Đề tài: Dạy học mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích trong môi trường tích hợp mềm Cabri II

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH __________________________ Nguyễn Thị Hồng Cúc DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA HÀM SỐ THÔNG QUA BÀI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP MỀM CABRI II

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán

Mã số: 60 14 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị - Didactic Toán.

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học. - Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Long Phú – Vĩnh Long đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian theo học cao học ở trường ĐHSP, đồng thời đã nhiệt tình hỗ

trợ tôi tiến hành thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2. - Ths Dương Hữu Tòng, là giảng viên trường ĐH Cần Thơ và cũng là học viên khóa trước, đã động viên và chia sẻ cho tôi rất nhiều kinh nghiệm quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó

khăn trong quá trình học tập.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, những

người luôn là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt.

NGUYỄN THỊ HỒNG CÚC

MỞ ĐẦU

1. CÁC GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT.

Hàm số là khái niệm quan trọng trong toán học hiện đại và trong nội dung dạy học toán phổ

thông ở Việt Nam. Hàm số qua các chương trình cải cách giáo dục được đưa vào giảng dạy cho học

sinh ở lớp 7, 9, 10, 11, 12. Cụ thể, lớp 9 học sinh học về hàm số bậc nhất và hàm số bậc 2 dạng y = ax2(a  0), lớp 10 học sinh được ôn lại các hàm số đã học ở lớp 9, hàm số dạng y = ax2 + bx + c

(a  0) .Lớp 11, đưa vào học hàm số lượng giác. Lớp 12 học sinh được học về hàm số lũy thừa, mũ,

logarit, bậc 3, trùng phương, nhất biến, bậc 2 trên bậc nhất. Đặc biệt, ở lớp 12, nội dung này được

đưa vào giảng dạy với thời lượng khoảng 50% so với cả chương trình giải tích 12.

Mặt khác, nội dung khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trở thành câu hỏi không thể thiếu trong tất

cả các đề thi tốt nghiệp phổ thông và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Liên quan với nội dung

khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là câu hỏi về cực trị của hàm số. Người ta nhận thấy học sinh gặp khá

nhiều khó khăn khi bắt đầu vào học nội dung này.

Để học sinh phát triển được tính tư duy sáng tạo và một tiết dạy tập trung vào hoạt động của

học sinh, SGK cải cách 2006 đòi hỏi phải đổi mới PPDH.

Theo TS. Nguyễn Chí Thành, Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội “Hiện nay ứng dụng công nghệ

thông tin và truyền thông trong dạy học là điều tất yếu khi nói đến đổi mới phương pháp dạy học,

đặc biệt trong dạy học môn Toán…. Ứng dụng của công nghệ thông tin vào DH môn Toán cũng

không có nghĩa là chỉ sử dụng các công nghệ phần mềm DH để trình diễn, minh hoạ các kết quả

tính toán hay mô phỏng mà còn cần phải xây dựng các tình huống dạy học để tạo ra các môi trường

có tích hợp các CNTT nhằm giúp hs xây dựng vào khám phá các kiến thức mới”.

Tuy nhiên, SGK chưa có các hoạt động với phần mềm DH. Trong thực tế giảng dạy ở nhiều

trường phổ thông, các phần mềm DH bước đầu được nhiều GV quan tâm sử dụng như Cabri,

Geospace,… Song “việc sử dụng chỉ dừng ở mức độ minh hoạ tính chất và mô phỏng chuyển động

của hình trong các bài giảng điện tử của môn hình học”. Vấn đề chưa được ứng dụng trong toán

giải tích.

Trong các phần mềm, Cabri II Plus lôi cuốn chúng tôi nhiều nhất bởi nó có một giao diện

thân thiện với các biểu tượng, câu lệnh dễ nhớ. Cabri II Plus là một vi thế giới đã được việt hoá, có

tính tương tác cao, có thể tạo ra hình vẽ trực quan, và những hình ảnh này dễ dàng thay đổi vị trí

bằng các thao tác “rê” chuột. Điều này đặt ra câu hỏi về vai trò của phần mềm dạy học Cabri II Plus

trong thể chế DH Việt Nam.

Các bài toán thực tế xuất hiện ngày càng nhiều trong dạy học toán, vật lý, hóa học và sinh

học. Trong dạy học ở trung học phổ thông, khi nó nhờ đến một sự hình thức hóa toán học để hỗ trợ

nghiên cứu các bài toán thực tế, sự hình thức hóa này được điều khiển qua các mô hình toán học

sinh ra các hiện tượng dạy học mà công việc hiện tại của chúng tôi đang cố gắng làm rõ.

Trong việc mô hình hoá hàm số, có nhiều bài toán thể hiện chúng như: bài toán tính diện

tích, bài toán chuyển động, bài toán tính thể tích,…Trong các bài toán này, bài toán tính diện tích là

bài toán được nhắc lại rất nhiều lần cho HS qua các bài tập từ cấp tiểu học đến THPT. Mặt khác, bài

toán diện tích xuất hiện thường xuyên trong các nội dung dạy học hàm số và việc giải các bài toán

này bị rút gọn lại theo một quy trình: chọn biến (thường đã cho sẵn), tính công thức, khảo sát hàm

số (thường là hàm đa thức), kết luận. Vì thế, chúng tôi chọn nghiên cứu dạy học bài toán này trong

dạy học nội dung hàm số.

Từ những ghi nhận ban đầu trên đưa chúng tôi đến với những câu hỏi xuất phát sau:

Q1: Hàm số và bài toán diện tích được trình bày như thế nào trong chương trình Đại số và Giải tích

từ 2006 ở Việt Nam?

Q2: Trong chương trình Toán PT, SGK 2006 có những tình huống và dạng bài tập nào về mô hình

hoá hàm số?

Q3: Cách trình bày bài toán mô hình hóa của SGK đã ảnh hưởng như thế nào đến người học?

Q4 : Có thể vận dụng phần mềm II Plus Cabri, để xây dựng nội dung dạy học trong các bài toán liên

quan đến mô hình hoá khái niệm hàm số như tính diện tích hay không?

2. PHẠM VI LÝ THUYẾT THAM CHIẾU:

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi vận dụng lý thuyết

didactique Toán. Cụ thể, đó là một số khái niệm công cụ của lý thuyết nhân học, lý thuyết tình

huống và hợp đồng didactique.

Tại sao lại là “lý thuyết nhân học”? Bởi vì hai trong bốn câu hỏi của chúng tôi đều liên quan

đến khái niệm cơ bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế với một đối tượng tri

thức, tổ chức toán học.

Hai câu hỏi xuất phát còn lại có liên quan đến các khái niệm trong lý thuyết tình huống.

Ngoài ra, chúng tôi có nghiên cứu thêm lý thuyết về dạy học mô hình hóa để trả lời cho các

câu hỏi có liên quan đến mô hình hóa.

Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thoả đáng của sự lựa

chọn phạm vi lý thuyết của mình.

Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức:

Một đối tượng một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá

nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X

có đối với O. R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O.X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao.

Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “hàm số và bài toán diện tích”

Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức:

Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lững ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một

thể chế. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào

đó mà có sự tồn tại của X.

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp

các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O.

Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng

buộc của R(I, O).

Với những định nghĩa trên thì trả lời câu hỏi Q1, Q2 chính là làm rõ quan hệ của các thể chế

mà chúng tôi quan tâm và mối quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng O.

Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học theo chương trình được tiến hành

đại trà từ năm học 2006 – 2007.

Vậy làm thế nào để làm rõ mối quan hệ R(I, O), R(X,O)?

Theo Bosch và Chevallard.Y(1999), nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O sẽ làm

sáng tỏ mối quan hệ R(I, O).Ngoài ra, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho

phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O.

Trong luận văn này việc xác định các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng O, liên quan

đến hàm số và bài toán diện tích, sẽ cho phép chúng tôi:

- Vạch rõ các mối quan hệ của thể chế R(I,O).

- Xác định mối quan hệ cá nhân học sinh duy trì với O trong thể chế I.

Vậy, “ một tổ chức toán học” là gì?

2.3. Tổ chức toán học:

Hoạt động toán học là một bộ phận của họat động xã hội. Do đó cũng cần thiết xây dựng

một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard

(1998) đã đưa vào khái niệm Praxeologie.

Theo Chevallard, mỗi Praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần:[T, , , ], trong đó:T là một

kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lí

thuyết giải thích cho , nghĩa là công nghệ của công nghệ .

Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức

toán học (organisation mathématique).

. Sự mô hình hoá:

Trong didactic toán, người ta có nói đến dạy học mô hình hoá và dạy học bằng mô hình hoá.

Điều này là một trong những mối quan tâm của chúng tôi khi nghiên cứu chương trình, sách giáo

khoa và thực hành giảng dạy của giáo viên.

Chính vì vậy, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày ở đây một cách ngắn gọn về quá trình mô hình

hoá để sử dụng công cụ toán học vào giải quyết một vấn đề của thực tiễn hay của các khoa học khác

và sau đó là vấn đề dạy học mô hình hoá và bằng mô hình hoá.

Mô hình là một đối tượng cụ thể nào đó dùng thay thế cho một nguyên bản tương xứng để

có thể giải quyết một nhiệm vụ nhất định trên cơ sở sự đồng dạng về cấu trúc và chức năng.

Mô hình toán học là một mô hình biểu diễn toán học của những mặt chủ yếu của một

nguyên bản theo một nhiệm vụ nào đó, trong phạm vi giới hạn, với một độ chính xác vừa đủ và

trong dạng thích hợp cho sử dụng. Cụ thể hơn, mô hình toán học là các công thức để tính toán các

quá trình hoá học, vật lý, sinh học,… được mô phỏng từ hệ thống thực.

(Theo http://www.hcmier.edu.vn/vie/IER-DeptGeoinfo/Geoinfo-Modeling.htm)

Quá trình mô hình hoá toán học được minh hoạ bằng sơ đồ sau:

Câu trả lời cho bài toán có nội dung thực tiễn

Hệ thống, tình huống cần giải quyết (bài toán có nội dung thực tiễn)

Phạm vi ngoài toán học

Bài toán phỏng thực tế (BTPTT)

Câu trả lời choBTPTT

Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt

(1) (5)

Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt

Bài toán toán học (BTTH)

Câu trả lời choBTTH

Giải (3)

Phạm vi toán học

(2) (4)

Tham khảo sơ đồ - quy trình mô hình hoá một hệ ngoài toán học, Coulange (1997)

Bước (1): tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống, tình huống cần giải quyết (bài toán

có nội dung thực tiễn) để đưa vào một bài toán phỏng thực tiễn (BTPTT) bằng cách:

Loại bỏ những chi tiết không quan trọng làm cho bài toán có nội dung thực tiễn trở nên dễ

hiểu và dễ nắm bắt hơn. Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ thống. Rút ra những

mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi của hệ thống.

Bước (2): Chuyển từ một BTPTT thành bài toán toán học (BTTH) bằng cách sử dụng hệ thống biểu

đạt, công cụ toán học. Như vậy, mô hình hóa toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán

học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được

bản chất của hiện tượng. Mô hình toán học thiết lập các mối liên hệ giữa các biến số và các tham số

điều khiển hiện tượng.

Như vậy, sau hai bước đầu ta đã phát biểu được bài toán cần giải.

Bước (3): Tìm và áp dụng các công cụ toán học để giải BTTH.

Bước (4): Nhìn lại các thao tác đã làm ở bước (2) để chuyển ngược lại từ câu trả lời của bài toán

toán học sang câu trả lời cho BTPTT.

Trong bước này cần phải xác lập mức độ phù hợp với mô hình lí thuyết với vấn đề thực tế mà

nó mô tả. Để thực hiện bước này, có thể làm thực nghiệm hoặc áp dụng phương pháp phân tích

chuyên gia.

Ở đây có 2 khả năng :

Khả năng 1. Các kết quả tính phù hợp với thực tế. Khi đó có thể áp dụng nó vào việc giải quyết vấn

đề thực tế đặt ra.

Khả năng 2. Các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Trong trường hợp này cần phải xem

xét các nguyên nhân của nó. Nguyên nhân đầu tiên có thể do các

kết quả tính toán trong bước 3 là chưa có đủ độ chính xác cần thiết. khi đó cần phải xem lại các thực

tế cũng như các chương trình tính toán trong bước này. Một nguyên nhân khác rất có thể là do mô

hình xây dựng chưa phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế. Nếu vậy, cần phải rà soát lại bước 1,

trong việc xây dựng mô hình định tính có yếu tố hoặc quy luật nào bỏ xót không ? Cuối cùng, cần

phải xem xét hoặc xây dựng lại mô hính toán học ở bước 2.

Bước (5): Phân tích kết quả thu được từ BTPTT, nhìn lại những gì đã làm ở bước (1) để chuyển từ

câu trả của BTPTT sang câu trả lời cho bài toán có nội dung thực tiễn.

Như vậy, quá trình mô hình hoá toán học đã khai thác việc sử dụng mô hình toán học kết hợp

với sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt. Điều đó đã tạo nên thế mạnh của quá trình mô hình

hoá toán học: giải quyết được nhiều vấn đề phức tạp, đa dạng trong nhiều phạm vi ngoài toán học.

Vấn đề dạy học mô hình hoá và bằng mô hình hóa đã được tác giả Lê Văn Tiến trình bày

trong giáo trình “Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông” (2005). Dạy học mô hình

hoá là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu

hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn. Từ đó, một quy trình dạy học tương ứng có thể là: dạy học tri thức

toán học lý thuyết → vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn và do đó vào

việc xây dựng mô hình của thực tiễn. Tuy nhiên, quy trình này làm mất đi vai trò động cơ của các

bài toán thực tiễn và do đó làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học: tri thức toán

học không còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn. Quan niệm “dạy học bằng mô

hình hoá” cho phép khắc phục khiếm khuyết này. Theo quan niệm này, vấn đề là dạy học toán

thông qua dạy học mô hình hoá. Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình

giải quyết các bài toán thực tiễn. Quy trình dạy học tương ứng có thể là: Bài toán thực tiễn → Xây

dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng

tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn.

3. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU:

Từ những ghi nhận ban đầu như trên kết hợp với khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày

lại những câu hỏi nghiên cứu mà việc trả lời chúng là mục tiêu của đề tài này:

Q1: Hàm số và bài toán diện tích được trình bày như thế nào trong các thể chế I1, I2(I1: Đại số 10

nâng cao(2006), I2: Giải tích 12 nâng cao(2008)). Các tổ chức toán học nào liên quan đến hàm số và

bài toán tính diện tích trong các thể chế này?

Q2 : Đối với thể chế dạy học I1, I2 có những tình huống và dạng bài tập nào về mô hình hoá hàm

số?

Q3: Cách trình bày bài toán mô hình hóa của I1, I2 đã ảnh hưởng như thế nào đến người học?

Q4 : Vai trò của phần mềm Cabri với việc dạy học mô hình hoá hàm số trong ra sao? Có những

kiểu nhiệm vụ nào với Cabri trong việc dạy học mô hình hoá hàm số?

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Phân tích chương trình và sách giáo khoa, sách giáo viên Đại số 10, Giải tích 12, tài liệu

hướng dẫn giảng dạy trong chương trình được thực hiện từ năm 2006.

- Mục đích:

+ Biết được cách trình bày các vấn đề về hàm số, bài toán cực trị, đặc biệt là bài toán tính diện

tích của chương trình (CT).

+ Làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng hàm số, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu.

+ Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra.

+ Xây dựng thực nghiệm trên môi trường giấy bút truyền thống và trên phần mềm Cabri, để

biết được tác động từ môi trường trong việc dạy học mô hình hoá hàm số.

5. TỔ CHỨC CỦA LUẬN VĂN

 Phần mở đầu

 Chương I: Quan hệ thể chế với khái niệm hàm số và bài toán diện tích.

Nghiên cứu chương I nhằm trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Muốn thế, chúng tôi tiến

hành phân tích CT , sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số 10, Giải tích 12, tài liệu

hướng dẫn giảng dạy trong chương trình được thực hiện từ năm 2006. Chúng tôi cố gắng chỉ rõ các

tổ chức toán học liên quan. Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan hệ của

từng thể chế với đối tượng hàm số và bài toán diện tích, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu.

Chương II: Thực nghiệm thứ nhất .

+ Được tiến hành trong môi trường giấy bút truyền thống với học sinh.

Chương III: Thực nghiệm thứ hai .

+ Được tiến hành trong môi trường tích hợp của phần mềm Cabri II Plus với học sinh.

 Kết luận.

Tóm tắt những kết quả đạt được ở chương I, II, III và đề xuất một số hướng nghiên cứu có thể

mở ra từ luận văn này.

Chương I: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ

BÀI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH

Mở đầu:

Nghiên cứu chương này nhằm trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Chúng tôi tiến hành phân

tích CT, sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Đại số 10, Giải tích 12, tài liệu hướng dẫn

giảng dạy trong chương trình được thực hiện từ năm 2006. Chúng tôi cố gắng chỉ rõ các tổ chức

toán học liên quan. Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan hệ của từng thể chế

với đối tượng hàm số và bài toán diện tích, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu của đề tài.

Năm học 2006 – 2007, toàn bộ khối 10 các trường phổ thông trong cả nước thực hiện chương

trình mới: chương trình phân ban. Chương trình toán 10 phân thành hai chương trình: chương trình

nâng cao – chương trình cơ bản. Đến năm học 2007 – 2008, toàn bộ khối 11 tiếp tục thực hiện

chương trình phân ban với sự phân chia ban giống như khối 10. Sau đó, đến năm học 2008 – 2009 là

thực hiện chương trình phân ban tương tự cho khối 12.

Trong Đại số-Giải tích, người ta sử dụng “đường cong - đồ thị hàm số” như một công cụ hữu

hiệu để nghiên cứu hàm số. Luận văn này chỉ tập trung nghiên cứu các vấn đề về hàm số, đồ thị kết

hợp với dạy học mô hình hoá hàm số thông qua bài toán tính diện tích. Chúng được trình bày chủ

yếu trong các SGK Đại số 10, Giải tích 12.

