. Quan điểm cho rằng loại phương tiện

vật chất (dụng cụ) này không thụ động “chờ đợi để được sử dụng” là quan trọng khi xem

xét sử dụng công cụ trong dạy và học.

Tiếp cận theo quan điểm này, Rabardel (1995) nhấn mạnh sự khác nhau giữa dụng

cụ và công cụ. Dụng cụ là một dụng cụ vật chất như thước kẻ, bút viết, giấy viết, phần

mềm, … được sử dụng bởi chủ thể để thực hiện một nhiệm vụ. Công cụ là một khái

niệm thuộc về tâm lí “khi chủ thể được giới thiệu một dụng cụ, công cụ tương ứng không

phải được tồn tại ngay lập tức. Dụng cụ này chỉ trở thành công cụ khi chính chủ thể có

thể chiếm lĩnh làm chủ và đã thích nghi nó trong một hoặc nhiều tình huống và tích hợp

nó trong các hoạt động của mình” (Verillon & Rabardel, 1995; Rabardel, 1995).

Theo Paul Drijvers &Trouche (2008), công cụ được cấu thành từ hai yếu tố “dụng

cụ” và “dạng thức” theo công thức “dụng cụ + dạng thức sử dụng = công cụ”.

- Dụng cụ: là các phương tiện mang tính vật chất hay tính biểu tượng như máy tính

bỏ túi, phần mềm dạy học, … được tạo thành nhờ chủ thể hoặc các chủ thể khác;

- Dạng thức sử dụng dụng cụ (khái niệm này được đề cập chi tiết ở mục 1.1.3.2,

trang 27): Một hay nhiều dạng thức (các dạng thức quản lí dụng cụ và dạng thức hành

động dụng cụ) kết hợp với các dụng cụ trên. Các dạng thức này là kết quả do chính chủ

thể xây dựng nên một cách độc lập hoặc nhờ sự lĩnh hội các dạng thức sử dụng mang

tính xã hội.

1.1.3.2. Quá trình phát sinh công cụ (hay còn được gọi là quá trình biến đổi một dụng

cụ trở thành một công cụ)

Ta có thể đưa một phương tiện hay một dụng cụ cho người sử dụng, tuy nhiên

chính người sử dụng mới là chủ thể xây dựng chúng thành các công cụ hữu dụng cho

mình thông qua việc sử dụng các dụng cụ đó trong các tình huống cụ thể (Hình 1.3).

Hình 1.3. Từ dụng cụ trở thành công cụ Theo nghĩa này, ta có thể hiểu rằng ta không thể đưa một công cụ cho một chủ thể

mà nó được chính chủ thể sẽ xây dựng nên. Rabardel (1995) gọi tiến trình biến đổi từ

một dụng cụ trở thành một công cụ hữu dụng được gọi là quá trình phát sinh công cụ

(tiếng Anh là instrumental genesis). Artigue &Lagrange (1998) cho rằng: “một dụng cụ

không trở thành một công cụ ngay lập tức thậm chí ngay cả khi chủ thể tìm cách coi nó

như thế. Trước tiên, nó chỉ là một dụng cụ… Chỉ trong sự tiến triển của mối quan hệ

giữa chủ thể với đối tượng của hoạt động thì công cụ mới được hình thành. Sự tiến triển

này được gọi là quá trình phát sinh công cụ […]. Các hoạt động với công cụ sẽ ảnh

hưởng lên cách thức tiếp cận tri thức và đồng thời ảnh hưởng lên các tri thức được xây

dựng nhờ các hoạt động này. […] Một cách tất yếu, điều đó dẫn đến quan hệ biện chứng

giữa sự phát sinh công cụ và việc học môn Toán”. Quá trình phát sinh công cụ liên quan

đến đồng thời dụng cụ và các dạng thức sử dụng dụng cụ này. Một dụng cụ trở thành

một công cụ hữu dụng sau một quá trình phát sinh công cụ và suốt quá trình đó, người

học xây dựng nên những dạng thức tâm lí (Guin & Trouche, 1998, 2002; Rabardel,

1995; Trouche, 2000).

Khái niệm dạng thức (hay còn được tác giả Nguyễn Phú Lộc (2014) gọi là Sơ đồ

nhận thức) được Vergnaud (1989) đã xây dựng dựa trên cơ sở khái niệm dạng thức do

Piaget khởi xướng: Một dạng thức là một tổ chức bất biến của các hành xử của một chủ

thể cho một lớp các tình huống nào đó (Vergnaud, 1989, p. 136). Dạng thức được cấu

thành từ bốn thành tố: (1) Các tiên liệu cho các mục đích và mục đích bộ phận cần đạt;

(2) Các quy tắc hành động trong tình huống, cách tiếp nhận thông tin và cách điều khiển

trong tình huống; (3) Các bất biến thao tác tạo thành các quan niệm hoá cần thiết cho

hành động; và (4) Khả năng suy diễn trong tình huống (Vergnaud, 2013, p. 47). Theo

Artigue &Lagrange (1998), trong các tình huống cụ thể, trước nhất các dạng thức sẽ góp

phần hiểu tình huống (chức năng tri thức). Tiếp theo, chúng góp phần phản hồi, biến

đổi, giải quyết (chức năng thực hành). Cuối cùng, chúng góp phần tổ chức và điều khiển

hành động (chức năng điều khiển).

Khái niệm dạng thức sử dụng được Verillon &Rabardel (1995) xây dựng trên cơ

sở khái niệm dạng thức của Vergnaud-Piaget (xem Vergnaud (2009)). Quy trình giải

một bài toán (thực hiện một nhiệm vụ toán học) phụ thuộc vào trình độ kiến thức toán

học của chủ thể (người giải toán) và mặt khác, phụ thuộc vào các dụng cụ mà chủ thể

sử dụng trong quá trình giải toán. Quá trình sử dụng các dụng cụ để giải toán, theo một

cách nào đó, chủ thể bị ràng buộc bởi việc xây dựng các cấu trúc cho phép tổ chức các

hành động của chủ thể liên quan đến dụng cụ được sử dụng. Các cấu trúc này được

Verillon &Rabardel (1995) gọi là dạng thức sử dụng (utilization schemes).

Các dạng thức sử dụng là các dạng thức cho phép chủ thể tổ chức các hoạt động

với dụng cụ để hoàn thành một nhiệm vụ được giao. Các dạng thức tạo thành một cơ sở

ổn định cho hoạt động của chủ thể. Các dạng thức sử dụng có thể được coi như các bất

biến mang tính đại diện và tính thao tác tương ứng với một lớp tình huống các hoạt động

sử dụng công cụ (Rabardel, 1995, 1999). Có hai loại dạng thức sử dụng phân biệt sau

đây liên quan đến hai phương diện của hoạt động1 (Verillon & Rabardel, 1995; Rabardel,

1995; Trouche, 2000):

• Các dạng thức quản lí dụng cụ (utility schemes): dạng thức này hướng đến các

1 Hai phương diện của một hoạt động (Nguyễn Phú Lộc, 2016):

• Quá trình xuất tâm (quá trình đối tượng hóa): chủ thể chuyển năng lực của mình thành sản phẩm hoạt động. Nói cách khác, xuất

tâm có nghĩa là tâm lí của con người (chủ thể) được bộc lộ, được khách quan hóa trong quá trình làm ra sản phẩm.

• Quá trình nhập tâm (quá trình chủ thể hóa), điều này có nghĩa là khi hoạt động con người chuyển từ phía khách thể vào bản thân

mình những quy luật, bản chất của dụng cụ để tạo nên tâm lí, ý thức, nhân cách của bản thân bằng cách chiếm lĩnh dụng cụ.

kĩ thuật thao tác dụng cụ. Ví dụ, các dạng thức hướng đến kĩ thuật thao tác

máy tính cầm tay như bật máy, chọn các chế độ hay điều chỉnh độ tương phản

của màn hình. Các dạng thức hướng đến kĩ thuật thao tác GeoGebra như chọn

chế độ ẩn hoặc hiện cửa sổ hình học, cửa sổ đại số, trường nhập lệnh, hệ trục

tọa độ, …

• Các dạng thức hành động với dụng cụ (instrumented actions): các dạng thức

này hướng tới việc thực hiện các nhiệm vụ. Trong đó, các dụng cụ sẽ được sử

dụng như một phương tiện để thực hiện chúng.

Việc sử dụng các dụng cụ là phần mềm (chẳng hạn GeoGebra) sẽ đòi hỏi HS phải

xây dựng các dạng thức sử dụng để thích ứng và sử dụng hiệu quả chúng thông qua các

nhiệm vụ cụ thể, từ đó khám phá và xây dựng các kiến thức mới.

Môi trường hình học động (chẳng hạn GeoGebra, Cabri, …) chứa nhiều dụng cụ

khác nhau cho phép người học tạo ra và biến đổi các đối tượng toán học (hình học, đại

số, giải tích, …), đồng thời khám phá mối quan hệ giữa chúng. Người học phát triển các

dạng thức sử dụng bằng cách sử dụng các dụng cụ này, trong đó các tính năng kéo

(dragging) và đo lường (measuring) được nghiên cứu nhiều nhất. Ấn kéo là một tính

năng để khám phá các tính chất của các đối tượng toán học đặc biệt là hình hình học

(Lopez-Real & Leung, 2006).

1.1.3.3. Quá trình chủ thể hóa và quá trình cá thể hóa dụng cụ

Theo Trouche (2020); Rabardel (1995); Trouche (2000), đối với một chủ thể, quy

trình của sự biến đổi dụng cụ trở thành công cụ gắn liền với hai phương diện: chủ thể

hóa công cụ (intrumentation process) và cá thể hóa công cụ (instrumentalisation

process). Hai phương diện này chính là sự phát triển của dạng thức quản lí dụng cụ và

dạng thức hành động với dụng cụ. Chúng gắn bó mật thiết với nhau và được Trouche

(2020, 2000) bằng sơ đồ Hình 1.4.

Chủ thể hoá dụng cụ (dụng cụ → chủ thể): Hướng đến chủ thể, các đặc tính và

ràng buộc của dụng cụ ảnh hưởng đến hành động và suy nghĩ của HS trong

quá trình giải quyết vấn đề. Tiến trình này dẫn đến sự tiến triển các dạng thức

sử dụng dụng cụ của chủ thể. Sự tiến triển này, cơ bản là quá trình thích nghi,

nó bao gồm sự đồng hóa các dạng thức sử dụng dụng cụ mới vào các dạng

thức sử dụng đã được hình thành trước đó liên quan đến các dụng cụ khác và

sự điều ứng dạng thức sử dụng đã có để có một dạng thức sử dụng mới. Chủ

thể hóa dụng cụ sẽ cho phép chủ thể phát triển các hoạt động trong khi tính

đến các ràng buộc của dụng cụ. Ta có thể kể đến các loại ràng buộc sau đây:

• Các ràng buộc nội tại liên quan đến đặc tính chất vật lí của dụng cụ:

bộ vi xử lí của máy tính điện tử, độ phân giải của màn hình, số chữ số

hiển thị sau dấu phẩy trong cách viết số;

• Các ràng buộc điều khiển liên quan đến tổ chức cũng như cách thức

sử dụng (ví dụ như cú pháp) của các bộ phận điều khiển (ví dụ như

các phím điều khiển) có sẵn;

• Các ràng buộc tổ chức liên quan đến cách tổ chức bàn phím, màn hình,

hay nói cách khác đó là cách thức mà dụng cụ hướng tới tổ chức các

hành động.

Cá thể hoá dụng cụ (chủ thể → dụng cụ): Hướng đến dụng cụ, kiến thức của HS

ảnh hưởng đến cách thức sử dụng dụng cụ. Tiến trình này dẫn đến việc cá

nhân hóa, biến đổi nó và có thể trao cho nó các chức năng, công dụng mà

một trong số đó không được tiên liệu trước bởi các nhà sản xuất dụng cụ này.

Việc cá nhân hóa dụng cụ không làm thay đổi cấu trúc vật chất của dụng cụ

mà chỉ làm giàu thêm chức năng, công dụng của dụng cụ. Quá trình này có

thể diễn ra theo nhiều giai đoạn: giai đoạn khám phá dụng cụ, lựa chọn các

chức năng mà chủ thể thấy hữu ích cho các hoạt động của mình nhất; giai

đoạn xây dựng các chức năng riêng, được cá nhân hóa cho dụng cụ; giai đoạn

biến đổi dụng cụ. Cá thể hóa dụng cụ là quy trình làm cho dụng cụ của một

chủ thể khác với các dụng cụ cùng loại của các chủ thể khác.

Quá trình chủ thể hóa dụng cụ và cá thể hóa dụng cụ chính là sự phát triển của

dạng thức hành động với dụng cụ và dạng thức quản lí dụng cụ (Rabardel, 1995;

Trouche, 2000).

Công cụ có thể được hiểu là một thực thể hỗn hợp tạo thành bởi dụng cụ hoặc một

phần của dụng cụ và bởi các dạng thức sử dụng. Nó là kết quả của sự xây dựng các dạng

thức của chủ thể trong một hoạt động thực hiện một kiểu nhiệm vụ cho trước. Một dụng

cụ có thể ứng với nhiều công cụ tùy thuộc vào các cách thức sử dụng của chủ thể.

• Kiến thức • Quy tắc, cách thức làm việc

Chủ thể

Dụng cụ • Các ràng buộc, kĩ thuật thao tác • Chức năng, công dụng

Chủ thể hóa dụng cụ

Cá thể hóa dụng cụ

Công cụ giải quyết một nhiệm vụ

• Thành phần dụng cụ • Sự tiến triển của các dạng thức sử dụng dụng cụ trong

suốt hoạt động của chủ thể

Hình 1.4. Sơ đồ sự phát sinh công cụ (Trouche, 2000, 2018, 2020)

1.1.3.4. Ví dụ minh họa

Xét nhiệm vụ: Sử dụng GeoGebra xác định điểm 𝐻 là hình chiếu vuông góc của

điểm 𝐶 lên đường thẳng (𝐴𝐵) (với 𝐶 là điểm không thuộc đường thẳng 𝑑). Đối với

nhiệm vụ này, các chiến lược sau có thể xuất hiện cùng với các dạng thức tương ứng:

Chiến lược 1 (dạng thức 1): Đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường

thẳng cho trước (Bảng 1.1).

Các công cụ

Dạng thức quản lí dụng cụ (bị ràng buộc bởi dụng cụ)

- Chọn điểm và đường vuông góc; : Đường

- vuông góc;

- Chọn 2 đối tượng riêng biệt hoặc chỗ giao của chúng. - : giao điểm của hai đối tượng

: Ẩn đường

- Chọn các đối tượng cần ẩn chúng, sau đó chọn kiểu cần thay đổi rồi chọn áp dụng những thay đổi đó. - thẳng (d)

Bảng 1.1. Dạng thức 1 (đường thẳng đi qua điểm và vuông góc) Kiến thức toán học (Dạng thức hành động với dụng cụ) - Dựng đường thẳng 𝑑 đi qua 𝐶 và vuông góc với đường thẳng (𝐴𝐵); - Dựng giao điểm 𝐻 của đường thẳng (d) và đường thẳng (AB) - Ẩn các đối tượng không cần thiết, giữ lại điểm 𝐶, điểm 𝐻 và đoạn thẳng 𝐴𝐵 - Di chuyển để kiểm tra : Di chuyển -

- Chọn và ấn kéo để di chuyển đối tượng

Chiến lược 2 (dạng thức 2): Đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đi qua 1

điểm và cho trước (Bảng 1.2).

Bảng 1.2. Dạng thức 2 (đường thẳng vuông góc và đi qua điểm)

Các công cụ

Dạng thức quản lí dụng cụ (bị ràng buộc bởi dụng cụ)

- Chọn đường vuông góc và : Đường

điểm đi qua; - vuông góc

- Chọn 2 đối tượng riêng biệt hoặc chỗ giao của chúng : giao điểm đối hai

- của tượng

: Ẩn/ hiện

- Chọn các đối tượng cần ẩn chúng, sau đó chọn kiểu cần thay đổi rồi chọn áp dụng những thay đổi đó. - đối tượng

Kiến thức toán học (Dạng thức hành động với dụng cụ) - Dựng đường thẳng 𝑑 vuông góc với đường thẳng (𝐴𝐵) và đi qua 𝐶; - Dựng giao điểm 𝐻 của đường thẳng (𝑑) và đường thẳng (𝐴𝐵) - Ẩn các đối tượng không cần thiết, giữ lại điểm 𝐶, điểm 𝐻 và đoạn thẳng 𝐴𝐵 - Di chuyển để kiểm tra - : Di chuyển

- Chọn và ấn kéo để di chuyển đối tượng

Chiến lược 3 (dạng thức 3): Đường kính và dây cung (Bảng 1.3).

Bảng 1.3. Dạng thức 3 (đường kính và dây cung)

Các công cụ

Dạng thức quản lí dụng cụ (bị ràng buộc bởi dụng cụ) - Xác định tâm và 1 điểm trên đường tròn

Kiến thức toán học (Dạng thức hành động với dụng cụ) - Dựng đường tròn tâm C và đi qua điểm A : Đường tròn khi biết tâm và 1 điểm trên đường tròn;

: giao điểm của hai - Chọn 2 đối tượng riêng biệt hoặc chỗ giao của chúng. - đối tượng

- Chọn 2 điểm, đoạn thẳng - : Trung điểm

: Ẩn/ hiện đối tượng

- Dựng giao điểm D của đường thẳng (AB) với đường tròn - Dựng trung điểm H của AD - Ẩn các đối tượng không cần thiết, giữ lại điểm 𝐶, điểm 𝐻 và đoạn thẳng 𝐴𝐵 - Di chuyển để kiểm tra - : Di chuyển - Chọn các đối tượng cần ẩn chúng, sau đó chọn kiểu cần thay đổi rồi chọn áp dụng những thay đổi đó. - Chọn và ấn kéo để di chuyển đối tượng

Có thể nói rằng, các chiến lược 1 và 2 xuất hiện do ảnh hưởng từ kiến thức đã có

cũng như thói quen (sử dụng thước) của HS đối với nhiệm vụ này bằng thước thẳng

trong môi trường giấy bút (tiến trình cá thể hóa). Trong khi, chiến lược 3 xuất hiện do

ảnh hưởng từ kiến thức HS tiếp thu được sau khi học về tính chất liên hệ giữa đường

kính và dây cung của một đường tròn (tiến trình cá thể hóa). Tùy vào sự lựa chọn các

dạng thức để thực hiện nhiệm vụ mà GeoGebra sẽ trở thành công cụ hữu dựng riêng cho

mỗi cá nhân HS. Hơn nữa, sự xuất hiện các dạng thức 1, 2 và 3 là do ảnh hưởng bởi đặc

tính của GeoGebra. Cụ thể, GeoGebra không cung cấp sẳn công cụ dựng điểm 𝐻 thỏa

mãn nhiệm vụ đặt ra. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ này, HS có thể tạo ra công cụ xác

định một điểm là hình chiếu của một điểm bất kì lên đường thẳng riêng cho mình bằng

dụng cụ “tạo công cụ mới” theo các bước như sau: Chọn dụng cụ ; Tại

thẻ “Đối tượng xuất ra”, chọn điểm H; Tại thẻ “Đối tượng nhập vào”, chọn điểm A và

điểm B; Tại thẻ “tên & biểu tượng”, đặt tên cho công cụ mới là “công cụ xác định hình

chiếu điểm lên đường thẳng”; Nhấn hoàn tất. Khi đó, GeoGebra của HS này phong phú

hơn sơ với GeoGebra “nguyên bản”. HS đã tạo cho mình một công cụ trợ giúp học hình

học hiệu quả hơn so với các HS khác nhờ vào công cụ GeoGebra đặc thù của các nhân

và qua đó cũng phát triển các kiến thức toán học của mình trong quá trình hình thành

công cụ mới. Quá trình phát sinh công cụ đối với GeoGebra có thể được mô tả như hình

Hình 1.5.

Hình 1.5. Quá trình phát sinh công cụ GeoGebra đối với HS

1.2 Dạy học khám phá

1.2.1. Khái niệm khám phá

Theo từ điển Tiếng Anh (từ điển Oxford University Press): động từ “discover” có

nghĩa là “khám phá, tìm ra”. Danh từ “discovery” có nghĩa là “quá trình (hoặc hoạt

động) phát hiện ra, tìm ra một điều gì đó” hoặc “một điều gì đó được phát hiện ra, được

tìm ra”. Từ điển Tiếng Việt (Hoàng Phê, 2003) giải nghĩa động từ khám phá là “tìm ra,

phát hiện ra cái ẩn giấu kín, bí mật”.

Dewey (1938) đưa ra ý kiến cho rằng quá trình tìm hiểu một cách chủ động, kiên

trì và kĩ lưỡng về một niềm tin hoặc một dạng kiến thức nào đó từ những vốn kiến thức

sẵn có và những kết luận gần với kiến thức đó được gọi là khám phá. Theo J. Bruner

(1961) thì khám phá là hoạt động tìm ra kiến thức từ khi chưa biết đến biết bởi chính

người học. Ông cũng cho rằng khám phá không nhất thiết phải là hoạt động tìm ra một

điều gì đó mà loài người chưa biết mà chỉ có thể đơn giản là hoạt động tìm thấy, phát

hiện ra những kiến thức mới đối với bản thân bằng tư duy của chính người học.

Ở Việt Nam, thuật ngữ khám phá trong các công trình của Lê Võ Bình (2007) và

Bùi Văn Nghị (2011) có nghĩa là quá trình hoạt động và tư duy nhằm phát hiện mối liên

hệ (chẳng hạn tính chất, quy luật, …) giữa các sự vật, hiện tượng. Trong quá trình này,

chủ thể tiến hành quan sát, phân tích, đánh giá, nêu giả thuyết và suy luận. Từ đó phát

hiện ra những điều chưa mà chủ thể từng biết trước đây.

Tiếp cận theo quan điểm của lí thuyết Hoạt động của Vygotsky (1993), thuật ngữ

khám phá được hiểu là một hoạt động. Hoạt động khám phá được cấu thành bởi ba thành

tố: đối tượng, chủ thể và công cụ. Chủ thể là người học, sử dụng công cụ tác động lên

đối tượng là các sự vật, hiện tượng để đạt được mục đích là phát hiện ra cái chưa biết

(hay kiến thức mới). Trong đó, các công cụ được dùng bao gồm công cụ thuộc về tâm lí,

tư duy như quan sát, phân tích, đánh giá, nêu giả thuyết, suy luận, ngôn ngữ, hệ thống kí

hiệu, biểu tượng toán học và các công cụ thuộc về phương tiện vật chất như phần mềm,

máy tính, …

1.2.2. Khái niệm dạy học khám phá

Bruner (1961), người được biết đến như là cha đẻ của phương pháp DHKP cho

rằng học là một quá trình mang tính chủ quan. Ông nhấn mạnh rằng, qua quá trình đó,

“người học hình thành nên các ý tưởng hoặc khái niệm mới dựa trên cơ sở vốn kiến thức

sẵn có của mình bằng cách khám phá trong môi trường học tập” (J. Bruner, 1961). Ông

khẳng định rằng bắt đầu ngay từ khi mới đến trường, người học đã cần phải biết cấu trúc

cơ bản của kiến thức hơn là biết các số liệu, dữ kiện về thông tin bình thường tẻ nhạt,

những cái đòi hỏi phải ghi nhớ quá nhiều, HS cần được khuyến khích và dạy cách tự do

khám phá thông tin.

Tư tưởng về DHKP được luận ra từ nội dung quan điểm khám phá của ông. Theo

J. Bruner (1961), việc DHKP xảy ra khi các cá nhân phải sử dụng quá trình tư duy để

phát hiện ra điều gì đó có ý nghĩa cho bản thân họ. Nội dung dạy học cần được ẩn dấu,

công việc của HS là tự khám phá (phát hiện ra ý nghĩa) điều cần được học. Để có điều

này, HS phải kết hợp quan sát và rút ra kết luận, thực hiện so sánh, làm rõ ý nghĩa số

liệu tạo ra một sự hiểu biết mới mà họ chưa từng biết đó. GV cần cố gắng và khuyến

khích HS tự khám phá ra các nguyên lí. Ông tin rằng DHKP chỉ có thể xảy ra khi cả GV

và HS phải thực sự hòa nhập trong quá trình dạy học, cả người dạy và người học cùng

nhau làm việc một cách hợp tác. J. Bruner (1961) gọi đây là “Dạy học mang tính giả

thuyết” (Hypothetical teaching) và nó khác với “dạy học mang tính giải thích”

(expository teaching), dạy học với ý nghĩa là “thu hút HS tham gia” chứ không phải là

“truyền đạt kiến thức”.

Zachos et al. (2000) xem dạy học khám phá là: “người học đạt được kiến thức

thông qua việc xây dựng và kiểm nghiệm các dạng khác nhau của những quy luật tự

nhiên bao gồm giả thuyết, mô hình, quy tắc và nguyên lí như là kết quả của quá trình

tìm hiểu một hiện tượng”. Định nghĩa này nhấn mạnh một khía cạnh quan trọng của

DHKP, cá nhân người học. DHKP trong các công trình của Alfieri et al. (2011) và Mayer

(2004) được xem là dạy học dựa vào tìm tòi (inquyry-based), dạy học theo lí thuyết kiến

tạo (constructivist theory) trong đó cá nhân người học dựa vào kiến thức và kinh nghiệm

vốn có của bản thân để khám phá và nhận thức được nội dung kiến thức mới xác định

cơ sở của DHKP dựa trên lí thuyết kiến tạo. Ormrod (2012) định nghĩa DHKP là một

phương pháp dạy học, ở đó HS tiếp cận đến kiến thức thông qua tương tác với môi

trường của họ bằng cách khám phá và thao tác trên các đối tượng, trăn trở với các câu

hỏi và những tranh luận hoặc tiến hành những thí nghiệm. Theo Bibergall (1966), DHKP

là tất cả các hành vi hướng mục tiêu mà người học phải cố gắng để hoàn thành thông

qua việc sử dụng năng lực tư duy của mình mà không cần sự trợ giúp GV. Joolingen

(1999) định nghĩa DHKP là một kiểu dạy học xây dựng kiến thức người học qua thực

nghiệm trong một phạm vi kiến thức nào đó và rút ra các quy luật từ các kết quả những

thực nghiệm này. Nền tảng căn bản của việc DHKP là người học thực sự xây dựng kiến

thức cho chính họ.

Có hai luận điểm về DHKP trong các công trình của Nguyễn Phú Lộc (2001,

2003a, 2010a): (1) DHKP là một phương pháp dạy học khuyến khích HS đưa ra câu hỏi

và tự tìm ra câu trả lời, hay rút ra những nguyên tắc từ những ví dụ hay kinh nghiệm

thực tiễn; (2) DHKP có thể định nghĩa như một tình huống học tập trong đó nội dung

chính cần được học không được giới thiệu trước mà phải tự khám phá bởi HS, làm cho

HS là người tham gia tích cực vào quá trình học.

Lê Võ Bình (2007) cho rằng DHKP là phương pháp tổ chức và hướng dẫn người

học tự hoàn thành nhiệm vụ nhận thức nhằm đạt được những mục tiêu xác định qua hoạt

động khám phá. Theo Bùi Văn Nghị (2011) thì DHKP được hiểu là phương pháp dạy

học trong đó dưới sự hướng dẫn của GV, thông qua các hoạt động, HS khám phá ra một

tri thức nào đấy trong chương trình môn học. Một số nhà nghiên cứu cho rằng DHKP

quan hệ mật thiết với cách giải quyết vấn đề: người học phải biết nhận ra vấn đề, tìm

kiếm thông tin liên quan, phát triển chiến lược giải, thực hiện chiến lược giải.

Điểm chung của các định nghĩa trên cho thấy DHKP là một phương pháp dạy học.

DHKP nhấn mạnh rằng người học tích cực thực hiện các hoạt động quan sát, đo lường,

dự đoán, xác định và suy luận nhằm mục đích tự phát hiện kiến thức mới, điều cần biết

riêng cho họ.

Như vậy, có thể nói DHKP là một quá trình dạy học. Trong đó: Nội dung chính

cần được học không được giới thiệu trước mà phải được tự khám phá bởi HS, làm cho

HS là người tham gia tích cực vào quá trình học; Kiến thức mới nảy sinh như là phương

tiện hay kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề của HS. Nói cách khác, kiến thức được

khám phá ra, được kiến tạo bởi HS qua quá trình hoạt động tìm tòi giải quyết vấn đề của

chính họ (có thể có sự giúp đỡ ít nhiều của GV); GV là người trợ giúp, trọng tài, cố vấn

và tổ chức cho HS tự mình kiến tạo kiến thức mới; HS trở thành chủ thể, thành trung

tâm được định hướng để tự mình xây dựng kiến thức. HS được tạo điều kiện tham gia

không chỉ trong quá trình mò mẫm, tìm kiếm cách giải quyết vấn đề mà còn cả đánh giá

sản phẩm cuối cùng (như lời giải bài toán, ý kiến đề xuất, …), đánh giá cách tổ chức và

giải quyết vấn đề, tinh thần và thái độ làm việc, năng lực sáng tạo của chính mình và

của người học khác.

1.2.3. Đặc điểm của dạy học khám phá

Các nghiên cứu của Ausubel (1961), Svinicki (1998) và Nguyễn Phú Lộc (1997,

2001, 2003b, 2010c) cho thấy rằng, DHKP có ba đặc điểm chính: (1) Khảo sát và giải

quyết vấn đề để hình thành, khái quát hóa kiến thức; (2) HS được thu hút để tham vào

các hoạt động cá nhân, nhóm; hoạt động dựa trên sự hứng thú và ở đó mỗi cá nhân HS

có thể xác định được trình tự và nhịp độ riêng; (3) Hoạt động khuyến khích việc liên kết

kiến thức mới vào vốn kiến thức của người học và liên hệ với tình huống thực tế cuộc

sống. So sánh với phương pháp dạy học truyền thống Castronova (2000) cho rằng DHKP

có 5 điểm khác biệt là: (1) Người học tích cực chứ không thụ động ; (2) Việc học tập có

tính quá trình chứ không là nội dung; (3) Thất bại là quan trọng; (4) Phản hồi là cần

thiết; và (5) Sự hiểu biết sâu hơn.

1.2.4. Các kiểu dạy học khám phá

Trong DHKP, các câu hỏi cần được trả lời hoặc các vấn đề cần được giải quyết có

thể được đặt ra từ GV hay HS. Tương tự, câu trả lời cho câu hỏi có thể được đề nghị bởi

GV hay HS. Căn cứ vào mức độ hướng dẫn của GV vào quá trình khám phá của HS,

Nguyễn Phú Lộc (2001); Moore (2014) chia DHKP được thành ba mức độ: DHKP có

hướng dẫn toàn phần, DHKP có hướng dẫn một phần và DHKP tự do – tự khám phá

(xem Bảng 1.4). HS với vai trò là trung tâm của việc học gia tăng theo từng mức độ

tương ứng từng kiểu DHKP. Lê Võ Bình (2007) làm rõ nhiệm vụ của GV và ở HS ở

mỗi cấp độ DHKP (xem Bảng 1.5).

Mức độ 1 Mức độ 2 Mức độ 3 GV HS HS GV GV HS HS HS HS Bảng 1.4. Các kiểu DHKP Nguyễn Phú Lộc (2001); Moore (2014) Nguồn câu hỏi hay vấn đề Tiến trình giải quyết vấn đề Câu trả lời, chiến lược giải quyết vấn đề Mức độ 1: DHKP có hướng dẫn toàn phần; Mức độ 2: DHKP có hướng dẫn một phần; Mức độ 3: DHKP tự do

Bảng 1.5. Các mức độ DHKP (Lê Võ Bình, 2007) Mức độ 1 Mức độ 2

Nêu các hoạt động để HS thực hiện Đặt vấn đề, để ngỏ phương pháp giải Hoạt động của GV

Mức độ 1: DHKP có hướng dẫn toàn phần; Mức độ 2: DHKP có hướng dẫn một phần; Mức độ 3: DHKP tự do

Hoạt động của HS Hoạt động theo hướng dẫn của GV để đạt mục tiêu Tự tìm lấy con đường để giải. Mức độ 3 Chọn tình huống xuất phát hay chấp nhận sự lựa chọn của HS Xác định vấn đề trong tình huống, tìm lời giải theo con đường của mình

Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, chúng tôi thấy rằng, các câu hỏi cần

được trả lời hay vấn đề cần được giải quyết thông thường bắt nguồn từ những tình huống

trong tài liệu (SGK, sách chuyên khảo, …) hoặc từ GV. Trong khi, các câu trả lời cho

câu hỏi hoặc chiến lược giải quyết vấn đề thường một là GV hướng dẫn HS thực hiện,

hoặc hai là HS tự tìm tòi và được hợp thức hóa bởi GV. Căn cứ vào việc HS nhận được

ít hay nhiều sự hướng dẫn của GV và mức độ áp dụng để phù hợp với nhận thức của

HS, các mức độ DHKP được khái quát hóa bởi Sơ đồ Hình 1.6.

- Mức độ 1 (khám phá có trợ giúp toàn phần): là HS nhận được nhiều sự trợ giúp

của GV trong tiến trình giải quyết vấn đề. Nói cách khác, GV hỗ trợ HS xuyên suốt để

giúp HS tìm câu trả lời. Mức độ này được áp dụng rộng rãi cho mọi đối tượng HS nhất

là HS có năng lực toán học từ mức trung bình trở xuống.

- Mức độ 2 (khám phá có trợ giúp một phần): là HS nhận được một phần sự trợ

giúp của GV trong tiến trình giải quyết vấn đề. Mức độ này được áp dụng đối với đa số

HS nhất là những người học có năng lực toán học ở mức trung bình và khá.

- Mức độ 3 (tự khám phá): là HS nhận được rất ít hoặc không nhận được sự trợ

giúp của GV trong tiến trình giải quyết vấn đề. Mức độ này được áp dụng đối với số ít

HS – những người học có năng lực toán học ở mức giỏi trở lên.

Số ít HS

Đa số HS

Mọi đối tượng HS

Tự khám phá Khám phá có trợ giúp một phần Khám phá có trợ giúp toàn phần

Hình 1.6. Tháp phân loại các kiểu DHKP

1.2.5. Các mô hình dạy học khám phá và tác động hỗ trợ của GeoGebra

Tư tưởng chung nhất của tất cả các quan điểm về DHKP là sự nhấn mạnh rằng

người học phải tự tìm ra hoặc phát hiện những điều cần được học. Từ đó, một vấn đề

được đặt ra “Làm thế nào để người học tìm ra những điều cần được học bởi chính họ?”

Mô hình DHKP do Muhibbin (2010) đề xuất bao gồm 6 bước: (1) Tạo động cơ,

(2) Xác định vấn đề, (3) Thu thập dữ liệu, (4) Xử lí dữ liệu, (5) Kiểm chứng và (6) Kết

luận, khái quát hóa (Masfingatin & Murtafiah, 2020; Riandari et al., 2018; Suendartia,

2017) Riandari et al. (2018) Masfingatin &Murtafiah (2020).

(1) Tạo động cơ: GV đưa câu hỏi hoặc vấn đề và yêu cầu HS đọc hoặc nghe nội

dung câu hỏi.

(2) Xác định vấn đề cần giải quyết: HS được tạo cơ hội để xác định các vấn đề

và xây dựng dưới dạng một câu hỏi hoặc giả thuyết.

(3) Thu thập dữ liệu: HS thu thập dữ liệu và thông tin cần thiết để trả lời một

câu hỏi hoặc để chứng minh giả thuyết.

(4) Xử lí dữ liệu: Xử lí dữ liệu và thông tin sự kiện đã được HS thu thập và sau

đó được giải thích.

(6) Kiểm chứng: Kiểm tra các kết quả xử lí và các giả thuyết.

(6) Khái quát hóa: Trong giai đoạn cuối này, HS học để rút ra kết luận nhất

định và những khái quát hóa.

Kết quả bài báo của Murni et al. (2017) cho thấy GeoGebra có thể được sử dụng

hỗ trợ hiệu quả ở mỗi bước trong mô hình của Muhibbin (2010).

Trong các bài báo Nguyễn Phú Lộc (1997, 2001, 2003a, 2003b, 2003c, 2010a,

2010c, 2016), tác giả đã đề xuất các mô hình dạy học khám phá các tình huống điển

hình trong dạy học môn toán bao gồm dạy học khám phá khái niệm và dạy học khám

phá định lí.

Dạy học khám phá khái niệm: dựa trên cơ sở bốn phương pháp quy nạp của J. S.

Mill (1806-1873) nhằm xác định mối quan hệ nhân quả của các hiện tượng tác giả đã đề

nghị các mô hình dạy học khám phá khái niệm cùng với tên gọi tương ứng. Cụ thể, các

mô hình này là mô hình tương đồng - tìm kiếm, mô hình tương đồng - tìm đoán, mô

hình cộng biến (các mô hình này được khái quát lại theo Hình 1.7) và mô hình dị biệt -

tìm kiếm và mô hình dị biệt - tìm đoán (các mô hình này được khái quát lại theo Hình

1.8)

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Quan sát Khái quát hóa

…

Tương đồng - tìm kiếm: HS tự tìm kiếm các đặc điểm chung. Tương đồng - tìm đoán: HS dự đoán các tính chất chung với sự trợ giúp một phần của GV (GV đưa thêm các ví dụ có tính chất cần tìm: là phản ví dụ đối với các dự đoán sai của HS). Cộng biến: HS phát hiện các nguyên nhân làm thay đổi hiện tượng cài đặt trong các ví dụ.

Hình 1.7. Sơ đồ mô tả khái quát các mô hình DHKP (tương đồng, cộng biến)

Dị biệt - tìm kiếm: HS tự tìm kiếm các đặc điểm chung.

Quan sát Khái quát hóa

Dị biệt - tìm đoán: HS dự đoán các tính chất chung với sự trợ giúp một phần của GV (GV đưa thêm các ví dụ có tính chất cần tìm: là phản ví dụ đối với các dự đoán sai của HS) Ví dụ 1 Phản ví dụ 1 Ví dụ 2 Phản ví dụ 2 Ví dụ 3 Phản ví dụ 3 …

Hình 1.8. Sơ đồ mô tả khái quát lại các mô hình DHKP (dị biệt)

Đối với các mô hình dạy học khám phá khái niệm, GeoGebra có thể hỗ trợ ở các

pha cho ví dụ và phản ví dụ để tạo dữ liệu cho HS quan sát, dự đoán. Ngoài ra, GeoGebra

cũng có thể hỗ trợ trong khâu tìm kiếm các mối quan hệ và kiểm chứng các dự đoán.

Dạy học khám phá định lí:

 Ba mô hình dạy học khám phá định lí:

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Học sinh quan sát, khảo sát các trường hợp riêng,...

Hình thành giả thuyết

Kiểm chứng giả thuyết +

Bổ sung, chính xác hóa (nếu cần) và phát biểu định lí hay quy luật

Vận dụng và củng cố định lí

Hình 1.9. Mô hình DHKP định lí có khâu nêu giả thuyết (Nguyễn Phú Lộc, 2003c)

Quan sát: Cho học sinh quan sát hay khảo sát một hay nhiều trường hợp riêng

Phân tích: Hướng dẫn học sinh phân tích với các câu hỏi sau: hãy tìm các mối liên hệ giữa ...? Chúng có đặc điểm gì giống nhau? ...

Khái quát hóa: Hướng dẫn học sinh khái quát hóa bằng các câu hỏi sau: - Các em hãy đưa ra kết luận có tính tổng quát (những tiên đoán) về ...? - Các em hãy thử đưa ra một dự đoán về .... ?

Kiểm chứng và áp dụng: Hướng dẫn học sinh kiểm chứng: chấp nhận hay bác bỏ điều dự đoán trên. Nếu chấp nhận thì làm rõ quan hệ cái chung đã đạt được và cái xuất phát. Đề xuất các bài toán mới, đưa ra những áp dụng.

Hình 1.10. Mô hình DHKP với mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung

(Nguyễn Phú Lộc, 2003d, 2010b)

(1) Mô hình dạy học định lí có khâu nêu giả thuyết (Hình 1.9); (2) Mô hình dạy

học định lí với quan hệ giữa “cái chung” và “cái riêng” (Hình 1.10); (3) Mô hình dạy

học định lí với suy luận tương tự: mô hình này có tiến trình tương tự như mô hình DHKP

có khâu nêu giả thuyết ở Sơ đồ Hình 1.9. Điểm khác biệt là dùng tương tự theo mô hình

thuộc tính hay tương tự theo mô hình quan hệ giữa các đối tượng mà đưa ra giả thuyết,

sau đó tiến hành chứng minh hay bác bỏ.

Đối với các mô hình dạy học khám phá định lí, GeoGebra có thể hỗ trợ GV thiết

kế mô hình ảo để gợi động cơ học tập, HS quan sát mô hình ảo và thực hiện các yêu cầu

của GV hoặc hỗ trợ GV tạo môi trường tương tác để cho HS quan sát, khảo sát, xem xét

các trường hợp riêng, tìm các mối liên hệ.

1.2.6. Vai trò của dạy học khám phá

J. Bruner (1961) đã khẳng định bốn lợi ích lớn cho việc sử dụng phương pháp này

bao gồm: thúc đẩy khả năng tư duy, phát triển động lực (motivation) bên trong hơn là

tác động bên ngoài (extrinsic reward), phát triển trí nhớ và học cách khám phá. DHKP

còn cho phép mỗi cá nhân riêng biệt cơ hội nhiều hơn và cho phép một sự đánh giá

thông minh hơn những gì người học đang làm (Hedden, 1998). Ausubel (1961) lập luận

cho một đánh giá công bằng cho các giá trị sư phạm của phương pháp dạy học truyền

thống (HS chỉ tiếp nhận kiến thức từ GV) và phương pháp thông qua khám phá để học

tập. Ông thừa nhận rằng phương pháp DHKP có thể được sử dụng một cách phù hợp

với những ưu điểm có thể cảm nhận khi nó được sử dụng như sau: Sự truyền tải kiến

thức đến trẻ em thanh thiếu niên, những người đang ở giai đoạn hoạt động cụ thể trong

quá trình phát triển nhận thức của Piaget tương đối ít được trang bị với các khái niệm

cơ bản và thuật ngữ của một ngành nhất định; Sự đánh giá có ý nghĩa và sâu sắc về học

tập của một khái niệm cụ thể hoặc tổng quát; Giải quyết vấn đề; Chuyển đổi học tập;

Động lực thúc đẩy. Tương tự, Kagan (1966) đưa lập luận thể hiện sự thuyết phục đối

với phương pháp DHKP. Ông vạch ra bốn lợi thế của việc học khám phá: (1) tạo ra sự

kích thích và do đó tối đa hóa sự chú ý của HS trong suốt thời gian học, (2) các nỗ lực

trí tuệ cao hơn được yêu cầu trong khi học tập khám phá dẫn đến sự gia tăng giá trị của

nhiệm vụ học tập, (3) làm tăng niềm tin, hy vọng của người học, cái mà người học có

thể giải quyết những vấn đề khác nhau một cách độc lập và (4) giúp HS không còn tư

tưởng thụ động, lệ thuộc vào sự quan tâm của GV, người học kiên quyết và tích cực hơn

vì phương pháp khám phá đã cung cấp cho họ khả năng đó. Friedler et al. (1990) hoạt

động khám phá giúp người học phát triển các kĩ năng suy luận khoa học bao gồm: (a)

xác định vấn đề, (b) hình thành giả thuyết, (c) xây dựng thực nghiệm, (d) quan sát, thu

thập, phân tích và làm sáng tỏ dữ liệu, (e) vận dụng các kết quả và (f) tạo những dự đoán

dựa vào các kết quả cơ bản của những thực nghiệm trước. Trong học tập toán học,

Freudenthal (2002) tin rằng: “toán học học được nhờ khám phá lại (re-invention) sẽ

được hiểu tốt hơn và ghi nhớ dễ dàng hơn học được bằng cách ít tích cực hơn”. Khám

phá lại có hướng dẫn là một trong những nguyên tắc cơ bản của giáo dục toán học, do

đó người học toán nên được cho cơ hội để trải nghiệm một quá trình tương tự như quá

trình mà toán học được phát minh (Bakker, 2004; Gravemeijer, 1994). Các nghiên cứu

của Murni et al. (2017), Juandi &Priatna (2018), Siahaan (2017), Rambe et al. (2018),

Batubara (2019), Utami et al. (2019) chỉ ra rằng tổ chức bằng DHKP có thể thay đổi

niềm tin và thái độ giúp cho việc học tập của HS trở nên tích cực và có ý nghĩa hơn.

1.3 Phần mềm toán học động GeoGebra

1.3.1. Tính năng biểu diễn “kép động” của GeoGebra: Sự liên kết giữa biểu diễn đại

số động và biểu diễn hình học động

Goldin (2018) cho rằng các biểu diễn toán học là các sản phẩm hữu hình - chẳng hạn

như sơ đồ, trục số, đồ thị, sự sắp xếp của các đối tượng hoặc thao tác cụ thể, chữ viết, biểu

thức toán học, công thức và phương trình hoặc các mã hóa trên màn hình của máy tính điện

tử hoặc máy tính cầm tay, chúng được dùng để mô tả, tượng trưng hoặc đại diện cho một

đối tượng hoặc một mối quan hệ toán học. J. S. Bruner (1964) chia biểu diễn thành 3 mô

hình có tính thứ tự từ thấp đến cao bao gồm cụ thể (Enactive - gồm có các biểu diễn thực tế

và các biểu diễn thao tác được), hình tượng (Iconic - gồm có các biểu diễn trực quan sử

dụng các hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng, ...) và kí hiệu (Symbolic - gồm có biểu diễn

ngôn ngữ và biểu diễn kí hiệu).

Theo Hohenwarter &Jones (2007), đối với GeoGebra, các sự biểu diễn khác nhau

của cùng một đối tượng toán học được liên kết động, cho phép người sử dụng nghiên

cứu sự kết nối qua lại giữa chúng. Từ đó, làm cho HS dễ dàng hiểu được mối quan hệ

giữa các biểu diễn khác nhau đó. Bất cứ khi nào một trong những sự biểu diễn của một

đối tượng toán học bị thay đổi, tất cả những sự biểu diễn tương ứng của đối tượng đó sẽ

tự động thay đổi theo để duy trì các mối quan hệ giữa chúng. Các đối tượng mới có thể

được tạo ra bằng cách sử dụng công cụ hình học động hoặc khung nhập lệnh đầu vào từ

bàn phím đại số. Bằng việc cung cấp khung nhập lệnh đầu vào từ bàn phím, một loạt

các lệnh được định nghĩa trước có thể được sử dụng trong GeoGebra và những chủ đề

toán học khác không chỉ trong phạm vi hình học (ví dụ như đại số, giải tích, thống kê).

Hơn nữa, cả hai sự biểu diễn đó có thể bị ảnh hưởng trực tiếp bởi người sử dụng. Nói

cách khác, các sự biểu diễn hình học của một đối tượng toán học có thể được thay đổi

bằng cách di chuyển nó bởi chuột máy tính. Khi đó, sự biểu diễn đại số của nó sẽ tự

động thay đổi theo. Mặt khác, sự biểu diễn đại số cũng có thể được thay đổi bằng cách

nhập số liệu mới thông qua bàn phím máy tính, lúc đó, GeoGebra tự động điều chỉnh

sự biễu diễn hình học tương ứng.

Hình 1.11. Giao diện mặc định (tiếng Việt) của GeoGebra phiên bản 5.0

Hình 1.11 là giao diện làm việc mặc định của GeoGebra bao gồm hai cửa sổ hiển

thị chính: (1) cửa sổ hình học với mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 hiển thị hình (đồ họa) của các

đối tượng toán học và (2) cửa sổ đại số hiển thị biểu thức đại số tương ứng với đối tượng

toán học ở cửa sổ hình học.

Giao diện làm việc của GeoGebra rất linh hoạt. Nó có thể dễ dàng được thay đổi

để phù hợp với trình độ của HS phổ thông. Chẳng hạn, đối với bậc trung học cơ sở, HS

có thể ẩn đi cửa sổ đại số, trường nhập lệnh, hệ trục tọa độ và chỉ làm việc với cửa sổ

hình học để nghiên cứu các đối tượng hình học; sau đó, GV có thể giới thiệu về tọa độ

bằng cách hiển thị lưới tọa độ, làm việc với các điểm có tọa độ nguyên. Đối với bậc

trung học phổ thông thì HS có thể hiển thị đồng thời cả hai cửa sổ, trường nhập lệnh và

bảng tính điện tử để thao tác với các đối tượng hình học, đại số và giải tích.

Hơn nữa, đối với GeoGebra từ phiên bản 5.0 trở lên, HS có thể hiển thị đồng thời

cả cửa sổ hình học không gian 3D để nghiên cứu cả về biểu diễn hình, biểu diễn đại số

của các đối tượng toán học (xem Hình 1.12).

Hình 1.12. Giao diện đa biểu diễn của GeoGebra

Trong các nghiên cứu, luận án chủ yếu khai thác giao diện hiển thị sự liên kết giữa

hai biểu diễn (biểu diễn đại số ở cửa sổ đại số và biểu diễn hình học ở cửa sổ hình học)

của các đối tượng toán học.

1.3.2. Tính năng ấn kéo

Các nhà nghiên cứu sử dụng thuật ngữ “dragging” theo hai nghĩa khác nhau:

Latham (1995); Longley &Shain (1982) cho rằng: “dragging là thao tác di chuyển một

đối tượng dưới sự điều khiển của thiết bị con trỏ chuột bởi người dùng, đặt đối tượng

đó vào vị trí mới trên màn hình”. Theo Henderson (2003) thì “dragging là thao tác dùng

để di chuyển một đối tượng từ vị trí này đến vị trí khác bằng cách ấn và giữ nút trái

chuột vào đối tượng cần tác động, di chuyển nó đến vị trí mong muốn rồi thả nút trái

chuột”.

Ở Việt Nam, hiện nay, vẫn chưa có sự thống nhất về tên gọi cho thao tác di chuyển

một đối tượng dưới sự điều khiển của thiết bị con trỏ chuột. Một số tác giả gọi thao tác

này là kéo rê (Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2013; Trần Vui & Lê Quang Hùng, 2006;

Trương Thị Khánh Phương, 2016). Trong khi đó, một số tác giả gọi là kéo thả (Nguyễn

Thị Nga, 2016; Trần Trung et al., 2011).

Trong luận án, thuật ngữ dragging được hiểu và sử dụng theo nghĩa như sau:

 Ấn kéo: là một thao tác di chuyển một đối tượng trên màn hình. Nó được thực

hiện bằng cách ấn và giữ nút trái chuột vào đối tượng cần tác động rồi di chuyển

con trỏ chuột.

 Kéo thả: là thao tác di chuyển một đối tượng từ vị trí này đến vị trí khác mong

muốn. Nó được thực hiện bằng cách ấn kéo rồi thả nút trái chuột (ấn và giữ nút

trái chuột vào đối tượng cần tác động, di chuyển con trỏ chuột đến vị trí đích

mong muốn rồi thả nút trái chuột).

Trong đó, thuật ngữ “ấn kéo” sẽ được sử dụng xuyên suốt trong luận án. Ấn kéo là

một chức năng quan trọng giúp người sử dụng không chỉ để kiểm tra sự bền vững của

một hình hình học bằng cách lần lượt di chuyển các đối tượng khác nhau trong hình

bằng con chuột, mà còn để khám phá một loạt các hình tương tự hoặc các trường hợp

đặc biệt mà trong môi trường giấy bút truyền thống không thể thực hiện được. Với phần

mềm động GeoGebra, ấn kéo đơn giản có thể là di chuyển một đối tượng tự do hoàn

toàn hoặc tự do một phần (như một điểm di chuyển trên một đối tượng là đường thẳng,

đường tròn, … hoặc một đối tượng được di chuyển phụ thuộc vào đối tượng khác) của

một hình hình học bằng cách kéo chuột để mà khi ngừng lại thì các đối tượng phụ thuộc

theo sau tương ứng sẽ di chuyển và thay đổi theo. Hình hình học sẽ được cập nhật một

cách tự động để biểu diễn một vị trí mới của những đối tượng hình hình học.

Nhóm tác giả người Ý gồm Arzarello, Olivero, Paola và Robutti (Arzarello et al.,

1998; Arzarello, Olivero, Paola, et al., 2002) chỉ ra sự phát triển của các phương thức

ấn kéo trong quá trình HS thiết lập các dự đoán và phát triển các chứng minh khi giải

quyết các bài toán hình học kết thúc mở trong môi trường hình học động với sự hỗ trợ

của phần mềm Cabri. HS thực hiện các phương thức ấn kéo bằng cách thao tác trên

chuột máy tính (nhấp và giữ chuột vào đối tượng cần tác động và di chuyển chuột) để

tạo ra chuyển động của các đối tượng hình học khác nhau theo hai cách:

 Chuyển động trực tiếp: các đối tượng hình học cơ bản (điểm, đường thẳng,

đường tròn…) di chuyển dưới tác động trực tiếp của phương thức ấn kéo mà

HS thực hiện.

 Chuyển động gián tiếp: các đối tượng hình học di chuyển như một hệ quả của

sự chuyển động trực tiếp của các đối tượng hình học khác, do mối quan hệ

phụ thuộc được thiết lập từ phép dựng hình. Chẳng hạn như ấn kéo một đầu

của một đoạn thẳng thì trung điểm của đoạn thẳng sẽ di chuyển theo.

Các tác giả đã tiến hành phân loại các phương thức ấn kéo khác nhau mà HS sử

dụng để thao tác lên các đối tượng trong quá trình giải quyết vấn đề. Sự phân loại đó

được tóm tắt lại như sau:

- Phương thức 1(Wandering dragging): di chuyển một điểm cơ bản trên màn hình

một cách ngẫu nhiên (không có kế hoạch) để khám phá các dạng hình học khác

nhau hay các tính chất thú vị khác nhau trên hình vẽ.

- Phương thức 2 (Bound dragging): di chuyển một điểm bán tự do (điểm đã được

liên kết vào một đối tượng nào đó) một cách ngẫu nhiên để khám phá các tính

chất thú vị khác nhau trên hình vẽ.

- Phương thức 3 (Guided dragging): ấn kéo các điểm tự do của một hình vẽ để làm

cho nó trở thành các hình dạng đặc biệt cụ thể.

- Phương thức 4 (Dummy locus dragging): di chuyển một điểm tự do để hình vẽ

giữ được một tính chất nào đó (vừa mới được khám phá). Điều này có nghĩa là

người dùng đang di chuyển điểm theo một con đường nào đó đang bị ẩn đi. Thậm

chí, người dùng không hề nhận thức về nó.

- Phương thức 5 (Line dragging): ấn kéo một điểm theo một đường nào đó để giữ

đúng một tính chất của hình vẽ.

- Phương thức 6 (Linked dragging): kết nối một điểm vào một đối tượng và di

chuyển điểm trên đối tượng vừa kết nối.

- Phương thức 7 (Dragging test): di chuyển điểm để kiểm tra xem liệu hình vẽ có

giữ được tính chất nào đó hay không.

Talmon &Yerushalmy (2003) cho rằng việc sử dụng những tính năng này có ý

nghĩa rất lớn trong dạy và học toán nói chung và hình học nói riêng vì tạo ra cách phản

ứng năng động cho mỗi yếu tố trong việc dựng hình, cho phép người dùng di chuyển

một số yếu tố nhất của của hình được dựng và quan sát sự thay đổi tương ứng của các

đối tượng phụ thuộc. Nói cách khác, phương thức ấn kéo cho phép các yếu tố tự do của

hình dựng di chuyển, trong khi phần còn lại của hình di chuyển sau và thay đổi tương

ứng một cách phù hợp. Nhưng một số bản chất của hình vẫn không thay đổi. Phần mềm

cho phép tập trung vào những bất biến hình học. Vì vậy, phương thức ấn kéo trong phần

mềm hình học động được xem như là một công cụ để khảo sát các mối quan hệ trong

hình ở cả hai cấp độ nhận thức và hình thức (Jones, 2005).

Các phương thức ấn kéo và đo lường này có thể được coi là các dạng thức sử dụng

mà người dùng phát triển trong khi sử dụng các tính năng kéo và đo lường trong môi

trường hình học động, cụ thể là phần mềm GeoGebra. Các phương thức này được HS

sử dụng trong thực nghiệm giải quyết vấn đề toán học ở chương 5.

1.3.3. Tính năng đo lường

Đo lường là một tính năng quan trọng khác của các phần mềm hình học động.

GeoGebra cung cấp các dụng cụ để người dùng thực hiện việc đo lường như: - đo độ

dài; -đoạn thẳng với độ dài cố định; công cụ - đo diện tích; - đo góc; -góc với

độ lớn cho trước; - kiểm tra mối quan hệ giữa hai đối tượng; …

Olivero &Robutti (2007) đã xác định các phương thức đo lường khác nhau trong

môi trường hình học động, bao gồm:

Phương thức 1 (Wandering measuring): đo lường để xác định các mối quan hệ

định lượng, các bất biến, bằng nhau, … của một số yếu tố của một cấu trúc hình hình

học.

Phương thức 2 (Guided measuring): đo lường để kiểm tra các cấu trúc hình đặc

biệt cụ thể từ một cấu trúc hình hình học chung. Phương thức này giúp người học lần

lượt khám phá cấu trúc của một hình từ những trường hợp cụ thể nhất đến trường hợp

chung nhất. Nó thường có mối quan hệ đến phương thức ấn kéo, chẳng hạn, một tứ giác

bất kỳ có thể được biến đổi thành một hình bình hành bằng phương thức ấn kéo và bằng

cách xem xét độ dài của các cạnh đối diện hoặc độ lớn của các góc đối diện.

Phương thức 3 (Perceptual measuring): đo lường để kiểm tra tính đúng đắn các

nhận thức trực giác từ quan sát. Ví dụ, khi HS có những trực giác về một số tính chất

hoặc mối quan hệ trên một hình, nhưng họ không chắc chắn về nhận thức của mình. Vì

vậy họ sử dụng các phép đo để xác nhận nhận thức thông qua sự biến đổi mối quan hệ

định tính thành một mối quan hệ định lượng.

Phương thức 4 (Validation measuring): đo lường để kiểm chứng một phỏng đoán

trong môi trường hình học động để chấp nhận hoặc bác bỏ nó.

Phương thức 5 (Proof measuring): đo lường để có được lời giải thích hoặc hiểu rõ

hơn về một bằng chứng đã được xây dựng.

Các phương thức ấn kéo và đo lường này có thể được coi là các dạng thức sử dụng

mà người dùng phát triển trong khi sử dụng các tính năng kéo và đo lường trong môi

trường hình học động, cụ thể là phần mềm GeoGebra. Các phương thức này được HS

sử dụng trong thực nghiệm giải quyết vấn đề toán học ở chương 5.

1.3.4. Tính năng cá thể hóa công cụ

Thông thường, trong các phần mềm hình học động, các công cụ hình học có sẵn

thường được tổ chức trong hộp thoại công cụ và có thể được kích hoạt bằng cách nhấp

vào biểu tượng tương ứng trên thanh công cụ hoặc bằng cách chọn lệnh thích hợp từ

trình đơn (menu). Với GeoGebra, một chuỗi các bước xây dựng có thể được tổ hợp lại

thành một công cụ mới bằng chức năng tạo công cụ mới. Do đó, người dùng có thể định

nghĩa công cụ dựng hình cho riêng mình và lưu chúng vào thanh công cụ bằng cách

nhóm một chuỗi lệnh dựng hình trở thành một công cụ mới.

1.3.5. Tính năng tạo vết và quỹ tích

Vết của một đối tượng phụ thuộc vào một đối tượng khác có thể được hiển thị cho

phép người sử dụng kiểm tra sự di chuyển và phụ thuộc giữa các đối tượng toán học.

Bằng cách này, các vết được tạo ra một cách tự động hoặc có thể được tạo ra bằng tay

thông qua việc di chuyển các đối tượng tương ứng với con chuột. Các tính năng này là

dụng cụ hỗ trợ đắc lực cho HS trong quá trình giải quyết các bài toán quỹ tích.

1.4 Một số khái niệm

1.4.1. Môi trường và sự phản hồi

Trong dạy học, trường phái Didactic Toán thừa nhận rằng kiến thức được xây dựng

là sản phẩm do tương tác giữa chủ thể người học với môi trường vật chất và xã hội của

chủ thể đó. G. Brousseau sử dụng thuật ngữ môi trường (milieu) để chỉ môi trường dạy

học. Môi trường có thể bao gồm văn bản, bạn cùng nhóm, trò chơi, phần mềm động, …

(G. Brousseau, dẫn theo Lê Thị Hoài Châu (2018)). Môi trường này có tác động phản

hồi các thông tin. Trong một tình huống dạy học, GV sẽ đưa ra những phản hồi khách

quan cho HS, chỉ ra những sai sót hoặc những lập luận chưa đầy đủ thay vì đưa ra các

phương pháp giải. Khi đó, GV là một phần của môi trường. Sự phản hồi trong một tình

huống dạy học là thông tin mà HS nhận tiếp nhận được như một sự đánh giá, tích cực

hay tiêu cực, đối với hành động của họ và cho phép họ điều chỉnh hành động đó, chấp

nhận hoặc bác bỏ một giả thuyết, chọn một trong nhiều cách giải.

