Đề cương bài giảng: Vật lý chất rắn

Chia sẻ: Codon_11 Codon_11 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

306
lượt xem 51
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề cương bài giảng: Vật lý chất rắn với mục tiêu giúp cho người học nắm được cấu trúc tinh thể của chất rắn; ảnh hưởng của tính tuần hoàn của cấu trúc tinh thể đến dao động mạng tinh thể; giải thích được tính chất nhiệt của chất rắn thông qua giải bài toán dao động mạng tinh thể; giải thích được tính chất điện và phân loại chất rắn qua lý thuyết vùng năng lượng của chất rắn, nắm được những tính chất cơ bản của các chất bán dẫn và vật liệu từ; làm cơ sở để nghiên cứu tiếp về vật lý bán dẫn, vật lý kim loại, vật lý các chất sắt điện, sắt từ....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương bài giảng: Vật lý chất rắn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Tên môn học: VẬT LÝ CHẤT RẮN Mã số môn học: SSP 331 1. Thông tin chung về môn học Số tín chỉ: 3(2,1) Số tiết: Tổng : 45, LT: 39, Thảo luận: 3 Bài tập: 3 Năm học: 2014 – 2015; Học kỳ: 1. 2. Thông tin về giảng viên Họ và tên: Vũ Thị Kim Liên, Chức danh, học vị: Phó Giáo sư, Tiến sĩ. Địa chỉ: NR/CQ: Tổ 16 P. Trưng Vương, Thành phố Thái Nguyên Websites: http://www.tnu.edu.vn/sites/....; E-mail: lienvusptn@gmail.com Điện thoại: 0912 789 436 3. Giờ lên lớp: Tuần từ 11/8 đến 22/11/2014 N01: tiết 4,5,6 - thứ Ba, B2/504 N02: tiết 7,8,9 - thứ Hai, B2/304 N03: tiết 7,8,9 - thứ Tư, B2/304 4. Giờ tiếp sinh viên trao đổi về bài học Sinh viên có thể gặp giảng viên để đặt câu hỏi hoặc nghe giải đáp các thắc mắc, từ 14 giờ đến 17 giờ thứ 5 hàng tuần tại phòng 612 nhà A4. 5. Mục tiêu môn học Học xong môn học này, người học cần nắm được cấu trúc tinh thể của chất rắn; ảnh hưởng của tính tuần hoàn của cấu trúc tinh thể đến dao động mạng tinh thể; giải thích được tính chất nhiệt của chất rắn thông qua giải bài toán dao động mạng tinh thể; giải thích được tính chất điện và phân loại chất rắn qua lý thuyết vùng năng lượng của chất rắn, nắm được những tính chất cơ bản của các chất bán dẫn và vật liệu từ; làm cơ sở để nghiên cứu tiếp về vật lý bán dẫn, vật lý kim loại, vật lý các chất sắt điện, sắt từ.... 6. Mô tả môn học Trong cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật hiện nay ngành Vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử, y học hiện đại.... Vật lý chất rắn là môn học nghiên cứu các tính chất vật lý của chất rắn. Từ các mô hình đơn giản rút ra các tính chất cơ bản của các vật liệu chính như kim loại, chất 1
bán dẫn, chất cách điện, chất có từ tính, chất siêu dẫn,... dưới dạng tinh thể. Nghiên cứu vật lý chất rắn vừa giúp hiểu được các cơ chế vật lý xảy ra trong chất rắn, xây dựng được nguyên tắc để sử dụng chúng trong thực tiễn kỹ thuật và đời sống, vừa giúp con người tìm ra những vật liệu mới và hiện đại, phục vụ tốt hơn cho con người. Môn Vật lý chất rắn được học sau khi sinh viên ngành Vật lý và Sư phạm Vật lý đã học các môn cơ học, nhiệt học, quang học, điện - từ học và cơ học lượng tử. Môn học giới thiệu với người học về cấu trúc tinh thể của chất rắn, dao động mạng tinh thể, tính chất nhiệt, điện, từ của chất rắn. Môn học là cơ sở để người học có thể nghiên cứu tiếp và chuyên sâu về vật lý bán dẫn, vật lý kim loại, vật lý các chất sắt điện, sắt từ.... Đồng thời giúp các sinh viên Sư phạm Vật lý giảng dạy tốt hơn các phần có liên quan trong chương trình vật lý phổ thông. 7. Yêu cầu và kỳ vọng của môn học Đạt được mục tiêu môn học 8. Đánh giá môn học - Điểm đánh giá bộ phận chấm theo thang điểm 10 với trọng số như sau: + Kiểm tra giữa học phần:0,2 + Chuyên cần: 0,1 + Bài tập lớn, tiểu luận: 0,1 + Điểm thi kết thúc học phần: 0,6 - Hình thức thi: vấn đáp 9. Học liệu Giáo trình: [1] Đào Trần Cao, Cơ sở Vật lý chất rắn, NXB Đại học Quốc gia hà Nội, 2007. [2]. Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình, Vật lý chất rắn, NXB giáo dục 1992. Tài liệu tham khảo: [3]. Vũ Đình Cự, Vật lý chất rắn, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 1997. [4]. Charlen Kittel. Interduction to Solit State Physices. NXB John WILEY and Sons, 2004 [5]. Phùng Hồ, Phan Quốc Phô, Giáo trình Vật lý bán dẫn, NXB Khoa học & Kỹ Thuật, 2001. 9. Kế hoạch dạy - học Tuần thứ nhất, thứ hai, thứ ba: Chương 1. 2