Chúng tôi chọn phân tích bộ SGK lớp 10, lớp 12 theo chương trình nâng cao, theo chủ đề

hàm số và bài toán diện tích. Tài liệu phân tích:

+ Sách giáo khoa Đại số 10, nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan

(chủ biên), 2006, NXBGD.

+ Sách giáo viên Đại số 10, nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ

biên), 2006, NXBGD.

+ Sách bài tập Đại số 10, nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2006, NXBGD.

+ Giải tích 12, nâng cao, Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2008,

NXBGD.

+ Sách giáo viên Giải tích 12, nâng cao, Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan

(chủ biên), 2008, NXBGD.

+ Sách bài tập Giải tích 12, nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), 2008, NXBGD.

1.1 Phân tích chương trình (CT) THPT từ năm 2006

1.1.1 CT Đại số 10 nâng cao (10NC)

“Hàm số và đồ thị hàm số” được trình bày ở chương 2, chương “Hàm số bậc nhất và bậc

hai”.Nội dung của chương gồm 3 bài, với 3 tiết luyện tập, được thực hiện trong 11 tiết, phân phối cụ

thể như sau:

1. Đại cương về hàm số (3tiết). Luyện tập (1 tiết).

2. Hàm số bậc nhất (1tiết). Luyện tập (1 tiết).

« Trong chủ đề này, điểm cần nhấn mạnh là yêu cầu về kĩ năng đọc đồ thị, nghĩa là khi cho đồ thị của một hàm

số, hs phải lập được bảng biến thiên của hàm số đó và nêu được những tính chất đơn giản của nó. » (GV, tr.4)

“ Việc khảo sát hàm số, học sinh sẽ được học đầy đủ hơn ở lớp 12, sau khi đã được trang bị thêm công cụ đạo

hàm. Do đó, ở lớp 10, đối với hàm số cho bằng biểu thức( không quá phức tạp), chỉ yêu cầu học sinh biết tìm

tập xác định, xét tính chẵn – lẻ, và xét sự biến thiên bằng cách dùng tỉ số biến thiên đối với một vài hàm số cho

bằng biểu thức đơn giản trên một khoảng cụ thể cho trước.” (Tài liệu bồi dưỡng GV thực hiện CT, SGK toán 10

tr.198)

3. Hàm số bậc hai (2tiết). Luyện tập (1 tiết). Ôn chương (2 tiết).

« - Biết cách tìm giá trị của hàm số tại một điểm cho trước thuộc tập xác định và ngược lại, tìm giá trị của x để

hàm số nhận một giá trị cho trước (nói chung là giá trị gần đúng, tuy nhiên, nếu kết hợp với các phương pháp khác thì

có thể tìm được giá trị chính xác)

- Nhận biết được sự biến thiên và biết lập bảng biến thiên của một hàm số thông qua đồ thị của nó

- Bước đầu nhận biết một vài tính chất của hàm số như : giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số (nếu có), dấu

của hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng

- Nhận biết được tính chẵn-lẻ của hàm số qua đồ thị » [SGV tr.69] Các kiến thức về đồ thị hàm số y=ax2 đã biết ở các lớp dưới vẫn được kế thừa. Đối với các

Khi cho hàm số bằng đồ thị, học sinh cần :

hàm số khác, việc vẽ đồ thị của nó chủ yếu dựa vào những đồ thị đã biết và một số phép biến đổi đồ

thị (phép tịnh tiến đồ thị). Sau đó từ đồ thị suy ra một số tính chất của các hàm số này. SGV tr.71

đồ thị. Sau đó cho HS thừa nhận kết quả tổng quát về mối quan hệ giữa các hàm số mà đồ thị của hàm số này thu được

bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số kia. Đây là sự chuẩn bị cho bài học sau, nhất là bài học về hàm số bậc hai”.

còn viết: “Do tính phức tạp của vấn đề, SGK chỉ trình bày sơ lược và rất trực giác để hs hiểu thế nào là tịnh tiến một

Điều này cho thấy việc đưa vào “phép tịnh tiến đồ thị” nhằm mục đích phục vụ cho yêu cầu “vẽ đồ thị” (một trong những yêu cầu chính của chương) và việc nghiên cứu hàm số bậc hai y=ax2+bx+c và

đồ thị của nó.

Để rèn luyện kĩ năng “đọc đồ thị”, ta thấy SGK luôn trình bày, song song tính chất của hàm số

“Để hs nắm vững khái niệm hàm số, GV cần nhấn mạnh yêu cầu về tính duy nhất của số thực y ứng với mỗi giá

trị của x thuộc tập xác định. Điều đó được thể hiện qua đồ thị như sau: Nếu xo thuộc tập xác định thì đường thẳng song

song với trục tung và đ qua điểm (xo;0) bao giờ cũng cắt đồ thị của hàm số tại một điểm duy nhất (nếu xo không thuộc

tập xác định thì đường thẳng này không cắt đồ thị). Những hình không có tính chất, chẳng hạn đường tròn hay đường

thẳng song song với trục tung không thể là đồ thị của một hàm số nào cả ” [SGV tr.72]

và tính chất của đồ thị tương ứng. Cụ thể:

Tính chất “ứng với mỗi x, luôn có duy nhất một giá trị y” của hàm số y=f(x) được đặt tương

ứng với tính chất của đồ thị “cắt các đường thẳng cùng phương với Oy tại không quá một điểm”

Qua phần trình bày trên ta nhận thấy:

- Yêu cầu “đọc đồ thị” được đặc biệt đề cao. Muốn “đọc đồ thị” thì hoặc là đề bài cho sẵn đồ

thị, hoặc là HS phải vẽ được đồ thị, do đó, vẽ đồ thị cũng đóng vai trò quan trọng. Từ đồ thị hàm số,

suy ra được sự biến thiên, lập được bảng biến thiên của hàm số và nêu được một số tính chất khác

của hàm số.

- Vấn đề tịnh tiến đồ thị chỉ là phương tiện hỗ trợ để HS hiểu tại sao có được đồ thị như vậy.

Do đó, đồ thị hàm số ở lớp 10 không có ý nghĩa minh họa tính chất hàm số, mà chỉ sử dụng để xác

định tính chất của hàm số. Ngoài ra, ở CT lớp 10: chưa đủ công cụ để vẽ đồ thị, HS vẽ đồ thị và

nhìn nhận một cách trực quan.

“Bài toán diện tích” được đề cập rất ít đến trong chương này, ngoại trừ có một bài toán trong bài

tập ôn chương có dùng đến hình vẽ là diện tích S để xác định biểu thức hàm số S(x).

“Bài toán diện tích”, còn được chương trình ĐS10NC đề cập đến trong chương IV: “Bất đẳng thức

và bất phương trình”. Cụ thể, chúng được đề cập trong bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng

thức của chương với mục tiêu:

- Biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến” (SGV ĐS10 NC

tr.153)

“- Nắm vững bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai (ba) số không âm.

1.1.2 CT Giải tích 12 nâng cao (12NC)

Vấn đề liên quan đến “hàm số và đồ thị hàm số” được trình bày ở chươngI, chương: “Ứng

dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số”. Chương này gồm 8 bài, được

dự kiến phân phối dạy trong 23 tiết, cụ thể như sau:

1.Tính đơn điệu của hàm số ( 3 tiết)

2. Cực trị của hàm số (2 tiết)

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( 3 tiết)

4. Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ trục toạ độ (1 tiết)

5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (3 tiết)

6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm đa thức (3 tiết)

7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm phân thức hữu tỉ(3 tiết)

8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị (3 tiết). Ôn chương (2tiết).

Trong chương trình có một số bài tập mà nội dung mang tính thực tế. Chúng giúp cho HS

thấy được những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán thực tế. Khi giải một số bài tập

thuộc loại này, ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập

hợp số nguyên dương.

Nội dung của chương là một số ứng dụng quan trọng của lý thuyết giới hạn và đạo hàm trong

chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao.

“Trong giảng dạy, GV nên hướng dẫn HS lập bảng biến thiên hàm số, giúp các em hiểu ý nghĩa của của bảng

biến thiên và sử dụng nó để xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”.

(SGV GT12NC tr.20)

Tính đơn điệu của hàm số được xác định nhờ vào dấu của đạo hàm. Mang tính chất kế thừa,

tính đơn điệu của hàm số được suy ra từ tính chất đơn điệu của hàm số ở chương trình Đại số 10

nâng cao. Ngoài ra, tính đơn điệu của hàm số trong chương trình không chỉ được xét trên một

khoảng mà cả trên đoạn và trên nửa khoảng.

Định nghĩa cực trị của hàm số được đưa vào trực tiếp mà không xuất phát từ bất kỳ một động

luyện cho HS vận dụng thành thạo 2 quy tắc để tìm cực trị của hàm số.” (SGV GT12NC tr.30)

cơ nào. Sau đó giới thiệu hai quy tắc tìm cực trị mà sách giáo viên nêu yêu cầu như sau: “kỹ năng: rèn

Ứng dụng tính đơn điệu và cực trị hàm số, vấn đề này được chương trình tiếp tục mở rộng khai

thác là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, đây là nội dung có nhiều bài toán mang

tính thực tế.

Chủ đề “hàm số và vẽ đồ thị hàm số” được thể hiện ở các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

của các hàm số đó. Dựa vào đạo hàm, các tính chất của hàm số (sự biến thiên, cực trị, GTLN –

GTNN, …) đã được xác định rất rõ, từ đó đồ thị hàm số được vẽ ra như một mô hình minh họa các

tính chất của hàm số.

“ Việc tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số được thực hiện ngay từ đầu khi khảo sát sự biến

thiên của hàm số. Nhờ đó, sau khi xét dấu đạo hàm, có thể lập ngay được bảng biến thiên của hàm số.

HS dễ dàng đọc được một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN , … trên bảng biến

thiên đó.”

Mặt khác, SGV Giải tích 12 NC tr.64 lưu ý như sau:

Ngoài ra, sau mỗi đồ thị hàm số SGK yêu cầu đưa ra nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi xin phân tích một số nội dung thường gặp liên

quan đến hàm số và nội dung bài toán tính diện tích. Chúng tôi lựa chọn phân tích các nội dung xuất

hiện trong bài 1, bài 3, bài 6, bài 7, bài 8.

Qua phần trình bày về CT Giải tích 12NC chúng tôi nhận thấy:

Đồ thị hàm số ở lớp 12 có ý nghĩa minh họa tính chất hàm số và cũng “có thể” sử dụng để xác

định được một số tính chất của hàm số. Chẳng hạn như: tính chẵn, lẻ (nếu có), tính đơn điệu, cực trị,

GTLN – GTNN trên đoạn, ...Ở đây, chúng tôi sử dụng từ “có thể” vì vấn đề dựa vào đồ thị xác định

được một số tính chất của hàm số là thể chế không mong đợi, đó chỉ là ý kiến cá nhân chúng tôi.

Lớp 12: đủ công cụ để vẽ đồ thị nhờ vào đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, tìm cực trị hàm số,

….

Vậy, vấn đề dạy học mô hình hoá có được thể chế I1, I2 quan tâm đến hay không?

Trước hết, chúng tôi xin đưa ra nhận xét như sau: Trong thể chế I1, có rất ít bài toán mang

tính thực tế. Do đó, dạy học mô hình hóa hàm số chưa được thể chế I1 quan tâm. Nhưng, ở CT Giải

tích 12 có sự xuất hiện nhiều bài toán thực tế nên sự mô hình hoá toán học thông qua các bài toán

thực tế này được thể hiện rõ trong các hoạt động và bài tập. Trong chương trình GT12, bài toán thực

tế liên quan đến bài toán tính diện tích có 8 bài tập xuất hiện, khá nhiều so với chương trình ĐS10.

Chúng tôi sẽ phân tích rõ hơn trong phần phân tích sách giáo khoa.

1.2. Phân tích Sách giáo khoa (SGK) THPT từ năm 2006

1.2.1 Đại số 10 nâng cao (10NC)

Chương II: Hàm số bậc nhất và bậc hai

Bài 1: Đại cương về hàm số

Vì yêu cầu chính của chương này là “đọc đồ thị” nên trong bài này, ta thấy luôn có sự trình bày

song song các tính chất của hàm số và tính chất tương ứng của đồ thị. Hơn nữa, “phép tịnh tiến đồ

thị” cũng hỗ trợ cho việc giải thích các kỹ thuật vẽ một số đồ thị hàm số quy định trong chương

trình và giúp giải thích, tìm ra một số tính chất của đồ thị hàm số.

Luận văn Thạc sĩ “ Hàm số và đường cong trong day học toán ở trường phổ thông” của tác giả

Bùi Thị Ngát (2008), Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, rất gần với vấn đề mà chúng tôi

nghiên cứu trong phần này. Tác giả đã đề cập đến các tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ:

Tdoc: Đọc đồ thị (xét sự biến thiên, tính chẵn lẻ của hàm số, xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…. 1 : chứng minh tính chất của đồ thị hàm số dựa vào công thức hàm số ; của hàm số bằng đồ thị) ; Tcm

Tvt-ct : Tìm hàm số có đồ thị (G’), trong đó (G’) có được khi tịnh tiến đồ thị (G) của một hàm số đã

cho bởi một phép tịnh tiến song song với trục tọa độ đã cho.

Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy trong phần bài tập có bài tập số 2 mang tính chất thực tế như

sau :

Từ bài tập này, xuất hiện kiểu nhiệm vụ: Tbttt : Bài toán thực tế, với kỹ thuật giải quyết như sau :

+ Nhìn vào bảng xác định tập xác định.

+ Ứng với một giá trị của năm, ta có một giá trị sản lượng trên mỗi cột.

Bài 2: Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0), vấn đề mà HS được học khá đầy đủ ở lớp dưới.

Trong bài 2 này không thấy xuất hiện kiểu nhiệm vụ Tbttt.

(2): Vẽ đồ thị hàm số y=ax2+bx+c này. Từ đồ thị hàm số, lập

Bài 3: Hàm số bậc hai

Kiểu nhiệm vụ kiểu nhiệm vụ Tve

được bảng biến thiên, sau đó xác định các tính chất của hàm số.

Từ đồ thị hàm số y= ax2+bx+c, SGK lập bảng biến thiên cho hàm số này, sau đó có 1 vd như

sau :

Áp dụng kết quả trên, hãy cho biết sự biến thiên của hàm số y=-x2+4x-3. Vẽ đồ thị của hàm số đó

Giải

Ta tính được





2;



 1

b a 2

 4 a

Vậy đồ thị hàm số y==-x2+4x-3 là parabol có đỉnh I(2;1), nhận đường thẳng x=2 làm trục đối xứng và hướng bề

lõm xuống dưới[…]

Vd tr.57, SGK :

Chưa vẽ đồ thị, nhưng SGK vẫn kết luận được đồ thị hàm số trên là một parabol, do vận dụng

kết quả đã tìm được trong phần lý thuyết.

Ngoài ra, trong bài 3 này, phần bài tập SGK có đưa ra 4 bài toán thực tế: bài toán bóng đá, Bài

toán về cổng Ac-xơ(Arch), bài toán tàu vũ trụ và một bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học

(nằm trong bài tập ôn chương). Đây là những bài toán mang tính chất thực tế. Muốn giải chúng,

chúng ta đưa vào quy trình dạy học mô hình hoá toán học.

Chúng tôi xin nêu bốn bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ Tbttt, mà SGK ĐS10NC đưa ra như sau:

Bài toán bóng đá: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của

quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ

khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m.

Sau đó 1 giây, nó đạt đến độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng

trong tình huống trên.

b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn).

“Bài 37 trang 60 SGK ĐS10 NC

c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên(tính chính xác đến hàng phần trăm).

Bài 38 trang 61SGK ĐS10 NC

Bài toán về cổng Ac – xơ (Arch):

Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu – i (Mĩ)ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống

dưới, đó là cổng Ac – xơ. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình 2.22 (x và y

tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10; 43).

a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên.

b) Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (

Hình vẽ 2.22)

Từ những vấn đề được nêu ra trong bài 37, 38, 45, 46 chúng tôi có thêm kiểu nhịêm vụ :

Tbttt : bài toán thực tế (bài toán hình học cũng được xét vào kiểu nhiệm vụ này): xác định hai kiểu nhiệm vụ

con:

 Kiểu nhiệm vụ Tbtkdt: bài toán thực tế không liên quan đến tính diện tích.

(bài 37, 38, 46)

Kỹ thuật τbtkdt :

Tìm mối quan hệ giữa tung độ(biến phụ thuộc) và hoành độ(biến độc lập). Từ đó, suy ra biểu

thức hàm số.

Sử dụng các tính chất của hàm số tìm tung độ đỉnh và độ cao.

Công nghệ btkdt:Tính chất của hàm số và tính chất tương ứng của đồ thị hàm số.

 Kiểu nhiệm vụ Tbtdt: bài toán thực tế liên quan đến tính diện tích. (bài tập 45)

Kỹ thuật τbtdt :

Dựa vào công thức tính diện tích của hình chữ nhật, tìm mối quan hệ giữa vị trí điểm

M và diện tích hình chữ nhật tương ứng với vị trí điểm M đó.

Công nghệ btdt: Công thức tính diện tích hình chữ nhật, tính chất hàm số trên từng khoảng,

đoạn.