Ví dụ: Khi thực hiện nhiệm vụ giải bài toán “Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

𝑂𝑥𝑦, cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 với 𝐴(1; 3), 𝐵(3; 4), 𝐶(4; 0) và 𝑂(0; 0). Xác định tọa độ điểm

𝑀 thuộc trục 𝑂𝑥 có hoành độ dương sao cho tam giác 𝐴𝑀𝑂 và tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 có diện

tích bằng nhau”. HS đưa ra giả thuyết là để tam giác 𝐴𝑀𝑂 và tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 có diện

tích bằng nhau, HS cần dựng điểm 𝑀 sao cho 𝐵𝑀 song với 𝐴𝐶. HS sẽ dựng đường thẳng

𝑑 đi qua 𝐵 và song song với 𝐴𝐶; dựng 𝑀 là giao điểm của đường thẳng 𝑑 và trục 𝑂𝑥;

HS hiển thị giá trị của các diện tích; …bằng phần mềm GeoGebra. Phản hồi được cung

cấp bởi môi trường (giao diện của GeoGebra), phản hồi lại hành động của HS để bác bỏ

hay chấp nhận giả thuyết.

Các nhiệm vụ, tình huống trong luận án này, sự phản hồi từ GeoGebra, tự nó không

đưa ra một câu trả lời chính xác, mà sự phản hồi này phải được HS giải thích thông tin.

1.4.2. Hợp đồng dạy học

Theo quan điểm didactic, cái đích của GV và HS trong lớp là tri thức, nhưng kế

hoạch của mỗi bên đối với tri thức khác nhau. Điều đó là do vị trí khác nhau của mỗi

bên đối với tri thức. Những gì mỗi bên có quyền làm hay không được làm đối với một

tri thức được chi phối bởi một tập hợp các quy tắc có khi tường minh nhưng thường là

ngầm ẩn. G. Brousseau (1997) định nghĩa hợp đồng dạy học là tập hợp các quan hệ xác

định, thường là ngầm ẩn, có thể phân nhỏ một cách rõ ràng thành những điều khoản của

mỗi bên (GV và HS) có trách nhiệm thực hiện những nghĩa vụ bên này với bên kia (G.

Brousseau, dẫn theo (Lê Thị Hoài Châu, 2018)). Theo Y. Chevallard (1993) hợp đồng

dạy học quy định các quyền hạn và nhiệm vụ của HS và GV qua sự phân chia và giới

hạn trách nhiệm của mỗi bên. Nó là tập hợp các quy tắc hoạt động, các điều kiện quy

định mối quan hệ giữa GV và HS (G.Brousseau, dẫn theo (Lê Thị Hoài Châu, 2018)).

Hợp đồng dạy học được xem như là công cụ để nghiên cứu sai lầm của HS và dự đoán

nguyên nhân của các sai lầm này. Điều này giúp lí giải một số sai lầm của HS khi thực

hiện nội dung câu hỏi khảo sát ở mục 4.2.1.2 (Về quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân

của HS đối với Elip).

1.4.3. Quan hệ cá nhân với một đối tượng và quan hệ thể chế với một đối tượng

Quan hệ cá nhân 𝑥 với một đối tượng 𝑂 và quan hệ thể chế 𝐼 với một đối tượng 𝑂

là các khái niệm cơ bản của Thuyết nhân học. Quan hệ cá nhân 𝑥 với một đối tượng 𝑂

là tập hợp những tác động qua lại mà 𝑥 có thể có đối với 𝑂, tức là biểu tượng mà 𝑥 có

về 𝑂, cách mà 𝑥 sử dụng 𝑂, nói về 𝑂, nghĩ về 𝑂, … Quan hệ thể chế 𝐼 với một đối tượng

𝑂 chỉ ra cách mà 𝑂 xuất hiện, tồn tại và phát triển trong 𝐼. Khi một cá nhân 𝑥 bước vào

thể chế 𝐼 và chiếm một vị trí nào đó thì nó trở thành chủ thể của thể chế ở một vị trí xác

định. Khi đó, quan hệ thể chế tạo ra một ràng buộc áp đặt lên quan hệ cá nhân. Theo Lê

Thị Hoài Châu &Claude Comiti (2018), phân tích thể chế cho phép chỉ ra những ảnh

hưởng của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của chủ thể chiếm giữ những vị trí khác

nhau trong thể chế. Để xác định quan hệ thể chế đối với một đối tượng (đối tượng tri

thức) 𝑂 xác định, ta cần nghiên cứu các tài liệu hướng dẫn giảng dạy, nghiên cứu quan

hệ cá nhân 𝑥 ở vị trí là GV và cá nhân 𝑦 ở vị trí là HS đối với đối tượng tri thức 𝑂.

Trong luận án, các khái niệm này được sử dụng trong phân tích, nghiên cứu cơ sở

đề xuất mô hình dạy học khám phá đối với tri thức phương trình đường tròn và phương

trình đường elip.

1.4.4. Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại

Hợp thức hóa ngoại vi là phương pháp kiểm chứng tính hiệu quả và khả thi của

một hệ thống hóa các giải pháp về dạy học toán mà nghiên cứu đề xuất. Người ta thường

xây dựng triển khai kế hoạch, nội dung và tiến hành trên nhóm đối tượng mẫu và so

sánh với nhóm đối tượng đối chứng. Về cơ bản, hai nhóm đối tượng này có bản chất

như nhau. Trong hợp thức hóa nội tại, người ta chỉ triển khai thực nghiệm trên nhóm đối

tượng mẫu và do đó không có sự so sánh kết quả với nhóm đối chứng như trong hợp

thức hoá ngoại vi. Điểm quan trọng trong hợp thức hóa nội tại là thực hiện sự đối chứng

giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm (Trần Anh Dũng, 2013).

Trong luận án, chúng tôi sử dụng kết hợp hình thức hợp thức hóa nội tại và hợp

thức hóa ngoại vi. Các thực nghiệm được tổ chức trên cơ sở có sự so sánh giữa phân tích

trước và sau thực nghiệm.

1.4.5. Dạy học khái niệm toán học

Quan niệm của Alain Rieunier (2001) về khái niệm và dạy học khái niệm được

trình bày trong Phương pháp dạy học của Lê Văn Tiến (2016) như sau:

Khái niệm là một tư tưởng tổng quát và trừu tượng được gán cho một lớp các đối

tượng và dùng để tổ chức các kiến thức.

Định nghĩa khái niệm là một phương tiện trình bày tư tưởng này.

Dạy học một khái niệm là dạy học nghĩa của “từ” hay “cụm từ” của định nghĩa

khái niệm để làm rõ các thuộc tính của khái niệm.

Trong thực tiễn dạy học, để dạy một khái niệm toán học không chỉ có một quy

trình và một phương pháp dạy học duy nhất, bởi vì mỗi khái niệm dù trực tiếp hay gián

tiếp đều phải đáp ứng một nhu cầu nào đó, chẳng hạn nhận thức. Một số quy trình dạy

học khái niệm thường gặp như sau:

 Kiểu 1: Theo quan điểm truyền thống (truyền đạt kiến thức một chiều)

Thầy giáo mô tả (hoặc định nghĩa) khái niệm, sau đó lấy ví dụ minh họa khái niệm

(có khi lấy các phản ví dụ), nêu đặc điểm đặc trưng của khái niệm (bằng việc nêu thẳng

các tính chất, định lí, hệ quả, …). HS thực hành luyện tập hoặc làm các bài tập khắc sâu

khái niệm, nêu ứng dụng của khái niệm, chốt lại khái niệm hoặc kiến thức, kĩ năng cần

dạy. Một minh họa cho quan điểm này là tiến trình dạy học khái niệm bằng con đường

suy diễn theo cơ chế “Đối tượng 2 ⟶ Công cụ3” (xem Hình 1.13) .

Nhận xét: Tiến trình dạy học theo kiểu 1 rất thích hợp với các nội dung dạy học

được xây dựng theo kiểu mô tả kiến thức bày sẵn trong SGK hoặc liên kết các kiến thức

toán học cần dạy. Tiến trình này dễ dẫn đến các phương pháp dạy học áp đặt, truyền thụ

một chiều, lấy thầy giáo làm trung tâm, lấy việc của thầy làm chính, HS thụ động, ghi

nhớ máy móc, học thuộc áp dụng làm tập rồi trả bài. Bằng cách này, thầy truyền đạt -

trò tiếp nhận và ghi nhớ, thầy thông báo - trò tái hiện kiến thức mà người học ít kiến tạo

tri thức. Ngoài thầy giáo ra, những người có kiến thức cao hơn có thể chỉ, bảo cho các

HS được. Giờ học thường đơn điệu, có khi nặng nề cả thầy và trò đều phụ thuộc và đánh

2 Một khái niệm hoạt động dưới dạng công cụ (hay có cơ chế “công cụ”) nếu nó được sử dụng

một cách ngầm ẩn hay tường minh như là phương tiện để giải quyết một vấn đề nào đó.

3 Khái niệm có cơ chế Đối tượng, khi nó là đối tượng nghiên cứu (được định nghĩa, được khai

thác các tính chất, …)

vật với tài liệu có sẵn. HS chưa biết cách tự học, ngại học, thụ động ỷ lại vào thầy, ít chú

ý đến phát triển năng lực cá nhân, chưa đáp ứng mục tiêu dạy học. Với cách dạy học

này, HS chưa chắc đã nắm được bản chất của khái niệm toán học. Có khi HS chỉ nắm

được những thuộc tính bề ngoài hoặc chỉ ở mức hình ảnh, biểu tượng của khái niệm.

 Kiểu 2: Theo quan điểm lấy người học làm trung tâm

Thầy giáo không mô tả hay mớm sẵn kiến thức mà tổ chức cho HS thực hiện các

hoạt động học tập tương thích với logic khái niệm toán học cần dạy. Khi HS thực hiện

đầy đủ các thao tác học tập thì chính lúc ấy một khái niệm toán học đã được hình thành

ở trong tâm lí. HS chủ yếu thực hành và luyện tập dưới sự tổ chức, hướng dẫn của thầy

giáo. Với quan điểm này và trên cơ sở phân biệt ba cơ chế (hay ba dạng) hoạt động khác

nhau của một khái niệm toán học (cơ chế đối tượng, cơ chế công cụ ngầm ẩn và cơ chế

công cụ tường minh) của Douady (1991), Lê Văn Tiến (2019) mô tả tiến trình dạy học

khái niệm bằng con đường quy nạp theo cơ chế “Đối tượng ⟶ Công cụ” và theo cơ chế

“Công cụ ⟶ Đối tượng ⟶ Công cụ” (Hình 1.13).

Hình 1.13. Tiến trình dạy học khái niệm (Lê Văn Tiến, 2019)

Đặc trưng của tiến trình “Công cụ ⟶ Đối tượng ⟶ Công cụ” là khái niệm xuất

hiện trước hết như một công cụ ngầm ẩn để giải quyết các vấn đề. Sau đó, nó mới có cơ

chế đối tượng (được định nghĩa, được nghiên cứu các tính chất, …). Khi đã có vị trí

chính thức của một khái niệm toán học, nó lại được sử dụng như là một công cụ tường

minh để giải quyết các vấn đề khác nhau.

Cùng quan niệm này và trên cơ sở bốn phương pháp của quy nạp khoa học Mill,

Nguyễn Phú Lộc (Nguyễn Phú Lộc, 2003b, 2006) đề nghị năm mô hình hình thành khái

niệm bằng con đường quy nạp bao gồm: Mô hình tương đồng – tìm kiếm, mô hình tương

đồng – tìm đoán, mô hình dị biệt – tìm kiếm, mô hình dị biệt – tìm đoán, mô hình cộng

biến (xem mục 1.2.5, trang 38). Kiểu dạy học này rất thích hợp với các nội dung dạy

học được trình này theo bản chất của lí thuyết hoạt động. Thông qua các hành động vật

chất và các thao tác học tập, HS sẽ hiểu được khái niệm, tự mình làm ra kiến thức cho

mình. Khái niệm được hình thành ở HS là đúng bản chất. Khi được tổ chaức hoạt động

học tập có bài bản, khoa học thì HS học tập chủ động, tích cực và tự giác.

1.4.6. Dạy học giải quyết vấn đề toán học

Theo Lê Văn Tiến (2019), hiện nay đang có nhiều quan niệm khác nhau về khái

niệm bài toán và bài tập. Một số quan niệm phân biệt hai khái niệm bài tập và bài toán,

một số quan niệm xem bài tập là một trường hợp riêng của bài toán và một số xem bài

toán là trường hợp riêng của bài tập. Trong ngữ cảnh dạy học toán và phạm vi luận án,

hai khái niệm này được hiểu đồng nhất là bài toán – “tất cả những câu hỏi cần giải đáp

về một kết quả chưa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về phương pháp cần

khám phá mà theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết” (Từ điển “Petit

Robert”, dẫn theo Lê Văn Tiến (2019)). Thêm vào đó, thuật ngữ bài toán được sử dụng

trong luận án là bài toán toán học – bài toán trong đó các dữ kiện, các biến, các yêu cầu,

các câu hỏi, các mối quan hệ, … đều được diễn tả bằng ngôn ngữ và kí hiệu toán học.

Đối với George Polya (1981) thì “bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một

cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy nhưng không

thể đạt được ngay. Giải bài toán tức là tìm ra phương tiện đó”. Giải toán là hoạt động

tìm kiếm lời giải cho một bài toán (Trần Vui, 2020).

Đối với một bài toán T, trước hết chủ thể X phải có ý thức về T và tiếp nhận T để

giải quyết, tiếp đến là nó đặt ra trước chủ thể X những khó khăn nhận thức, những mâu

thuẩn giữa cái đã biết và cái chưa biết, được chủ thể ý thức một cách rõ ràng hay mơ hồ,

nhưng chưa có một phương pháp có tính thuật toán nào để giải quyết. Để giải được nó,

người giải phải trải qua một quá trình suy nghĩ, tìm tòi và thực hiện một số hành động

nhất định. Khi đó ta nói, bài toán T là một vấn đề đối với chủ thể X. Với định nghĩa như

trên, vấn đề xuất hiện khi chủ thể X có mục tiêu nhưng chưa biết cách nào để đạt mục

tiêu đó. Theo cách hiểu này, ta có thể nói rằng, giải bài toán là giải quyết vấn đề. Một

bài toán T có thể là một vấn đề với chủ thể X, nhưng lại không là vấn đề với chủ thể Y.

Cùng một chủ thể X, T là vấn đề đối với X ở thời điểm này, nhưng lại không phải là vấn

đề đối với X ở thời điểm khác.

Theo Nguyễn Phú Lộc (2016), bài toán toán học là một tình huống mà người giải

phải đối mặt mà không có một thuật toán nào sẵn có để theo đó mà đưa ra lời giải; để

giải được một bài toán toán học, người giải phải huy động các kiến thức liên quan và

liên kết chúng theo một cách mới nào đó. Nó cũng có thể được xem là một nhiệm vụ

không quen thuộc và không thể được hoàn thành ngay tức khắc, nó đòi hỏi người phải

trải qua một quá trình tìm kiếm các phương cách để thực hiện và hoàn thành. Xét theo

quan điểm này, có bốn loại bài toán toán học (bốn loại nhiệm vụ toán học) được João

Pedro da Ponte (2015) phân chia theo mức độ cấu trúc và mức độ nhận thức – nói cách

khác là mức độ phức tạp của vấn đề, mức độ thử thách đối với chủ thể giải quyết vấn

đề: (1) các bài toán đóng bao gồm bài toán quen thuộc (hay còn gọi là bài toán có thuật

giải tổng quát hay bài tập toán) và bài toán không quen thuộc (bài toán không có thuật

giải tổng quát); (2) các bài toán mở bao gồm bài toán tìm tòi và bài toán khám phá. Theo

Trần Vui (2020), các bài toán ở dạng đóng, HS cần tìm ra lời giải đúng bằng thông qua

hoạt động giải toán trực tiếp bằng công thức hoặc giải toán có quy trình thông dụng hoặc

giải toán có quy trình phức tạp; các bài toán mở, HS có thể đưa ra nhiều cách giải khác

nhau.

Như mạch sống của mình, toán học là một hoạt động giải quyết vấn đề - hoạt động

tìm kiếm lời giải, câu trả trời cho bài toán được đặt ra. Theo Halmos (1980) “lí do tồn

tại chính của nhà toán học là để giải quyết các vấn đề, [...] cái mà toán học thực sự bao

gồm là các vấn đề và giải pháp”. Đối với việc học toán ngoài việc ghi nhớ các thuật

toán thì giải quyết vấn đề cũng rất quan trọng (Liljedahl et al., 2016). Do đó, nó là một

phần của nhiều chương trình giảng dạy ở trường (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018b;

NCTM, 2000).

Giải quyết vấn đề thường được quan niệm là gắn liền với quá trình “khám phá, tìm

kiếm dạng mẫu và tư duy để tìm ra lời giải” khi người học đối mặt với một vấn đề không

quen thuộc, không hề có thuật toán hay quy trình sẵn để giải. Nó bao gồm ba thành phần:

dữ liệu ban đầu (giả thiết, điều được cho, tri thức được dùng làm cơ sở cho lời giải); kết

quả (mục tiêu cần đạt hay câu hỏi cần trả lời) và cách thức kết nối giữa dữ liệu và kết

quả (Nguyễn Phú Lộc, 2016; Dörner & Funke, 2017; Schoenfeld, 1985).

Mayer &Wittrock (2006) cho rằng “khi phải đối mặt với một vấn đề và ban đầu

không biết bất kỳ phương pháp pháp nào một cách rõ ràng để giải quyết, người giải

phải thực hiện quá trình nhận thức và hành động vào việc tìm cách đạt được mục tiêu

được gọi là giải quyết vấn đề”.

Nunokawa (2005) cho rằng giải quyết vấn đề toán học là một quá trình tư duy toán

ở đó người giải toán cố gắng tìm hiểu ý nghĩa của một tình huống có vấn đề bằng cách

sử dụng các kiến thức toán mà mình có và nỗ lực để thu được thông tin mới về tình

huống đó cho đến khi giải quyết được thách thức hay sự mơ hồ về nó (Trần Vui, 2020).

Theo Nguyễn Phú Lộc (2016), giải bài toán (còn được gọi là giải quyết vấn đề toán học)

là quá trình nhận thức và hành động hướng vào việc tìm các đạt được một mục tiêu khi

người giải ban đầu không biết một phương pháp nào có thể đạt được mục tiêu đó.

Điều quan trọng cần lưu ý là thuộc tính “vấn đề” phụ thuộc vào chủ thể (hay còn

gọi là người giải quyết), không phụ thuộc vào nhiệm vụ. Một vấn đề khó đối với một

HS này có thể là một nhiệm vụ quen thuộc đối với một HS khác (có thể có kinh nghiệm

hơn). Vì vậy, nghiên cứu về giải quyết vấn đề nên tập trung vào quá trình giải quyết vấn

đề (thay vì sản phẩm).

Theo G. Polya (1945), quá trình giải quyết một vấn đề toán học (bài toán toán học)

thường diễn ra theo bốn bước bao gồm: 1) Tìm hiểu bài toán, 2) Tìm tòi lời giải, 3) Thực

hiện kế hoạch giải, 4) Kiểm tra lại lời giải (George Polya, 2015).

Quan điểm của Schoenfeld (1985) quá trình tìm tòi lời giải cần thực hiện hành

động khám phá và quá trình này có thể xuất hiện nhiều phương hướng giải, Schoenfeld

(1985) phát triển lược đồ bốn bước giải toán của G. Polya (1945) thành quy trình năm

bước: 1) Đọc hiểu, 2) Phân tích, 3) Khám phá, 4) Xây dựng (tìm tòi) chiến lược giải có

thể, 5) Lựa chọn chiến lược giải và thực hiện giải, 6) Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời

giải. Theo Một người giải quyết vấn đề thường thực hiện theo chu trình phân tích, khám

phá và xây dựng chiến lược giải có thể cho đến khi tìm được một chiến lược tối ưu để

thực thi.

Lược đồ giải toán của Polya có ý nghĩa rất lớn cho những người làm toán. Dựa

theo lược đồ này và căn cứ vào thực tế khi giải toán, HS cần được GV hướng dẫn, tác

giả Nguyễn Phú Lộc (2016) đã đề xuất lược đồ 7 bước giải toán bao gồm Bước 1 - Nhận

dạng bài toán, Bước 2 - Phân tích đề toán, Bước 3 - Tìm các chiến lược giải, Bước 4 -

Chọn lựa chiến lược giải, Bước 5 - Trình bày lời giải, Bước 6 - Kiểm tra lại lời giải và

Bước 7 - Phát triển bài toán. Đối với HS có trình độ trung bình và dưới trung bình, GV

cần chú ý Bước 3 – tìm các chiến lược giải, bước này tập dượt và rèn luyện khả năng

tìm tòi lời giải cho học sinh, và Bước 5 – trình bày lời giải, bước này tập luyện cho HS

biết cách trình bày lời giải bài toán một cách hợp logic. Đối với HS khá và giỏi, ngoài

việc phát triển năng lực tìm tòi lời giải một bài toán (Bước 3), GV cần khuyến khích HS

phát triển bài toán bằng cách mở rộng hoặc khái quát hóa, phát triển bài toán mới từ bài

toán đã giải (Bước 7); qua đó, bước đầu rèn luyện cho các em tư duy sáng tạo (Nguyễn

Phú Lộc, 2016). Dựa vào các đặc tính “động” của các phần mềm hình học động (chẳng

hạn GeoGebra, Cabri, Geometer’s Sketchpad, …) tác giả Nguyễn Phú Lộc đã đề nghị

mô hình Giải toán với GeoGebra - SPWG bao gồm 6 bước chính: Biểu diễn  thực

nghiệm  quan sát  hình thành giả thuyết  kiểm chứng giả thuyết  nhìn lại lời

giải (Nguyễn Phú Lộc, 2016; Loc, 2014) Các bước này được tác giả khái quát ở Sơ đồ

Hình 1.14 và được mô tả như sau:

Bước 1: Sử dụng GeoGebra như một công cụ để biểu diễn bài toán: dựng hình, vẽ đồ

thị hàm số, lập bảng dữ liệu, …

Bước 2: Thực nghiệm trong môi trường GeoGebra bằng cách sử dụng tính chất động,

những công cụ hỗ trợ tính toán, bảng tính, …

Bước 3: Quan sát dữ liệu: những hình động, số liệu động, bất biến … tìm ra những mối

liên hệ giữa các dữ liệu được quan sát.

Bước 4: Dựa vào những mối liên hệ được tìm thấy ở bước 3, người học có thể hình

thành những giả thuyết.

Bước 5: Với những giả thuyết ở bước 4, người học kiểm tra giả thuyết. Giả thuyết này

hoặc được chấp nhận hoặc bị bác bỏ thông qua việc sử dụng GeoGebra để đưa

ra phản ví dụ hoặc chứng minh.

Biểu diễn bài toán với GeoGebra

Bước 6: Kiểm tra lời giải, khái quát hóa, mở rộng bài toán.

Thực nghiệm với GeoGebra

- Quan sát dữ liệu: số, hình “động” - Tìm mối liên hệ giữa dữ liệu quan sát

Hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chấp nhận

Bác bỏ (chứng minh, sử dụng GeoGebra đưa phản ví dụ)

Khái quát hóa Mở rộng

Hình 1.14. Mô hình SPWG – Giải toán với GeoGebra (Loc, 2014)

Khi dạy học với mô hình này, Lê Viết Minh Triết &Nguyễn Phú Lộc (2014), GV

đã triển khai sử dụng theo hai hình thức như sau (xem Bảng 1.6):

Bảng 1.6. Hai hình thức sử dụng GeoGebra trong dạy học giải toán GV Hình thức sử dụng

Giáo viên tiếp

GeoGebra Học sinh

Trực thao tác Hỗ trợ khi cần thiết HS Quan sát, dự đoán, hình thành giả thuyết, tìm chiến lược giải Độc lập thao tác để hình thành dự đoán và tìm chiến lược giải quyết vấn đề. Học sinh GeoGebra

1.5 Kết luận chương 1

Chương 1 đã trình bày một số nội dung cơ bản về lí thuyết Hoạt động, dạy học

khám phá, các khái niệm liên quan đến tính năng của phần mềm toán học động

GeoGebra như ấn kéo, kéo thả, … và lí thuyết về dạy học khái niệm, dạy học giải quyết

vấn đề toán học. Chương này đã điểm lại các đặc điểm, vai trò và các kiểu vận dụng dạy

học khám phá trong giáo dục toán học. Bên cạnh đó, các kiểu dạy học khám phá bao

gồm một mô hình của Muhibbin (2010) trong giải quyết vấn đề và năm mô hình dạy học

khám phá khái niệm, ba mô hình dạy học khám phá định lí và hai mô hình dạy giải toán

với sự hỗ trợ của phần mềm hình học động do Nguyễn Phú Lộc (1997, 2001, 2003a,

2003b, 2003c, 2010a, 2010c) đề xuất được luận án phân tích khái quát. Đồng thời chỉ ra

tiềm năng hỗ trợ của GeoGebra ở mỗi bước của các mô hình là khả thi nhất là trong các

khâu như dự đoán và kiểm tra kết quả. Chương 1 cũng cho thấy cơ sở của các phương

thức thao tác các dụng cụ chức năng của GeoGebra là lí thuyết Hoạt động mà cụ thể đó

là khái niệm “quá trình phát sinh công cụ”. Môi trường hình học động (chẳng hạn

GeoGebra, Cabri, …) chứa nhiều dụng cụ khác nhau cho phép người học tạo ra và biến

đổi các đối tượng toán học (hình học, đại số, giải tích, …), đồng thời khám phá mối quan

hệ giữa chúng. Người học phát triển các dạng thức sử dụng bằng cách sử dụng các dụng

cụ này. Trong đó, các tính năng kéo (dragging) và đo lường (measuring) được nghiên

cứu nhiều nhất. Ấn kéo và đo lường là một tính năng để khám phá các tính chất của các

đối tượng toán học đặc biệt là hình hình học.

Giữa các lí thuyết có mối liên hệ bổ trợ nhau, góp phần làm thành cơ sở lí luận cho

luận án. Lí thuyết Hoạt động được chọn làm cơ sở lí thuyết nền tảng cho các chương

tiếp theo trong luận án. Thứ nhất, cấu trúc của một hoạt động (chủ thể, đối tượng và

công cụ) và ba cấp độ của một hoạt động (hoạt động  mục đích, hành động mục

tiêu và thao tác  điều kiện) được vận dụng để thiết kế và phân tích các hoạt động dạy

học khám phá trong các mô hình dạy học khám phá với sự hỗ trợ của GeoGebra. Thứ

hai, sự tương tác giữa chủ thể là người học với các dụng cụ chức năng của GeoGebra

dựa vào quá trình phát sinh công cụ.

CHƯƠNG 2. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Mục đích của nghiên cứu là nghiên cứu phát triển mô hình dạy học khám phá với

sự hỗ trợ của GeoGebra và nghiên cứu ảnh hưởng của GeoGebra đối với HS trong việc

tìm kiếm lời giải bài tập toán. Các nội dung nghiên cứu bao gồm (1) Khảo sát ý kiến

nhận định của GV và HS về phần mềm GeoGebra nhằm trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu

1: “GeoGebra có thật sự là phần mềm tiện dụng đối với GV và HS ở Việt Nam?”; (2)

Nghiên phát triển các mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn, Phương

trình đường elip với sự hỗ trợ của GeoGebra nhằm trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2:

“Dạy học khám phá các tri thức mới trong dạy học Hình học 10 có thể được tiến hành

như thế nào với sự hỗ trợ của phần mềm động GeoGebra?”; (3) Nghiên cứu dạy học

giải bài toán với sự hỗ trợ của GeoGebra (bao gồm Dạy học giải bài toán lập phương

trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước với GeoGebra; Dạy học giải bài toán cực

trị với GeoGebra; Dạy học giải bài toán tìm tập hợp điểm với GeoGebra; và dạy học giải

bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng hình học với GeoGebra) nhằm trả lời

cho câu hỏi nghiên cứu 3: “Ảnh hưởng của phần mềm GeoGebra đối với HS trong việc

tìm kiếm lời giải bài tập toán?”.

Để đạt được mục đích trên, chương 2 này tiến hành thực hiện và trình bày các nội

dung bao gồm: thiết kế quy trình nghiên cứu, xác định các đối tượng của nghiên cứu,

đưa ra các công cụ nghiên cứu, trình bày phương pháp thu thập và phân tích dữ liệu.

2.1 Nghiên cứu 1: Khảo sát ý kiến nhận định của GV và HS về phần mềm

GeoGebra

2.1.1. Mục đích khảo sát

Nghiên cứu khảo sát này được thực hiện nhằm trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 1

“GeoGebra có thật sự là phần mềm tiện dụng đối với GV và HS ở Việt Nam?”

 Mục tiêu cụ thể đối với nghiên cứu khảo sát GV: Tìm hiểu mức độ tiện dụng

của GeoGebra thể hiện qua các tiêu chí như sau:

 Tỉ lệ GV sử dụng GeoGebra so với các phần mềm khác;

 Mức độ dễ sử dụng;

 Mức độ thân thiện người dùng;

 Mức độ tiện ích;

 Tiềm năng hỗ trợ dạy học.

 Mục tiêu cụ thể đối với HS: Tìm hiểu thực tiễn về mức độ khó để sử dụng các

chức năng của phần mềm GeoGebra.

2.1.2. Tiến trình nghiên cứu

 Đối với nghiên cứu khảo sát GV:

 Bước 1: Điều tra các loại mềm hình học động được GV sử dụng trong

quá trình dạy học;

 Bước 2: Xây dựng nội dung và tổ chức hướng dẫn sử dụng và ứng dụng

GeoGebra vào dạy học (xem nội dung khóa đào tạo ở Phụ lục 3);

 Bước 3: Tiến hành khảo sát nhận thức của GV về phần mềm GeoGebra;

 Bước 4: Phân tích kết quả để chỉ ra nhận thức của GV.

 Đối với nghiên cứu khảo sát HS:

 Bước 1: Tổ chức khóa hướng dẫn sử dụng phần mềm GeoGebra (xem

nội dung hướng dẫn tại Phụ lục 4);

 Bước 2: Tiến hành khảo sát nhận thức của HS đối với các công cụ chức

năng của phần mềm GeoGebra sau mỗi buổi học;

 Bước 3: Thu thập và phân tích số liệu.

2.1.3. Đối tượng khảo sát

 Đối với nghiên cứu khảo sát GV: 27 GV THPT ở các tỉnh Đồng bằng sông

cửu Long (học viên sau đại học tại ĐH Cần Thơ)

 Đối với nghiên cứu khảo sát HS: 43 HS trường PT Thái Bình Dương, Cần Thơ

2.1.4. Thời gian khảo sát

 Đối với nghiên cứu khảo sát GV: Tháng 5, 6 năm 2014

 Đối với nghiên cứu khảo sát HS: Tháng 8, năm học 2015 – 2016

2.1.5. Công cụ khảo sát và xử lí dữ liệu

 Đối với nghiên cứu khảo sát GV:

 Công cụ thu thập dữ liệu: Bảng câu hỏi với 5 mức độ theo thang đo Likert

(xem Phụ lục 1 và Phụ lục 2).

 Công cụ thống kê, phân tích dữ liệu: Phần mềm MS Excel.

 Đối với nghiên cứu khảo sát HS:

 Công cụ thu thập dữ liệu: Bảng câu hỏi được sửa đổi từ Preiner (2008) với

các mức độ theo thang đo Likert từ rất khó đến rất dễ (xem Phụ lục 5).

Trước khi tiến hành khảo sát, người nghiên cứu đã cùng 10 đồng nghiệp

trao đổi và chấp nhận tính đúng đắn về độ giá trị của bảng câu hỏi.

 Công cụ thống kê, phân tích dữ liệu: Phần mềm SPSS 22.0.

2.2 Nghiên cứu 2: Dạy học khám phá tri thức mới với sự hỗ trợ của GeoGebra

Luận án tập trung nghiên cứu hai tri thức mới là Phương trình đường tròn và

Phương trình elip.

2.2.1. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là phát triển các mô hình dạy học khám phá

Phương trình đường tròn, Phương trình đường elip với sự hỗ trợ của GeoGebra nhằm

trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2 “Dạy học khám phá các tri thức mới trong dạy học

Hình học 10 có thể được tiến hành như thế nào với sự hỗ trợ của phần mềm động

GeoGebra?”.

2.2.2. Tiến trình nghiên cứu

Đối với mỗi tri thức, các nghiên cứu được thực hiện qua 2 giai đoạn và được khái

h n ì h

quát bằng Sơ đồ Hình 2.1.

1 n ạ o đ

ô m

a r b e G o e G

i ớ v P K H D

i a i G

t ấ u x ề đ ở s ơ C

t ế k á i g

(3) Phân tích phương án dạy học của đồng nghiệp (2) Phân tích quan hệ cá nhân HS (1) Phân tích quan hệ thể chế dạy học HH 10

2 n ạ o đ

ả u q

c ự h t , t ấ u x

(6) Kiểm tra và đánh giá kết quả

à v m ệ i h g n

h n á đ

(4) Đề xuất mô hình DHKP với GeoGebra (5) Thực nghiệm sư phạm

i a i G

ề Đ

Hình 2.1. Các bước nghiên cứu dạy học tri thức mới

- Giai đoạn 1: Nghiên cứu cơ sở đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương trình

đường tròn, Phương trình đường elip với sự hỗ trợ của GeoGebra theo tiến trình gồm 3

bước:

(1) Nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học Hình học 10 đối với Phương trình đường

tròn và Phương trình đường elip;

(2) Nghiên cứu quan hệ cá nhân của HS đối với tri thức Phương trình đường tròn

và Phương trình đường elip;

(3) Nghiên cứu các phương án dạy học Phương trình đường tròn và Phương trình

đường elip của một số đồng nghiệp đã thực hiện.

- Giai đoạn 2: Nghiên cứu đề xuất, thực nghiệm và đánh giá kết quả thực nghiệm

mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn, Phương trình đường elip với sự

hỗ trợ của GeoGebra theo tiến trình gồm 3 bước:

(1) Xuất phát từ các cơ sở đã nghiên cứu ở bước 1 và chức năng đa biểu diễn của

GeoGebra, chúng tôi đề xuất mô hình tổ chức các hoạt động dạy học khám phá

giúp HS tìm ra tri thức mới bao gồm Phương trình đường tròn, Phương trình

đường elip, trong đó GeoGebra được sử dụng như là một công cụ hỗ trợ đắc

lực’;

(2) Thực nghiệm sư phạm;

(3) Kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm nhằm xem xét tính khả thi của mô hình

đã đề xuất.

Các bước nghiên cứu trên được chúng tôi cụ thể hóa trong các phần sau.

2.2.3. Trường hợp dạy học khám phá Phương trình đường tròn với sự hỗ trợ của

GeoGebra

2.2.3.1. Giai đoạn 1: Nghiên cứu cơ sở đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương trình

đường tròn với GeoGebra

(1) Nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học Hình học 10 đối với “Phương trình đường

tròn”

Mục tiêu của nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học Hình học 10 đối với Phương

trình đường tròn là xác định những ràng buộc của quan hệ thể chế dạy học Hình học 10

đối với tri thức này.

Để tìm ra những ràng buộc của quan hệ thể chế dạy học Hình học 10 đối với

Phương trình đường tròn, chúng tôi lần lượt tiến hành thực hiện các nội dung sau:

(1) Phân tích các yêu cầu của chương trình HH10 đối với Phương trình đường tròn;

(2) Phân tích con đường hình thành Phương trình đường tròn trong SGK HH10;

(3) Phân tích SGK và SBT để tổng hợp các dạng toán liên quan đến Phương trình

đường tròn;

(4) Phân tích phương án dạy học Phương trình đường tròn của các đồng nghiệp đã

đề xuất trước đây.

(2) Nghiên cứu quan hệ cá nhân HS đối với Phương trình đường tròn

Một dự đoán có thể từ những ràng buộc của thể chế dạy học HH0 đối với Phương

trình đường tròn từ nghiên cứu ở mục 4.1.1.1 trang 97 là : “Khi gặp một bài toán tìm

điều kiện của tham số k để một phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑔(𝑚) là phương

trình đường tròn thì (1) HS sẽ sử dụng chiến lược biến đổi quy phương trình đã cho về

dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 để giải quyết; (2) Hoặc là, nếu HS không sử dụng

chiến lược trên thì họ sẽ mắc phải sai lầm hoặc không thể trình bày lời giải”. Từ đây,

một nghiên cứu khảo sát được tiến hành trên đối tượng HS để kiểm chứng dự đoán trên.

Đồng thời, những ảnh hưởng của quan hệ thể chế đến quan hệ cá nhân của HS đối với

tri thức Phương trình đường tròn cũng có thể thu được từ kết quả nghiên cứu khảo sát.

(a) Đối tượng và thời gian khảo sát

Đối tượng: Thực nghiệm được tiến hành với 845 HS của 07 trường THPT (bao

gồm 3 trường THPT ở Cần Thơ (THPT Bình Thủy, THPT Thới Lai, THPT Nguyễn Việt

Dũng), 03 trường THPT tại Tiền Giang (THPT Trương Định, THPT Bình Đông, THPT

Nguyễn Văn Côn) và trường THPT Lai Vung tại Đồng Tháp). Thời gian: vào tháng 4,

học kì 2, năm học 2014-2015.

(b) Phương pháp và công cụ khảo sát

HS nhận các Phiếu khảo sát (duongtron.PhieuKS) là bài toán có nội dung: “Với

giá trị nào của 𝑚 thì phương trình (𝑥– 1)2 + (𝑦– 2)2 = 𝑚 + 2 là phương trình đường

tròn?”. HS thực hiện giải quyết vấn đề, phản hồi vào phiếu bài tập. Kết quả làm bài

được thống kê, phân tích, đối chiếu với các chiến lược giải được dự đoán ban đầu để

đưa ra kết luận.

Bài toán này được chọn bởi vì đây là một dạng toán “khác lạ” đối với HS. Dạng

toán này vắng mặt trong thể chế dạy học Hình học 10. SGK Hình học 10 không trình

bày điều kiện cần và đủ để phương trình dạng này là phương trình đường tròn. Mặc dù,

về bản chất nó đã xuất hiện ngầm ẩn trong phần nhận xét khi SGK giới thiệu một dạng

khai triển (dạng tổng quát) của phương trình đường tròn “… Ngược lại, phương trình

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi

𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm là 𝐼(𝑎, 𝑏) và bán kính

𝑅 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐” (Trần Văn Hạo et al., 2008a, p. 82). Nhưng SGK không chỉ rõ việc

đưa phương trình về dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 và đặt điều kiện 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0 để phương trình

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 là phương trình đường tròn, từ đó kết luận điều

kiện để phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 là phương trình đường tròn.

(3) Phân tích một số phương án dạy học Phương trình đường tròn của các đồng

nghiệp đã đề xuất trước đây

Nghiên cứu phân tích phương án dạy học Phương trình đường tròn của các đồng

nghiệp được thực hiện nhằm mục đích làm rõ ảnh hưởng của thể chế dạy học HH10 đến

cá nhân HS đối với tri thức Phương trình đường tròn và xem xét cách thức mà đồng

nghiệp đã sử dụng phần mềm động (nếu có) hỗ trợ hoạt động khám phá tri thức Phương

trình đường tròn. Thực hiện khảo sát 7 giáo án dạy học Phương trình đường tròn của 7

GV của các trường có HS tham gia thực nghiệm khảo sát ở mục a) và phân tích 2 phương

án sử dụng phần mềm động hỗ trợ dạy học Phương trình đường tròn được đề xuất bởi

các đồng nghiệp.

2.2.3.2. Giai đoạn 2: Đề xuất, thực nghiệm và đánh giá mô hình dạy học khám phá

Phương trình đường tròn

(1) Đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn với sự hỗ trợ của

GeoGebra

Kế thừa mô hình dạy học khám phá khái niệm theo con đường quy nạp của Nguyễn

Phú Lộc (2003b, 2010c, 2016) theo quan điểm của lí thuyết Hoạt động của Lev S.

Vygotsky (1986, 2012) mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn theo con

đường quy nạp với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra. Mô hình này được đề xuất. Các

bước chính yếu của mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn là hoạt động

HS khám phá (quan sát, phân tích và khái quát hoá) các đặc điểm chung trong các ví dụ

được GV đưa ra trước. Mô hình này được khái quát bởi Sơ đồ Hình 4.6.

(2) Thực nghiệm mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn với sự hỗ

trợ của GeoGebra

Tiến trình thực nghiệm mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn theo

con đường quy nạp với sự hỗ trợ của GeoGebra được khái quát bằng Sơ đồ Hình 2.2.

Đặt mục tiêu Dạy thực nghiệm

Kiểm tra và đánh giá

Hình 2.2. Tiến trình nghiên cứu thực nghiệm dạy học Phương trình đường tròn

(a) Đặt mục tiêu cần đạt đối với HS

(1) HS khám phá ra dạng cơ bản và dạng tổng quát của Phương trình đường tròn

trên cơ sở quan sát hai dạng biểu diễn của nó (biểu diễn dạng “số” và biểu diễn

dạng “hình”);

(2) HS xác định được điều kiện của tham số k để phương trình (𝑥 − 𝑎)2 +

(𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 là phương trình đường tròn trong từng trường hợp cụ thể và cả k

là một biểu thức chứa tham số.

(b) Dạy thực nghiệm

GV tổ chức cho HS thực hiện hoạt động khám phá Phương trình đường tròn theo

3 pha bao gồm quan sát, phân tích và khái quát hóa:

Pha 1 (Quan sát): Cho HS sử dụng GeoGebra hiển thị các dạng biểu diễn và quan

sát một số ví dụ cụ thể về Phương trình đường tròn tâm I, bán kính R (Phiếu

học tập 1) (xem Hình 2.3).

Các đường tròn được cho trong Phiếu học tập 1 có bán kính là các số

nguyên. Với các giá trị này, HS có thể nhận ra được giá trị bình phương của

nó trong phương trình xuất hiện tương ứng ở cửa sổ đại số của GeoGebra

một cách nhanh chóng. Giá trị hoành độ và tung độ của tọa độ tâm I của

đường tròn là các số nguyên (nguyên âm và nguyên dương). Giá trị này giúp

HS nhận ra tọa độ tâm I xuất hiện tương ứng trong phương trình ở cửa sổ đại

số của GeoGebra.

Pha 2 (Phân tích):

Bước 1: Yêu cầu HS phân tích các ví dụ ở Phiếu học tập 1

Bước 2: Yêu cầu HS phân tích nhận dạng Phương trình đường tròn của các

ví dụ ở Phiếu học tập 2

Pha 3 (Khái quát hóa): Yêu cầu HS khái quát hóa và phát biểu định nghĩa Phương

trình đường tròn

Hình 2.3. Phiếu học tập 1 (phương trình đường tròn)

Hình 2.4. Phiếu học tập 2 (Nhận dạng phương trình đường tròn)

 Đối tượng tham gia và thời gian thực nghiệm

Đối tượng tham gia là 22 HS lớp 10, trường trung học Phổ thông Việt Mỹ, Cần

Thơ. Trước khi buổi thực nghiệm, HS được tham gia một buổi giới thiệu và thực hành

một số chức năng của GeoGebra. Thời gian: Tháng 04, học kì 2, năm học 2014 – 2015.

 Mô hình tổ chức lớp học

Lớp học được trang bị máy chiếu (projector). GV sử dụng laptop được cài đặt sẵn

phần mềm GeoGebra và thực hiện theo phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn.

HS trực tiếp thao tác các công cụ chức năng của GeoGebra thông qua thiết bị chuột

không dây. Khi một HS thực hiện thao tác GeoGebra thì các HS còn lại cùng quan sát,

hình thành kiến thức do sử dụng chung một máy vi tính và màn chiếu. GV có vai trò

hướng dẫn, hỗ trợ (xem Hình 2.5).

Công cụ (GeoGebra)

GV Chủ thể (HS) Đối tượng Phương trình đường tròn

Hình 2.5. Mô hình tổ chức dạy học khám phá có hướng dẫn với GeoGebra

(3) Kiểm tra, đánh giá kết quả sau thực nghiệm

(a) Công cụ dùng để kiểm tra, đánh giá kiến thức của HS đối với mục tiêu cần đạt

HS thực hiện nhiệm vụ được cho trong Phiếu học tập có nội dung:

Tìm điều kiện của m để phương trình sau là phương trình của một đường tròn:

a) Câu a) (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 𝑚 + 2

....................................................................................................................................... Câu b) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑚 = 0 ....................................................................................................................................... Bài toán được cho ở Câu a) là một dạng toán mà các HS thường hoặc là biến đổi

về dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 để giải quyết, hoặc là mắc phải sai lầm hay

không thể trình bày lời giải (xem kết quả thực nghiệm khảo sát ở mục 4.1.1.2). Bài toán

được cho ở Câu b) là dạng quen thuộc đối với HS và được tường minh trong thể chế dạy

học HH10.

(b) Công cụ đánh giá năng lực khám phá kiến thức mới của HS

Để đánh giá kết quả hoạt động dạy học khám phá Phương trình đường tròn, chúng

tôi đề xuất một công cụ là Rubric đánh giá năng lực khám phá của HS theo Bảng 2.1.

Nội dung Rubric được thiết kế dựa vào bảng năng lực theo khung chương trình môn

Toán năm 2011 của Philippine (Sei-Dost & Mathted, 2011), khung chương trình môn

Toán năm 2018 của Việt Nam (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018b) và nội hàm khám phá

khái niệm toán học.

Bảng 2.1. Rubric đánh giá năng lực khám phá phương trình đường tròn của HS

Nội dung đánh giá

Mức độ

Kém

Khái quát hóa và nêu định nghĩa khái niệm Không có khả năng khái quát hóa

Trung bình

Khái quát hóa đúng nhưng không phát biểu được định nghĩa.

Chỉ ra dấu hiệu đặc trưng của phương trình chính tắc của elip Chỉ ra một số dấu hiệu nhưng không phải là dấu hiệu đặc trưng của phương trình đường tròn. Chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng của phương trình đường tròn nhưng diễn đạt không rõ ràng và còn nhiều sai sót về thuật ngữ, logic, …

Giỏi

Khá Chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng của phương trình đường tròn, diễn đạt rõ ràng ít sai sót. Chỉ ra đầy đủ dấu hiệu đặc trưng của phương trình đường tròn và diễn đạt hoàn toàn chính xác theo ngôn ngữ toán học. Khái quát hóa đúng nhưng phát biểu định nghĩa còn sai sót. Khái quát hóa đúng và phát biểu định nghĩa một cách chính xác.

Trong đó: Các dấu hiệu đặc trưng của phương trình đường tròn tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) và bán

kính 𝑅 là

+ Một phương có dạng (𝑥 − … )2 + (𝑦 − … )2 = … ;

𝑀(𝑥; 𝑦) tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) bình phương bán kính: 𝑅2

+ Vế trái thực chất là (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝐼𝑀;

+ Bản chất của phương trình là 𝑀𝐼 = 𝑅 (tập hợp tất cả các điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) sao cho

𝑀𝐼 = 𝑅).

2.2.4. Trường hợp dạy học khám phá Phương trình đường elip với sự hỗ trợ của

GeoGebra

2.2.4.1. Giai đoạn 1: Nghiên cứu cơ sở đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương trình

đường elip với GeoGebra

(1) Nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học Hình học 10 đối với “Phương trình đường

elip”

Mục tiêu của nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học Hình học 10 đối với Phương

trình chính tắc của đường elip là xác định những ràng buộc của quan hệ thể chế dạy học

Hình học 10 đối với tri thức này.

Để tìm ra những ràng buộc của quan hệ thể chế dạy học Hình học 10 đối với

Phương trình đường elip, chúng tôi lần lượt tiến hành thực hiện các nội dung sau: (a)

Phân tích các yêu cầu của chương trình HH10 đối với Phương trình chính tắc của elip;

(b) Phân tích con đường hình thành Phương trình chính tắc của elip trong SGK HH10;

tắc của elip; (d) Phân tích phương án dạy học Phương trình chính tắc của elip của các

đồng nghiệp đã đề xuất trước đây.

(2) Nghiên cứu quan hệ cá nhân HS đối với Phương trình chính tắc của elip

Giả thuyết sau được đặt ra từ những ghi nhận ở mục 4.2.1.1:

Hình 2.6. Mối liên hệ hình học giữa a, b và c

1) HS không nhận biết được mối liên hệ hình học giữa các độ dài 𝑎, 𝑏 và 𝑐

trong biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông (chẳng

hạn tam giác 𝑂𝐵2𝐹2 (xem Hình 2.6))

2) Tồn tại quy tắc R đối với HS: “chú ý điều kiện 𝑎 > 𝑐 để hiểu được cách

đặt 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2”

(a) Đối tượng và thời gian khảo sát

Nghiên cứu được tiến hành trên một mẫu gồm 1162 HS tại 09 trường THPT thuộc

các tỉnh Đồng bằng sông Cửu Long bao gồm THPT Bình Thủy, THPT Thới Lai, THPT

Nguyễn Việt Dũng (Cần Thơ); THPT Trương Định, THPT Bình Đông, THPT Nguyễn

Văn Côn, THPT Phan Việt Thống (Tiền Giang); THPT Lai Vung (Đồng Tháp). THPT

Bình Đại A, THPT Nguyễn Huệ, THPT Thạnh Phú (Bến Tre). Thời gian khảo sát: vào

tháng 4, năm học 2014-2015. HS đã học xong kiến thức về elip.

(b) Phương pháp và công cụ khảo sát

HS lần lượt nhận từng phiếu khảo sát bao gồm Phiếu khảo sát số 1

(Elip.PhieuKS.01) và Phiếu khảo sát số 2 (Elip.PhieuKS.02). Sau đó, HS thực hiện giải

quyết vấn đề, phản hồi vào phiếu bài tập. Kết quả làm bài được thống kê, phân tích, đối

chiếu với các chiến lược giải được dự đoán ban đầu để đưa ra kết luận.

Hình 2.7. Phiếu khảo sát số 1 (Elip.PhieuKS.01)

Hình 2.8. Phiếu khảo sát số 2 (Elip.PhieuKS.02)

(3) Phân tích một số phương án dạy học Phương trình đường elip của các đồng

nghiệp đã đề xuất trước đây

Nghiên cứu phân tích phương án dạy học Phương trình đường elip của các đồng

nghiệp được thực hiện nhằm góp phần làm rõ ảnh hưởng của thể chế dạy học HH10 đến

cá nhân HS đối với tri thức Phương trình đường elip, và xem xét cách thức mà đồng

nghiệp đã sử dụng phần mềm động (nếu có) hỗ trợ hoạt động khám phá tri thức Phương

trình đường elip.

Chúng tôi đã tiến hành thu thập và khảo sát 9 giáo án dạy học Phương trình đường

elip của 9 GV của các trường có HS tham gia thực nghiệm khảo sát ở mục a) và phân

tích 2 phương án sử dụng phần mềm động hỗ trợ dạy học Phương trình đường elip được

đề xuất bởi các đồng nghiệp.

2.2.4.2. Giai đoạn 2: Đề xuất, thực nghiệm và đánh giá mô hình dạy học khám phá

Phương trình chính tắc của elip

(1) Đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương trình chính tắc của elip với sự hỗ

trợ của GeoGebra

Mô hình mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn theo con đường quy

nạp với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra được thiết kế dựa theo quan điểm của lí

thuyết Hoạt động của Lev S. Vygotsky (1986, 2012) và mô hình dạy học khám phá của

Nguyễn Phú Lộc (2003b, 2010c, 2016). Các bước chính yếu của mô hình dạy học khám

phá Phương trình chính tắc của elip là hoạt động HS khám phá (quan sát, phân tích và

khái quát hoá) các đặc điểm chung trong các ví dụ được GV đưa ra trước. Mô hình này

được khái quát bởi Sơ đồ Hình 4.13 trang 124 và Hình 4.13 trang 130.

(2) Thực nghiệm mô hình dạy học khám phá Phương trình chính tắc của elip với

sự hỗ trợ của GeoGebra

Nghiên cứu thực nghiệm mô hình dạy học khám phá Phương trình chính tắc của

elip theo con đường quy nạp với sự hỗ trợ của GeoGebra được khái quát bằng Sơ đồ

Hình 2.9.

Đặt mục tiêu Dạy thực nghiệm Kiểm tra và đánh giá

Hình 2.9. Tiến trình nghiên cứu thực nghiệm dạy học Phương trình chính tắc elip

(a) Đặt mục tiêu cần đạt đối với HS

Mục tiêu cần đạt đối với HS sau tiết học:

(1) Khám phá ra Phương trình chính tắc của elip;

(2) Khám phá ra mối liên hệ về mặt số đo và hình học giữa trục lớn với tổng khoảng

cách từ điểm M đến hai tiêu điểm là chúng có cùng số đo độ dài;

(3) Khám phá ra mối liên hệ về mặt số đo và hình học giữa 𝑎, 𝑏 và 𝑐 trong biểu

thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông (chẳng hạn tam

giác 𝑂𝐵2𝐹2 (xem Hình 2.6, trang 69)).

(b) Dạy thực nghiệm

Thực nghiệm diễn ra trong 5 tiết (mỗi tiết kéo dài 45 phút) bao gồm 5 hoạt động:

- Hoạt động 1 (giới thiệu GeoGebra): Mục tiêu của hoạt động này là giới thiệu đến

HS giao diện của GeoGebra bao gồm cửa sổ đại số và cửa sổ hình học. Đồng thời, GV

giới thiệu một số công cụ chức năng cần thiết cho buổi thực nghiệm dạy học phương

trình chính tắc của elip.

- Hoạt động 2 (khám phá khái niệm elip): HS khám phá khái niệm elip là tập hợp

các điểm.

- Hoạt động 3 (khám phá cách dựng đường elip bằng công cụ chức năng của phần

mềm GeoGebra): GV giới thiệu và hướng dẫn HS dựng đường elip bằng cách sử dụng

các thanh công cụ chức năng của GeoGebra.

- Hoạt động 4 (khám phá Phương trình chính tắc của elip): HS khám phá ra

phương trình chính tắc của elip (𝐸).

- Hoạt động 5 (khám phá mối liên hệ giữa các thành phần của elip): HS khám phá

ra mối liên hệ giữa trục lớn với tổng khoảng cách từ điểm M đến hai tiêu điểm và khám

phá ra mối liên hệ hình học giữa 𝑎, 𝑏 và 𝑐 trong biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 là ba độ dài của

một tam giác vuông.

Nhiệm vụ GV là tổ chức cho HS thực hiện hoạt động khám phá và hỗ trợ HS về kĩ

thuật thao tác GeoGebra. Nhiệm vụ của HS là độc lập quan sát, phân tích và khái quát

hóa kiến thức. HS thao tác GeoGebra với sự trợ giúp của GV.

 Đối tượng tham gia thực nghiệm và cách thức tổ chức lớp học

Thực nghiệm được tiến hành trên 261 HS của 7 lớp 10 tại 5 trường THPT trên địa

bàn thành phố Cần Thơ (xem Bảng 2.2). Các lớp thực nghiệm có điểm trung bình môn

toán trong khoảng từ 5.0 đến 6.32.

Bảng 2.2. Mô tả các lớp thực nghiệm

1 B 0 1 . T B

2 B 0 1 . T B

1 B 0 1 . D V N

4 A 0 1 . L T

2 1 A 0 1 . L T

1 A 0 1 . M V

1 A 0 1 . D B T

g n ổ T

Lớp thực nghiệm

22 22 41 40 39

39 38 6.32 5.00 5.20 5.43 5.25 6.30 5.50 241

Tổng số HS Điểm trung bình Tất cả HS các lớp thực nghiệm chỉ được GV giới thiệu và hướng dẫn tổng quan về

phần mềm GeoGebra mà không được trực tiếp thao tác sử dụng các công cụ chức năng

của nó.

Vì thế, quy trình dạy học được triển khai theo hình thức HS trực tiếp thao tác các

công cụ của GeoGebra với sự trợ giúp của GV. HS thực hiện hành động quan sát, phân

tích và khái quát hóa. GV có vai trò hỗ trợ kĩ thuật thao tác GeoGebra.

Công cụ GeoGebra

Đối tượng GV

Chủ thể (HS) 1) Phương trình chính tắc của elip 2) Mối liên hệ giữa các thành phần của elip

Hình 2.10. Hình thức tổ chức dạy học khám phá có hướng dẫn với GeoGebra

 Thời gian thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành sau khi HS hoàn thành nội dung kiến thức “Phương

trình đường tròn”, vào tháng 04, học kì 2, năm học 2014 – 2015.

 Mô hình tổ chức lớp học

Lớp học được trang bị máy chiếu (projector). GV sử dụng laptop được cài đặt sẵn

phần mềm GeoGebra và thực hiện theo phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn.

HS trực tiếp thao tác các công cụ chức năng của GeoGebra thông qua thiết bị chuột

không dây. Khi một HS thực hiện thao tác GeoGebra thì các HS còn lại cùng quan sát,

hình thành kiến thức do sử dụng chung một máy vi tính và màn chiếu. GV có vai trò

hướng dẫn, hỗ trợ (xem Hình 2.5).

(3) Kiểm tra, đánh giá kết quả sau thực nghiệm

(a) Công cụ dùng để kiểm tra, đánh giá kiến thức của HS đối với mục tiêu cần đạt

Một tuần sau khi tiếp cận tri thức elip, HS các lớp thực nghiệm được tham gia khảo

sát nhằm đánh giá khả năng hiểu và ghi nhớ của HS về mối liên hệ hình học giữa các đại lượng a, b và c trong biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 (chẳng hạn tam giác 𝑂𝐵2𝐹2 (xem Hình 2.6, trang 69)). Phiếu khảo sát số 2 có nội dung “Dựa vào hình vẽ, bằng cách sử dụng

định lí Pitago vào tam giác nào để có hệ thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2. Hãy vẽ tam giác đó vào

hình trên và giải thích rõ lí do cho sự lựa chọn của em?” (xem Hình 2.8 trang 70) được

sử dụng làm công cụ khảo sát. Kết quả khảo sát trên đối tượng tham gia thực thực sẽ

được thống kê đối chiếu với kết quả khảo sát ở mục (2) trang 69 với giả thuyết 𝐻0 là các

phương pháp dạy học không tác động đến khả năng nhận biết ý nghĩa hình học của mối

quan hệ 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 của HS. Chi-squared (khi bình phương) được sử dụng làm công

cụ để kiểm định giả thuyết này với sự hỗ trợ của xử lý thống kê công cụ trực tuyến

https://www.socscistatistics.com và phần mềm 𝑅 phiên bản 4.10.

(b) Công cụ dùng để đánh giá năng lực khám phá kiến thức mới của HS

Rubric đánh giá năng lực khám phá kiến thức của HS ở Bảng 2.3 được đề xuất

nhằm đánh giá kết quả hoạt động học tập Phương trình chính tắc của elip. Nội dung

Rubric được thiết kế dựa vào bảng năng lực theo chương trình môn Toán năm 2011 của

Philippine (Sei-Dost & Mathted, 2011), chương trình môn Toán năm 2018 của Việt Nam

(Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018b) và nội hàm khám phá khái niệm toán học.

Bảng 2.3. Rubric đánh giá năng lực khám phá của HS Nội dung đánh giá

Mức độ

Kém

Khái quát hóa và nêu định nghĩa khái niệm Không có khả năng khái quát hóa.

Trung bình

Khái quát hóa đúng nhưng không phát biểu được định nghĩa.

Khá

Giỏi

Khái quát hóa đúng nhưng phát biểu định nghĩa còn sai sót. Khái quát hóa đúng và phát biểu định nghĩa một cách chính xác

Chỉ ra dấu hiệu đặc trưng của phương trình chính tắc của elip Chỉ ra một số dấu hiệu nhưng không phải là dấu hiệu đặc trưng của khái niệm phương trình chính tắc của elip. Chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng của khái niệm phương trình chính tắc của elip nhưng diễn đạt không rõ ràng và còn nhiều sai sót (thuật ngữ, logic, …) Chỉ ra dấu hiệu đặc trưng của khái niệm, diễn đạt rõ ràng ít sai sót. Chỉ ra đầy đủ dấu hiệu đặc trưng của khái niệm và diễn đạt hoàn toàn chính xác theo ngôn ngữ toán học.

Trong đó, các dấu hiệu đặc trưng của phương trình chính tắc của elip là

…

+ một phương trình có dạng 𝑥2 + 𝑦2 = 1

𝑎2 𝑏2

𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 (𝑎 > 𝑏)

...

+ Vế phải của phương trình 𝑥2 + 𝑦2 = 1 luôn luôn bằng 1.

2.3 Nghiên cứu 3: Dạy học khám phá giải bài tập toán với sự hỗ trợ của phần mềm

động GeoGebra

2.3.1. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu giải bài toán với sự hỗ trợ của GeoGebra nhằm trả lời

cho câu hỏi nghiên cứu 3 “Ảnh hưởng của phần mềm GeoGebra đối với HS trong việc

tìm kiếm lời giải bài tập toán?”

2.3.2. Tiến trình nghiên cứu

Nghiên cứu này được cụ thể hóa bởi các trường hợp: Dạy học giải bài toán lập

phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước với GeoGebra; Dạy học giải bài

toán cực trị với GeoGebra; Dạy học giải bài toán tìm tập hợp điểm với GeoGebra; và

dạy học giải bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng hình học với GeoGebra.