Cấu trúc tinh thể của chất rắn 1.1.Đối xứng tịnh tiến và mạng Bravais 1. Đối xứng tịnh tiến  Phép tịnh tiến T(r) là một phép biến đổi mà sau đó mỗi điểm có tọa độ r1 bất kỳ    nào đó đều được tịnh tiến đi một véc tơ r để trở thành điểm có tọa độ r1 + r ; tức là:     T(r) : r1  r1 + r (với mọi r1 ) Nếu một tinh thể, sau khi thực hiện một phép tịnh tiến đối với nó mà mỗi nguyên tử dịch chuyển đến vị trí của nguyên tử cùng loại và tinh thể chuyển sang vị trí mới, trùng khít với nó ở vị trí cũ thì ta nói tinh thể có đối xứng tịnh tiến. Tinh thể lý tưởng (hay hoàn hảo và vô tận, tức là các nguyên tử được sắp xếp một cách trật tự đến vô hạn) có đối xứng tịnh tiến. Tuy nhiên, do tinh thể là gián đoạn, nên nếu xét theo 1 phương x nào đó, sẽ  phải có một véc tơ ngắn nhất a x mà tinh thể chỉ bất biến khi và chỉ khi ta tịnh tiến nó đi  một đoạn bằng số nguyên lần a x (về cả hai phía), hay tinh thể sẽ có đối xứng tịnh tiến khi và chỉ khi ta thực hiện phép tịnh tiến T(na ) , với n là số nguyên (dương, âm hoặc x  bằng 0), a x được gọi là véc tơ cơ sở của trục x. Do tinh thể là 3 chiều, tọa độ một điểm bất kỳ trong không gian 3 chiều được    biểu diễn thông qua 3 tọa độ của nó trên 3 trục tọa độ. Nếu kí hiệu a1 , a 2 , a 3 là các véc tơ cơ sở tương ứng trên 3 trục tọa độ được chọn theo 3 hướng x, y, z phù hợp với nhau, thì tinh thể sẽ có đối xứng tịnh tiến đối với phép tịnh tiến T(R) với :     R = n1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 (1.1)  Trong đó n1, n2, n3 là các số nguyên. R được gọi là véc tơ mạng. + Chú ý: - Ba hướng x, y, z phải được chọn phù  hợp, nếu không sẽ có những điểm R bị bỏ sót.    - Không chỉ có một cách chọn bộ ba véc tơ a1 , a 2 , a 3 mà có thể có nhiều cách chọn. Ví dụ với mạng 2 chiều: Các cách chọn 1, 2 là phù hợp; cách chọn 3 2. Mạng Bravais 3
Mạng Bravais dùng để mô tả hình học mạng tinh thể.  Mạng Bravais là tập hợp tất cả các điểm có bán kính R được xác định theo    (1.1) với a1 , a 2 , a 3 là các véc tơ cơ sở trên 3 hướng được chọn thích hợp. Mỗi điểm trên được gọi là một nút của mạng Bravais. Với cách xây dựng này, mạng Bravais mô tả được tính tuần hoàn tịnh tiến của tinh thể. có 14 loại mạng Bravais chia thành 7 hệ. Mạng Bravais không phải mạng tinh thể thực. Mạng tinh thể thực có được bằng cách gắn nền tinh thể với mạng Bravais. Mạng tinh thể thực là cấu hình nguyên tử tương ứng với mỗi nút mạng Bravais. ở mỗi nút mạng có thể là 1 loại nguyên tử (tinh thể đơn giản nhất), có thể là một vài loại, cũng có thể là hàng trăm nguyên tử (như các phân tử hữu cơ), thậm chí gồm 104 nguyên tử (như tinh thể abumin). Trong vật lý chất rắn, chủ yếu nghiên cứu các vật liệu vô cơ, nên về cơ bản sẽ chỉ xét những tinh thể đơn giản nhất. Nếu tinh thể được cấu tạo từ 2 loại nguyên tử trở lên, có thể coi mỗi loại nguyên tử tạo nên một mạng Bravais của riêng mình (mạng con), khi đó, mạng tinh thể sẽ gồm nhiều mạng Bravais giống hệt nhau lồng vào nhau, và để tiện cho việc nghiên cứu, với việc coi mỗi loại nguyên tử tạo nên một mạng Bravais, người ta coi các nguyên tử nằm chính ở nút mạng Bravais. * Các đường thẳng chứa các nút mạng gọi là đường mạng, các đường mạng song song với nhau ứng với 1 phương mạng của tinh thể. * Mặt phẳng chứa các nút mạng gọi là mặt phẳng mạng. các mặt phẳng mạng song song với nhau lập thành một họ mặt phẳng mạng 3. Ô đơn vị và ô cơ sở Ô đơn vị là thể tích mà nếu lặp đi lặp lại thể tích này sẽ được toàn bộ tinh thể (h.1). H.1 Ô cơ sở là ô đơn vị có thể tích nhỏ nhất. Ô cơ sở thường được tạo bởi 3 véc tơ cơ sở được chọn theo 3 hướng thích hợp. Nếu 3 hướng không thích hợp thì chỉ tạo H.2 được ô đơn vị. Việc tạo ô cơ sở không phải là duy nhất (h.2), tuy nhiên các ô cơ sở đều có thể tích bằng nhau. Có một cách đặc biệt để chọn ô cơ sở (do Wigner - Seitz đề nghị): lấy một 4