Bảng 1.1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ:

(Trích : Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số và đồ thị CT Toán 10, luận văn thạc

sĩ, tác giả: Bùi Thị Ngát (2008), ĐHSP TP.HCM

Kiểu nhiệm vụ

quitac

hsT

SGK SBT Tổng cộng Vd- hđ Bt

1 1 2

tinh TXD

bthien

3 2 5 Ths Hàm số 3 3 6 Ths

chanle

3 3 Ths

2

2 2 4 Ths

veT

2 3 8 13 Quan Hàm số hệ 1 1 Tlt đồ thị giữa 2 1 3 Tct-đt

1 Tcm

hàm 1 1 2

số và 1 2 2 5 Đồ thị Tbpt đồ thị hàm số 3 1 4 Tđt-ct

6 2 8 Tđoc

2 1 3 Tnhandang

Công thức

vị trí tương Tct-vt 3 1 4 ứng của hai

đường cong

Vị trí tương 6 5 11 Tvt-ct

ứng của hai

đường cong 1 1 2 Tgđ

công thức

Tổng cộng 76

Quan sát bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy:

2; Tvt-ct;

Liên quan đến mối liên hệ giữa hàm số và đồ thị hàm số có những kiểu nhiệm vụ Tve

Tdoc; Tbpt chiếm số lượng nhiều trong các bài tập được nêu trong SGK, SBT. Điều này cho chúng ta

thấy 2 loại nhiệm vụ trọng tâm trọng chương trình ĐS 10 là vẽ đồ thị hàm số bậc hai (dựa vào công

thức hàm số) và tìm các tính chất của hàm số dựa vào đồ thị. Ba kiểu nhiệm vụ Tvt-ct; Tdoc; Tbpt cũng

được giải quyết chủ yếu dựa vào đồ thị

Ngoài ra, chúng tôi thống kê thêm kiểu nhiệm vụ có liên quan đến bài toán thực tế.

Bảng 1.2

Bài 1 Bài 2 Bài 3 Ôn chương Kiểu nhiệm Tổng

vụ cộng SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT

0 0 0 0 0 0 1 0 1 Tbtdt Tbttt 1 0 1 1 2 0 1 0 6 Tbtkdt

Liên quan đến “hàm số và bài toán tính diện tích” trong I1, Chương IV: “Bất đẳng thức và

bất phương trình”, bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức, có xuất hiện kiểu nhiệm vụ:

“Một khách hàng đến một của hàng bán hoa quả mua 2kg cam đã yêu cầu cân hai lần. Lần đầu, người bán hàng đặt

quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa cân bên trái cho đến khi cân thăng bằng và lần sau, đặt quả cân

1kg lên đĩa cân bên trái và đặt cam lên đĩa cân bên phải cho đến khi cân thăng bằng. Nếu cái cân đĩa đó không chính

xác (do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau) nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam

hay không? Vì sao?”

Bài tập trong SBT tr.105:

“4.22. Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 50 cm. Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông

bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất”

Tbttt: Bài toán thực tế . Bài toán cụ thể SGK tr.112 như sau:

“4.25. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O có bán kính R (R>0). Trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy hai

điểm A và B sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó.

Hãy xác định tọa độ của A và B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.”

Trong 3 bài này có bài 4.22, khi giải thường HS chọn biến, thể tích là một biểu thức chứa

biến. Do đó, khi giải bài toán dạng này HS phải đưa vào quá trình mô hình hóa toán học.

Đối với kiểu nhiệm vụ Tbttt, chương I trong SGK và SBT ĐS10NC, có 7 bài toán phỏng thực tế

liên quan đến hàm số. Chương 4, có 3 bài toán thực tế, trong đó có 1 bài khi giải cần lập biểu thức

của hàm số. Tất cả các bài toán thực tế của hai chương, chúng có chung đặc điểm như sau: Dữ liệu

bài toán vừa đủ, không thừa, không thiếu. Trong các bài toán này, vấn đề chọn biến để tìm ra được

công thức của hàm số thì đề bài đã chọn sẵn, HS không có nhiệm vụ chọn biến. Ngoài ra, mỗi bài

toán điều có hình vẽ minh họa trong hệ trục tọa độ vuông góc.

Từ đó cho thấy, năm bước của quá trình mô hình hoá có được thể chế quan tâm. Nhưng thực tế cho

thấy nó bị xem nhẹ và không là mục tiêu nhắm đến của chương, chúng chỉ mang nặng tính hình

thức. Tham chiếu với năm bước của quá trình mô hình hoá 1 bài toán thực phỏng thực tế, ta thấy:

Bước 1: Những bài toán thực tế được đưa ra chỉ là những bài toán toán học hoặc phỏng

thực tế nên bước 1 không có điều kiện xuất hiện.

Bước 2: Việc chuyển từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học (hàm số bậc hai) chỉ

mang tính hình thức.

Bước 3: Việc giải bài toán toán học được chú trọng đến cả chi tiết tiến trình giải lẫn kết quả.

Trong khi chỉ cần kết quả đúng để cung cấp cho bài toán phỏng thực tế.

Bước 4: Khâu chuyển từ kết quả của bài toán toán học sang bài toán phỏng thực tế thường

chỉ mang tính hình thức: kết quả đa phần là trùng nhau. Bài toán phỏng thực tế bao giờ cũng có

nghiệm.

Bước 5: Không có điều kiện xuất hiện.

Tiểu kết

- Về định nghĩa khái niệm hàm số trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, chúng mang tính

chất nhắc lại ở lớp dưới và bổ sung thêm về khái niệm này.

- Cung cấp kỹ thuật vẽ một số đồ thị hàm số trong chương trình: hàm số cho bởi nhiều biểu

thức, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số y=ax2+bx+c.

- Phép tịnh tiến đồ thị cho phép giải thích một số tính chất của của đồ thị hàm số: như tên gọi, đỉnh, trục đối xứng của đồ thị hàm số y=ax2+bx+c, điều kiện để 2 đường thẳng song song, trùng

nhau, cắt nhau…

- Trong chương này, từ hàm số ta suy ra một số tính chất của đồ thị hàm số như sau: tính chất

của đồ thị hàm số chẵn, lẻ, tính chất của đồ thị chứa giá trị tuyệt đối (nằm trên trục hoành). Mặt

khác, từ đồ thị hàm số ta có thể nhận biết các tính chất của hàm số: chẳng hạn nhận biết được sự

biến thiên và lập được bảng biến thiên, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số (nếu có), dấu của

hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng, nhận biết được tính chẵn lẻ.

Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng; đồ thị được xem là phương tiện

chủ yếu để khảo sát hàm số trong chương trình Đại số 10.

Qua các tổ chức toán học đã được triển khai, liên quan đến bài toán thực tế là kiểu nhiệm vụ

Tbttt, chúng tôi nhận thấy thể chế I1 không chú trọng khai thác việc dạy học mô hình hoá hàm số.

Đặc biệt, dạy học mô hình hoá hàm số thông qua bài toán diện tích chỉ có 1 bài tập xuất hiện trong

thể chế I1.

Tuy nhiên, những vấn đề chưa thực sự được thể chế I1 quan tâm ở đây, không thể nói là sự

thiếu sót vì lớp 12( thể chế I2) mới là lớp mà HS sẽ đủ công cụ để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ

thị của hàm số. Có thể, vấn đề dạy học mô hình hoá hàm số thông qua bài toán diện tích sẽ thể hiện

một cách rõ ràng.

1.2.3 Phân tích SGK12 nâng cao (12nc)

Như đã nêu trong phân tích chương trình, chúng tôi lựa chọn phân tích các nội dung xuất hiện

trong bài 1, bài 3, bài 6, bài 7, bài 8. Vì, chúng có liên quan mật thiết với đề tài mà chúng tôi đang

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

nghiên cứu.

“ Trong bài này ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến, nghịch biến ) của hàm số.

Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến trong sách giáo khoa đại số10 nâng

cao.[…]

Từ đó, người ta chứng minh được điều kiện sau đây:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f’(x) ≥ 0, với mọi x  I.

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f’(x) ≤ 0, với mọi x  I.

Đảo lại, có thể chứng minh được:

Định lý:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f’(x) > 0, x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I.

b) Nếu f’(x) < 0, x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I.

c) Nếu f’(x) = 0, x  I thì hàm số f không đổi trên khoảng I.

[…]

Người ta thường diễn đạt khẳng định này qua bảng biến thiên sau:

X

a b

f’(x)

+

SGK giải tích 12 NC trang 4 – 5 có nêu:

f(x)

f(b)

f(a)

.[…]

Việc tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của một hàm số còn được nói gọn là xét chiều biến thiên của

hàm số đó.

Qua định lý đã nêu, ta thấy việc xét chiều biến thiên của một hàm số có đạo hàm có thể chuyển về việc xét

dấu đạo hàm của nó.”

Từ phần trích dẫn trên, chúng ta thấy:

(1) Tính đơn điệu của hàm số ở chương trình 12 được xây dựng dựa trên tính đơn điệu của

hàm số ở chương trình lớp 10.

(2) Bảng biến thiên của hàm số được vẽ ra dựa vào dấu đạo hàm.

(3) Đoạn văn cuối của phần trích dẫn cho thấy rằng dấu đạo hàm là căn cứ quan trọng để có

được chiều biến thiên.

Tóm lại trong phần này, định lý được nêu ra như là một quy tắc để học sinh nhớ, áp dụng giải

đúng bài tập, trong khi học sinh có thể không biết được tại sao có định lý này.

Ngoài ra, chúng tôi cũng thấy xuất hiện kiểu nhiệm vụ Tbttt, với kiểu nhiệm vụ con sau:

“Tbtkdt: bài toán thực tế về số dân của một thị trấn”

Bài toán cụ thể như sau: “Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính

bởi công thức:

f

t ( )



t  10 26  5 t

, (f(t) được tính bằng nghìn người).

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995.

b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞). Tìm f’ và xét chiều biến thiên của

hàm số f trên nửa khoảng [0; +∞).

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm).

 Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.

 Vào năm nào thị tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm?”

Kỹ thuật, công nghệ:

a) Tính t vào năm 1980, thay t vào f(t)  số dân năm 1980.

Từ đó tính t vào năm 1995, thay t vào f(t)  số dân năm 1995.

a) Định nghĩa khái niệm hàm số.

b) Tính f’(t)  Kết luận.

a) Định lý về tính đơn điệu của hàm số.

c1) Tính đạo hàm.

Tính t vào năm 1990  f’(t): tốc độ tăng dân số 1990.

Từ đó tính t vào năm 2008  f’(t).

c1) Đạo hàm là hàm số, khái niệm hàm số.

c2) Tính f’(t) = 0,125  t  năm.

c2) Đạo hàm, khái niệm hàm số.

Nhận xét:

Qua phần trình bày trên, chúng tôi nhận thấy trong bài học đầu tiên của thể chế I2 có xuất

hiện bài toán phỏng thực tế. Bài toán phỏng thực tế đưa vào học sinh giải không cần chọn biến, hàm

số đã được biểu thị bằng công thức, chỉ việc ứng dụng khái niệm hàm số, định lí đạo hàm về tính

đơn điệu là chúng ta có được kết quả về số dân và tốc độ tăng dân số của thị trấn. Từ đó ta thấy năm

bước của quá trình mô hình một bài toán phỏng thực tế chưa được thể hiện đầy đủ.

Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

“ Nhiều bài toán dẫn đến việc tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) của hàm số trên một tập hợp số

thực cho trước. Trong bài này ta sẽ ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số để tìm GTLN – GTNN của hàm số.”

Đầu tiên SGK GT12NC tr.17 nhận định:

“ Phương pháp thường được sử dụng để tìm GTLN – GTNN của hàm số trên một tập hợp là lập bảng biến thiên của

hàm số trên tập hợp đó”

(SGK GT12NC tr.19 )

Sau đó, đưa ra định nghĩa về GTLN – GTNN của hàm số một cách trực tiếp và có kết luận như sau:

Từ đó, chúng tôi nhận thấy rằng: bảng biến thiên là công cụ hữu hiệu để tìm GTLN – GTNN

“ Giúp học sinh:

- Có kỹ năng hành thạo trong việc dùng bảng biến thiên của một hàm số để tìm GTLN – GTNN của hàm số

đó.

- Giải một số bài tập liên quan đến việc tìm GTLN – GTNN của hàm số trên một tập hợp số thực cho

trước.”

của hàm số. SGV GT12NC tr39. Có nêu mục tiêu về kỹ năng như sau:

Ở CT ĐS10NC, học sinh đã được học về GTLN – GTNN của hàm số, nhưng ở CT GT12NC,

không nhắc đến kiến thức đã học, mà trực tiếp đưa vào định nghĩa, sau đó là đưa vào hai ví dụ và

một hoạt động áp dụng trực tiếp. Ngoài ra còn có một ví dụ được xem như là một bài toán phỏng

“Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

trên đoạn đó.

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần

lập bảng biến thiên của nó.

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b), có thể trừ một số hữu hạn điểm.

Nếu f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a, b) thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f trên

đoạn [a, b] như sau:

Quy tắc:

1. Tìm các điểm x1, x2,…, xm thuộc (a,b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

2. Tính f(x1), f(x2),…, f(xm), f(a) và f(b).

thực tế. Qua 3 ví dụ như thế các noosphere đưa ra nhận xét và quy tắc như sau:

3. So sánh các giá trị tìm được.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a,b], số nhỏ nhất trong các giá trị là

giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [a, b].”

Trở lại ví dụ 3 về bài toán phỏng thực tế, đây là dạng toán mà chúng tôi quan tâm.

Ngay trong phần bài học thì việc dạy học mô hình hoá hàm số đã được I2 quan tâm. Ngoài

các kiểu nhiệm vụ TLN-NN: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, còn xuất hiện khá nhiều

bài tập thuộc vào kiểu nhiệm vụ Tbttt.

Các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ TLN-NN chủ yếu dựa vào bảng biến thiên hoặc là quy tắc để

giải một cách trực tiếp, do đó chúng tôi xin phép không trình bày. Kiểu nhiệm vụ Tbttt, chúng tôi xác

định 2 kiểu nhiệm vụ con: Tbtdt: bài toán thực tế liên quan đến tính diện tích và Tbtkdt: bài toán thực

tế không liên quan đến diện tích.

Các bài tập liên quan được SGK GT12 NC trình bày từ trang 20 đến 24, được tổng kết trong

bảng sau:

Bảng 1.3

KIỂU NHIỆM VỤ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

BT 19 trang 22 (SGK). Tbtdt: bài toán thực tế

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật liên quan đến tính

diện tích MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm

trên 2 cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí điểm M sao cho hình

chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

BT 20 trang 22 (SGK).

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên

mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sao

một vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam)

Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sao một

vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

KIỂU NHIỆM VỤ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

BT 28 trang 24 (SGK).

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có

diện tích lớn nhất.

BT 23 trang 23 (SGK). Tbtkdt: bài toán thực

tế không liên quan

đến diện tích. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức: G(x) = 0.025x2(30-x)

Trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng

miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm

nhiều nhất và tính độ giảm đó.

BT 25 trang 23 (SGK).Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một

khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của

cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E(v) = cv3t,

Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng Jun. Tìm vận tốc bơi của cá

khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

BT 26 trang 25 (SGK).

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người

nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là: f(t) = 45t2 – t3 , t = 0, 1, 2, …, 25.

Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn [0;25] thì f’(t) được xem là tốc độ

truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.

a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5.

b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó.

c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600.

Xác định chiều biến thiên cua hàm số f trên đoạn [0;25].

Ngoài ra, trong Sách bài tập GT12NC, có 8/10 (80 %) bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ Tbttt, dạng

toán này chiếm tỷ lệ cao trong tất cả các bài tập của bài 3. Ở đây, chúng tôi xin nói thêm, những

dạng toán viết bằng ngôn ngữ hình học cũng được xếp vào kiểu nhiệm vụ Tbttt.

Ta bắt đầu với kiểu nhiệm vụ:Tbtdt: “bài toán thực tế liên quan đến bài toán diện tích”. Hai

bài tập 19 và 20, SGV GT12NC có trình bày lời giải khá cụ thể, còn bài tập 28 chỉ cho kết quả.

Nhưng từ lời giải của hai bài tập 19 và 20, ta có thể rút ra được kỹ huật giải quyết kiểu nhiệm vụ

Tbtdt như sau:

btdt:+ Nếu đề bài đã cho công thức biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng. Ta tìm đạo hàm

của hàm số. Sau đó, lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN – GTNN của hàm

số. Cuối cùng, kết luận cho bài toán thực tế.

+ Nếu đề bài không cho công thức biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng thì trước tiên

phải tìm công thức đó. Sau đó thực hiện các bước tương tự trên.

Công nghệ: btdt: Tính đơn điệu, cực trị, bảng biến thiên của hàm số.

Trong kiểu nhiệm vụ có sự chuyển đổi từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học đối

với bài tập 20. Còn đối với bài tập 19, 28, có sự chuyển đổi bài toán từ phạm vi hình học sang phạm

vi Đại số - Giải tích.

Ngoài ra, hai bài tập 19, 28 được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học. Bài giải của bài tập 19

được thể chế mong đợi như sau:

Tương tự, các bài tập trong sách BT GT12 NC cũng được thể chế yêu cầu giải theo hướng

tương tự. Chúng tôi nhận thấy rằng nếu các bài toán này được đưa ra trong chương trình hình học

thì hầu hết HS sẽ sử dụng các kiến thức hình học để giải toán.

Đối với kiểu nhiệm vụ Tbtkdt: “bài toán thực tế không liên quan đến diện tích.”. Cả ba bài tập

23,25,26 đều được SGV GT12NC trình bày lời giải khá cụ thể. Một kỹ thuật khá phổ biến để giải

quyết kiểu nhiệm vụ này như sau:

btkdt: Giống kỹ thuật btdt.

Công nghệ: btkdt: Giống công nghệ btdt.

Điều này chứng tỏ, SGK đã chú trọng đến những dạng toán mang tính chất hình học, thực tế.

Xét về khía cạnh dạy học mô hình hoá hàm số thì SGK đã có quan tâm đáng kể và thực sự khai

thác.

Tiếp theo đây chúng tôi sẽ phân tích bài 6,7: Về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Chúng tôi không đi vào những đồ thị của những hàm số cụ thể mà chỉ nghiên cứu đồ thị tổng quát.

Chủ đề “khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số” được thể hiện trong “các bước khảo sát

“khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, ta tiến hành các bước sau đây:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Xét sự biến thiên của hàm số.

Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số.

Tìm các đường tiệm cận của hàm số, bao gồm: tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến

thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng biến thiên.

sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số” được nêu trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao:

3. Vẽ đồ thị của hàm số”.

Bước cuối cùng trong việc khảo sát hàm số là thể hiện tất cả các kết quả của hai bước trước

trên đồ thị của hàm số. Muốn cho đồ thị biểu diễn được một cách chính xác hàm số đã cho, trước

khi vẽ cần chính xác hoá một số điểm sau:

1) Vẽ đường tiệm cận của hàm số (nếu có).

2) Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị (chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục

toạ độ).

3) Nhận xét đồ thị: chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị.

Qua phần trích dẫn trên, chúng tôi có rút ra hai nhận xét:

(1) Dễ thấy rằng thể chế mong muốn việc vẽ đồ thị phải được tiến hành sau khi khảo sát sự biến

thiên. Như vậy, đối với HS lớp 12, vẽ đồ thị phải dựa trên bảng biến thiên lập được bằng công cụ

đạo hàm. Do đó, đồ thị hàm số trong thể chế I2 chủ yếu dùng để minh họa tính chất của hàm số.

(2) Trong “Nhận xét” có nói đến việc nhận xét yếu tố đối xứng của các đồ thị, tuy nhiên, noosphère

lại không yêu cầu chứng minh.

Bài 8: “Một số bài toán thường gặp về đồ thị”

“Cách xác định giao điểm của hai đường cong (đồ thị của hàm số).

Khái niệm “hai đường cong tiếp xúc” và cách tìm tiếp điểm của chúng.”

SGV GT12 NC trang 80 nêu mục tiêu bài này như sau:

Với mục tiêu trên SGK GT12 NC đã chia nội dung bài này thành hai phần là: giao điểm của

hai đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong. Trong mỗi phần có các ví dụ và hoạt động minh hoạ

cụ thể. Điều mà chúng tôi quan tâm ở đây là trong phần bài tập mà SGK đưa ra, ngoài những dạng

bài toán tương tự như các ví dụ đã nêu trong phần lý thuyết, có xuất hiện hai bài tập 61 và 67. Nội

Chứng minh rằng với mọi   (0;

, (

) luôn tiếp xúc với parabol () có phương trình là

 ) 2

2

y

 

x



2

2 v 0 g 2

g v 02

và tìm toạ độ tiếp điểm (() được gọi là parabol an toàn).

dung của bài tập như sau:

chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, …) được cho bởi

C(x) = 0,0001x2 – 0,2x + 10000

C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. 10. a) Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.

b) Tỉ số

được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Tính M(x) theo x và

M x ( )



T x ( ) x

tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất. 20. Các khoảng thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu đồng nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí. Giả

sử số cuốn in ra đều được bán hết. a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là L(x) = – 0,0001x2 + 1,8x – 1000.

b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?

c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó.”

Bài 67 trang 58 (SGK): Một tạp chí được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn. Chi phí cho xuất bản x cuốn tạp

Với hai bài toán này, thì kiểu nhiệm vụ Tbttt có cơ hội được xuất hiện một lần nữa với kỹ

thuật giải tổng quát như sau:

61: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol, sau đó tìm toạ độ tiếp điểm

61: Sự tiếp xúc của hai đường cong.

67: Tính tổng chi phí T(x), M(x) theo x. Lập bảng biến thiên tìm giá trị nhỏ nhất của M(x).

Sau đó kết luận về số lượng tạp chí.

Tiếp theo tìm tổng số tiền thu được khi bán x cuốn  L(x).

Đối với câu 2b đưa L(x) > 0 về bất phương trình bậc hai. Giải bất phương trình bậc

hai  kết luận.

Đối với câu 2c: Lập bảng biến thiên tìm giá trị nhỏ nhất của L(x) trên (0; +)  kết luận.

67: cực trị, bảng biến thiên, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Một số kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật có mặt trong sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao với số

lượng bài tập được thống kê lại vào bảng như sau:

Bảng 1.4.

Kiểu Bài 1 Bài 3 Bài 6,7 Bài 8 Ôn chương Tổng

nhiệm vụ cộng SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT

0 0 6 2 3 5 3 0 19 0 0 TLN-NN

0 0 0 0 17 15 6 10 57 6 3 Tksve

1 0 7 8 0 0 3 4 25 2 0 Tbttt

9 15 0 0 0 0 2 1 27 0 0 Tbt

Tổng 8 3 10 15 13 10 20 20 14 15 128 cộng

Như vậy, sự hiện diện của kiểu nhiệm vụ Tbttt nằm trong mục tiêu ban đầu có 25 bài tập,

phân phối trong các bài học mà chúng tôi phân tích. Trong 25 bài tập này có 10 bài tập liên quan

đến diện tích,13 bài tập đã cho sẵn biểu thức hàm số, 11 bài tập không cho biểu thức sẵn mà HS có

thể lập biểu thức khi giải bài tập theo mong đợi của thể chế. Ngoài ra, trong 11 bài tập này có 7 bài

được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học. Nhưng vấn đề ở đây, thể chế mong đợi HS khi giải các bài

tập này là HS thiết lập biểu thức hàm số, HS không cần suy nghĩ nhiều trong việc chọn biến vì trong

mỗi đề bài tập đều đã được chọn biến hoặc vạch hướng chọn biến rất rõ ràng cho HS.

Vấn đề dạy học mô hình hoá hàm số được đề cập thông qua các bài toán thực tế, nó thực sự được

khai thác, phát triển, tham chiếu với năm bước của quá trình mô hình hoá bài toán thực tế, ta thấy.

Bước 1: Những bài toán thực tế được đưa ra chỉ là những bài toán toán học hoặc phỏng

thực tế nên bước 1 không có điều kiện xuất hiện.

Bước 2: Việc chuyển từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học được thể hiện rõ:

chọn ẩn, khai thác các mối quan hệ  bài toán toán học.

Bước 3: Việc giải bài toán toán học (ví dụ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) được chú

trọng đến cả chi tiết tiến trình lập bảng biến thiên lẫn kết quả. Trong khi chỉ cần kết quả đúng để

cung cấp cho bài toán phỏng thực tế.

Bước 4: Khâu chuyển từ kết quả của bài toán toán học sang bài toán phỏng thực tế được

thao tác cụ thể; bằng cách nhìn lại các thao tác ở bước 2.

Bước 5: Không có điều kiện xuất hiện.

1.3 Tiểu kết:

Từ phân tích trên, chúng tôi nhận thấy, ở lớp 12 đã đủ công cụ để vẽ đồ thị nhờ vào ứng dụng

đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Một số nội dung mang tính chất kế thừa từ lớp 10, còn một số nội dung khác được đưa ra

một cách tường minh. Có 7 bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ hình học, nhưng vì được đưa ra

trong chương trình Giải tích nên hầu hết học sinh sẽ giải bài tập bằng cách áp dụng các kiến thức

của giải tích.

Do đã đủ công cụ để khảo sát hàm số và đồ thị dùng để minh họa các tính chất của hàm số

nên các bài tập mang tính chất thực tế có số lượng tăng lên đáng kể. Từ đó cho thấy dạy học mô

hình hoá hàm số được I2 quan tâm sâu sắc. Hơn thế nữa, các bài toán về mô hình hóa hàm số bằng

bài toán diện tích chiếm số lượng lớn hơn. Chứng tỏ, thể chế I2 nhấn mạnh vai trò quan trọng của

loại bài toán này trong việc ứng dụng hàm số.

Bảng 1.5. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong thể chế I1 và I2

Kiểu nhiệm vụ Thể chế I1 Thể chế I2

1 10 Tbtdt

6 15 Tbtkdt

Tổng cộng 7 25

Như vậy, học sinh đã được tiếp cận dạy học mô hình hóa hàm số từ lớp 10 trong CT THPT.

Nhưng qua phân tích cho thấy, số lượng bài toán phỏng thực tế ở CT lớp 10 rất ít so với CT lớp 12.

Cũng có thể giải thích như sau:

 Ở CT lớp 10, SGK chỉ yêu cầu HS học hàm số bậc nhất, bậc hai, những loại hàm số này

cũng mang tính chất nhắc lại ở cấp TH cơ sở. Hai loại hàm số này, một mặt khá đơn giản,

mặt khác HS chưa đủ công cụ để khảo sát sự biến thiên nên giải quyết một bài toán phỏng

thực tế (đưa BTPTT BTTHkết luận BTPTT) mang tính hình thức.

 Ở CT lớp 12, HS được học nhiều dạng hàm số hơn, thao tác đầy đủ các bước khi khảo sát

sự biến thiên của hàm số. Ngoài ra, dạng bài toán phỏng thực tế phong phú hơn, giải

quyết bài toán thỏa đáng hơn.

Từ đó, chúng tôi rút ra một giả thiết nghiên cứu như sau:

H1: Liên quan đến kiểu nhiệm vụ “Tbttt : Bài toán thực tế”, tồn tại ba quy tắc hợp đồng sau:

Quy tắc R1: HS không có nhiệm vụ chọn biến khi giải bài toán thực tế.

Quy tắc R2: Trong bài toán thực tế, biến độc lập luôn được biểu diễn theo trục nằm ngang,

biến phụ thuộc được biểu diễn theo trục thẳng đứng.

Quy tắc R3: Khi bài toán hình học đặt ra trong chương trình Giải tích thì học sinh sẽ giải bài

toán đó bằng công cụ Giải tích.

H2: Kỹ thuật “Dùng bảng biến thiên kết luận cực trị” không thực sự sẵn có ở HS khi giải bài toán

thực tế.

CHƯƠNG II: THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT

2.1. Mục đích thực nghiệm thứ 1

- Mục đích của chương nhằm kiểm chứng mối quan hệ cá nhân của HS với tri thức hàm số và

bài toán diện tích.

- Trên môi trường giấy - bút truyền thống kiểm chứng tính hợp thức của quy tắc hợp đồng

R1, R3 và giải thuyết H2.

Quy tắc R1: HS không có nhiệm vụ chọn biến khi giải bài toán thực tế.

Quy tắc R3: Khi bài toán hình học đặt ra trong chương trình Giải tích thì học sinh sẽ giải bài toán đó

bằng công cụ Giải tích.

H2: Kỹ thuật “Dùng bảng biến thiên kết luận cực trị” không thực sự sẵn có ở HS khi giải bài toán

thực tế.

2.2. Đối tượng thực nghiệm thứ 1

Để tiến hành nghiên cứu, chúng tôi tổ chức trên đối tượng học sinh khối 12, sau khi học xong

chương «Ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số» vì dạy học mô hình

hóa thông qua bài toán tính diện tích được nghiên cứu nhiều thông qua 10/25 bài toán phỏng thực tế.

2.3. Nội dung thực nghiệm thứ 1

2.3.1. Bài toán thực nghiệm thứ 1:

Bài toán: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN

nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định

vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Yêu cầu: Hãy vẽ hình minh họa và giải bài toán trên

2.3.2 Phân tích bài toán:

Bài toán: là một bài toán viết bằng ngôn ngữ hình học, được đưa ra trong phần bài tập của SGK

GT12NC. Chúng tôi muốn kiểm chứng có thực sự tồn tại quy tắc R1, R3 ở học sinh hay không.

Hình thức và thời điểm thông báo bài toán:

- Phát phiếu làm bài cho HS trong tiết “Ôn tập chương I” phần Giải tích.

- Phát phiếu làm bài cho HS trong tiết “Bài tập thể tích khối tứ diện” phần Hình học.

- Phát phiếu làm bài cho HS đang trong tiết sinh hoạt ngoại khóa.

HS làm việc cá nhân trong 30 phút.

Kiến thức liên quan:

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia.

- Công thức tính diện tích tam giác.

- Định lý Thalet.

- Hệ quả và ứng dụng bất đẳng thức Cô-si.

- Các ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2.3.3. Phân tích a priori bài toán 1:

a.Biến didactic:

V: Hình dạng tam giác đặt ra:

- Nếu tam giác đều thì học sinh dễ dàng thiết lập biểu thức S(x): diện tích hình chữ nhật

MNPQ theo biến x = BM. Khi đó, học sinh sẽ tìm cực trị là dựa vào bảng biến thiên của S(x). Hoặc,

HS có thể giải bằng công cụ hình học, đại số.

- Nếu tam giác bất kỳ thì việc chọn biến khó khăn hơn. Lúc này học sinh sẽ giải bài toán theo

chiến lược hình học cũng gặp khó khăn do không tìm được độ dài cạnh và số đo góc theo một giá trị

nào.

b. Chiến lược giải:

b.1. Chiến lược giải tích:

* Sgiảitích1

3x

* Sgiảitích2

a 2

Đặt BM = x (0 < x < ), ta được MN = a – 2x; QM =

3x

; Diện tích hình chữ nhật MNPQ là S(x) = MN . QM = (a – 2x).

3 2

(a – 2x) 2x S(x) =

Ta có : (a – 2x) + 2x = a (hằng số)

a 4

S(x) lớn nhất khi a – 2x = 2x, tức x = .

a 4

23 a 8

Vậy GTLN của diện tích hình chữ nhật là S( ) =

* Sgiảitích3

x

a  2

x

Đặt MN = x (0 < x < a), ta được NC =

a  2

x

. 3x

Xét  NPC vuông tại N, ta có : NP = NC.tan600 = . 3

a  2

. Diện tích hình chữ nhật MNPQ là S(x) = MN . NP =

3 2

S(x) = (a – x) x

Ta có : (a – x) + x = a (hằng số)

a 2

S(x) lớn nhất khi a – x = x, tức x = .

23 a 8

a 4

Vậy GTLN của diện tích hình chữ nhật là S( ) =

Vấn đề chọn biến, SGK mong muốn học sinh chọn x = BM. Nhưng qua phân tích 3 chiến lược giải

tích trên, chúng tôi nhận thấy:

- Nếu HS chọn biến x = BM (hoặc x = QM , hay x = MN) thì học sinh giải theo Sgiảitích1 ít gặp

khó khăn vì dù chọn biến nào thì cũng lập được biểu thức hàm số, lập bảng biến thiên, kết luận.

- Nếu HS giải theo cách dùng bất đẳng thức Cô-Si khi có biểu thức hàm số thì khi chọn x =

3x

x

. 3x

BM suy ra S(x) = (a – 2x). , HS gặp khó khăn khi phân tích về dạng tổng là hằng số. Khi chọn x

a  2

3 2

= MN suy ra S(x) = . = (a – x) x, học sinh nhận dạng tổng a – x và x là hằng số.

A

c.3 Chiến lược hình học: Shìnhhọc

Do tam giác ABC đều nên H là trung điểm

của BC.

Q

P

Ta có : SMNPQ = MN. MQ = 2MH. MQ



MQ



MQ BM  AH BH

. AH BM BH

B

C

H

N

M

2

.



S



MNPQ

. MH BM AH BH

a

3 2

Mà



3



AH BH

a

1 2

không đổi) SMNPQ lớn nhất khi MH. BM lớn nhất (vì

BC (const)  MH. BM lớn nhất khi MH = BM

1 2

BM



BC



mà MH + BM = BH =

1 4

a 4

 M là trung điểm của BH hay

23 a 8

và GTLN của diện tích hình chữ nhật là S =

Chiến lược hình học là một chiến lược không dễ đối với HS để giải ra được kết quả đúng.

Nhưng khi vào giải bài toán trên HS sẽ bắt đầu bằng chiến lược hình học vì bài toán được phát biểu

bằng ngôn ngữ hình học.

2.3.4 Phân tích a posterriori thực nghiệm 1:

Thực nghiệm được tiến hành lúc 8 giờ, ngày 07/06/2010 cho 109 học sinh ở 3 lớp: 12A1

(41HS) trong tiết Giải tích; 12A2 (38HS) trong tiết Hình học; 12B1 (30HS) trong tiết sinh hoạt lớp.

109 HS của ba lớp này đang tham gia học lớp nâng cao hè của của trường THPT Long Phú – Vĩnh

Long, sau khi các em học xong chủ đề “ứng dụng đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

hàm số”.

Hình thức thực nghiệm: chúng tôi phát cho học sinh phiếu học tập và giấy nháp, học sinh làm

việc cá nhân trong 45 phút. Thực nghiệm diễn ra dưới sự quan sát của giáo viên bộ môn, chủ nhiệm

và chúng tôi.

Tiết học

Bảng 2.1: Thống kê các chiến lược giải bài toán 1:

Giải tích Hình học Sinh hoạt lớp Tổng cộng

(41HS) (38HS) (30HS) (109 HS)

Chiến lược

SB TL SB TL SB TL SB TL

7 17,1% 2,6% 6,7% 9,2% 1 2 10 Sgiảitích1

8 19.5% 10,5% 6,7% 12,8% 4 2 14 Sgiảitích2

8 19,5% 2,6% 10,0% 11,0% 1 3 12 Sgiảitích3

Shìnhhọc

6 CKQ 14,6% 15 39,5% 12 40,0% 30,3% 33

2 9 7 KQ 4,9% 23,7% 23,3% 16,5% 18

8 4 10 24,4% 21,1% 13,3% 20,2% 22 Vẽ hình +

không giải

Tổng cộng 41 100% 38 100% 30 100% 100% 109

(SB: số bài; TL: tỉ lệ; CKQ: giải theo Shìnhhọc chưa có kết quả; KQ: có đáp số đúng)

Từ bảng thống kê chúng tôi thấy rằng:

1) Phiếu làm bài của học sinh trong tiết Giải tích như sau:

So với các chiến lược khác, Sgiảitích chiếm tỉ lệ cao nhất, mặc dù bài toán được thiết kế bằng

ngôn ngữ hình học, khá thuận lợi cho Shìnhhoc nhưng thực tế cho thấy học sinh vận dụng kiến thức

hình học để giải chiếm 19,5% thấp hơn nhiều so với tỉ lệ học sinh sử dụng kiến thức giải tích để giải

(56,1%). Để lý giải cho hiện tượng này chúng tôi xin trích dẫn một bài làm của HS như sau:

Rõ ràng A115

đã giải bằng phương pháp vận dụng các kiến thức hình học nhưng thất bại. Các em chuyển sang

cách giải khác là chọn biến x là một cạnh nào đó có liên quan đến điểm M. Từ đó cho thấy HS lớp

này biết cách chuyển bài toán từ phạm vi Hình học sang phạm vi Đại số - Giải tích để giải. Ngoài

hai bài giải trích dẫn trên, còn 15 bài giải khác, chúng tôi quan sát giấy nháp của 15 học sinh này,

thấy các em cũng suy nghĩ giải theo hướng hình học nhưng trong giấy bài làm thì các em làm theo

Sgiảitích.