2.3.3. Trường hợp dạy học giải bài toán cực trị hình học với GeoGebra

2.3.3.1. Bài toán được chọn để thực nghiệm

Để trả lời cho câu hỏi đặt ra, bài toán có nội dung như sau được sử dụng để tiến

hành các thực nghiệm sư phạm trên đối tượng HS trung học phổ thông:

Bài toán Heron tia sáng: Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho hai điểm 𝐴(2; 2) và

𝐵(8; 6). Xác định vị trí của điểm 𝐶 thuộc trục hoành 𝑂𝑥 sao cho tổng khoảng cách

𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 là ngắn nhất.

2.3.3.2. Lí do chọn bài toán này

Bài toán này được chọn thực nghiệm bởi vì:

• Các nghiên cứu trước chủ yếu sử dụng chiến lược đối xứng để xác định vị trí

điểm 𝐶.

• Chúng tôi xét thấy bài toán này có thể có nhiều cách xác định vị trí điểm 𝐶 mà

không nhất thiết phải lấy đối xứng. Vấn đề đặt ra là với sự ảnh hưởng của

GeoGebra, HS có thể đưa ra nhiều cách khác ngoài cách lấy đối xứng không?

2.3.3.3. Dạy thực nghiệm

(a) Mục tiêu cần đạt đối với HS

Mục tiêu cần đạt đối với HS:

(1) Phát hiện ra các chiến lược dựng điểm 𝐶 để tổng 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 nhỏ nhất.

(2) Phát hiện ra các chiến lược xác định tọa độ điểm 𝑀, cụ thể 𝑀(0; 3,5).

(b) Đối tượng tham gia và thời thực nghiệm

 Thực nghiệm đợt 1: 11 HS lớp 12, trường phổ thông Thái Bình Dương, Cần

Thơ. Thời gian: học kì 1, năm học 2013-2014.

 Thực nghiệm đợt 2: 18 HS (9 nhóm) lớp 11, trường phổ thông Thái Bình

Dương, Cần Thơ. Thời gian: học kì 1, năm học 2014-2015.

 Thực nghiệm đợt 1: Lớp học được trang bị máy chiếu (projector). GV sử dụng

laptop được cài đặt sẵn phần mềm GeoGebra và thực hiện theo phương pháp dạy

học khám phá ở mức độ 2 (Khám phá có hướng dẫn một phần). HS lần lượt trực

tiếp tương tác với các công cụ chức năng của GeoGebra thông qua thiết bị chuột

không dây hoặc yêu cầu GV thực hiện thay. Khi một HS thực hiện thao tác

GeoGebra thì các HS còn lại cùng quan sát, hình thành kiến thức do sử dụng chung

một máy vi tính và màn chiếu. GV có vai trò hướng dẫn, hỗ trợ kĩ thuật thao tác

GeoGebra khi cần thiết. Mô hình này được khái quát bằng sơ đồ Hình 2.11.

Công cụ (GeoGebra) Kết quả (1) Phát hiện ra các chiến lược dựng

điểm 𝐶; GV (2) Phát hiện ra các chiến lược xác định

tọa độ điểm 𝑀, cụ thể 𝑀(0; 3,5). Đối tượng (Bài toán) Chủ thể HS

Hình 2.11. Mô hình tổ chức DHKP Bài toán Heron tia sáng ở thực nghiệm đợt 1

 Thực nghiệm đợt 2: Lớp học là một phòng máy vi tính có trang bị máy chiếu

(projector). Tất cả các máy tính được cài đặt sẵn phần mềm GeoGebra. HS lần lượt

trực tiếp tương tác với các công cụ chức năng của GeoGebra và tự khám phá ra

chiến lược giải quyết vấn đề. GV có vai trò hướng dẫn, hỗ trợ kĩ thuật thao tác

GeoGebra khi cần thiết. Mô hình này được khái quát bằng sơ đồ Hình 2.12.

Kết quả (1) Phát hiện ra các chiến lược dựng Công cụ (GeoGebra) điểm 𝐶;

Đối tượng (Bài toán) Chủ thể (HS)

(2) Phát hiện ra các chiến lược xác định tọa độ điểm 𝑀, cụ thể 𝑀(0; 3,5). Hình 2.12. Mô hình tổ chức DHKP Bài toán Heron tia sáng ở thực nghiệm đợt 2

2.3.3.4. Công cụ thu thập và xử lí dữ liệu

Các dữ liệu thu thập được sau khi thực nghiệm bao gồm: phiếu trả lời và giấy nháp

của HS; âm thanh và hình ảnh được ghi hình trong lớp học; các tệp GeoGebra và bản

ghi hình cho từng thao tác; và biên bản ghi nhận của người quan sát.

2.3.4. Trường hợp dạy học giải bài toán lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều

kiện cho trước với GeoGebra

2.3.4.1. Bài toán được chọn để thực nghiệm

Bài toán: Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴(1; 2); 𝐵(5; 2) và 𝐶(1; −4).

2.3.4.2. Lí do chọn bài toán này

Bài toán này được chọn thực nghiệm bởi vì:

• Dạng toán phổ biến về lập phương trình đường tròn.

• Xuất hiện ở chương trình hiện hành và có thể ở CT GDPT 2018.

• Xem xét HS giải trong môi trường giấy bút như thế nào?

• Sự ảnh hưởng của GeoGebra đến việc tìm chiến lược giải của HS ra sao?

2.3.4.3. Dạy thực nghiệm

(a) Mục tiêu cần đạt đối với HS

Mục tiêu cần đạt đối với HS: Phát hiện nhiều chiến lược giải

(b) Đối tượng tham gia và thời gian thực nghiệm

Thực nghiệm tiến hành vào tháng 9 năm 2015 với 22 HS lớp 11 của trường phổ

thông Thái Bình Dương tại thành phố Cần Thơ (được chia thành 11 nhóm bao gồm

nhóm N1, N2, …, N11). HS đã được tham gia khóa hướng dẫn sử dụng GeoGebra theo

nội dung ở Phụ lục 4 trang 242. Nhiệm vụ của HS là giải bài toán được chọn ở mục

2.3.4.1 trang 77.

Thực nghiệm dạy học giải bài toán trên được tiến hành lần lượt theo hai tình huống:

 Tình huống 1 (giải toán trong môi trường giấy bút): HS độc lập làm việc theo

nhóm, sử dụng công cụ giấy bút giải bài toán đã cho trong thời gian 45 phút. GV

có vai trò là người động viên.

Công cụ (Giấy bút)

Kết quả (Nhiều lời giải) Chủ thể (HS) Đối tượng (Bài toán)

Hình 2.13. Mô hình tổ chức HS giải toán trong môi trường giấy bút

 Tình huống 2 (giải toán trong môi trường GeoGebra): HS làm việc theo nhóm, sử

dụng công cụ GeoGebra giải bài toán đã cho trong thời gian 45 phút. Nhiệm vụ

của GV là hướng dẫn, hỗ trợ thao tác các công cụ chức năng của GeoGebra khi

cần thiết.

Công cụ (GeoGebra)

Chủ thể (HS) Kết quả (Nhiều lời giải) Đối tượng (Bài toán)

Hình 2.14. Mô hình tổ chức HS giải toán trong môi trường GeoGebra

2.3.4.4. Công cụ thu thập và phân tích dữ liệu

Các dữ liệu thu thập được sau khi thực nghiệm bao gồm: (a) phiếu trả lời và giấy

nháp của HS; (b) âm thanh và hình ảnh được ghi hình trong lớp học; (c) các tệp

GeoGebra và bản ghi hình cho từng thao tác; và (d) biên bản ghi nhận của người quan

sát.

2.3.4.5. Khảo sát quan điểm của GV đối với lời giải của HS

Trong các sản phẩm học tập thu được, lời giải của HS nhóm N5 (xem Hình 2.15)

được quan tâm nghiên cứu.

Hình 2.15. Bài làm của nhóm N5 (trường phổ thông Thái Bình Dương)

Lời giải này của HS cho thấy HS đã có ý tưởng mới trong việc trình bày lời giải.

HS dự đoán được phương trình (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 13 là phương trình của đường

tròn và chứng tỏ rằng đường tròn này đi qua các điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶 bằng cách chỉ ra rằng

tọa độ của mỗi điểm đều thỏa mãn phương trình. Hơn nữa, HS trả lời các câu hỏi phỏng

vấn của GV như sau cho thấy HS hiểu rõ nội dung bài làm của mình: GV hỏi “Bằng

cách nào em có được phương trình?”, HS trả lời “ Từ kết quả hiển thị và … đây là

đường tròn đường kính 𝐵𝐶”. GV tiếp tục hỏi “Đường tròn đường kính 𝐵𝐶 có nghĩa là

gì?”, HS phản hồi “phương trình này là cũng phương trình của đường tròn đường kính

B𝐶 và đường tròn này đi qua điểm 𝐴”. GV đặt vấn đề “Theo em, có bao nhiêu đường

tròn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶?”, HS khẳng định “Có duy nhất”.

Vì thế, GV hướng dẫn HS bổ sung thêm lập luận “qua 3 điểm không thẳng hàng

xác định duy nhất một đường tròn” để lời giải thêm chặt chẽ. Cụ thể:

Ta có: (𝐶): (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 1 là phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

𝐴(1; 2), 𝐵(5; 2), 𝐶(1; −4) vì:

* Điểm 𝐴(1; 2) ∈ (𝐶) do thay 𝑥 = 1 và 𝑦 = 2 vào (C), ta được: (1 − 3)2 + (2 + 1)2 = 13 (đúng). * Lí luận tương tự, ta cũng có: điểm 𝐵(5; 2) ∈ (𝐶) và 𝐶(1; −4) ∈ (𝐶). Vì qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một đường tròn, nên đáp số của bài

toán là: (𝐶): (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 1.

Trong quá trình tìm kiếm phương hướng giải, ta thường phải áp dụng các thao tác

mò mẫm, dự đoán. Do đó, có thể những ý tưởng, những thao tác chưa trọn vẹn, còn

rườm rà, phức tạp, thậm chí sai sót, những suy luận còn dài dòng. Như vậy việc chỉnh

lại những ý tưởng, thao tác hay suy luận này là cần thiết. Người giải không thể đưa

nguyên xi những cái đã trải qua vào lời giải. Nói cách khác, luôn có một khoảng cách

giữa việc hiểu con đường dẫn đến câu trả lời và việc soạn thảo câu trả lời. Người giải có

thể không trình bày lại con đường dẫn đến câu trả lời, nhưng câu trả lời cần đảm bảo

tính lập luận chặt chẽ và thỏa đáng. Vì thế, ngoài việc rèn luyện cho HS kĩ năng tìm tòi

lời giải bài toán, người dạy cần rèn luyện cho HS cách trình bày một lời giải sao cho

ngắn gọn, đầy đủ, chính xác và rõ ràng. Khi soạn thảo lời giải, người học cần chú ý sử

dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toán học một cách thích hợp và chính xác.

Câu hỏi nghiên cứu: Liệu GV có chấp nhận lời giải này không? Quan điểm của họ

ra sao khi đứng trước lời giải này? Có tồn tại những quy tắc hợp đồng nào ràng buộc đối

với HS và GV khi giải quyết kiểu nhiệm vụ lập (viết) phương trình đi qua 3 điểm?

(a) Đối tượng và thời gian khảo sát

Đối tượng: GV ở các trường THPT tại các tỉnh Đồng bằng sông Cửu Long và SV

(năm thứ 3, năm thứ 4) ngành sư phạm toán của trường Đại học Cần Thơ.

Thời gian khảo sát: vào cuối năm học 2015 – 2016.

(b) Công cụ

Công cụ dùng để khảo sát là Phiếu khảo sát (xem Hình 2.16): Để hoàn thành Phiếu

khảo sát này, trước nhất, GV tiến hành phân tích, đánh giá và cho điểm. Sau đó, GV

trình bày quan điểm để giải thích lí do cho điểm của mình về lời giải của bài toán.

Hình 2.16. Nội dung Phiếu khảo sát quan điểm GV về lời giải

2.3.5. Trường hợp dạy học giải bài toán tìm tập hợp điểm với GeoGebra

2.3.5.1. Bài toán được chọn để thực nghiệm

Bài toán tìm tập hợp điểm: Tìm tập hợp tất cả các điểm 𝐺 là trọng tâm của

tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐵(4; 0), 𝐶(0; 4) và điểm 𝐴 thuộc đường tròn có tâm

𝐼(−2; 0) và bán kính bằng 2.

Bài toán này được điều chỉnh từ bài toán: “Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn

tâm 𝑂 bán kính 𝑅. Các đỉnh B, 𝐶 cố định còn 𝐴 chạy trên đường tròn đó. Chứng minh

rằng trọng tâm 𝐺 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 chạy trên một đường tròn”. (Trần Văn Hạo và cộng

sự., 2008).

2.3.5.2. Lí do chọn bài toán này

Theo Đào Tam (2007): “Bài toán quỹ tích ... là những bài toán mà HS phải tự tìm

lấy kiến thức rồi sau đó chứng minh nó. Vì vậy, HS thường gặp khó khăn trong việc định

hướng, tìm tòi lời giải bài toán”. Bài toán tìm quỹ tích là một trong những dạng toán mà

HS thường gặp các chướng ngại khi thực hiện như vốn kiến thức đã có, khả năng tư duy

hình học, khả năng suy luận, ... Với dạng toán này, người ta chưa cho biết quỹ tích của

điểm là gì. Nhiệm vụ của người học phải tìm ra một hình 𝐻 và chứng minh rằng quỹ

tích các điểm chính là hình 𝐻 đó. Tuy nhiên, điều này không dễ dàng đối với đa số HS

nếu họ chỉ thực hiện trong môi trường tĩnh (giấy, bút chì và thước kẻ).

Chương phương pháp tọa độ trong SGK và SBT HH10, các dạng toán (nhiệm vụ)

tìm tập hợp điểm không được chia làm một phần riêng mà nó được tích hợp trong từng

đơn vị tri thức. Cụ thể, chúng tôi tìm thấy hai kiểu nhiệm vụ trong chương phương pháp

tọa độ trong mặt phẳng trong SGK cùng với hướng dẫn giải có trong SGV.

Dạng T1: Tìm tập hợp điểm cách đều hai đường thẳng song song 𝑑1 và 𝑑2.

Phương pháp giải sau có thể được sử dụng:

- Gọi 𝑀(𝑥; 𝑦) là điểm cách đều 𝑑1 và 𝑑2;

- Sử dụng công thức 𝑑(𝑑, 𝑑1) = 𝑑(𝑀, 𝑑2) để thiết lập phương trình và đưa về

đúng dạng phương trình đường thẳng.

Dạng T2: Chứng minh tập hợp điểm là một đường tròn

Các phương pháp giải sau có thể được sử dụng:

• Phương pháp giải 1:

- Gọi 𝑀(𝑥; 𝑦) là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán;

- Chứng minh điểm 𝑀 cách đều một điểm cố định bằng một khoảng cách

không đổi.

• Phương pháp giải 2:

- Gọi 𝑀(𝑥; 𝑦) là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán;

- Căn cứ dữ liệu đã cho, thiết lập phương trình và đưa về đúng dạng phương

trình đường tròn.

Dạng T3: Chứng minh tập hợp điểm là một elip

• Phương pháp giải 1:

- Gọi 𝑀(𝑥; 𝑦) là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán;

- Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm 𝑀 đến hai điểm cố định (chẳng hạn

𝐹1 và 𝐹2) bằng một hằng số (chẳng hạn 2𝑎) lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm

cố định đó (2𝑎 > 𝐹1𝐹2)

- Kết luận 𝑀 di động trên elip có hai tiêu điểm 𝐹1 𝐹2 và trục lớn 2𝑎

• Phương pháp giải 2:

- Gọi 𝑀(𝑥; 𝑦) là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

𝑦2 𝑏2 = 1 (với 𝑎, 𝑏 là hằng số thỏa mãn 0 < 𝑏 < 𝑎)

𝑎2 +

- Chứng minh trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) có tọa độ thỏa mãn phương trình 𝑥2

Các bài tập minh họa: Bai5.SGK.tr88; VD1.SBT.tr146.; VD2.SBT.tr147;

3.30.SBT.tr147; 3.31.SBT.tr147.

2.3.5.3. Dạy thực nghiệm

(a) Mục tiêu cần đạt đối với HS

Mục tiêu cần đạt đối với HS: Phát hiện tập hợp các điểm 𝐺 là đường tròn tâm 𝐾,

. Đồng thời, phát hiện nhiều chiến lược giải khác nhau. bán kính bằng 2 3

(b) Đối tượng tham gia và thời gian thực nghiệm

Đối tượng tham gia thực nghiệm là 26 HS lớp 10 đang học tại trường THPT Châu

Văn Liêm, TP Cần Thơ trong năm học 2019 – 2020. Các HS có thể sử dụng GeoGebra

ở mức độ cơ bản. HS thao tác trực tiếp phần mềm GeoGebra theo nhóm đôi trong suốt

quá trình giải toán.

Thực nghiệm dạy học giải bài toán trên được tiến hành lần lượt theo hai tình huống:

 Tình huống 1 (giải toán trong môi trường giấy, bút): HS độc lập làm việc theo

nhóm, sử dụng công cụ giấy bút giải bài toán đã cho trong thời gian 45 phút. GV

có vai trò là người động viên.

Kết quả

Công cụ (Giấy, bút) ቁ.

Đối tượng (Bài toán) Chủ thể (HS) - Phát hiện quỹ tích điểm 𝐺 là 𝐶 ቀ𝐾, 2 3 - Phát hiện nhiều chiến lược giải khác nhau.

Hình 2.17. Mô hình giải toán trong môi trường giấy, bút

 Tình huống 2 (giải toán trong môi trường GeoGebra): HS làm việc theo nhóm, sử

dụng công cụ GeoGebra giải bài toán đã cho trong thời gian 45 phút. Nhiệm vụ

của GV là hướng dẫn, hỗ trợ thao tác các công cụ chức năng của GeoGebra khi

cần thiết.

Kết quả Công cụ (Giấy, bút) ቁ.

Đối tượng (Bài toán) - Phát hiện quỹ tích điểm 𝐺 là 𝐶 ቀ𝐾, 2 3 - Phát hiện nhiều chiến lược giải khác nhau. Chủ thể (HS)

Hình 2.18. Mô hình tổ chức giải toán trong môi trường GeoGebra

2.3.5.4. Công cụ thu thập và phân tích dữ liệu

Các dữ liệu thu thập được sau khi thực nghiệm bao gồm ghi nhận của người quan

sát; phiếu trả lời và giấy nháp của HS; quay phim các thao tác của HS bởi công cụ “cách

dựng hình” sẵn có của GeoGebra.

2.3.6. Trường hợp dạy học giải bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng

hình học với GeoGebra

2.3.6.1. Bài toán được chọn để thực nghiệm

Bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng: Cho tam giác

𝐴𝐵𝐶. Dựng về phía ngoài của tam giác đó hình vuông 𝐴𝐵𝐸𝐹 và 𝐴𝐶𝐼𝐾. Gọi

𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶.

• Xác định mối quan hệ giữa 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾;

• So sánh độ dài của 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾.

Bài toán này được điều chỉnh từ bài toán: “Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Dựng về phía ngoài

𝐹𝐾”. (Trần Văn Hạo et al., 2007). của tam giác đó hình vuông 𝐴𝐵𝐸𝐹 và 𝐴𝐶𝐼𝐾. Gọi 𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶. Chứng minh rằng 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾 và 𝐴𝑀 = 1 2

2.3.6.2. Lí do chọn bài toán

Bài toán này được chọn thực nghiệm bởi vì đối với bài toán này, nếu được cho

dưới dạng bài toán đóng, HS thường được GV hướng dẫn giải quyết bằng cách sử dụng

phép biến hình. Tuy nhiên, bài toán này có thể được giải quyết bằng nhiều phương pháp

khác nhau. Với mục tiêu nghiên cứu ảnh hưởng của GeoGebra đến chiến lược giải quyết

vấn đề, bài toán này được điều chỉnh thành dạng bài toán mở.

2.3.6.3. Dạy thực nghiệm

(a) Mục tiêu cần đạt đối với HS

Mục tiêu cần đạt đối với HS: Phát hiện ra mối liên hệ giữa 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾. Đồng thời,

𝐹𝐾. phát hiện các chiến lược chứng minh 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾 và 𝐴𝑀 = 1 2

(b) Đối tượng tham gia và thời gian thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành với sự tham gia của 12 HS lớp 12 có học lực giỏi

môn Toán đang học tại trường chuyên Lí Tự Trọng, Phan Ngọc Hiển tại thành phố Cần

Thơ. Tất cả HS đã được tiếp cận và sử dụng được phần mềm GeoGebra. Thực nghiệm

được tiến hành vào đầu học kì 2, năm học 2019 – 2020, 12 HS tham gia thực nghiệm

được chia thành 06 nhóm (nhóm N1, nhóm N2, nhóm N3, nhóm N4, nhóm N5 và nhóm

N6). Mỗi nhóm sử dụng 01 laptop có cài đặt phần mềm GeoGebra để thực hiện giải

toán. Nhiệm vụ cho tất cả các nhóm là giải quyết bài toán vuông góc.

HS làm việc theo nhóm, sử dụng công cụ GeoGebra giải bài toán đã cho trong thời

gian 45 phút. Nhiệm vụ của GV là hướng dẫn, hỗ trợ thao tác các công cụ chức năng

của GeoGebra khi cần thiết.

Kết quả

𝐹𝐾. Công cụ (Giấy, bút)

Đối tượng (Bài toán) - Phát hiện: 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾; 𝐴𝑀 1 2 - Phát hiện nhiều chiến lược giải khác nhau. Chủ thể (HS)

Hình 2.19. Mô hình tổ chức giải toán trong môi trường GeoGebra

2.3.6.4. Công cụ thu thập và xử lí dữ liệu

Các dữ liệu thu thập được sau khi thực nghiệm bao gồm: phiếu trả lời và giấy nháp

của HS, âm thanh và hình ảnh được ghi hình trong lớp học, các tệp GeoGebra và bản

ghi hình cho từng thao tác và biên bản ghi nhận của người quan sát.

2.3.7. Trường hợp dạy học giải bài toán xác định vị trí của một điểm thỏa mãn điều

kiện cho trước với GeoGebra theo mô hình BAbSPWG

2.3.7.1. Bài toán được chọn để thực nghiệm và lí do chọn

Bài toán diện tích bằng nhau: “Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho tứ

giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 với 𝐴(1; 3), 𝐵(3; 4), 𝐶(4; 0) và 𝑂(0; 0). Xác định tọa độ điểm 𝑀 thuộc trục

𝑂𝑥 có hoành độ dương sao cho tam giác 𝐴𝑀𝑂 và tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 có diện tích bằng nhau.”

Bài toán này được điều chỉnh từ bài toán: “Cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷. Tìm điểm 𝑀 trên

tia 𝐷𝐶 sao cho 𝑆∆𝐴𝐷𝑀 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷” (Hoa Ánh Tường, 2013).

2.3.7.2. Lí do chọn bài toán

Tiếp cận bài toán trên với sự hỗ trợ của phần mềm động Geometer’s Sketchpad,

Hoa Ánh Tường (2013) đề xuất chiến lược tìm tòi lời giải như sau:

𝐴𝐻

từ đó cần xác định được điểm 𝑀 • Đo diện tích tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 và độ dài đường cao 𝐴𝐻 (với 𝐴𝐻 ⊥ 𝐷𝐶 tại 𝐻); • Từ 𝑆∆𝐴𝐷𝑀 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 ta tính được 𝐷𝑀 = 2.𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷

𝐴𝐻

; trên tia 𝐷𝐶 sao cho 𝐷𝑀 = 2.𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷

• Dựa vào hình vẽ, HS thấy được 𝐴𝐶 và 𝐵𝑀 song song khi tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 thay

đổi;

• Từ đó HS tìm cách chứng minh, chẳng hạn: 𝑆∆𝐴𝐷𝑀 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 ⟺ 𝑆∆𝐴𝐵𝑁 = 𝑆∆𝑁𝐶𝑀 ⟺ 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐶𝑀 ⟺ 𝑑(𝐵, 𝐴𝐶) = 𝑑(𝑀, 𝐴𝐶) ⟺ 𝐴𝐶 ∥ 𝐵𝑀.

Phần mềm toán học động thường cho người giải biết trước kết quả (chẳng hạn, vị

trí của điểm 𝑀), vấn đề từ kết quả này, bằng cách nào HS tìm tòi được lời giải là câu

hỏi cần được xem xét. Hơn nữa, việc thấy được 𝐴𝐶 và 𝐵𝑀 song song khi tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷

thay đổi đối với HS có phải là điều dễ dàng hay không. Vấn đề đặt ra là với sự ảnh

hưởng của GeoGebra, HS có thể độc lập đưa ra lời giải như thế nào?

2.3.7.3. Đối tượng tham gia và phương pháp tổ chức thực nghiệm

Thực nghiệm mô hình cải tiến được tiến hành với sự tham gia của 20 HS lớp 12

có học lực giỏi môn Toán của trường phổ thông Thái Bình Dương tại thành phố Cần

Thơ. Tất cả HS đã được tiếp cận và sử dụng được phần mềm GeoGebra. Thực nghiệm

được tiến hành vào cuối học kì 2, năm học 2019 – 2020, 20 HS tham gia thực nghiệm

được chia thành 10 nhóm (nhóm N1, nhóm N2, nhóm N3, … và nhóm N10). Mỗi nhóm

độc lập sử dụng 01 laptop có cài đặt phần mềm GeoGebra để thực hiện giải toán với sự

hướng dẫn của GV. Nhiệm vụ cho tất cả các nhóm là giải quyết bài toán diện tích bằng

nhau. HS làm việc theo nhóm, sử dụng công cụ GeoGebra giải bài toán đã cho trong

thời gian 45 phút. Nhiệm vụ của GV là hướng dẫn, hỗ trợ thao tác các công cụ chức

năng của GeoGebra khi cần thiết.

Công cụ (GeoGebra)

Kết quả (giải quyết vấn đề) Đối tượng (Bài toán) Chủ thể (HS)

Hình 2.20. Mô hình tổ chức giải toán trong môi trường GeoGebra

2.3.7.4. Công cụ thu thập và xử lí dữ liệu

Các dữ liệu thu thập được sau khi thực nghiệm bao gồm: phiếu trả lời và giấy nháp

của HS; âm thanh và hình ảnh được ghi hình trong lớp học; các tệp GeoGebra và bản

ghi hình cho từng thao tác; và biên bản ghi nhận của người quan sát.

2.4 Kết luận chương 2

Chương này đề ra các nội dung, phương pháp nghiên cứu để trả lời các câu hỏi đã

nêu trong phần nhiệm vụ nghiên cứu. Các quy trình thiết kế, công cụ và phương pháp

thu thập dữ liệu được trình bày và phân tích. Thông qua quá trình thu thập và phân tích

dữ liệu, chúng tôi sẽ đưa ra những kết quả nghiên cứu cho luận án nhằm trả lời các câu

hỏi nghiên cứu. Những kết quả này sẽ được trình bày trong các chương tiếp theo.

CHƯƠNG 3. KHẢO SÁT NHẬN ĐỊNH CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

VỀ PHẦN MỀM ĐỘNG GEOGEBRA

Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu khảo sát nhận thức của GV và HS về việc

sử dụng phần mềm GeoGebra nhằm trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ 1. Các khảo sát

được tiến hành trên đối tượng GV và HS thông qua khóa giới thiệu và hướng dẫn sử

dụng GeoGebra. Mục 3.1 trình bày kết quả so sánh ý kiến của GV về mức độ dễ sử

dụng, mức độ thân thiện, mức độ tiện ích và tiềm năng của phần mềm GeoGebra trong

dạy học Toán trước và sau khóa đào tạo ứng dụng phần mềm dạy học. Mục 3.2 trình

bày kết quả khảo sát GV về mức độ sử dụng các loại phần mềm hỗ trợ dạy học Toán.

Mục 3.3 trình bày kết quả khảo sát ý kiến của HS về mức độ dễ sử dụng sau khóa học

hướng dẫn sử dụng phần mềm GeoGebra.

3.1 Kết quả khảo sát nhận định của GV xoay quanh vấn đề sử dụng phần mềm

GeoGebra hỗ trợ dạy học Toán

Không bao giờ

Hiếm khi

Thỉnh thoảng

Thường xuyên

Rất thường xuyên

Geometer’s Sketchpad

Cabri II Plus

Geoplan

GeoGebra

 Câu hỏi 1: Thầy/ cô đã từng sử dụng phần mềm động nào để hỗ trợ dạy học?

Hình 3.1. Các loại phần mềm động và mức độ sử dụng

Biểu đồ Hình 3.1 cho thấy rằng, trong 27 GV có 22 GV sử dụng Geometer’s

Sketchpad, 11 GV sử dụng Cabri II Plus, 3 GV sử dụng Geoplan và 4 GV sử dụng

GeoGebra. Geometer’s Sketchpad được nhiều GV biết và sử dụng thường xuyên hơn

các phần mềm khác. Kết quả này có thể được giải thích bởi hai nguyên nhân chính: (1)

khoảng thời gian 10 năm gần đây, Geometer’s Sketchpad được các chuyên gia của Bộ

giáo dục và đào tạo Việt Nam tập huấn hướng dẫn GV sử dụng; (2) Geometer’s

Sketchpad là dễ dàng để sử dụng và hiệu quả. Đối với các phần mềm khác, GV tự nghiên

cứu hoặc chỉ tham gia các khóa hướng dẫn ngắn hạn.

 Câu hỏi 2: Mức độ đồng ý của thầy/cô về việc dễ dàng để người dùng sử dụng phần

Rất khó sử dụng

Khó sử dụng

Dễ sử dụng

Rất dễ sử dụng

Tương đối dễ sử dụng

Cabri II Plus

Geoplan

GeoGebra - pre

GeoGebra - post

Geometer’s Sketchpad

mềm động?

Hình 3.2. Mức độ dễ sử dụng các loại phần mềm động

Trong biểu đồ Hình 3.2, với sự hướng dẫn của giảng viên, người học đã có cơ hội

thao tác các công cụ chức năng của GeoGebra. Do đó, 100% người học đồng ý rằng

GeoGebra là dễ dàng sử dụng và thao tác hơn các phần mềm khác.

Giáo viên cho rằng, phần mềm GeoGebra khác với các phần mềm khác mà trước

đây mà GV sử dụng. Trước khi tập huấn GeoGebra, đa số GV, những người chưa từng

tiếp xúc với chương trình này nên mọi thứ ban đầu đều mới mẻ, ban đầu gặp nhiều khó

khăn nhưng dần dần thấy dễ hơn. Đối với những đã có sử dụng qua Sketchpad thì việc

tiếp xúc với GeoGebra tương đối dễ dàng vì GeoGebra có một số công cụ giống

Sketchpad. Hơn nữa, một số công cụ mới của GeoGebra, ban đầu cũng gây khó khăn

cho GV trong quá trình tập huấn (chẳng hạn như trường nhập lệnh). Nhưng sau khi được

sự hướng dẫn và sự giúp đỡ của các đồng nghiệp cũng như sự cố gắng của bản thân,

việc sử dụng GeoGebra trở thành dễ hơn đối với GV. Đa số GV đều nhận định rằng: các

công thức của Geogebra trực quan, không phải nhớ các công thức như các phần mềm

khác; GeoGebra có thể được chuyển sang ngôn ngữ Tiếng Việt; các công cụ chức năng

của GeoGebra được cài đặt rõ ràng, tiện ích, dễ sử dụng; có giao diện thân thiện, câu

lệnh sẳn có, thao tác linh hoạt; thao thác không quá phức tạp, câu lệnh đơn giản, dễ dàng.

 Câu hỏi 3: Ý kiến của thầy/ cô về mức độ thân thiện giao diện người dùng của phần

Không thân thiện

Thân thiện

Rất thân thiện

Rất không thân thiện

Tương đối thân thiện

Cabri II Plus

Geoplan

GeoGebra-pre

GeoGebra- post

Geometer’s Sketchpad

mềm động?

Hình 3.3. Biểu đồ so sánh mức độ thân thiện của phần mềm động

Về giao diện của phần mềm với người dùng, sau khi kết thúc khóa học, người học

đã xác định rằng mức độ thân thiện của GeoGebra tương đương với Geometer’s

Sketchpad mà họ đã quen thuộc (xem Hình 3.3). GV nhận định rằng: giao diện làm việc,

thân thiện, đẹp và tiện ích; các chức năng dễ sử dụng nhờ vào những câu lệnh sẳn có;

tiện lợi đối với ứng dụng hình học không gian 3D; có ngôn ngữ Tiếng Việt, có hướng

dẫn cách sử dụng, có thư viện nhập lệnh, thay đổi và chỉnh sửa bài làm dễ dàng. Vì thế,

GeoGebra giúp cho người học dễ dàng sử dụng.

 Câu hỏi 4: Ý kiến của thầy/ cô về mức độ tiện ích đối với các công cụ chức năng

Không tiện ích

Tiện ích

Rất tiện ích

Rất không tiện ích

Tương đối tiện ích

Cabri II Plus

Geoplan

GeoGebra - pre

GeoGebra - post

Geometer’s Sketchpad

của phần mềm động?

Hình 3.4. Mức độ tiện ích các công cụ chức năng của phần mềm động

Biểu đồ Hình 3.4 đã cho một kết quả là sau khi kết thúc khóa đào tạo, tất cả những

người tham gia đồng ý rằng GeoGebra tiện ích hơn những phần mềm khác. GV nhận

định rằng: Geogebra có nhiều công cụ hơn các phần mềm khác (vừa có cả đại số và hình

học, vừa có thể chia sẻ sản phẩm nhờ công cụ lưu trữ tuyến); các nhóm công cụ linh

hoạt, việc cài đặt và sử dụng dễ dàng; Chức năng động linh hoạt, những hình ảnh được

chèn vào dễ dàng; Geogebra dễ thao tác, gần gũi, câu lệnh dễ nhớ, giao diện đẹp, dễ học;

Phần mềm Geogebra có thể lập bảng tính giúp HS dễ thấy sự thay đổi của các hình trực

quan hơn; GeoGebra hỗ trợ cả về hình học lẫn đại số (kể cả hình học không gian), trong

khi Sketchpad chỉ nghiên về hình học (hỗ trợ hình học); Đối với các đối tượng hình học

thì phần mềm Geogebra có thể hiện tọa độ của điểm, vectơ; Geogebra tích hợp cả đại số

và hình học, các câu lệnh ... có nhiều chức năng hơn sketchpad, đồ họa cũng đẹp hơn.

 Câu 5: Xin Thầy/Cô vui lòng chọn mức độ Thầy/Cô đồng ý với từng câu hỏi bên

dưới?

Bảng 3.1: Tiềm năng GeoGebra trong dạy học Toán

STT (1) (2) (2) (4) (5)

G.1 0 0 3 20 4

G.2 0 0 8 16 3

G.3 0 1 3 17 6

G.4 0 2 3 16 6

G.5 1 2 6 16 2

G.6 0 2 6 18 1

G.7 0 0 12 10 5

G.8 0 0 3 19 5

(1) Hoàn toàn không đồng ý; (2) Không đồng ý; (3) Không ý kiến; (4) Đồng ý; (5) Hoàn toàn đồng ý

G.9 0 2 4 15 6 .Nội dung câu hỏi GeoGebra giúp người học dễ dàng khám phá các khái niệm toán học GeoGebra giúp người học dễ dàng phát hiện lời giải bài toán. GeoGebra giúp người học dễ dàng dự đoán, hình thành giả thuyết trong quá trình dạy học định lí. GeoGebra là phương tiện giúp người học dễ dàng kiểm tra tính đúng đắn của một giả thuyết/ dự đoán. GeoGebra là phương tiện giúp người học dễ dàng kiểm tra kết quả của bài toán. Việc sử dụng GeoGebra giúp HS nâng cao chất lượng học tập môn toán. Việc sử dụng GeoGebra trong lớp sẽ GV tiết kiệm thời gian dạy học. Sử dụng GeoGebra sẽ giúp cho GV dễ dàng truyền thụ kiến thức đến HS hơn so với bình thường (chỉ sử dụng bảng, phấn, …) Sử dụng GeoGebra làm tăng hiệu quả giảng dạy môn toán của GV trong lớp học.

Sau khi hoàn thành khóa đào tạo, những người tham gia có cùng quan điểm rằng

phần mềm động GeoGebra hỗ trợ GV và HS rất tốt trong dạy và học toán ở trường trung

học. Giáo viên cho rằng GeoGebra là phần mềm động hay nếu áp dụng vào bài dạy ở

trường phổ thông thì sẽ thu hút được sự chú ý nhiều hơn của HS; Geogebra có khả năng

hỗ trợ người học đối với nhiều dạng bài toán như tìm quỹ tích, xác định mối quan hệ

giữa các đối tượng và có thể kiểm tra tính đúng đắn lời giải của bài toán; người học dễ

dàng vẽ hình và dễ cho hình động theo ý muốn; Geogebra có thể sử dụng để dạy học tất

cả các phần của Toán như Hình học, giải tích và đại số.

3.2 Kết quả khảo sát nhận định của HS về cách sử dụng các công cụ của phần mềm

GeoGebra

Bảng 3.2. Độ tin cậy của mỗi nhóm câu hỏi

Các nhóm câu hỏi khảo sát

BH.I.G: Giới thiệu tính năng của GeoGebra BH.I : Công cụ dựng hình hình học cơ bản BH.II: Góc, đối xứng và chèn ảnh BH.III: Hệ trục tọa độ và phương trình BH.IV: Hàm số và xuất bản ảnh Cronbach’s Alpha 0.918 0.924 0.940 0.875 0.943

Theo kết quả phân tích của phần mềm SPSS 22.0 (xem Bảng 3.2) cho thấy rằng

giá trị hệ số Cronbach’s Alpha của các thang đo ở mỗi nhóm câu hỏi đều lớn hơn 0.8

nên đạt yêu cầu về độ tin cậy (xem Hoàng Trọng & Chu Nguyễn Mộng Ngọc, 2006).

Cụ thể, hệ số Cronbach’s Alpha của các thang đo lần lượt là 0.918 (nhóm BH.I.G), 0.924

(nhóm BH.I), 0.940 (nhóm BH.II), 0.875 (nhóm BH.III) và 0.943 (nhóm BH.IV) và các

hệ số tương quan biến tổng của các biến quan sát trong thang đo đều lớn hơn 0.3 và

không có trường hợp loại bỏ biến quan sát nào có thể làm cho Cronbach’s Alpha tương

ứng của thang đo này lớn hơn 0.918 (nhóm BH.I.G), 0.924 (nhóm BH.I), 0.927 (nhóm

BH.II), 0.873 (nhóm BH.III) và 0.943 (nhóm BH.IV).

Vì vậy, tất cả các biến quan sát đều được chấp nhận và sẽ được sử dụng trong phân

tích nhân tố tiếp theo. Điểm trung bình của các nhóm câu hỏi được chia thành 4 mức độ.

Mức độ khó là từ 1.81 đến 2.60, mức độ trung bình là từ 2.61 đến 3.40, mức độ dễ là từ

3.41 đến 4.20 và mức độ rất dễ là từ 4.21 đến 5.0.

Bảng 3.3 thể hiện giá trị trung bình quân điểm của HS trong các buổi học

GeoGebra. Kết quả cho thấy rằng quan điểm của HS về tính năng của GeoGebra trong

buổi giới thiệu (BH.I.G) là ở mức độ dễ sử dụng (M = 3.87).

Bảng 3.3: Mức độ trung bình của mỗi nhóm nhận thức

Các nhóm câu hỏi khảo sát

BH.I.G: Giới thiệu tính năng của GeoGebra BH.I : Công cụ dựng hình hình học cơ bản BH.II: Góc, đối xứng và chèn ảnh BH.III: Hệ trục tọa độ và phương trình BH.IV: Hàm số và xuất bản ảnh N 43 43 43 43 43 M 3.87 3.70 4.01 4.35 4.15 S.D 0.86 0.75 0.82 0.70 0.84

Đối với buổi học thứ I (BH.I. Các công cụ dựng hình hình học cơ bản) là ở mức

độ dễ sử dụng (M = 3.70). Kết quả cho thấy rằng quan niệm của HS là GeoGebra dễ sử

dụng trong buổi giới thiệu tính năng và công cụ của GeoGebra. Đối với buổi học thứ II

(BH.II. Công cụ góc, phép biến hình và chèn ảnh) cũng ở mức độ dễ sử dụng (M=4.01).

Đối với buổi học thứ III (BH.III.Hệ trục tọa độ và phương trình) là ở mức độ rất dễ

(M=4.35). Đối với buổi học thứ IV (BH.IV.Hàm số và xuất bản ảnh) cũng là ở mức độ

dễ (M=4.15).

Bảng 3.4. Mức độ nhận thức của HS đối với buổi giới thiệu GeoGebra

BH.I.G1 BH.I.G2 BH.I.G3 BH.I.G4 BH.I.G5 BH.I.G6 BH.I.G7 BH.I.G8 BH.I.G9 BH.I.G10 BH.I.G11 BH.I.G12 BH.I.G13 BH.I.G14 BH.I.G15 Các tính năng và công cụ của GeoGebra M 4.12 Hiển thị cách dựng hình 4.21 Thanh công cụ dựng hình 3.70 Đổi tên đối tượng 3.95 Menu ngữ cảnh 3.53 Hộp thoại thuộc tính 3.70 Lưới 3.65 Bắt điểm 4.00 Mở dấu vết khi di chuyển 4.00 Ảnh nền 3.93 Gán tên các đối tượng 3.88 Định nghĩa lại các đối tượng 3.74 Đối tượng phụ 4.00 Chèn văn bản tĩnh 3.91 Chèn văn bản động 3.74 Tạo một điểm trên một đối tượng S.D .823 .833 .914 .925 .882 .860 .923 .690 .951 .768 .762 .848 .787 .921 .978

Bảng 3.4 cho thấy kết quả nhận thức của HS về các tính năng của GeoGebra trong

phần giới thiệu. Công cụ chức năng được đánh giá ở mức độ sử dụng rất dễ (M=4.21)

là BH.I.G2 (Thanh công cụ dựng hình) trong khi các công cụ khác được HS đánh giá ở

mức độ dễ sử dụng từ 3.53 đến 4.12. Nhìn tổng thể, Bảng 3.4 cũng cho thấy rằng các

HS nhận đánh giá các công cụ và tính năng năng của GeoGebra là dễ sử dụng.

Bảng 3.5.Mức độ nhận thức của HS trong buổi học thứ I

Các tính năng và công cụ của GeoGebra

BH.I.1 Dựng đường trung trực bằng GeoGebra BH.I.2 Dựng giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác BH.I.3 Dựng hình vuông từ một cạnh BH.I.4 Đoạn thẳng đi qua 2 điểm BH.I.5 Đường tròn có tâm và đi qua 1 điểm BH.I.6 Giao điểm của 2 đối tượng BH.I.7 Đường thẳng đi qua 2 điểm BH.I.8 Di chuyển BH.I.9 Đa giác BH.I.10 Đường trung trực BH.I.11 Hiển thị/ ẩn đối tượng BH.I.12 Di chuyển vùng làm việc BH.I.13 Phóng to … thu nhỏ BH.I.14 Đường vuông góc M 3.49 3.49 3.70 3.86 3.74 3.95 3.70 3.70 3.65 3.74 3.65 3.65 3.63 3.84 S.D .935 .935 .860 .639 .848 .532 .638 .773 .650 .693 .842 .720 .691 .754

Bảng 3.5 cho thấy nhận thức của HS về các tính năng và các công cụ được hướng

dẫn trong buổi học dựng hình hình học cơ bản. Kết quả cho thấy tất cả các công cụ tính

năng đều được HS đánh giá ở mức độ dễ sử dụng với mức thấp nhất là M=3.49 và mức

cao nhất là M=3.95. Nhìn tổng thể co thể thấy rằng, HS sử dụng các công cụ chức năng

của GeoGebra là dễ dàng.

Bảng 3.6. Mức độ nhận thức của HS đối với buổi học thứ II

Các tính năng và công cụ của GeoGebra

BH.II.1 Giao điểm của 2 đối tượng BH.II.2 Dựng đối xứng BH.II.3 Ảnh nền và đối xứng trục BH.II.4 Quay một đa giác BH.II.5 Đoạn thẳng đi qua 2 điểm BH.II.6 Đường tròn có tâm và đi qua 1 điểm BH.II.7 Hình bình hành và các góc BH.II.8 Đường thẳng đi qua 2 điểm BH.II.9 Di chuyển BH.II.10 Đa giác BH.II.11 Hiển/ ẩn đối tượng BH.II.12 Đường thẳng song song BH.II.13 Góc BH.II.14 Ảnh qua đường thẳng BH.II.15 Điểm mới BH.II.16 Quay đối tượng quanh 1 điểm BH.II.17 Chèn ảnh M 4.42 3.81 3.7 3.44 3.6 3.91 3.56 4.12 4.14 4.21 4.16 4.05 4.16 4.12 4.26 4.21 4.26 S.D 0.663 0.906 1.013 1.098 0.955 0.947 0.881 0.731 0.833 0.742 0.721 0.785 0.871 0.762 0.658 0.675 0.658

Bảng 3.5 cho thấy nhận thức của HS về các tính năng và các công cụ được hướng

dẫn trong buổi học dựng hình hình học cơ bản. Kết quả cho thấy tất cả các công cụ tính

năng đều được HS đánh giá ở mức độ dễ sử dụng với mức thấp nhất là M=3.49 và mức

cao nhất là M=3.95. Nhìn tổng thể co thể thấy rằng, HS sử dụng các công cụ chức năng

của GeoGebra là dễ dàng.

Bảng 3.6 cho thấy quan nhận thức của HS về các công cụ từ BH.II.1 đến BH.II.14

thông qua các hoạt động trong buổi học thứ II. Đối với các công cụ được HS đánh giá

là rất dễ sử dụng là ở các mục BH.II.1 (Giao điểm của 2 đối tượng) có mức độ trung

bình thang đo là M=4.42, mục BH.II.10 (Đa giác) và BH.II.16 (Quay đối tượng quanh

1 điểm) có mức độ trung bình thang đo là M=4.20, mục BH.II.15 và BH.II.17 có mức

độ trung bình thang đo là M= 4.25 Trong đó, mục BH.II.1 (Giao điểm của 2 đối tượng)

được HS cho là rất dễ sử dụng và có mức độ thang đo trung bình cao nhất là M=4.41.

Các công cụ ở các mục còn lại được HS đánh giá ở mức độ dễ sử dụng với mức trung

bình thang đo thấp nhất là 3.41 ở mục BH.II.8 (Đoạn thẳng đi qua 2 điểm) và mức cao

nhất là 4.16 ở mục BH.II.11 (Hiển thị/ ẩn đối tượng).

Bảng 3.7: Nhận thức của HS đối với buổi học thứ III

BH.III.1 BH.III.2 BH.III.3 BH.III.4 BH.III.5 BH.III.6 BH.III.7 BH.III.8 BH.III.9 BH.III.10 BH.III.11 BH.III.12 BH.III.13 BH.III.14 BH.III.15 BH.III.16 BH.III.17 Các tính năng và công cụ của GeoGebra Tọa độ của điểm Dạng hệ số góc của hàm số bậc nhất Tạo hệ số góc Đường thẳng đi qua 2 điểm Giao điểm của 2 đối tượng Parabol Di chuyển Đa giác Hệ số góc Đường thẳng vuông góc Đường thẳng song song Điểm mới Con trượt Hiện/ ẩn đối tượng Chèn văn bản Hệ số góc Đỉnh M 4.49 4.53 4.07 4.37 4.00 4.12 4.30 4.49 4.23 4.49 4.37 4.26 4.44 4.51 4.47 4.49 4.33 S.D .703 .631 .669 .725 .845 .762 .708 .703 .751 .668 .655 .658 .548 .668 .592 .798 .747

Bảng 3.7 thể hiện các nhận thức của HS về mức độ dễ dàng sử dụng các công cụ

chức năng của GeoGebra trong việc học tập liên quan đến giả tích và phương pháp tọa

độ. Các mục BH.III.2 (Dạng hệ số góc của hàm số bậc nhất), BH.III.3 (Tạo hệ số góc),

BH.III.6 (Parabol) được HS cho rằng dễ sử dụng với mức độ trung bình thang đo tương

ứng là 4.00, 4.07 và 4.11. Các mục còn lại được HS đánh giá là rất dễ sử dụng. Trong

đó, mục có mức độ rất dễ sử dụng cao nhất là BH.III.14 (Hiện/ ẩn đối tượng) với điểm

trung bình M=4.51 và mục có mức độ rất dễ sử dụng thấp nhất là BH.III.25 (Điểm mới)

với điểm trung bình M=4.25.

Bảng 3.8: Nhận thức của HS đối với buổi học thứ IV

BH.IV.1 BH.IV.2 BH.IV.3 BH.IV.4 BH.IV.5 BH.IV.6 BH.IV.7 BH.IV.8 BH.IV.9 BH.IV.10 BH.IV.11 BH.IV.12 BH.IV.13 Các tính năng và công cụ của GeoGebra M 4.44 Hàm đa thức 4.37 Thư viện hàm số 4.35 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3.98 Xuất bản ảnh 3.98 Chèn ảnh vào văn bản MS Word 4.19 Giao điểm của 2 đối tượng 4.16 Di chuyển 3.93 Nghiệm 4.14 Đường thẳng vuông góc 4.09 Điểm mới 4.05 Tiếp tuyến 4.23 Hiện/ ẩn đối tượng 4.09 Cực trị S.D .700 .900 .813 .963 .938 .880 .721 .936 .833 .895 .844 .751 .750

Bảng 3.8 thể hiện nhận thức của HS về mức độ dễ sử dụng đối với các công cụ của

GeoGebra liên quan đến các chủ đề hàm số, đồ thị hàm số và xuất bản ảnh. Kết quả cho

thấy rằng, các công cụ ở các mục từ BH.IV.1 đến BH.IV.13 được HS đánh giá là dễ sử

dụng. Ngoài các mục BH.IV.4 (Xuất bản ảnh), BH.IV.5 (chèn ảnh vào văn bản MS

Word) và BH.IV.8 Nghiệm) là dễ sử dụng, các mục còn lại đều được đánh giá là rất dễ

sử dụng. Trong đó, mục BH.IV.1 (Hàm đa thức) được HS đánh giá là rất dễ sử dụng

nhất với mức điểm trung bình tương ứng là 4.44 và tiếp đến là các mục BH.IV.2 (Thư

viện hàm số), BH.IV.3 (Tiếp tuyến của đồ thị hàm số).

Tổng quan về quan niệm của HS đối với việc sử dụng các công cụ tính năng của

phần mềm GeoGebra là dễ sử dụng. Ở các hoạt động trong buổi học thứ nhất, HS bước

đầu làm quen và tiếp cận các công cụ và HS có thể sử dụng dễ dàng mặc dù mức độ

điểm trung bình thang đo là 3.87 (đối với buổi giới thiệu các công cụ) và 3.69 (đối với

buổi hướng dẫn các công cụ). Kể từ các buổi học thứ II, HS đã quen với giao diện và

thao tác hiệu quả các công cụ chức năng với mức điểm thang đo trên 4.00.

3.3 Kết luận chương 3

Kết quả trên cho thấy, GeoGebra trở thành phần mềm động tiện dụng hơn các phần

mềm khác đối với người dùng. GV đã đánh giá cao tiềm năng của GeoGebra vì nó tích

hợp hình học động, đại số, tính toán và thống kê vào một gói dễ sử dụng; vì vậy nó sẽ

rất hữu dụng và tiện ích cho HS và GV.

Các kết quả khảo sát cho thấy HS và GV dễ dàng tiếp cận và sử dụng mềm phần

GeoGebra. Từ đó có thể nói rằng, việc triển khai sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ

dạy và học môn Toán là khả thi, nhất là có thể hỗ trợ HS tự học, tự khám phá các mối

liên hệ giữa các đối tượng trong các lĩnh vực toán học. Với sự trợ giúp của GeoGebra,

GV có thể đa dạng hóa các phương pháp dạy học tạo cơ hội cho HS hiểu các tri thức

Toán học thông qua các hoạt động trải nghiệm, tìm tòi. Là một phần mềm mã nguồn

mở, GeoGebra có thể được sử dụng rộng rãi trong cộng đồng người học và GV. Đặc

đsiểm này của GeoGebra sẽ rất phù hợp đối với HS và GV tại các vùng kinh tế thấp như

các tỉnh Đồng bằng sông Cửu Long. Vì vậy, việc nghiên cứu ứng dụng GeoGebra để nó

trở thành một công cụ đắc lực trợ giúp HS và GV trong giáo dục toán học là vấn đề cần

thiết.

CHƯƠNG 4. DẠY HỌC KHÁM PHÁ TRI THỨC MỚI

VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA GEOGEBRA

Chương 4 trình bày kết quả trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ 2. Trước nhất,

chương này trình bày kết quả nghiên cứu về các cơ sở đề xuất mô hình dạy học khám

phá Phương trình đường tròn, Phương trình đường Elip bao gồm: (1) quan hệ thể chế

dạy học Hình học 10 đối với tri thức Phương trình đường tròn, Phương trình đường Elip;

(2) quan hệ cá nhân của HS đối với tri thức Phương trình đường tròn, Phương trình

đường Elip; (3) một số phương án dạy học Phương trình đường tròn, Phương trình đường

Elip của các đồng nghiệp. Tiếp đến, Chương 4 sẽ giới thiệu các mô hình dạy học khám

phá Phương trình đường tròn, Phương trình đường Elip với sự hỗ trợ của phần mềm

GeoGebra. Cuối cùng, chương này trình bày kết quả thực nghiệm các mô hình đã được

giới thiệu.

4.1 Dạy học khám phá Phương trình đường tròn với sự hỗ trợ của GeoGebra

4.1.1. Nghiên cứu cơ sở đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn

với GeoGebra

4.1.1.1. Về quan hệ thể chế đối với Phương trình đường tròn

(1) Mục tiêu và yêu cầu của chương trình

Theo Nguyễn Thế Thạch et al. (2009), nội dung yêu cầu thực hiện chuẩn kiến thức,

kĩ năng chủ đề Phương trình đường tròn bao gồm:

(1) Về kiến thức: Hiểu được cách viết phương trình đường tròn;

(2) Về kĩ năng: Viết được phương trình đường tròn biết tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) và bán kính 𝑅.

Xác định được tâm và bán kính đường tròn khi biết phương trình

đường tròn. Viết được phương trình tiếp tuyến của đường tròn trong

các trường hợp biết tiếp tọa độ của tiếp điểm (tiếp tuyến tại một điểm

nằm trên đường tròn).

(2) Sự hình thành Phương trình đường tròn trong SGK Hình học 10

Trong thể chế dạy học HH10, đường tròn được nghiên cứu trên phương diện “số”

(bổ sung cho phương diện “hình”) cụ thể là khái niệm “phương trình đường tròn”.

Trước khi đưa vào khái niệm phương trình đường tròn, sách giáo khoa (SGK) minh

họa bằng một hình vẽ trực quan Hình 4.1.

Hình 4.1: Hình 3.16 SGK HH10

Hình vẽ này cho thấy đường tròn có tâm 𝐼, bán kính R được đặt trong mặt phẳng

gắn liền với hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦. Tọa độ điểm 𝐼 có thể đọc được từ hình vẽ là (𝑎; 𝑏). M

là một điểm tùy ý thuộc trên đường tròn và có tọa độ là (𝑥; 𝑦). Hình vẽ như là một minh

họa đơn giản nhất để chuyển quan hệ khoảng cách từ “hình học” sang “đại số”. Cụ thể,

SGK định nghĩa phương trình đường tròn như sau:

“Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 cho đường tròn (𝐶) tâm 𝐼(𝑎; 𝑏), bán kính 𝑅

Ta có:

𝑀(𝑥; 𝑦) ∈ (𝐶) ⟺ 𝐼𝑀 = 𝑅 ⟺ √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅

⇔ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2

Phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 được gọi là phương trình đường tròn

tâm 𝐼(𝑎, 𝑏) bán kính 𝑅.”

(Trần Văn Hạo et al., 2008a, p. 81)

Định nghĩa đường tròn theo quan điểm hình học tổng hợp với nghĩa “cách đều”

(tức là tập hợp tất cả những điểm 𝑀 trong mặt phẳng cách đều một điểm 𝐼 cố định bằng

một khoảng 𝑅 cho trước) được SGK sử dụng một cách ngầm ẩn để giới thiệu phương

trình đường tròn.

Có thể thấy rõ rằng phương pháp tọa độ đóng vai trò là công cụ trung gian cho việc

“dịch từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số”. SGK xây dựng khái niệm đường

tròn theo một quan điểm mới – quan điểm tọa độ với nghĩa “phương trình”.

Có thể thấy rằng phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 vẫn phụ thuộc vào các

yếu tố đặc trưng của khái niệm đường tròn trong hình học tổng hợp là tâm và bán kính.

Sau đó, SGK tiếp tục giới thiệu một dạng khai triển (dạng tổng quát) của phương trình

đường tròn thông qua nhận xét sau:

“Phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 có thể viết dưới dạng

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, trong đó 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑅2.

Ngược lại, phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 là phương trình của

đường tròn (C) khi và chỉ khi 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm là

𝐼(𝑎, 𝑏) và bán kính 𝑅 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐”

(Trần Văn Hạo et al., 2008a, p. 82)

Sau khi giới thiệu phương trình đường tròn dạng tổng quát

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, SGK còn củng cố bằng bài tập nhận dạng phương trình

đường tròn sau:

“Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình

đường tròn:

2𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 20 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 2𝑦 + 10 = 0 ”.

Đối với phương trình thứ nhất không phải là phương trình đường tròn, do hệ số

của 𝑥2 và 𝑦2 không bằng nhau. Phương trình thứ hai, thứ ba và thứ tư với các hệ số “𝑐”

được tác giả chọn lọc lần lượt tương ứng các trường hợp 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0,

𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 < 0 và 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 = 0. Đây có thể là một bài tập minh họa nhằm nhấn

mạnh cho HS sự cần thiết phải kiểm tra điều kiện để phương trình dạng

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 là phương trình đường tròn trước khi xác định tâm và

bán kính.

Kết quả phân tích SGK Hình học 10 hiện hành cho thấy:

- SGK định nghĩa Phương trình đường tròn bằng hình thức “phô bày” – định nghĩa

bằng cách chỉ ra. Theo hình thức này, phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 được

“dán nhãn” là phương trình đường tròn. Nó được coi là tổng quát và đại diện cho lớp

các đường tròn cụ thể xác định khái niệm phương trình đường tròn;

- SGK xây dựng khái niệm đường tròn theo một quan điểm mới – quan điểm tọa

100

độ với nghĩa “phương trình”;

- SGK trình bày và nhấn mạnh 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0 như điều kiện cần và đủ để phương

trình dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 là phương trình đường tròn. Điều kiện này là

một ràng buộc, HS cần kiểm tra khi xét phương trình này có phải là đường tròn hay

không. Tuy nhiên, điều kiện này không được giải thích một cách tường minh mà được

đưa ra như là một điều kiện cần được thừa nhận hoặc cần được hiểu ngầm là HS có thể

tự chứng minh;

- SGK không chấp nhận “điểm” là một đường tròn suy biến. Cụ thể, đối với phương

trình đường tròn dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 thì bán kính 𝑅 được hiểu ngầm ẩn là

một số thực dương thông qua hình vẽ trực quan. Cách hiểu đó vẫn được thể hiện ở

phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 với điều kiện 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0;

(3) Các dạng toán liên quan đến Phương trình đường tròn trong SGK Hình học 10

hiện hành

Trong SGK HH10 và Sách Bài tập HH10, chúng tôi tìm thấy 12 dạng toán liên

quan đến Phương trình đường tròn (xem chi tiết phương pháp giải tại Phụ lục 6):

A. Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc hai đối với 𝑥 và 𝑦 dạng

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 (1) có phải là phương trình đường tròn hay

không?

B. Dạng 2: Nhận dạng một phương trình bậc hai đối với 𝑥 và 𝑦 dạng

𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 (2) có phải là phương trình đường tròn hay

không?

C. Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để một phương trình bậc hai đối với 𝑥 và 𝑦 dạng

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0 (3) trở thành một phương trình đường tròn.

D. Dạng 4: Xác định tọa độ tâm, bán kính đường tròn (𝐶): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0

E. Dạng 5: Tìm tọa độ tâm, bán kính đường tròn (𝐶): 𝛼𝑥2 + 𝛼𝑦2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0

F. Dạng 6: Lập phương trình đường tròn (C) biết tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) và đi qua điểm 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴)

G. Dạng 7: Cho hai điểm 𝐴(𝑥𝐴; 𝑥𝐴) và 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵). Lập phương trình đường tròn (C) có

đường kính AB.

H. Dạng 8: Lập phương trình đường tròn (𝐶) có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) và tiếp xúc với đường thẳng

(𝛥): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (với 𝐴2 + 𝐵2 ≠ 0)

101

I. Dạng 9: Lập phương trình đường tròn có tâm 𝐼 nằm trên đường thẳng

(𝛥1): 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 và tiếp xúc với (𝛥2): 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 và

(𝛥3): 𝐴3𝑥 + 𝐵3𝑦 + 𝐶3 = 0.