nút trên mạng Bravais, vẽ các mặt phẳng vuông góc và đi qua điểm giữa của các đoạn thẳng nối nút mạng trên với tất cả các nút mạng lân cận với nó, hình không gian nằm trong các mặt phẳng này chính là ô cơ sở (h.3). Đây là ô có thể tích nhỏ nhất mà nếu lặp đi lặp lại sẽ cho toàn bộ H.3 tinh thể.Với cách xây dựng như vậy, ô Wigner - Seitz có tính duy nhất. Mỗi mạng Bravais chỉ xây dựng được một ô Wigner – Seitz, đồng thời với cách xây dựng này, ô Wigner - Seitz mang đầy đủ tính đối xứng của tinh thể mà các ô cơ sở khác (được xây dựng từ các véc tơ cơ sở) nói chung là không có. 4. Các phép đối xứng của mạng tinh thể: Phép đối xứng đối tịnh tiến: Nếu sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ trong tinh thể) nào đó, mạng tinh thể chuyển sang vị trí mới giống hệt như vị trí cũ (chỉ có sự đổi chỗ của các nguyên tử cùng loại) thì phép biến đổi đó được gọi là phép đối xứng tịnh tiến của tinh thể. Để tinh thể chuyển sang vị trí mới giống hệt như vị trí cũ, phải dịch chuyển toàn bộ mạng không     gian đi một vectơ: R = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3 , với n1, n2, n3 là các số nguyên là các số  nguyên. R gọi là vectơ tịnh tiến, chính là véc tơ nối hai nút mạng. Tất cả các tinh thể đều có đối xứng tịnh tiến, ngoài ra tùy vào các trường hợp cụ thể, chúng còn có thể có những đối xứng khác. Các phép đối xứng chủ yếu của tinh thể : - Tịnh tiến. - Quay quanh 1 trục - Phản xạ gương. 5. Các loại mạng Bravais: được phân chia theo tính chất đối xứng đối với nhóm tịnh tiến. Có 14 loại mạng chia thành 7 hệ: Hệ lập phương 5
Hệ trực thoi a1  a2  a3 o  =  =  = 90 Hệ tam tà a1  a2  a3 ;  Hệ đơn tà: a1  a2  a3  =  = 90o,   90o Hệ 3 phương a1 = a 2 = a 3  = =  < 120o 90o Hệ 4 phương a1 = a2  a3  =  =  = 90o Hệ 6 phương a1 = a2  a3  =  = 90o,  = 120o 1.2. Ký hiệu mặt phẳng và hướng trong tinh thể I. Ký hiệu mặt phẳng: Các mặt phẳng có những tính chất phản xạ khác nhauddoois với các sóng (hoặc các chuyển động trong tinh thể). Các mặt phẳng song song với nhau thường có cùng tính chất, do đó người ta tìm cách ký hiệu cho các mặt phẳng song song với nhau (gọi là họ mặt phẳng). Để chỉ một họ mặt phẳng song song, ta sử dụng bộ chỉ số miller (h k * Cách tìm: - Xác định tọa độ giao điểm của mặt phẳng với 3 trục tọa độ, các giao điểm này được viết theo đơn vị là các véc tơ cơ sở (n1, n2, n3) - Nghịch đảo bộ ba số này. - Quy đồng mẫu số. - Bộ ba tử số là bộ chỉ số miller được kí hiệu là (h k l). Việc sử dụng bộ chỉ số miller thuận tiện ở chỗ: 1 bộ chỉ số miller không chỉ biểu diễn 1 mặt phẳng mà biểu diễn cả một mặt phẳng. 6
2/ Kí hiệu hướng trong tinh thể:     Chọn véc tơ mạng ngắn nhất theo hướng xét: R = u a1 + v a 2 + w a 3 , Hướng này được ký hiệu: [u v w]. Đối với tinh thể lập phương, hướng [h k l] bao giờ cũng vuông góc với mặt phẳng có bộ chỉ số miller (h k l). 1.3. Mạng đảo 1. Mạng đảo là khái niệm quan trọng trong Vật lý chất rắn, do Gibbs đề nghị. Sự xuất hiện của mạng đảo là hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng tinh thể.  Do mạng tinh thể có tính tuần hoàn theo tọa độ với chu kỳ véc tơ mạng R , các đại lượng vật lý trong mạng tinh thể phụ thuộc tọa độ cũng có tính tuần hoàn theo tọa độ  với chu kỳ véc tơ mạng R : f (r) = f (r + R) (1.2)  Có thể khai triển furie 1 hàm tuần hoàn theo 1 véc tơ G nào đó:  f (r) =  VG .eiGr (1.3)  G      f (r + R)  =  VG .eiG(r+R) =  VG .eiGr .eiGR (1.4) G G     Do đó: eiGR = 1 hay GR = 2π , nghĩa là G và R là tương đương nhau: nếu đầu mút   các véc tơ R tạo thành mạng Bravais (mạng thuận) thì đầu mút các véc tơ G cũng tạo nên một mạng, đó là mạng đảo. Như vậy sự xuất hiện của mạng đảo là hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng tinh thể (mạng thuận). 2. Các véc tơ cơ sở của mạng đảo   Các véc tơ cơ sở của mạng đảo được xây dựng trên mối quan hệ giữa véc tơ R và G ,     và mối quan hệ giữa véc tơ R với các véc tơ cơ sở của mạng thuận a1 , a 2 , a 3 . Các véc tơ cơ sở của mạng đảo:  2π   b1 =  a 2  a 3  (1.5) ν  2π   b 2 =  a 3  a1  ν  2π   b3 =  a1  a 2  ν    Với ν =  a1  a 2 .a 3 (1.8) là thể tích ô cơ sở của mạng thuận. 7