Vấn đề chọn biến, SGK mong muốn học sinh sẽ đặt BM = x nhưng A115 giải bài toán bằng

cách chọn biến là MN = x, có một số học sinh sẽ chọn biến là QM = x và các học sinh này giải bài

toán khá thuận lợi ít gặp khó khăn. Từ đó cho thấy các bài toán thực tế liên quan đến mô hình hóa

hàm số trong SGK, việc chọn biến đã được đề bài cho sẵn hoặc định hướng sẵn. Dù học sinh chọn

biến là MN, QM, PM, MC,... thì việc tìm ra vị trí điểm M khá dễ dàng. Điều này cho thấy sự tác

động mạnh mẽ của quy tắc hợp đồng của R1. Nói cách khác, R1 đã được hợp thức hóa.

2) Phiếu làm bài của học sinh trong tiết Hình học như sau:

Bài toán được phát biểu bằng “ngôn ngữ hình học” được đặt trong “môi trường hình học”

được HS giải theo chiến lược hình học chiếm tỉ lệ cao (63,2%) so với chiến lược giải tích (15,7%).

Theo quan sát của chúng tôi, các em tập trung suy nghĩ và giải bài toán bằng các kiến thức hình học

nhưng số lượng HS ra được kết quả đúng chỉ có 9/24HS giải theo Shìnhhoc. Trong 9 bài giải này có 4

bài là các em dự đoán trước như bài giải của B217:

Từ bài giải của B217, dễ dàng nhận thấy rằng, lời giải chưa hoàn toàn thuyết phục, mặc dù

kết quả đúng. B217 chưa làm rõ được nội dung: “ Q, P lần lượt là trung điểm của AB, AC”. Ngoài

ra, có một số HS khác áp dụng định lý Thalet lập tỉ lệ tương tự như chiến lược Shìnhhọc mà chúng tôi

đưa ra. Tóm lại, đa số HS khi giải bài toán này là không suy nghĩ đến vấn đề chuyển bài toán hình

học này sang phạm vi Đại số - Giải tích để giải.

Ta thử quan sát bài giải của một HS theo chiến lược giải tích như sau:

Dễ dàng nhận thấy rằng B27 giải chưa chính xác, mặc dù hướng đi là đúng. Như vậy có thể

nói học sinh này biết thiết lập được biểu thức hàm số, nhưng chưa biết tìm cực trị của hàm số. Ngoài

ra, còn 5/38 bài giải khác theo Sgiảitich , trong đó có 1 bài duy nhất giải theo Sgiảitich1.

3) Phiếu làm bài của HS trong tiết sinh hoạt lớp như sau:

Mặc dù bài toán được thiết kế bằng “ngôn ngữ hình học”, tạo điều kiện thuận lợi cho Shìnhhoc

xuất hiện, thế nhưng tỉ lệ lời giải thuộc chiến lược giải tích trong tiết sinh hoạt lớp (23,4%) tăng hơn

so với tỉ lệ lời giải trong tiết Hình học (15,8%).

Chúng tôi nhận thấy rằng chiến lược hình học (63,3%) vẫn chiếm ưu thế, điều này cho

thấy trong quan niệm của học sinh khi bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ nào thì được giải

bằng ngôn ngữ đó. Nhưng nếu có kết hợp thêm ngữ cảnh thông báo bài toán thì bài toán trong ngữ

cảnh nào HS sẽ sử dụng kiến thức của ngữ cảnh đó để giải quyết bài toán. Điều này cho thấy quy tắc

hợp đồng R3 đã được hợp thức hóa.

4). Ngoài ra, từ bảng thống kê chúng tôi nhận thấy có 22/109 (20,2%) học sinh vẽ hình được

nhưng không biết giải bài toán. Vấn đề này có thể lý giải như sau:

+ Bài toán thực tế (chúng tôi quan niệm bài toán hình học đặt ra trong SGK Giải tích là bài

toán thực tế) đối với học sinh chưa được học nhiều trong chương trình phổ thông.

+ HS chưa biết cách chuyển bài toán từ phạm vi hình học sang phạm vi giải tích để giải cho

nhanh. Thời gian làm bài 30 phút, để giải được bài này theo suy nghĩ của các em là không đủ. Quan

sát giấy nháp của 22 HS này chúng tôi thấy có 10HS cũng giải theo Sgiảitich, Shìnhhoc, nhưng chưa có

bài giải nào cho điểm được.

Qua 4 phân tích trên, cho chúng ta thấy số lượng HS giải theo Sgiảitich có 36/109HS, trong 36

bài giải đó có 10HS giải theo Sgiảitich1, chiếm 9,2%, một tỷ lệ khá thấp. Mặc dù là bài toán trong

SGK GTNC12, nhưng trong quá trình giảng dạy cho HS chương này chúng tôi thống nhất chỉ đưa

bài tập trên giấy ứng dụng trực tiếp cho lý thuyết vừa học, không yêu cầu HS giải các bài tập SGK.

Từ đó cho thấy việc lập bảng biến thiên, kết luận cực trị là một kỹ thuật không thật sự sẵn có

ở HS khi giải bài toán hình học hay thực tế. Điều này có nghĩa là giả thuyết H2 đã được kiểm chứng.

2.3.5. Kết luận thực nghiệm 1:

Qua thực nghiệm 1, chúng tôi đã hợp thức hóa được 2 quy tắc hợp đồng R1, R3 của giả thuyết

H1 .

Quy tắc R1: HS không có nhiệm vụ chọn biến khi giải bài toán thực tế.

Quy tắc R3: Khi bài toán hình học đặt ra trong chương trình Giải tích thì học sinh sẽ giải bài

toán đó bằng công cụ Giải tích.

Đồng thời đã khẳng định được giả thuyết H2: Kỹ thuật “Dùng bảng biến thiên kết luận cực

trị” không thực sự sẵn có ở HS khi giải bài toán thực tế.

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM THỨ HAI

3.1 Cabri đối với khái niệm hàm số và bài toán tính diện tích:

Qua phân tích CT, SGK của lớp 10 và lớp 12, chúng tôi nhận thấy cả hai bộ SGK đều không

có một hoạt động nào tính đến việc sử dụng phần mềm trong việc dạy- học. Trong khi hiện nay,

công nghệ thông tin đang phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng vào mọi lĩnh vực

của cuộc sống, trong đó có giáo dục.

Mặt khác, Bộ giáo dục và đào tạo đã nhấn mạnh việc ứng dụng của CNTT trong dạy học.

Theo các chỉ đạo đổi mới phương pháp giảng dạy, CNTT là một trong các yếu tố quan trọng hàng

đầu.

Tài liệu Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học phổ thông môn Toán, trang 44

viết:

“Sử dụng phần mềm dạy học làm phương tiện hỗ trợ dạy học một cách hợp lí sẽ cho hiệu quả cao,

bởi lẽ khi sử dụng phần mềm dạy học bài giảng sẽ sinh động hơn, sự tương tác hai chiều được thiết

lập, HS được giải phóng khỏi những công việc vụn vặt, tốn thời gian, dễ nhầm lẫn, nên có điều kiện

đi sâu vào bản chất bài học.”

Như vậy, theo quan niệm về dạy học theo cách tiếp cận thông tin, phương pháp sư phạm tương tác

là phương pháp mà các nhà giáo dục muốn hướng đến. Bàn về vấn đề này, tài liệu Những vấn đề

chung về đổi mới giáo dục Trung học phổ thông môn Toán, trang 160 viết:

“Khi nói về phương pháp sư phạm tương tác, nhiều tác giả đã nêu 3 tác nhân mà phương

pháp đó quan tâm: người học, người dạy và môi trường. Họ nhấn mạnh: người học là người đi học

chứ không phải người được dạy (tính tự nguyện và chủ động), nhiệm vụ của người dạy là giúp đỡ

người học, phục vụ người học để làm nảy sinh tri thức ở người học, còn môi trường tự nhiên và xã

hội xung quanh và bên trong người học là tác nhân quan trọng ảnh hưởng đến việc dạy và học.

Theo cách tiếp cận thông tin đã nêu trên, môi trường chính là nơi chứa thông tin”

Nếu chúng ta áp dụng CNTT vào việc dạy-học, cụ thể là các phần mềm dạy học, khi đó các phần

mềm này là một yếu tố cấu thành nên môi trường diễn ra sự tương tác.

Hiện nay trên thế giới có rất nhiều phần mềm hỗ trợ việc dạy và học toán. Tùy theo yêu cầu và mục

đích của từng môn học mà GV có thể chọn một phần mềm phù hợp. Đề tài nghiên cứu của chúng tôi

liên quan đến vấn đề dạy học mô hình hóa hàm số thông qua bài toán diện tích, chúng tôi chọn phần

mềm Cabri II Plus vì các lý do sau:

LD1: Theo bài báo cáo tại hội thảo Việt – Pháp lần thứ 2 về didactic Toán của Annie BESSOT,

DIAM, LIG, Grenoble

- Giáo viên không có phương tiện để tạo ra các tình huống mô hình hóa vắng mặt trong các

sách giáo khoa và để điều hành những tình huống như vậy trong lớp học. Hơn nữa, việc đi

vào quá trình mô hình hóa dường như là một giai đoạn khó khăn đối với học sinh. Môi

trường hình học động làm khả dĩ một giai đoạn đầu tiên của quá trình mô hình hóa bằng việc

tạo ra một mô hình hình học trung gian của một tình huống đồng biến thiên của các đại

lượng.

- Trong môi trường hình học động này, việc mô hình hóa các đại lượng biến được thực hiện

bởi việc tạo ra các điểm di chuyển. Một điểm di động có thể mô hình hóa các đại lượng biến

khác nhau (khoảng cách, diện tích, thời gian). Vì thế, việc thiết lập mô hình trung gian này

nhờ vào hình học động cho phép cụ thể hóa các đại lượng biến bằng việc để lại cho học sinh

trách nhiệm lựa chọn các đại lượng thích đáng trong tình huống được nghiên cứu. Chúng ta

có thể đưa vào khái niệm điểm điều khiển một điểm khác, tiền đề của các khái niệm biến độc

lập và biến phụ thuộc. Cuối cùng, việc mô hình hóa hình học trung gian này giữ lại tri giác

vết vật chất của hiện tượng biến thiên (gần về ngữ nghĩa) mà ngược lại biến mất trong các kí

hiệu đại số (ngắt quãng ngữ nghĩa), giai đoạn cuối cùng của quá trình mô hình hóa.

LD2: Phần mềm Cabri II Plus có các đặc tính sau đây (theo Nguyễn Chí Thành, 2008):

- Cabri có môi trường làm việc thân thiện vì nó có các biểu tượng dễ nhớ, hệ thống câu lệnh

đơn giản, dễ thực hiện.

- Cabri cho phép tạo ra những hình ảnh trực quan. Đặc biệt, các đối tượng (điểm, đường thẳng,

đường tròn, vẽ đồ thị của hàm số cho trước,...) có thể dễ dàng thay đổi hình dạng, vị trí chỉ

bằng thao tác “lôi-kéo” chuột.

- Cabri có các công cụ dựng các đối tượng mới dựa trên cơ sở đối tượng đã có (như trung điểm

của đoạn thẳng, giao điểm của các hình). Khi thay đổi vị trí của hình, các đối tượng trên vẫn

bảo toàn cấu trúc của nó. Nhờ khả năng này mà HS có thể phát hiện ra một số tính chất của

hình khi dịch chuyển hình.

- Cabri có chức năng tạo vết (công cụ “Vết”) của một đối tượng khi nó chuyển động. Với chức

năng này, Cabri hỗ trợ cho việc tạo ra hình ảnh liên tục của đối tượng khi di chuyển.

Chức năng chính của Cabri là hình học, thế nhưng nếu vận dụng sáng tạo các công cụ trong

Cabri, ta có thể dựng được đồ thị tất cả các hàm số trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc cho bởi

phương trình tổng quát và tham số. Ưu điểm là các bước dựng và đồ thị hàm số được thực hiện theo

đúng bản chất của khái niệm “ đồ thị của hàm số là tập hợp những điểm M(x;f(x)) khi x biến thiên

trên miền xác định của hàm số”. Đồ thị của hàm số được tạo nên do đường đi của điểm M chuyển

động. Ngoài ra, khi biết biểu thức f(x), ta có thể dựng ngay đồ thị của hàm số có phương trình y =

f(x).

Qua một số tính năng của Cabri mà chúng tôi trình bày ở trên, mặc dù đây là phần mềm hình học

động Cabri, nhưng chúng tôi nhận thấy chúng tỏ ra thích hợp với yêu cầu của chúng tôi trong việc

kết hợp giữa giải tích và hình học.

Dưới đây chúng tôi cố gắng sử dụng các công cụ của Cabri để đưa ra kĩ thuật giải quyết kiểu các

nhiệm vụ :

Tvt-ct “Tìm hàm số có đồ thị (G’), trong đó (G’) có được khi tịnh tiến đồ thị (G) của một hàm số đã

cho bởi một phép tịnh tiến song song với trục tọa độ đã cho”.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ Tvt-ct khi sử dụng phép tịnh tiến có sẵn trong Cabri:

- Phép tịnh tiến có sẳn trong Cabri.

- Hình muốn tìm ảnh phải là những đối tượng có sẵn trong Cabri như các đối tượng trong hai hộp

công cụ [lines] và [curves]

vt 

ct

Kĩ thuật :

- Dựng đồ thị (G) của một hàm số y = f(x) đã cho.

- Dựng vectơ trên trục tọa độ.

- Chọn công cụ Phép tịnh tiến.

- Chọn đối tượng (G) cần tìm ảnh bằng cách kích chuột.

- Kích chuột lên vectơ trên trục tọa độ.

- Xuất hiện ảnh qua phép tịnh tiến.

- Chọn công cụ “phương trình hoặc tọa độ”.

- Kích chuột vào ảnh.

Sau khi thực hiện đủ các thao tác trên ta sẽ đạt được hàm số của đồ thị cần tìm.

Như vậy, với công cụ biến hình của Cabri, ta dễ dàng xác định được ảnh của một hình qua một phép

tịnh tiến. Với công cụ này, để tạo ảnh của một hình qua phép tịnh tiến, HS không phải vẽ từng điểm,

f x ; f(x) là đa thức bậc nhất hay bậc hai

chỉ sau vài thao tác kích chuột, một ảnh hoàn chỉnh xuất hiện.

Tvetd: Vẽ đồ thị hàm số y= ( )

vetd

1

Kĩ thuật :

- Dựng miền xác định của hàm số trên vùng vẽ: Hiện các trục Điểm A

có hoành độ âm, điểm B là điểm đối xứng của A qua gốc tọa độ O.

- Dựng điểm H trên đoạn ABChọn nút lệnh Tọa độ hoặc phương trình. Xác

định được tọa độ của H( a;0).

- Máy tính: nhập biểu thức với x=a, bằng cách nháy chuột vào hoành độ của

H, kích chuột vào dấu ”=” trong máy tính, đưa kết quả b ra vùng vẽ

Chuyển số đo nháy vào trục tung số b xuất hiện điểm đặt là K.

- Dựng M là giao điểm của đường y=yH, x=xK Vẽ đoạn MK, MH. Che các

đường y=yH, x=xK

- Đánh vết điểm M quỹ tích M đồ thị được vẽ ra.

vetd : (vẽ nhanh đồ thị)

2

Kĩ thuật

- Hiện các trục tọa độ.

- Chọn công cụ “biểu thức”. Nhập biểu thức.

- Chọn công cụ “áp dụng biểu thức”.

- Kích chuột vào biểu thức, sau đó kích chuột chọn hệ trục tọa độ.

Tveb2: Vẽ đồ thị hàm số y=ax2+bx+c

vetd

2

vetd

1

và Kĩ thuật Kĩ thuật τveb2 có hai kỹ thuật tương tự Kĩ thuật

Sau khi thực hiện đủ các thao tác trên ta sẽ đạt được đồ thị của hàm số cần tìm.

Như vậy, với phần mềm Cabri, ta dễ dàng vẽ được chính xác đồ thị của một hàm số một cách nhanh

chóng.

bttt : Từ bài toán thực tế tìm hàm số bậc hai biểu thị cho độ cao và tìm độ cao.

T10

bttt:

Kỹ thuật 10

 Hàm số dạng f(x) = ax2 + bx + c. Tìm hệ số a, b, c.

 Trên trang Cabri :

+ Dựng đồ thị hàm số f(x), (tương tự trên)

+ Dựng trục đối xứng của đồ thị.

+ Chọn nút lệnh «Điểm cắt » , nháy chuột vào đường cong và trục đối xứng Đỉnh.

+ Chọn nút lệnh «tọa độ hoặc phương trình» , nháy chuột đỉnh.

+ Suy ra độ cao.

Bình luận :

Phần mềm Cabri có thể được ứng dụng để giải quyết các kiểu nhiệm vụ

bttt . Các dạng toán còn ở mức độ đơn giản trong chương trình lớp 10. Theo yêu

Tvt-ct, Tvetd, Tveb2, T10

cầu : đọc đồ thị của chương thì chủ yếu từ đồ thị ta có thể tìm được GTLN- GTNN, đỉnh của đồ thị,

chiều biến thiên của hàm số. Do đó, thông qua phần mềm Cabri, chúng ta có thể dễ dàng đọc đồ thị

bằng các công cụ sẳn có.

bttt , chưa được thể chế chú trọng nên lượng bài tập ít, việc giải

Đối với, kiểu nhiệm vụ T10

quyết bằng Cabri chỉ ở mức độ đơn giản. Áp dụng các công cụ sẵn có để vẽ đồ thị, sau đó nhận xét

cho bài toán thực tế. Do đó, việc dạy học mô hình hóa hàm số trong môi trường tích hợp phần mềm

Cabri chúng tôi chưa thể phát huy tốt ở đây. Vậy chúng có được phát huy mạnh trong chương trình

lớp 12 hay không ?.Chúng tôi xin phân tích tiếp một số kiểu nhiệm vụ liên quan đến bài toán phỏng

thực tế được giải quyết bằng phần mềm Cabri trong CT GT12 NC.