J. Dạng 10: Lập phương trình đường tròn có tâm 𝐼 nằm trên Δ đi qua 2 điểm 𝐴 và 𝐵.

K. Dạng 11: Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶.

L. Dạng 12: Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, tìm tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn tính

chất p. Kết quả là một đường tròn.

Kết quả phân tích SGK Hình học 10 hiện hành cho thấy:

- SGK và SBT không xem xét phương trình dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 với

𝑘 ∈ 𝑅 có phải là phương trình của đường tròn hay không? Trong điều kiện nào thì

phương trình này trở thành phương trình biểu diễn của một đường tròn?

- SGK và SBT không giới thiệu các bài toán thực tiễn vận dụng tri thức đường tròn

theo quan điểm phương trình. Khái niệm phương trình đường tròn chỉ hoạt động dưới

dạng đối tượng, cơ chế công cụ của nó không được thể chế quan tâm theo kết quả phân

tích các dạng toán ở mục (3).

- Phương trình của đường tròn có mặt trong tất cả các bài tập ở SGK và SBT đều

được viết ở dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 và thỏa điều kiện 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0.

Xem xét cả hai bộ sách (SGK và SBT), chúng tôi chỉ thu được 02 bài tập mà

phương trình đường tròn được cho ở dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 với 𝑘 > 0. Như

vậy, có thể nói mục đích của SGK HH10 chỉ cho HS làm quen với phương trình đường

tròn được cho ở dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.

4.1.1.2. Về quan hệ cá nhân của HS đối với Phương trình đường tròn

Những ghi nhận từ kết quả nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép chúng tôi dự đoán

rằng: “Khi gặp một bài toán tìm điều kiện của tham số k để một phương trình

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑔(𝑚) là phương trình đường tròn thì (1) HS sẽ sử dụng chiến

lược biến đổi quy phương trình đã cho về dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 để giải

quyết; (2) Hoặc là, nếu HS không sử dụng chiến lược trên thì họ sẽ mắc phải sai lầm

hoặc không thể trình bày lời giải”.

Vì thế, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu khảo sát trên đối tượng HS để kiểm

chứng dự đoán này. Nhiệm vụ của HS tham gia khảo sát là giải bài toán: “Với giá trị

102

nào của m thì phương trình (𝑥– 1)2 + (𝑦– 2)2 = 𝑚 + 2 là phương trình đường tròn?”

(1) Phân tích nội dung bài toán khảo sát

Bài toán được cho trong tình huống khảo sát là một dạng toán “khác lạ” đối với

HS. Dạng toán này vắng mặt trong thể chế dạy học Hình học 10. SGK Hình học 10

không trình bày điều kiện cần và đủ để phương trình dạng này là phương trình đường

tròn. Đối với bài toán dạng này, chúng tôi dự kiến 3 chiến lược (CL) giải sau có thể xuất

hiện trong bài làm của HS:

A. Chiến lược 1 (Chiến lược tối ưu): Phương trình (𝑥– 1)2 + (𝑦– 2)2 = 𝑚 + 2 là

phương trình đường tròn với tâm 𝐼(1,2), bán kính 𝑅 = √𝑚 + 2 khi và chỉ khi 𝑚 + 2 >

0. Khi đó: 𝑚 > −2. Đây là chiến lược đúng và tối ưu.

B. Chiến lược 2 (Đây là chiến lược đúng nhưng không tối ưu):

+ Biến đổi phương trình thành (𝑥– 1)2 + (𝑦– 2)2 = 𝑚 + 2

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 𝑚 + 3 = 0 (∗)

+ (*) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0 ⇔ 𝑚 + 2 > 0 ⇔ 𝑚 > −2 (𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = −𝑚 + 3).

C. Chiến lược 3 (Chiến lược sai): Phương trình (𝑥– 1)2 + (𝑦– 2)2 = 𝑚 + 2 là

phương trình đường tròn với tâm 𝐼(1,2), bán kính 𝑅 = √𝑚 + 2 khi và chỉ khi 𝑚 + 2 ≥

0. Khi đó: 𝑚 ≥ −2.

Đây là lời giải không đúng bởi vì trong trường hợp 𝑚 + 2 = 0 thì

. Vì vậy, (3) không phải là phương trình (𝑥– 1)2 + (𝑦– 2)2 = 0 (3) ⟺ { 𝑥 = 1 𝑦 = 2

đường tròn.

(2) Phân tích kết quả khảo sát

Bảng 4.1. Thống kê kết quả bài làm của HS

CL1 CL2 CL 3 Không giải được Tổng

Bài làm của HS Tổng số HS 222 (26,27%) 295 (34,91%) 180 (21,3%) 845 (100%)

89 (10,53%) Bảng 4.1 cho thấy chiến lược 2 chiếm ưu thế với tỉ lệ 34,91% (295 trong tổng số

845) HS sử dụng. Điều này có nghĩa là HS biến đổi phương trình quy về dạng

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 rồi giá trị của 𝑚.

103

Hình 4.2. Lời giải của HS T.M.T (Lớp 10, trường THPT Bình Thủy)

Đối với HS T.M.T (xem Hình 4.2), ban đầu HS nhận ra phương trình được cho ở

dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2. Tuy nhiên, HS vẫn biến đổi phương trình đã cho quy

về dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Điều này, một lần nữa cho thấy sự ưu tiên của

HS nghiêng hẳn về CL2.

Hình 4.3. Lời giải của N.P.N.T (Lớp 10, trường THPT Trương Định)

Ngoài ra, CL2 có thể dẫn đến một số sai lầm cho HS. Cụ thể, trong lời giải của HS

N.P.N.T (xem Hình 4.4), HS này cho rằng điều kiện để phương trình được cho ở dạng

(2) trở thành phương trình đường tròn khi và chỉ khi 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 ≥ 0. Sai lầm này phát

sinh có thể do HS chưa có hiểu đúng về bán kính của đường tròn khi tiếp cận đường

tròn theo cách tiếp cận “phương trình”.

104

Hình 4.4. Lời giải của HS N.P.N.T (Lớp 10, trường THPT Bình Thủy)

Đối với chiến lược 3, HS giải bằng chiến lược này chiếm tỉ lệ 10,53% (89/845).

Kết quả lời giải của Chiến lược 3 dẫn đến 𝑚 ≥ −2 (không đúng trong trường hợp

𝑚 = −2). Lời giải không đúng do quan điểm “điểm” là một đường tròn suy biến không

được SGK chấp nhận. Điều này cũng cho chúng ta thấy một phần khó khăn của HS khi

tiếp cận đường tròn bằng ngôn ngữ đại số. Minh chứng cho trường hợp này là lời giải

của em T.H.M ở Hình 4.5.

Hình 4.5. Lời giải của HS T.H.M (Lớp 10, trường THPT Trương Định)

Bảng 4.1 cũng cho thấy rằng, trong số 845 HS, có đến 222 HS (chiếm tỉ lệ 26,27%)

không biết giải bằng cách nào. Điều này có nghĩa để giải quyết được bài toán ““Với giá

trị nào của m thì phương trình (𝑥– 1)2 + (𝑦– 2)2 = 𝑚 + 2 là phương trình đường

tròn?”, hầu hết HS biến đổi đưa về dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 để giải; nếu

không, HS sẽ mắc lỗi trong lời giải hoặc không biết cách nào để giải.

Theo chúng tôi, các nguyên nhân sau đã tác động đến việc HS ưu tiên chọn chiến

lược 2 (chiến lược không tối ưu) hoặc chiến lược 3 (chiến lược sai):

- HS bị ảnh hưởng bởi sự giới hạn nội dung kiến thức và kĩ năng trong SGK. Vì

thế, việc bổ sung kiến thức, kĩ năng cho HS là cần thiết. Trong trường hợp này, HS cần

được trang bị kĩ thuật giải quyết bài toán “tìm giá trị của tham số m để phương trình

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑔(𝑚) là phương trình đường tròn”.

105

-Đối với những kiến thức, kĩ năng mà GV giảng dạy, HS có thói quen chỉ làm theo

mà HS không có khả năng vận dụng linh hoạt trong các tình huống cụ thể.

Vì vậy, trong quá trình dạy học, GV cần có những biện pháp sư phạm để khắc phục

những hạn chế nêu trên.

4.1.1.3. Về một số phương án dạy học Phương trình đường tròn của các đồng nghiệp

đã đề xuất trước đây

Nhìn chung, 7 giáo án dạy học Phương trình đường tròn của 7 GV của các trường

có HS tham gia thực nghiệm khảo sát ở mục 4.1.1.2 có 2 điểm chung: (1) Phương trình

đường tròn tâm 𝐼(𝑎; 𝑏), bán kính 𝑅 dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 được xây dựng

theo tiến trình đã có ở SGK HH10; (2) bài toán tìm điều kiện của tham số 𝑘 để một

phương trình dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑔(𝑚) là phương trình đường tròn chưa được

quan tâm.

Đối với các phương án dạy học với sự hỗ trợ của phần mềm hình học động:

- Trong công trình nghiên cứu của mình, nhóm tác giả Trần Vui &Lê Quang Hùng

(2006) đã đề xuất tình huống dạy học trong môi trường phần mềm Geometry Sketchpad.

Môi trường này tạo các phản hồi giúp HS nhận ra được điều kiện để một điểm M thuộc

đường tròn. Từ mối liên hệ đó, HS chuyển sang biểu thức tọa độ để hình thành nên

phương trình đường tròn với sự hướng dẫn của GV. Cách tiếp cận này tương tự cách

tiếp cận mà SGV đã hướng dẫn. Tác giả đã khai thác sự hiểu biết về đường tròn mà HS

đã được giới thiệu trong chương trình Toán 6, Toán 9. Cụ thể, tác giả sử dụng tính chất

“Điểm 𝑀 nằm trên đường tròn (𝑂) hay đường tròn (𝑂) đi qua điểm 𝑀. Điểm 𝑀 nằm

trên đường tròn (𝑂; 𝑅) khi và chỉ khi 𝑂𝑀 = 𝑅”. để đặt vấn đề giúp HS phát hiện

phương trình đường tròn. Tác giả hình thành tri thức theo con đường quy nạp, ứng với

mỗi vị trí của điểm 𝑀, HS xác định mối liên hệ giữa (𝑥𝑀 − 𝑥𝑜)2 + (𝑦𝑀 − 𝑦𝑜)2 và 𝑅2. Môi trường tin học, trong trường hợp này là phần mềm Geometry Sketchpad, có tác dụng phản hồi giúp HS tìm thấy được mối liên hệ giữa (𝑥𝑀 − 𝑥𝑜)2 + (𝑦𝑀 − 𝑦𝑜)2 và 𝑅2 trong từng trường hợp cụ thể. Sau khi diễn giải các thông tin phản hồi, HS có thể khám

phá được tri thức “phương trình đường tròn” được tác giả cài đặt trong tình huống. Tình

huống này cho thấy, HS có thể khám phá tri thức toán nhờ vào các thông tin phản hồi

từ môi trường. Các thông tin phản hồi từ phần mềm đã giúp HS khám phá tri thức. Tuy

106

nhiên, theo cách này có thể HS sẽ mất đi cơ hội nhận ra bước chuyển từ quan điểm hình

học tổng hợp theo nghĩa cách đều sang quan điểm tọa độ với nghĩa phương trình và

ngược lại. Ngoài ra, HS có thể sẽ khó khăn để diễn giải được rằng đẳng thức

(𝑥𝑀 − 𝑥𝑜)2 + (𝑦𝑀 − 𝑦𝑜)2 = 𝑅2 có nghĩa là 𝐼𝑀 = 𝑅.

- GV.PTH (2013b) đã xây dựng tình huống dạy học phương trình đường tròn có

sử dụng GeoGebra bám sát theo gợi ý của SGK. Trong tình huống dạy học này,

GeoGebra được sử dụng như một công cụ trực quan giúp HS nhận ra được sự liên hệ

giữa độ dài đoạn IM và bán kính R để từ đó GV dẫn dắt HS hình thành phương trình

đường tròn. GV.PTH chỉ dừng lại ở bước cho HS quan sát theo mô hình dạy học định

lí toán học với một vấn đề tìm kiếm do Nguyễn Phú Lộc (2014) đề xuất. Vai trò của

phần mềm GeoGebra như là môi trường để HS khám phá kiến thức. Tuy nhiên, môi

trường do GV.PTH tạo ra chỉ dừng lại ở mức độ tương tự nhóm tác giả Trần Vui &Lê

Quang Hùng (2006).

Từ kết quả phân tích, chúng tôi cũng thấy rằng cả 2 phương án này cũng có 2 đặc

điểm sau: (1) Phương trình đường tròn tâm 𝐼(𝑎; 𝑏), bán kính 𝑅 dạng

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2 được xây dựng theo tiến trình đã có ở SGK HH10; (2) bài

toán tìm điều kiện của tham trình dạng số 𝑘 để một phương

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑔(𝑚) là phương trình đường tròn.

4.1.2. Mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn với GeoGebra

Mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn bằng con đường quy nạp (Sơ

đồ Hình 4.6) được đề xuất dựa trên các cơ sở: phân tích thể chế dạy học Hình học 10

đối với Phương trình đường tròn, phân tích phương án dạy học của một số đồng nghiệp

và tính năng của phần mềm GeoGebra.

Các bước chính yếu của mô hình dạy học khám phá Phương trình đường tròn là

hoạt động HS khám phá các đặc điểm chung trong các ví dụ được GV đưa ra trước. Mô

hình này gồm 3 pha được khái quát ở Sơ đồ Hình 4.6.

107

Kết quả 1) HS phát biểu được định

nghĩa Phương trình

đường tròn.

2) HS nhận dạng được

Phương trình đường tròn

(2) Phân tích (1) Quan sát (3) Khái quát hóa

Đối tượng (Phương trình đường tròn (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘) Chủ thể (Học sinh)

h n i s c ọ h

Công cụ (Hai dạng biểu diễn của đường tròn)

a ủ c

g n ộ đ

) t ậ u h t ĩ

t ạ o H

k ợ r t

Biểu diễn “đại số” (Phương trình đường tròn) Biểu diễn “hình học” (“hình vẽ” đường tròn)

ỗ h V G

(

S H

a ủ c

g n ộ đ

Đối tượng (Đường tròn)

t ạ o H

Công cụ (GeoGebra) Chủ thể (HS)

Hình 4.6. Sơ đồ mô hình DHKP đường tròn với GeoGebra

108

Pha 1 (Quan sát): Cho HS sử dụng GeoGebra hiển thị và quan sát một số ví dụ cụ thể

về đường tròn tâm 𝐼, bán kính 𝑅 với hai dạng biểu diễn bao gồm biểu diễn hình học và

biểu diễn đại số trong môi trường GeoGebra.

- “đường tròn khi biết tâm và bán kính” trên thanh

Thao tác (HS)

Ấn mục trình đơn công cụ. - Biểu diễn “hình học” của đường tròn. - Biểu diễn “đại số” của đường tròn.

Phương trình đường tròn tâm 𝐼(𝑎; 𝑏), bán kính 𝑅:

Các biểu diễn của đường tròn (GeoGebra) Kết quả (HS) (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2

• Hoạt động của GV: Hoạt động của GV được khái quát ở Sơ đồ Hình 4.6. GV

đưa ra một số đường tròn biết tâm và bán kính trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦.

• Hoạt động của HS:

- Sử dụng GeoGebra hiển thị đồng thời hai dạng biểu diễn của đường tròn.

+ Dạng biểu diễn “hình học” tương ứng của đường tròn được hiển thị tại cửa sổ

“vùng làm việc” của GeoGebra (cửa sổ này được người dùng gọi là “cửa

sổ hình học”).

+ Dạng biểu diễn “đại số” tương ứng của đường tròn được hiển thị tại cửa sổ

“hiển thị danh sách đối tượng” của GeoGebra (cửa sổ này được người dùng

gọi là “cửa sổ đại số”).

Trong trường hợp này, dữ liệu đầu vào đối với GeoGebra là dạng biểu diễn

“hình học” của đường tròn (cụ thể là đường tròn đã biết tâm và bán kính) và kết

quả đầu ra là dạng biểu diễn “hình học” và dạng biểu diễn “đại số” của nó.

- Quan sát và suy ngẫm về dạng biểu diễn “đại số” trong mối liên hệ với biểu diễn

“hình học” của đường tròn.

Pha 2 (Phân tích): Yêu cầu HS phân tích tìm ra các dấu hiệu đặc trưng của phương

trình đường tròn từ các ví dụ trên.

Bước 1: Phân tích tìm ra các dấu hiệu đặc trưng của phương trình đường tròn

trong mối liên hệ giữa biểu diễn “hình học” và biểu diễn “đại số” tương ứng của

các đường tròn có tâm 𝐼 và bán kính 𝑅.

• Hoạt động của GV: Yêu cầu HS phân tích tìm ra các đặc điểm chung của các

ví dụ ở pha 1.

109

• Hoạt động của HS: HS phân tích, so sánh chỉ ra mối quan hệ tương ứng giữa

biểu diễn “đại số” và dạng biểu diễn “hình học” của mỗi đường tròn. HS tìm

kiếm các dấu hiệu đặc trưng của dạng biểu diễn “đại số” (hay còn gọi là phương

trình) của đường tròn tâm 𝐼, bán kính 𝑅:

Bước 2: Phân tích tìm ra các dấu hiệu đặc trưng của phương trình đường tròn

trong mối liên hệ giữa biểu diễn “đại số” và biểu diễn “hình học” tương ứng. (dấu

hiệu nhận biết phương trình đại số dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 là một phương

trình của một đường tròn tâm 𝐼(𝑎; 𝑏), bán kính 𝑅 = √𝑘)

Nhập lệnh (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘

Thao tác (HS) Trường hợp 1 𝑘 > 0 Trường hợp 2 𝑘 = 0 Trường hợp 3 𝑘 < 0

Không.

- Biểu diễn hình học: đường tròn; - Biểu diễn “đại số”: Phương trình đường tròn. Hiển thị các biểu diễn của đường tròn (GeoGebra) - Biểu diễn hình học: điểm; - Biểu diễn “đại số”: Phương trình đường tròn.

Kết quả (HS)

Phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘, với 𝑘 > 0 là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính 𝑅 = √𝑘.

• Hoạt động của GV: GV đưa ra một số phương trình đường tròn cụ thể (xem

Phiếu học tập Hình 4.7, trang 113).

• Hoạt động của HS:

- Sử dụng GeoGebra hiển thị đồng thời dạng biểu diễn “đại số” và dạng biểu

diễn “hình học” của đường tròn tương ứng trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦. Trong đó,

dữ liệu đầu vào đối với GeoGebra là dạng biểu diễn “đại số” của đường tròn (cụ

thể là một phương trình đại số dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘) và kết quả đầu ra

là dạng biểu diễn “hình học” và dạng biểu diễn “đại số” của nó.

- HS quan sát, phân tích, so sánh chỉ ra điều kiện cho tham số 𝑘 để phương

trình dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 là phương trình của một đường tròn và tìm ra

tọa độ tâm 𝐼 và bán kính 𝑅 của đường tròn.

Pha 3 (Khái quát hóa): Khi HS nhận ra những thuộc tính chung đủ để định nghĩa khái

110

niệm, GV yêu cầu HS phát biểu định nghĩa Phương trình của đường tròn tâm 𝐼, bán

kính 𝑅 trong trường hợp tổng quát.

• Hoạt động của GV: GV yêu cầu HS phát biểu định nghĩa Phương trình của

đường tròn tâm 𝐼, bán kính 𝑅 trong trường hợp tổng quát, chỉnh sửa và hợp thức

hóa.

• Hoạt động của HS: HS khái quát hóa chỉ ra dấu hiệu đặc trưng của lớp các

phương trình của đường tròn tâm 𝐼, bán kính 𝑅. HS phát biểu định nghĩa Phương

trình đường tròn và ghi nhận.

4.1.3. Kết quả thực nghiệm dạy học khám phá Phương trình đường tròn với

GeoGebra

4.1.3.1. Phân tích hoạt động dạy học khám phá Phương trình đường tròn dưới góc độ

của lí thuyết Hoạt động

Từ dữ liệu thu được, trước nhất, chúng tôi tập trung phân tích hoạt động khám phá

của HS đối với việc phát hiện dạng cơ bản của Phương trình đường tròn theo quan điểm

của lí thuyết Hoạt động (xem mục 1.1 trang 23). Sau đó, chúng tôi tiến hành đánh giá

năng lực khám phá của HS bằng cách sử dụng Rubric ở mục 2.2.3.2).

Đầu tiên, chúng tôi sử dụng Bảng 4.2 để mô tả các thành tố cơ bản của hoạt động

dạy học khám phá Phương trình đường tròn theo mô hình cơ bản một hệ thống hoạt

động của Vygotsky (1985).

Bảng 4.2. Hoạt động khám phá Phương trình đường tròn với GeoGebra

Hoạt động dạy học khám phá Phương trình đường tròn

Chủ thể Đối tượng

HS Phương trình đường tròn dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 với 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑘 ∈ 𝑅+ GV Hoạt động khám phá Phương trình đường tròn dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 với 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑘 ∈ 𝑅+ của HS

Công cụ GeoGebra, laptop, máy chiếu, Phiếu học tập, câu hỏi gợi mở

- Hai dạng biểu diễn của đường tròn trên màn hình GeoGebra: + Dạng biểu diễn hình học được GeoGebra hiển thị ở cửa sổ hình học; + Dạng biểu diễn đại số được GeoGebra hiển thị ở cửa sổ đại số. - GeoGebra và thiết bị chuột có tính năng điều khiển từ xa (chuột không dây).

111

Kết quả chính Kết quả khác

1) HS phát biểu được định nghĩa phương trình đường tròn 2) HS nhận dạng được phương trình đường tròn. Hình thành, rèn luyện và phát triển các năng lực HS: - Năng lực suy luận quy nạp: từ các trường hợp riêng lẻ đến tổng quát. - Năng lực giao tiếp: diễn đạt bằng lời và bằng ngôn ngữ viết khi phát biểu khái niệm phương trình đường tròn. - Năng lực tự chủ.

Thứ hai, chúng tôi phân tích hoạt động dạy học khám phá theo ba cấp độ trong lí

thuyết hoạt động của Leont'ev (1974): hoạt động gắn liền với động cơ (cấp độ 1), hoạt

động được hợp thành bởi nhiều hành động, hành động gắn liền với mục tiêu (cấp độ 2),

hành động bao gồm nhiều thao tác với công cụ, thao tác công cụ gắn liền với điều kiện

sử dụng công cụ (cấp độ 3).

Pha 1 (Quan sát): Ở Pha 1, với mục tiêu khám phá ra dạng cơ bản của phương

trình đường tròn biết tâm I và bán kính R nhờ vào hai biểu diễn hình học và đại số trên

màn hình GeoGebra, HS sử dụng thiết bị chuột không dây thực hiện hành động hiển thị

hai biểu diễn (biểu diễn hình học và biểu diễn đại số) của các đường tròn do GV đưa ra.

Cụ thể, HS thực hiện vẽ (biểu diễn) lần lượt các đường tròn trong cửa sổ hình học của

GeoGebra bằng các thao tác với các công cụ chức năng của GeoGebra khi đó GeoGebra

tự động hiển thị dạng hình học của đường tròn ở cửa sổ hình học và dạng phương trình

tương ứng của đường tròn ở cửa sổ đại số. Các thao tác này được thực theo điều kiện

sử dụng do GeoGebra quy định. Chẳng hạn, đối với đường tròn tâm 𝐴(1; 2), bán kính

bằng 2, HS thực hiện các thao tác theo điều kiện ràng buộc của GeoGebra như mô tả ở

Bảng 4.3. GV có vai trò là người hỗ trợ kĩ thuật thao tác GeoGebra.

Bảng 4.3. Thao tác biểu diễn đường tròn tâm 𝑨(𝟏; 𝟐), bán kính bằng 2

Thao tác và điều kiện

Đường tròn Kết quả hiển thị trên màn hình Khi đó, GeoGebra phản hồi kết quả như hình ….. Màn hình hiển thị

Thao tác (1) Ấn chọn công cụ “ khi biết tâm và bán kính” (2) Ấn (click trái chuột) chọn vị trí tọa độ (1;2) trên mặt phẳng tọa độ. Màn hình hiển thị:

112

(3) Nhập giá trị của bán kính là 2. Điều kiện: Thực hiện đúng thứ tự các bước (1), (2) và (3).

Trong khi một HS thao tác công cụ GeoGebra, các HS còn lại cùng thực hiện hành

động quan sát, phân tích, so sánh đối chiếu hai biểu diễn (biểu diễn hình học và biểu

diễn đại số) của đường tròn nhằm mục đích phát hiện ra dạng cơ bản của phương trình

đường tròn trong mối liên hệ giữa biểu diễn “hình học” và biểu diễn “đại số” của đường

tròn. Bằng những thao tác quan sát và tư duy (so sánh, phân tích, khái quát hóa) các kết

quả phương trình hiển thị tương ứng với mỗi đường tròn ngay sau khi dạng hình học

của nó được vẽ, tất cả HS đã trả lời hoàn toàn đúng các câu hỏi trong các phiếu học tập.

Pha 2 (Phân tích): Trong bước 1 ở Pha 2, GV thực hiện hành động là đặt ra nhiệm

vụ cho HS bằng câu hỏi “Các ví dụ này có những tính chất gì giống nhau?” nhằm

mục tiêu giúp HS tập trung phân tích đặc trưng của phương trình hiển thị ở cửa sổ

“đại số” của GeoGebra. Tương ứng với hành động của GV, HS thực hiện hành

động so sánh đối chiếu các yếu tố đặc trưng của đường tròn xuất hiện trong

phương trình và trên hình vẽ nhằm mục tiêu tìm ra mối liên hệ giữa biểu diễn “đại

số” và biểu diễn “hình học” của đường tròn, tìm ra và liệt kê các tính chất giống

nhau của các ví dụ để khái quát hóa dạng tổng quát của phương trình đường tròn bằng

các thao tác tư duy (so sánh, phân tích, tổng hợp, …). Nhờ GeoGebra phản hồi

“phương trình” của đường tròn ngay tức thời khi HS thực hiện thao tác biểu diễn

“hình học” của nó, HS phát hiện được các đặc điểm đặc trưng của phương trình

đường tròn. Chẳng hạn, HS.An chỉ ra chính xác vị trí xuất hiện tương ứng của hoành

độ và tung độ của tọa độ tâm 𝐼 của đường tròn trong phương trình và vị trí xuất hiện

tương ứng của độ dài bán kính R của đường tròn trong phương trình. Trong khi đó,

HS.Man phát biểu “vế trái của phương trình là kết quả bình phương độ dài khoảng cách

từ điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) đến điểm 𝐼(𝑎; 𝑏); vế phải của phương trình là một số dương – là kết

quả bình phương độ dài bán kính 𝑅”. Điều này cho thấy HS.Man đã nhận ra được

phương trình dạng (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 có hình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là

đường tròn.

Ở bước 2, sau khi HS đã phát hiện được dấu hiệu “vế phải của phương trình đường

113

tròn là một số - là bình phương của độ dài bán kính”, GV thực hiện hành động đặt câu

hỏi “Ngược lại, phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 phải thoả mãn điều kiện nào để

trở thành phương trình đường tròn?” bằng thao tác yêu cầu HS thực hiện nhận dạng các

phương trình cụ thể (xem Hình 4.7) nhằm mục tiêu giúp HS nhận được dạng phương

trình đường tròn. Đối với nhiệm vụ này, HS thực hiện hành động phân tích phương trình

đường tròn bằng thao tác tư duy trong môi trường giấy bút.

Hình 4.7. Nhận dạng phương trình đường tròn

Kết quả bài làm của HS được thống kê ở Bảng 4.4, cho thấy:

- Đối với Câu 1, tất cả 22 HS đều có chung câu trả lời rằng phương trình

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 25 là phương trình đường tròn có tâm 𝐼(1; 3), bán kính 5.

Bảng 4.4. Kết quả bài làm của HS khi thực hiện Phiếu học tập số 5

Câu 1 Câu 2 Câu 3

22 7 3

0 15 19

Nội dung Số HS cho rằng phương trình đã cho đúng là phương trình đường tròn. Số HS cho rằng phương trình đã cho không đúng là phương trình đường tròn. Tổng 22 22 22

- Đối với Câu 3, có 3 HS cho rằng phương trình (x − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = −16 là

phương trình đường tròn. HS đã sai lầm trong lời giải này là do HS cho rằng bình phương

của −4 là bằng −16. Để giúp HS kiểm tra kết quả bài làm Câu 1 và Câu 3, GV hướng

dẫn HS thực hiện hành động biểu diễn đường tròn ở dạng phương trình đại số bằng các

thao tác và điều kiện được mô tả ở Bảng 4.5, khi đó, lập tức dạng hình học xuất hiện

114

tương ứng ngay sau đó.

Bảng 4.5. Thao tác của HS kiểm tra kết quả Câu 1 và câu 3

Thao tác và điều kiện

Kết quả hiển thị trên màn hình - Cửa sổ hình học không có hình biểu diễn tương ứng (hình ….).

Thao tác: Nhập phương trình đại số “(x-2)^2+(y- 1)^2=-16” tại khung Nhập lệnh của GeoGebra. Điều kiện: các biểu thức nhập vào tại khung Nhập lệnh phải theo dạng LaTeX. Thao tác: Nhập phương trình đại số “(x-1)^2+(y- 3)^2=25” tại khung Nhập lệnh của GeoGebra. Điều kiện: các biểu thức nhập vào tại khung Nhập lệnh phải theo dạng LaTeX.

- Đối với phương trình (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 0 ở Câu 2, kết quả thu được có hai

câu trả lời khác nhau. 15 HS khẳng định phương trình đã cho không phải là phương trình

đường tròn vì vế trái của nó bằng 0. Trong khi đó, 7 HS còn lại cho rằng phương trình

đã cho là phương trình đường tròn với bán kính bằng 0. Để hợp thức hóa câu trả lời, GV

tiếp tục yêu cầu nhóm HS thực hiện thao tác nhập phương trình

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 0 vào khung nhập lệnh của GeoGebra. Kết quả phản hồi ở

Error! Reference source not found. cho thấy rằng phương trình (𝑥 − 1)2 +

(𝑦 − 3)2 = 0 được hiển thị ở cửa sổ đại số và biểu diễn hình học tương ứng với nó là

một điểm cửa sổ hình học. Điều này cho thấy GeoGebra chấp nhận phương trình

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 0 là phương trình đường tròn. Đối với trường hợp phương trình

dạng này, GV nhấn mạnh “nó không được chấp nhận trong chương trình phổ thông. Vì

thế phương trình (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 0 không phải là phương trình đường tròn”.

Thao tác: Nhập phương trình đại số “(x-1)^2+(y- 3)^2=0” tại khung Nhập lệnh của GeoGebra. Điều kiện: các biểu thức nhập vào tại khung Nhập lệnh phải theo dạng LaTeX.

115

Pha 3 (Khái quát hóa): Nhờ vào kết quả hợp thức ở bước 2 của Pha 2, HS phát

biểu “Với 𝑘 > 0 thì phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘 là một phương trình đường

tròn”.

Nhờ vào kết quả quan sát ở Pha 1 và phân tích ở Pha 1, HS khái quát hóa được

dạng cơ bản của phương trình đường tròn tâm 𝐼(𝑎; 𝑏), bán kính R trong mặt phẳng tọa

độ Oxy. Kết quả có 2 HS trả lời rằng “Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, tập hợp tất cả các

điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) cách đều điểm 𝐼(𝑎; 𝑏) cố định bằng 𝑅 là đường tròn tâm (𝐼; 𝑅) có phương

trình là ngược lại, phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = R2. Và

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘, với 𝑘 > 0 là đường tròn có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) và bán kính 𝑅 = √𝑘”.

Câu trả lời của các 20 HS còn lại là “Phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘, với 𝑘 > 0

là đường tròn có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) và bán kính 𝑅 = √𝑘”.

4.1.3.2. Phân tích kết quả kiểm tra, đánh giá

Kết quả bài làm của HS cho thấy tất cả 22/22 HS đã thực hiện Câu a) theo chiến

lược như Hình 4.8. Điều này đồng nghĩa với việc HS không biến đổi quy phương trình

được cho ở Câu a) về dạng 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.

Hình 4.8. Bài làm của 1 HS trường PT Việt Mỹ

Ngoài ra, kết quả bài làm cho thấy bài toán cho ở dạng nào thì HS sẽ vận dụng

kiến thức liên quan đến dạng đó để giải quyết. Điều này được minh họa bởi lời giải của

HS ở Hình 4.8.

116

4.2 Dạy học khám phá Phương trình elip

4.2.1. Nghiên cứu cơ sở đề xuất mô hình dạy học khám phá Phương trình đường elip

với GeoGebra

4.2.1.1. Về quan hệ thể chế Hình học 10 đối với chủ đề elip

(1) Mục tiêu và yêu cầu của chương trình Hình học 10 đối với chủ đề Elip

Theo Nguyễn Thế Thạch et al. (2009), nội dung yêu cầu thực hiện chuẩn kiến thức,

kĩ năng chủ đề Elip tròn bao gồm:

+ Về kiến thức: Biết định nghĩa elip. Biết phương trình chính tắc, hình dạng của

elip.

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 = 1 với 𝑎 > 𝑏 > 0, xác định được độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai của elip; Xác định được tọa độ các

+ Về kĩ năng: Từ phương trình chính tắc của elip 𝑥2

tiêu điểm, giao điểm của elip với các trục tọa độ. Viết phương trình chính tắc của elip

khi cho các yếu tố xác định elip đó.

(2) Sự hình thành khái niệm Elip và phương trình Elip trong sách giáo khoa Hình

học 10

Trong thể chế dạy học HH10, biểu tượng ban đầu về elip được giới thiệu thông

qua hoạt động 1 và 3 bằng hình vẽ trực quan. Các hoạt động này đồng thời cho thấy mối

liên hệ giữa elip và đường tròn.

Hình 4.9. Hình hoạt động 1 và hoạt động 2 SGK

117

Trước khi giới thiệu định nghĩa khái niệm elip, sách giáo khoa giới thiệu HS một

cách tạo đường elip bằng cách:

“ Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm 𝐹1 và 𝐹2 . Lấy một vòng dây kín không

đàn hồi có độ dài lớn hơn 2𝐹1𝐹2. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng

tại một điểm M nào đó. Đặt đầu bút chì tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn căng.

Đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip.”

Từ đó, SGK định nghĩa đường elip theo quan điểm hình học với nghĩa “khoảng

cách”, cụ thể:

“Cho hai điểm cố định 𝐹1, 𝐹2 và một độ dài không đổi 2𝑎 lớn hơn 𝐹1𝐹2. Elip là

tập hợp các điểm 𝑀 trong mặt phẳng sao cho 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎. Các điểm 𝐹1 và 𝐹2 gọi

là các tiêu điểm của elip. Độ dài 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 gọi là tiêu cự của elip.”

Định nghĩa trên cho thấy, yếu tố xác định của một đường elip là hai tiêu điểm và

một độ dài không đổi lớn hơn hai lần khoảng cách giữa hai tiêu điểm hoặc tiêu cự. Ngoài

ra, tính chất hình học của elip không được nghiên cứu trong giai đoạn này. Hơn nữa, đối

với HS có học lực thấp, các hằng số 2𝑎 và 2𝑐 là một chướng ngại cho việc tiếp nhận tri

thức của các em.

Tiếp theo đó, khái niệm elip được nghiên cứu trên phương diện mới là “phương

diện số” với nghĩa “phương trình”. Trước khi đưa vào khái niệm phương trình đường

elip, SGK minh họa bằng một hình vẽ trực quan:

Hình 4.10. Hình vẽ elip SGK

Với hình vẽ này, nó giải thích cho bước chuyển từ hình học tổng hợp (phương diện

hình) sang hình học giải tích (phương diện số). Đường elip có hai tiêu điểm 𝐹1, 𝐹2 , một

độ dài cố định được đặt trong một hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦 và lúc này tọa độ các tiêu điểm

được xác định là 𝐹1(−𝑐; 0); 𝐹2(𝑐; 0) và điểm 𝑀 chạy trên đường elip có tọa độ là (𝑥; 𝑦).

118

SGK định nghĩa phương trình đường elip như sau:

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 = 1 (1), trong đó 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2.

“𝑀(𝑥; 𝑦) ∈ (𝐸) ⟺ 𝑥2

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của elip”.

(Trần Văn Hạo et al., 2008a)

SGK giới thiệu phương trình chính tắc của elip thông qua định nghĩa elip theo quan

điểm hình. Tuy nhiên, SGK không trình bày các bước chuyển đổi nghĩa từ “khoảng

cách” sang “phương trình” mà chỉ thông báo bằng cụm từ “người ta chứng minh được”.

Mặc dù, SGK có đưa ra hoạt động 3 với nội dung “Trong phương trình (1) hãy giải

thích vì sao ta luôn đặt được 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2”. Nhưng hoạt động này cũng chỉ nhằm mục

đích giúp HS chú ý điều kiện 𝑎 > 𝑐 để hiểu được cách đặt 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2, 𝑏 < 𝑎 và tiêu

điểm luôn nằm trên trục lớn. Ở giai đoạn này, thông qua phương trình chính tắc của elip,

thể chế HH10 giới thiệu tính chất hình học của elip và liên hệ giữa nó với đường tròn.

Kết quả phân tích cho thấy:

• Đường elip được thể chế HH10 nghiên cứu ở cả hai phương diện bao gồm “hình”

với nghĩa “khoảng cách” và phương diện “số” với nghĩa “phương trình”;

• Tính chất hình học của elip được nghiên cứu chủ yếu thông qua phương trình của

nó;

• SGK xây dựng phương trình chính tắc từ định nghĩa elip;

• SGK đã chỉ rõ sự tương ứng biểu diễn hình học của elip và phương trình của nó.

Sự tương ứng này tạo điều kiện cho việc thay thế elip bởi phương trình của nó

trong việc tìm giao điểm của đường thẳng và elip, xác định elip, …;

• Đối với phương trình chính tắc: SGK, SBT không chỉ ra mối liên hệ hình học

giữa các hệ số 𝑎, 𝑏 và 𝑐 trong biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2.

4.2.1.2. Về quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của HS đối với Elip

Giả thuyết sau được đặt ra từ những ghi nhận ở mục 4.2.1.1:

1) HS không nhận biết được mối liên hệ hình học giữa các độ dài 𝑎, 𝑏 và 𝑐 trong

biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông (chẳng hạn

tam giác 𝑂𝐵2𝐹2 (xem Hình 2.6, trang 69));

2) Tồn tại quy tắc R đối với HS: “chú ý điều kiện 𝑎 > 𝑐 để hiểu được cách đặt

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2”.

119

(1) Phân tích các chiến lược giải và câu trả lời có thể xuất hiện

Các câu trả lời (TL) đối với HS ở Phiếu khảo sát số 1 có thể xuất hiện như sau:

TL1: HS không giải thích hoặc không phản hồi

TL2: Do 𝑎 > 𝑐 ⇔ 𝑎2 − 𝑐2 > 0 nên luôn đặt được 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2

TL3: Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông (chỉ ra tam giác cụ thể) ta được

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2

Các câu trả lời (TL) đối với HS ở Phiếu khảo sát số 2 có thể xuất hiện như sau:

TL1: Chỉ ra (vẽ) được tam giác nhưng không thỏa mãn yêu cầu và không có lời

giải thích cho sự lựa chọn của mình.

TL2: Chỉ ra (vẽ) tam giác nhưng không thỏa mãn yêu cầu (chẳng hạn tam giác

𝐴2𝐵2𝐴1 hoặc 𝐴2𝐵1𝐴1; 𝐹2𝐵2𝐹1 hoặc 𝐹2𝐵1𝐹1; 𝐹2𝐵2𝐹1 hoặc 𝐹2𝐵1𝐹1; ...) và có lời giải thích

cho sự lựa chọn nhưng lời giải thích không đúng.

TL3: Chỉ ra (vẽ) chính xác tam giác thỏa mãn yêu cầu (chẳng hạn tam giác 𝐹2𝐵2𝑂

hoặc 𝐹1𝐵2𝑂 hoặc 𝐹1𝐵1𝑂 hoặc 𝐹2𝐵1𝑂) và lời giải thích đáp ứng đúng yêu cầu.

(2) Kết quả khảo sát

 Đối với Phiếu khảo sát số 1

Các câu trả lời của HS ở Phiếu khảo sát số 1 được thống kê ở Bảng 4.6.

Bảng 4.6. Kết quả thống kê Phiếu khảo sát 1 (elip)

STT Nội dung trả lời Số lượng

1 HS không giải thích hoặc không phản hồi 503 (43,3 %)

659 (56,7 %) 2 Do 𝑎 > 𝑐 ⇔ 𝑎2 − 𝑐2 > 0 nên luôn đặt được 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2

3 Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông (chỉ ra tam giác 0 (0,0 %)

cụ thể) ta được 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2

Tổng 1162

Câu hỏi trong Phiếu khảo sát số 1 là một dạng câu hỏi quen thuộc trong SGK

HH10. Tuy nhiên, trong số 1162 HS tham gia khảo sát, chỉ có 659 HS (chiếm tỉ lệ

56,7%) trả lời câu hỏi đặt ra. Hơn nữa, những HS này có lời giải thích tương tự nội dung

hướng dẫn mà thể chế SGV HH10 đã đưa ra “… HS chú ý điều kiện 𝑎 > 𝑐 để hiểu được

cách đặt 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 … ” (Trần Văn Hạo et al., 2008b, p. 108).

Nói cách khác, HS hiểu mối liên hệ giữa các đại lượng 𝑎, 𝑏 và 𝑐 chủ yếu theo nghĩa

120

đại số mà không quan tâm đến nghĩa hình học của chúng, cụ thể HS trả lời “bởi vì

𝑎 > 𝑐 ⇔ 𝑎2 − 𝑐2 > 0 nên luôn đặt được 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2” và chúng tôi không tìm thấy

câu trả lời liên quan đến nghĩa hình học trong phiếu trả lời của HS. Có 503/1162 HS

(chiếm tỉ lệ 43,3%) HS không đưa ra được lời giải thích, kết quả cho thấy rằng, HS chưa

biết về mối liên hệ giữa 𝑎, 𝑏 và 𝑐. Điều này có thể sẽ tác động tác việc ghi nhớ và sử

dụng tri thức elip theo nghĩa phương trình khi HS giải các bài toán có liên quan.

Kết quả thống kê phản hồi của HS đối với câu hỏi ở Phiếu khảo sát số 2 sẽ làm rõ

thêm quan niệm của HS về mối liên hệ giữa 𝑎, 𝑏 và 𝑐.

 Đối với câu hỏi ở Phiếu khảo sát số 2

- Các câu trả lời của HS ở Phiếu khảo sát số 1 được thống kê ở Bảng 4.7.

Bảng 4.7. Kết quả thống kê Phiếu khảo sát 2 (elip)

STT Nội dung trả lời

Số lượng 316 (27,19%)

647 (55,68%)

1 Chỉ ra (vẽ) được tam giác nhưng không thỏa mãn yêu cầu (chẳng hạn tam giác 𝐴2𝐵2𝐴1 hoặc 𝐴2𝐵1𝐴1; 𝐹2𝐵2𝐹1 hoặc 𝐹2𝐵1𝐹1; 𝐹2𝐵2𝐹1 hoặc 𝐹2𝐵1𝐹1; ...); và không có lời giải thích cho sự lựa chọn. 2 Chỉ ra (vẽ) tam giác nhưng không thỏa mãn yêu cầu (chẳng hạn tam giác 𝐴2𝐵2𝐴1 hoặc 𝐴2𝐵1𝐴1; 𝐹2𝐵2𝐹1 hoặc 𝐹2𝐵1𝐹1; 𝐹2𝐵2𝐹1 hoặc 𝐹2𝐵1𝐹1; ...); và có lời giải thích cho sự lựa chọn nhưng lời giải thích không đúng.

199 (17,13%)

3 Chỉ ra (vẽ) chính xác tam giác thỏa mãn yêu cầu (chẳng hạn tam giác 𝐹2𝐵2𝑂 hoặc 𝐹1𝐵2𝑂 hoặc 𝐹1𝐵1𝑂 hoặc 𝐹2𝐵1𝑂); và lời giải thích đáp ứng đúng yêu cầu. Tổng 1162

Đối với câu hỏi này, có 316/1162 HS (chiếm tỉ lệ 27,21%) chỉ ra (hay vẽ) tam giác

nhưng hình vẽ không thỏa mãn yêu cầu, có 647 HS (chiếm tỉ lệ 55,67%) vẽ và trình bày

lời giải thích tương ứng với cách vẽ nhưng nội dung không thỏa mãn yêu cầu. Mặc dù,

HS hiểu rõ nhiệm vụ đặt ra trong câu hỏi, nhưng chỉ có 199/1162 HS (chiếm tỉ lệ

17,12%) chỉ ra và giải thích đúng tam giác theo yêu cầu.

121

Bảng 4.8. Hình vẽ và lời giải thích của học sinh

STT Hình vẽ của HS Lời giải thích tương ứng của HS

6 Không ghi lời giải thích

122

Không ghi lời giải thích 8

Không ghi lời giải thích 9

4.2.1.3. Về một số phương án dạy học Phương trình elip của các đồng nghiệp đã đề xuất

trước đây

Nhìn chung, 9 giáo án dạy học Phương trình đường elip của 9 GV của các trường

có HS tham gia thực nghiệm khảo sát ở mục 4.1.1.2 có 2 điểm chung: (1) Phương trình

chính tắc của elip được xây dựng theo tiến trình đã có ở SGK HH10; (2) Mối quan hệ

mối liên hệ hình học giữa các độ dài a, b và c trong biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 là độ dài 3

cạnh của một tam giác vuông (chẳng hạn tam giác 𝑂𝐵2𝐹2 (xem Hình 2.6)) không được

đề cập đến.

GV.PTH (2013b) sử dụng phần mềm GeoGebra thiết kế mô hình động như Hình

𝑎2 + 𝑦2

𝑎2−𝑐2 với 1 trong các trường hợp 𝑀 thuộc elip và 𝑀 không thuộc elip. Từ đó, HS đưa ra dự đoán về

4.11. HS quan sát hình, kết quả đo đạc rồi tiến hành phân tích, so sánh 𝑥2

phương trình chính tắc của elip.

Tiến trình dạy học trên cho thấy, GV.PTH đã tạo cơ hội để HS phát triển năng lực

khám phá bằng việc quan sát, phân tích và so sánh. Tuy nhiên, biểu thức được đưa ra

phân tích, so sánh có thể sẽ đột ngột đối với HS. Hơn nữa, chức năng đa biểu diễn của

GeoGebra chưa được khai thác.

123

Hình 4.11. Mô hình động elip (GV.PTH)

4.2.2. Mô hình dạy học khám phá Phương trình đường elip với GeoGebra

Mô hình dạy học khám phá Phương trình đường elip (xem Sơ đồ Hình 4.13 trang

124 và Hình 4.16 trang 130) được hình thành từ cơ sở phân tích thể chế dạy học Hình

học 10 đối với Phương trình đường elip, phân tích phương án dạy học của một số đồng

nghiệp và tính năng của phần mềm GeoGebra. Mô hình này được cải tiến từ mô hình

dạy học định lí có khâu nêu giả thuyết và mô hình dạy học khái niệm bắt đầu từ việc

phân tích các ví dụ (xem Nguyễn Phú Lộc (2016)) và được thiết kế theo quan điểm của

lí thuyết Hoạt động ở mục 1.1, trang 23.

Theo đó, mô hình dạy học khám phá Phương trình đường elip này bao gồm hai

hoạt động: (1) Khám phá phương trình chính tắc của elip; (2) khám phá các thành phần

của elip; Hoạt động khám phá các thành phần của elip bao gồm (a) HS khám phá mối

liên hệ giữa tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm và độ dài trục

lớn; (b) HS khám phá mối liên hệ giữa nửa độ dài trục lớn, nửa độ dài trục nhỏ và bán

tiêu cự (xem Sơ đồ Hình 4.12). Các bước chính yếu của mô hình dạy học khám phá

Phương trình đường elip hoạt động HS khám phá các đặc điểm chung trong các ví dụ

được GV đưa ra trước.

Khám phá mối liên hệ giữa:

Khám phá

(1) (2)

(a) tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip

đến hai tiêu điểm với độ dài trục lớn;

(b) nửa độ dài trục lớn với nửa độ dài trục nhỏ

và bán tiêu cự.

Hình 4.12. Hai hoạt động khám phá elip

124

Hoạt động 1 – Khám phá Phương trình chính tắc của elip (Hình 4.13).

Kết quả 1) HS phát biểu được định

nghĩa phương trình chính

tắc của elip.

2) HS nhận dạng được mối liên hệ hình học giữa các thành phần trong phương trình elip.

(2) Phân tích (1) Quan sát (3) Khái quát hóa

Chủ thể (Học sinh)

h n i s c ọ h

𝑥2 𝑎2 +

Đối tượng (Phương trình chính tắc của elip 𝑦2 𝑏2 = 1

Công cụ (Hai dạng biểu diễn của đường elip)

a ủ c

g n ộ đ

) t ậ u h t ĩ

t ạ o H

k ợ r t

Biểu diễn “đại số” (Phương trình chính tắc) Biểu diễn “hình học” (“hình vẽ”)

ỗ h V G

(

S H

a ủ c

g n ộ đ

Đối tượng (Elip)

t ạ o H

Chủ thể (HS) Công cụ (GeoGebra)

Hình 4.13. Hoạt động 1 – Khám phá Phương trình chính tắc của elip

125

Pha 1 (Quan sát): Cho HS quan sát một số ví dụ cụ thể về Phương trình chính tắc của

elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 (xem Bảng 4.9).

Bảng 4.9. Quá trình thao tác GeoGebra ở Pha 1

Thao tác Tương ứng ở mỗi ví dụ:

(HS) - Dựng hai tiêu điểm: 𝐹1(−𝑐; 0) và 𝐹2(𝑐; 0)

- Dựng điểm thuộc elip

+ Ấn mục - “đường tròn khi biết tâm và bán kính” trên thanh trình

đơn công cụ, lần lượt dựng đường tròn (𝐹1; 𝑅1) và (𝐹2; 𝑅2) với

𝑅1 + 𝑅2 = 2𝑎;

+ Ấn mục - “giao của hai đối tượng”: dựng giao điểm của hai đường

tròn trên để được điểm thuộc elip.

- Dựng elip: Ấn mục - “chọn tiêu điểm và một điểm trên elip”, dựng

(𝑎2−𝑐2)

(𝑥−𝑚)2

(𝑦−𝑛)2

= 1 bằng thao tác “ấn phải” chuột vào phương trình ở cửa elip thỏa mãn 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 - Đưa phương trình dạng (𝑎2 − 𝑐2)𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) về dạng 𝑎2 + 𝑦2 𝑥2

𝑎2 +

𝑏2 = 1”.

sổ đại số và chọn “Phương trình

Các biểu - Biểu diễn “hình học” của elip.

diễn của - Biểu diễn “đại số” của elip dạng

elip (𝑎2 − 𝑐2)𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)

(GeoGebra)

Kết quả

(HS) - Phương trình của elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 là (𝑎2 − 𝑐2)𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) .

𝑎2 +

𝑦2 (𝑎2−𝑐2)

- Phương trình chính tắc của elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 là 𝑥2 = 1 với 𝑎 > 𝑐.

• Hoạt động của GV: Hoạt động của GV được khái quát ở Sơ đồ Hình 4.13, trang

124. GV đưa ra một số elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 trong mặt phẳng

tọa độ 𝑂𝑥𝑦 và sử dụng GeoGebra hiển thị đồng thời hai dạng biểu diễn của elip

(Phiếu học tập 1 (Hình 4.14 )và Phiếu học tập 2 (Hình 4.15)).

126

Hình 4.14. Phiếu học tập số 1 (elip)

Hình 4.15. Phiếu học tập số 2 (elip)

127

+ Dạng biểu diễn “hình học” tương ứng của elip được hiển thị tại cửa sổ “vùng

làm việc” của GeoGebra (cửa sổ này được người dùng gọi là “cửa sổ hình

học”).

+ Dạng biểu diễn “đại số” tương ứng của elip được hiển thị tại cửa sổ “hiển thị

danh sách đối tượng” của GeoGebra (cửa sổ này được người dùng gọi là

“cửa sổ đại số”).

Trong trường hợp này, dữ liệu đầu vào đối với GeoGebra là dạng biểu diễn

“hình học” của elip (cụ thể là elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐) và kết

quả đầu ra là dạng biểu diễn “hình học” và dạng biểu diễn “đại số” của nó.

• Hoạt động của HS: HS quan sát và suy ngẫm về dạng biểu diễn “đại số” trong

mối liên hệ với biểu diễn “hình học” của elip.

Pha 2 (Phân tích): Yêu cầu HS phân tích tìm ra các dấu hiệu đặc trưng của Phương

trình chính tắc của elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐

Bước 1: Phân tích tìm ra các dấu hiệu đặc trưng của phương trình elip trong mối

liên hệ giữa biểu diễn “hình học” và biểu diễn “đại số” tương ứng của các đường

elip.

• Hoạt động của GV: Yêu cầu HS phân tích tìm ra các đặc điểm chung của các ví

dụ ở pha 1.

• Hoạt động của HS: HS phân tích, so sánh chỉ ra mối quan hệ tương ứng giữa

biểu diễn “đại số” và dạng biểu diễn “hình học” của mỗi elip. HS tìm kiếm các

dấu hiệu đặc trưng của dạng biểu diễn “đại số” (hay còn gọi là phương trình)

của elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐.

Bước 2: Phân tích tìm ra các dấu hiệu đặc trưng của phương trình đường tròn

𝑏2 = 1 là một phương trình của một

𝑎2 + 𝑦2

trong mối liên hệ giữa biểu diễn “đại số” và biểu diễn “hình học” tương ứng (dấu hiệu nhận biết phương trình đại số dạng 𝑥2

đường elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐) (xem Bảng 4.10).

128

Bảng 4.10. Quá trình thao tác GeoGebra trong bước 2 của Pha 2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 = 1

Nhập lệnh dạng 𝑥2 Thao tác

Trường hợp 1 Trường hợp 2 Trường hợp 3 (GV)

𝑎 > 𝑏 𝑎 = 𝑏 𝑎 < 𝑏

4 2) 4𝑥2 + 9𝑦2 = 36

9 2) 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36

1) 𝑥2 + 𝑦2 = 1; 1) 𝑥2 1) 𝑥2 + 𝑦2 = 1 + 𝑦2 = 1

2) 𝑥2 + 𝑦2 = 1

- Biểu diễn hình học: - Biểu diễn hình học: - Biểu diễn hình Hiển thị các elip có trục lớn nằm học: elip có trục lớn đường tròn tâm 𝑂, biểu diễn của trên trục 𝑂𝑥. nằm trên trục 𝑂𝑦. bán kính (𝑎; 𝑏). đường tròn - Biểu diễn “đại số”: - Biểu diễn “đại số”: - Biểu diễn “đại số”: (GeoGebra) Phương trình elip. Phương trình elip. Phương trình elip.

Phương trình chính

tắc của elip có

𝐹1𝑀 + 𝐹2𝑀 = 2𝑎 Kết quả là (HS)

𝑦2 𝑏2 = 1

và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 𝑥2 𝑎2 + với 𝑎 > 𝑐.

• Hoạt động của GV: GV đưa ra một số phương trình elip dạng

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 = 1. GV sử dụng GeoGebra hiển thị đồng thời dạng biểu diễn “đại số” và dạng biểu diễn “hình học” của đường elip

𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 và dạng 𝑥2

tương ứng trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦. Trong đó, dữ liệu đầu vào đối với

𝑏2 = 1) và kết quả đầu ra là

𝑎2 + 𝑦2

GeoGebra là dạng biểu diễn “đại số” của đường elip (cụ thể là một phương trình đại số (dạng 𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 và dạng 𝑥2

dạng biểu diễn “hình học” và dạng biểu diễn “đại số” của nó.

• Hoạt động của HS: HS quan sát, phân tích, so sánh chỉ ra điều kiện của 𝑎 và 𝑏

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 = 1 là phương trình chính tắc của một đường elip.

để phương trình dạng 𝑥2

129

Pha 3 (Khái quát hóa): Khi HS nhận ra những thuộc tính chung đủ để định nghĩa, GV

yêu cầu HS phát biểu khái niệm Phương trình chính tắc của elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎

và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 với 𝐹1(−𝑐; 0) và 𝐹2(𝑐; 0) trong trường hợp tổng quát.

• Hoạt động của GV: GV yêu cầu HS phát biểu định nghĩa Phương trình chính

tắc của elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 với 𝐹1(−𝑐; 0) và 𝐹2(𝑐; 0) trong

mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Hoạt động của HS: HS khái quát hóa chỉ ra dấu hiệu đặc trưng của lớp các

Phương trình chính tắc của elip có 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 và 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 với

𝐹1(−𝑐; 0) và 𝐹2(𝑐; 0) trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦. HS phát biểu định nghĩa

Phương trình chính tắc của elip và hoàn thành Phiếu học tập 3.

130

Hoạt động 2 – Khám phá mối liên hệ giữa tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip

đến hai tiêu điểm với trục lớn và mới quan hệ giữa bán trục lớn với bán trục nhỏ

và bán tiêu cự (Hình 4.16).

Kết quả HS phát biểu và nhận dạng được mối liên hệ hình học giữa: (a) tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm với trục lớn; (b) bán trục lớn với bán trục nhỏ và bán tiêu cự.

(2) Phân tích (1) Quan sát (3) Khái quát hóa Đối tượng

(a) 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎; (b) 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 .

Chủ thể (Học sinh)

h n i s c ọ h

Công cụ

a ủ c

g n ộ đ

) t ậ u h t ĩ

t ạ o H

k ợ r t

Đại lượng hình học Hình vẽ

ỗ h V G

(

S H

a ủ c

g n ộ đ

Đối tượng (Các thành phần của Elip)

t ạ o H

Chủ thể (HS) Công cụ (GeoGebra)

Hình 4.16. Hoạt động 2 – Khám phá mối liên hệ giữa các thành phần của elip

131

Pha 1 (Quan sát): Cho HS quan sát một số ví dụ cụ thể về mối liên hệ giữa: (a) tổng

khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm với trục lớn; (b) bán trục lớn với

bán trục nhỏ và bán tiêu cự.

• Hoạt động của GV: Hiển thị các biểu diễn hình học và đại lượng hình học của

các thành phần của elip (các giao điểm của đường elip với trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦; trục lớn;

trục nhỏ) bằng cách sử dụng GeoGebra dựng các elip tương ứng với định nghĩa

của nó. Sử dụng công cụ đo đạc để đo và hiển thị giá trị của các đại lượng

hình học bao gồm trục lớn và bán trục lớn, trục nhỏ và bán trục nhỏ, tiêu cự và

bán tiêu cự, tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm

• Hoạt động của HS: Quan sát kết quả phản hồi, suy ngẫm và hoàn thành Phiếu

học tập 4 Hình 4.17.

Pha 2 (Phân tích): Yêu cầu HS phân tích tìm ra mối liên hệ về mặt hình học của: (a)

tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm với trục lớn; (b) bán trục lớn

với bán trục nhỏ và bán tiêu cự.

• Hoạt động của GV: Yêu cầu HS phân tích mối liên hệ về mặt độ dài đại số và

về mặt hình học của giữa: (a) tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai

tiêu điểm với trục lớn; (b) bán trục lớn với bán trục nhỏ và bán tiêu cự.

• Hoạt động của HS: Quan sát kết quả phản hồi tương ứng ở Pha 1. Hoàn thành

Phiếu học tập 4. Liệt kê các tính chất giống nhau và phân tích chỉ ra mối liên hệ

về mặt độ dài đại số và về mặt hình học của giữa: (a) tổng khoảng cách từ một

điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm với trục lớn; (b) bán trục lớn với bán trục nhỏ

và bán tiêu cự.

Pha 3 (Khái quát hóa): Khi HS nhận ra mối liên hệ các thành phần của elip ở mỗi ví

dụ, GV yêu cầu HS phát biểu các mối liên hệ này trong trường hợp tổng quát

• Hoạt động của GV: Yêu cầu HS khái quát hóa mối liên hệ giữa: (a) tổng khoảng

cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm với trục lớn; (b) bán trục lớn với

bán trục nhỏ và bán tiêu cự. Kết luận và thể chế hóa.

• Hoạt động của HS: Phát biểu mối liên hệ về mặt độ dài đại số và về mặt hình

học giữa: (a) tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm với

trục lớn; (b) bán trục lớn với bán trục nhỏ và bán tiêu cự. Ghi lại mối liên hệ.

132

Hình 4.17. Phiếu học tập 4 (elip)

4.2.3. Kết quả thực nghiệm dạy học khám phá Phương trình elip với GeoGebra

4.2.3.1. Phân tích kết quả hoạt động khám phá Phương trình đường elip

Kết quả về: (1) số HS khái quát hóa được Phương trình chính tắc của elip; (2) số

HS phát hiện mối liên hệ về mặt số đo và hình học giữa trục lớn với tổng khoảng cách

từ điểm 𝑀 đến hai tiêu điểm và (3) số HS phát hiện mối liên hệ về mặt số đo và hình

học giữa 𝑎, 𝑏 và 𝑐 trong biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 là độ dài ba cạnh của một tam giác

vuông được thống kê ở Bảng 4.11.