(2π)3 Ký hiệu  là thể tích ô cơ sở của mạng đảo thì  = (1.9) ν 1.4. Các liên kết hóa học trong tinh thể - Liên kết cộng hóa trị - Liên kết ion - Liên kết kim loại - Liên kết Hyđrô - Liên kết Van der Walls 1.5. Nhiễu xạ các sóng bởi tinh thể 1. Định luật phản xạ Bragg 2. Phản xạ Bragg và vùng Brillouin 2. Phương pháp dạy – học Nghe giảng do GV trình bày Yêu cầu SV: Đọc tài liệu, ghi chép, viết báo cáo 3. Câu hỏi thảo luận 1. Phân loại chất rắn theo mức độ sắp xếp trật tự của các nguyên tử, phân tử, ion cấu thành. 2. Tính chất đặc trưng về cấu trúc của chất rắn kết tinh? 3. Phép biến đổi tịnh tiến và đối xứng tịnh tiến? 4. Mạng Bravais: Phân biệt mạng Bravais và mạng tinh thể thực? Phân loại các mạng Bravais. 5. Phân biệt ô đơn vị và ô cơ sở. Lấy ví dụ về các ô này trong mạng 1D, 2D, 3D. 6. Khái niệm véc tơ mạng? 7. Các loại liên kết trong chất rắn? 8. Cách xác định hướng và mặt phẳng trong tinh thể? 8
9. Khái niệm và ý nghĩa vật lý của mạng đảo? 10. Ô Wigner-Seitz? Cách xây dựng ô Wigner-Seitz của mạng đảo? 11. Định nghĩa vùng Brillouin. Vẽ vùng Brillouin thứ 1, 2, 3, 4 cho mạng tinh thể vuông 2 chiều. 12. Định luật phản xạ Bragg. 4. Nhiệm vụ của sinh viên: nghe giảng, đọc tài liệu, chuẩn bị các câu hỏi thảo luận 5. Học liệu: [1] Đào Trần Cao, Cơ sở Vật lý chất rắn, NXB Đại học Quốc gia hà Nội, 2007. [2]. Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình, Vật lý chất rắn, NXB giáo dục 1992. [3]. Vũ Đình Cự, Vật lý chất rắn, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 1997. [4]. Charlen Kittel. Interduction to Solit State Physices. NXB John WILEY and Sons, 2004 6. Đánh giá: qua việc chuẩn bị bài. Tuần thứ tư, thứ năm 1. Nội dung: Chương2 Dao động mạng tinh thể 2.1. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể 2.2. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể - Khái niệm phonon 2.3. Nhiệt dung của mạng tinh thể 2. Phương pháp dạy – học Nghe giảng do GV trình bày Yêu cầu SV: Đọc tài liệu, ghi chép, viết báo cáo 3. Câu hỏi thảo luận 1. Giải bài toán dao động mạng 1 chiều 1 loại nguyên tử. 2. Kể tên và số lượng các kiểu dao động trong mạng tinh thể 1 chiều 1 loại nguyên tử, mạng 1 chiều 2 loại nguyên tử và mạng 3 chiều s loại nguyên tử? 3. Kể tên và số lượng các phonon trong mạng tinh thể 3 chiều s loại nguyên tử? 4. Nội dung các thuyết về nhiệt dung riêng của mạng tinh thể: Lý thuyết Dulong- Petit, lý thuyết lượng tử Einstein và lý thuyết Debye? So sánh với thực nghiệm để thấy ưu nhược điểm của từng lý thuyết. 4. Nhiệm vụ của sinh viên: nghe giảng, đọc tài liệu, chuẩn bị các câu hỏi thảo luận 5. Học liệu: 9
[1] Đào Trần Cao, Cơ sở Vật lý chất rắn, NXB Đại học Quốc gia hà Nội, 2007. [2]. Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình, Vật lý chất rắn, NXB giáo dục 1992. [3]. Vũ Đình Cự, Vật lý chất rắn, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 1997. [4]. Charlen Kittel. Interduction to Solit State Physices. NXB John WILEY and Sons, 2004 6. Đánh giá: qua việc chuẩn bị bài và tham gia phát biểu. Tuần thứ sáu, thứ bảy, thứ tám 1. Nội dung: Chương 3 LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN 3.1. CHUYỂN ĐỘNG CỦA ELECTRON TRONG RƯỜNG TUẦN HOÀN CỦA TINH THỂ I. Bài toán chuyển động của ellectron trong trường tuần hoàn Mô tả chính xác tínhchất của ellectron trong tinh thể là một bài toán phức tạp do phải xét một hệ trất nhiều hạt tương tác với nhau: ellectron, hạt nhân nguyên tử. Số lượng các hạt này rất lớn (cỡ 6.1023), riêng việc viết phương trình cũng không thể, chưa nói đến việc giải. Do đó người ta phải tìm cách đơn giản hoá các phép tính nhờ sử dụng các mô hình gần đúng. Gần đúng một ellectron: giả thiết có thể xét chuyển động của từng ellectron riêng rẽ với trường thế năng V( r ) nào đó không phụ thuộc vào bản thân ellectron đang xét. Trường này được gây bởi tất cả các ellectron còn lại và các lõi nguyên tử trong tinh thể. Trường thế này có đặc điểm là có tính tuần hoàn trong không gian: V( r + R ) = V( r ) (3.1)      với R là véc tơ mạng ( R = n1a1 +n 2 a 2 +n 3a 3 ). Phương trình Schrodinger cho ellectron trong tinh thể là:  2 2  -  2m  +V  Ψ  =EΨ  ; với Ψ  và E là hàm sóng và năng lượng của electron. (r)  (r) (r) (r)   1. Xét trường hợp V( r ) = V0 = const 10