Tbttt: Đối với các bài toán cho sẵn biểu thức hàm số.

Có thể giải quyết theo các bước tiến hành như sau :

1. Dựng hình theo yêu cầu của bài toán. Có thể kết hợp với nút lệnh Interrupteur, cho hình xuất

hiện theo trình tự.

2. Đo đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc vào vị trí của điểm hay đường chuyển động. Từ đó,

bước đầu nhận xét cực trị có thể xảy ra khi nào dựa vào số đo của đại lượng vừa xác định.

3. Dựng đồ thị của đại lượng vừa đo được phụ thuộc vào vị trí của đối tượng chuyển động cho

trước. Từ đó có thể dự đoán được cực trị xảy ra khi nào.

4. Chứng minh.

Bình luận :

Phần mềm Cabri có thể được ứng dụng để giải quyết các kiểu nhiệm vụ TLN-NN, Tveks, Tbttt và

các dạng toán ở mức độ cao hơn trong chương trình lớp 12. Theo yêu cầu : ứng dụng đạo hàm của

chương nên tất cả các kiểu nhiệm vụ đều được giải quyết dựa trên công cụ đạo hàm. Nhưng trên

trang Cabri chúng có thể không cần tính đạo hàm vẫn có thể giải quyết được các kiểu nhiệm vụ trên.

Từ đồ thị ta có thể tìm được GTLN- GTNN, đỉnh của đồ thị, chiều biến thiên của hàm số. Như vậy,

trên phần mềm Cabri đồ thị hàm số được vẽ ra dễ dàng và dựa vào đồ thị hàm số này học sinh có

thể xác định được các tính chất của hàm số.

Đối với, kiểu nhiệm vụ Tbttt, được thể chế đưa vào số lượng bài tập nhiều hơn, đa dạng hơn.

Do đó, việc dạy học mô hình hóa hàm số trong môi trường tích hợp phần mềm Cabri thông qua bài

toán diện tích được phát huy mạnh trong chương trình lớp 12 .

3.2 Mục đích thực nghiệm thứ 2:

Thực nghiệm 1 đã giúp chúng tôi hợp thức giả thuyết về mối quan hệ cá nhân của HS đối với khái

niệm hàm số và việc mô hình hóa hàm số bằng bài toán diện tích. Qua đó, chúng tôi nhận thấy các

bài toán thực tế mà sách giáo khoa đặt ra học sinh không có nhiệm vụ chọn biến, tức đề bài cho sẵn

hoặc có phương hướng chọn biến cho học sinh rõ ràng. Nếu bài toán được đặt trong chương trình

nào thì học sinh sẽ giải bài toán bằng công cụ trong chương trình đó. Học sinh thường không nghĩ

đến sự kết hợp giữa hình học và giải tích để giải toán, đặc biệt là các bài toán có liên quan đến diện

tích.

Tuy nhiên, chúng ta cũng phải thừa nhận rằng, để dạy-học các bài toán thực tế (không cho

biểu thức hàm số sẵn) theo quan điểm giải tích, trong môi trường giấy bút, thật khó khăn khi học

sinh chọn biến để thiết lập biểu thức hàm số.

Kết quả thực nghiệm 1 cho thấy, đối với bài toán đặt ra trong SGK đưa ra cho 109 HS giải

được thống kê lại như sau:

Bảng 3.1

Chiến lược Số bài Tỉ lệ Tổng cộng

33,0%(chọn biến, lập được 36 33,0% Sgiảitích biểu thức hàm số)

Vẽ hình + không 20,2% (không giải được bài 22 20,2% giải toán)

51 46,8% Shìnhhoc

Từ đó, chúng tôi tiến hành thực nghiệm 2 trên cùng đối tượng với thực nghiệm 1 nhằm

những mục đích sau :

+ Thiết lập một tình huống dạy học học mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích

để học sinh giải quyết trên môi trường giấy bút truyền thống và Cabri.

+ Tạo ra một mô hình hình học trung gian của một tình huống mô hình hóa vắng mặt trong

sách giáo khoa trong môi trường Cabri.

+ Kiểm chứng tính hợp thức của quy tắc hợp đồng R3 trong giả thuyết H1, kiểm tra tính

thỏa đáng của giả thuyết H2. Đồng thời, cũng kiểm tra sự tồn tại của R1, R2 trong học sinh đến mức

độ nào.

3.3 Nội dung thực nghiệm thứ 2 :

3.3.1 Giới thiệu tình huống thực nghiệm :

Để tiến hành thực nghiệm, chúng tôi làm việc với HS trong thời gian 90’. Buổi này chia thành hai

phần.

 Phần 1: Thời gian: 15’

Mục đích: cho học sinh làm quen với môi trường Cabri.

Cụ thể: chúng tôi hướng dẫn HS sử dụng một số chức năng cơ bản của Cabri như: tạo điểm, đoạn

thẳng, tam giác, tam giác đều, tính diện tích tam giác, tạo bảng, tạo vết.

 Phần 2: Thời gian: 75’

Mục đích: tạo ra tình huống mô hình hóa hàm số vắng mặt ở SGK trong môi trường Cabri và giúp

học sinh giảm bớt khó khăn khi đi vào quá trình mô hình hóa.

Thông báo bài toán (*):

Có một khu vườn hình tam giác, chủ khu đất này muốn chia khu đất này thành 4 mảnh đất hình tam

giác con theo cách thức như sau: Ông treo 2 đầu hai sợi dây tại một vị trí bất kỳ trên một ranh đất,

Ông cầm mỗi đầu còn lại của hai sợi dây kéo thẳng về phía 2 ranh đất còn lại sao cho sợi dây cắt

ranh đất này thì phải song song với ranh đất kia, (nối hai điểm cắt lại). Ông chủ đất suy nghĩ, treo 2

đầu dây ban đầu ở vị trí nào trên ranh đất để mảnh đất tam giác ở giữa có diện tích lớn nhất.

Mục đích xây dựng bài toán:

Chúng tôi chọn bài toán phỏng thực tế với hình minh họa là tam giác bất kỳ. Do đó, kiểu

nhiệm vụ Tbttt: “bài toán thực tế về khu vườn” có thể được giải quyết bằng công cụ đạo hàm, bất

đẳng thức hay các kiến thức hình học. Học sinh sử dụng công cụ gì để giải thì độ khó của bài toán

tương đương nhau. Tuy nhiên, chúng tôi cố gắng hướng học sinh giải bài toán bằng công cụ Đại số -

Giải tích, nhằm kiểm tra việc chọn biến của học sinh có gặp khó khăn hay không đối với bài toán

ngoài SGK và đối với giả thuyết H2: kỹ thuật “Lập biểu thức hàm số, sau đó dùng bảng biến thiên

kết luận cực trị” có được học sinh vận dụng thành thạo hay không trong bài toán thực tế. Việc tìm

cực trị diện tích của một tam giác là một vấn đề của Hình học, tuy nhiên trong bài toán này, chiến

lược tối ưu nằm ở phạm vi của Đại số - Giải tích.

Ngoài ra, trong môi trường Cabri, học sinh có được hướng giải bài toán này nhanh hơn trong

môi trường giấy bút.

3.3.2 Dàn dựng kịch bản.

Thực nghiệm bao gồm 5 pha:

 Pha 1 (15 phút): Làm việc cá nhân trên phiếu bài làm (phụ lục 1), sau đó nộp lại cho giáo viên.

Yêu cầu: Giải bài toán (*) bằng cách chọn biến x và lập biểu thức hàm số S(x): diện tích tam giác

ở giữa. Tìm x để S(x) đạt giá trị lớn nhất.

Mục đích:

Muốn kiểm chứng giả thuyết H2, quy tắc hợp đồng R1 duy trì ở học sinh đến mức độ nào đối

với bài toán thực tế không nằm trong hệ thống bài tập SGK.

Mặt khác, khẳng định một bài toán thực tế không có định hướng chọn biến rõ ràng học sinh

sẽ gặp khó khăn khi lập biểu thức hàm số.

 Pha 2 (20 phút): Làm việc theo nhóm trong môi trường Cabri

Cách tổ chức: Lớp khoảng 20 HS phân thành các nhóm, mỗi nhóm 2 HS.

Pha này chia thành 3 hoạt động.

Hoạt động 1: Trên máy tính trong môi trường Cabri, vẽ hình minh họa cho bài toán (*), đặt tên

cho tam giác ban đầu là tam giác ABC.

Hoạt động 2: Giả sử điểm M, N, P lần lượt nằm trên cạnh AB, AC, BC. Tính AM và diện tích

tam giác MNP ở giữa.

Hoạt động 3: Tạo bảng. Ghi lại các giá trị của diện tích tam giác MNP khi M thay đổi vị trí trên

AB sao cho đưa ra được kết luận cho bài toán.

Mục đích:

- HS tiếp cận một cách tìm cực trị tam giác trong môi trường Cabri.

- Các nhóm sẽ có những kết quả khác nhau.

 Pha 3 (20 phút): Làm việc theo nhóm trên máy tính, trong môi trường Cabri. GV tổ chức cuộc

thi giữa các nhóm với yêu cầu sau:

Sử dụng các chức năng của phần mềm Cabri, các nhóm hãy dựng đồ thị của số đo diện tích tam giác

MNP = S, tạo vết cho S, thay đổi vị trí của M để thấy sự thay đổi của điểm S. Khi đó, hãy xác định

giá trị lớn nhất của S và vị trí điểm M để diện tích tam giác MNP lớn nhất.

Mục đích:

- Tạo môi trường phản hồi cho kết quả của bài toán ở pha 2.

- Các cặp trao đổi, bổ sung cho nhau những thiếu sót về kiến thức liên quan. Từ đó thống nhất

đưa ra kết quả tối ưu nhất của nhóm.

- HS tìm ra được công cụ của Cabri có thể hỗ trợ tìm cực trị của tam giác một cách thuyết phục

nhất, đó là công cụ “Vết”.

 Pha 4 (15 phút): Làm việc cả lớp.

Cách thức tổ chức: các nhóm trình chiếu sản phẩm của nhóm mình cho cả lớp xem và giải thích

việc tìm ra kết quả của nhóm. GV tổng kết cho điểm và yêu cầu học sinh kiểm chứng lý thuyết

theo gợi ý trong phiếu học tập, sau đó nộp lại cho giáo viên:

+ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N trên BC. Biễu diễn các độ dài MN, ME theo x

= BM.

+ Tính diện tích tam giác MNP theo biến x.

Suy ra giá trị của x sao cho diện tích tam giác MNP lớn nhất.

Mục đích:

- Thể chế hóa cách tìm cực trị tam giác trong môi trường Cabri, đó là việc sử dụng công cụ

“Vết”.

- Chứng minh giả thuyết đã được kiểm nghiệm đúng bằng lý thuyết.

 Pha 5: Tổng kết(5 phút): Làm việc cả lớp

Mục đích:

Nhắc lại các cách tìm cực trị tam giác trên phương diện lý thuyết. Từ đó khẳng định vai trò tương

tác của môi trường máy tính, cụ thể là môi trường Cabri.

3.4 Phân tích apriori:

3.4.1 Môi trường:

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia.

- Các chức năng cơ bản của Cabri như: tạo điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn, tam

giác, đo đoạn thẳng, đo diện tích, chuyển số đo, tạo vết, ..

3.4.2 Biến tình huống và biến didactic:

3.4.2.1. Biến tình huống và các giá trị của nó:

V1: Phương thức làm việc: cá nhân, nhóm, cả lớp.

- Làm việc cá nhân: cho phép học sinh hiểu rõ thông báo của bài toán và tạo ra một số sản

phẩm cá nhân, từ đó tạo thuận lợi hơn và phong phú hơn cho công việc của nhóm.

- Làm việc theo nhóm: Nhằm tăng cường sự trao đổi, thảo luận, giúp tạo ra sự thi đua trong

học tập.

- Làm việc tập thể cả lớp: Tạo ra sự tranh luận giữa các nhóm và giữa các cá nhân không cùng

nhóm, có thể làm nảy sinh ra nhiều ý kiến, nhiều cách giải khác nhau, cũng như giáo viên và

cả lớp hợp thức được phương án đúng.

V2: Số lượng công cụ xuất hiện trên thanh công cụ:

- Các công cụ xuất hiện đầy đủ theo đúng giao diện mặc định của Cabri.

- Chỉ một số công cụ cần thiết cho việc tìm quỹ tích của một điểm trên thanh công cụ.

Các công cụ mà chúng tôi giữ lại là : công cụ “chọn, xoay”, “ tạo điểm”, “đoạn thẳng”, “tam

giác”, “ vết”, “ chuyển số đo”, “đặt tên”, “Che/Hiện”.

V3: Bản chất của hình: tam giác đều hay tam bất kỳ.

Việc chọn tam giác bất kỳ có mục đích làm khó khăn cho học sinh khi giải toán. Từ đó, học

sinh sẽ đi tìm một công cụ hỗ trợ trong môi trường Cabri.

V4: Vị trí điểm M trên tam giác:

- Điểm M nằm trên cạnh của tam giác.

- Điểm M bất kỳ trong tam giác.

3.4.2.2 Biến didactic và các giá trị của nó:

V5: Yêu cầu tìm biểu thức giải tích xác định hàm số hay không?

Chúng tôi yêu cầu học sinh tìm biểu thức giải tích xác định hàm số, đây là mục tiêu tương

đối khó đối với học sinh.

V6: : Môi trường làm việc:

- Môi trường giấy bút.

- Môi trường Cabri.

V7: Các pha làm việc:

- Có pha 3.

- Không có pha 3.

3.4.3. Các chiến lược và cái có thể quan sát:

Vì nhiệm vụ “tìm vị trí M để diện tích tam giác lớn nhất” được thực hiện trong pha 1, pha 2

và pha 3 nên chúng tôi chỉ phân tích chiến lược trong 3 pha này.

3.4.3.1. Pha 1:

A

N

M

H

B

C

E

P

F

a) Vẽ hình minh họa.

b)Chiến lược đại số: Sđạisố

Vì MN // BC, NP // AC nên MNCP là hình bình hành.

Giả sử AB = c, AC = b, BC = a. Đặt BM = x

Kẻ ME  BC, NF  BC, AH  BC

S



S



MN ME .

MNCP

MNFE

1 2

1 2

1 2

x

)





MN





ME





Diện tích tam giác MNP: S(x) =

MN BC

AM AB

ME AH

BM BA

AH.x c

 a c .( c

, Ta có:

2S a

  ME

2S.x ac

c

x

)



S x ( )





 2

1 2S.x ( . ac 2

 x a ) c

( Sx c c

với S là diện tích của tam giác ABC. Mà AH =

Ta có x + (c – x) = c (hằng)

c 2

tức là M là trung điểm của BC  S(x) lớn nhất khi x = c – x  x =

c)Chiến lược giải tích:

Cái có thể quan sát được:

* Chiến lược Sgiảitích1

Vì MN // BC, NP // AC nên MNCP là hình bình hành.

S



S



MN ME .

Giả sử AB = c, AC = b, BC = a. Đặt BM = x. Kẻ ME  BC, NF  BC, AH  BC

MNCP

MNFE

1 2

1 2

1 2

x

)

Diện tích tam giác MNP: S(x) =



MN





ME







MN BC

AM AB

 a c .( c

ME AH

BM BA

AH.x c

Ta có: * *

2S a

2

c

x

)

x 2 )

  ME



S x '( )



S x ( )







 2

 S c ( 2 c

2S.x ac

1 2S.x ( . ac 2

 x a ) c

S cx ( c

với S là diện tích của tam giác ABC. Mà AH =

c x  2

S’(x) = 0

c 2

x +  – 

c 2

S(x) lớn nhất khi x = tức là M là trung điểm của BC.

S'(x) + 0 -

S(x)

* Chiến lược Sgiảitích2

Vì MN // BC, NP // AC nên MNCP là hình bình hành.

Giả sử AB = c, AC = b, BC = a. Đặt AM = x

S



S



MN ME .

Kẻ ME  BC, NF  BC, AH  BC

MNCP

MNFE

1 2

1 2

1 2





MN





ME





Diện tích tam giác MNP: S(x) =

MN BC

AM AB

. a x c

ME AH

BM BA

AH.(c-x) c

Ta có: ;

2S a

2

x

)

S c (

x 2 )



ME





S x '( )





S x ( )



 2

2S.(c-x) ac

 2 c

S cx ( c

Mà AH = với S là diện tích của tam giác ABC.

c x  2

S’(x) = 0

c 2

X –  + 

S'(x) + 0 –

S(x)

c 2

S(x) lớn nhất khi x = tức là M là trung điểm của BC.

3.4.3.2. Pha 2

Có thể xảy ra chiến lược sau:

Chiến lược Sbảng : Dựng hình, đo diện tích, di chuyển điểm M, tìm diện tích lớn nhất nhờ vào

“Bảng” liệt kê.

3.4.3.2. Pha 3

Có thể xảy ra chiến lược sau:

Chiến lược Svết: Tìm diện tích lớn nhất là tìm giá trị lớn nhất của hàm số dựa vào đồ thị được vẽ ra

nhờ công cụ “ chuyển số đo” và “Vết”.

3.4.4. Sự lựa chọn giá trị của biến

 Pha 1:

Trong pha này chúng tôi chọn giá trị của biến V5: “Tìm biểu thức giải tích xác định hàm

số”.Khi đó học sinh sẽ tập trung vào giải bài toán theo ý tưởng các chiến lược giải tích hoặc đại số.

Do đó, các bài giải theo ý tưởng chiến lược hình học hoàn toàn không có cơ hội xuất hiện.

Hơn nữa, sự lựa chọn giá trị của biến V6: “môi trường giấy – bút” trong pha này tạo điều kiện

thuận lợi cho học sinh giải bài toán theo chiến lược giải tích.