133

g n ổ T

4 A 0 1 . L T

1 B 0 1 . T B

2 B 0 1 . T B

1 A 0 1 . M V

2 1 A 0 1 . L T

1 A 0 1 . D B T

1 B 0 1 . D V N

Bảng 4.11. Thống kê kết quả Phiếu học tập 4 sau thực nghiệm

Tổng số HS mỗi lớp 39 40 41 38 39 22 22 241

𝑏2 = 1 và phát biểu định

𝑎2 + 𝑦2

12 14 17 19 13 3 5 83

27 26 24 19 26 19 17 158

39 40 41 38 39 22 22 241

20 7 13 10 8 2 5 65

26 27 25 20 26 12 17 153

Nội dung (1a) Khái quát hóa phương trình 𝑎2 + 𝑦2 elip 𝑥2 nghĩa còn sai sót (1b) Khái quát hóa phương trình elip 𝑥2 𝑏2 = 1 với 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 và phát biểu chính xác định nghĩa. (2a) Phát hiện về mặt số đo 𝐴1𝐴2 = 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 (2b) Phát hiện về mặt hình học 𝐴1𝐴2 = 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 (3) Phát hiện mối liên hệ hình học giữa a, b và c trong biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông

𝑥2

Đối với hành động phân tích và khái quát hóa Phương trình chính tắc của elip:

Nhìn chung, tất cả HS đều khái quát hóa được Phương trình chính tắc của elip dạng 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 với 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 từ việc phân tích các thành phần có trong phương trình này trong môi trường GeoGebra. Có 158/241 HS phát biểu chính xác định nghĩa Phương

trình chính tắc của elip (𝐸) có tổng khoảng cách 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 từ điểm tùy ý 𝑀(𝑥; 𝑦)

thuộc (𝐸) đến các tiêu điểm 𝐹1(−𝑐; 0); 𝐹2(𝑐; 0) bằng 2𝑎 lớn hơn 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 và 83/241

HS phát biểu chưa chính xác. Nguyên nhân là trong Phiếu học tập, HS không ghi rõ nội

dung “với 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2”. Tuy nhiên, khi 83 HS này được phỏng vấn về giá trị của đại

lượng b thì cả 83 HS đều cho kết quả phản hồi là “𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2”. Điều này cho thấy,

83 HS này phân tích và hiểu được Phương trình elip.

Đối với hành động phân tích, phát hiện mối liên hệ giữa trục lớn với tổng khoảng

cách từ điểm M đến hai tiêu điểm: Về mặt số đo, tất cả 241 HS đều phát hiện ra

134

𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 𝐴1𝐴2 = 2𝑎. Về mặt hình học, có 65/241 HS độc lập xác minh được mối

liên hệ này, trong khi các HS còn lại nhờ vào sự hướng dẫn của GV. Nhìn chung, các

HS có học lực khá trở lên có khả năng tìm tòi, phát hiện ra được vấn đề, các HS còn lại

khả năng độc lập khám phá hoàn thành nhiệm vụ học tập còn hạn chế. Tuy vậy, HS đều

hứng khởi, hứng thú trong quá trình tìm tòi, khám phá.

Đối với hành động phân tích, phát hiện mối liên hệ giữa 𝑎, 𝑏 và 𝑐 trong biểu thức

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2: có 153/241 HS độc lập chỉ ra mối liên hệ hình học giữa 𝑎, 𝑏 và 𝑐 trong

biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông khi điểm 𝑀 trùng với

điểm 𝐵1 (hoặc 𝐵2). Hình 4.18 là các minh họa một số lời giải của nhóm HS này. Tùy

vào năng lực toán học của cá nhân, HS đưa ra lời giải thích khác nhau. 88 HS còn lại

hoàn thành nhiệm vụ với sự hướng dẫn của GV. Hình 4.19 là một minh họa cho lời giải

có nhóm HS này.

Hình 4.18. Elip. Kết quả Phiếu học tập 4

Hình 4.19. Elip. Phiếu học tập 4. Lời giải chưa hoàn chỉnh của HS

4.2.3.2. Phân tích kết quả kiểm tra, đánh giá

135

a) Phân tích kết quả đối với các lớp thực nghiệm

Kết quả bài làm kiểm tra, đánh giá khả năng hiểu và ghi nhớ mối liên hệ hình học

giữa các đại lượng 𝑎, 𝑏 và 𝑐 trong hệ thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 được thống kê ở Bảng 4.12.

HS các lớp thực nghiệm đã hoàn thành tốt bài kiểm tra này, cụ thể 100% HS đã chỉ ra

(vẽ) trên hình đúng tam giác vuông thể hiện mối liên hệ hình học của 𝑎, 𝑏 và 𝑐.

Có 213 HS (chiếm tỉ lệ 88,4%) đã trình bày đúng lời giải thích cho sự lựa chọn của

mình, 28 HS còn lại mặc dù chỉ ra (vẽ) đúng tam giác nhưng các em không trình bày

đúng lời giải thích cho sự lựa chọn.

Nguyên nhân có thể là năng lực tư duy và lập luận toán học của các HS này còn

hạn chế hoặc các em chưa chú ý tập trung nội dung bài giảng trong quá trình GV hướng

dẫn.

g n ổ T

4 A 0 1 . L T

1 B 0 1 . T B

2 B 0 1 . T B

1 A 0 1 . M V

2 1 A 0 1 . L T

1 A 0 1 . D B T

1 B 0 1 . D V N

Bảng 4.12. Thống kê bài làm của HS về mối liên hệ hình học giữa 𝒂, 𝒃 và 𝒄

Tổng số HS mỗi lớp 39 40 41 38 39 22 22 241

241 38 39 22 39 40 22 41

213 32 39 36 19 22 32

Nội dung Chỉ ra (vẽ) đúng tam giác vuông Giải thích đúng 33 b) Phân tích kết quả so sánh hiệu quả của phương pháp dạy học khám phá với sự hỗ

trợ của GeoGebra với phương pháp dạy học truyền thống

Bảng 4.13. Tổng hợp kết quả trả lời Phiếu Elip.PhieuKS.02 của mỗi phương pháp

Tổng Phương pháp dạy học Nhận biết ý nghĩa hình học của mối quan quan hệ 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒄𝟐 của học sinh

Khám phá với GeoGebra Truyền thống

Không nhận biết được 28 (11,62 %) 963 (82,87 %) 991 Nhận biết được 213 (88,38 %) 199 (17,13 %) 412 Tổng

241 1162 1403 Kết quả khảo sát HS đối với Phiếu khảo sát số 2 được thống kê và tổng hợp ở Bảng

4.13. Ta thấy rằng, tỉ lệ HS nhận biết được đối với dạy học khám phá với GeoGebra

(88,38 %) là cao hơn so với dạy học truyền thống (17,13 %) và tỉ lệ HS không nhận biết

136

được đối với dạy học truyền thống (82,87 %) là cao hơn so với dạy học khám phá với

GeoGebra (11,62 %).

Hình 4.20. Kết quả kiểm định Chi-squared bằng www.socscistatistics.com

Hình 4.21. Kết quả kiểm định Chi-squared bằng phần mềm R

Hơn nữa, kết quả kiểm định thống kê theo Chi-squared (𝜒2) đối với giả thuyết 𝐻0: Các phương pháp dạy học không tác động đến khả năng nhận biết ý nghĩa hình học của

mối quan hệ 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 của HS ở Hình 4.20 và Hình 4.21 cho thấy: 𝑑𝑓 = 1; 𝜒2 =

485.17 > 3.841. Theo Daniel Muijs (2004), giá trị quan sát được của 𝜒2là có ý nghĩa.

Giá trị 𝜒2 được tính toán (485,17) lớn hơn giá trị 𝜒2 tới hạn (3.841) nên giả thuyết 𝐻0 vô hiệu và kết luận rằng các phương pháp dạy học có ảnh hưởng đến khả năng nhận biết

ý nghĩa hình học của mối quan hệ 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 của HS. Và sự ảnh hưởng này là mạnh

do chỉ số tác động Φ = 0,59 (theo Daniel Muijs (2004), chỉ số tác động Φ được tính

𝑛

bằng cách Φ = √𝜒2 ≅ 0.59 và mức độ tác động lần lượt là Φ < 0.1: yếu, 0.1 < ≅ 485.17 1403

Φ < 0.3: chấp nhận được, 0.3 < Φ < 0.5: trung bình, 0.5 < Φ < 0.8: Mạnh (có tác

động lớn) và Φ ≥ 0.8: rất mạnh (có tác động rất lớn). Nói cách khác, dạy học với

GeoGebra có tác động lớn đến khả năng nhận biết ý nghĩa hình học của mối quan hệ

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 của HS. Các kết quả trường hợp này cho thấy, phương pháp dạy học khám

137

phá với sự hỗ trợ của GeoGebra là hiệu quả hơn so với phương pháp dạy học truyền

thống.

4.3 Kết luận chương 4

Các kết quả thực nghiệm là một minh chứng cho thấy GeoGebra là một công cụ

hiệu quả giúp GV hướng dẫn HS xây dựng các phương trình đường (phương trình đường

tròn, phương trình đường elip).

Nhờ tính năng đa biểu diễn (sự biểu diễn một đối tượng toán học có kết hợp giữa

hình học động, đại số, giải tích và chức năng bảng tính vào một gói) và chức năng tạo

vết khi di chuyển, HS khám phá phương trình của một đường một cách toàn diện hơn.

4.3.1. Về môi trường học tập

Lớp học được tổ chức theo kiểu dạy học khám phá có hướng dẫn (xem sơ đồ Hình

2.5). GV (người nghiên cứu) là người hướng dẫn và quản lí lớp học. GeoGebra (thông

qua các thiết bị máy vi tính, máy chiếu và màn chiếu, …) là công cụ chủ yếu để hỗ trợ

GV tổ chức hướng dẫn HS thực hiện các nhiệm vụ học tập giúp người học chiếm lĩnh

kiến thức. HS đóng vai trò trung tâm của việc học. HS thực hiện các thao tác tư duy

(quan sát, phân tích, tìm kiếm, ...) để thực hiện các nhiệm vụ do GV đặt ra. Trong môi

trường học tập này, HS tương tác trực tiếp với GeoGebra theo hướng mũi tên của Hình

2.5 với sự trợ giúp của GV. Tuy nhiên, trong trường hợp này do tất cả HS lớp học cùng

sử dụng chung một máy tính thông qua thiết bị điều khiển từ xa là chuột không dây trong

khi số lượng HS là nhiều nên cơ hội để mỗi HS đều được trực tiếp thao tác GeoGebra

là hạn chế. Hình thức này có thể áp dụng phù hợp với thực tiễn dạy học hiện nay bởi vì

theo Nguyen Phu Loc et al. (2020) thực trạng cơ sở vật chất ở các trường phổ thông hiện

tại không thuận tiện cho việc ứng dụng công nghệ nhất không đủ số lượng lớn máy vi

tính phục vụ cho mỗi HS thực hành trải nghiệm.

4.3.2. Vai trò của GeoGebra

Kết quả thực nghiệm cho thấy, công cụ tính năng đa biểu diễn (biểu diễn “hình”

và biểu diễn “số”) của GeoGebra đã hỗ trợ đắc lực cho hoạt động khám phá tri thức

Phương trình đường tròn, Phương trình chính tắc của elip và mối liên hệ hình học giữa

𝑎, 𝑏 và 𝑐 trong biểu thức 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2.

Với vai trò là phương tiện trung gian, GeoGebra phản hồi kết quả ngay lập tức và

138

linh động giúp người dạy và người học thấy ngay câu trả lời và nhận biết chính xác kết

quả bài làm của mình. Hơn nữa, GeoGebra còn góp phần hạn chế điểm yếu của người

học. Cụ thể, GV đã phát hiện được sai lầm của HS khi tiếp cận với đường tròn được cho

ở biểu diễn đại số. Như vậy, có thể nói rằng GeoGebra là một công cụ hỗ trợ đắc lực

cho dạy học khám phá tri thức mới.

4.3.3. Góp phần hình thành năng lực

Bảng 4.14 và Bảng 4.15 lần lượt là thống kê kết quả đánh giá năng lực của HS

theo tiêu chí ở Bảng 2.1 và Bảng 2.3.

Bảng 4.14. Kết quả đánh giá năng lực khám phá phương trình đường tròn

Tiêu chí Tổng HS Mức 1 (kém) Mức 3 (khá) Mức 4 (giỏi)

  0 0 Mức 2 (trung bình) 0 0 20 20 2 2 22 22

Bảng 4.15. Kết quả đánh giá năng lực khám phá phương trình chính tắc của elip

Tiêu chí Tổng HS

Mức 1 (kém) 0 0 Mức 2 (trung bình) 28 0 Mức 3 (khá) 99 83 241 241 Mức 4 (giỏi) 114 158

  Kết quả cho thấy, dạy học khám phá có hướng dẫn với GeoGebra trong trường hợp

này đã góp phần phát triển năng lực toán học mà cụ thể là năng lực tư duy và lập luận

và năng lực giao tiếp toán học cho HS thông qua hoạt động khám phá tri thức mới

(phương trình đường tròn, phương trình chính tắc của elip).

139

CHƯƠNG 5. DẠY HỌC KHÁM PHÁ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC

VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA GEOGEBRA

Nội dung chương 5 trình bày các kết quả nghiên cứu nhằm trả lời cho câu hỏi

nghiên cứu 3 “Ảnh hưởng của phần mềm GeoGebra đối với HS trong việc tìm kiếm lời

giải bài tập toán?”. Đầu tiên, mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm với sự hỗ

trợ của phần mềm GeoGebra được phát triển dựa trên các mô hình giải toán đã được

công bố trước bởi các nhà khoa học. Kết quả thực nghiệm mô hình này và sự ảnh hưởng

của GeoGebra đối với HS trong việc tìm kiếm lời giải được phân tích, làm rõ theo quan

điểm của lí thuyết Hoạt động. Từ những hạn chế của HS trong quá trình giải toán theo

quy trình của G. Polya, mô hình giải toán bằng phân tích lùi với sự hỗ trợ của GeoGebra

được đề xuất nhằm cải tiến quy trình giải toán của G. Polya. Kết quả thực nghiệm cho

thấy mô hình này là khả thi.

5.1 Trường hợp dạy học giải bài toán tìm cực trị với GeoGebra

5.1.1. Tổng quan về bài toán cực trị hình học trong chương trình Hình học 10

Các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học được gọi là bài toán

cực trị hình học. Bài toán cực trị hình học thường có dạng chung là “Trong tập hợp các

hình phẳng (hoặc hình không gian) cùng được xác định bởi một tính chất chung, ta tìm

một hình sao cho một đại lượng hình học hoặc giá trị của một biểu thức hình học về

cùng một loại đại lượng nào đó có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Khi giải các bài toán

cực trị, ta thường phải đi tìm các bất đẳng thức hình học” (Văn Như Cương et al., 2012).

Một bài toán cực trị hình học có thể được viết dạng tổng quát như sau: “tìm vị trí của

hình 𝐻 trên miền 𝐷 sao cho biểu thức f (chứa giá trị nào đó của hình 𝐻 có giá trị lớn

nhất hoặc nhỏ nhất, nghĩa là ta phải chứng minh: (1) với mọi vị trí của hình 𝐻 trên miền

𝐷 thì 𝑓 ≤ 𝑚 hoặc 𝑓 ≥ 𝑚 với 𝑚 là hằng số; (2) Xác định vị trí hình 𝐻∗(trong các hình

𝐻) trên miền 𝐷 sao cho 𝑓 = 𝑚” (Trần Anh Tuấn, 2014).

Các bài toán cực trị là cơ hội tốt để giới thiệu, củng cố các khái niệm quan trọng

của giải tích như: tương quan hàm số, giá trị của hàm số, sự biến thiên, giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất, đồ thị hàm số. Việc giải các bài toán cực trị giúp HS liên hệ giữa kiến thức

140

Toán học và thực tiễn, dạy cho HS các thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn để

có thể trả lời các câu hỏi nảy sinh từ thực tiễn. Các bài toán cực trị có thể giải bằng nhiều

cách khác nhau, sử dụng nhiều loại kiến thức toán học như Đại số, Hình học, Giải tích.

Đây là cơ hội giúp cho HS hiểu được mối liên hệ giữa các phân môn của Toán học.

Trong thể chế dạy học Hình học 10 (Trần Văn Hạo et al., 2008a), bài toán cực trị

hình học xuất hiện trong phần ôn tập chương III (Chương phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng) với nội dung:

“Cho đường thẳng 𝛥: 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 và hai điểm 𝑂(0; 0), 𝐴(2; 0)

a) Tìm điểm đối xứng của 𝑂 qua 𝐴.

b) Tìm điểm 𝑀 trên 𝛥 sao cho độ dài đường gấp khúc 𝑂𝑀𝐴 ngắn nhất.”

Sách giáo viên (Trần Văn Hạo et al., 2008b) hướng dẫn giải như sau:

“a) Đường thẳng 𝑑 đi qua 𝑂 và vuông góc với (𝛥) có phương trình 𝑥 +

𝑦 = 0. 𝑑 cắt (𝛥) tại 𝐻(−1; 1). Ta có: 𝑂’ là điểm đối xứng của 𝑂 qua

(𝛥) ⇔ 𝐻 là trung điểm của đoạn 𝑂𝑂’ ⇔ 𝑂′(−2; 2)

ቁ” b) Ta có: 𝑂𝑀 + 𝑀𝐴 ngắn nhất ⇔ 𝑂′𝑀 + 𝑀𝐴 ngắn nhất ⇔ 𝑂′, 𝑀, 𝐴 thẳng hàng ⇔ 𝑀 ≡ 𝑀0 với 𝑀0 là giao điểm của 𝑂′𝐴 và 𝛥 và có tọa độ là ቀ−2 ; 4 3

Cấu trúc bài toán cực trị hình học và cách giải trên đưa ra nhằm dẫn dắt HS tìm ra

vị trí điểm 𝑀 trong đó phần a) và phần b) là bước trung gian. Có thế thấy, vị trí điểm

này được gợi ý bởi SGK, HS không phải là người đưa ra phỏng đoán về sự tồn tại vị trí

của điểm 𝑀.

Bài toán trên là bài toán về đường đi của tia sáng - một trong những bài toán tối

ưu nổi tiếng được giải quyết bởi Heron (Alexandria, 10-75 C.E). Bài toán Heron tia sáng

hay bài toán đường đi ngắn nhất được phát biểu như sau:

“Cho một đường thẳng 𝐿 và hai điểm 𝑃 và 𝑄 nằm về cùng phía so với 𝐿. Điểm 𝑅

nằm ở vị trí nào trên 𝐿 để tổng 𝑃𝑅 + 𝑅𝑄 là đường ngắn nhất từ 𝑃 đến 𝐿 tới 𝑄?”

(Courant et al., 1996)

Để giải quyết vấn đề này, ta lấy 𝑃’ là điểm đối xứng của 𝑃 qua đường thẳng 𝐿 sao

cho 𝐿 là đường trung trực của 𝑃𝑃’. Đường thẳng 𝑃’𝑄 cắt 𝐿 tại điểm 𝑅 và 𝑅 là vị trí cần

tìm. Việc chứng minh 𝑃𝑅 + 𝑅𝑄 > 𝑃𝑅′ + 𝑅′𝑄 luôn đúng với mọi điểm 𝑅’ (khác 𝑅)

thuộc 𝐿 là đơn giản bằng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác.

141

Cụ thể, vì 𝑃𝑅 = 𝑃′𝑅 và 𝑃𝑅′ = 𝑃′𝑅 nên 𝑃𝑅 + 𝑅𝑄 > 𝑃′𝑄, do đó, 𝑃𝑅′ + 𝑅′𝑄 >

𝑃𝑅 + 𝑅𝑄 (Courant et al., 1996)

Trong các nghiên cứu của Danh Nam Nguyen (2012), Hoa Anh Tuong (2013), HS

được hướng đến việc sử dụng chiến lược đối xứng trục để giải quyết bài toán. Chiến

lược này không phải do HS tự phát hiện. Một câu hỏi được đặt ra: Đối với HS trong môi

trường GeoGebra, các em sẽ giải quyết bài toán trên theo chiến lược nào?

5.1.2. Đề xuất mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm với sự hỗ trợ của

GeoGebra

Quan điểm thực nghiệm trong dạy học cho rằng hoạt động thực nghiệm (quan sát,

đo đạc, mò mẫm, dự đoán, …) và hoạt động nghiên cứu lí thuyết chỉ là các thời điểm

khác nhau của hoạt động toán học. Nghiên cứu thực nghiệm và nghiên cứu lí thuyết có

mối quan hệ biện chứng không thể tách rời (Lê Văn Tiến, 2016).

Việc quán triệt điểm này trong dạy học giải toán thể hiện rõ nét trong Mô hình giải

toán theo quan điểm thực nghiệm với GeoGebra. Mô hình này được phát triển dựa trên

cơ sở lí thuyết Hoạt động và sự kết hợp giữa các mô hình giải toán của tác giả Nguyễn

Phú Lộc (xem mục 1.4.6, trang 53) với mô hình giải toán của Polya (1945). Các bước

chi tiết của mô hình này được khái quát bằng Sơ đồ Hình 5.1 và mô tả như sau:

Bước 1 Biểu diễn bài toán

- Sử dụng GeoGebra biểu diễn các đối tượng toán học tương ứng với thông tin đã

cho của bài toán;

- Xác định yêu cầu của bài toán; Định lượng các đối tượng cần quan tâm (đo độ

dài, đo góc, liên hệ giữa các đối tượng, …)

Bước 2: Thực nghiệm

Hoạt hóa GeoGebra bằng cách: ấn kéo thay đổi vị trí các đối tượng hình học (đối

tượng hình học chuyển động); đo đạc, tính toán; vẽ thêm các đối tượng hình học cần

thiết.

Bước 3: Hình thành giả thuyết

(i) Quan sát, phân tích tìm kiếm các quan hệ định tính và định lượng giữa các dữ

liệu được sinh ra từ việc hoạt hóa GeoGebra.

(ii) Hình thành giả thuyết

142

Bước 4: Kiểm tra giả thuyết bằng GeoGebra

Kiểm tra giả thuyết bằng cách thay đổi vị trí của các đối tượng trong hình. Nếu giả

thuyết vẫn luôn luôn đúng thì chuyển sang Bước 5. Ngược lại, sử dụng GeoGebra

cho phản ví dụ và trở lại tiếp tục thực hiện Bước 1.

Bước 5: Tìm các chiến lược để kiểm chứng giả thuyết bằng lập luận logic

Thực hiện các hành động như so sánh, phân tích, tổng hợp, … để chọn lọc các dữ

kiện, lựa chọn các quy tắc hay phương pháp để giải thích và kiểm chứng các giả

thuyết bằng suy luận toán học.

Bước 6: Trình bày lời giải

Trình bày lời giải bằng ngôn ngữ và kí hiệu toán học.

Bước 7: Kiểm tra lời giải

- Kiểm tra kết quả và toàn bộ quá trình giải toán;

- Suy nghĩ xem lời giải đã được lựa chọn có phải là hay nhất không?

Bước 8: Khái quát hóa, mở rộng bài toán

- Suy nghĩ xem có thể sử dụng kết quả hay phương pháp giải cho một bài toán khác

không?

- Thay đổi giả thiết của bài toán, tiến hành thực hiện các bước trên trong tình huống

mới bằng cách trả lời các câu hỏi dạng “điều gì sẽ xảy ra nếu? hoặc điều gì sẽ xảy

ra nếu không?” để đặc biệt hóa, khái quát hóa hoặc mở rộng bài toán.

Mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm với GeoGebra nêu ra các bước cần

thiết cho GV hướng dẫn HS giải toán với phần mềm GeoGebra và tự thân nó là một quy

trình giải toán thông qua quá trình “thực nghiệm toán học”: người giải sử dụng phần

mềm GeoGebra để khảo sát, thực nghiệm, đưa ra các phỏng đoán, kiểm chứng, tìm tòi

lời giải và phát triển bài toán.

Theo quan điểm của lí thuyết Hoạt động trong quá trình giải toán thì chủ thể là HS,

công cụ vẫn là GeoGebra, đối tượng là lời giải cho bài toán cần giải quyết. Vai trò của

GV chủ yếu hỗ trợ về mặt kĩ thuật GeoGebra và có gợi ý hướng dẫn để HS tìm các chiến

lược giải.

143

(3) Hình thành giả thuyết (1) Biểu diễn bằng GeoGebra (2) Thực nghiệm (Ấn kéo, đo đạc, …)

Bác bỏ

(4) Kiểm tra giả thuyết bằng GeoGebra

Chấp nhận

(5) Tìm các chiến lược để kiểm chứng giả thuyết bằng lập luận logic

(6) Trình bày lời giải

(8) Khái quát hóa, mở rộng (7) Kiểm tra lời giải

Hình 5.1. Mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm với GeoGebra

5.1.3. Kết quả thực nghiệm

5.1.3.1. Các chiến lược mong đợi

Các chiến lược giải mong đợi đối với bài toán “Bài toán Heron tia sáng: Trong

mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho hai điểm 𝐴(2; 2) và 𝐵(8; 6). Xác định vị trí của điểm 𝐶

thuộc trục hoành 𝑂𝑥 sao cho tổng khoảng cách 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 là ngắn nhất” có thể xuất hiện

ở HS được mô tả ở Phụ lục 9.

5.1.3.2. Kết quả thực nghiệm đợt 1 (dạy học giải bài toán cực trị hình học theo kiểu dạy

học khám phá có hướng dẫn một phần)

HS tiến hành tìm tòi lời giải bài toán theo hướng dẫn của GV. GV vận hành

GeoGebra theo những đề nghị của HS. HS quan sát “dữ liệu động” để đưa ra các giả

thuyết (phỏng đoán); và phát hiện ra các chiến lược để kiểm chứng giả thuyết đó.

144

Với sự hỗ trợ của GeoGebra, HS đã tự phát hiện ra các giả thuyết liên quan đến vị

trí của điểm 𝐶 thỏa mãn yêu cầu bài toán trong giai đoạn hình thành và kiểm chứng giả

thuyết bằng phần mềm GeoGebra. Ngay sau khi biểu diễn bài toán trong mặt phẳng tọa

độ 𝑂𝑥𝑦, HS đã đưa ra các giả thuyết về vị trí của điểm 𝐶. Tuy nhiên, các giả thuyết ban

đầu được HS đưa ra là mệnh đề sai. Vì vậy, GV ấn kéo di chuyển vị trí điểm 𝐶 (khi đó,

giá trị của biểu thức hình học tương ứng biến thiên theo) để bác bỏ các giả thuyết ban

đầu, hỗ trợ HS điều chỉnh và tìm kiếm giả thuyết mới là một khẳng định đúng.

Cụ thể quá trình HS tìm tòi, phát hiện (hình thành và kiểm tra giả thuyết) vị trí của

điểm 𝑀 để đại lượng hình học 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 đạt giá trị lớn nhất trong giai đoạn này sẽ được

làm rõ dựa trên mô hình Hoạt động theo ba cấp độ của của Leont'ev (1974): hoạt động

gắn liền với động cơ (cấp độ 1), hoạt động được hợp thành bởi nhiều hành động, hành

động gắn liền với mục tiêu (cấp độ 2), hành động bao gồm nhiều thao tác với công cụ,

thao tác công cụ gắn liền với điều kiện sử dụng công cụ (cấp độ 3).

Quá trình hình thành và kiểm tra giả thuyết (dự đoán) bằng phần mềm GeoGebra

(Bước 3 và bước 4)

Bảng 5.1. Hoạt động hình thành giả thuyết

Học sinh Giáo viên

Hành động 1 - Dựng 𝐴1 là hình chiếu của 𝐴 lên (𝑂𝑥) theo yêu cầu HS. - Ấn kéo di chuyển điểm 𝐶 (khi đó, giá trị của biểu thức hình học tương ứng biến thiên theo), bác bỏ Giả thuyết 1. Hành động 1 - Đề nghị GV dựng 𝐴1 là hình chiếu của 𝐴 lên (𝑂𝑥). - Phát biểu Giả thuyết 1 (sai): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất khi và chỉ khi 𝐶 ≡ 𝐴1.

Hình 5.2. Giả thuyết sai: 𝑪 ≡ 𝑨𝟏

Hình 5.3. Vị trí của 𝑪 để bác bỏ giả thuyết sai

Hành động 2 - Đề nghị GV dựng 𝐵1 lần lượt là hình chiếu của 𝐵 lên (𝑂𝑥). Hành động 2 - Dựng 𝐵1 lần lượt là hình chiếu của 𝐵 lên (𝑂𝑥) theo yêu cầu HS.

145

- Ấn kéo di chuyển điểm 𝐶 (khi đó, giá trị của biểu thức hình học tương ứng biến thiên theo), bác bỏ Giả thuyết 2. - Phát biểu Giả thuyết 2 (sai): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất khi và chỉ khi 𝐶 ≡ 𝐵1 .

Hình 5.4. Giả thuyết sai: : 𝑪 ≡ 𝑨𝟐

Hình 5.5. Vị trí của 𝑪 để bác bỏ giả thuyết sai

Hành động 3 - Dựng d là đường trung trực của 𝐴𝐵. - Ấn kéo di chuyển điểm 𝐶 (khi đó, giá trị của biểu thức hình học tương ứng biến thiên theo), bác bỏ Giả thuyết 3. Hành động 3 - Đề nghị GV dựng d là đường trung trực của 𝐴𝐵. - Phát biểu Giả thuyết 3 (sai): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất khi và chỉ khi 𝐶 ở vị trí tại giao điểm 𝐷 của 𝑑 và 𝑂𝑥.

Hình 5.6. Giả thuyết sai: 𝑪 ≡ 𝑫

Hình 5.7. Vị trí của 𝑪 để bác bỏ giả thuyết sai

Hành động 4 - Ấn kéo điểm 𝐶 về vị trí theo đề nghị

của HS và sử dụng mục trên danh mục công cụ GeoGebra hiển thị số đo các cặp góc 𝐶𝐴𝐴1̂ và 𝐶𝐵𝐵1̂ , 𝐴𝐶𝐴1̂ và 𝐵𝐶𝐵1̂ .

Hành động 4 - Đề nghị GV ấn kéo điểm 𝐶 về vị trí như hình bên dưới và đề nghị GV hiển thị số đo các góc 𝐶𝐴𝐴1̂ và 𝐶𝐵𝐵1̂ . - Phát biểu Giả thuyết 4 (đúng): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất khi và chỉ khi 𝐶 ở vị trí sao cho 𝐶𝐴𝐴1̂ = 𝐶𝐵𝐵1̂ hoặc 𝐴𝐶𝐴1̂ = 𝐵𝐶𝐵1̂ .

Hình 5.8. Giả thuyết đúng về vị trí của C

Hình 5.9. Chấp nhận và củng cố giả thuyết đúng

146

- Ấn kéo di chuyển điểm 𝐶 (khi đó, giá trị của biểu thức hình học tương ứng biến thiên theo), chấp nhận Giả thuyết 4.

Bằng hành động quan sát, phân tích hình vẽ và bảng tính ở Hình 5.8 và bảng tính,

HS nhận biết tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất bằng 10 khi và chỉ khi 𝐶 ở vị trí sao cho 𝐶𝐴𝐴1̂ = 𝐶𝐵𝐵1̂ hoặc 𝐴𝐶𝐴1̂ = 𝐵𝐶𝐵1̂ .

Quá trình tìm các chiến lược để kiểm chứng giả thuyết bằng lập luận logic (bước 5)

Trong pha này, có ba HS xác định được vị trí của điểm C khi tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ

nhất bằng 10. Bởi vì các tam giác vuông 𝐴𝐴1𝐶 đồng dạng với tam giác vuông 𝐵𝐵1𝐶 nên

cách HS này phát hiện ra rằng tọa độ của 𝐶 là (3,5; 0) bằng cách sử dụng tính chất của

tam giác đồng dạng (xem Hình 5.10).

Hình 5.10. Xác định vị trí điểm 𝑪 bằng chiến lược tam giác đồng dạng

Chú ý rằng cách xác định vị trí của 𝐶 như ở trên là chưa khẳng định được tổng

(𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất bằng 10 khi 𝐶 có tọa độ là (3,5; 0). Do đó, GV tiếp tục hướng dẫn

HS của mình chứng minh giả thuyết 4 này bằng hai cách sau:

Cách thứ nhất: GV dựng điểm 𝐴’ là giao điểm của đường thẳng 𝐵𝐶 với đường

thẳng 𝐴𝐴1 như Hình 5.10. Để chứng minh (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) là nhỏ nhất khi và chỉ khi 𝐶𝐴𝐴1̂ = 𝐶𝐵𝐵1̂ . GV kéo dài BC sao cho nó cắt đường thẳng 𝐴𝐴1(𝑥 = 2) tại điểm 𝐴′(2; −2) và hướng dẫn HS chứng minh như sau:

- Yêu cầu HS so sánh: 𝐴𝐶 và 𝐴’𝐶; 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 và 𝐴’𝐵

- Sau đó, lấy 𝐶’ là điểm bất kì trên 𝑂𝑥. Dựng đường gấp khúc 𝐴𝐶’𝐵

- Yêu cầu HS so sánh: 𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵 và 𝐴’𝐶’ + 𝐶’𝐵; 𝐴’𝐵 và 𝐴’𝐶’ + 𝐶’𝐵.

- Cuối cùng, kết luận? 𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵 ≥ 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵

Cách thứ thứ 2

rằng Gọi 𝐶’(𝑥; 0) là điểm bất kì thuộc 𝑂𝑥. Ta cần chứng minh

147

𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵  10, ∀𝑥

Thật vậy,

𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵  10

√(𝑥 − 2)2 + 22 + √(8 − 𝑥)2 + 62 ≥ 10

√(𝑥 − 2)2 + 22 ≥ 10 − √(8 − 𝑥)2 + 62 (∗)

Dễ thấy rằng (∗) là luôn đúng và dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 = 3.5.

Hình 5.11. Hình minh họa cho việc chứng minh giả thuyết 3

Quá trình khái quát hóa, mở rộng bài toán (Bước 8)

Sau khi kết thúc quá trình giải quyết bài toán “Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho

hai điểm 𝐴(2; 2) và 𝐵(8; 6). Xác định vị trí của điểm 𝐶 thuộc trục hoành 𝑂𝑥 sao cho

tổng khoảng cách 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 là ngắn nhất”, GV giới thiệu bài toán Heron về tia sáng

“Cho một đường thẳng 𝐿 và hai điểm 𝑃 và 𝑄 nằm về cùng phía so với 𝐿. Điểm 𝑅 nằm ở

vị trí nào trên 𝐿 để tổng 𝑃𝑅 + 𝑅𝑄 là đường ngắn nhất từ 𝑃 đến 𝐿 tới 𝑄?” (Courant &

Robbins, 1996) như là sự tổng quát của bài toán này. Cuối cùng, GV tóm tắt các cách

dựng điểm 𝐶 sao cho tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất:

- Phương pháp 1 – Dựng điểm 𝐶 (chiến lược truyền thống): Gọi 𝐴’ là điểm đối

xứng của điểm 𝐴 qua đường thẳng (𝐿). Khi đó, 𝐶 chính là giao điểm của 𝐴’𝐵 và (𝐿);

- Phương pháp 2 – Dựng điểm 𝐶 (một phát hiện của HS): Gọi 𝐴1, 𝐵1 trên (𝐿) sao

. cho 𝐴𝐴1 và 𝐵𝐵1 vuông góc với (𝐿). Khi đó, điểm 𝐶 cần tìm nằm trên 𝐴1𝐵1 với 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 𝐴1𝐶 𝐵1𝐶

5.1.3.3. Kết quả thực nghiệm đợt 2 (dạy học giải bài toán cực trị hình học theo kiểu dạy

148

học tự khám phá)

HS làm việc theo nhóm đôi tiến hành biểu diễn bài toán bằng GeoGebra và tìm tòi

lời giải bài toán. HS quan sát “dữ liệu động” để đưa ra các giả thuyết (phỏng đoán); và

tự tìm ra các chiến lược để kiểm chứng giả thuyết đó. GV có vai trò hỗ trợ về kĩ thuật

thao tác GeoGebra và động viên HS giải toán. Kết quả giải toán của các nhóm HS được

thống kê ở Bảng 5.2.

STT

Bảng 5.2. Kết quả quá trình HS tự giải toán với GeoGebra Nhóm N1 N2 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9           Các kết quả 1 Biểu diễn bài toán

; 0ቁ           2

; 0ቁ và trình     3

    4

          5

    6

Tự đưa ra giả thuyết đúng: điểm 𝐶 ቀ7 2 cho thì tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất Độc lập lập luận tìm ra điểm 𝐶 ቀ7 2 bày lập luận chưa đảm bảo tính logic. Độc lập khái quát hóa bài toán Tự phát hiện phương pháp dựng điểm 𝐶 theo cách truyền thống Tự phát hiện phương pháp dựng điểm 𝐶 khác lạ so với cách truyền thống

Quá trình biểu diễn bài toán (Bước 1)

Kết quả thống kê ở Bảng 5.2 và kết quả quan sát sản phẩm (các tệp GeoGebra)

cho thấy các hình biểu diễn bài toán được HS thể hiện một cách đầy đủ thông tin. Như

vậy, có thể nói rằng HS đã làm chủ được các công cụ chức năng của GeoGebra trong

quá trình biểu diễn bài toán.

Quá trình hình thành và kiểm chứng giả thuyết bằng GeoGebra (Bước 2, Bảng 5.3)

149

Bảng 5.3. Hoạt động hình thành và kiểm chứng giả thuyết

Hoạt động Hình minh họa

Nhóm N1, N2, …, N9 - dựng 𝐴1 là hình chiếu của 𝐴 lên (𝑂𝑥); - Giả thuyết 1 (sai): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất khi và chỉ khi 𝐶 ≡ 𝐴1 ; - Ấn kéo di chuyển điểm C bác bỏ giả thuyết 1. Nhóm N1, N2, …, N9 - Dựng 𝐵1 lần lượt là hình chiếu của 𝐵 lên (𝑂𝑥); - Giả thuyết 2 (sai): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất khi và chỉ khi 𝐶 ≡ 𝐵1 .

; 0ቁ;

; 0ቁ.

; 0ቁ;

Nhóm N1, N2, …, N9 - Ấn kéo điểm 𝐶 về gần vị trí có tọa độ ቀ7 2 - Giả thuyết 3 (đúng): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất bằng 10 khi và chỉ khi 𝐶 ở vị trí ቀ7 2 Nhóm N1 - Ấn kéo điểm 𝐶 về gần vị trí có tọa độ ቀ7 2 - Sử dụng thao tác “Ctrl + ” di chuyển điểm C về vị trí rất gần với điểm có tọa độ ቀ7 2 - Giả thuyết 4 (đúng): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất bằng 10 khi và chỉ khi 𝐶 ở vị trí ቀ7 ; 0ቁ sao cho 𝐶𝐴𝐴1̂ = 𝐶𝐵𝐵1̂ 2 hoặc 𝐴𝐶𝐴1̂ = 𝐵𝐶𝐵1̂ . Nhóm N5, N8 - Ấn kéo điểm 𝐶 về gần vị trí có tọa độ ቀ7 2 - Sử dụng thao tác “Ctrl + ” di chuyển điểm 𝐶 về vị trí rất gần với

150

; 0ቁ;

; 0ቁ

= 1 . 3 = 𝐴1𝐶 𝐵1𝐶

; 0ቁ;

; 0ቁ. Với 𝐼 là giao điểm

điểm có tọa độ ቀ7 2 - Giả thuyết 5 (đúng): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất khi và chỉ khi 𝐶 ở vị trí ቀ7 2 sao cho 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 Nhóm N4 - Ấn kéo điểm 𝐶 về gần vị trí có tọa độ ቀ7 2 - Sử dụng thao tác “Ctrl + ” di chuyển điểm 𝐶 về vị trí rất gần với điểm có tọa độ ቀ7 2 - Giả thuyết 6 (đúng): tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ nhất bằng 10 khi và chỉ khi 𝐶 ở vị trí tại điểm 𝐼 ቀ7 2 của 𝐴𝐵1 và 𝐵𝐴1.

Quá trình tìm các chiến lược để kiểm chứng giả thuyết bằng lập luận logic (bước 5)

Trong pha này, HS các nhóm N1, N5 và N8 phát hiện ra rằng tọa độ của 𝐶 là

(3,5; 0) bằng cách sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng của các tam giác vuông

𝐴𝐴1𝐶 đồng dạng với tam giác vuông 𝐵𝐵1𝐶 tương tự lời giải của HS trong lần thực

nghiệm lần thứ 1. Đối với HS nhóm N4, bằng cách dựng điểm I là hình chiếu của giao

điểm 𝐾 của hai đường thẳng 𝐴𝐵1 và 𝐵𝐴1 (xem Hình 5.12). Các nhóm còn lại chỉ dự

đoán được vị trí điểm 𝐶 và không đưa thêm được bất kì dữ kiện nào khác.

Hình 5.12. Vị trí điểm C bằng chiến lược giao điểm

151

Các nhóm HS đưa ra được 2 chiến lược xác định vị trí của điểm 𝐶 thỏa mãn yêu

cầu bài toán. Tuy nhiên, hạn chế của các nhóm HS là đưa ra lập luận chưa chặt chẽ. Cụ

thể, các xác định vị trí của 𝐶 như ở trên là chưa khẳng định được tổng (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) nhỏ

; 0ቁ. Do đó, GV hướng dẫn các nhóm HS chứng minh nhất bằng 10 khi 𝐶 có tọa độ là ቀ7 2

các giả thuyết bằng hai cách như sau:

Cách 1 - Sử dụng phép đối xứng trục và bất đẳng thức tam giác (Bảng 5.4):

Bảng 5.4. Hoạt động hướng dẫn chứng minh

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

; 0ቁ; Quan sát, suy ngẫm

- Dựng điểm 𝐶0 ቀ7 2 - Dựng điểm 𝐴’ là giao điểm của hai đường thẳng 𝐵𝐶0 và 𝐴𝐴1; - Yêu cầu HS chỉ ra mối quan hệ giữa:  Điểm 𝐴’ và điểm 𝐴 ?  𝐶0𝐴 + 𝐶0𝐵 và 𝐶0𝐴’ + 𝐶0𝐵 ?  𝐶0𝐴’ + 𝐶0𝐵 và 𝐴′𝐵 ?  𝐴′𝐵 và 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 ?  𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 và 𝐶𝐴’ + 𝐶𝐵 ?  𝐶0𝐴 + 𝐶0𝐵 và 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 ?

 Điểm 𝐴’ là điểm đối xứng của điểm 𝐴 qua trục 𝑂𝑥.  𝐶0𝐴’ + 𝐶0𝐵 = 𝐴′𝐵  𝐶0𝐴 + 𝐶0𝐵 = 𝐶0𝐴’ + 𝐶0𝐵 = 𝐴′𝐵  𝐴′𝐵 ≤ 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 (bất đẳng thức tam giác)  𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 = 𝐶𝐴’ + 𝐶𝐵  𝐶0𝐴 + 𝐶0𝐵 ≤ 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝐶 ở vị trí tại 𝐶0 Cách 2 – Sử dụng bất đẳng thức BCS: Gọi 𝐶(𝑥; 0) là bất kì thuộc trục 𝑂𝑥. Áp dụng

bất đẳng thức BCS, ta chứng minh: 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 ≥ 10 với mọi 𝑥.

Thật vậy, (𝑥 − 2). 3 + 2.4 ≤ √(𝑥 − 2)2 + 22. √32 + 42

(8 − 𝑥). 3 + 6.4 ≤ √(8 − 2)2 + 62. √32 + 42

Do đó: 50 ≤ ቀ√(𝑥 − 2)2 + 22 + √(8 − 2)2 + 62ቁ . 5

Vì vậy, ta được: 10 ≤ √(𝑥 − 2)2 + 22 + √(8 − 𝑥)2 + 62

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 = 7 2

Ngoài ra, GV dựng đường thẳng 𝑎 đi qua 𝐶0 và vuông góc với trục 𝑂𝑥 và hướng

dẫn HS phát hiện cách dựng điểm 𝐶 bằng phương pháp chân đường phân giác dựa vào

kết quả của nhóm N4 như Bảng 5.5 sau:

152

Bảng 5.5. Hoạt động hướng dẫn của GV

; Hoạt động của HS  Đường thẳng 𝑎 là đường phân giác của góc 𝐴𝐶0𝐵̂ .  Điểm 𝐷 là chân đường phân giác của góc 𝐴𝐶0𝐵̂ .  Dựng điểm 𝐶 theo các bước sau: - Dựng điểm 𝐷 là điểm chia đoạn thẳng 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 𝐴1𝐷 𝐵1𝐷

Hoạt động của GV  Khi đó, chỉ ra tính chất đặc trưng của đường thẳng 𝑎 ? - Dựng điểm 𝐷 là giao điểm của đường thẳng 𝑎 với đường thẳng 𝐴𝐵.  Khi đó, chỉ ra tính chất đặc trưng của điểm 𝐷?  Từ đó, chỉ ra cách dựng điểm 𝐶 thỏa mãn yêu cầu bài toán?

- Qua 𝐷 dựng đường thẳng (𝑎) vuông góc với đường thẳng (𝑂𝑥) và cắt đường thẳng (𝑂𝑥) tại điểm 𝐶.

Quá trình khái quát hóa, mở rộng bài toán (Bước 8)

Kết thúc quá trình giải quyết bài toán “Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho hai điểm

𝐴(2; 2) và 𝐵(8; 6). Xác định vị trí của điểm 𝐶 thuộc trục hoành 𝑂𝑥 sao cho tổng khoảng

cách 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 là ngắn nhất”, HS phát biểu bài toán tổng quát “Cho một đường thẳng

𝑑 và hai điểm 𝐴 và 𝐵 nằm về cùng phía so với 𝑑. Điểm 𝐶 nằm ở vị trí nào trên 𝑑 để tổng

𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 là ngắn nhất?”. GV giới thiệu bài toán Heron về tia sáng “Cho một đường

thẳng 𝐿 và hai điểm 𝑃 và 𝑄 nằm về cùng phía so với 𝐿. Điểm 𝑅 nằm ở vị trí nào trên 𝐿

để tổng 𝑃𝑅 + 𝑅𝑄 là đường ngắn nhất từ 𝑃 đến 𝐿 tới 𝑄?” (Courant & Robbins, 1996)

như là sự tổng quát của bài toán này và tóm tắt cách dựng điểm 𝐶.

 Phương pháp 1 – Dựng điểm 𝐶 (phương pháp đối xứng trục - truyền thống):

- Dựng 𝐴’ là điểm đối xứng của điểm 𝐴 qua đường thẳng (𝑑).

- Dựng điểm 𝐶 là giao điểm của 𝐴’𝐵 và (𝑑). Khi đó, 𝐶 chính là điểm cần tìm.

 Phương pháp 2 – Dựng 𝐶 (phương pháp tỉ lệ đoạn thẳng - một phát hiện của HS):

; - Dựng 𝐴1, 𝐵1 trên (d) sao cho 𝐴𝐴1 và 𝐵𝐵1 vuông góc với (𝑑); - Dựng điểm 𝐶 thuộc (𝑑) là điểm chia đoạn thẳng 𝐴1𝐵1 theo tỉ số 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 𝐴1𝐶 𝐵1𝐶

- Khi đó, điểm 𝐶 chính là điểm cần tìm.

 Phương pháp 3 – Dựng 𝐶 (phương pháp đường chéo - một phát hiện của HS):

- Dựng 𝐴1, 𝐵1 trên (𝑑) sao cho 𝐴𝐴1 và 𝐵𝐵1 vuông góc với (𝑑);

- Dựng K là giao điểm của hai đường thẳng 𝐴𝐵1 và 𝐴1𝐵;

- Qua 𝐾, dựng đường thẳng (𝐿) vuông góc và cắt đường thẳng (𝑑) tại 𝐶;

153

- Khi đó, 𝐶 là điểm cần tìm.

 Phương pháp 4 – (phương pháp chân đường phân giác – GV & HS phát hiện):

; - Dựng điểm 𝐷 là điểm chia đoạn thẳng 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 𝐴1𝐷 𝐵1𝐷

- Qua 𝐷 dựng đường thẳng (𝐿) vuông góc với đường thẳng (𝑑) và cắt đường

thẳng (𝑑) tại điểm 𝐶; Khi đó, 𝐶 là điểm cần tìm.

5.1.4. Kết luận và thảo luận

Kết quả từ các thực nghiệm cho thấy, có 5 cách dựng điểm 𝐶 đối với bài toán “ đã

cho (xem Bảng 5.6).

Bảng 5.6. Bảng tổng hợp phương pháp dựng điểm 𝑪

Kĩ thuật dựng Cách dựng

Kí hiệu

đối 



. - Dựng 𝐴’ là điểm đối xứng của điểm 𝐴 qua đường thẳng (𝐿). - Dựng điểm 𝐶 là giao điểm của 𝐴’𝐵 và (𝐿). - Dựng 𝐴1, 𝐵1 trên (𝐿) sao cho 𝐴𝐴1 và 𝐵𝐵1 vuông góc với (𝐿); - Dựng điểm 𝐶 thuộc (𝑑) là điểm chia đoạn thẳng 𝐴1𝐵1 theo tỉ số 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 𝐴1𝐶 𝐵1𝐶



Phép xứng trục chia Điểm đoạn thẳng theo tỉ lệ 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 Giao điểm hai đường chéo 𝐴𝐵1 và 𝐴1𝐵 Chân đường phân giác ; = 𝐴1𝐷 𝐵1𝐷 

- Dựng 𝐴1, 𝐵1 trên (𝑑) sao cho 𝐴𝐴1 và 𝐵𝐵1 vuông góc với (𝑑); - Dựng 𝐾 là giao điểm của hai đường thẳng 𝐴𝐵1 và 𝐴1𝐵; - Qua 𝐾, dựng đường thẳng (𝐿) vuông góc và cắt đường thẳng (𝑑) tại 𝐶; - Dựng điểm 𝐷 là điểm chia đoạn thẳng 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 - Qua 𝐷 dựng đường thẳng (𝐿) vuông góc với đường thẳng (𝑑) và cắt đường thẳng (𝑑) tại điểm 𝐶.

Tương ứng với các phương pháp dựng điểm 𝐶, kết quả thực nghiệm cho thấy các

lời giải LG và LG là do HS đã tự phát hiện và các lời giải LG là HS được GV để

tìm tọa độ điểm 𝐶 (xem Bảng 5.7).

Bảng 5.7. Bảng tổng hợp các kĩ thuật tìm tọa độ điểm 𝑪

Cách dựng Kĩ thuật giải tìm tọa độ điểm C tương ứng

Kí hiệu

LG

đối Phép xứng trục (truyền thống) - Tìm tọa độ điểm 𝐴’ là điểm đối xứng của điểm 𝐴 qua đường thẳng (𝐿). - Tìm tọa độ điểm 𝐶 là giao điểm của 𝐴’ và (𝐿).

154

chia thẳng LG Điểm đoạn theo tỉ lệ 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1

- Tìm tọa độ 𝐴1, 𝐵1 trên (𝐿) sao cho 𝐴𝐴1 và 𝐵𝐵1 vuông góc với (𝐿); - Tìm tọa độ điểm 𝐶 thuộc (𝑑) là điểm chia đoạn thẳng 𝐴1𝐵1 theo tỉ lệ 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 𝐴1𝐶 𝐵1𝐶

Giao điểm hai đường chéo 𝐴𝐵1 và 𝐴1𝐵

LG

- Tìm tọa độ 𝐴1, 𝐵1 trên (𝐿) sao cho 𝐴𝐴1 và 𝐵𝐵1 vuông góc với (𝑑); - Tìm tọa độ điểm 𝐾 là giao điểm của hai đường thẳng 𝐴𝐵1 và 𝐴1𝐵; - Viết phương trình đường thẳng (𝑎) qua 𝐾 và vuông góc với đường thẳng (𝐿) - Tìm tọa độ điểm C là giao điểm của đường thẳng (𝑎) và đường thẳng (𝐿).

Chân đường phân giác ; - Tìm tọa độ điểm 𝐷 là điểm chia đoạn thẳng 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 = 𝐴1𝐷 𝐵1𝐷 LG

- Viết phương trình đường thẳng (𝑑) qua điểm 𝐷 và vuông góc với đường thẳng (𝐿); - Tìm tọa độ điểm 𝐶 là giao điểm của (𝑑) và (𝐿)

Khảo sát hàm số

LG

- Đặt 𝐶(𝑥; 0). Viết biểu thức tính 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 theo biến 𝑥 - Thiết lập hàm số 𝑓(𝑥) được xác định bằng tổng 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 - Áp dụng khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥) - Từ đó, xác định giá trị của 𝑥 và tọa độ điểm 𝐶

Bất đẳng thức BCS

Gọi 𝐶(𝑥; 0) là bất kì thuộc trục 𝑂𝑥. Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta chứng minh: 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 ≥ 10 với mọi 𝑥. Thật vậy,

(𝑥 − 2). 3 + 2.4 ≤ √(𝑥 − 2)2 + 22. √32 + 42

LG (8 − 𝑥). 3 + 6.4 ≤ √(8 − 2)2 + 62. √32 + 42

Do đó: 50 ≤ ቀ√(𝑥 − 2)2 + 22 + √(8 − 2)2 + 62ቁ . 5

Vì vậy, ta được: 10 ≤ √(𝑥 − 2)2 + 22 +

√(8 − 𝑥)2 + 62 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 = 3,5

Chứng minh duy nhất LG

Gọi 𝐶’(𝑥; 0) là điểm bất kì thuộc 𝑂𝑥. Ta cần chứng minh rằng 𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵 ≥ 10, ∀𝑥. Thật vậy,

𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵 ≥ 10

155

 √(𝑥 − 2)2 + 22 + √(8 − 𝑥)2 + 62 ≥ 10

 √(𝑥 − 2)2 + 22 ≥ 10 − √(8 − 𝑥)2 + 62 (∗)

Dễ thấy rằng (∗) là luôn đúng và dấu “ = ” xảy

ra khi và chỉ khi 𝑥 = 3,5.

Như vậy, ngoài chiến lược dựng điểm 𝐶 truyền thống như phương pháp các đồng

nghiệp trước đây đã sử dụng để hướng dẫn HS, còn có các chiến lược khác lạ được phát

hiện bởi HS (xem Bảng 5.8).

Bảng 5.8. Bảng thống kê phương pháp dựng điểm 𝑪 trong các nghiên cứu

Nội dung

Dựng điểm 𝐶 để tổng 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 nhỏ nhất

Kĩ thuật giải tìm tọa độ điểm 𝐶

Kết quả NC(b)            Kết quả NC(a)            Kết quả NC(c)                LG LG LG  LG  LG  LG  LG

Trong đó:

- Kết quả NC(a) là kết quả nghiên cứu của Nguyen Danh Nam (2012);

- Kết quả NC(b) là kết quả nghiên cứu của Hoa Ánh Tường (2013)

- Kết quả NC(c) là kết quả nghiên cứu của luận án

Hơn nữa, nhờ vào sự hỗ trợ của GeoGebra, người học có thể phát hiện ra khi điểm

𝐶 thỏa mãn yêu cầu bài toán thì đường thẳng (𝐿) trở thành đường tiếp tuyến của elip có

hai tiêu điểm là 𝐴 và 𝐵. Tiếp tuyến này tiếp xúc với elip tại điểm 𝐶 (xem Hình 5.13)

156

Hình 5.13. Vị trí tiếp tuyến của elip là 𝑪 với (𝑨𝑪 + 𝑪𝑩) min

Có thể thấy rằng, việc sử dụng phần mềm sẽ tạo thuận lợi cho việc thực nghiệm

phỏng đoán câu trả lời hơn là môi trường giấy bút truyền thống. Hơn nữa, nhờ vào việc

trực tiếp thao tác trong môi trường GeoGebra, HS có cơ hội để tiếp cận với phương pháp

khoa học: thu thập và phân tích dữ liệu, phỏng đoán và xác minh phỏng đoán, khái quát

hóa và mở rộng vấn đề.

Một giới hạn của HS trong các tình huống thực nghiệm là họ chưa thể độc lập đưa

ra được sự chứng minh các giả thuyết là đúng bằng lập luận toán học.

5.2 Trường hợp dạy học giải bài toán lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều

kiện cho trước với GeoGebra

5.2.1. Đề xuất phương án sử dụng GeoGebra hỗ trợ giải toán theo quy trình bốn bước

của Polya

Kết quả nghiên cứu 1 cho thấy phần mềm GeoGebra ngoài khả năng hỗ trợ HS dự

đoán được các tính chất tổng quát, đề xuất giả thuyết còn có tác dụng thúc đẩy quá trình

tìm ra con đường chứng minh, giải quyết vấn đề. Mô hình giải toán theo quan điểm thực

nghiệm với sự hỗ trợ của GeoGebra phù hợp với cả dạng bài toán đóng và bài toán mở.

Đối với các bài toán đóng có thuật giải tổng quát nhưng đối với HS ở một thời điểm nào

đó, HS chưa khám phá được thuật giải. Nói cách khác, nó vẫn là một bài toán mới đối

với HS, việc giải nói đòi hỏi phải tìm tòi, mò mẫm, dự đoán và thử nghiệm (đặc trưng

về cách giải). Với các bài toán này, HS có thể thực hiện theo mô hình giải toán với

GeoGebra theo quy trình bốn bước G. Polya được đề nghị ở Bảng 5.9.

157

Bảng 5.9. Mô hình sử dụng GeoGebra hỗ trợ quy trình giải toán G. Polya

Tiến trình Bước 1 Tìm hiểu đề Bước 2 Tìm tòi lời giải

Sự hỗ trợ của GeoGebra Dựng hình: Sử dụng GeoGebra để biểu diễn tương ứng với thông tin đã cho của bài toán; Xác định yêu cầu của bài toán. (i) Dự đoán: - Hoạt hóa các công cụ chức năng của GeoGebra; - Quan sát, đo đạc, mò mẫm, … để tìm các mối liên hệ giữa các đối tượng toán học với dữ liệu thu thập được; - Dự đoán thuật toán giải (chiến lược giải). (ii) Kiểm tra: Kiểm tra dự đoán bằng cách sử dụng công cụ GeoGebra. Nếu dự đoán vẫn đúng thì chuyển sang bước 3. Ngược lại, trở lại tiếp tục thực hiện bước (i); Trình bày lời giải bằng cách lựa chọn và sắp xếp các lập luận theo một trình tự lôgic.

Kiểm tra kết quả và toàn bộ quá trình giải toán; Từ những kết quả đã thu được, tìm cách đề xuất lời giải tốt nhất hoặc trình bày các thuật toán giải tổng quát.

Bước 3 Trình bày lời giải Bước 4 Nhìn lại bài toán và lời giải Mô hình trên nêu ra các bước cần thiết cho GV hướng dẫn HS giải toán với phần

mềm GeoGebra và tự thân nó là một quy trình (nhiệm vụ) giải toán thông qua quá trình

“thực nghiệm toán học”: người giải sử dụng phần mềm GeoGebra để khảo sát, thực

nghiệm, đưa ra các phỏng đoán, tìm tòi lời giải. Trong quá trình giải toán, chủ thể là HS,

công cụ vẫn là GeoGebra, đối tượng là bài toán cần giải quyết. Vai trò của GV chủ yếu

hỗ trợ về mặt kĩ thuật GeoGebra và có gợi ý hướng dẫn để tìm các chiến lược giải.

5.2.2. Kết quả thực nghiệm

5.2.2.1. Các chiến lược mong đợi

Các chiến lược giải mong đợi đối với bài toán “Lập phương trình đường tròn đi

qua 3 điểm 𝐴(1; 2); 𝐵(5; 2) và 𝐶(1; −4).” ở HS có thể sử dụng để giải quyết nhiệm vụ

lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm được mô tả ở Phụ lục 12.

5.2.2.2. Kết quả thực nghiệm trong môi trường giấy bút

Kết quả bài làm thu được từ các nhóm HS được chúng tôi phân tích, tổng hợp

thống kê theo Bảng 5.10 sau:

158

Bảng 5.10. Bảng thống kê kết quả của HS trong môi trường giấy, bút

Nhóm Chiến lược

L.N.B.T & N.D.L.B

S2            11 S1            11 S3   2 S4 0 S5đb  1 S5 0 S6 0 N1 N.Đ.T.P & L.P.Đ T.M.T & L.N.T N2 N3 Đ.T.T & H.M.P N4 L.V.B & T.T.P N5 N.C.N & Đ.T.V N6 N.N.D & D.M.H N7 N.T.T.H & N.T.V N8 N9 C.N.H & T.M.H N10 P.Đ.A.T & L.H.P.U N11 N.B.L & N.T.N Tổng

Kết quả thống kê từ Bảng 5.10 cho thấy chiến lược S1 và S2 được 100% các nhóm

ưu tiên chọn làm lời giải. Chiến lược S3 (2/11 nhóm, chiếm tỉ lệ 18.18%). Chiến lược

S5 (1/11 nhóm, chiếm tỉ lệ 9.09%). Chúng tôi không tìm thấy chiến lược khác còn lại

trong bài làm hoặc giấy nháp của HS. Một giải thích có thể là do HS ghi nhớ kiến thức

quy trình, khi gặp bài toán quen thuộc HS chỉ thực hiện thao tác huy động quy trình để

giải quyết nhiệm vụ. Mặt khác, trong bản nháp của HS, chỉ có nhóm N5 là có vết của

hình vẽ, HS nhóm N5 vẽ hệ trục tọa độ và biểu thị các điểm, đường tròn lên hệ trục tọa,

trong khi các nhóm khác hoàn toàn không xuất hiện hình vẽ đường tròn.