Đây là trường hợp electron chuyển động tự do hoặc trường hợp khi trường tinh thể là yếu. Nếu chọn gốc thế năng ở vị trí V0 thì V( r ) = 0. Nghiệm của phương trình Schrodinger trong trường hợp này có dạng sóng phẳng: o  ikr Ψ (r) = A e  k (3.3)  o  với k là véc tơ sóng, A là biên độ. Đưa Ψ k (r) vào (3.2), ta tìm được năng lượng của electron tự do là : 0 2 k 2 p2 E =  k = (3.4) 2m 2m   với p =  k (3.5) là xung lượng của electron . Nghĩa là electron tự do được mô tả bằng hàm sóng phẳng là sóng chạy mang theo  0 xung lượng p và năng lượng E k xác định, năng lượng này phân bố liên tục từ giá trị bằng 0 đến những giá trị vô cùng lớn. 2. Xét chuyển động của electron trong tinh thể: Trong trườnghợp này V( r ) là hàm của toạ độ, toán tử xung lượng pˆ = i   không giao hoán với Haminton ở (3.2) nữa  xung lượng của electron không được bảo toàn  trạng thái của electron không được biểu diễn dưới dạng sóng phẳng (3.3) (vì hàm sóng phẳng ứng với xung lượng xác định (3.5). Hµm sãng của electron trong trường hợp này là chồng chất của nhiều hàm sóng phẳng   ứng với các véc tơ sóng k khác nhau. Vì k liên tục nên có thể viết;   ikr  Ψ k (r) =  C(k) .e .dk   (3.6)  k  với C(k)  là các hệ số tích phân của Ψ  (r) theo các sóng phẳng đơn sắc. Tích phân lấy k   trong không gian k . Để tìm Ψ k (r) , phải biết các hệ số tích phân C(k)  . Sau đây là cách để tìm C(k)  . Vì V( r ) có tính tuần hoàn trong không gian mạng thuận, có thể phân tích V( r ) thành chuỗi Fourier : 11
  V( r ) iG r = V e  G  G (3.7) với VG là các hệ số phân tích. Vì V( r + R ) = V( r )      Nên  VG eiG (r+R) = G  VG eiG r G (3.8)   iGR đẳng thức này thoả mãn với mọi R nếu : e = 1 (3.9)   hay : G R = 2n (3.10)  Vậy G chính là véc tơ mạng đảo.  Thay Ψ k (r) và V( r ) vào phương trình SR ta có :       2 2 ikr  iGr ikr ikr 2m k k C  e dk+ (k)   G VG e C  e dk=E C  e dk k (k) k (k) (3.11)  -ikr  Nhân cả hai vế với e rồi lấy tích phân theo r , ta có :       2 2 i(k-k1 )r  i(G+k-k1 )r      i(k-k1 )r    2m k k C (k)    e dk.dr +   G VG     C  (k) e drdk = E C k r (k)  e dr.dk r k r (3.12) Theo t/c của hàm Delta Dirac, có: i(k + G - k1 )r      i[k - (k1 -G)]r           e dr   e  dr  8 3  k   (k1  G )  (3.13) r r Thay vào (3.12) ta có:   2 k12    E(k1 )  C(k1 ) +  VG C(k -G)  = 0 (3.15)  2m  G 1    Vì k1 là một giá trị nào đó của k , nên một cách tổng quát có thể thay k1 trong (3.15)  bằng k , ta có:  2 k 2    E(k)  C(k) +  VG C(k-G)   = 0 (3.15’)  2m  G  Đây là hệ gồm N phương trình ( k có thể có N giá trị độc lập) có dạng giống hệt nhau, mỗi phương trình liên kết một hệ số khai triển C(k)  với một số vô hạn các hệ số 12
C(k - G)  khác. Giải hệ phương trình này, tìm được các hệ số C(k) , từ đó xác định được hàm sóng của điện tử trong tinh thể và năng lượng của nó. Tuy nhiên việc giải hệ này không đơn giản, người ta tìm các cách giải gần đúng. a/ Năng lượng E :  Từ (3.15’) có thể thấy ứng với một giá trị E và k đã cho, hệ số C(k)  chỉ liên hệ       với hệ số C(k , ) khác mà k ’ và k khác nhau một véc tơ mạng đảo G : k ’ = k + G  Do đó hàm sóng Ψ k (r) được viết dưới dạng tổng:     i(k + G) r Ψ (r) =  k C  G   (k + G) e (3.16)   Tổng lấy theo mọi giá trị của G , kể cả G = 0. Các hệ số C(k + G)  thỏa mãn phương trình (3.15’), tức là :     2 (k +G)2   E(k)  C(k + G) +  VG C(k + G - G ) = 0     (3.17)  2m  G1 1 Tương tự như (3.15’), (3.17) là một số vô hạn các phương trình để tìm số vô hạn ẩn là các hệ số C(k + G)  , giải hệ này ta tìm được các hệ số C   , từ đó tìm được hàm sóng (k + G)  Ψ k (r) theo (3.16). Muốn cho hệ (3.17) có nghiệm không tầm thường, các định thức của các hệ số  C(k + G)  phải bằng 0. Nếu ký hiêu các định thức đó là D (E, k ), thì:  D(E, k ) = 0 (3.18) (3.18) chứa E với số mũ vô cùng lớn, nên nghiệm là vô số giá trị của E ứng với một  giá trị của k đã cho, từ đó, ta thu được phổ năng lượng (hay một dải năng lượng) của  điện tử trong tinh thể. Trong mỗi vùng, năng lượng là hàm tuần hoàn của k . Thật vậy, 2 phương trình (3.15’) và (3.17) chỉ là một, chỉ khác nhau về thứ tự viết các phương     trình, nếu thay k bằng k - G trong (3.17) thì nó trở thành (3.15’), nên nghiệm En( k ) của phương trình (3.18) đối với 2 hệ là như nhau. Hay:    En( k ) = En( k - G ) (3.19) 13