 Pha 2:

Trong pha này chúng tôi chọn giá trị của biến V6: “không có pha 3”, khi đó học sinh chưa được

tạo môi trường phản hồi cho cách tìm cực trị của bài toán trên môi trường Cabri.

Ngoài ra, sự lựa chọn giá trị của V4: “môi trường Cabri” và giá trị “ không xác định biểu thức

hàm số” của biến V5 được lựa chọn trong pha này ngăn cản sự xuất hiện các bài giải theo ý tưởng

chiến lược giải tích.

 Pha 4:

Trong pha này chúng tôi chọn giá trị “ có pha 3” của biến V7 với mục đích tạo môi trường phản

hồi giúp nhận ra cách tìm cực trị trên môi trường giấy bút khó khăn và trên môi trường Cabri ở pha

2 chưa thiết phục. Vì thế, giá trị “ có pha 3” sẽ ngăn cản các chiến lược Sbảng, tạo cơ hội cho chiến

lược Svết xuất hiện.

Ngoài ra, giá trị “môi trường Cabri” của biến V4 càng tạo điều kiện cho chiến lược Svết xuất

hiện bởi vì việc biểu thị đường đi của điểm M trên các cạnh của tam giác hành một đồ thị trên môi

trường Cabri được thực hiện đơn giản bằng vài thao tác kích chuột.

Bên cạnh đó, sự lựa chọn giá trị “chỉ một số công cụ cần thiết cho việc vẽ ảnh của M” xuất hiện

trên thanh công cụ tạo cơ hội nảy sinh cho chiến lược Svết – chiến lược tối ưu. Nếu chúng tôi cho

học sinh làm việc với giao diện đầy đủ thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc lựa chọn công cụ phù

hợp.

3.4.5 Phân tích kịch bản:

 Pha 1:

Như đã đề cập ở trên, mục đích của pha này giúp học sinh hiểu thông báo của bài toán và làm

phong phú hơn cho việc thảo luận nhóm ở pha sau. Do hạn chế về mặt thời gian nên chúng tôi chỉ

đưa ra yêu cầu giải bài toán bằng cách chọn biến và lập biểu thức hàm số S(x). Thông qua việc

nghiên cứu và giải bài toán, học sinh sẽ nắm được M ở vị trí nào thì diện tích tam giác ở giữa sẽ lớn

nhất. Trong quá trình làm việc, giáo viên sẽ quan sát và nếu học sinh có sự nhầm lẫn nào về đề toán,

giáo viên sẽ có sự can thiệp kịp thời để điều chỉnh.

 Pha 2:

Pha này chia thành 3 hoạt động. Cả 3 hoạt động có mục đích chung cho học sinh tiếp cận một

cách tìm cực trị của tam giác trên môi trường Cabri. Thông qua bảng số liệu ở hoạt động 3, chúng

tôi mong muốn các nhóm sẽ có các kết quả khác nhau.

 Pha 3:

Có mục đích tạo môi trường phản hồi cho kết quả của các nhóm.

Sau khi thực hiện xong yêu cầu pha 3, học sinh sẽ quan sát màn hình (môi trường vật chất)

và nhận thấy kết quả vừa tìm được trong pha 2 là đáng tin hay không.

Vận dụng kiến thức ứng với mỗi vị trí điểm M ta có một giá trị của diện tích tam giác ở giữa

(môi trường phi vật chất). Học sinh sẽ nhận thấy: vị trí điểm M là một biến độc lập, diện tích tam

giác là biến phụ thuộc. Từ đó học sinh liên hệ đến đường đi của M là đường đi của một điểm S tạo

nên một đường parabol.

Giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh dựng đồ thị của số đo diện tích tam giác MNP=S trên máy

tính ngay khi vào pha 3. Với công cụ “ chuyển số đo” và “vết” học sinh nhanh chóng tìm được vị

trí của điểm M bằng thao tác kích chuột mà không phải lập biểu thức hàm số và bảng biến thiên như

trên môi trường giấy bút.

 Pha 4:

Pha 4 là pha các nhóm trình chiếu sản phẩm của nhóm mình đạt được trong pha 3. Mục đích

của pha là đánh giá kết quả của các nhóm và cho phép hợp thức hóa. Nhóm có lời giải đúng được

xếp vào nhóm thắng cuộc. Mặt khác sự tranh luận của các nhóm có thể làm nảy sinh các phát biểu

nghi ngờ về vị trí điểm M trong các thao tác ở pha 3. Từ đó dẫn đến sự kiểm chứng giả thiết bằng lý

thuyết trên phiếu học tập ở pha 4.

Đương nhiên việc học sinh có thể thực hiện đúng theo các thao tác của chúng tôi đưa ra, học

sinh sẽ tìm được vị trí của điểm M và trả lời được bài toán thực tế đặt ra. Nhưng việc giảng dạy các

phần mềm toán học không được đưa vào chương trình nên pha 4 này là cần thiết trong kịch bản của

chúng tôi.

 Pha 5: là pha tranh luận của cả lớp và tổng hợp của giáo viên diễn ra đúng với mục đích xây

dựng.

3.5. Phân tích a posterriori thực nghiệm 2:

Thực nghiệm thứ 2 được tiến hành với lớp 12 Toán nâng cao của trường THPT Long Phú, tại

phòng máy của trường, lớp có 21 học sinh.

Thời điểm tiến hành thực nghiệm: sau khi lớp học xong chủ đề: “Ứng dụng của đạo hàm vào

sự khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số”.

Dữ liệu thu được qua thực nghiệm bao gồm: bài làm cá nhân của học sinh trên phiếu số 1,

phiếu bài làm của nhóm trên phiếu số 2, protocole, các tệp, hình chụp các hình vẽ của học sinh trên

máy tính.

 Pha 1:

Học sinh được giới thiệu một bài toán mang tính chất thực tế nằm ngoài SGK.

Quan sát sản phẩm của học sinh, chúng tôi thống kế các chiến giải của học sinh như sau:

Bảng 3.2: Thống kê chiến lược đã giải ở pha 1

Chiến lược SB SL

4 19,1% SGT1

5 23,8% SGT2

Lập biểu thức sai 1 4,8%

Không lập được biểu thức 6 28,6%

Bỏ trống 2 9,5%

Hiểu sai đề 3 14,2%

Tổng cộng 21 100%

Tuy chúng tôi yêu cầu học sinh rất cụ thể là: Giải bài toán bằng cách chọn biến và lập biểu

thức hàm số S(x). Tìm cực trị bằng cách lập bảng biến thiên, nhưng số bài làm của học sinh giải

đúng yêu cầu chỉ có 10/21 (chiếm 47,7%), trong đó một bài làm hướng chọn biến đúng nhưng lập

biểu thức giải tích sai nên đưa ra kết quả sai .

Có 6 bài làm của học sinh chọn biến sai nên không lập được biểu thức hàm số. Chúng tôi

quan sát trong giấy nháp của các em, chúng tôi nhận thấy: các em này trình bày rất nhiều hướng

nhưng chưa thể tìm ra biểu thức theo x. Chẳng hạn: trên giấy nháp của em Trang trình bày như sau:

“Đặt MN = x

SMNP=SABC - SAMN - SBME - SNFC

AH.

BC

1 2

. BMEK



. xEK

= SABC =

1 2

=……………” SBME =

Ngoài ra có 2 trường hợp bỏ trống và 3 trường hợp hiểu sai đề: có thể giải thích như sau: Vì

trong chương trình SGK GT12NC có khá nhiều bài toán thực tế, nhưng tất cả các bài này hoặc là có

biểu thức hàm số sẵn hoặc chưa có biểu thức hàm số (có thể thiết lập rất dễ dàng). Từ đó, chúng tôi

nhận thấy đối với một bài toán thực tế không có định hướng chọn biến và nằm ngoài hệ thống bài

tập SGK như trên, HS sẽ rất khó khăn khi lập biểu thức hàm số. Vậy mục đích đặt ra ở pha 1 đã đạt

được.

 Pha 2:

Pha này với mục đích cho HS tiếp cận một cách tìm cực trị của hàm số thông qua bài toán

thực tế trên môi trường Cabri.

HĐ1 + HĐ2: học sinh thao tác trên máy tính. Quan sát lớp học, chúng tôi nhận thấy học sinh

nhanh chóng sử dụng thành thạo các công cụ Cabri để vẽ hình, tính độ dài đoạn AM và diện tích

tam giác MNP.

Điều này nói lên 2 vấn đề: thứ nhất, học sinh trong thời đại công nghệ thông tin không còn

quá xa lạ với việc sử dụng máy vi tính; vấn đề thứ hai nói lên tính “thân thiện” của phần mềm Cabri.

HĐ3: Theo quan sát của chúng tôi, các học sinh trong nhóm thảo luận và lựa chọn các vị trí

của M rất tỉ mỉ để xác định được giá trị diện tích nào lớn nhất.

Bảng 3.3 :Thống kê kết quả thu được trong pha 2:

Kết luận vị trí điểm M Số nhóm

M là trung điểm của cạnh AB 3

M ở vị trí khác trên cạnh AB 5

Không kết luận được vị trí điểm M 2

Trích dẫn phần thảo luận của nhóm 4 như sau:

Thảo:Mỗi vị trí điểm M thì có một giá trị diện tích. Vậy giá trị lớn nhất mà chúng ta liệt kê

trên bảng có chắc là đúng chưa?

Thức: Đúng rồi. Từ đó mà suy ra điểm M thôi.

Dưới đây là hình ảnh của nhóm 4 thực hiện trên máy tính:

Tuy nhiên cũng có nhóm sau khi tạo bảng và tìm được một vài giá trị diện tích tam giác giữa,

nhưng không dám kết luận ngay “ Vị trí điểm M để diện tích tam giác MNP lớn nhất”. Bởi vì, các

em học sinh này cho rằng có thể ngoài những giá trị tìm được, còn có giá trị lớn hơn, các em chưa

tin tưởng vào cách tìm vị trí bằng cách tạo bảng. Ví dụ nhóm 9, các em thảo luận như sau:

Hạnh: Tui thấy liệt kê lên bảng những giá trị này chưa chắc lớn nhất vì liệu chúng ta có thể bỏ

qua một số vị trí của M, mà tại đó lớn nhất thì sao?

Nhựt: Bạn di chuyển M chậm lại một lần nữa xem.

Hạnh: Ừ, bạn quan sát kỹ nha!

Nhựt: Tui thấy ổn.

Như vậy, qua pha 2, học sinh đã có được một cách tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác

lớn nhất, mặc dù cách này chưa hoàn toàn chính xác. Do đó Cabri vẫn chưa tạo được môi trường

phản hồi cho học sinh.

 Pha 3:

Theo ghi nhận của những người quan sát và các nhóm này đã thực hiện các thao tác theo

hướng của chúng tôi. Cụ thể:

Nhóm 4:

Thông:A,M di chuyển là S di chuyển tạo thành parabol.

Nam: thấy rồi, vấn đề là phải xác định được vị trí M trên cạnh tam giác đều kìa!

Thông: suy nghĩ… Mỗi vị trí S là có 1 giá trị diện tích, tức là xác định được một vị trí S trên

parabol. Vậy S ở vị trí cao nhất thì diện tích có giá trị lớn nhất.

Nam: Vậy để tao kích chuột kéo M, M ở đâu thì S trùng với đỉnh parabol.

Thông: Rồi M là trung điểm của AB.

Nam: Dễ dàng hé! Vậy mà làm trên giấy tao tìm không ra.

Rõ ràng nhóm 4 đã nhận ra trên môi trường Cabri tìm ra vị trí M dễ dàng hơn trên giấy bút.

Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy có một nhóm nữ có ý kiến như sau:

Nhóm 10

Tiên: Khi kích chuột biết M là trung điểm của AB. S ở đỉnh parabol thì có chắc là diện tích

lớn nhất không?

Hạnh: chắc chắn rồi, điểm S là đại diện cho số đo diện tích đó.

Như vậy ở học sinh có sự nghi ngờ về cách tìm ở pha 3. Nhưng đó chỉ là số ít.

 Pha 4:

Bảng 3.4: Thống kê 10 nhóm thực hiện pha 4 như sau:

Số nhóm

Xác định đúng theo mong đợi của giáo viên 5

Xác định đúng vị trí S, sai M 3

Chưa xác định được vị trí S, M 2

Nhóm 6: chưa xác định được S và M. Mặc dù các em đã thực hiện theo yêu cầu của giáo viên đưa

ra.

Giáo viên hỏi nguyên nhân, các em giải thích phần công việc của mình như sau:

Khang giải thích: Em đã thực hiện theo hướng dẫn của cô nhưng em không biết điểm S này

cô đưa ra có mục đích gì? Khi kích hoạt tạo vết S thì thấy xuất hiện parabol.

Cùng lúc đó, nhóm 1 có kết quả tương tự nhóm 6 giơ tay phát biểu tiếp: - Em đồng ý với bạn

là tụi em chưa hiểu rõ mục đích cách làm này. Nhưng tụi em cũng có suy nghĩ: giá trị lớn nhất của

S là đỉnh của parabol.

Nhóm 2: trình bày sản phẩm của nhóm. Các em xác định được vị trí của S và M đúng như

mong đợi của giáo viên. Các em giải thích công việc của nhóm rất hợp lý như sau:

Sang (trình bày): Do điểm S là đại diện số đo diện tích tam giác MNP nên mỗi “vết” của S

là một giá trị diện tích. Vậy khi M thay đổi trên cạnh của tam giác thì S sẽ tạo “vết” là một parabol.

Vậy S lớn nhất là ở đỉnh parabol. Song song đó khi S ở đỉnh thì M là trung điểm của đoạn AB hoặc

là AC.

Khi Sang dứt lời, cả lớp đã vỗ tay hoan nghênh bạn vì những lời giải thích rất hay và thuyết

phục.

Sau đó, nhóm 3 có ý kiến hỏi giáo viên:

- HS: Thưa cô, khi M thay đổi trên cạnh tam giác là tương ứng có một điểm di chuyển trên trục

hoành và sự chuyển động trên trục tung là sự thay đổi của giá trị diện tích tam giác. Cách hiểu

của em như thế có đúng không cô?

- GV: Đúng.

- HS: Vậy em có thể đổi sự thay đổi giá trị diện tích trên trục tung cho trục hoành được không

cô?

- GV: Không được.

- GV giải thích: Khi M thay đổi thì độ dài BM = x thay đổi, dẫn đến diện tích tam giác (y) thay

đổi. Do đó, x được xem là biến độc lập nên được biểu diễn trên trục Ox, y là biến phụ thuộc nên

được biểu diễn trên Oy.

Qua pha 4, đa số học sinh đã nối khớp được hai phạm vi hình học và giải tích. Đặc biệt, sự

nối khớp đó tiến triển rất rõ rệt. Có đến 5 nhóm làm đúng với yêu cầu. Tuy nhiên đến thời điểm này,

trong lớp vẫn còn vài học sinh cho rằng: đây chỉ là một cách làm trên phần mềm.

Phần thuyết trình của nhóm 2 đã thuyết phục được cả lớp biểu hiện qua tràn pháo tay của học

sinh ngồi dưới. Tuy nhiên, sự đồng ý dường như chỉ mang tính “lý thuyết”, có lẽ các em học sinh

còn nghi ngờ về đáp án của phần mềm. Do đó, có học sinh nói “Em đồng ý với bạn, nhưng chúng ta

có thể dùng kiến thức toán học chứng minh xem có đúng không cô”.

Giáo viên cười và đánh giá sản phẩm của các nhóm, sau đó phát phiếu học tập để học sinh

kiểm chứng lý thuyết theo gợi ý trong phiếu học tập.

Giáo viên chiếu lời giải trên bảng. Học sinh so sánh, đối chiếu, nhận xét và bổ sung.

Nhóm 11: Hằng: Em chứng minh bằng cách đặt x = AM được không cô?

GV: Vẫn đúng.

Qua đó, học sinh nhận thấy rằng với việc sử dụng phần mềm Cabri II Plus đã gợi mở giải bài

toán bằng nhiều cách. Phần mềm là công cụ nối giữa hình học và đại số, hình học và giải tích; giúp

học sinh gắn kết các kiến thức của các phân môn khác nhau của toán học.

 Pha tổng kết:

Trong pha này, giáo viên đặt một số câu hỏi nhằm giúp học sinh nhớ lại cách tìm cực

trị tam giác trên phương diện lý thuyết.

3.6 Kết luận thực nghiệm 2

Qua thực nghiệm 2, chúng tôi đã được mục đích đặt ra. Cụ thể:

+ Nếu bài toán được đặt trong chương trình nào thì học sinh sẽ giải bài toán bằng công cụ

trong chương trình đó. Học sinh thường không nghĩ đến sự kết hợp giữa hình học và giải tích để giải

toán, đặc biệt là các bài toán có liên quan đến diện tích.

+ Thiết lập một tình huống dạy học học mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích

để học sinh giải quyết trên môi trường giấy bút truyền thống và Cabri.

+ Tạo ra một mô hình hình học trung gian của một tình huống mô hình hóa vắng mặt trong

sách giáo khoa trong môi trường Cabri.

+ Kiểm chứng tính hợp thức của quy tắc hợp đồng R3 trong giả thuyết H1, kiểm tra tính

thỏa đáng của giả thuyết H2. Đồng thời, cũng kiểm tra sự tồn tại của R1, R3 trong học sinh đến mức

độ nào.

Những vấn đề đã trình bày giúp ta có cách nhìn mới trong việc kết hợp giữa hình học động và

giải tích. Đây là điều mà “bảng đen, phấn trắng” khó có thể thực hiện được.

KẾT LUẬN

Qua luận văn này, chúng tôi đạt được những kết quả nghiên cứu sau:

1. Trong chương 1, trên quan điểm so sánh, chúng tôi làm rõ quan điểm trình bày khái niệm hàm số và bài toán tính diện tích của hai thể chế I1. Cụ thể:

Từ phân tích trên, chúng tôi nhận thấy, ở lớp 12 đã đủ công cụ để vẽ đồ thị nhờ vào ứng dụng

đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Do đã đủ công cụ để khảo sát hàm số và đồ thị dùng để minh họa các tính chất của hàm số

nên các bài tập mang tính chất thực tế với số lượng nhiều. Từ đó cho thấy dạy học mô hình hoá hàm

số được I2 quan tâm sâu sắc. Hơn thế nữa, các bài toán về mô hình hóa hàm số bằng bài toán diện

tích chiếm số lượng lớn .