5.2.2.3. Kết quả thực nghiệm giải toán với sự hỗ trợ của GeoGebra

Kết quả thu được ở Bảng 5.11, ngoài các chiến lược S1 và S2 thì chiến lược S5

cũng đã xuất hiện trong bài làm của HS ở cả 11 nhóm. HS các nhóm N1, N4, N5, N7,

N8, N10 và N11 còn phát hiện chiến lược S3. Riêng đối với nhóm N5, HS đã phát hiện

thêm 2 chiến lược S4 và S5.

159

Bảng 5.11. Kết quả bài làm của HS trong môi trường GeoGebra (pha 2)

Nhóm Chiến lược

S1 S2 S4 S5đb S5 S6 S3

    N1 N.Đ.T.P & L.P.Đ

   N2 T.M.T & L.N.T

   N3 Đ.T.T & H.M.P

    N4 L.V.B & T.T.P

      N5 N.C.N & Đ.T.V

   N6 N.N.D & D.M.H

    N7 N.T.T.H & N.T.V

    N8 L.N.B.T & N.D.L.B

   N9 C.N.H & T.M.H

    N10 P.Đ.A.T & L.H.P.U

    N11 N.B.L & N.T.N

7 Tổng 11 11 1 11 1

Tiếp theo, tiến trình tìm kiếm chiến lược giải toán (tương ứng bước 1 và bước 2

trong mô hình 5.2.1 trang 156) của nhóm N5 sẽ được phân tích để minh họa làm rõ tác

động của GeoGebra đến việc phát hiện lời giải.

Bước 1: Tìm hiểu đề toán

HS thực hiện hành động biểu diễn đường tròn đi qua 3 điểm ở cả hai dạng bao

gồm dạng “đại số” (được biểu thị bằng phương trình) và dạng “hình hình học” và hiển

thị tọa độ tâm của nó nhằm mục tiêu phát hiện tọa độ tâm và phương trình của đường

tròn cần tìm. Tiến trình thao tác các công cụ GeoGebra được mô tả chi tiết trong

Bảng 5.12. Tiến trình thao tác công cụ GeoGebra trong bước tìm hiểu đề

Tiến trình thao tác Công cụ GeoGebra tương ứng

- điểm mới; - vẽ đường tròn qua 3 điểm

A. Công cụ B. Công cụ có sẵn”; C. Công cụ - trung điểm hoặc tâm; 1. Dựng điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶; 2. Dựng đường tròn qua 3 điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶; 3. Dựng điểm 𝐼(3; −1) tâm của đường tròn;

Bước 2: Tìm tòi lời giải

• Đối với chiến lược S3

HS thực hiện hành động đo và so sánh khoảng cách từ tâm 𝐼(3; −1) đến các điểm

160

𝐴, 𝐵 và 𝐶 nhằm mục tiêu hình thành chiến lược S3. Tiến trình tìm kiếm phát hiện chiến

lược giải S3 được mô tả ở Hình 5.14 và chi tiết hóa ở Bảng 5.13.

Bảng 5.13. Tiến trình thao tác công cụ GeoGebra phát hiện chiến lược S3

Công cụ GeoGebra tương ứng

- đoạn thẳng và công cụ -

Tiến trình thao tác Dựng và đo độ dài các đoạn thẳng 𝐼𝐴; 𝐼𝐵 và 𝐼𝐶. Công cụ khoảng cách;

Kết quả: HS phát hiện 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶. Nói cách khác, HS phát hiện ba điểm 𝐴, 𝐵

và 𝐶 cùng thuộc đường tròn tâm I(3;-1), bán kính 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶. Từ đó, HS hình

thành chiến lược S3.

Hình 5.14. Cách dựng hình làm xuất hiện chiến lược S3

• Đối với chiến lược S5đb

Hình 5.15. Cách dựng hình làm xuất hiện chiến lược S5đb

HS thực hiện hành động đo và so sánh khoảng cách từ tâm 𝐼(3; −1) đến các điểm

𝐴, 𝐵 và 𝐶; và kiểm tra số đo góc 𝐵𝐴𝐶̂ nhằm mục tiêu hình thành chiến lược S5đb. Tiến

trình tìm kiếm phát hiện chiến lược giải S5đb được mô tả ở Hình 5.15 và chi tiết hóa ở

Bảng 5.14.

161

Bảng 5.14. Tiến trình thao tác GeoGebra phát hiện chiến lược S5đb

Công cụ GeoGebra tương ứng

 Công cụ - đoạn thẳng và công cụ Tiến trình thao tác  Dựng và đo độ dài các đoạn thẳng 𝐼𝐴;

𝐼𝐵 và 𝐼𝐶; - khoảng cách;

 Dựng đoạn thẳng 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 đo độ lớn - đoạn thẳng và công cụ

góc 𝐴.  Công cụ - góc.

Kết quả: Phát hiện tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐴 và 𝐼 là trung điểm của

𝐵𝐶. Nói cách khác, HS phát hiện ba điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶 tạo thành tam giác vuông nội tiếp

đường tròn có tâm 𝐼(3; −1) và trung điểm của cạnh huyền 𝐵𝐶. Từ đó, hình thành chiến

lược S5đb.

• Đối với chiến lược S4

HS thực hiện hành động đo và so sánh khoảng cách từ tâm 𝐼(3; −1) đến các điểm

𝐴, 𝐵 và 𝐶; dựng và xác định tâm đường tròn trùng khớp với đường tròn đi qua 3 điểm

𝐴, 𝐵 và 𝐶 nhằm mục tiêu hình thành chiến lược S4. Tiến trình tìm kiếm phát hiện chiến

lược giải S4 được mô tả ở Hình 5.16 và chi tiết hóa ở Bảng 5.15.

Bảng 5.15. Tiến trình thao tác GeoGebra phát hiện chiến lược S4

Công cụ GeoGebra tương ứng

 Công cụ - đoạn thẳng và công cụ Tiến trình thao tác  Dựng và đo độ dài các đoạn thẳng 𝐼𝐴;

𝐼𝐵 và 𝐼𝐶; - khoảng cách;

- đoạn thẳng - vẽ đường tròn đi qua 3

 Công cụ  Công cụ điểm;

 Dựng đoạn thẳng 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶;  Dựng đường tròn đi qua hai điểm 𝐴, 𝐵 và một điểm 𝐷 khác 𝐶 (màn hình hiển thị đường tròn này là “𝑑”);  Hiển thị tọa độ tâm 𝐸 của đường tròn  Công cụ: lệnh “tâm[conic]”;

“𝑑”;

 Tạo vết cho điểm 𝐸 và di chuyển - mở dấu vết khi di điểm 𝐷;

- vẽ đường tròn đi qua 3

 Công cụ chuyển;  Công cụ điểm;   Công cụ: lệnh “tâm[conic]”;  Dựng đường tròn đi qua hai điểm 𝐴, 𝐶 và một điểm 𝐹 khác 𝐵 và 𝐷 (màn hình hiển thị đường tròn này là “𝑒”). Hiển thị tọa độ tâm G của đường tròn “𝑒” bằng lệnh “tâm[conic]”;

 Tạo vết cho điểm 𝐸 và di chuyển - mở dấu vết khi di điểm 𝐹.  Công cụ chuyển;

Kết quả: Phát hiện vết tạo bởi điểm 𝐷, 𝐺 lần lượt là các đường trung trực của 𝐴𝐵

162

và 𝐴𝐶; Dự đoán giao điểm của các đường trung trực của 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 cũng chính là tọa độ

tâm 𝐼 của đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶. Từ đó, hình thành chiến lược CL4.

Hình 5.16. Cách dựng hình làm xuất hiện chiến lược S4

• Đối với chiến lược S5

HS thực hiện hành động đo và so sánh khoảng cách từ tâm 𝐼(3; −1) đến các điểm

𝐴, B và 𝐶; và dựng hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐷𝐶 nhằm mục tiêu hình thành chiến lược S5. Tiến

trình tìm kiếm phát hiện chiến lược giải S5 được mô tả ở Hình 5.17 và chi tiết hóa ở

Bảng 5.16.

Bảng 5.16. Tiến trình thao tác GeoGebra phát hiện chiến lược S5

Công cụ GeoGebra tương ứng

 Công cụ - đoạn thẳng và công cụ Tiến trình thao tác  Dựng và đo độ dài các đoạn thẳng 𝐼𝐴;

𝐼𝐵 và 𝐼𝐶; - khoảng cách;

 Dựng đoạn thẳng 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶;  Dựng đường thẳng 𝑘 đi qua 𝐵 và  Công cụ  Công cụ - đoạn thẳng; - đường vuông góc;

vuông góc với 𝐴𝐵;

 Dựng đường thẳng 𝑙 đi qua 𝐶 và - đường vuông góc;

vuông góc với 𝐴𝐶;

 Dựng giao điểm 𝐷 của 𝑘 và 𝑙 - giao điểm của 2 đối

 Công cụ  Công cụ tượng;

Kết quả: HS phát hiện ra tam giác 𝐴𝐵𝐷 vuông tại 𝐵 nên các điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐷 cùng

thuộc 1 đường tròn đường kính 𝐴𝐷 và tâm là trung điểm của 𝐴𝐷; Tam giác 𝐴𝐶𝐷 vuông

tại 𝐵 nên các điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶 cùng thuộc 1 đường tròn đường kính 𝐴𝐷 và tâm là trung

điểm của 𝐴𝐷; Hình thành chiến lược S5.

163

Hình 5.17. Cách dựng hình làm xuất hiện chiến lược S5

Bước 4: Nhìn lại lời giải

- Kết thúc quá trình tìm tòi chiến lược giải toán, GV tiến hành hợp thức hóa các

chiến lược và khái quát hóa bài toán. GV tổng kết và khái quát các chiến lược giải quyết

các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ “Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵 và

𝐶”

- Dựa vào kết quả thao tác của nhóm N5 khi phát hiện chiến lược S3, GV giới thiệu

chiến lược S6 - “chùm đường tròn” đến HS.

5.2.3. Thảo luận về ảnh hưởng của GeoGebra đến lời giải của HS

Kết quả của hai tình huống thực nghiệm và phân tích tiến trình tìm kiếm lời giải

của HS các nhóm cho thấy rằng GeoGebra rất hiệu quả trong việc giúp HS tìm tòi, phát

hiện các chiến lược giải quyết bài toán.

Nhờ vào sự phản hồi các yếu tố hình vẽ, biểu thức đại số, tọa độ từ GeoGebra cùng

với kiến thức vốn có của bản thân. HS các nhóm đã phát hiện được nhiều phương pháp

giải cho bài toán đã cho. Hơn nữa, GeoGebra có thể giúp HS hiểu sâu sắc hơn bản chất

của các khái niệm như đường trung trực, tâm đường tròn ngoại tiếp, góc nội tiếp chắn

nửa đường tròn, v.v. Bởi lẽ, tiến trình giải quyết vấn đề cho thấy rằng HS các nhóm có

điểm chung là trước khi phát hiện chiến lược giải khi thao tác các công cụ GeoGebra,

HS gần như là không nhớ hoặc nhớ không chính xác khái niệm, tính chất toán học. HS

không chủ đích sử dụng kiến thức liên quan trong quá trình thao tác với bộ công cụ chức

năng của phần mềm để hình thành phỏng đoán, tìm kiếm chiến lược giải. Thay vào đó,

các giả thuyết mà HS có được chủ yếu dựa vào phản hồi từ môi trường GeoGebra bởi

các thao tác với các đối tượng toán học thông qua phương thức ấn kéo, thông qua quan

sát hình vẽ và số liệu.

164

Mặt khác, việc trình bày lời giải đối với HS là rất cần được quan tâm. Bên cạnh

việc trình bày đầy đủ, ngắn gọn và chính xác như lời giải của N1 (Hình 5.18) thì có

nhóm HS lại không thể soạn thảo đúng về lời giải. Điều này thể hiện ở bài làm của nhóm

N7 được cho thấy ở Hình 5.19.

Hình 5.18. Bài làm của nhóm N1 (trường phổ thông Thái Bình Dương)

Hình 5.19. Bài làm của nhóm N7 (trường phổ thông Thái Bình Dương)

Hình 5.20. Bài làm của nhóm N5 (trường phổ thông Thái Bình Dương)

Về vấn đề này, chúng tôi đặc biệt chú ý sự xuất hiện lời giải bài toán của HS nhóm

N5 thể hiện ở Hình 5.20.

HS nhóm N5 cho rằng đây là một chiến lược giải khác với 6 chiến lược mà HS đã

phát hiện trước. Để lời giải này đầy đủ và chính xác, GV (người nghiên cứu) xem xét,

điều chỉnh và bổ sung thành lời giải như sau:

165

“Ta có: (𝐶): (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 13 là phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

𝐴(1; 2), 𝐵(5; 2), 𝐶(1; −4) vì:

ta được: * Điểm 𝐴(1; 2) ∈ (𝐶) do thay 𝑥 = 1 và 𝑦 = 2 vào (C),

(1 − 3)2 + (2 + 1)2 = 13 (đúng).

* Lí luận tương tự, ta cũng có: điểm 𝐵(5; 2) ∈ (𝐶) và 𝐶(1; −4) ∈ (𝐶).

Vì qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một đường tròn, nên đáp số của bài

toán là: (𝐶): (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 13.”

Sản phẩm của nhóm HS này làm nảy sinh ra một vấn đề: Liệu GV có chấp nhận

lời giải này của HS hay không? Quan điểm của GV ra sao khi đứng trước lời giải này?

Có tồn tại những quy tắc hợp đồng nào ràng buộc đối với HS và GV khi giải quyết kiểu

nhiệm vụ lập (viết) phương trình đường tròn đi qua 3 điểm? Vì thế, một khảo sát trên

đối tượng là GV ở các trường THPT và SV ngành Sư phạm toán nhằm trả lời cho câu

hỏi đặt ra.

5.2.4. Kết quả khảo sát quan điểm của giáo viên, sinh viên về lời giải một bài toán

Kết quả thống kê ở Bảng 5.17, cho thấy, đối với mức điểm tối đa (1,0đ), có 102

người (81 GV và 21 SV) đồng ý cho lời giải đạt điểm tối đa và chiếm tỉ lệ cao nhất

(36,65 %).

Bảng 5.17. Bảng thống kê quan điểm của GV, SV về lời giải

Mức điểm Đối tượng

GV SV Tổng 1,0 81 21 102 0,75 40 14 54 0,5 62 31 93 0,25 28 57 85 0,0 10 17 27 Tổng 221 140 361

Trong số 81 GV, có 32 GV có cùng quan điểm 2, tức là GV hoàn toàn chấp nhận

lời giải của HS và cho rằng lời giải này là đúng kết quả, lập luận hợp lí, có logic và chặt

chẽ. Hình 5.21 minh họa nhận định của GV01 về lời giải của bài toán. 49 GV còn lại

cũng cho điểm ở mức 1,0đ. Tuy nhiên, họ đề nghị HS cần trình bày lời giải theo quan

điểm 1. GV theo quan điểm này cho rằng với nhiệm vụ “lập phương trình” nghĩa là một

quá trình tìm tâm và bán kính, tức là ngầm ẩn yêu cầu HS phải trình bày kĩ thuật xây

dựng để có được kết quả. Vấn đề GV quan tâm và đặt ra nghi vấn “ở đâu có phương

trình (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 13”. Cùng quan niệm và nghi vấn này, có 4 SV trong số

166

21 SV đề nghị rằng HS cần trình bày lời giải theo kiến thức quy trình đã được học để

người đọc thấy rõ con đường tìm ra phương trình đường tròn.

Hình 5.21. Phản hồi của GV01

Đối với mức điểm 0,75đ, có 54 người (bao gồm 40 GV và 14 SV) cùng quan điểm

2 và đặt nghi vấn “dựa vào lập luận nào để tìm ra phương trình đường tròn như vậy”

cũng như trừ luôn 0,25 điểm cho phần này. Hơn nữa, đối với họ, lời giải này lập luận

không logic, thiếu chặt chẽ và không thuyết phục được người xem. Hình 5.22 minh họa

nhận định và đề xuất phương án chấm điểm của GV03.

Hình 5.22. Nhận định và đề xuất phương án chấm điểm của GV.03

Tất cả GV và SV đều đề nghị HS nên trình bày lời giải theo lời giải minh họa trong

sách giáo khoa. Ngoài ra, họ còn yêu cầu HS phải trình bày chứng minh các điểm A, B

và C là không thẳng hàng. Tuy nhiên, việc này là không cần thiết bởi vì đó là điều hiển

167

nhiên. Phản hồi của GV.03 cho rằng lời giải trên là không chặt chẽ khi khẳng định biểu

thức đại số thu được là phương trình đường tròn và đề nghị một cách trình bày lời giải

hoàn chỉnh theo quan điểm của GV.03.

Có 93 người (62 GV và 31 SV) chỉ cho điểm lời giải ở mức 0,5đ. GV và SV ghi

điểm 0,25đ cho kết quả tức là phương trình thu được; 0,25đ cho lập luận rằng 3 điểm

không thẳng hàng thì có duy nhất một đường tròn hoặc 0,25đ cho việc kiểm tra tọa độ

các điểm thỏa mãn phương trình và 0,25đ cho lập luận rằng 3 điểm không thẳng hàng

thì có duy nhất một đường tròn hoặc chỉ ghi duy nhất 0,5đ cho việc kiểm tra tọa độ các

điểm thỏa mãn phương trình.

Các hạn chế nổi bật của lời giải được GV và SV chỉ ra theo quan điểm của họ là:

(1) Về phương trình thu được: Lời giải không đủ cơ sở thuyết phục để có được phương

trình, lập luận không có căn cứ. (2) Về việc kiểm tra 3 điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶 không thẳng

hàng: Lời giải không trình bày giải thích lí do 3 điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶 không thẳng hàng. Các

nhận định này của GV và SV được thể hiện ở Bảng 5.18.

Bảng 5.18. Các nhận định của GV và SV về lời giải cho mức điểm 0,25

Nội dung nhận định

GV04

GV05

168

SV02

SV03

Tất cả đều đề nghị đối với nhiệm vụ lập phương trình thì trong lời giải HS phải

xác định tâm và bán kính của đường tròn và trình bày kĩ thuật tìm chúng.

Cùng quan điểm này, tuy nhiên 85 người (bao gồm 28 GV và 57 SV) không đồng

ý mức điểm 0,5đ, thay vào đó, họ chỉ chấp nhận cho bài giải mức điểm 0,25đ và chỉ ra

những hạn chế và yêu cầu tương tự. Họ cho rằng trong lời giải không được phép đưa ra

trước kết quả mà phải theo quy trình. Và họ còn bình luận thêm rằng lời giải này “chỉ

mang ý nghĩa nghiệm lại phương trình tìm được” (xem Bảng 5.19)

Bảng 5.19. Nhận định của GV và SV cho điểm 0,25

GV06

GV07

169

SV04

SV05

Hơn nữa, có 27 người (bao gồm 10 GV và 17 SV) cho mức điểm 0đ. Họ không

chấp nhận việc HS trình bày kết quả có được (phương trình đường tròn) trước trong lời

giải. Dựa vào kiến thức quy trình đối với bài toán lập phương trình đường tròn, họ đặt

ra các nghi vấn “các số 3; -1 và 13 được tìm ra như thế nào?” và cho rằng lập luận trong

lời giải là sai, là thiếu căn cứ (xem Bảng 5.20)

Bảng 5.20. Nhận định của GV và SV cho điểm 0

Nội dung nhận định

GV08

GV09

170

SV06

SV07

Qua thống kê và phân tích nhận định của GV và SV ngành sư phạm toán đối với

lời giải bài toán trên, bên cạnh việc đề cao tính sáng tạo của HS trong lời giải “lời giải

chứng tỏ HS có đầu tư suy nghĩ cách thức đặc biệt nào đó để nhanh chóng lập được

phương trình đường tròn qua 3 điểm cho trước” còn có 2 điểm nổi bật được họ quan

tâm:

- Thứ nhất là họ chưa hoặc không chấp nhận việc trình bày lời giải không theo quy

trình mà HS đã được học (xem Bảng 5.21). Như vậy, tồn tại hợp đồng ngầm ẩn giữa

người dạy và người học đối với kiểu nhiệm vụ “lập phương trình đường tròn đi qua 3

điểm”

Bảng 5.21. Nhận định của GV và SV cho điểm 1

GV10

171

GV11

SV08

SV09

- Thứ hai là GV và SV cho rằng lời giải chưa kiểm tra tính không thẳng hàng của

3 điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶 (xem Hình 5.23).

Hình 5.23. Minh họa nhận định của GV4

GV vẫn trăn trở “không biết HS đã dùng cách gì để có được kết quả”. Trong đó,

một số GV cho rằng “HS phải giải ngoài nháp mới có được phương trình đường tròn,

172

còn trình bày vào bài làm thì không nhất thiết phải trình bày và giải thích tại sao tìm

được phương trình đó, miễn nó thỏa mãn yêu cầu bài toán” do đó vẫn cho HS điểm tối

đa (xem Hình 5.24).

Hình 5.24. Nhận định của GV 29

5.2.5. Kết luận và thảo luận

Nhờ vào sự tương tác trực tiếp với các công cụ chức năng của GeoGebra cùng với

kiến thức vốn có của bản thân. HS các nhóm đã phát hiện được nhiều phương pháp giải

cho bài toán đã cho. Hơn nữa, GeoGebra có thể giúp HS hiểu sâu sắc hơn bản chất của

các khái niệm toán học.

5.3 Trường hợp dạy học giải bài toán tìm tập hợp điểm với GeoGebra

5.3.1. Mô hình dạy học giải toán quỹ tích với sự hỗ trợ của GeoGebra

Mô hình dạy học giải toán quỹ tích (tìm tập hợp điểm) với sự trợ giúp của

GeoGebra được điều chỉnh từ mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm ở mục

5.1.2 trang 141. Với tính năng “kép động”, tính năng để lại vết và tính năng kiểm tra

(tính chất thẳng hàng, tính chất song song, tính chất vuông góc, …), GeoGebra trở thành

công cụ đắc lực để giúp người giải dự đoán quỹ tích, hỗ trợ biện luận, tìm tòi hướng

chứng minh hoặc chỉ ra các sai lầm, ngộ nhận khi giải các bài toán quỹ tích. Mặt khác,

người học có thể sử dụng GeoGebra để đặc biệt hóa hoặc phát triển bài toán quỹ tích.

173

Bảng 5.22. Mô hình giải toán quỹ tích với sự hỗ trợ của GeoGebra

Bước 1 (Dựng hình): Sử dụng GeoGebra dựng các đối tượng hình học và biểu diễn các mối quan hệ tương ứng giữa chúng dựa vào dữ kiện và yêu cầu của bài toán.

Bước 2 (Nghiên cứu đoán nhận hình dạng quỹ tích): Ấn kéo điểm độc lập (điểm di chuyển) và nghiên cứu một cách cẩn thận vị trí của nó ở một số trường hợp đặc biệt và ở nhiều vị trí khác nhau để xem xét sự thay đổi quan hệ giữa vị trí của các điểm phụ thuộc (điểm quỹ tích). Thực hiện một số phép tính toán cần thiết, đo đạc các đối tượng cần quan trong hình vừa dựng. Hình thành phỏng đoán (giả thuyết) hình dạng (H) của quỹ tích.

Bước 3 (Kiểm tra (bác bỏ hay khẳng định phỏng đoán)):

- quỹ tích.

- Bật chức năng tạo vết cho điểm phụ thuộc (điểm quỹ tích) và ấn kéo điểm độc lập (điểm di động). Hoặc sử dụng công cụ - Nếu giả thuyết vẫn đúng, chuyển sang bước 4, - Ngược lại, trở lại bước 2.

Bước 4 (Nghiên cứu thực nghiệm): Quan sát, tìm kiếm các mối liên hệ giữa những điểm cố định với các điểm di động, mối liên hệ giữa yếu tố không đổi và yếu tố thay đổi. Có thể vẽ thêm các đối tượng hình học liên quan hoặc thực hiện một số phép tính toán, đo đạc các đối tượng cần quan tâm trong hình vừa dựng. Sử dụng GeoGebra để bác bỏ hoặc khẳng định tính đúng đắn của các mối liên hệ vừa phát hiện.

Bước 5: Từ kết quả thu được ở bước 4, tiến hành phân tích lùi để tìm tòi các chiến lược giải. Giải thích bằng lời để biện minh cho tính đúng đắn của chiến lược giải.

Bước 6: Trình bày lời giải bằng ngôn ngữ và kí hiệu toán học. Bước 7: Thay đổi giả thiết của bài toán, tiến hành thực hiện các bước trên trong tình huống mới bằng cách trả lời các câu hỏi dạng “điều gì sẽ xảy ra nếu? hoặc điều gì sẽ xảy ra nếu không?” để đặc biệt hóa, khái quát hóa hoặc mở rộng bài toán.

Mô hình trên nêu ra các bước cần thiết cho GV hướng dẫn HS giải toán với phần

mềm GeoGebra và tự thân nó là một quy trình (nhiệm vụ) giải toán thông qua quá trình

“thực nghiệm toán học”: người giải sử dụng phần mềm GeoGebra để khảo sát, thực

nghiệm, đưa ra các phỏng đoán, kiểm chứng, tìm tòi lời giải và phát triển bài toán.

Trong quá trình giải toán, chủ thể là HS, công cụ vẫn là GeoGebra, đối tượng là

bài toán cần giải quyết. Vai trò của GV chủ yếu hỗ trợ về mặt kĩ thuật GeoGebra và có

gợi ý hướng dẫn để tìm các chiến lược giải.

174

5.3.2. Kết quả nghiên cứu đối với bài toán tìm tập hợp điểm

Bài toán tìm tập hợp điểm: Tìm tập hợp tất cả các điểm 𝐺 là trọng tâm

của tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝐵(4; 0), 𝐶(0; 4) và điểm 𝐴 thuộc đường tròn có tâm

𝐼(−2; 0) và bán kính bằng 2.

5.3.2.1. Kết quả thực nghiệm trong môi trường giấy, bút (môi trường tĩnh)

Trong tình huống này, đầu tiên, mỗi nhóm HS độc lập giải bài toán đã cho với sự

hỗ trợ của giấy, bút với thời lượng là 15 phút. GV không đưa ra bất kì hướng dẫn nào

cho các nhóm HS. Sau đó, GV sử dụng GeoGebra kiểm tra, hợp thức hóa kết quả bài

làm của HS.

Bằng cách biến đổi các phép toán đại số HS các nhóm N3, N4, N8 và N13 thu

được phương trình biểu diễn một đường tròn, đó cũng chính là quỹ tích cần tìm (xem

Hình 5.25 minh họa lời giải của HS nhóm N3). Đối với các nhóm N1, N2, N5, N6, N7,

N9, N10, N11 và N12, HS chưa tìm ra được câu trả lời cho bài toán.

Qua tiến trình hoạt động giải quyết bài toán của nhóm N13 ở Hình 5.26 cho thấy

rằng, ban đầu do HS chỉ xét một trường hợp khi xác định giá trị tung độ của điểm 𝐴 theo

giá trị của t là hoành độ của điểm 𝐴 nên dẫn đến sai lầm trong kết luận tập hợp các điểm

√12𝑥−9𝑥2+4 3

. Điều này cho thấy hạn 𝐺 sẽ nằm trên đường cong là đồ thị của hàm số 𝑦 =

chế khi chỉ sử dụng phương pháp đại số (phương pháp tọa độ) trong giải toán mà không

quan tâm đến yếu tố trực quan.

Hình 5.25. Hình minh họa trình bày của nhóm N3

175

Hình 5.26. Ý tưởng giải bài toán của nhóm N13

5.3.2.2. Kết quả thực nghiệm trong môi trường GeoGebra (môi trường động)

HS thực hành giải toán môi trường GeoGebra theo mô hình Bảng 5.22.

Bước 1: Sử dụng GeoGebra dựng các đối tượng hình học và biểu diễn các mối

quan hệ tương ứng giữa chúng dựa vào dữ kiện và yêu cầu của bài toán.

Nhờ vào kĩ năng sử dụng GeoGebra đã được học, HS các nhóm nhanh chóng biểu

diễn được hình hình học tương ứng trong GeoGebra. Tùy vào cách tiếp cận công cụ

GeoGebra mà quá trình sử dụng công cụ chức năng phần mềm của mỗi nhóm là khác

nhau dẫn đến môi trường được tạo thành là khác nhau. Điều này ảnh hưởng đến chiến

lược giải quyết vấn đề.

Có hai quy trình thao tác GeoGebra khác nhau để biểu diễn bài toán, cụ thể:

- Quy trình 1 (Bảng 5.23) bao gồm 2 bước: (i) Vẽ tam giác 𝐴𝐵𝐶 bằng công cụ đa

- trung điểm hoặc tâm. giác; (ii) Vẽ trọng tâm 𝐺 bằng công cụ

Bảng 5.23. Biểu diễn bài toán theo quy trình 1

Quy trình thao tác Công cụ GeoGebra tương ứng

i. Dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶; ii. Dựng trọng tâm 𝐺 của tam giác 𝐴𝐵𝐶; a. Công cụ b. Công cụ - đa giác; - trung điểm hoặc tâm;

- Quy trình 2 (Bảng 5.24) bao gồm 3 bước: (i) Vẽ tam giác 𝐴𝐵𝐶 bằng cách dựng

lần lượt các cạnh 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 và 𝐵𝐶; (ii) Dựng các trung điểm của 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 và 𝐵𝐶; (iii) Dựng

trọng tâm 𝐺 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 bằng cách dựng giao điểm của các đường trung tuyến.

Bảng 5.24. Biểu diễn bài toán theo quy trình 2

Công cụ GeoGebra tương ứng - đoạn thẳng;

- trung điểm hoặc

Quy trình thao tác i. Dựng các đoạn thẳng 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 và 𝐵𝐶; ii. Dựng các trung điểm của 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 và 𝐵𝐶; a. Công cụ b. Công cụ Công cụ tâm;

176

- đoạn thẳng;

- giao điểm của 2 đối

c. Công cụ d. Công cụ tượng;

iii. Dựng các đường trung tuyến của tam giác 𝐴𝐵𝐶; iv. Dựng điểm 𝐺 là giao điểm của các đường trung tuyến. Điểm 𝐺 chính là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶.

Bước 2 (Nghiên cứu đoán nhận hình dạng quỹ tích): Ấn kéo điểm độc lập (điểm di

chuyển) và nghiên cứu một cách cẩn thận vị trí của nó ở một số trường hợp đặc biệt và

ở nhiều vị trí khác nhau để xem xét đường đi của điểm quỹ tích. Hình thành phỏng đoán

(giả thuyết) hình dạng (𝐻) của quỹ tích.

Ở bước này, các nhóm HS tiến hành ấn và kéo thay đổi vị trí của điểm 𝐴 (điểm di

chuyển) và quan sát đường đi của điểm quỹ tích. Tồn tại hai quy trình ấn kéo điểm 𝐴.

Quy trình 1: Ấn và kéo điểm 𝐴 đến những vị trí đặc biệt nhưng không bật chức

năng tạo vết cho điểm 𝐺.

- Dựng điểm 𝐴1 và 𝐴2 lần lượt là giao điểm của 𝐼𝑀 với đường tròn tâm 𝐼;

- Ấn và kéo điểm 𝐴 di chuyển đến điểm 𝐴1. Quan sát thấy điểm G di chuyển

đến điểm 𝐺1;

- Ấn và kéo điểm 𝐴 di chuyển đến điểm 𝐴1. Quan sát thấy điểm G di chuyển

đến điểm 𝐺2;

- Ấn, kéo và thả điểm 𝐴 ở một vị trí 𝐴3 bất kì. Quan sát thấy điểm 𝐺 dừng lại

ở một vị trí 𝐺3;

- Tiếp tục ấn kéo điểm 𝐴. Quan sát thấy các điểm 𝐺, 𝐺1 và 𝐺2 không thẳng

hàng. Và 𝐺 di chuyển theo một đường tròn.

Quy trình 2: Ấn và kéo điểm 𝐴 di chuyển và dừng lại ở một số vị trí bất kì trên

đường tròn. Quan sát thấy, điểm 𝐺 tạo thành một đường tròn.

Kết thúc bước 2, tất cả HS các nhóm đều đoán nhận dạng được quỹ tích. Khi đọc

lại nhiệm vụ, HS ghi vào phiếu bài làm “Dự đoán: tập hợp các điểm 𝐺 là một đường

tròn”.

Ngoài ra, trước khi thực hiện thao tác ấn kéo, HS các nhóm N3, N4, N8 và N13

thực hiện tác nhập phương trình đại số tìm được vào khung nhập lệnh và quan sát kết

quả hiển thị ở cửa sổ hình học. HS kiểm tra mối liên hệ giữa điểm 𝐺 và đường tròn cho

bởi phương trình vừa tìm được bằng cách sử dụng công cụ - quan hệ giữa hai đối

177

tượng. Nhờ công cụ này, HS đã tin chắc vào kết quả bài làm của mình.

Sau đây, tiến trình hoạt động của HS nhóm N3, N13 sẽ được phân tích để làm rõ

tính khả dụng của GeoGebra trong khâu kiểm tra lời giải.

 Đối với HS nhóm N3

- Hành động 1: Biểu diễn tương ứng trong GeoGebra biểu thức đại số tìm được ở

bước 1 bằng thao tác nhập biểu thức “𝑥^2 + 𝑦^2 − 4/3 𝑥 − 8/3 𝑦 + 16/9 = 0” tại

khung nhập lệnh nhằm mục tiêu hiển thị dạng biểu diễn hình hình học của biểu thức đại

số tương ứng. Để nhập được biểu thức đại số này trong GeoGebra, người sử dụng cần

nhập đúng theo điều kiện ràng buộc về cấu trúc nhập liệu LaTex mặc định của phần

mềm.

Hành động 2: Dự đoán quỹ tích bằng thao tác ấn và kéo di chuyển điểm 𝐴 nhằm

mục tiêu phát hiện quỹ tích điểm 𝐺 là một đường tròn.

Hành động 3: Kiểm tra phương trình quỹ tích bằng cách sử dụng công cụ “quan hệ

”. HS thực hiện thao tác ấn chọn điểm 𝐺 và đường tròn cho bởi

= 0, phát hiện rằng điểm 𝐺 thuộc và di giữa 2 đối tượng phương trình đại số 𝑥2 + 𝑦2 − 4 3 𝑥 − 8 3 𝑦 + 16 9

= 0. chuyển trên đường tròn này (Hình 5.27). Kết luận tập hợp các điểm 𝐺 là đường tròn cho bởi phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 4 3 𝑦 + 16 9 𝑥 − 8 3

Hình 5.27. Kết quả kiểm tra bằng GeoGebra

 Đối với HS nhóm N13

Đối với nhóm N13, GeoGebra không chỉ giúp HS nhận biết được quỹ tích điểm 𝐺

là một đường tròn mà còn giúp HS điều chỉnh, bổ sung để hoàn chỉnh lời giải của mình.

178

Tiến hình giải quyết bài toán được mô tả như sau:

- Hành động 1: Biểu diễn tương ứng trong GeoGebra biểu thức đại số tìm được ở

bước 1 bằng thao tác nhập biểu thức “𝑦 = (𝑠𝑞𝑟𝑡(12𝑥 − 9𝑥^2) + 4)/3” tại khung nhập

lệnh nhằm mục tiêu hiển thị dạng biểu diễn hình hình học của biểu thức đại số tương

ứng. Để nhập được biểu thức đại số này trong GeoGebra, người sử dụng cần nhập đúng

theo điều kiện ràng buộc về cấu trúc nhập liệu LaTex mặc định của phần mềm.

- Hành động 2: Dự đoán quỹ tích bằng thao tác ấn và kéo di chuyển điểm 𝐴 nhằm

mục tiêu phát hiện quỹ tích điểm 𝐺 là một đường tròn trong khi hình dạng của hình hình

√12𝑥−9𝑥2+4 3

học cho bởi biểu thức đại số 𝑦 = có được ở hành động 1 chỉ là nửa đường

tròn của đường tròn quỹ tích cần tìm.

Qua tiến trình hoạt động giải quyết bài toán của N3 cho thấy rằng, ban đầu do HS

chỉ xét một trường hợp khi xác định giá trị tung độ của điểm 𝐴 theo giá trị của t là hoành

độ của điểm 𝐴 nên dẫn đến sai lầm trong kết luận tập hợp các điểm 𝐺 sẽ nằm trên đường

√12𝑥−9𝑥2+4 3

. Điều này cho thấy hạn chế khi chỉ sử dụng cong là đồ thị của hàm số 𝑦 =

phương pháp đại số (phương pháp tọa độ) trong giải toán mà không quan tâm đến yếu

tố trực quan.

Hình 5.28. Trình bày điều chỉnh lời giải của nhóm N13

Bước 3: Kiểm tra (bác bỏ hay khẳng định phỏng đoán): Sử dụng các công cụ chức

năng của GeoGebra kiểm tra tính đúng đắn của dự đoán ở bước 2.

179

- Nếu dự đoán trên vẫn đúng, chuyển sang bước 4,

- Ngược lại, trở lại bước 2.

Nhiệm vụ cần thực hiện:

- Sử dụng công cụ “quỹ tích” hoặc câu lệnh “quytich (điểm di động, điểm quỹ

tích)”.

- Bật chức năng tạo vết cho điểm phụ thuộc (điểm quỹ tích) và ấn kéo điểm di động

- Quan sát đường đi của điểm quỹ tích và vết tạo bởi nó.

Thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ ở bước này, HS đã tin chắc vào dự đoán

về hình dạng của quỹ tích của mình. HS khẳng định dự đoán của mình là đúng. Kết thúc

bước này, phân tích sản phẩm thu được, chúng tôi xét thấy HS chủ yếu sử dụng công cụ

trực quan sẵn có của GeoGebra, HS không sử dụng câu lệnh mặc dù GV đã có giới thiệu

và hướng dẫn thao tác.

Hơn nữa, có hai kĩ thuật sử dụng công cụ chức năng của GeoGebra để xác nhận

hình dạng quỹ tích.

• Kĩ thuật 1:

- Bật chức năng tạo vết cho điểm quỹ tích 𝐺 và ấn kéo điểm di động 𝐴.

- Quan sát đường đi của điểm quỹ tích và vết tạo bởi nó.

• Kĩ thuật 2:

- Sử dụng công cụ “quỹ tích”, ấn chọn điểm cần tạo quỹ tích 𝐺 và điểm di động 𝐴.

- Quan sát hình dạng của hình được tạo thành.

Bước 4 (Nghiên cứu tìm tòi lời giải): Quan sát, tìm kiếm các mối liên hệ giữa

những điểm cố định với các điểm di động, mối liên hệ giữa yếu tố không đổi và yếu tố

thay đổi. Có thể vẽ thêm các đối tượng hình học liên quan hoặc thực hiện một số phép

tính toán, đo đạc các đối tượng cần quan tâm trong hình vừa dựng. Sử dụng GeoGebra

để bác bỏ hoặc khẳng định tính đúng đắn của các mối liên hệ vừa phát hiện.

Trong bước 4 này, ban đầu HS tất cả các nhóm đều cố gắng tìm cách xác định vị

trí tâm 𝐾 của đường tròn. Quan sát, chúng tôi tổng kết được các kĩ thuật sau được các

nhóm HS sử dụng để xác định tâm 𝐾 của đường tròn quỹ tích.

• Kĩ thuật 1 (Hình 5.29):

- Sử dụng công cụ “đường tròn qua 3 điểm có sẵn”, ấn chọn 3 điểm nằm trên vết

180

tạo bởi điểm 𝐺. GeoGebra đặt tên đường tròn này là 𝑑.

- Sử dụng công cụ “trung điểm hoặc tâm”, ấn chọn đối tượng 𝑑. Màn hình hiển

thị tâm của đường tròn quỹ tích. Đối tên thành 𝐾 bằng công cụ chức năng “đổi

tên”.

- Lấy điểm 𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶 bằng công cụ “trung điểm hoặc tâm”,

- Vẽ đoạn thẳng 𝐼𝑀.

- Đo độ dài 𝑀𝐺, 𝑀𝐴, 𝑀𝐾, … và 𝑀I.

Hình 5.29. Minh họa kĩ thuật 1 (vẽ hình)

• Kĩ thuật 2 :

- Sử dụng công cụ “điểm thuộc đối tượng”, dựng 3 điểm 𝐷, 𝐸 và 𝐹 thuộc đường

tròn quỹ tích

- Dựng các dây cung 𝐷𝐸, 𝐷𝐹 và 𝐸𝐹

- Dựng các đường trung trực của 𝐷𝐸, 𝐷𝐹 và 𝐸𝐹 và giao điểm 𝐾 của các đường

trung trực này, đồng thời 𝐾 cũng là tâm đường tròn quỹ tích.

- Dựng và đo độ dài đoạn thẳng 𝐾𝐺.

Trong bước 4, HS tiến hành đo đạc, tính toán đối với các đối tượng hình học và

phát hiện ra các mối liên hệ: (1) Đường tròn quỹ tích có bán kính nhỏ hơn đường tròn 𝑅 = 2 tâm 𝐼; (2) 𝑀𝐺 = 1 ; 3 3 𝑀𝐴 ; (3) Các điểm 𝐼, 𝐾 và 𝑀 thẳng hàng; (4) 𝐾𝐺 = 1 3 𝐼𝐴 = 1 3

(5) 𝐾𝐺 song song với 𝐼𝐴; (6) 𝐺 là trung điểm của 𝐺1𝐺2; (7) 𝐺𝐺1 vuông góc với 𝐺𝐺2.

Bước 5: Từ kết quả thu được ở bước 4, tiến hành phân tích lùi để tìm tòi chiến lược

giải. Giải thích bằng lời để biện minh cho tính đúng đắn của chiến lược giải

Từ kết quả phát hiện (2), (3), (4) và (5), HS tiến hành phân tích, kết luận và giải

thích bằng lời như sau:

181

𝑀𝐴 do 𝐺 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶 và 𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶

* Phân tích: + 𝑀𝐺 = 1 3 + Do đó: Nếu 𝐾𝐺 = 1 3 𝐼𝐴 = 1 3 𝑅 = 2 thì theo định lí Talet ta có 𝐾𝐺 ∥ 𝐼𝐴. Ngược lại 3

nếu 𝐾𝐺 song song với 𝐼𝐴 thì theo định lí Talet, ta có 𝐾𝐺 = 1 3 𝐼𝐴 = 1 3 𝑅 = 2 . 3

* Kết luận: 𝐾 là giao điểm của đường thẳng đi qua 𝐺 và song song với 𝐴𝐼.

* Phát biểu bằng lời

Vẽ đường thẳng đi qua 𝐺, song song với 𝐴𝐼 cắt 𝐼𝑀 tại 𝐾. Khi đó, 𝐾 là điểm cố

𝑀𝐴 do 𝐺 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶 và 𝑀 là trung điểm định. Mặt khác, 𝑀𝐺 = 1 3

của 𝐵𝐶.

Do đó, 𝐾𝐺 = 1 3 𝐼𝐴 = 1 3 𝑅 = 2 . Suy ra, điểm 𝐺 luôn luôn cách đều điểm 𝐾 cố định 3

. một khoảng không đổi bằng 2 3

. Tìm tọa độ điểm Vì vậy, tập hợp các điểm 𝐺 là đường tròn tâm 𝐾, bán kính bằng 2 3

𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ . Từ đó, suy ra tọa độ 𝐾 bằng cách: Theo định lí Talet, ta có: 𝑀𝐾 𝑀𝐼 = 1 3 hay 𝑀𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3

điểm 𝐾.

Bước 6: Trình bày lời giải bằng ngôn ngữ và kí hiệu toán học

Lời giải của HS nhóm N5 được minh họa ở Hình 5.30

Hình 5.30. Trình bày của nhóm N5

Bước 7: Thay đổi giả thiết của bài toán, tiến hành thực hiện các bước trên trong

tình huống mới bằng cách trả lời các câu hỏi dạng “điều gì sẽ xảy ra nếu? hoặc điều gì

sẽ xảy ra nếu không?” để đặc biệt hóa, khái quát hóa hoặc mở rộng bài toán.

182

Câu hỏi 1: Điều gì xảy ra nếu thay giả thuyết trọng tâm 𝐺 bằng trực tâm 𝐻 của tam

giác 𝐴𝐵𝐶?; Câu hỏi 2: Điều gì xảy ra nếu thay giả thiết trọng tâm G bằng giao điểm của

ba đường phân giác trong của tam giác 𝐴𝐵𝐶?; Câu hỏi 3: Điều gì xảy ra nếu điểm 𝐴

thuộc một đường hoặc dạng hình học khác chẳng hạn như đường elip, đa giác?

Hình 5.31: 𝑯 là trực tâm Hình 5.32: 𝑯 là trọng tâm

Hình 5.33. Điểm 𝑨 chạy trên elip Hình 5.34: Điểm 𝑨 chạy trên đa giác

5.3.3. Kết luận và thảo luận

Nhờ vào GeoGebra:

- HS chủ động dựng thêm các đối tượng để khám phá, phát hiện và giải thích những

tính chất hình học và mối liên hệ giữa chúng.

- HS liên tiếp thực hiện các pha dự đoán, kiểm tra và làm lại bằng các công cụ chức

năng của GeoGebra trong quá trình thực nghiệm.

- Phát hiện, hình thành các trường hợp tổng quát bằng cách thay đổi giả thiết của

bài toán thông qua câu hỏi dạng “điều gì xảy ra nếu?”

Một số quan sát đối với HS

- HS thường xuyên mở cửa sổ mới và lưu bản cũ khi HS bắt đầu với một hình vẽ

mới. Điều này có thể giúp HS chuyển đổi, quan sát ở các cửa sổ khác nhau để so sánh,

hỗ trợ cho ý tưởng mới và lập luận của HS.

183

- HS sử dụng các trường hợp đặc biệt để khám phá và xác nhận các phỏng đoán.

5.4 Trường hợp dạy học giải bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng hình

học với GeoGebra

Bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng: Cho tam giác

𝐴𝐵𝐶. Dựng về phía ngoài của tam giác đó hình vuông 𝐴𝐵𝐸𝐹 và 𝐴𝐶𝐼𝐾. Gọi

𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶.

• Xác định mối quan hệ giữa 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾;

• So sánh độ dài của 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾.

5.4.1. Kết quả thực thực nghiệm HS giải toán theo tiến trình Polya với sự hỗ trợ của

GeoGebra

 Đối với Nhóm 1 (Hình 5.35)

Hình 5.35: Hình vẽ của nhóm 1

HS sử dụng GeoGebra được được cài ở chế độ ẩn hệ trục tọa độ. HS lần lượt thực

hiện các thao tác:

(9:01): Dựng hình 𝐴𝐵𝐶 là tam giác cân tại 𝐴

(9:02): Sử dụng công cụ chức năng của GeoGebra dựng 𝐻 là giao điểm của 𝐴𝑀

và 𝐹𝐾. Đo góc tạo bởi 𝐴𝑀 với 𝐹𝐾.

(9:03): Nhận xét rằng 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾

(9:05): So sánh đo độ dài của 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾. HS nhập biểu thức “𝐹𝐾/𝐴𝑀” vào khung

nhập lệnh. Và nhìn vào cửa sổ hiển thị danh sách đối tượng để xem kết quả.

(9:06): Phát hiện: 𝐹𝐾 = 2𝐴𝑀

Tìm cách chứng minh rằng 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾 và 𝐹𝐾 = 2𝐴𝑀

(9:10): Trình bày lời giải (Hình 5.36)

184

Hình 5.36. Trình bày lời giải của nhóm 1

Bình luận: Bài toán cho 𝐴𝐵𝐶 là một tam giác bất kì. Tuy nhiên, HS chỉ xét trường

hợp 𝐴𝐵𝐶 là tam giác cân. Vì thế, lời giải của nhóm 1 là chưa được chấp nhận. Một

nguyên nhân có thể giải thích là do HS chưa hiểu bài toán.

 Đối với Nhóm 2 (Hình 5.37)

HS sử dụng GeoGebra được được cài ở chế độ ẩn hệ trục tọa độ.

Hình 5.37. Hình vẽ của nhóm 2

(9:01): Dựng 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐴,

(9:02): Dựng đường thẳng 𝐴𝑀 cắt 𝐹𝐾 tại 𝐻

(9:02): Đo góc tạo bởi 𝐴𝑀 với 𝐹𝐾.

(9:03): Quan sát thấy và phát hiện 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾.

(9:04): Đo và so sánh độ dài của 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾.

(9:05): Nhập biểu thức 𝐹𝐾/𝐴𝑀 vào khung nhập lệnh. Và nhìn vào cửa sổ hiển thị

danh sách đối tượng để xem kết quả. Phát hiện: 𝐹𝐾 = 2𝐴𝑀

(9:09): Soạn thảo chứng minh: 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾 và 𝐹𝐾 = 2𝐴𝑀 (Hình 5.38)

185

Hình 5.38. Trình bày lời giải của nhóm 2

Bình luận: Nhóm 2 giải quyết bài toán trong trường hợp 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông.

Vì thế, lời giải của nhóm 2 là không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Như vậy, tương tự

nhóm 1, việc chưa hiểu bài toán là nguyên nhân dẫn đến lời giải của HS nhóm 2 là chưa

đúng.

 Đối với Nhóm 3 (Hình 5.39)

Hình 5.39. Hình vẽ của nhóm 3

(9:01): Dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶, dựng đường thẳng 𝐴𝑀 cắt 𝐹𝐾 tại 𝑁

(9:02): Đo góc tạo bởi 𝐴𝑀 với 𝐹𝐾.

(9:03) Quan sát và phát hiện rằng 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾.

(9:09): Đo độ lớn các góc. Quan sát và phát hiện 𝐹𝐾𝐴̂ = 𝐶𝐴𝑀̂

(9:10): Dựng điểm 𝐻 đối xứng với điểm 𝐴 qua 𝑀. Dựng hình bình hành 𝐴𝐵𝐻𝐶.

(9:15). Soạn thảo chứng minh: 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾 (Hình 5.40)

186

Hình 5.40. Trình bày lời giải của nhóm 3

Bình luận: Nhờ vào GeoGebra, HS nhóm 3 đã phát hiện ra 𝐹𝐾𝐴̂ = 𝐶𝐴𝑀̂ . Vì vậy,

nếu điều này có thể chứng minh, thì suy ra được góc 𝐴𝑀𝐾 bằng 90 độ. Điều này có thể

nói rằng, HS hiểu được thông tin bài toán và biết được cách tìm tòi và trình bày chiến

lược giải quyết vấn đề.

 Đối với Nhóm 4 (Hình 5.42)

Tiến trình hành động thao tác công cụ chức năng GeoGebra được tường thuật và

phân tích như sau:

 Hành động 1: Biểu diễn bài toán nhằm mục tiêu tạo mô hình hình học biểu diễn

các dữ liệu và các mối quan hệ được cho trong bài toán.

(9:01): Dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶, dựng đường thẳng 𝐴𝑀 cắt 𝐹𝐾 tại 𝐷.

 Hành động 2: Xác định mối quan hệ giữa 𝐴𝑀 với 𝐹𝐾 và so sánh độ dài 𝐴𝑀 với

𝐹𝐾 nhằm mục tiêu phát hiện

(9:02): Đo góc tạo bởi 𝐴𝑀 với 𝐹𝐾.

(9:02): Quan sát thấy và phát hiện rằng 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾.

(9:03): So sánh đo độ dài của 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾. HS nhập biểu thức “ 𝐹𝐾/𝐴𝑀 “ vào khung

nhập lệnh.

(9:04): Quan sát cửa sổ hiển thị danh sách đối tượng.

Kết quả: Phát hiện 𝐴𝑀 ⊥ 𝐹𝐾 và 𝐹𝐾 = 2𝐴𝑀.

 Hành động 3: Suy luận nhằm mục tiêu tìm hướng chứng minh

Kết quả suy luận 1:

? đường thẳng 𝑛 𝐴𝑀 ⊥ 𝐹𝐾

? 𝐴𝑀 ∥ 𝑛; 𝑛 ⊥ 𝐹𝐾

187

 Hành động 4: Dựng hình theo hướng suy luận nhằm tìm kiếm hướng giải quyết

vấn đề.

(9:11): Dựng đường thẳng 𝑛 đi qua 𝐵 và song song với 𝐴𝑀

(9:12): Dựng 𝐺; 𝐻 lần lượt là giao điểm của đường thẳng 𝑛 với 𝐴𝐹 và 𝐹𝐾.

Kết quả thu được ở Hình 5.41: 𝐴𝐻 vuông góc với 𝐹𝐾

 Hành động 5: Đưa hình hình học về trường hợp đặc biệt (Hình 5.42) nhằm mục

tiêu kiểm chứng suy luận 1 và tìm kiếm các mối liên hệ

(9:15): Kéo điểm 𝐴 di chuyển và dừng ở vị trí sao cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴.

Hình 5.42. Dựng hình của nhóm 4 Hình 5.41. Kết quả của hành động 4

Kết quả HS phát hiện:

• 𝐴 tại vị trí sao cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại cân tại 𝐴 thì 𝐺 và 𝐻 trùng nhau tại

𝐹 và các điểm này thẳng hàng với 𝐴 và 𝐶;

• Các tam giác bằng nhau là tam giác 𝐴𝐵𝐶, tam giác 𝐴𝐵𝐺, tam giác 𝐴𝐵𝐻, tam

giác 𝐴𝐵𝐹 và tam giác 𝐴𝐾𝐹.

 Hành động 6: Thay đổi tam giác ABC trở thành một tam giác thường với góc 𝐵𝐶𝐴̂

là một góc nhọn nhằm mục tiêu tìm hướng chứng minh

(9:18): Ấn và kéo điểm 𝐴 di chuyển ra khỏi vị trí để 𝐴𝐵𝐶 không phải là tam giác

vuông cân tại 𝐴.

(9:19): Dựng đoạn thẳng 𝐴𝐻. Đo các góc (Hình 5.43)

Kết quả HS phát hiện:

• Các tam giác 𝐴𝐵𝐶, tam giác 𝐴𝐵𝐺, tam giác 𝐴𝐵𝐹, 𝐴𝐵𝐻 và tam giác 𝐴𝐾𝐹 không

bằng nhau

• góc 𝐴𝐻𝐷̂ luôn không đổi bằng 450;

• Đặt niềm tin vào suy luận 1.

188

 Hành động 3: Suy luận nhằm mục tiêu tìm hướng chứng minh

Kết quả suy luận 2:

? 𝐵𝐻 ⊥ 𝐹𝐾 𝐴𝑀 ⊥ 𝐹𝐾

𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝐻; 𝐵𝐻 ⊥ 𝐹𝐾

Hình 5.43. Dựng 𝑨𝑯 Hình 5.44. 𝑨𝑪 cắt n tại 𝑰

Kết quả suy luận 3 (diễn dịch):

𝐵𝐻 ⊥ 𝐹𝐾 𝐺𝐹𝐻̂ + 𝐹𝐺𝐻̂ = 900

∆𝐹𝐺𝐻 vuông tại 𝐻; tổng các góc trong của một tam giác bằng 1800

Kết quả suy luận 3:

𝐺𝐹𝐻̂ + 𝐹𝐺𝐻̂ = 900 𝐹𝐺𝐻̂ = 𝐵𝐺𝐴̂ (đối đỉnh) ? 𝐺𝐹𝐻̂ = 𝐺𝐵𝐴̂

𝐺𝐵𝐴̂ + 𝐵𝐺𝐴̂ = 900  Hành động 7: Dựng hình theo suy luận 3 nhằm mục tiêu tìm kiếm chiến lược giải

(9:24): Dựng đường thẳng 𝐴𝐶 cắt đường thẳng 𝑛 (n song song 𝐴𝑀) tại 𝑆𝐽.

(9:25): Dựng tam giác 𝐹𝐴𝐾 và tam giác 𝐵𝐴𝐽

(9:26): Đo các góc

(9:28): Kéo điểm 𝐴 đặt vào vị trí sao cho 𝐴𝐵𝐶 là tam giác có góc 𝐴 là góc nhọn

Kết quả HS phát hiện:

• các tam giác 𝐴𝐵𝐶, tam giác 𝐹𝐴𝐾 và tam giác 𝐵𝐴𝐽 luôn có diện tích bằng nhau;

• Các góc tương ứng của tam giác 𝐹𝐴𝐾 và tam giác 𝐵𝐴𝐽 luôn luôn bằng nhau;

• Các cạnh luôn luôn bằng nhau;

189

• Phỏng đoán: hai tam giác 𝐹𝐴𝐾 và tam giác 𝐵𝐴𝐽 là bằng nhau.

𝐴𝐹 = 𝐴𝐵 ? 𝐵𝐴𝐽෢ = 𝐹𝐴𝐾̂ 𝐴𝐾 = 𝐴𝐽

𝐺𝐹𝐻̂ = 𝐺𝐵𝐴̂

? ∆𝐹𝐴𝐾 = ∆𝐵𝐴𝐽

(9:33): Trình bày lời giải

Hình 5.45:.Trình bày của nhóm 4 (trường hợp góc A nhọn)

(9:38): Kéo điểm 𝐴 đặt vào vị trí sao cho 𝐴𝐵𝐶 là tam giác có góc 𝐴 là góc tù

Hình 5.46. Hình vẽ của nhóm 4 (góc 𝑨 tù)

Hình 5.47. Trình bày lời giải của nhóm 4 (trường hợp góc 𝑨 tù)

190

Hình 5.48. Hình vẽ hoàn chỉnh của nhóm 4

Bình luận: HS nhóm 4 đã khai thác được tính năng của GeoGebra trong việc giải

toán. Hơn nữa, nhóm này đã sử dụng chiến lược phân tích lùi để suy luận tìm tòi lời giải.

Nhóm 4 dành nhiều thời gian để tìm ra được chiến lược giải quyết vấn đề. Thêm vào đó,

chiến lược giải của nhóm chưa phải là chiến lược tối ưu do trong lời giải phải xét nhiều

trường hợp (trường hợp tam giác 𝐴𝐵𝐶 có góc 𝐵𝐴𝐶̂ nhọn, vuông và tù). Có thể nói, nhóm

này hiểu được vấn đề và thực hiện tốt 3 bước giải toán theo Polya. Tuy nhiên, hạn chế

của nhóm 4 là không tìm nhiều chiến lược giải khác nhau.

 Đối với Nhóm 5 (Hình 5.49)

Hình 5.49. Hình vẽ của nhóm 5

(9:01): Dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶, dựng đường thẳng 𝐴𝑀 cắt F𝐾 tại 𝑁

(9:02): Đo góc tạo bởi 𝐴𝑀 với 𝐹𝐾. Quan sát thấy và phát hiện rằng 𝐴𝑀 vuông góc

với 𝐹𝐾.

(9:04): So sánh đo độ dài của 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾. HS nhập biểu thức 𝐹𝐾/𝐴𝑀 vào khung

191

nhập lệnh. Và nhìn vào cửa sổ hiển thị danh sách đối tượng để xem kết quả. Phát

hiện: 𝐹𝐾 = 2𝐴𝑀.

(9:05): Lấy 𝐻 là giao điểm của 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾.

(9:09): Phát hiện ra một chiến lược có thể để chứng minh 𝑀𝐴 vuông góc với 𝐹𝐾

là chứng minh góc 𝐴𝐻𝐾̂ vuông tại 𝐻, dẫn đến 𝐴𝐹𝐾̂ + 𝐻𝐴𝐹̂ = 90𝑜. Mặt khác,

𝑀𝐴𝐵̂ + 𝐻𝐴𝐾̂ = 90𝑜 , do đó cần chứng minh rằng 𝐴𝐹𝐻̂ = 𝑀𝐴𝐵̂

(9:15): Lần lượt dựng:

- đường thẳng 𝑛 qua 𝐵 và song song với 𝐴𝐶;

- đường thẳng 𝑝 qua 𝐶 và song song với 𝐴𝐵;

- 𝐷 là giao điểm của 𝑛 và 𝑝.

(9:22): Soạn thảo chứng minh: 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾 (Hình 5.50)

Hình 5.50. Trình bày lời giải của nhóm 5

Bình luận: Nhóm này đã biết cách sử dụng phân tích lùi để tìm giải pháp. Nhờ đó,

các HS biết điểm khởi đầu để giải quyết vấn đề là gì. Do đó, HS nhanh chóng hoàn thành

lời giải cho vấn đề. Có thể khẳng định rằng nhóm này đã thực hiện tốt ba bước đầu tiên

của quy trình Polya.

 Đối với Nhóm 6 (Hình 5.51 )

(9:01): Dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶, dựng đường thẳng 𝐴𝑀 cắt 𝐹𝐾 tại 𝑁

(9:02): Đo góc tạo bởi 𝐴𝑀 với 𝐹𝐾. Quan sát thấy và phát hiện rằng 𝐴𝑀 vuông góc

với 𝐹𝐾.