 Nghĩa là: năng lượng En biến thiên tuần hoàn theo véc tơ sóng k với chu kỳ là véc tơ  mạng đảo G . b/ Dạng của hàm sóng :  Viết lại hàm Ψ k (r) theo (3.16) :       Ψ k (r) =  C(k + G) ei(k + G) r = eikr  C(k + G) eiG r G G   ikr Hay : Ψ k (r) = u k(r)   .e (3.20)   Với u k(r)  =  C(k + G) eiG r G (3.21) Nghĩa là hàm u k(r)   là một chuỗi furie theo véc tơ mạng đảo, vì vậy nó bất biến với  phép tịnh tiến véc tơ mạng thuận R , hay nó là 1 hàm tuần hoàn của véc tơ mạng thuận. Thật vậy :      iG (r+R) iG r iGR u   = k(r + R) C  G   (k + G) e = C  G   (k + G) e e   iGR iG r Vì e = 1, nên : u k(r   = + R) C  G   (k + G) e = u k(r)  . Hàm sóng có dạng như (3.20) gọi là hàm Bloch, đó là hàm sóng phẳng đơn sắc có biên độ bị biến điệu theo chu kỳ mạng tinh thể. Hàm Bloch là dạng chung của hàm sóng của điện tử trong tinh thể, nó là hệ quả trực tiếp của tính tuần hoàn của tinh thể, dù sử dụng phương pháp nào để giải bài toán về chuyển động của điện tử trong tinh thể, thì dạng của hàm sóng của điện tử trong tinh thể cũng phải có dạng hàm Bloch. Từ dạng hàm Bloch của hàm sóng của điện tử trong tinh thể, ta thấy xác suất để thấy điện tử được tính : 2 2  W =    = u k(r)   u  = u  k(r) k(r) = u k(r   + R) (3.22) Nghĩa là xác suất để thấy điện tử trong tinh thể ở những vị trí tương đương nhau là như nhau, điện tử không tự do, cũng không thuộc về một nút mạng nào, chúng thuộc về toàn bộ tinh thể. 14
Như vậy, điện tử chuyển động trong trường tinh thể có hàm sóng là hàm Bloch, năng lượng được phân bố thành vùng (vùng được phép), xen kẽ giữa các vùng được phép là những giá trị năng lượng mà điện tử không thể có (gọi là vùng cấm), đồng thời năng   lượng của điện tử phụ thuộc tuần hoàn vào vector sóng k với chu kỳ mạng đảo G . 3.2. NGUYÊN LÝ HÌNH THÀNH VÙNG NĂNG LƯỢNG Trong nguyên tử cô lập, các điện tử nằm trên các mức năng lượng gián đoạn, mỗi điện tử nằm trên một mức năng lượng khác nhau được đặc trưng bởi 4 số lượng tử : n, l, m, s. Khi các nguyên tử ở xa nhau (các nguyên tử hoàn toàn độc lập, không tương tác với nhau) thì vị trí các mức năng lượng của các điện tử có cùng số lượng tử là giống nhau (hay trùng nhau). Nếu có N nguyên tử ta nói năng lượng bị suy biến N lần. Khi các nguyên tử tiến lại gần nhau (cỡ A0 – cỡ hằng số mạng, tức là tạo thành mạng tinh thể) thì chúng tương tác với nhau, hàm sóng của các điện tử chồng lấn lên nhau, các mức năng lượng không trùng nhau mà tạc ra thành các vùng năng lượng. Mỗi mức năng lượng tách thành 1 vùng, mỗi vùng gồm N mức nằm rất gần nhau đến mức có thể coi chúng phân bố gần như liên tục. Sự phủ hàm sóng của các điện tử thành một vùng năng lượng rộng hay hẹp phụ thuộc vào sự hàm sóng của các điện tử thuộc các nguyên tử khác nhau là nhiều hay ít. - Giữa các nguyên tử nằm trên lớp ngoài cùng (lớp điện tử hóa trị) có sự phủ hàm sóng mạnh, do đó vùng năng lượng mở rộng. - Các điện tử nằm ở những lớp càng sâu thì sự phủ hàm sóng càng yếu, vùng năng lượng càng hẹp. - Xen kẽ giữa các vùng được phép là các vùng cấm (là khoảng các giá trị năng lượng mà điện tử trong tinh thể không có). Vùng năng lượng phụ thuộc vào hướng trong tinh thể nên tính chất điện của chất rắn cũng khác nhau theo những hướng khác nhau. 3.3. CÁC MẶT ĐẲNG NĂNG VÀ MẶT FERMI I. Các mặt đẳng năng Mặt đẳng năng là mặt trong không gian k mà tại đó năng lượng có cùng giá trị. E(k) = const (3.27) 15