Như vậy, trong I1 chỉ yêu cầu HS học hàm số bậc nhất, bậc hai, những loại hàm số này cũng

mang tính chất nhắc lại ở cấp TH cơ sở. Hai loại hàm số này, một mặt khá đơn giản, mặt khác học

sinh chưa đủ công cụ để khảo sát sự biến thiên của hàm số và đồ thị là một công cụ để đọc tính chất

của hàm số. Từ đó cho thấy, việc giải quyết một bài toán phỏng thực tế (đưa BTPTT BTTHkết

luận BTPTT) mang tính hình thức.

2. Chương 2 dành cho nghiên cứu thức nghiệm thứ nhất. Thực nghiệm này nhằm kiểm chứng tính

hợp thức của giả thuyết H2, và sự tồn tại của hai quy tắc hợp đồng R1, R3 trong giả thuyết H1. Kết

quả thực nghiệm cho thấy,các bài toán thực tế liên quan đến mô hình hóa hàm số trong SGK, việc

chọn biến đã được đề bài cho sẵn hoặc định hướng sẵn. Ngoài ra, đa số HS khi giải bài toán được

phát biểu bằng ngôn ngữ hình học thì không suy nghĩ đến vấn đề chuyển bài toán hình học này sang

phạm vi Đại số - Giải tích để giải. Một số ít HS biết chuyển bài toán hình học sang Giải tích để giải

nhưng chủ yếu dùng bất đẳng thức Cô-si, còn dùng công cụ đạo hàm lập bảng biến thiên chỉ là thứ

yếu. Chính điều này dẫn chúng tôi đến với thực nghiệm thứ hai được nghiên cứu ở chương 3.

3. Chương 3 nghiên cứu thực nghiệm thứ hai với mục đích:

+ Nếu bài toán được đặt trong chương trình nào thì học sinh sẽ giải bài toán bằng công cụ

trong chương trình đó. Học sinh thường không nghĩ đến sự kết hợp giữa hình học và giải tích để giải

toán, đặc biệt là các bài toán có liên quan đến diện tích.

+ Thiết lập một tình huống dạy học học mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích

+ Tạo ra một mô hình hình học trung gian của một tình huống mô hình hóa vắng mặt trong

để học sinh giải quyết trên môi trường giấy bút truyền thống và Cabri.

sách giáo khoa trong môi trường Cabri.

+ Kiểm chứng tính hợp thức của quy tắc hợp đồng R3 trong giả thuyết H1, kiểm tra tính

thỏa đáng của giả thuyết H2. Đồng thời, cũng kiểm tra sự tồn tại của R1, R3 trong học sinh đến mức

độ nào.

Những vấn đề đã trình bày giúp ta có cách nhìn mới trong việc kết hợp giữa hình học động và

giải tích. Đây là điều mà “bảng đen, phấn trắng” khó có thể thực hiện được. Qua đó, học sinh nhận

thấy rằng với việc sử dụng phần mềm Cabri II Plus đã gợi mở giải bài toán bằng nhiều cách. Phần

mềm là công cụ nối giữa hình học và đại số, hình học và giải tích; giúp học sinh gắn kết các kiến

thức của các phân môn khác nhau của toán học.

Nắm vững phương pháp trên, sẽ mở ra sự sáng tạo trong việc giảng dạy, giúp ta có thêm phương

pháp mới để nghiên cứu sâu hơn về lớp các bài toán cực trị trong hình học với sự hỗ trợ của máy

tính điện tử.

Tạo niềm đam mê toán học cho học sinh: Những khái niệm khó trước đây như giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của một đối tượng hình học chỉ được hình dung tư duy, nay được dựng mô phỏng

trên máy tính điện tử một cách trực quan, sinh động. Điều này mở ra sự sáng tạo cho học sinh khá

giỏi, có thể tự mình thiết lập và giải toán các bài toán cực trị trong chương trình học.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt 1. Bộ giáo dục và đào tạo(2007), Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học phổ thông

môn Toán, NXBGD.

2. Bộ giáo dục và đào tạo(2008), Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn

Toán, NXBGD.

3. Bộ giáo dục và đào tạo(2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, SGK lớp 10

môn Toán, NXBGD.

4. Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), (2006), Sách bài tập Đại số 10 nâng cao, NXBGD. 5. Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), (2008), Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXBGD. 6. Vũ Khánh Ly(2008), Khái niệm phép biến hình ở trường phổ thông trong môi trường tích hợp

phần mền Cabri, luận văn thạc sĩ giáo dục học.

7. Phạm Thanh Phương (2006), Dạy và học toán với phần mền Cabri – Hình học phẳng,

NXBGD.

8. Nguyễn Chí Thành(2007), “Ứng dụng phần mềm Cabri trong dạy và học môn Toán ở trường

phổ thông”, Tạp chí Giáo dục , (166).

9. Lê Văn Tiến(2006), “Môi trường trong sư phạm tương tác và trong lí thuyết tình huống”, Tạp

chí Khoa học giáo dục, (8), tr5-7.

10. Lê Văn Tiến(2005), “Phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông”, NXBĐHQG TP.Hồ Chí

Minh.

11. Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến(2009) “Những yếu tố cơ bản của didactic toán”, NXB

ĐHQG TP.Hồ Chí Minh.

12. Bùi Thị Ngát(2008), Hàm số và đường cong trong dạy học Toán ở trường phổ thông, luận văn

thạc sĩ giáo dục học.

13. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên)(2006), Sách giáo khoa Đại số 10

nâng cao, NXBGD.

14. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên)(2006),Sách giáo viên Đại số 10

nâng cao, NXBGD.

15. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên)(2008), sách giáo khoa Giải tích 12,

nâng cao, NXBGD.

16. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên)(2008), sách giáo viên Giải tích 12,

nâng cao, NXBGD.

Tiếng Anh 17. Jahn, A.P.(2002), ““Locus” anh “Trace” in Cabri-geometry: relationships between geometric

and functional aspects in a study of transformations”, ZDM, Vol.34.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Bài toán thực nghiệm 1.

Phụ lục 2: Một số bài làm của học sinh trong thực nghiệm 1.

Phụ lục 3: Bài toán thực nghiệm 2.

Phụ lục 4: Một số bài làm của học sinh trong thực nghiệm 2.

Phụ lục 5: Protocole pha 2, 3, 4 và pha tổng kết của thực nghiệm 2.

PHỤ LỤC 1: BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM 1.

Trường …………………………………..

Lớp:………………………………………

Họ và tên HS:…………………………….

Bài toán : Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh

MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác

định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Yêu cầu: Hãy vẽ hình minh họa và giải bài toán trên

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

Bài giải

PHỤ LỤC 2: MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH TRONG THỰC NGHIỆM 1

PHỤ LỤC 3: BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM 2.

Trường …………………………………..

Lớp:………………………………………

Họ và tên HS:…………………………….

PHIẾU BÀI LÀM SỐ 1

Bài toán:

Có một khu vườn hình tam giác, chủ khu đất này muốn chia khu đất này thành 4 mảnh đất hình tam

giác con theo cách thức như sau: Ông treo 2 đầu hai sợi dây tại một vị trí bất kỳ trên một ranh đất,

Ông cầm mỗi đầu còn lại của hai sợi dây kéo thẳng về phía 2 ranh đất còn lại sao cho sợi dây cắt

ranh đất này thì phải song song với ranh đất kia, (nối hai điểm cắt lại). Ông chủ đất suy nghĩ, treo 2

đầu dây ban đầu ở vị trí nào trên ranh đất để mảnh đất tam giác ở giữa có diện tích lớn nhất.

Giải bài toán trên bằng cách chọn biến x và lập biểu thức hàm số S(x): diện tích tam giác ở giữa.

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

Tìm x để S(x) đạt giá trị lớn nhất.

Trường …………………………………..

Lớp:………………Nhóm số…………….

Họ và tên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PHIẾU BÀI LÀM SỐ 2

Hoạt động 1: Trên máy tính trong môi trường Cabri, vẽ hình minh họa cho bài toán trên, đặt tên

cho tam giác ban đầu là tam giác ABC.

Hoạt động 2: Giả sử điểm M, N, P lần lượt nằm trên cạnh AB, AC, BC. Tính AM và diện tích

tam giác MNP ở giữa.

Hoạt động 3: Tạo bảng. Ghi lại các giá trị của diện tích tam giác MNP khi M thay đổi vị trí trên

AB. Từ đó đưa ra kết luận cho bài toán.

.............................................................................................................................................................................................................

Kết luận: .....................................................................................................................................................................................

Trường …………………………………..

Lớp:………………Nhóm số…………….

Họ và tên HS:…………………………….

HIẾU BÀI LÀM SỐ 3

Sử dụng các chức năng của phần mềm Cabri, các nhóm hãy dựng đồ thị của số đo diện tích tam giác

MNP = S, tạo vết cho S, thay đổi vị trí của M để thấy sự thay đổi của điểm S. Khi đó, hãy xác định

giá trị lớn nhất của S và vị trí điểm M để diện tích tam giác MNP lớn nhất.

.............................................................................................................................................................................................................

Kết luận: .....................................................................................................................................................................................

Trường …………………………………..

Lớp:………………Nhóm số…………….

Họ và tên HS:…………………………….

PHIẾU BÀI LÀM SỐ 4

Hãy chứng minh kết quả bài toán trên theo hướng dẫn sau:

+ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N trên BC. Biễu diễn các độ dài MN, ME theo x

= BM.

+ Tính diện tích tam giác MNP theo biến x.

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

Suy ra giá trị của x sao cho diện tích tam giác MNP lớn nhất.

PHỤ LỤC 4: MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH TRONG THỰC NGHIỆM 2.

PHỤ LỤC 5: PROTOCOLE PHA 2, 3, 4 VÀ PHA TỔNG KẾT CỦA THỰC NGHIỆM 2. Pha 2: Nhóm 4:

Thảo: Mỗi vị trí điểm M thì có một giá trị diện tích. Vậy giá trị lớn nhất mà chúng ta liệt kê trên

bảng có chắc là đúng chưa?

Thức: Đúng rồi. Từ đó mà suy ra điểm M thôi. M là trung điểm của AB.

Nhóm 7

Ngân: Để tao vẽ hình cho.

Thi: Ừ, vẽ rồi đặt tên luôn nha!

Ngân: Hoạt động 1 dễ hé!

Thi: Hoạt động 2 cũng dễ. Nhưng hoạt động 3, tạo bảng thì dễ nhưng tạo bảng để kết luận được diện

tích lớn nhất đó.

Ngân: Thì giá trị nào lớn nhất thì lấy. Có gì khó đâu?

Thi: Mày hay quá. Làm đi,...

Ngân: Nhìn nè nha! Tao di chuyển M bắt đầu từ A đi đến B, Liệt kê kỹ các giá trị nghi ngờ là lớn

nhất. Trong các giá trị đó, số nào lớn nhất là lớn nhất.

Thi:Tao thấy cách của mày cũng có lý. Vậy quyết định vậy đi. Vậy M chia đoạn AB làm 2 phần

1 1,2

AB. theo tỉ lệ AM =

Nhóm 9:

Hạnh: Tui thấy liệt kê lên bảng những giá trị này chưa chắc lớn nhất vì liệu chúng ta có thể bỏ qua

một số vị trí của M, mà tại đó lớn nhất thì sao?

Nhựt: Bạn di chuyển M chậm lại một lần nữa xem.

Hạnh: Ừ, bạn quan sát kỹ nha!

Nhựt: Tui thấy ổn.

Pha 3: Nhóm 4:

Thông:A,M di chuyển là S di chuyển tạo thành parabol.

Nam: Thấy rồi, vấn đề là phải xác định được vị trí M trên cạnh tam giác đều kìa!

Thông: suy nghĩ… Mỗi vị trí S là có 1 giá trị diện tích, tức là xác định được một vị trí S trên

parabol. Vậy S ở vị trí cao nhất thì diện tích có giá trị lớn nhất.

Nam: Vậy để tao kích chuột kéo M, M ở đâu thì S trùng với đỉnh parabol.

Thông: Rồi M là trung điểm của AB.

Nam: Dễ dàng hé! Vậy mà làm trên giấy tao tìm không ra.

Nhóm 7

Ngân: Mày tạo vết cho S đi.

Thi: Ừ

Ngân: S là một đường parabol kìa! Vậy giá trị lớn nhất là đỉnh rồi.

Thi: Vậy M chia AB làm 2 phần bằng nhau.

1 2

AB mày ơi, phần trước tao với mày tiêu rồi! Ngân: Vậy AM =

Nhóm 10:

Tiên: Khi kích chuột biết M là trung điểm của AB. S ở đỉnh parabol thì có chắc là diện tích lớn nhất

không?

Hạnh: chắc chắn rồi, điểm S là đại diện cho diện tích đó.

Pha 4 Nhóm 6:

Khang: Em đã thực hiện theo hướng dẫn của cô nhưng em không biết điểm S này cô đưa ra có mục

đích gì? Khi kích hoạt tạo vết S thì thấy xuất hiện parabol.

Nhóm 1:

- Em đồng ý với bạn là tụi em chưa hiểu rõ mục đích cách làm này. Nhưng tụi em cũng có

suy nghĩ: giá trị lớn nhất của S là đỉnh của parabol và có lẽ S là diện tích phải không cô?.

Nhóm 2:

Sang (trình bày): Do điểm S là đại diện số đo diện tích tam giác MNP nên mỗi “vết” của S là một

giá trị diện tích. Vậy khi M thay đổi trên cạnh của tam giác thì S sẽ tạo “vết” là một parabol. Vậy S

là ở đỉnh parabol có giá trị lớn nhất. Song song đó khi S ở đỉnh thì M là trung điểm của đoạn AB

hoặc là AC.

Nhóm 3:

Lộc: Thưa cô, khi M thay đổi trên cạnh tam giác là tương ứng có một điểm di chuyển trên trục

hoành và sự chuyển động trên trục tung là sự thay đổi của giá trị diện tích tam giác. Cách hiểu

của em như thế có đúng không cô?

GV: Đúng.

Phong: Vậy em có thể đổi sự thay đổi giá trị diện tích trên trục tung cho trục hoành được không cô?

GV: Không được.

GV giải thích: Khi M thay đổi thì độ dài BM = x thay đổi, dẫn đến diện tích tam giác (y) thay đổi.

Do đó, x được xem là biến độc lập nên được biểu diễn trên trục Ox, y là biến phụ thuộc nên

được biểu diễn trên Oy.

(Giáo viên chiếu lời giải trên bảng. Học sinh so sánh, đối chiếu, nhận xét và bổ sung)

Nhóm 10:

Tiên: Em chứng minh bằng cách đặt x = AM được không cô?

GV: Vẫn đúng.

Nhóm 5:

Thảo: Vậy đối với cách tìm giá trị lớn nhất như trên hay quá hé Thức.

Thức: Đúng rồi. Cách đó đã gợi mở giải bài toán bằng cách áp dụng hàm số. Thấy lạ mà hay.

Pha tổng kết:

Cô mời nhóm 9 trình bày cách tìm vị trí M trong bài toán nêu ra ở trên trong môi trường Cabri:

Hạnh trình bày: Vẽ hình theo yêu cầu bài toán

- Đo độ các số đo cần thiết, chẳng hạn: đoạn thẳng BM, và diện tích tam giác hiện có.

- Lập bảng

- Di chuyển điểm M. Ghi các giá trị thay đổi của BM và diện tích tam giác vào bảng.

- Kết luận

GV: Cả lớp có đồng ý không?

Nhóm 4 có ý kiến:

Thức: Chưa chắc. Bạn liệt kê được tất cả các giá trị hay không? Nếu tui không vẽ hình nhỏ mà tui

vẽ hình thật là lớn, bạn có liệt kê hết không?

GV: Nhóm 9: em hãy trả lời các câu hỏi của nhóm 4.

Hạnh (nhóm 9). Em thấy, tụi em làm cách này ở pha 2, có kết quả chính xác. Còn câu hỏi của bạn

Thức(nhóm 4)

Tụi tui liệt kê chỉ một số thôi. Nhưng khi di chuyển M, xem cẩn thận các giá trị thay đổi. Còn

nếu hình có lớn mấy cũng có thể giải được.

Ngân (nhóm 7) có ý kiến: Nhóm mình cũng rất cẩn thận nhưng bị sai ở pha 2.Vậy, cách tìm này khó

quá, dễ sai.

GV: Vậy nhóm 7 có thêm ý kiến gì nữa không?

Ngân( nhóm 7) trình bày tiếp:

Trên máy tính trong môi trường Cabri, ta vẽ hình theo yêu cầu bài toán.

- Hiện hệ trục tọa độ.

- BM = x. Chuyển số đo BM trên trục hoành được điểm P.

- Diện tích tam giác là y trên trục tung được điểm Q.

- Tạo vết điểm S là giao điểm của 2 đường thẳng song song Ox, Oy lần lượt qua Q, P. Cho

M chuyển động.

- Nhìn vào hình kết luận.

GV: Các em hiểu phần trình bày của bạn không?

HS cả lớp: Dạ hiểu.

GV: Chúng ta tổng kết lại nha!

Nhóm 7 đã trình bày được cách tìm điểm M trong bài toán trên Cabri rất cụ thể. Vậy để chứng

minh cho kết luận đó thì cô đã trình bày cho các em xem ở pha 4. Các em xem lại.

( Giáo viên trình chiếu lại phần chứng minh ở pha 4)

Từ đó, các em nhận thấy, với việc sử dụng phần mềm Cabri II plus đã gợi mở cho chúng ta giải bài

toán bằng nhiều cách: bất đẳng thức, hàm số f(x) là tam thức bậc 2,...