(9:04): So sánh đo độ dài của 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾. HS nhập biểu thức “𝐹𝐾/𝐴𝑀” vào khung

192

nhập lệnh. Và nhìn vào cửa sổ hiển thị danh sách đối tượng để xem kết quả. Phát

hiện: 𝐹𝐾 = 2𝐴𝑀

(9:05): Dựng hình

Hình 5.51. Hình vẽ của nhóm 6

(9:08): Soạn thảo chứng minh: 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾 (Hình 5.52)

Hình 5.52. Trình bày lời giải của nhóm 6

Bình luận:

Bằng cách quan sát biểu diễn trực quan của bài toán, HS biết cách chọn góc quay

tâm 𝐴 và góc −90𝑜 để giải bài toán. Đây là một chiến lược đòi hỏi HS phải có khả năng

áp dụng một phép biến hình để giải quyết vấn đề.

Nhóm này giải quyết vấn đề trong một thời gian tương đối ngắn. Tuy nhiên, nhóm

này có một số hạn chế như sau:

- HS không chủ động suy nghĩ, phân tích dữ liệu trực quan của vấn đề để tìm các

chiến lược khác để giải quyết vấn đề đã cho.

- HS không cố gắng mở rộng bài toán đã giải.

193

5.4.2. Giới hạn của HS

Kết quả công việc của các nhóm cho thấy rằng HS có những sai lầm và khó khăn

sau đây trong việc giải bài toán đã cho với sự trợ giúp của GeoGebra:

- Lời giải chỉ đúng với một số trường hợp cụ thể chứ không phải cho các trường

hợp chung. Chẳng hạn, nhóm 1 giải bài toán trong trường hợp tam giác cân, trong khi

nhóm 2 xét trường hợp tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông. Những lỗi như vậy xảy ra bởi

vì HS không biết cách sử dụng GeoGebra để xem xét liệu các phỏng đoán hiện tại của

họ có thỏa mãn cho các trường hợp khác nhau hay không.

- Việc tìm chiến lược để giải quyết vấn đề là một chướng ngại đối với HS các nhóm

3, nhóm 4 và nhóm 5.

- Trong quá trình giải toán, hầu hết HS các nhóm không có thói quen tìm các chiến

lược giải khác nhau để giải quyết nhiệm vụ đặt ra của bài toán. Nhiều nhà toán học nói

rằng giải các bài toán theo nhiều cách khác nhau là một trong những sở thích của họ.

Yêu cầu HS giải một bài toán theo nhiều cách khác nhau cũng góp phần vào sự phát

triển tư duy và khả năng giải quyết vấn đề của HS. Với sự hỗ trợ của GeoGebra, HS

không khó để thiết lập một nhiệm vụ như vậy.

Các nhà nghiên cứu Utami et al. (2019) lưu ý rằng, với sự hỗ trợ của phần mềm

toán học động như GeoGebra, hầu như người giải quyết có thể biết trước kết quả của

vấn đề. Do đó, phương pháp phân tích lùi (từ kết quả, người học suy luận theo hướng

ngược lại để tìm chiến lược giải quyết) chiếm ưu thế trong việc tìm ra chiến lược giải

pháp cho một vấn đề. GV cần đào tạo HS áp dụng phương pháp này khi sử dụng

GeoGebra giải các bài toán.

5.4.3. Mô hình giải toán bằng phân tích lùi với sự hỗ trợ của GeoGebra

Khi giải các bài toán với GeoGebra, người giải có thể dự đoán kết quả (phỏng

đoán) bằng cách thay đổi hình dạng biểu diễn tương ứng của bài toán bằng cách ấn và

kéo các đối tượng liên quan để tìm ra bất biến của các mối quan hệ. Hơn nữa hành động

này còn giúp HS xác nhận tính đúng đắn của các phỏng đoán. Chẳng hạn, khi xem xét

một tam giác bất kỳ nào, người học phải xem xét cả ba trường hợp: tam giác vuông, tam

giác có ba góc nhọn và tam giác có góc tù.

Dấu hỏi đặt ra trong Sơ đồ Hình 5.53 là từ các phỏng đoán và dữ liệu mà người

194

giải đã tìm thấy, bằng cách nào để người học tìm ra một chiến lược giải quyết vấn đề.

Dữ liệu

Kết luận (Giả thuyết)

? Cơ sở/ Căn cứ

Hình 5.53. Vấn đề tìm ra “?”- cầu nối giữa kết luận và dữ liệu.

Với sự hỗ trợ trực quan và linh hoạt của GeoGebra, người giải quyết có thể sử

dụng chiến thuật "phân tích lùi" để tìm các lập luận làm cầu nối giữa dữ liệu và phát

biểu kết luận; chiến thuật này có thể được mô tả như sau:

𝐴𝑛 ⟸ ⋯ ⟸ 𝐴3 ⟸ 𝐴2 ⟸ 𝐴1 ⟸ 𝐴0

Nếu A đúng thì A1 phải đúng; Nếu A1 đúng, thì A2 phải đúng; … ; Nếu An−1 đúng,

thì An phải đúng. Cuối cùng, người học sẽ tìm thấy những gì phải được chứng minh.

Theo sơ đồ trên, ta thấy rằng nếu An là mệnh đề đúng thì chưa thể kết luận được

gì về A: nó có thể đúng, có thể sai. Tuy nhiên, nó cho ta một dự đoán rằng mệnh đề A

có thể được chứng minh theo sơ đồ sau:

𝐴𝑛 ⟹ ⋯ ⟹ 𝐴3 ⟹ 𝐴2 ⟹ 𝐴1 ⟹ 𝐴0

Khi đó, nếu mệnh đề An là đúng thì mệnh đề A được chứng minh.

Các bước chuyển từ 𝐴𝑖 đến 𝐴𝑖+1 có thể được diễn tả bằng Sơ đồ Hình 5.54.

𝑨𝒊 (Kết luận) ? 𝑨𝒊+𝟏 (Dữ liệu )

Cơ sở/ Căn cứ: Nếu 𝑨𝒊 thì 𝑨𝒊+𝟏

Hình 5.54. Tiến trình phân tích lùi với GeoGebra

Quá trình giải toán của Polya là tổng quát chung. Trong thực hành giải toán, người

giải toán có nhiều kĩ thuật khác nhau với các phương pháp khác nhau. Căn cứ vào việc

người học có thể biết trước kết quả của vấn đề khi sử dụng GeoGebra, mô hình giải toán

bằng phân tích lùi với sự hỗ trợ của GeoGebra – BAbSPWG (Backwards Analysis –

based Solving Problem With GeoGebra) được đề xuất để giúp GV và HS sử dụng hiệu

quả quy trình của Polya trong trường hợp hỗ trợ của phần mềm GeoGebra và có thể

giảm đi những hạn chế của HS được đề cập ở trên. Các bước chính của mô hình này như

195

Tiến trình Sự hỗ trợ của GeoGebra

Sử dụng GeoGebra để dựng hình tương ứng với thông tin đã cho Bước 1

của bài toán; Xác định yêu cầu của bài toán; Định lượng các đối tượng Tìm hiểu

cần quan tâm như đo độ dài, đo góc, liên hệ giữa các đối tượng, … đề

Bước 2 Dự đoán:

(i) Quan sát để tìm các mối liên hệ giữa các đối tượng hình học với Tìm tòi lời

dữ liệu thu thập được; giải

(ii) Hình thành giả thuyết

Kiểm tra:

Kiểm tra giả thuyết bằng cách thay đổi vị trí của các thành tố trong

hình vẽ. Nếu giả thuyết vẫn luôn luôn đúng thì chuyển sang (iii). Ngược

lại, trở lại tiếp tục thực hiện bước (i) và (ii);

Tìm tòi các chiến lược giải bằng cách phân tích lùi:

(iii) Từ giả thuyết, sử dụng chiến lược phân tích lùi (xem Sơ đồ Hình

5.54) để tìm kiếm vấn đề cần chứng minh. Suy nghĩ xem có những

lời giải nào có thể sử dụng?

Trình bày lời giải bằng cách chọn một trong các chiến lược giải đã Bước 3

tìm được ở bước 2 và trình bày lời giải. Trình bày

lời giải

Kiểm tra kết quả và toàn bộ quá trình giải toán; Lời giải đã được lựa Bước 4

chọn có phải là hay nhất không? Suy nghĩ xem có thể sử dụng kết quả Nhìn lại

hay phương pháp giải cho một bài toán khác hay không? Từ những kết bài toán và

quả đã thu được, tìm cách đề xuất những bài toán khái quát hoặc mở lời giải

rộng bài toán.

Trong quá trình giải toán, chủ thể là HS, công cụ vẫn là GeoGebra, đối tượng là

bài toán cần giải quyết. Vai trò của GV chủ yếu hỗ trợ về mặt kĩ thuật GeoGebra và có

gợi ý hướng dẫn để tìm các chiến lược giải.

Sau đây là hai ví dụ minh họa về việc sử dụng GeoGebra trong việc giải quyết một

quá trình dựa trên vấn đề Polya theo mô hình ở mục 5.4.3.

196

5.4.3.1. Ví dụ minh họa thứ nhất (bài toán tìm mối quan hệ giữa hai đối tượng)

Bài toán xác định mối quan hệ giữa hai đối tượng: Cho tam giác

𝐴𝐵𝐶. Dựng về phía ngoài của tam giác đó hình vuông 𝐴𝐵𝐸𝐹 và 𝐴𝐶𝐼𝐾. Gọi

𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶.

• Xác định mối quan hệ giữa 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾;

• So sánh độ dài của 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾.

Quá trình tìm tòi lời giải bài toán tìm mối quan hệ giữa giữa 𝐴𝑀 với 𝐹𝐾 được dự

kiến như sau:

Bước 1: Tìm hiểu đề

Dựa vào dữ kiện của bài toán, sử dụng GeoGebra vẽ hình tương ứng. Điểm cần

lưu ý ở đây là điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶 có thể được người sử dụng di chuyển bằng cách ấn kéo.

Do đó, nó cho phép người học xem xét vấn đề ở nhiều khía cạnh khác nhau, tùy thuộc

vào hình dạng của tam giác 𝐴𝐵𝐶, điều này rất quan trọng để tìm ra bất biến - các yếu tố

giúp người học tìm chiến lược để giải quyết vấn đề (Hình 5.55).

Hình 5.55. Hình vẽ tương ứng của bài toán 1

Bước 2. Tìm tòi chiến lược giải

 Dự đoán

- Kéo dài đoạn thẳng 𝐴𝑀 bằng cách dựng đường thẳng đi qua 𝐴 và 𝑀. Sử dụng

công cụ để đo góc tạo bởi 𝐴𝑀 với 𝐹𝐾, chúng ta nhận được kết quả là 𝐴𝑀 ⊥ 𝐹𝐾 (1)

- Tính độ dài của hai đoạn thẳng 𝐴𝑀 và 𝐹𝐾, từ kết quả được hiển thị bởi GeoGebra,

𝐹𝐾 (2) (xem Hình 5.56). chúng tôi thấy rằng 𝐴𝑀 = 1 2

197

Hình 5.56. Hình biểu diễn bài toán 1 ở bước lập kế hoạch

Từ (1) và (2), chúng ta có một phỏng đoán ban đầu: 𝐴𝑀 vuông góc với 𝐹𝐾 và

𝐹𝐾 (3) 𝐴𝑀 = 1 2

 Kiểm tra

Để có được phỏng đoán chính xác, người học cần sử dụng GeoGebra bằng cách ấn

và kéo một trong ba đỉnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶 để nghiên cứu (3) có đúng trong các trường

hợp khác nhau hay không. Kết quả cho thấy (3) là đúng với mọi trường hợp khi thay đổi

hình dạng của tam giác 𝐴𝐵𝐶 (Xem Hình 5.57). Do đó, (3) là phỏng đoán chính thức cần

được chứng minh là đúng với các lập luận logic.

Hình 5.57. Hình biểu diễn bài toán 1 (trường hợp 𝑩𝑨𝑪̂ > 𝟗𝟎𝒐)

 Tìm chiến lược giải quyết bài toán

• Chiến lược 1: Phỏng đoán (3) dẫn đến một ý tưởng xây dựng một tam giác

trong đó 𝐴𝑀 là một đường trung bình.

- Từ 𝐶, đường thẳng song song với 𝐴𝑀 và nó cắt 𝐴𝑀 nối dài tại 𝐷.

- Dễ dàng chứng minh rằng hai tam giác 𝐶𝐴𝐷 và 𝐴𝐾𝐹 là bằng nhau. Từ kết

198

quả này, chúng ta có 𝐶𝐷 = 𝐹𝐾 (= 2𝐴𝑀); và bằng cách so sánh các góc,

chúng ta không khó để chứng minh rằng 𝐶𝐷 vuông góc với 𝐹𝐾 (xem Hình

5.58).

Hình 5.58. Hình mô phỏng cho chiến lược 1

• Chiến lược 2: Những phát hiện của Chiến lược 1 ẩn chứa ý tưởng ứng dụng

phép biến hình, ở đây cụ thể là phép quay tâm 𝐴 với góc 90𝑜.

- Áp dụng phép quay góc 90𝑜 (theo chiều kim đồng hồ) tâm 𝐴. Khi đó, 𝐷𝐶

là ảnh của 𝐹𝐾.

- Vì thế, chúng ta có 𝐹𝐾 ⊥ 𝐷𝐶 và 𝐹𝐾 = 𝐷𝐶 2𝐴𝑀 (𝐴𝑀 là đường trung

tuyến của 𝐵𝐶𝐷). (xem Hình 5.59)

Hình 5.59. Hình mô phỏng cho chiến lược 2

• Chiến lược 3: Phỏng đoán (3) và chiến lược 2 ẩn chứa một cách tiếp cận khác,

như như sau (Hình 5.60).

- Áp dụng phép quay 90𝑜 (theo chiều kim đồng hồ) tâm 𝐴. Khi đó, tam giác

𝐴𝐶1𝐹 là ảnh của tam giác 𝐴𝐶𝐵 và 𝐴𝑀1 là ảnh của AM.

199

𝐹𝐾. Do đó, - Vì thế, 𝐴𝑀1 ⊥ 𝐴𝑀 và 𝐴𝑀1 = 𝐴𝑀; 𝐴𝑀1 ∥ 𝐹𝐾 và 𝐴𝑀1 = 1

𝐴𝑀 ⊥ 𝐹𝐾 và 𝐴𝑀 = 𝐹𝐾.

Hình 5.60. Hình mô phỏng cho chiến lược 3

Bước 3. Trình bày lời giải

Lời giải (chiến lược 2): Gọi điểm 𝐷 là ảnh của điểm 𝐵 qua phép quay tâm 𝐴. Khi

đó, 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝐹 và 𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐹.

Phép quay tâm 𝐴, góc quay 90𝑜 biến đoạn thẳng 𝐶𝐷 thành đoạn thẳng 𝐹𝐾.

Vì thế, 𝐷𝐶 = 𝐹𝐾 và 𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐹. Do 𝐴𝑀 là đường trung tuyến của tam giác 𝐵𝐶𝐷

𝐶𝐷. nên 𝐴𝑀 ∥ 𝐶𝐷 và 𝐴𝑀 = 1 2

𝐹𝐾 Vì vậy, điều này suy ra rằng, 𝐴𝑀 ⊥ 𝐹𝐾 và 𝐴𝑀 = 1 2

Bước 4: Phát triển bài toán

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Dựng hình vuông 𝐴𝐵𝐸𝐹 và 𝐴𝐶𝐼𝐾 về bên ngoài tam giác. Gọi

(𝑙) là đường thẳng qua 𝐴 và vuông góc với 𝐹𝐾. So sánh khoảng cách giữa 𝐵 với (𝑙); và

giữa điểm 𝐴 với 𝐹𝐾.

5.4.3.2. Ví dụ minh họa thứ hai (bài toán xác định vị trí của một điểm thỏa mãn điều

kiện cho trước)

Bài toán diện tích bằng nhau: “Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho tứ

giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 với 𝐴(1; 3), 𝐵(3; 4), 𝐶(4; 0) và 𝑂(0; 0). Xác định tọa độ điểm 𝑀 thuộc trục

𝑂𝑥 có hoành độ dương sao cho tam giác 𝐴𝑀𝑂 và tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 có diện tích bằng

nhau.”. Tiến trình tìm chiến lược giải bài toán này được dự kiến như sau:

Bước 1: Tìm hiểu bài toán

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦, biểu diễn tương ứng trong GeoGebra tọa

200

độ điểm 𝐴(1; 3), 𝐵(3; 4) và 𝐶(4; 0). M là điểm thuộc trục 𝑂𝑥 và nó có thể được di

chuyển bằng cách ấn và kéo. Gọi 𝑆1 là diện tích của tứ giác 𝑂𝐴𝐵𝐶, 𝑆2 là diện tích của

tam giác 𝑂𝐴𝑀. Giá trị 𝑆1 và 𝑆2 được hiển thị trên màn hình và giá trị 𝑆2 thay đổi khi

điểm 𝑀 di chuyển (Hình 5.61)

Hình 5.61. Hình mô phỏng cho chiến lược 4

Bước 2: Tìm tòi chiến lược giải

Dự đoán và kiểm tra: Thực nghiệm với GeoGebra bằng cách ấn và kéo điểm 𝑀.

Ấn và kéo điểm 𝑀 di chuyển trên 𝑂𝑥 để tìm vị trí chính xác của điểm 𝑀 sao cho

𝑆2 = 𝑆1. Sau khi thực nghiệm, người học có thể phát hiện ra điểm 𝑀(7; 0) là điểm thỏa

mãn điều kiện của bài toán.

Quan sát dữ liệu để xác định các mối quan hệ: Quan sát hình 11, chúng ta thấy

𝑆1 = 𝑆2 khi và chỉ khi diện tích tam giác 𝐵𝐴𝐶 bằng diện tích của tam giác 𝑀𝐴𝐶. Hai

tam giác này có các cạnh 𝐴𝐶 chung; do đó, độ dài đường cao 𝐵𝐻 và 𝑀𝐾 của hai tam

giác này bằng nhau; Từ đó, suy ra rằng tứ giác 𝐵𝐻𝐾𝑀 là một hình chữ nhật và

𝐵𝑀 ∥ 𝐴𝐶. Ngoài ra, 𝑆1 = 𝑆2 trong trường hợp 𝑀(7,0). (Hình 5.62)

Hình 5.62. Hình mô phỏng xác định mối quan hệ

201

Xây dựng các phỏng đoán (đưa ra dự đoán): Từ những phát hiện thu được từ Bước

3, HS có thể hình thành hai phỏng đoán như sau:

Phỏng đoán thứ 1: Nếu 𝑀 có tọa độ 𝑀(7; 0) thì 𝑆1 = 𝑆2.

Phỏng đoán thứ hai: Nếu 𝐵𝑀 song song với 𝐴𝐶 thì 𝑆1 = 𝑆2.

Các chiến lược giải:

Chiến lược 1: Trên tia 𝑂𝑥 lấy điểm 𝑀(7; 0). Người học cần chứng minh rằng

khoảng cách từ điểm 𝑀 đến đường thẳng 𝐴𝐶 là bằng với khoảng cách từ

điểm 𝐵 đến đường thẳng 𝐴𝐶. Và người học cần chứng minh rằng 𝑀(7; 0)

là duy nhất.

Chiến lược 2: Trên tia 𝑂𝑥 lấy điểm 𝑀(7; 0). Người học cần chứng minh rằng

𝐵𝑀 ∥ 𝐴𝐶 và nếu điểm 𝑁(𝑡; 0) với 𝑡 ≠ 7 thì BN không song song với 𝐴𝐶.

Chiến lược 3: Gọi 𝑀(𝑚; 0). Xác định giá trị của 𝑚 để 𝑀𝐵 ∥ 𝐴𝐶

Chiến lược 4: Gọi 𝑀(𝑚; 0). Xác định giá trị của 𝑚 để vectơ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ và vectơ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗

cùng chiều.

Chiến lược 5: Gọi 𝑀(𝑚; 0) thuộc tia 𝑂𝑥. Xác định 𝑚 để khoảng cách từ điểm 𝑀

đến đường thẳng 𝐴𝐶 bằng với khoảng cách từ điểm 𝐵 đến đường thẳng 𝐴𝐶.

Chiến lược 6: Người học dựng đường thẳng (𝑑) sao cho (𝑑) đi qua điểm 𝐵 và

song song với 𝐴𝐶. Điểm 𝑀 là giao điểm của (𝑑) và trục 𝑂𝑥.

Bước 3: Trình bày lời giải

Sử dụng chiến lược 4 để trình bày giải pháp

Bước 4: Nhìn lại bài toán và lời giải (Phát triển bài toán)

Cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷. Xác định một điểm 𝑀 trên đường thẳng 𝐴𝐷 sao cho tam giác

𝐴𝐵𝑀 và tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cùng diện tích.

5.5 Trường hợp dạy học giải bài toán xác định vị trí của một điểm thỏa mãn điều

kiện cho trước với GeoGebra theo mô hình BAbSPWG

Bài toán diện tích bằng nhau: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho tứ

giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 với 𝐴(1; 3), 𝐵(3; 4), 𝐶(4; 0) và 𝑂(0; 0). Xác định tọa độ điểm 𝑀 thuộc trục

𝑂𝑥 có hoành độ dương sao cho tam giác 𝐴𝑀𝑂 và tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 có diện tích bằng

nhau.”

202

5.5.1. Kết quả thực nghiệm trong môi trường giấy, bút

Sau khi HS các nhóm biểu diễn tương ứng trong hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦 tọa độ điểm

𝐴(1; 3), 𝐵(3; 4) và 𝐶(4; 0). Gọi 𝑀(𝑚; 0) là điểm thuộc trục 𝑂𝑥. Nhiệm vụ các nhóm

đặt ra là tìm giá trị của 𝑚 sao cho diện tích tam giác 𝑂𝐴𝑀 bằng với diện tích tứ giác

𝑂𝐴𝐵𝐶.

Hình 5.63. Minh họa hình vẽ trong môi trường giấy bút

Có 3 chiến lược được tìm thấy trong bài làm của HS:

• Chiến lược 1 (Nhóm N2, N3, N5, N6 và N7): Sử dụng độ dài đoạn thẳng 𝑂𝑀. Hình

5.64 minh họa lời giải của chiến lược 1.

Hình 5.64. Trình bày lời giải chiến lược 1

• Chiến lược 2 (Nhóm N1, N4 và N8): Sử dụng độ dài đoạn thẳng 𝑂𝐴. minh họa lời

giải của chiến lược 2.

Hình 5.65. Trình bày lời giải chiến lược 2

203

• Chiến lược 3 (Nhóm 10): Sử dụng tích phân tính diện tích hình phẳng. Hình 5.66

minh họa lời giải của chiến lược 3.

Hình 5.66: Trình bày lời giải chiến lược 3

5.5.2. Kết quả thực nghiệm trong môi trường GeoGebra

Bước 1: Tìm hiểu bài toán

GeoGebra được cài đặt ở chế độ cơ bản bao gồm cửa sổ đại số, cửa sổ hình học và

hiển thị lưới tọa độ. Nhiệm vụ HS:

- Sử dụng công cụ “điểm mới “ ấn chọn vị trí các điểm 𝐴(1; 3), 𝐵(3; 4) và 𝐶(4; 0).

- Sử dụng công cụ “điểm thuộc đối tượng” ấn chọn điểm 𝑀 là điểm thuộc trục 𝑂𝑥

và nó có thể được di chuyển bằng cách ấn và kéo.

- Dựng và hiển thị diện tích 𝑆𝑂𝐴𝐵𝐶 của tứ giác 𝑂𝐴𝐵𝐶; Dựng và hiển thị diện tích

𝑆𝑂𝐴𝑀 tam giác 𝑂𝐴𝑀; giá trị 𝑆𝑂𝐴𝑀 thay đổi khi điểm 𝑀 di chuyển (xem Hình 5.67)

Hình 5.67. 𝑴 ở vị trí có tọa độ (𝟕; 𝟎)

Bước 2: Tìm tòi chiến lược giải

Dự đoán và kiểm tra:

Thực nghiệm với GeoGebra bằng cách ấn và kéo điểm 𝑀.

204

Nhiệm vụ của HS:

 Ấn và kéo điểm 𝑀 di chuyển trên 𝑂𝑥.

 Điểm 𝑀 thỏa mãn điều kiện nào để 𝑆𝑂𝐴𝑀 = 𝑆𝑂𝐴𝐵𝐶 ?

Sau khi thực nghiệm, tất cả nhóm HS phát hiện ra khi điểm 𝑀(7; 0) thì

𝑆𝑂𝐴𝑀 = 𝑆𝑂𝐴𝐵𝐶 (xem Hình 5.67)

Quan sát dữ liệu để xác định các mối quan hệ

Nhiệm vụ của HS: Quan sát hình vẽ và số liệu phản hồi từ GeoGebra. Chỉ ra các

mối quan hệ giữa điểm 𝑀 với các đối tượng trong hình vẽ?

Hình 5.68. Phát hiện BHKM là hình chữ nhật

Từ kết quả quan sát hình 6.62, các nhóm phát hiện: Tại điểm 𝑀(7; 0), các nhóm

(N1, N2, N5, N6 và N9) nhận thấy 𝑆𝑂𝐴𝑀 = 𝑆𝑂𝐴𝐵𝐶 khi và chỉ khi diện tích tam giác 𝑀𝐴𝐶

bằng với diện tích tam giác 𝐴𝐵𝐶. Hơn nữa, các nhóm phát hiện rằng hai tam giác này

có cạnh chung 𝐴𝐶. Từ đó suy ra, độ dài đường cao 𝐵𝐻 và 𝑀𝐾 của hai tam giác này bằng

nhau và tứ giác 𝐵𝐻𝐾𝑀 là một hình chữ nhật. Khi đó, 𝐵𝑀 song song với 𝐴𝐶 (xem Hình

5.68)

Xây dựng các phỏng đoán (đưa ra dự đoán):

Từ những phát hiện thu được từ Bước 3, HS hình thành hai phỏng đoán như sau:

Phỏng đoán 1 (tất cả các nhóm): Nếu 𝑀 có tọa độ 𝑀(7; 0) thì 𝑆𝑂𝐴𝑀 = 𝑆𝑂𝐴𝐵𝐶;

Phỏng đoán 2 (N1, N2, N5, N6 và N9): Nếu 𝐵𝑀 song song với 𝐴𝐶 thì 𝑆𝑂𝐴𝑀 = 𝑆𝑂𝐴𝐵𝐶 .

Xây dựng các chiến lược giải:

Sau khi GV hợp thức các phỏng đoán của các nhóm, HS các nhóm thực hiện tìm

tòi các chiến lược giải có thể (xem Bảng 5.25: Thống kê các chiến lược giải trong

GeoGebra)

205

Bảng 5.25: Thống kê các chiến lược giải trong GeoGebra

Tổng Các nhóm N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10

   

                      3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 0 0 6 0 10 10

Chiến lược CL1 CL2 CL3 CL4 CL5 CL6 Tổng Bước 3: Trình bày lời giải

Các nhóm N2, N3, N6, N7, N9 và N10 chọn chiến lược CL2 để thực hiện trình

bày lời giải trong khi các nhóm N1, N2, N4, N5 và N8 sử dụng chiến lược CL6 để thực

hiện kế hoạch giải.

Hình 5.69. Tiến trình lập luận tìm tòi chứng minh của nhóm N5

Hình 5.70. Trình bày lời giải của nhóm N5 (tìm tọa độ điểm M)

Hình minh họa lời giải của nhóm N5 (Hình 5.69 và Hình 5.70), cho thấy, HS lập

206

luận rằng khi điểm 𝑀 ở vị trí sao cho 𝐵𝑀 song song với 𝐴𝐶 thì diện tích tam giác 𝐴𝐶𝑀

và diện tích tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝑂 là bằng nhau. Từ đó, HS tiến hành thiết lập phương trình

đường thẳng 𝐴𝐶, phương trình đường thẳng 𝐵𝑀 đi qua 𝐵 và song song với 𝐴𝐶. Cuối

cùng, HS xác định tọa độ điểm 𝑀 bằng cách lấy tọa độ giao điểm của đường thẳng 𝐵𝑀

và trục 𝑂𝑥. Tiến trình phân tích lùi của HS được mô tả ở Table 5.26 như sau:

Table 5.26. Quá trình phân tích lùi tìm chiến lược giải của HS

Phân tích lùi (từ phải sang trái) B3  B2  B1 

? 𝑑(𝑀; 𝐴𝐶) = 𝑑(𝐵; 𝐴𝐶) 𝑆𝐴𝑂𝑀 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝑂 𝑆𝐴𝐶𝑀 = 𝑆𝐴𝐶𝐵 Kết luận ? 𝐵𝑀 ∥ 𝐴𝐶 ? 𝑴(𝟕; 𝟎)

P1 

Kết luận 𝐵𝑀 ∥ 𝐴𝐶; 𝑀(7; 0) 𝑑(𝑀; 𝐴𝐶) = 𝑑(𝐵; 𝐴𝐶) Trình bày lời giải (chứng minh) P3  𝑆𝐴𝑂𝑀 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝑂 P2  𝑆𝐴𝐶𝑀 = 𝑆𝐴𝐶𝐵

Bước 4: Nhìn lại bài toán và lời giải (phát triển bài toán)

Cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷. Trong nửa mặt phẳng bờ 𝐴𝐵 chứa điểm 𝐷, xác định một điểm

𝑀 trên đường thẳng 𝐴𝐷 sao cho tam giác 𝐴𝐵𝑀 và tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cùng diện tích.

5.6 Kết luận chương 5

Với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra, GV có thể tăng cường các hoạt động tư

duy của HS trong quá trình giải quyết vấn đề. HS có nhiều cơ hội để tiếp cận các phương

pháp khoa học: thu thập dữ liệu bằng cách thử nghiệm (với GeoGebra), phân tích dữ

liệu, làm phỏng đoán, xác minh sự phỏng đoán, khái quát và mở rộng vấn đề. Kết quả

là, trong quá trình giảng dạy như vậy, HS được học không chỉ toán học mà còn phương

pháp để khám phá toán học.

207

KẾT LUẬN

Với mục tiêu nghiên cứu ứng dụng ứng dụng phần mềm toán học động GeoGebra

vào giáo dục Toán học, đề tài nghiên cứu “Dạy học khám phá Hình học 10 với sự hỗ trợ

của phần mềm động GeoGebra” đã được thực hiện và thu được một số kết quả như sau:

(1) Lược khảo được các nghiên cứu liên quan đến dạy học khám phá và ứng dụng phần

mềm hình học động, phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy học.

(2) Cho thấy rằng lí thuyết hoạt động của Vygostky là cơ sở và là khung tham chiếu phù

hợp để phân tích hoạt động dạy học trong môi trường GeoGebra.

(3) Cho thấy rằng ứng dụng phần mềm GeoGebra làm công cụ hỗ trợ dạy học là khả thi.

Bởi vì, hiện nay số lượng GV, HS sử dụng GeoGebra là hạn chế; GeoGebra là

miễn phí, thân thiện người dùng, dễ sử dụng và hỗ trợ dạy học hiệu quả (Kết quả

trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 1 ở mục 3. Mục tiêu nghiên cứu).

(4) Đối với dạy học tri thức phương trình đường tròn (Kết quả trả lời cho Câu hỏi nghiên

cứu 2 và 3 ở mục 3. Mục tiêu nghiên cứu): Luận án đã

• chỉ ra những hạn chế của HS khi giải quyết nhiệm vụ tìm điều kiện của

tham số 𝑚 để phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑔(𝑚) là phương

trình của một đường tròn.

• chỉ ra ảnh hưởng tích cực của GeoGebra đến chiến lược và lời giải giải

toán, sự hình thành tri thức mới của HS.

• phát hiện ra (khảo sát) các quan niệm của GV về một trường hợp lời giải

bài toán của HS được sự hỗ trợ của GeoGebra (lời giải được thực hiện

trong môi trường GeoGebra)

• đề xuất và thử nghiệm thành công mô hình dạy học khám phá Phương

trình đường tròn theo con đường quy nạp với sự hỗ trợ của GeoGebra.

• đề xuất Rubric đánh giá năng lực khám phá tri thức phương trình đường

tròn.

208

(5) Đối với dạy học tri thức elip (Kết quả trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2 và 3 ở mục

3. Mục tiêu nghiên cứu): Luận án đã

• chỉ ra những hạn chế của trong việc nhận biết mối liên hệ hình học giữa

các hệ số a, b và c trong phương trình chính tắc của elip.

• đề xuất và thử nghiệm thành công mô hình dạy học khám phá Phương

trình chính tắc của elip theo con đường quy nạp với sự hỗ trợ của

GeoGebra.

(6) Đối với dạy học giải quyết vấn đề toán học: Luận án đã

• cụ thể hóa và tiếp tục khẳng định mô hình SPWG - giải toán với sự hỗ

trợ của phần mềm GeoGebra là khả dụng.

• cải tiến, đề xuất mô hình giải toán theo quan điểm thực nghiệm với sự hỗ

trợ của GeoGebra và thực nghiệm thành công mô hình này qua các thực

nghiệm trên đối tượng HS THPT.

• cải tiến, bổ sung lược đồ 4 bước giải toán của G. Polya thích ứng với sự

hỗ trợ của GeoGebra thành mô hình giải toán bằng phân tích lùi với sự

hỗ trợ của phần mềm GeoGebra và thực nghiệm thành công mô hình đã

cải tiến qua 2 bài toán thực nghiệm.

• phát triển mô hình giải bài toán tập hợp điểm với sự hỗ trợ của phần mềm

GeoGebra và thực nghiệm thành công mô hình đã cải tiến qua 1 bài toán

thực nghiệm.

Như vậy, có thể nói rằng việc ứng dụng GeoGebra một cách hợp lí sẽ mang lại

những tác động tích cực cho quá trình dạy học, góp phần vào việc đổi mới phương pháp

giảng dạy của GV, làm cho việc học của HS trở nên tích cực và chủ động hơn.

Bên cạnh đó, các công trình nghiên cứu liên quan đến luận án được công bố trên

các tạp chí gồm có 16 công trình (trong đó có 01 bài báo – Scopus index).

Từ các kết quả thu được của luận án, chúng tôi có thể kết luận rằng nhiệm vụ của

luận án đã được hoàn thành.

209

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

A. Tạp chí khoa học trong nước

1. Lê Viết Minh Triết. (2013). Dạy học định lí có khâu nêu giả thuyết: Một thử

nghiệm trong hình học 11 với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra. Tạp chí khoa

học, trường Đại học Cần Thơ. Số 27 (2013), tr. 9-16. ISSN 1859 – 2333.

2. Trần Trung, Lê Viết Minh Triết. (2013). Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy

học khám phá khái niệm với các mô hình quy nạp. Tạp chí giáo dục. Số đặc biệt

(2013)., tr. 99, 100, 133. ISSN 2354 - 0753

3. Lê Viết Minh Triết, Nguyễn Phú Lộc. (2014). SPWG: Một mô hình giải Toán với

phần mềm GeoGebra. Tạp chí giáo dục. Số 353 (2015), tr.45-47. ISSN 2354–0753.

4. Lê Viết Minh Triết. (2015). Ứng dụng GeoGebra vào dạy học Toán ở trường phổ

thông. Tạp chí giáo dục và xã hội. Số 55 (116), tr.66-68. ISSN 1859–3917.

5. Lê Viết Minh Triết. (2016). Khám phá quỹ tích hình học: một nghiên cứu so sánh

trong môi trường động và tĩnh. Tạp chí Giáo dục và xã hội. Số 62 (123) 5/2016, tr.

71-73. ISSN 1859 – 3917.

6. Lê Viết Minh Triết. (2016). Sử dụng GeoGebra theo cách tiếp cận lí thuyết tình

huống. Tạp chí giáo dục. Số 425, 3/2018, tr.44-46. ISSN 2354 – 0753.

B. Tạp chí khoa học quốc tế (Scopus Q4 Index)

7. Le Viet Minh Triet, Nguyen Phu Loc. (2020). The Students' Limitations in Solving

a Problem with the Aid of GeoGebra Software: A Case Study. Universal Journal

of Educational Research, 8(9), 3842 - 3850. DOI: 10.13189/ujer.2020.080907.

C. Tạp chí khoa học quốc tế

8. Loc, N. P., & Triet, L. V. M. (2014). Dynamic software “GeoGebra” for teaching

mathematics: Experiences from a training course in Can Tho University. European

Academıc Research. ISSN: 2286 – 4822. Vol. II, Issue 6 (2014), p.7908-7920.

Available at: http://euacademic.org/UploadArticle/923.pdf

9. Loc, N. P., & Triet, L. V. M. (2014). Guiding Students to Solve Problem with

Dynamic Software “GeoGebra”: A Case of Heron’s Problem of the Light Ray.

European Academic Research. Vol.II, Issue 7/October 2014, p. 9498–9508.

ISSN:2286 – 4822.

210

Available at: http://euacademic.org/UploadArticle/1024.pdf

10. Le Viet Minh Triet. (2016). Model of Discovery Learning with the Help of

GeoGebra. European Academıc Research. ISSN: 2286 – 4822. Vol. IV, Issue 9/

December 2016, p.7571-7578.

Available at: http://euacademic.org/UploadArticle/2912.pdf

11. Nguyen Phu Loc, Le Thai Bao Thien Trung, Le Viet Minh Triet. (2017).

Limitations of secondary school students in solving a type of task relating to the

equation of a circle: An investigation in Viet Nam. European Journal of Education

Studies. ISSN: 2501–1111. Special Issue (2017).

Doi:http://dx.doi.org/10.46827/ejes.v0i0.572

12. Loc, N., Triet, L., & That, N. (2020). Status of using IT in teaching: Opinions of

mathematics teachers of Hau Giang province, Viet Nam. European Journal of

Education Studies. ISSN: 2501 – 1111. Vol 7, Issue 1 (2020).

doi:http://dx.doi.org/10.46827/ejes.v0i0.2894.

13. Triet, Le Viet Minh et al. (2020). Vietnamese Students' Perceptions toward the Use

of GeoGebra in the Learning of Mathematics. IRA International Journal of

Education and Multidisciplinary Studies (ISSN 2455-2526), 16(3), 181-188. DOI:

http://dx.doi.org/10.21013/jems.v16.n3.p7.

D. Hội thảo khoa học trong nước

14. Lê Viết Minh Triết. (2016). Một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế: trường hợp

phương trình đường tròn. Trang 372 – 383. Trong Kỷ yếu Hội thảo khoa học cho

học viên cao học và nghiên cứu sinh năm học 2016 - 2017. Trường Đại học Sư

phạm thành phố Hồ Chí Minh.

E. Hội thảo khoa học quốc tế

15. Lê Viết Minh Triết, Nguyễn Phú Lộc. (2017). Giải bài toán Heron về tia sáng với

sự hỗ trợ của phần mềm động GeoGebra: Các kết quả từ thực nghiệm sư phạm.

Trang 225-234. Trong Kỷ yếu Hội thảo quốc tế về Didactic Toán (CIDMath6) –

CD. Nxb Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. ISBN 978-604-947-988-5.

211

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Albrechtsen, Hanne, Sønderstrup-Andersen, Hans H. K., Bødker, Susanne, & Pejtersen,

Annelise. (2001). Affordances in Activity Theoy and Cognitive Systems

Engineering.

Cole, Michael, & Engeström, Yrjö. (1993). A cultural-historical approach to distributed

cognition. Distributed cognitions: Psychological and educational

considerations, 1-46.

Kuutti, Kari. (1996). Activity theory as a potential framework for human-computer

interaction research. In Context and consciousness: activity theory and human-

computer interaction (pp. 17–44): Massachusetts Institute of Technology.

Nussbaumer, Doris. (2012). An overview of cultural historical activity theory (CHAT)

use in classroom research 2000 to 2009. Educational Review, 64(1), 37-55.

doi:10.1080/00131911.2011.553947

Vygotsky, Lev S. (1986). Thought and language: MIT press.

Vygotsky, Lev S. (2012). Thought and language: MIT press.

Ban Chấp hành Trung ương khóa XI. (2013). Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa

XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Nghị Quyết số 29-NQ/TW

ngày 4-11-2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu

cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng

xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế

Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2001). Chỉ thị về việc tăng cường giảng dạy, đào tạo và ứng

dụng công nghệ thông tin trong ngành giáo dục giai đoạn 2001 -2005: số

29/2001/CT-BGD&ĐT ngày 30 tháng 7.

Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2006). Chương trình giáo dục phổ thông cấp trung học phổ

thông. Nxb Giáo dục. Hà Nội

Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2018a). Chương trình giáo dục phổ thông: Chương trình tổng

thể. Tải về từ

212

https://data.moet.gov.vn/index.php/s/LETzPhj5sGGnDii#pdfviewer ngày

27/12/2018

Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2018b). Chương trình giáo dục phổ thông: Môn Toán. Tải về

từ https://data.moet.gov.vn/index.php/s/m6ztfi7sUIIGQdY#pdfviewer ngày

27/12/2018.

Bùi Minh Đức. (2017). Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy học giải bài tập hình

học không gian bằng thủ pháp "trải hình". Tạp chí giáo dục, Số đặc biệt tháng 3,

122-125.

Bùi Văn Nghị. (2011). Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ

thông: Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội.

Đào Tam. (2007). Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông: Nxb

Đại học Sư phạm, Hà Nội.

Đào Thái Lai. (2006). Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học ở trường phổ thông

Việt Nam. Đề tài trọng điểm cấp Bộ. Mã số B2003-49-42-TĐ. Retrieved from

Viện Chiến lược và Chương trình giáo dục, Hà Nội:

Hoa Ánh Tường. (2013). Khai thác "hình ảnh động" trên phần mềm Geometer's

Sketchpad để hỗ trợ học sinh học hình học. Paper presented at the Một số thành

tựu mới trong nghiên cứu Didactic Toán, Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ

Chí Minh.

Hoàng Phê. (2003). Từ điển Tiếng Việt: Nxb Đà Nẵng.

Hoàng Trọng, & Chu Nguyễn Mộng Ngọc. (2006). Phân tích dữ liệu nghiên cứu với

SPSS. Trường Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh: Nxb Hồng Đức.

Lê Thái Bảo Thiên Trung. (2011). Vấn đề ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học

toán và các lợi ích của máy tính cầm tay. Tạp chí khoa học trường ĐHSP TP. Hồ

Chí Minh, 30, 51-58.

Lê Thanh Phong. (2014). Dạy học một số yếu tố Giải tích lớp 11 với sự hỗ trợ của phần

mềm GeoGebra. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, Số 30 (2014), 60-

69.

Lê Thị Hoài Châu. (1998). Nghiên cứu lý luận dạy học và khoa học luận về việc dạy học

vectơ trong hai thể chế: lớp mười ở Việt Nam và lớp tương ứng ở Pháp. (Tiến sĩ

213

Tóm tắt luận án tiến sĩ), Joseph Fourier - Grenoble - Pháp, Thư viện quốc gia

Việt Nam.

Lê Thị Hoài Châu. (2008). Phương pháp dạy học Hình học ở trường trung học phổ

thông. TPHCM: Nxb Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. TPHCM.

Lê Thị Hoài Châu. (2018). Thuyết Nhân học trong Didactic Toán. TPHCM: Nxb Đại

học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.

Lê Thị Hoài Châu, & Claude Comiti. (2018). Thuyết nhân học trong Didactic Toán:

Nxb Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh.

Lê Văn Tiến. (2016). Phương pháp dạy học môn Toán: Nxb Đại học Sư phạm TP Hồ

Chí Minh.

Lê Văn Tiến. (2019). Phương pháp dạy học môn Toán: Nxb Đại học Sư phạm TP. Hồ

Chí Minh.

Lê Viết Minh Triết. (2013). Dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết: một thử nghiệm

trong Hình học 11 với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra. Tạp chí Khoa học

Trường Đại học Cần Thơ, 27, 9-16.

Lê Viết Minh Triết, & Nguyễn Phú Lộc. (2014). SPWG: Một mô hình giải Toán với

phần mềm Geogebra. Tạp chí giáo dục, 353(1), 45-47.

Lê Võ Bình. (2007). Dạy học hình học các lớp cuối cấp trung học cơ sở theo hướng tiếp

cận phương pháp khám phá. (Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục), Trường Đại

học Vinh, Trường Đại học Vinh.

Nguyễn Bá Kim, & Vũ Dương Thụy. (2004). Phương pháp dạy học môn Toán: Nxb Đại

học Sư phạm, Hà Nội.

Nguyễn Đăng Minh Phúc. (2013). Tích hợp các mô hình thao tác động với môi trường

dạy học toán điện tử nhằm nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới của học

sinh. (Tiến sĩ Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục), Trường Đại học Vinh.

Nguyễn Minh Hậu, & Huỳnh Thị Lựu. (2018). Minh họa dạy học chủ đề khối đa diện

với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra. Tạp chí khoa học, trường Đại học Sư

phạm thành phố Hồ Chí Minh, 4(15), 51-64.

Nguyễn Phú Lộc. (1997). Tổ chức dạy học khám phá trong môn Giải tích bằng máy

tính. Tạp chí nghiên cứu giáo dục, 10(305).

214

Nguyễn Phú Lộc. (2001). Dạy học khám phá – một biện pháp nâng cao tính tích cực của

học sinh trong dạy học toán. Tạp chí giáo dục, 19(12).

Nguyễn Phú Lộc. (2003a). Qui nạp khoa học và ba mô hình dạy học khái niệm toán.

Tạp chí Giáo dục ISSN 21896-0866-7470, 51, 28-30.

Nguyễn Phú Lộc. (2003b). Qui nạp khoa học và ba mô hình dạy học khái niệm toán học.

Tạp chí giáo dục, 51(2), 28-30.

Nguyễn Phú Lộc. (2003c). Dạy học định lý toán học với giả thuyết khoa học, Tạp chí

Giáo dục. Tạp chí giáo dục, 70(10), 35-36.

Nguyễn Phú Lộc. (2003d). Khai thác quan hệ giữa “cái riêng” và “cái chung” trong dạy

học Toán. Tạp chí giáo dục. ISSN 0866-7470, 70, 35-36.

Nguyễn Phú Lộc. (2006). Nâng cao hiệu quả dạy học môn giải tích trong nhà trường

trung học phổ thông theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận

toán học. (Tiến sĩ Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục), Đại học Vinh, Đại học

Vinh.

Nguyễn Phú Lộc. (2010a). Dạy học khám phá khái niệm Toán học. Tạp chí khoa học

Đại học Cần Thơ, 14, 16-21.

Nguyễn Phú Lộc. (2010b). Dạy học hiệu quả môn giải tích trong trường phổ thông: Nxb

giáo dục, Hà Nội.

Nguyễn Phú Lộc. (2010c). Các mô hình cơ bản dùng vào việc hình thành khái niệm toán

học. Tạp chí khoa học và công nghệ Đại học Thái Nguyên, 64(2), 3-9.

Nguyễn Phú Lộc. (2014). Hoạt động dạy và học môn Toán: Nxb Đại học quốc gia TP

Hồ Chí Minh.

Nguyễn Phú Lộc. (2016). Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trong dạy học

môn Toán: Một chuyên khảo trên cơ sở lý thuyết hoạt động: Nxb Đại học Cần

Thơ.

Nguyễn Thế Thạch, Nguyễn Hải Châu, Quách Tú Chương, Nguyễn Trung Hiếu, Đoàn

Thế Phiệt, Phạm Đức Quang, & Nguyễn Thị Quý Sửu. (2009). Hướng dẫn thực

hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10. Nxb Giáo dục Việt Nam. Hà

Nội.

215

Nguyễn Thị Nga. (2016). Tiềm năng và ưu điểm của phần mềm hình học động Cabri

Geometry trong dạy học Toán: Trường hợp dạy học khái niệm hàm số. Tạp chí

Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội, 6.

Nguyễn Văn Thái Bình, & Bùi Minh Đức. (2013). Sử dụng phiếu học tập trong dạy học

giải bài tập hình học lớp 11 theo bốn bước của Polya. Tạp chí Khoa học Đại học

Sư phạm Hà Nội, 58, 36-40.

Phan Trọng Hải. (2013a). Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy học khám phá định

lý. Tạp chí khoa học Đại học Cần Thơ, 27(C), 61-66.

Phan Trọng Hải. (2013b). Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy học phương pháp

tọa độ trong mặt phẳng.

Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam. (2009). Luật số 44/2009/QH12

của Quốc hội : Luật sửa đổi, bổ sung một số điều của luật giáo dục. Quốc hội

nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam: Nxb Tư pháp

Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam. (2019). Luật 43/2019/QH14. Luật

giáo dục năm 2019. Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Trần Anh Dũng. (2013). Dạy học khái niệm hàm số liên tục ở trường trung học phổ

thông. (Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục), Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí

Minh.

Trần Anh Tuấn. (2014). Bài toán cực trị hình học trong chương trình toán trung học cơ

sở. Tạp chí giáo dục, 2(332), 42-44.

Trần Trung, Đặng Xuân Cương, Nguyễn Văn Hồng, & Nguyễn Danh Nam. (2011). Ứng

dụng công nghệ thông tin vào dạy học môn Toán: Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

Trần Trung, & Lê Viết Minh Triết. (2013). Sử dụng phần mềm Geogebra hỗ trợ dạy học

khám phá khái niệm với các mô hình quy nạp. Tạp chí giáo dục, 133, 99-100.

Trần Trung, Nguyễn Thị Thanh Tâm, & Đặng Thanh Hùng. (2012). Sử dụng phần mềm

GeoGebra làm phương tiện trực quan trong dạy học giải bài tập phép biến hình.

Tạp chí khoa học xã hội, nhân văn và giáo dục, 1(2), 39-45.

Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng, Hy Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, & Phan Văn

Viện. (2007). Hình học 11 (Sách giáo khoa): Nxb giáo dục, Hà Nội.

216

Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khưu Quốc Anh, & Trần Đức Huyên. (2008a). Hình

học 10 (Sách giáo khoa): Nxb giáo dục, Hà Nội.

Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khưu Quốc Anh, & Trần Đức Huyên. (2008b). Hình

học 10 (Sách giáo viên). Hà Nội: Nxb Giáo dục Việt Nam.

Trần Vui. (2020). Tư duy bậc cao trong dạy và đánh giá toán qua các lý thuyết học.

Trường đại học Sư phạm, Đại học Huế: Nxb Đại học Huế.

Trần Vui, & Lê Quang Hùng. (2006). Khám phá hình học 10 với the geometer’s

sketchpad: Nxb giáo dục, Hà Nội.

Trương Thị Khánh Phương. (2016). Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy

nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình khám phá các quy

luật toán. (Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục), Đại học Sư phạm thành phố Hồ

Chí Minh.

Văn Như Cương, Hoàng Ngọc Hưng, Đỗ Mạnh Cường, & Hoàng Trọng Thái. (2012).

Hình học sơ cấp và thực hành giải toán. Hà Nội: Nxb Đại học Sư phạm.

Abboud-Blanchard, Maha, & Cazes, Claire. (2012). How does an Activity Theory

Model Help to Know Better about Teaching with Electronic-Exercise-Bases?

International Journal of Technology in Mathematics Education, 19.

Akkaya, Adnan, Tatar, Enver, & Kağızmanlı, Türkan Berrin. (2011). Using Dynamic

Software in Teaching of the Symmetry in Analytic Geometry: The Case of

GeoGebra. Procedia - Social and Behavioral Sciences, 15, 2540-2544.

doi:https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2011.04.141

Alfieri, Louis, Brooks, Patricia J., Aldrich, Naomi J., & Tenenbaum, Harriet R. (2011).

Does Discovery-Based Instruction Enhance Learning ? Journal of Educational

Psychology, 103(1), 1-18. doi:10.1037/a0021017

Arcavi, Abraham, & Hadas, Nurit. (2000). Computer mediated learning: an example of

an approach. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 5,

25-45. doi:10.1023/A:1009841817245

Arzarello, Ferdinando, Gallino, Gemma, Micheletti, Chiara, Olivero, Federica, Paola,

Domingo, & Robutti, Ornella. (1998). Dragging in Cabri and modalities of

217

transition from conjectures to proofs in geometry. In Proceedings of PME22

(Vol. 2, pp. 32-39). Stellenbosch Univeresity, South Africa.

Arzarello, Ferdinando, Olivero, Federica, Paola, Domingo, & Robutti, Ornella. (2002).

A cognitive analysis of dragging practises in Cabri environments. Zentralblatt

für Didaktik der Mathematik, 34(3), 66-72. doi:10.1007/BF02655708

Arzarello, Ferdinando, Olivero, Federica, Uk, Bristol, & Paola, Domingo. (2002). A

cognitive analysis of dragging practises in Cabri environments. Zentralblatt für

Didaktik der Mathematik, 34(3), 66-72. doi:10.1007/BF02655708

Ausubel, David P. (1961). Learning by Discovery: Rationale and Mystique. The bulletin

of the National Association of Secondary School Principals, 45(269), 18-58.

doi:10.1177/019263656104526904

Bakker, Arthur. (2004). Bakker, A. (2004). Design research in statistics education: On

symbolizing and computer tools. Utrecht, the Netherlands: CD Beta Press.

Balacheff, Nicolas, & Kaput, James J. (1996). Computer-based learning environments

in mathematics. In International handbook of mathematics education (pp. 469-

501): Springer.

Batubara, Ismail. (2019). Improving Student’s Critical Thinking Ability Through

Guided Discovery Learning Methods Assisted by Geogebra. International

Journal for Educational and Vocational Studies, 1. doi:10.29103/ijevs.v1i2.1371

Bibergall, Jo Anne. (1966). Learning by Discovery: Its Relation to Science Teaching. In

(Vol. 18, pp. 222-231).

Bruner, Jerome. (1961). The Act of Discovery. In (Vol. 31, pp. 21-32): Harvard

educational review

Bruner, Jerome S. (1964). The Course of Cognitive Growth. American Psychologist, 19,

1-15. doi:10.1037/h0044160

Castronova, Joyce A. (2000). Discovery Learning for the 21 st Century : What is it and

how does it compare to traditional learning in effectiveness in the 21 st Century

? What is Discovery Learning ? Action research exchange, 1(1), 1-12.

Courant, Richard, Robbins, Herbert, & Stewart, Ian. (1996). What Is Mathematics? An

Elementary Approach to Ideas and Methods (2 ed.): Oxford University Press.

218

Daniel Muijs. (2004). Doing Quantitative Research in Education with SPSS. London:

Sage Publications Ltd.

Dewey, John. (1938). Experience and education: New York: Macmillan.

Dörner, Dietrich, & Funke, Joachim. (2017). Complex Problem Solving: What It Is and

What It Is Not. Frontiers in Psychology, 8, 1153.

Douady, Régine. (1991). Tool, Object, Setting, Window: Elements for Analysing and

Constructing Didactical Situations in Mathematics. In A. J. Bishop, S. Mellin-

Olsen, & J. Van Dormolen (Eds.), Mathematical Knowledge: Its Growth

Through Teaching (pp. 107-130). Dordrecht: Springer Netherlands.

Drijvers, P., & Trouche, L. (2007). From artifacts to instruments - A theoretical

framework behind the orchestra metaphor. In M. K. H. G.W. Blume (Ed.):

Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

Drijvers, Paul, & Trouche, Luc. (2008). From artifacts to instruments: a theoretical

framework behind the orchestra metaphor. In K. Heid & G. Blume (Eds.),

Research on Technology and the Teaching and Learning of Mathematics (pp.

363-392). Charlotte, NC: Information Age.

Engeström, Yrjö. (1987). Learning by expanding. (Doctoral Thesis), Orienta-konsultit,

Hki.

Fahlberg-Stojanovska, Linda, & Stojanovski, V. (2009). GeoGebra - Freedom to

explore and learn. Teaching Mathematics and Its Applications, 28, 69-76.

doi:10.1093/teamat/hrp003

Feurzeig, Wallace, Papert, Seymour, Bloom, Marjorie, Grant, Richard, & Solomon,

Cynthia. (1970). Programming-languages as a conceptual framework for

teaching mathematics. ACM SIGCUE Outlook, 4(2), 13-17.

Freudenthal, Hans. (2002). Revisiting Mathematics Education. China Lectures: Springer

Netherlands.

Friedlander, Alex. (1998). An excellent Bridge To Algebra. Mathematics Teacher,

91(5), 382-383. doi:10.5951/MT.91.5.0382

219

Friedler, Yael, Nachmias, Rafi, & Linn, Marcia C. (1990). Learning scientific reasoning

skills in microcomputer‐based laboratories. Journal of Research in Science

Teaching, 27(2), 173-192. doi:10.1002/tea.3660270208

Gawlick, Thomas. (2002). On Dynamic Geometry Software in the regular classroom.

Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(3), 85-92.

doi:10.1007/BF02655711

Gawlick, Thomas. (2005a). Connecting arguments to actions - dynamic geometry as

means for the attainment of higher van hiele levels. ZDM - International Journal

on Mathematics Education, 37(5), 361-370. doi:10.1007/s11858-005-0024-2

Gawlick, Thomas. (2005b). Connecting Arguments to Actions – Dynamic Geometry as

Means for the Attainment of Higher van Hiele Levels. ZDM - International

Journal on Mathematics Education, 37(5), 361–370 doi:10.1007/s11858-005-

0024-2

Gillis, John M. (2005). An investigation of student conjectures in static and dynamic

geometry environments. (Dissertation), Auburn University, Retrieved from

http://hdl.handle.net/10415/854

Goldin, Gerald A. (2018). Mathematical Representations. In S. Lerman (Ed.),

Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 1-6). Cham: Springer International

Publishing.

Gravemeijer, K. P. E. (1994). Developing realistic mathematics education. CD-ß Press

/ Freudenthal Institute, Utrecht.

Guin, Dominique, & Trouche, Luc. (1998). The Complex Process of Converting Tools

into Mathematical Instruments: The Case of Calculators. International Journal

of Computers for Mathematical Learning, 3(3), 195.

doi:10.1023/A:1009892720043

Guin, Dominique, & Trouche, Luc. (2002). Mastering by the teacher of the instrumental

genesis in CAS environments: necessity of intrumental orchestrations.

Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(5), 204-211.

doi:10.1007/BF02655823

220

Guven, Bulent. (2012). Using dynamic geometry software to improve eight grade

students' understanding of transformation geometry. Australasian Journal of

Educational Technology, 28(2).

Halmos, P. R. (1980). The Heart of Mathematics. The American Mathematical Monthly,

87(7), 519-524. doi:10.1080/00029890.1980.11995081

Hedden, Chet. (1998). A guided exploration model of problem-solving discovery

learning.

Henderson, Harry. (2003). Encyclopedia of Computer Science and Technology.

Reference Reviews Incorporating Aslib Book Guide, 17, 38-39.

doi:10.1108/09504120310503999

Hohenwarter, Markus. (2002). GeoGebra - ein Softwaresystem für dynamische

Geometrie und Algebra der Ebene.

Hohenwarter, Markus, & Jones, Keith. (2007). Ways of linking geometry and algebra:

The case of GeoGebra. Proceedings of the British Society for Research into

Learning Mathematics, 27, 126-131.

Hohenwarter, Markus, & Preiner, J. (2007). Dynamic mathematics with GeoGebra.

Holzl, Reinhard. (1996). How does 'dragging' affect the learning of geometry. 169-187.

Hoyles, Celia, & Jones, Keith. (1998). Proof in Dynamic Geometry Contexts. In V. V.

C. Mammana (Ed.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st

Century (pp. 121-128): Kluwer.

Jackiw, N. (1991). The Geometer’s Sketchpad [Computer program]. Berkeley, CA: Key

Curriculum Press.

João Pedro da Ponte. (2015). Problem Solving, Exercises, and Explorations in

Mathematics Textbooks: A Historical Perspective. In E. Silver & C. Keitel-

Kreidt (Eds.), Pursuing Excellence in Mathematics Education: Essays in Honor

of Jeremy Kilpatrick (pp. 71-84). Cham: Springer International Publishing.

Jones, Keith. (2000). Providing a foundation for deductive reasoning: Students'

interpretations when using dynamic geometry software and their evolving

mathematical explanations. Educational Studies in Mathematics, 44, 55-85.

doi:10.1023/A:1012789201736

221

Jones, Keith. (2001). Learning Geometrical Concepts using Dynamic Geometry

Software. In Kay Irwin (Ed), Mathematics Education Research: A catalyst for

change. (pp. 50-58). Auckland: University of Auckland.

Jones, Keith. (2002a). Research on the use of dynamic geometry software: implications

for the classroom. MicroMath, 18(3), 3), 18-20.

Jones, Keith. (2002b). Research on the use of dynamic geometry software: implications

for the classroom. MicroMath, 18 (3), 18-20.

Jones, Keith. (2005). Using Logo in the teaching and learning of mathematics: a research

bibliography. MicroMath, 21, 34-36.

Joolingen, Wouter R. Van. (1999). Understanding and facilitating discovery learning in

computer-based simulation environments. In Automating instructional design:

Computer-based development and delivery tools (pp. 403-448): Springer, Berlin,

Heidelberg.

Juandi, Dadang, & Priatna, N. (2018). Discovery learning model with geogebra assisted

for improvement mathematical visual thinking ability. Journal of Physics:

Conference Series, 1013, 012209. doi:10.1088/1742-6596/1013/1/012209

Kagan, J. (1966). Learning, attention, and the issue of discovery. In C. S. Shulman & E.

R. Keislar (Eds.).

Kaptelinin, Victor, & Nardi, Bonnie. (1997). Activity Theory: Basic Concepts and

Applications.