Mặt đẳng năng mô tả hình học bức tranh vùng năng lượng. Việc nghiên cứu vùng năng lượng dựa vào mặt đẳng năng giúp loại bỏ một phần sự suy biến của hàm sóng điện tử khi có sự chồng lấn của hàm sóng (vì sự chồng lấn các vùng năng lượng ứng với sự kiện : nhiều hàm sóng của điện tử cùng tương ứng với một mức năng lượng). Sự giảm suy biến có được là do các mặt đẳng năng có cùng năng lượng E nằm trong 2 vùng năng lượng khác nhau hoàn toàn không có điểm chung, thì có thể coi các mặt đẳng năng này ứng với 2 trạng thái khác nhau (vì chúng ở các vùng khác nhau trong không gian đảo). Trong trường hợp khi các mặt đẳng năng có điểm chung mới coi là có suy biến. 2k 2 Trong gần đúng điện tử gần tự do, mặt Fermi là mặt cầu: E k  2m Véc tơ sóng k có đầu mút nằm trêm mặt Fermi được gọi là véc tơ sóng Fermi kF, có  2 k F2 độ dài thỏa mãn: EF  (3.28) 2m 3.4. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐIỆN TỬ CHUYỂN ĐỘNG TRONG TINH THỂ I. Vận tốc của điện tử : 1. Khi không có trường ngoài : Điện tử chuyển động trong tinh thể tương ứng với một sóng, sóng này được lan truyền trong tinh thể, không định xứ tại vị trí nào. Để mô tả chuyển động của điện tử, ta pải dùng khái niệm bó sóng, mà vận tốc chuyển động của bó sóng là vận tốc nhóm, do đó: ω 1 E ( k ) vnh = = gradk ω = (3.28) k  k  1 v =  k E (3.29)  + Vân tốc chuyển động của điện tử có hướng vuông góc với mặt đẳng năng. + Khi không có tác dụng của trường ngoài, mỗi điện tử trong tinh thể đều nằm ở 1 trạng thái k = k1 cố định nào đó. Do k cố định, năng lượng của điện tử cũng cố định, và do đó vận tốc của điện tử trong tinh thể cũng cố định : k = k1 = const  E = E(k1) = const + Từ biểu thức tính vận tốc của điện tử ta thấy: giả sử tại giá trị k = k0 nào đó, E có giá trị cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) thì đạo hàm của E theo k tại k0 sẽ bằng 0, tức là vận tốc của điện tử cũng bằng 0: 16
E ( k ) 0  v(k0) = 0 (3.30) k k0 Nghĩa là khi điện tử nằm ở trạng thái năng lượng có giá trị cực trị thì v = 0 + Như trên đã thấy, khi không có trường ngoài điện tử chuyển động với vận tốc không đổi, do đó gia tốc của nó cũng bằng 0. Như vậy chỉ có tác động của trường ngoài mới làm cho điện tử chuyển động có gia tốc. 2. Khi có trường ngoài tác dụng: Khi có trường ngoài tác dụng, nếu ký hiệu Fa là lực của trường ngoài tác dụng lên điện tử, và Fa không phụ thuộc vào tọa độ, ta có phương trình: dE ( k )  v . Fa (3.31) dt Nghĩa là khi có trường ngoài tác dụng, điện tử chuyển động có gia tốc và năng lượng của điện tử biến đổi một lượng, lượng thay đổi này bằng công do lực trường ngoài thực hiện. II. Chuẩn xung lượng của điện tử trong tinh thể:  dE ( k )E dk j dk Từ biểu thức (3.31), nếu biến đổi vế trái:  =  k E (3.32) dt j k j dt dt 1  Và vế phải: Fa .v =  E.Fa (3.33)  k   dk 1 d(k) Do đó: = Fa hay : = Fa (3.34) dt  dt Đây là phương trình chuyển động của điện tử trong tinh thể khi có tác dụng của trường ngoài, nó có dạng của định luật 2 Newton:    dp = Fa với P = k (3.35) dt   Nghĩa là, đại lượng P = k đóng vai trò là xung lượng của điện tử trong tinh thể ở  trạng thái ứng với véc tơ sóng k , khi điện tử này chịu tác dụng của trường ngoài, nó không phải là xung lượng thực của điện tử. Nó được gọi là chuẩn xung lượng. III. Gia tốc và khái niệm khối lượng hiệu dụng: - Khi không có trường ngoài, điện tử trong tinh thể chuyển động với vận tốc: 1 E (k) v(k) =  dk 17
Tại một giá trị k nhất định, v(k) = const và điện tử chuyển động không có gia tốc. - Khi không có trường ngoài tác động lên tinh thể, điện tử chịu tác động của trường ngoài và chuyển động có gia tốc:  dv 1 d  E (k)  =   (3.36) dt  dt  dk   dv Nghĩa là điện tử chuyển động có gia tốc a = ≠0 dt E (k) Vì chỉ phụ thuộc vào thời gian thông qua k nên ta có: dk  dv 1 d  E (k)  dk =   (3.36) dt  dk  dk  dt  dk 1 dv 1 d  E (k)  Thay = Fa , có : = 2   .Fa ; (3.37) dt  dt  dk  dk   dv 1 hay : = 2  k   k E  .Fa (3.38) dt  1 1 Nếu đặt: k k E  = (3.39)  2 m*  dv 1 Thì (3.38) được viết lại: = .Fa (3.40) dt m* Đây là một dạng khác của phương trình chuyển động của điện tử dưới tác dụng của  dv trường ngoài, nó có dạng của định luật II Newton, với a = , còn khối lượng của dt điện tử được thay bằng m*. m* được gọi là khối lượng hiệu dụng của điện tử. 2. Phương pháp dạy – học Nghe giảng do GV trình bày, trao đổi, thảo luận. Yêu cầu SV: Đọc tài liệu, ghi chép, viết báo cáo 3. Câu hỏi thảo luận 1. Hàm sóng và năng lượng của điện tử chuyển động tự do? 2. Tính chất của năng lượng của điện tử trong tinh thể dưới ảnh hưởng của trường thế có tính tuần hoàn. 2. Khái niệm vùng năng lượng, khe năng lượng trong chất rắn, nguyên nhân hình thành vùng năng lượng, khe năng lượng. 3. Dạng tổng quát của hàm sóng điện tử trong tinh thể? Sự khác biệt cơ bản của nó với hàm sóng của điện tử tự do? 4. Phân biệt kim loại, bán dẫn, điện môi theo cấu trúc vùng năng lượng? 18
