Đề chọn học sinh giỏi có đáp án môn: Toán - Lớp 12 (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Ta Thuy Chinh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bạn học sinh và quý thầy cô hãy tham khảo đề chọn học sinh giỏi "Toán - Lớp 12" năm học 2015-2016 kèm đáp án để hệ thống lại kiến thức đã học cũng như kinh nghiệm ra đề. Hy vọng đề thi sẽ giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề chọn học sinh giỏi có đáp án môn: Toán - Lớp 12 (Năm học 2015-2016)

TRƯỜNG THPT DTNT ĐỀ CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 20152016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— 2x 3 Câu I. Cho hàm số y có đồ thị (C) (C) x 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Chứng minh rằng d: y 2 x m cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi k1 , k 2 lần 2013 2013 lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = k1 k2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II. π 1. Giải phương trình: cos x + cos 3 x = 1 + 2 sin(2 x + ) 4 x 3 + 1 = 2( x 2 − x + y ) 2. Giải hệ phương trình: ( x, y R) y 3 + 1 = 2( y 2 − y + x ) Câu III � 5� 5 − 4a − 1 + a −1; �.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1. Cho a �� 4� 5 − 4a + 2 1 + a + 6 4 x2 x2 + 5 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm thực: ( x + 2) 2 x 4 + 8 x 2 + 16mx + 16m 2 + 32m + 16 = 0 Câu IV ( ) n 1. Cho khai triển: 1 + 2 x = a0 + a1 x + a2 x 2 + ..... + an x n (n N*) . 2 14 1 Tính tổng: A= a1 + 2a2 + ..... + n.an . Biết: 2 + 3= Cn 3Cn n 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn T : x 2 y2 4x 0 và đường thẳng d : 2x y 2 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho từ điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến T với A, B là các tiếp điểm đồng thời đường thẳng AB đi qua điểm K 4; 5 Câu V 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD sao cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 4 0 và mặt cầu S : x2 y2 z 2 10 x 2 y 6 z 10 0 . Từ điểm M trên P kẻ 1 đường thẳng tiếp xúc với S tại điểm N . Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng MN bằng 11
Hết HƯỚNG DẪN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỀ 02 Câu Nội dung Điể m I 2x 3 2) Cho hàm số y có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = 2x + m. Chứng minh rằng x 2 2,0đ d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi k1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = k1 2013 k2 2013 đạt giá trị nhỏ nhất. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d: 2x 3 x 2 0,5 2x m x 2 2 x 2 (6 m) x 3 2m 0(*) Xét phương trình (*), ta có: 0, m R và x = 2 không là nghiệm của (*) nên d luôn cắt 0,5 đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là 1 1 k1 2 , k2 , trong đó x1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy ( x1 1) ( x 2 1) 2 1 1 0,5 k1 .k 2 2 2 2 4 (k1>0, k2>0) x1 2 x2 2 x1 x 2 2 x1 2 x2 4 Có P = k1 2013 k2 2013 2. k1 k 2 2013 2 2014 , do dó MinP = 2 2014 đạt được khi 0,5 1 1 k1 k2 2 ( x1 2) 2 ( x2 2) 2 ( x1 2) ( x 2 2) 2 do x1 , x 2 phân biệt nên ta có x1 +2 = x2 2 x1 + x2 = 4 m = 2. Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. II.1 π Giải phương trình: cos x + cos 3 x = 1 + 2 sin(2 x + ) 4 2,0đ � 2cos2xcosx = 1+ sin2x + cos2x 0, 5 � cos2x(2cosx − 1) = 1+ 2sinxcosx 0,5 � (cos2 x − sin2 x)(2cosx − 1) = (cosx + sinx)2 cosx + sinx = 0 (1) (cosx − sinx)(2cosx − 1) = cosx + sinx (2) � π� π π 0,5 (1) � 2sin�x + �= 0 � x + = kπ � x = − + kπ � 4� 4 4