Kaptelinin, Victor, & Nardi, Bonnie. (2012). Activity Theory in HCI: Fundamentals and

Reflections (Vol. 5).

Kekana, Grace Ramatsimele. (2016). Using GeoGebra in transformation geometry : an

investigation based on the Van Hiele model. (Doctoral dissertation), University

of Pretoria, Retrieved from http://hdl.handle.net/2263/60947

Kortenkamp, Ulrich H. (1999). Foundations of dynamic geometry. (Doctoral

dissertation), ETH Zurich,

Laborde, Colette. (2001). Integration of technology in the design of geometry tasks with

cabri-geometry. International Journal of Computers for Mathematical Learning,

283-317. doi:https://doi.org/10.1023/A:1013309728825

222

Laborde, Jean-Marie. (1990). Cabri-Geometry [Software]: France: Universite de

Grenoble.

Latham, Roy. (1995). The Dictionary of Computer Graphics and Virtual Reality:

Springer-Verlag New York.

Le Tuan Anh. (2014). Developing Vietnamese pre-service high school mathematics

teachers’ skills of using Geogebra. GeoGebra International Journal of Romania,

4(1).

Leont'ev, A. N. (1974). The Problem of Activity in Psychology. Soviet Psychology,

13(2), 4-33. doi:10.2753/RPO1061-040513024

Leont’ev, A. N. (1978). Activity Consciousness and Personality: Englewood Cliffs, NJ:

Prentice-Hall.

Liljedahl, Peter, Santos-Trigo, Manuel, Malaspina, Uldarico, & Bruder, Regina. (2016).

Problem Solving in Mathematics Education. In P. Liljedahl, M. Santos-Trigo, U.

Malaspina, & R. Bruder (Eds.), Problem Solving in Mathematics Education (pp.

1-39). Cham: Springer International Publishing.

Loc, Nguyen Phu. (2014). Dynamic software “GeoGebra” for solving a problem: A try–

out of mathematics teachers. Journal of international academic research for

multidisciplinary, 2(9), 98-105

Longley, Dennis, & Shain, Michael. (1982). Dictionary of information technology /

Dennis Longley and Michael Shain. SERBIULA (sistema Librum 2.0).

doi:10.1007/978-1-349-16907-8

Lopez-Real, F., & Leung, A. (2006). Dragging as a conceptual tool in dynamic geometry

environments. International Journal of Mathematical Education in Science and

Technology, 37(6), 665-679. doi:10.1080/00207390600712539

Mariotti, Maria Alessandra. (2000). Introduction to Proof: The Mediation of a Dynamic

Software Environment. Educational Studies in Mathematics, 44(1), 25-53.

doi:10.1023/A:1012733122556

Marrades, Ramón, & Gutierrez, Angel. (2000). Proofs produced by secondary school

students learning geometry in a dynamic computer environment. Educational

Studies in Mathematics, 44, 87-125. doi:10.1023/A:1012785106627

223

Masfingatin, Titin, & Murtafiah, Wasilatul. (2020). Exploring the creative mathematical

reasoning of mathematics education student through discovery learning.

AKSIOMA Jurnal Program Studi Pendidikan Matematika, 9(2), 296-305.

doi:10.24127/ajpm.v9i2.2714

Mayer, Richard E. (2004). Should There Be a Three-Strikes Rule against Pure Discovery

Learning? The Case for Guided Methods of Instruction. American Psychologist,

59(1), 14-19. doi:10.1037/0003-066X.59.1.14

Mayer, Richard E., & Wittrock, Merlin C. (2006). Problem solving. In Handbook of

educational psychology. (pp. 287-303). Mahwah, NJ, US: Lawrence Erlbaum

Associates Publishers.

Mehanovic, Sanela. (2011). The Potential and Challenges of the Use of Dynamic

Software in Upper Secondary Mathematics : Students’ and Teachers’ Work with

Integrals in GeoGebra Based Environments. Linköping University Electronic

Press, Department of Mathematics, Linköping University.

Mehdiyev, Rafiq. (2009). Exploring students’ learning experiences when using a

Dynamic Geometry Software (DGS) tool in a geometry class at a secondary

school in Azerbaijan. Unpublished doctoral dissertation, Universiteit van

Amsterdam.

Moore, Kenneth D. (2014). Effective instructional strategies: From theory to practice:

SAGE Publications Inc.

Muhibbin, Syah. (2010). Psikologi pendidikan dengan pendekatan baru. Bandung: PT

Remaja Rosdakarya.

Murni, V., Sariyasa, Sariyasa, & Ardana, I. (2017). GeoGebra Assist Discovery

Learning Model for Problem Solving Ability and Attitude toward Mathematics.

Journal of Physics: Conference Series, 895, 012049. doi:10.1088/1742-

6596/895/1/012049

NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics: National Council

Teachers Mathematics (NCTM).

Nguyen Ai Quoc. (2018). Integrated teaching of parametric equations of straight line to

tenth-graders in high school with GeoGebra. Vietnam Journal of Education,

224

5(Special Issue for the 1st ICME at Hanoi National University of Education),

146-151.

Nguyen Danh Nam. (2012). Understanding the development of the proving process

within a dynamic geometry environment. Universitätsbibliothek, Dortmund.

Nguyen Phu Loc, & Le Trong Phuong. (2015). Teaching Parabola with dynamic

software "GeoGebra": A pedagogical experiment in Viet Nam. International

Journal of Education and Research, 3(3), 247-436.

Nguyen Phu Loc, & Le Viet Minh Triet. (2014). Dynamic Software “Geogebra” for

Teaching Mathematics: Experiences from a Training Course in Can Tho

University. European Academic Research, II(6), 7908-7920.

Nguyen Phu Loc, Le Viet Minh Triet, & Nguyen Thanh That. (2020). Status of using IT

in teaching: Opinions of mathematics teachers of Hau Giang province, Viet Nam.

European Journal of Education Studies. ISSN: 25011111, 7(1).

doi:10.46827/ejes.v0i0.2894

Nguyen Phu Loc, & Nguyen Thien Tuan. (2015). "TSEWG" Model for Teaching

Students How to Solve Exercises with GeoGebra Software in the Classroom. The

International Journal Of Engineering And Science, 4(5), 83-87.

Nguyen Phu Loc, & To Anh Hoang Nam. (2015). Teaching topic "ellipse" with the help

of mathematic software "GeoGebra": A try out. American International Journal

of Research in Science, Technology, Engineering & Mathematics, 11 (1)(June-

August 2015 ), 47-51.

Noss, Richard. (1987). Children's Learning of Geometrical Concepts through Logo.

Journal for Research in Mathematics Education, 18, 343-343.

doi:10.2307/749084

Nunokawa, Kazuhiko. (2005). Mathematical problem solving and learning

mathematics: What we expect students to obtain. The Journal of Mathematical

Behavior, 24(3), 325-340. doi:https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2005.09.002

Núria Iranzo, Domènech. (2009). Influence of dynamic geometry software on plane

geometry problem solving strategies. (Doctoral dissertation), Universitat

Autonoma de Barcelona,

225

Olivero, Federica, & Robutti, Ornella. (2007). Measuring in dynamic geometry

environments as a tool for conjecturing and proving. International Journal of

Computers for Mathematical Learning, 12(2), 135-156. doi:10.1007/s10758-

007-9115-1

Ormrod, Jeanne Ellis. (2012). Essentials of educational psychology : big ideas to guide

effective teaching (3 ed.): Boston : Pearson.

Oxford University Press. "discover". Oxford Dictionaries: Oxford University Press.

Ozgun-Koca, S. Asli. (2000). Using spreadsheets in mathematics education. No.

ED463951.

Podolskiy, Andrey. (2012). Activity Theories of Learning. In N. M. Seel (Ed.),

Encyclopedia of the Sciences of Learning (pp. 83-85). Boston, MA: Springer US.

Polya, G. (1945). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method: Princeton

University Press.

Polya, George. (1981). Mathematical discovery : on understanding, learning, and

teaching problem solving. New York: John Willey & Son.

Polya, George. (2015). How to solve it: A new aspect of mathematical method (Vol. 85):

Princeton university press.

Preiner, J. (2008). Introducing Dynamic Mathematics Software to Mathematics

Teachers: the Case of GeoGebra. ( PhD thesis), University of Salzburg, Austria.

Rambe, Isnaini, Syahputra, Muhammad, Octariani, Dhia, & Matondang, Asnawati.

(2018). Discovery Learning Model for Solving System of Linear Equations using

GeoGebra.

Riandari, F., Susanti, R., & Suratmi. (2018, May 01, 2018). The influence of discovery

learning model application to the higher order thinking skills student of Srijaya

Negara Senior High School Palembang on the animal kingdom subject matter.

Schoenfeld, Alan Henry. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic

Press.

Schumann, Heinz, & Green, David. (2000). New protocols for solving geometric

calculation problems incorporating dynamic geometry and computer algebra

226

software. International Journal of Mathematical Education in Science and

Technology, 31. doi:10.1080/002073900287110

Schwartz, Judah L., & Yerushalmy, Michal. (1987). The Geometric Supposer: An

Intellectual Prosthesis for Making Conjectures. The College Mathematics

Journal, 18(1), 58-65. doi:10.1080/07468342.1987.11973012

Sei-Dost & Mathted. (2011). Mathematics framework for philippine basic education.

Retrieved from

http://www.sei.dost.gov.ph/images/downloads/publ/sei_mathbasic.pdf

Siahaan, F. B. (2017). Application of discovery learning model for solving system of

linear equations using geogebra. International Journal of Applied Engineering

Research, 12, 9195-9198.

Sipos, Elvira Ripco, & Kosztolányi, József. (2009). Teaching geometry using computer

visualization. Teaching Mathematics and Computer Science, 7(2), 259-277.

Sowder, Larry, & Harel, Guershon. (1998). Types of students' justifications. The

Mathematics Teacher, 91(8), 670.

Sträßer, Rudolf. (2002). Research on Dynamic Geometry Software (DGS)—an

introduction. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34(3), 65-65.

doi:10.1007/BF02655707

Suendartia, Mamik. (2017). The effect of learning discovery model on the learning

outcomes of natural science of junior high school students Indonesia.

International Journal of Environmental & Science Education, 12(10), 2213-

2216.

Svinicki, M. D. (1998). A theoretical foundation for discovery learning. The American

journal of physiology, 275(6 Pt 2), 20-23. doi:10.1152/advances.1998.275.6.s4

Talmon, V., & Yerushalmy, M. (2003). Dynamic behavior in dynamic geometry

environments: Some questions of order. EUROPEAN RESEARCH IN

MATHEMATICS EDUCATION, 3(10).

Tatar, Enver. (2013). The Effect of Dynamic Software on Prospective Mathematics

Teachers ’ Perceptions Regarding Information and Communication Technology.

38(12).

227

Tran Trung, Nguyen Ngoc Giang, & Phan Anh Hung. (2014). Discovery Learning with

the Help of the GeoGebra Dynamic Geometry Software. International Journal

of Learning, Teaching and Educational Research, 7(1), 44-57.

Trouche, Luc. (2020). Instrumentation in Mathematics Education. In S. Lerman (Ed.),

Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 404-412). Cham: Springer

International Publishing.

Uddin, Razack Sheriff. (2011). Geogebra, tool for mediating knowledge in the teaching

and learning of transformation of functions in mathematics. (Thesis (M.Ed.)),

University of KwaZulu-Natal, Edgewood,

Universit¨at Bayreuth. (2007). GEONExT. Dynamic mathematics software. Universit¨at

Bayreuth.

Üstün, I, & Ubuz, B. (2004). Student's Development of Geometrical Concepts Through

a Dynamic Learning Environment. Paper presented at the Proceeding of the 10th

International Congress on Mathematics Education. TSG 16: Visualisationin the

teaching and learning of mathematics, Denmark.

Utami, Wikan, Sena, Bagus, Isnani, Isnani, Aulia, Fikri, & Budi Haryono, Muhammad.

(2019). The Effect of Discovery Learning Supported By Geogebra Application

and Contextual Teaching Learning Towards Mathematical Problem Solving

Ability. Jurnal Pendidikan MIPA, 20, 46-53. doi:10.23960/jpmipa/v20i2.pp46-

Vandebrouck, Fabrice, Chiappini, Giampaolo, Jaworski, Barbara, Lagrange, Jean-

baptiste, Monaghan, John, & Psycharis, Giorgos. (2012). Activity theoretical

approaches to mathematics classroom practices with the use of technology.

International Journal for Technology in Mathematics Education, 19, 127-134.

Vergnaud, Gérard. (2009). The Theory of Conceptual Fields. Human Development, 52,

83-94. doi:10.1159/000202727

Verillon, Pierre, & Rabardel, Pierre. (1995). Cognition and artifacts: A contribution to

the study of though in relation to instrumented activity. European Journal of

Psychology of Education, 10(1), 77. doi:10.1007/BF03172796

228

Vygotsky, L. S. . (1978). Mind in society: The development of higher psychological

processes: Cambridge, MA: Harvard University Press.

Zachos, Paul, Hick, Thomas L., Doane, William E. J., & Sargent, Cynthia. (2000).

Setting theoretical and empirical foundations for assessing scientific inquiry and

discovery in educational programs. Journal of Research in Science Teaching,

37(9), 938-962. doi:10.1002/1098-2736(200011)37

Artigue, Michèle, & Lagrange, Jean Baptiste. (1998). Instrumentation et écologie

didactique de calculatrices complexes: éléments d'analyse à partir d'une

expérimentation en classe de première S. Publications mathématiques et

informatique de Rennes(3), 3-29.

Rabardel, Pierre. (1995). Les hommes et les technologies; approche cognitive des

instruments contemporains: Armand Colin.

Rabardel, Pierre. (1999). Éléments pour une approche instrumentale en didactique des

mathématiques. In Actes de la dixième université d’été de didactique des

mathématiques. Évolution des enseignants de mathématiques; rôle des

instruments informatiques et de l’écrit Qu’apportent les recherches en

didactique des mathématiques (pp. 203-213). Bailleul Marc: ARDM (association

pour la recherche en didactique des mathématiques), Caen.

Trouche, Luc. (2000). La parabole du gaucher et de la casserole à bec verseur: ètude des

processus d'apprentissage dans un environnement de calculatrices symboliques.

Educational Studies in Mathematics, 41(3), 239-264.

doi:10.1023/A:1003939314034

Vergnaud, Gérard. (1989). La théorie des champs conceptuels. Publications

mathématiques et informatique de Rennes(S6), 47-50.

Vergnaud, Gérard. (2013). Conceptual development and learning. Revista

Qurriculum(26), 39-59.

229

PHỤ LỤC

Nội dung Phụ lục bao gồm:

Phụ lục 1. Phiếu khảo sát ý kiến của GV trước khóa học ...................................... 230

Phụ lục 2. Phiếu khảo sát ý kiến của GV sau khóa học ......................................... 236

Phụ lục 3: Nội dung tập huấn GeoGebra dành cho GV ........................................ 240

Phụ lục 4: Nội dung tập huấn GeoGebra dành cho HS ......................................... 242

Phụ lục 5: Phiếu khảo sát ý kiến học sinh về GeoGebra và kết quả SPSS tương ứng

..................................................................................................................................... 252

Phụ lục 6: Các dạng toán liên quan đến Phương trình đường tròn trong SGK Hình

học 10 hiện hành ........................................................................................................ 262

Phụ lục 7: Phiếu khảo sát học sinh về bài tập đường tròn .................................... 265

Phụ lục 8: Phiếu khảo sát nhận định của GV về lời giải của HS .......................... 266

Phụ lục 9: Phiếu khảo sát HS (số 1) về elip ............................................................. 267

Phụ lục 10: Phiếu khảo sát HS (số 2) về elip ........................................................... 267

Phụ lục 11: Các chiến lược dự kiến có thể đối với bài toán Heron tia sáng ......... 268

Phụ lục 12: Các chiến lược dự kiến có thể đối với bài toán lập phương trình đường

tròn thỏa mãn điều kiện cho trước .......................................................................... 271

230

Phụ lục 1. Phiếu khảo sát ý kiến của GV trước khóa học

231

232

233

234

235

236

Phụ lục 2. Phiếu khảo sát ý kiến của GV sau khóa học

237

238

239

240

Phụ lục 3: Nội dung tập huấn GeoGebra dành cho GV

Mục đích khóa học

Giới thiệu và hướng dẫn các thành viên tham dự tìm hiểu công dụng và thao tác

các công cụ chức năng cũng như tiềm năng của GeoGebra trong dạy học môn Toán.

Mục tiêu cần đạt

Sau khi kết thúc khóa học, người học có thể:

- Nhận biết được chức năng của mỗi công cụ có trong GeoGebra.

- Dựng được các hình “động”

- Thiết kế bài giảng có sử dụng GeoGebra tạo cơ hội để HS khám phá khái niệm

và định lí toán học ở bậc phổ thông.

- Hướng dẫn HS giải các bài toán với sự hỗ trợ của GeoGebra

Phương pháp và tài liệu hướng dẫn

Phương pháp dạy học kết hợp được sử dụng trong khóa tập huấn hướng dẫn

Tài liệu hướng dẫn bao gồm tài liệu giới thiệu GeoGebra của tác giả Phelps và tài

liệu giới thiệu GeoGebra phiên bản 4.4 của Judith Markus và cộng tác viên.

Nội dung khóa tập huấn bao gồm

Buổi học 1 (4 tiết (1 tiết = 50 phút)): Nội dung bài học 1 bao gồm khảo sát kinh

nghiệm sử dụng phần mềm dạy học toán của người học; Giới thiệu tổng quan về ứng

dụng công nghệ thông tin và vai trò của công nghệ thông tin trong giáo dục Toán; Giới

thiệu phần mềm động và ứng dụng để giảng dạy toán học; Giới thiệu GeoGebra; Thực

hành thao tác các công cụ chức năng của GeoGebra.

Buổi học 2 (4 tiết): Nội dung bài học 2 bao gồm vẽ điểm, đường thẳng, đoạn thẳng

và trung điểm của đoạn thẳng; Hiển thị giao điểm của hai đối tượng hình học; Vẽ đường

thẳng vuông góc, đường thẳng song song, đường trung trực, đường phân giác; Vẽ đường

cao của tam giác; Vẽ đa giác và đa giác đều; Bài tập thực hành.

Buổi học 3 (4 tiết): Nội dung bài học 3 bao gồm tạo thanh trượt; Vẽ một vòng tròn

có bán kính liên kết tương ứng với giá trị của thanh trượt; Dựng một góc có độ lớn liên

kết tương ứng với giá trị của thanh trượt; Phép đối xứng đường và điểm; Bài tập thực

hành.

241

Buổi học 4 (4 tiết): Nội dung bài học 4 bao gồm vẽ elip có độ dài trục lớn, độ dài

trục nhỏ, tiêu cự liên kết với thanh trượt; Vẽ parabol có các thành phần của nó liên kết

với thanh trượt; Bài tập thực hành.

Buổi học 5 (4 tiết): Nội dung bài học 5 bao gồm tính và hiển thị diện tích tam giác,

đa giác; Vẽ tiếp tuyến của đường cong từ một điểm; Bài tập thực hành.

Buổi học 6 (4 tiết): Nội dung bài học 6 bao gồm thao tác với môi trường đại số,

giải tích và bảng tính của GeoGebra.

Buổi học 7 (4 tiết): Nội dung bài học 6 là buổi học viên làm việc theo nhóm: thiết

kế bài giảng để dạy một khái niệm toán học với sự hỗ trợ của GeoGebra.

Buổi học 8 (4 tiết): Nội dung bài học 6 là buổi học viên các nhóm thuyết trình:

Trình bày giảng dạy một khái niệm toán học với sự hỗ trợ của GeoGebra và thảo luận.

Buổi học 9 (4 tiết): Nội dung bài học 6 là buổi học viên làm việc nhóm thiết kế

một giáo án để dạy một định lí toán học với sự hỗ trợ của GeoGebra.

Buổi học 10 (4 tiết): Nội dung bài học 6 là buổi học viên các nhóm thuyết trình:

Trình bày dạy học một định lí với sự hỗ trợ của GeoGebra và thảo luận.

Buổi học 11 (4 tiết): Nội dung bài học 6 là buổi học viên tiếp tục làm việc nhóm:

giải toán với sự hỗ trợ của GeoGebra và thảo luận.

Buổi học 12 (4 tiết): Nội dung bài học 6 là buổi học viên Các nhóm thuyết trình:

Trình bày dạy học một định lí với sự hỗ trợ của GeoGebra và thảo luận.

Buổi học cuối: Học viên tham gia khảo sát quan niệm của người học về GeoGebra.

242

Phụ lục 4: Nội dung tập huấn GeoGebra dành cho HS

Buổi thứ 1: Các công cụ dựng hình hình học cơ bản

Hoạt động 1: Dựng đường trung trực trong môi trường giấy bút

Công cụ được sử dụng: Giấy, bút chì, thước thẳng, compa

Nhiệm vụ đầu tiên người học cần thực hiện là dựng đường trung trực của một đoạn

thẳng trên giấy bằng bút chì, thước thẳng và compa. Sau đó, người học trình bày cách

dựng hình như sau:

1. Đoạn thẳng 𝐴𝐵

2. Đường tròn có tâm 𝐴 và đi qua điểm 𝐵

3. Đường tròn có tâm 𝐵 và đi qua điểm 𝐴

4. Đường thẳng đi qua các giao điểm của cả 2 đường tròn.

Hoạt động này nhằm làm rõ các bước dựng hình để chuẩn bị cho người học lần

đầu tiên sử dụng GeoGebra

Hoạt động 2: Dựng một đường trung trực

Công cụ được giới thiệu: Đoạn thẳng, đường tròn có tâm và đi qua 1 điểm, giao

của 2 đối tượng, đường thẳng đi qua 2 điểm, di chuyển, di chuyển vùng làm việc, phóng

to, thu nhỏ.

Tính năng được giới thiệu: Cách dựng hình, thanh công cụ dựng hình

Người học dựng đường trung trực của một đoạn thẳng bằng các công cụ của

GeoGebra theo các bước sau:

1. Đoạn thẳng 𝑎 đi qua 2 điểm 𝐴 và 𝐵

2. Đường tròn 𝑐 với tâm 𝐴 và đi qua điểm 𝐵

3. Đường tròn 𝑑 với tâm 𝐵 và đi qua điểm 𝐴

4. Giao điểm 𝐶 và 𝐷 của đường tròn 𝑐 và 𝑑.

Hướng dẫn: Ấn chọn 2 đường tròn để có được 2 giao điểm cùng một lúc. Sử dụng

công cụ phóng to/ thu nhỏ hoặc di chuyển để thấy được 2 giao điểm.

5. Đường thẳng 𝑏 đi qua giao điểm 𝐶 và 𝐷 là đường trung trực của đoạn thẳng 𝐴𝐵.

Hoạt động 3: Dựng hình vuông khi biết trước một cạnh

Công cụ được giới thiệu: Đa giác, Đường vuông góc, ẩn/ hiện đối tượng, đường

thẳng đi qua 2 điểm, di chuyển, di chuyển vùng làm việc, phóng to/ thu nhỏ

243

Tính năng được giới thiệu: Thanh công cụ dựng hình, Hiển thị cách dựng hình

Đối với hoạt động này, người học dựng đường trung trực của một đoạn thẳng bằng

công cụ của GeoGebra theo các bước như sau:

1. Đoạn thẳng 𝑎 đi qua 2 điểm 𝐴 và 𝐵

2. Đường tròn 𝑐 có tâm 𝐴 và đi qua điểm 𝐵

3. Đường tròn 𝑑 có tâm 𝐵 và đi qua điểm 𝐴

4. Giao điểm 𝐶 và 𝐷 của các đường tròn 𝑐 và 𝑑

Hướng dẫn: Ấn liên tiếp chọn cả 2 đường đường tròn

Hoạt động 4: Dựng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Công cụ được giới thiệu: Đường trung trực

Tính năng khác được sử dụng: Đa giác, giao điểm của 2 đối tượng, đường tròn có

tâm và đi qua 1 điểm, di chuyển.

Tính năng được giới thiệu: Đổi tên đối tượng

Trong hoạt động này, người học dựng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác theo các

bước như sau:

1. Đa giác dagiac1 đi qua các điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶.

2. Đường trung trực 𝑑, 𝑒 và 𝑓 của các cạnh 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 và 𝐵𝐶

3. Giao điểm 𝐷 của 2 đường trung trực

Hướng dẫn: Ấn liên tục chọn 2 đường trung trực để được lấy giao điểm của chúng.

4. Đường tròn có tâm 𝐷 và đi qua 3 đỉnh của tam giác 𝐴𝐵𝐶

5. Đổi tên tâm đường tròn

Hoạt động 5: Dựng một tam giác đều

Công cụ được sử dụng: đoạn thẳng đi qua 2 điểm, đường tròn với tâm và đi qua 1

điểm, giao điểm của các đối tượng, đa giác, ẩn/hiện đối tượng, di chuyển.

Trong hoạt động này, người học dựng tam giác đều bằng cách sử dụng các công

cụ đã được giới thiệu. HS thực hiện dựng hình theo các bước như sau và kiểm tra lại

bằng cách ấn kéo.

1. Đoạn thẳng 𝑎 đi qua 2 điểm A và B

2. Đường tròn 𝑐 với tâm 𝐴 và đi qua điểm 𝐵

3. Đường tròn 𝑑 với tâm 𝐵 và đi qua điểm 𝐴

244

4. Giao điểm 𝐶 của đường tròn 𝑐 và 𝑑

5. Đa giác (tam giác) 𝐴𝐵𝐶

6. Hướng dẫn: Ẩn các đường tròn để làm gọn bản vẽ

7. Kiểm tra lại bằng cách ấn kéo một trong các đỉnh của tam giác.

Buổi thứ II: Góc, phép đối xứng và chèn ảnh

Trong buổi tập huấn, người tham gia được học cách hiển thị góc trong GeoGebra

cũng như cách sử dụng phép biến hình. Hơn nữa, người tham gia còn được học cách

chèn một hình ảnh vào màn hình GeoGebra và sử dụng nó để nâng cao tính động của

hình.

Hoạt động 1: Dựng hình bình hành và hiển thị số đo của các góc

Công cụ được giới thiệu: đường thẳng song song, góc

Công cụ khác được sử dụng: đoạn thẳng, giao của 2 đối tượng, đa giác, ẩn/hiện đối

tượng, di chuyển.

Tính năng được giới thiệu: Lưới, bắt điểm, menu ngữ cảnh, hộp thoại thuộc tính

Người tham gia dựng hình bình hành và đo tất cả các góc trong của hình bình hành

bằng cách thực hiện lần lượt các bước như sau (xem hình ….)

1. Dựng đoạn thẳng đi qua điểm 𝐴 và điểm 𝐵. GeoGebra hiển thị đoạn thẳng này

là 𝐴𝐵

2. Dựng đoạn thẳng 𝐵𝐶 đi qua điểm 𝐵 và 𝐶. GeoGebra hiển thị đoạn thẳng này là

𝐵𝐶

3. Dựng đường thẳng 𝑐 đi qua 𝐶 và song song với 𝑎

4. Dựng đường thẳng 𝑑 đi qua 𝐴 và song song với 𝑏

5. Dựng giao điểm 𝐷 của đường thẳng 𝑐 và 𝑑

6. Dựng đa giác 𝐴𝐵𝐶𝐷

8. Hiển thị giá trị số đo của các góc bên trong hình bình hành

Tổng cộng có 7 công cụ được sử dụng trong hoạt động này và hai công cụ được

giới thiệu là đường thẳng song song và góc. Sau khi dựng hình, chức năng ấn kéo được

sử dụng để kiểm tra tính đúng đắn của hình bình hành được dựng.

Bằng cách này, tính năng Lưới ở menu hiển thị và tính năng Bắt điểm ở menu tùy

chọn được tạo với các điểm có tọa độ nguyên. Menu ngữ cảnh (ấn phải con trỏ chuột

245

lên một đối tượng) được giới thiệu để mở Hộp thoại thuộc tính, bằng hộp thoại này,

người dùng có thể các thuộc tính của những đối tượng trong hình (chẳng hạn màu sắc,

kiểu nét, …)

Hoạt động 2: Công cụ dựng hình đối xứng

Công cụ được giới thiệu: điểm mới, ảnh đối xứng của một đối tượng qua đường

thẳng

Công cụ khác được sử dụng: Đường thẳng đi qua 2 điểm, đoạn thẳng, di chuyển

Tính năng được giới thiệu: Tạo vết

Trong suốt hoạt động này, công cụ dựng hình đối xứng được sử dụng theo các

bước như sau:

1. Dựng đường thẳng 𝑎 đi qua điểm 𝐴 và 𝐵

2. Dựng điểm 𝐶

3. Dựng điểm 𝐶’ đối xứng của điểm 𝐶 qua 𝑎

4. Dựng đoạn thẳng đi qua 𝐶 và 𝐶’

5. Tạo vết cho điểm 𝐶 và 𝐶’ bằng tính năng tạo vết

6. Di chuyển điểm 𝐶 để vẽ hình đối xứng

Tổng cộng có 5 công cụ được sử dụng trong hoạt động này và các công cụ được

giới thiệu là điểm mới và đối xứng qua đường thẳng. Thêm vào đó, tính năng Tạo vết

được giới thiệu để người học thấy được mối liên hệ giữa điểm di chuyển 𝐶 và ảnh 𝐶’

của nó.

Hoạt động 3: Chèn ảnh nền

Công cụ được giới thiệu: Chèn ảnh

Công cụ khác: Di chuyển

Tính năng được giới thiệu: ảnh nền

Hoạt động này, người học chèn “hình có đối xứng” vào màn hình nền của

GeoGebra. Tiếp đến, người học sẽ sử dụng công cụ đối xứng qua đường thẳng để hiển

thị các điểm đối xứng trong hình. Công cụ Chèn hình được giới thiệu và các thuộc tính

của ảnh được thay đổi bằng cách sử dụng Hộp thoại thuộc tính của GeoGebra.

Hoạt động 4:

Công cụ được giới thiệu: Quay đối tượng quanh một điểm theo 1 góc cho trước

246

Công cụ khác được sử dụng: Đa giác, điểm mới, đường tròn khi biết tâm và 1 điểm

nằm trên đường tròn, đoạn thẳng đi qua 2 điểm, góc, di chuyển.

Người học lần lượt thực hiện các bước dựng:

1. Đa giác 𝐴𝐵𝐶 với đỉnh 𝐴, 𝐵 và 𝐶

2. Điểm mới 𝑃

3. Đường tròn 𝑑 với tâm 𝑃 và đi qua 1 đỉnh của đa giác, chẳng hạn đỉnh 𝐶

4. Đoạn thẳng 𝑔 đi qua điểm 𝐶 và 𝑃

5. Điểm 𝐶’ thuộc đường tròn 𝑑

Hướng dẫn: Di chuyển điểm 𝐶’ để kiểm tra 𝐶’ có thật sự nằm trên đường tròn

6. Đoạn thẳng ℎ giữa điểm 𝑃 và 𝐶’

7. Góc alpha giữa điểm 𝐶, 𝑃 và 𝐶’

8. Quay đa giác quanh điểm 𝑃 theo góc 𝛼 để có được ảnh của đa giác

9. Di chuyển điểm 𝐶’ dọc the đường tròn để quay đa giác

Trong hoạt động này, 7 công cụ khác nhau được sử dụng để dựng hình và công cụ

Quay đối tượng quanh 1 điểm theo 1 góc cho trước được giới thiệu trước.

Buổi 3: Hệ trục tọa độ và phương trình

Công cụ được sử dụng: đối xứng qua đường thẳng, di chuyển

Biểu thức đại số đầu vào được giới thiệu: Tọa độ của điểm, tách tọa độ

Tính năng được giới thiệu: Cửa sổ đại số, đối tượng phụ thuộc và độc lập, trục tọa

độ, lưới, tiêu đề của đối tượng.

Hoạt động này giới thiệu cửa sổ đại số và trường nhập lệnh của GeoGebra. Người

học sẽ được hướng dẫn cách tạo một điểm bằng sách sử dụng bàn phím máy tính cũng

như cách để lấy hoành đô hoặc tung độ của một điểm. Tiếp đến, người học sẽ lấy tọa độ

điểm đối xứng của một điểm qua các trục tọa độ dựng hình như sau:

1. Mở cửa sổ đại số và hiển thị hệ trục tọa độ

2. Tạo điểm mới 𝐴 = (3,2)

3. Thay đổi chế độ hiển thị trên màn hình tên và giá trị của điểm A

3. Di chuyển điểm A bằng cách ấn kéo chuột để thay đổi tọa độ của điểm và cũng

như thay đổi vị trí của điểm trên cửa sổ đại số.

5. Lấy hoành độ 𝑥 của điểm A: hoanhdo_x=x(A)

247

6. Lấy tung độ 𝑦 của điểm A: tungdo_y=y(A)

7. Đối xứng của điểm 𝐴 qua trục tung 𝑦

8. Đối xứng của điểm 𝐴 qua trục hoành 𝑥

9. Di chuyển điểm 𝐴 đến nhiều vị trí khác nhau và hình thành dự đoán về tọa độ

của điểm đối xứng.

Nhiệm vụ này tập trung vào khâu nhập và thay đổi tọa độ của điểm bằng cách sử

dụng trường nhập lệnh và cửa sổ đại số của GeoGebra. Tính năng Trục và Lưới được

giới thiệu và sự phân biệt giữa đối tượng tự do và đối tượng cố định hiển thị trong cửa

sổ đại số được giới thiệu. Thêm nữa, các loại gán nhãn khác nhau cũng được giới thiệu

(chẳng hạn tên và giá trị, giá trị, …)

Hoạt động 2: Đường thẳng 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 và hệ số góc của nó

Công cụ được giới thiệu: con trượt, hệ số góc

Công cụ khác được sử dụng: di chuyển

Biểu thức đại số được giới thiệu: phương trình đường thẳng

Tính năng được giới thiệu: Định nghĩa lại

Trong hoạt động này, người tham gia được học cách nhập phương trình đường

thẳng theo dạng hệ số góc bằng trường nhập lệnh theo các bước hướng dẫn như sau:

1. Tạo đường thẳng: duongthang: y=0.8x+3.2

2. Điều chỉnh các tham số của đường thẳng trong cửa sổ đại số và cũng như di

chuyển đường thẳng bằng chuột.

3. Tạo các con trượt 𝑎 và 𝑏

4. Định nghĩa lại con trượt 𝑎 thành 𝑚

5. Định nghĩa lại: duongthang: y=mx+b

Hướng dẫn: Sử dụng * hoặc khoảng trắng để biểu thị phép nhân

6. Tạo hệ số góc của đường thẳng

Trong hoạt động này, công cụ con trượt và hệ số góc cũng như nhập lệnh phương

trình đường thẳng được giới thiệu. Hơn nữa, tính năng đổi tên được sử dụng và con trượt

được tạo ra để kiểm soát các tham số của phương trình đường thẳng.

Hoạt động 3: Phương trình đường thẳng

Công cụ được giới thiệu: Chèn văn bản

248

Công cụ được sử dụng: di chuyển

Lệnh được giới thiệu: Hệ số góc

Biểu thức đại số được giới thiệu: phép toán

Tính năng được giới thiệu: văn bản tĩnh, văn bản động, đối tượng phụ

Trong hoạt động này, người học dựng đường thẳng thông qua phương trình đại số

và hiển thị hệ số góc của đường thẳng mà không sử dụng công cụ Hệ số góc. Các bước

hướng dẫn thực hiện được mô tả như sau:

1. Đường thẳng 𝑎 đi qua điểm 𝐴 và 𝐵

2. Đường vuông góc 𝑏 đi qua điểm 𝐴 và vuông góc với trục hoành 𝑂𝑥

3. Đường vuông góc 𝑐 đi qua 𝐵 và vuông góc với trục tung 𝑂𝑦

4. Giao điểm 𝐶 của hai đường vuông góc 𝑏 và 𝑐

5. Đa giác 𝐴𝐵𝐶

6. Tính sự gia tăng của tung độ: tang_y= y(B)-y(A)

7. Tính sự gia tăng của tung độ: tang_x = x(B)-x(A)

8. Chèn văn bản động: “tang_y=” + tang_y

9. Chèn văn bản động: “tang_x”= + tang_x

10. Tính hệ số góc của đường thẳng ban đầu: hesogoc=hesogoc[a]

11. Chèn văn bản động: “hesogoc = tang_y/tang_x =” + hesogoc

Trong hoạt động này, 6 công cụ được sử dụng và công cụ chèn văn bản được giới

thiệu để tạo ra văn bản tĩnh và văn bản động trong cùng cửa sổ đồ họa. Thêm vào đó là

lệnh tính toán, cũng như lệnh hệ số góc được giới thiệu trong tiến trình dựng hình.

Hoạt động 4: Parabol

Công cụ được sử dụng: Di chuyển

Câu lệnh được giới thiệu: Đỉnh

Biểu thức đại số được giới thiệu: Phương trình Parabol

Trong hoạt động này, người học được hướng dẫn cách sử dụng trường nhập lệnh

để tạo ra một Parabol và vận dụng lệnh Đỉnh để xác định tọa độ đỉnh của Parabol. Các

bước hướng dẫn được mô tả như sau:

1. Nhập parabol (𝑃): y = x^2

249

2. Di chuyển parabol (𝑃) bằng chuột và cũng như thay đổi phương trình của nó

trong cửa sổ đại số.

3. Đỉnh I của parabol (𝑃): I=dinh [p]

4. Tìm ra sự liên hệ giữa các tọa độ của đỉnh I và các tham số của parabol p.

Câu lệnh Đỉnh được giới thiệu đến người học. Từ đó, người học được hướng dẫn

để phân biệt được sử khác nhau giữa lệnh parabol với lệnh hàm số bậc 2 (y=… với

f(x)=…)

Hoạt động 5: Hàm số bậc hai

Công cụ được sử dụng: Con trượt, di chuyển

Biểu thức đại số được sử dụng: Parabol

Câu lệnh được sử dụng: Đỉnh

Trong hoạt động này, người học liên kết con trượt với các tham số của hàm số bậc

hai biểu diễn một parabol. Sử dụng tính năng Tạo vết để hỗ trợ thực nghiệm với vết của

định parabol và hình thành dự đoán về sự thay đổi giá trị của các tham số. Các bước

hướng dẫn thực hiện được mô tả như sau:

1. Tạo con trượt q và q

2. Nhập phương trình bậc hai để có parabol a: y = x^2+px+q

3. Lấy đỉnh I của parabol a: I = dinh[a]

4. Di chuyển parabol a bằng cách sử dụng con trượt và hình thành dự đoán về

đường đi của đinh 𝐼. Hiển thị vết của đỉnh I và xác nhận dự đoán.

Buổi thứ 4: Hàm số và xuất bản ảnh

Hoạt động 1: Hàm đa thức

Công cụ được sử dụng: Di chuyển

Câu lệnh được giới thiệu: nghiệm, cực trị

Biểu thức đại số được giới thiệu: hàm đa thức

1. Nhập hàm bậc ba 𝑓: f(x) = x^3 – 3x +2

2. Di chuyển đồ họa 𝑓 bằng chuột và quan sát sự thay đổi của phương trình đại số

tương ứng

3. Nghiệm của đa thức 𝑓: R=nghiem[f]

4. Cực trị của đa thức 𝑓: E = cuctri[f]

250

5. Di chuyển đồ họa của 𝑓 bằng chuột và quan sát sự thay đổi của nghiệm và cực

trị

Hoạt động 2: Thư viện hàm số

Công cụ được sử dụng: Di chuyển, giao của hai đối tượng

Biểu thức đại số được giới thiệu: các hàm số

Trong hoạt động này, thư viện hàm số được giới thiệu. Người học được hướng dẫn

cách nhập các hàm số với các biến đã được định nghĩa trước (chẳng hạn hàm trị tuyệt

đối, hàm đa thức, hàm phân thức, hàm số lượng giác, hàm số logarit, …). Ngoài ra,

người học cũng được sử dụng công cụ giao điểm của 2 đối tượng để tìm nghiệm của

phương trình bằng cách xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành Ox. Hơn

nữa, người học còn được hướng dẫn cách giải và biện luận phương trình bằng đồ thị.

Hoạt động 3: Tiếp tuyến và hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Công cụ được giới thiệu: Các tiếp tuyến

Công cụ khác được sử dụng: Điểm mới, di chuyển

Biểu thức đại số được giới thiệu: Điểm có tọa độ đặc biệt.

Trong hoạt động 3 này, người học được hướng dẫn cách tạo một điểm thuộc đồ thị

hàm số, dựng tiếp tuyến và lấy hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số bằng cách tạo vết

của điểm. Các bước hướng dẫn thực hiện thao tác như sau:

1. Nhập hàm đa thức 𝑓: f(x)=x^2/2 + 1

2. Tạo điểm mới 𝐴 thuộc đồ thị hàm số 𝑓

Hướng dẫn: Di chuyển điểm 𝐴 dọc theo đồ thị hàm số 𝑓 để kiểm tra nó có thuộc

đồ thị hàm số hay không

3. Tạo tiếp tuyến 𝑡 của đồ thị hàm số số f tại điểm 𝐴

4. Lấy hệ số góc tiếp tuyến t: HệSốGóc = HệSốGóc[f]

5. Định nghĩa điểm 𝑆: S = (x(A), HệSốGóc)

6. Mở vết của điểm 𝑆

7. Di chuyển điểm A để tạo hệ số góc tiếp tuyến của hàm số

Hoạt động 4: Xuất ảnh tĩnh

Tính năng được giới thiệu: Xuất bản vẽ từ vùng làm việc vào bộ nhớ, xuất bản vẽ

như một ảnh.

251

Hoạt động này nhằm hướng dẫn người học xuất bản vẽ trong GeoGebra thành ảnh

tĩnh và chèn vào văn bản MS Word.

Đầu tiên, người học được hướng dẫn cách xuất bản vẽ vào bộ nhớ, và chèn nó vào

văn bản Word. Các bước thực hiện được mô tả như sau:

1. Tạo một bản vẽ trong GeoGebra.

2. Sử dụng chức năng chọn hình chữ nhật để xác định phần bản vẽ cần xuất ra ảnh

3. Sử dụng menu Hồ sơ để xuất phần được chọn vào bộ nhớ (xuất bản – sao chép

vùng làm việc vào bộ nhớ)

4. Mở văn bản MS Word mới

5. Dán ảnh bằng cách sử dụng phím tắt Ctrl – V

Thứ hai, người học được hướng dẫn cách xuất bản vẽ như một ảnh và lưu nó vào

một thư mục trước khi chèn vào văn bản MS Word.

1. Tạo bản vẽ trong GeoGebra.

2. Sử dụng chức năng chọn hình chữ nhật để xác định phần bản vẽ cần xuất ra ảnh.

3. Sử dụng menu Hồ sơ để xuất phần được chọn vào thư mục (xuất bản – hiển thị

đồ thị dạng hình (png, eps, …)).

Hướng dẫn: Chọn tỉ lệ và độ phân giải trước khi lưu ảnh như một tệp.

4. Mở văn bản MS Word mới.

5. Dán ảnh bằng cách sử dụng phím tắt Ctrl – V.

252

Phụ lục 5: Phiếu khảo sát ý kiến học sinh về GeoGebra và kết quả SPSS

tương ứng

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

Phụ lục 6: Các dạng toán liên quan đến Phương trình đường tròn trong SGK

Hình học 10 hiện hành

Trong SGK HH10 và Sách Bài tập HH10, chúng tôi tìm thấy 12 dạng toán liên

quan đến Phương trình đường tròn bao gồm:

A. Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc hai đối với 𝑥 và 𝑦 dạng

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 (1) có phải là phương trình đường tròn hay không?

Phương pháp giải:

- Tính: 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐

- Căn cứ vào dấu của 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 để kết luận:

+ Nếu 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 > 0 thì (1) là phương trình đường tròn với tâm (a;b) và bán

kính 𝑅 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐.

+ Nếu 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình của bất kì đường tròn

nào.

B. Dạng 2: Nhận dạng một phương trình bậc hai đối với 𝑥 và 𝑦

𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 (2) có phải là phương trình đường tròn hay không?

Phương pháp giải

= 0 - Biến đổi (2) thành (1) bằng cách chia hai vế của (2) cho k, 𝑥2 + 𝑦2 − 2 𝑎 𝑘 𝑥 − 2 𝑏 𝑘 𝑦 + 𝑐 𝑘

C. Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để một phương trình bậc hai đối với 𝑥 và 𝑦

dạng 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0 (3) trở thành một phương trình đường tròn.

2 ቁ

Phương pháp giải

2 ቁ

− 𝑟 > 0 - Thành lập bất phương trình ቀ 𝑝 −2 + ቀ 𝑞 −2

− 𝑟 > 0 - Tìm giá trị m thỏa mãn bất phương trình ቀ 𝑝 −2 + ቀ 𝑞 −2

D. Dạng 4: Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn

(𝐶): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0

Phương pháp giải

ቁ - Xác định tọa độ tâm I của đường tròn: 𝐼 ቀ 𝑝 −2 , 𝑞 −2

263

2 ቁ

ቁ − 𝑟 - Tính bán kính của đường tròn (C): 𝑅 = √ቀ 𝑝 −2 + ቀ 𝑞 −2

E. Dạng 5: Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn

(𝐶): 𝛼𝑥2 + 𝛼𝑦2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0

2 ቁ

= 0 Phương pháp giải - Chia hai vế của phương trình cho 𝛼: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 𝛼 𝑥 + 𝑞 𝛼 𝑦 + 𝑟 𝛼

- (C) có tâm 𝐼 ቀ 𝑝 −2𝛼 , 𝑞 −2𝛼 ቁ và có bán kính 𝑅 = √ቀ 𝑝 −2𝛼 + ቀ 𝑞 −2𝛼 − 𝑟 𝛼

F. Dạng 6: Lập phương trình đường tròn (C) biết tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) và đi qua điểm

𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴)

Phương pháp giải

- Tính bán kính của đường tròn (C): 𝑅 = 𝐼𝐴 = √(𝑥𝐴 − 𝑎)2 + (𝑦𝐴 − 𝑏)2 - Phương trình của đường tròn (C) là: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2

G. Dạng 7: Cho hai điểm 𝐴(𝑥𝐴; 𝑥𝐴) và 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵). Lập phương trình đường tròn

Phương pháp giải

- Xác định tọa độ tâm I của đường tròn (C): 𝐼 ቀ𝑥𝐴+𝑥𝐵 ቁ ; 𝑦𝐴+𝑦𝐵 2

√(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+(𝑦𝐵−𝑦𝐴)2 2

= - Tính bán kính R của đường tròn (C): 𝑅 = 𝐴𝐵 2

2 ቁ

- Phương trình của đường tròn (C) là: ቀ𝑥 − 𝑥𝐴+𝑥𝐵 + ቀ𝑦 − 𝑦𝐴+𝑦𝐵 = 𝑅2

H. Dạng 8: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm 𝐼(a;b) và tiếp xúc với đường

thẳng (Δ): Ax + By + C = 0 (với A2 + B2 ≠ 0)

Phương pháp giải

- Tính bán kính R của đường tròn: 𝑅 = 𝑑(𝐼, 𝛥) = |𝐴.𝑎+𝐵.𝑏+𝐶 √𝐴2+𝐵2 |

- Phương trình của đường tròn (C) là: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2

I. Dạng 9: Lập phương trình đường tròn có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) nằm trên đường thẳng

và tiếp xúc và (𝛥1): 𝐴1 𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 với (𝛥2): 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0

(𝛥3): 𝐴3𝑥 + 𝐵3𝑦 + 𝐶3 = 0

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) của đường tròn bằng cách giải hệ phương trình:

264

A1a + B1. b + C1 = 0

𝐴3.𝑎+𝐵3.𝑏+𝐶 2 2+𝐵3

√𝐴3

√𝐴2

| = | | { 𝐴2.𝑎+𝐵2.𝑏+𝐶 | 2 2+𝐵2

- Tìm bán kính 𝑅 của đường tròn: 𝑅 = 𝑑(𝐼, 𝛥1) hoặc 𝑅 = 𝑑(𝐼, 𝛥2) - Phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 là phương trình của đường tròn sau khi

thay các giá trị 𝑎, 𝑏, và 𝑅 bởi các giá trị vừa tìm được.

J. Dạng 10: Lập phương trình đường tròn có tâm 𝐼 nằm trên Δ đi qua 2 điểm

𝐴(𝑥𝐴; 𝑥𝐴) và 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵)

Phương pháp giải

- Dạng tổng quát của phương trình của đường tròn (C) là

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

- Thay tọa độ 𝐴, 𝐵 vào phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 và tọa độ

(𝑎; 𝑏) của điểm 𝐼 vào (𝛥): 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (vớsi 𝐴2 + 𝐵2 ≠ 0), ta thu được hệ 3

phương trình 3 ẩn 𝑎, 𝑏, 𝑐. Giải hệ phương trình tìm 𝑎, 𝑏 và 𝑐.

K. Dạng 11: Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴(𝑥𝐴; 𝑥𝐴), 𝐵(𝑥𝐵; 𝑦𝐵) và

𝐶(𝑥𝐶; 𝑦𝐶)

Phương pháp giải

- Dạng tổng quát của phương trình của đường tròn (C) là

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

- Thay tọa độ A, B và C vào phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ta được

hệ 3 phương trình 3 ẩn 𝑎, 𝑏 và 𝑐. Giải hệ 3 phương trình trên ta được 𝑎, 𝑏 và 𝑐.

L. Dạng 12: Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, tìm tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn

tính chất 𝑝. Kết quả là một đường tròn.

Phương pháp giải

- Gọi 𝑀(𝑥, 𝑦) là điểm thuộc tập hợp các điểm thỏa tính chất p.

- Sử dụng tính chất 𝑝, ta thu được phương trình 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0

- Chứng tỏ rằng phương trình 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 là phương trình đường tròn.

265

Phụ lục 7: Phiếu khảo sát học sinh về bài tập đường tròn

266

Phụ lục 8: Phiếu khảo sát nhận định của GV về lời giải của HS

267

Phụ lục 9: Phiếu khảo sát HS (số 1) về elip

Phụ lục 10: Phiếu khảo sát HS (số 2) về elip

268

Phụ lục 11: Các chiến lược dự kiến có thể đối với bài toán Heron tia sáng

269

Các chiến lược mong đợi có thể xuất hiện đối với HS:

Chiến lược CL1 (chiến lược truyền thống):

Gọi 𝐴′(2; −2) là điểm đối xứng của 𝐴 qua trục 𝑂𝑥

Gọi 𝐶(𝑥; 0) là bất kì thuộc trục 𝑂𝑥.

Ta có: 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 𝐴′𝐶 + 𝐵𝐶 ≥ 𝐴′𝐵 (*)

Dễ thấy (*) luôn đúng do bất đẳng thức tam giác và (𝐴𝐶 + 𝐵𝐶) nhỏ nhất bằng 𝐴’𝐵

khi và chỉ khi 𝐴, 𝐶 và 𝐵 thẳng hàng.

; 0ቁ. Khi đó, đường thẳng 𝐴′𝐵 cắt trục 𝑂𝑥 tại điểm 𝐶 ቀ7 2

; 0ቁ là điểm cần tìm Kết luận: điểm 𝐶 ቀ7 2

Chiến lược CL2 (chiến lược đại số)

; 0ቁ. Gọi 𝐶′(𝑥; 0) là điểm bất kì thuộc 𝑂𝑥. Cần chứng Trên tia 𝑂𝑥 lấy điểm 𝐶 ቀ7 2

minh: 𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵  10, ∀𝑥 .

Thật vậy, 𝐴𝐶’ + 𝐶’𝐵  10

 √(𝑥 − 2)2 + 22 + √(8 − 𝑥)2 + 62 ≥ 10

 √(𝑥 − 2)2 + 22 ≥ 10 − √(8 − 𝑥)2 + 62 (∗)

Dễ thấy rằng (∗) là luôn đúng và dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 = 3.5.

Chiến lược CL3 (chiến lược hàm số)

Đặt 𝐶(𝑥; 0), khi đó ta có:

𝐴𝐶 = √(𝑥 − 2)2 + (0 − 2)2

𝐵𝐶 = √(𝑥 − 8)2 + (0 − 6)2

Nhu vậy, ta có hàm số 𝑓(𝑥) được xác định bằng tổng 𝐴𝐶 và 𝐵𝐶:

𝑓(𝑥) = √(𝑥 − 2)2 + (0 − 2)2 + √(𝑥 − 8)2 + (0 − 6)2 với 𝑥 ∈ [0; 8]

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥) để tổng nhỏ nhất.

𝑥 (𝑥 − 8) 𝑓′(𝑥) = + √(𝑥 − 8)2 + (0 − 6)2 √(𝑥 − 2)2 + (0 − 2)2

𝑓(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 7 2

270

Bảng biến thiên:

𝑥 +∞ −∞ 7 2

𝑓′(𝑥) 0

𝑓(𝑥) 10

Theo bảng biến thiên ta có:

𝑓(𝑥) = √(𝑥 − 2)2 + 22 + √(8 − 𝑥)2 + 62 ≥ 10

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 = 7 2

; 0ቁ Khi đó, 𝐶 ቀ7 2

Chiến lược CL4 (chiến lược hàm số)

Đặt 𝐶𝐴1 = 𝑥, khi đó ta được:

𝐶𝐵1 = 6 − 𝑥; 𝐴𝐶 = √22 + 𝑥2; 𝐵𝐶 = √62 + (6 − 𝑥)2

Như vậy ta có hàm số 𝑓(𝑥) được xác định bằng tổng khoảng cách AC và BC

𝑓(𝑥) = √22 + 𝑥2 + √62 + (6 − 𝑥)2

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥) để tổng nhỏ nhất.

−(6 − 𝑥) 𝑓′(𝑥) = + 𝑥 √22 + 𝑥2 √62 + (6 − 𝑥)2

𝑓(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 3 2

Bảng biến thiên:

𝑥 +∞ −∞ 3 2

𝑓′(𝑥) 0

𝑓(𝑥) 10

Theo bảng biến thiên ta có: 𝑓(𝑥) = √22 + 𝑥2 + √62 + (6 − 𝑥)2 ≥ 10 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 = 3 2

; 0ቁ Khi đó, 𝐶𝐴1 = 3 suy ra 𝑂𝐶 = 7 2 . Do đó: 𝐶 ቀ7 2

271

Phụ lục 12: Các chiến lược dự kiến có thể đối với bài toán lập phương trình

đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước

Các chiến lược mong đợi đối với HS có thể sử dụng để giải quyết nhiệm vụ lập

phương trình đường tròn đi qua 3 điểm như sau:

Chiến lược S1 (chiến lược sử dụng phương trình): Thay tọa độ của 3 điểm vào

phương trình đường tròn ở dạng tổng quát và giải tìm các hệ số a, b và c

Các bước giải minh họa:

- Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C có dạng:

trong đó tâm bán kính 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, 𝐼(𝑎; 𝑏),

𝑅 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐.

- Vì A, B, C cùng thuộc đường tròn nên, thay tọa độ 𝐴, 𝐵, 𝐶 vào phương trình

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ta được hệ phương trình 3 ẩn 𝑎, 𝑏, 𝑐.

- Giải hệ phương trình, ta được 𝑎, 𝑏 và 𝑐. Thử lại điều kiện, thay các giá trị 𝑎, 𝑏 và

𝑐 vừa tìm được vào phương trình 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 và kết luận.

Chiến lược S2 (chiến lược sử dụng phương trình): Thay tọa độ của 3 điểm vào

phương trình đường tròn ở cơ bản và giải tìm các hệ số 𝑎, 𝑏 và 𝑅2.

Các bước giải minh họa:

- Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 có dạng:

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2, trong đó tâm 𝐼(𝑎; 𝑏), bán kính 𝑅.

- Vì 𝐴, 𝐵, 𝐶 cùng thuộc đường tròn nên, thay tọa độ 𝐴, 𝐵, 𝐶 vào phương trình

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 ta được hệ phương trình 3 ẩn a, b, R.

- Giải hệ phương trình, ta được 𝑎, 𝑏, 𝑅;

- Thay các giá tìm được vào phương trình trị 𝑎, 𝑏, 𝑅 vừa

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2

và kết luận.

Chiến lược S3 (Tìm tâm và bán kính): Vận dụng sự liên hệ giữa tâm và bán kính

của đường tròn

Các bước giải minh họa:

- Gọi 𝐼(𝑎; 𝑏) là tâm đường tròn đi qua ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶;

272

- Giải hệ phương trình { , tìm giá trị của 𝑎 và 𝑏; 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 𝐼𝐴 = 𝐼𝐶

- Tính bán kính 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶;

- Thay các giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑅 vào (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 và kết luận

Chiến lược S4 (Tìm tâm và bán kính): Đường trung trực của hai dây cung cắt

nhau tại tâm của đường tròn

Các bước giải minh họa:

- Viết phương trình đường hai đường trung trực ứng với hai cạnh của tam giác

- Tâm I là giao điểm của hai đường trung trực

- Bán kính 𝑅 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶

- Thay các giá trị a, b, R vào (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 + 𝑏)2 = 𝑅2 và kết luận

Chiến lược S5 (Tìm tâm và bán kính): Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Các bước giải minh họa:

- Viết phương trình đường thẳng 𝑑1 qua 𝐵 và vuông góc với 𝐴𝐵;

- Viết phương trình đường thẳng 𝑑2 qua 𝐶 và vuông góc với 𝐶𝐴;

- Xác định tọa độ giao điểm 𝐷 của 𝑑1 và 𝑑2.

- Khi đó, 𝐴𝐷 là đường kính của đường tròn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵 và 𝐶 có tâm là trung

điểm của 𝐴𝐷.

* Trường hợp đặc biệt, khi tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴 thì đường tròn đi qua 3 điểm

𝐴, 𝐵 và 𝐶 có tâm là trung điểm của 𝐵𝐶, bán kính là 𝐵𝐶 2

Chiến lược S6 (sử dụng phương trình): Chùm đường tròn

Các bước giải minh họa:

- Viết phương trình đường thẳng 𝐵𝐶 có dạng 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (1)

- Viết phương trình đường tròn đường kính BC có dạng

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 (2)

- Chùm đường tròn đi qua 2 điểm 𝐵 và 𝐶 là

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 + 𝑘(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶) = 0 (3

- Tìm 𝑘. Chùm đường tròn đi qua điểm 𝐴, ta thay tọa độ điểm 𝐴 vào để tìm 𝑘

- Thay 𝑘 vào (3), thu gọn ta được phương trình cần tìm.

Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học khám phá hình học 10 với sự hỗ trợ của phần mềm động GeoGebra

Mục tiêu chung của luận án là nghiên cứu phát triển mô hình dạy học khám phá với sự hỗ trợ của GeoGebra và nghiên cứu ảnh hưởng nó đối với HS trong việc tìm kiếm lời giải bài tập toán.

Chủ đề:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lê Viết Minh Triết

DẠY HỌC KHÁM PHÁ HÌNH HỌC 10

VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM ĐỘNG

GEOGEBRA

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

––––––––––

Lê Viết Minh Triết

DẠY HỌC KHÁM PHÁ HÌNH HỌC 10

VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM ĐỘNG

GEOGEBRA

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. TS. NGUYỄN PHÚ LỘC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2021

Trang

1. Lí do chọn đề tài

2. Đề tài nghiên cứu

3. Mục tiêu nghiên cứu

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

5. Phạm vi nghiên cứu

6. Phương pháp nghiên cứu

7. Cấu trúc của luận án

8. Những luận điểm cần bảo vệ

9. Những đóng góp chính của luận án về khoa học và thực tiễn

1 n ạ o đ

i a i G

2 n ạ o đ

i a i G

Công cụ GeoGebra

Kết quả 1) HS phát biểu được định

h n i s c ọ h

a ủ c

g n ộ đ

) t ậ u h t ĩ

t ạ o H

k ợ r t

ỗ h V G

(

S H

a ủ c

g n ộ đ

Đối tượng (Đường tròn)

t ạ o H

mục tiêu giúp HS tập trung phân tích đặc trưng của phương trình hiển thị ở cửa sổ

“đại số” của GeoGebra. Tương ứng với hành động của GV, HS thực hiện hành

động so sánh đối chiếu các yếu tố đặc trưng của đường tròn xuất hiện trong

phương trình và trên hình vẽ nhằm mục tiêu tìm ra mối liên hệ giữa biểu diễn “đại

số” và biểu diễn “hình học” của đường tròn, tìm ra và liệt kê các tính chất giống

các thao tác tư duy (so sánh, phân tích, tổng hợp, …). Nhờ GeoGebra phản hồi

“phương trình” của đường tròn ngay tức thời khi HS thực hiện thao tác biểu diễn

“hình học” của nó, HS phát hiện được các đặc điểm đặc trưng của phương trình

đường tròn. Chẳng hạn, HS.An chỉ ra chính xác vị trí xuất hiện tương ứng của hoành

Kết quả 1) HS phát biểu được định

h n i s c ọ h

a ủ c

g n ộ đ

) t ậ u h t ĩ

t ạ o H

k ợ r t

ỗ h V G

(

S H

a ủ c

g n ộ đ

t ạ o H

Kết quả HS phát biểu và nhận dạng được mối liên hệ hình học giữa: (a) tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm với trục lớn; (b) bán trục lớn với bán trục nhỏ và bán tiêu cự.

h n i s c ọ h

a ủ c

g n ộ đ

) t ậ u h t ĩ