5. Khái niệm và ý nghĩa vật lý của khối lượng hiệu dụng của điện tử trong tinh thể? 4. Nhiệm vụ của sinh viên: nghe giảng, đọc tài liệu, chuẩn bị các câu hỏi thảo luận 5. Học liệu: [1] Đào Trần Cao, Cơ sở Vật lý chất rắn, NXB Đại học Quốc gia hà Nội, 2007. [2]. Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình, Vật lý chất rắn, NXB giáo dục 1992. [3]. Vũ Đình Cự, Vật lý chất rắn, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 1997. [4]. Charlen Kittel. Interduction to Solit State Physices. NXB John WILEY and Sons, 2004 6. Đánh giá: qua việc chuẩn bị bài và tham gia phát biểu. Tuần thứ chín, thứ mười 1. Nội dung: Chương 4 Khí electron trong kim loại 4.1. Lý thuyết cổ điển về các electron trong kim loại và những thiếu sót của nó 1. Các giả thuyết chính của thuyết electron cổ điển (Drude) Thuyết electron cổ điển cho rằng, trong kim loại có các electron tự do, không liên kết với các nguyên tử riêng biệt, tạo thành một “chất khí” electron tham gia vào các quá trình nhiệt động học của kim loại và tuân theo các định luật nhiệt động học như khí lý tưởng. “Chất khí” electron này chuyển động nhiệt hỗn loạn trong tinh thể, tuân theo định luật phân bố đều động năng theo các bậc tự do, nghĩa là năng lượng trung bình W của các electron này được xác định bởi nhiệt độ T của vật: 3 W = kB T 2 - Chúng chỉ tương tác khi va chạm. Va chạm giữa các electron với nhau và với nút mạng được coi là va chạm đàn hồi (khi va chạm electron truyền hết động năng đang có cho đối tượng va chạm) - Khi không có điện trường ngoài: các electron chuyển động hỗn loạn trong mạng tinh thể, nên điện tích trung bình do chúng mang qua một diện tích bất kỳ sau một khoảng thời gian nào đó bằng 0, trong kim loại không có dòng điện.  - Khi có điện trường ngoài ε tác dụng, ngoài chuyển động nhiệt, các electron tham 19
gia chuyển động có hướng làm dòng điện xuất hiện. Trong khi chuyển động các electron va chạm với các ion ở nút mạng, nó nhường cho ion động năng mà nó thu được do tác dụng của trường ngoài, do đó kim loại nóng lên. Trên cơ sở này, lý thuyết cổ điển đã thành công trong việc giải thích định luật Ohm, định luật Joule – Lenz và tính được hằng số Hall. 2. Giải thích định luật Ohm, định luật Joule - Lentz và hiệu ứng Hall. *Các tính toán theo thuyết e cổ điển cho thấy thuyết đã giải thích được định luật Ohm, định luật Joule - Lentz và hiệu ứng Hall * Tuy nhiên có thể thấy: 1 1 - Theo (4.5) :    nhưng thực nghiệm lại cho thấy ở khu vực nhiệt độ u T 1 phòng:   . T - Cũng như vậy, bằng thực nghiệm có thể đo được  , từ đó có thể xác định được quãng đường tự do trung bình l của các e. Kết quả đo thực nghiệm cho thấy quãng đường tự do trung bình l của các e lớn gấp hàng trăm lần hằng số mạng, có trường hợp lên đến 108 khoảng cách giữa các nguyên tử, lý thuyết cổ điển không giải thích được vì sao electron lại ít va chạm với nút mạng như vậy, hay một vật chất đặc lại trong suốt đối với e như vậy. - Biểu thức (4.11) về hằng số Hall RH cho thấy RH phụ thuộc vào điện tích của điện tử, mà e mang dấu âm, nên hằng số Hall đối với các kim loại phải là âm, nhưng thực nghiệm cho thấy có đến khoảng 1 nửa số kim loại có hằng số Hall dương. Những khó khăn trên đây cho thấy, không thể ứng dụng được các quan niệm cổ điển về khí electron tự do để giải thích triệt để các tính chất của kim loại. 4.2. Phân bố Fermi-Dirac 1. Hàm phân bố Fermi-Dirac 1 f (E,T) =  E (k) -ξ (4.18). Hàm này cho biết xác suất lấp kT e +1 đầy mức năng lượng E (k)  ở nhiệt độ T của hệ khí electron ở trạng thái cân bằng nhiệt. Để tìm số hạt có năng lượng E (k)  , phải nhân với hàm mật độ trạng thái Z(E). 20