π 0,5 cosx = 0 + kπ x= (2) � 2cosx(cosx − sinx − 1) = 0 � 2 � π� � 2cos�x + �= 1 π π � 4� x+ = + k2π 4 4 π π Vậy pt có nghiệm là x = − + kπ , x = + kπ , x = k2π 4 2 II.2 x + 1 = 2( x − x + y ) 3 2 Giải hệ phương trình: 3 ( x, y R ) 2,0đ y + 1 = 2( y 2 − y + x ) x3 − 2 x 2 + 2 x + 1 = 2 y (1) Ta có hệ y 3 − 2 y 2 + 2 y + 1 = 2 x (2) 1 Xét hàm số f (t ) = t 3 − 2t 2 + 2t + 1, t R . Ta có f '(t ) = 3t 2 − 4t + 2 > 0, ∀t R nên hàm số f(t) đồng biến trên R . Nếu x>y thì 2 y = f ( x) > f ( y ) = 2 x � y > x , vô lí 1 Tương tự, không thể có x
Như vậy nếu (2) có nghiệm thì nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0. Do đó hệ (1), (2) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm x=2. Thay x=2 vào (2) ta được: m 2 + 4m + 4 = 0 � m = −2 0,5 Vậy với m = −2 thì hệ (1), (2) có nghiệm. IV.1 2 14 1 1,5đ Giải phương trình: + 3 = ta được: n =9 2 Cn 3Cn n 0,5 ( ) 0, 5 9 Với n = 9 ta có 1 + 2 x = a0 + a1 x + a2 x 2 + ..... + a9 x 9 ( ) 8 Lấy đạo hàm hai vế ta được: 9 2 1 + 2 x = a1 + 2a2 x + ..... + 9a9 x8 ( ) 8 Cho x = 1 ta được A= a1 + 2a2 + ..... + 9.a9 = 9 2 1 + 2 . 0,5 IV.2 Cách 1. 2,0đ Đường tròn T có tâm I 2;0 và bán kính R 2 0,5 Gọi J là trung điểm của MI a 2 Giả sử M a;2a 2 d suy ra: J ; a 1 và 2 5a 2 4a 8 Vì MA AI , MB BI nên A, B MJ 2 a 2 thuộc đường tròn C có tâm J ; a 1 và 2 bán kính MJ 5a 2 4a 8 2 a 2 2 2 5a 2 4 a 8 0,5 Phương trình C : x y a 1 . Hay 2 4 C : x 2 y 2 a 2 x 2a 2 y 2a 0 Như vậy 2 điểm A, B vừa thuộc đường tròn T vừa thuộc đường tròn C do đó tọa độ 0,5 của A, B là x2 y2 4x 0 nghiệm của hệ: 2 2 a 2x 2a 2 y 2a 0 x y a 2x 2a 2 y 2a 0 Do đó A, B thuộc đường thẳng a 2 x 2a 2 y 2a 0 . 0,5 Hay nói cách khác là đường thẳng AB có phương trình: a 2 x 2a 2 y 2a 0 Vì đường thẳng AB đi qua điểm K 4; 5 nên ta có: 1 1 7 a 2 4 2a 2 5 2a 0 16a 2 0 a M ; 8 8 4 V.1 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên đoạn AB và đoạn CD 2,0đ sao cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN. BM DN 0,5 +) Đặt x , với 0 x 1 x . Khi đó ta có: BM x.BA và DN x.DC BA DC
+) Ta có: DN x.DC BN BD x ( BC BD) BN x.BC (1 x).BD 0,5 Do đó: MN BN BM x.BC (1 x).BD x.BA a2 a2 a2 0,25 +) MN2 = x 2 a 2 (1 x) 2 a 2 x2a2 2 x(1 x) 2x 2 . 2 x(1 x) 2 2 2 = a2 x 2 (1 x) 2 x 2 x(1 x) x 2 x (1 x ) = (2x2 – 2x + 1)a2 +) Xét hàm số f(x) = 2x2 – 2x + 1 trên đoạn 0;1 ta có: 0,25 1 1 max f ( x) f ( 0) f (1) 1, min f ( x) f( ) 2 2 a 2 0,25 +) MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. 2 +) MN đạt giá trị lớn nhất bằng a khi M B, N D hoặc M A, N C. 0,25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 4 0 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 10 x 2 y 6 z 10 0 . Từ điểm M trên P kẻ 1 đường thẳng tiếp xúc với S tại điểm N . Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng MN bằng V.2 11 2,0đ Mặt cầu S có tâm I 5;1;3 và bán kính R 5 Vì MN là tiếp tuyến của mặt cầu nên IN NM 2 Từ đó ta tính được : IM IN 2 52 NM 2 11 6 Do đó điểm M thuộc mặt cầu S1 tâm I 5;1;3 và bán kính R1 6 0,5 Vậy nên tập hợp các điểm M là đường tròn C chính giao tuyến giữa mặt cầu S1 và mặt phẳng P 0,5 +)Tâm của C là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng P và ta dễ dàng xác định 28 25 7 được tâm là điểm J ; ; 9 9 9 2 0,5 17 35 +) Bán kính của C là: r R12 d 2 I, P 62 3 3