Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Nguyên hàm - Tích phân (Đề số 9)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Nguyên hàm - Tích phân (Đề số 9)" được thiết kế đặc biệt cho học sinh lớp 12 muốn củng cố kiến thức về chương nguyên hàm và tích phân. Đề kiểm tra này bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và bài tập tự luận về nguyên hàm của hàm số và các ứng dụng của tích phân. Tài liệu này cung cấp đáp án đầy đủ và hướng dẫn giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để hiểu sâu sắc vấn đề.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề kiểm tra - Ôn tập chương Toán 12 - Chương: Nguyên hàm - Tích phân (Đề số 9)

ĐỀ SỐ 9 Câu 1. Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .   B.  3 f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx . C.   f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx −  g ( x ) dx .   D.   f ( x ) .g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .   Câu 2. Tìm nguyên hàm F ( x ) =  x 2 dx . x3 x3 A. F ( x ) = . B. F ( x ) = +C. C. F ( x ) = x 2 + C . D. 2x + C . 3 3  1  Câu 3. Tính nguyên hàm    dx .  2x − 7  1 A. ln ( 2 x − 7 ) + C . B. 2ln ( 2 x − 7 ) + C . C. 2ln 2 x − 7 + C . D. ln 2 x − 7 + C . 2 1 Câu 4. Nguyên hàm của hàm số y = x 2 − 3cos x + là: x 1 A. 2 x − 3sin x − 2 + C . B. x2 + 3cos x + ln x + C . x x3 x3 C. − 3sin x + ln x + C . D. − 3sin x + ln x + C . 3 3 x2 + 2x Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . x +1 x2 A. 1 − ln x + 1 + C . B. + x + ln x + 1 + C . 2 x2 x2 C. + x + ln ( x + 1) + C . D. + x − ln x + 1 + C . 2 2   Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3cos  3x +   6     A. −3cos  3x +  + C . B. −3sin  3x +  + C .  6  6 1     C. sin  3x +  + C . D. sin  3x +  + C . 3  6  6 Tính nguyên hàm  x ( x −1) dx . 4 Câu 7. x 2 ( x + 1) 5 +C. B. 6 ( x − 1) + 5 ( x − 1) + C . 6 5 A. 10 ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x − 1) 6 5 6 5 C. + +C . D. + +C . 6 5 6 5
Câu 8. Tính nguyên hàm  e x ( 2 − x ) dx x2 x A. 2 xe x − e +C . B. 2ex + xex + C . 2 C. 2ex − xex + C . D. 3ex − xex + C . 1 Câu 9. Tính nguyên hàm x 2 + x−6 dx . 1 x+3 1 x−2 A. ln +C . B.  +C . 5 x−2 5 x+3  x−2 1 x−2 C. ln  +C . D. ln +C .  x+3 5 x+3 f ( x) f ( x ) = x2 − sin x F ( 0) = 1 F ( x) Câu 10. Cho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tìm . x3 x3 A. − cos x + 1 . B. + cos x + C . 3 3 x3 x3 C. + cos x . D. + cos x − 1 . 3 3 ln x Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là x 1 2 1 2 A. ln x + ln x + C . B. ln x + C . C. ln 2 x + C . D. ln ( ln x ) + C . 2 2 x2 Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là x3 + 1 1 2 3 2 1 3 A. + C. B. x + 1 + C. C. + C. D. x + 1 + C. 3 x +1 3 3 3 x +1 3 3 Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số I =  (1 + 2 x ) (cos x + 1)dx là A. (1 + 2 x ) sin x + 2cos x + C . B. x + x2 + (1 + 2 x ) sin x + 2cos x . C. x + x2 + (1 + 2 x ) sin x − 2cos x + C . D. x + x2 + (1 + 2 x ) sin x + 2cos x + C . Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x . 1 3 2 3 A.  f ( x ) dx = x 2 ( 3ln x − 2 ) + C . B.  f ( x ) dx = x 2 ( 3ln x − 2 ) + C . 9 3 2 3 2 3 C.  f ( x ) dx = x 2 ( 3ln x − 1) + C . D.  f ( x ) dx = x 2 ( 3ln x − 2 ) + C . 9 9 Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x ( x + cos x ) là A. x3 + 3 ( x sin x + cos x ) + C . B. x3 − 3 ( x sin x + cos x ) + C . C. x3 + 3 ( x sin x − cos x ) + C . D. x3 − 3 ( x sin x − cos x ) + C .
3 4 4 5 3  f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( u ) du 3 5 Câu 16. Biết 0 và 0 . Tính 3 . 8 14 17 16 A. . B. . C. − . D. − . 15 15 15 15 Câu 17. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên  a; b và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng. b b  f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( a ) − F ( b ) .  f ( x ) dx = F ( x ) = F (b) − F (a ) . b b A. B. a a a b b  f ( x ) dx = F ( x ) = F ( a ) + F (b) .  f ( x ) dx = F ( x ) = −F ( a ) − F (b ) . b b C. a D. a a a 5 dx Câu 18. Giả sử  2 x − 1 = ln c . Giá trị của c là 1 A. 9. B. 3. C. 81. D. 8. 3 2 x Câu 19. Cho tích phân I =  dx nếu đặt t = x + 1 thì I =  f ( t ) dt trong đó: 0 1+ x +1 1 A. f ( t ) = t 2 + t . B. f ( t ) = 2t 2 + 2t . C. f ( t ) = t 2 − t . D. f ( t ) = 2t 2 − 2t .   2 2  f ( x ) dx = 5 I =   f ( x ) + 2sin x  dx   Câu 20. Cho 0 . Tính 0 .  A. I = 7 . B. I = 5 + . C. I = 3 . D. I = 5 +  . 2 2 1 Câu 21. Tính tích phân I =  dx . 0 3x + 1 ln 7 − 1 ln 7 ln 7 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = ln 7 + 1 . 3 3 2 3 a a x − x dx là 2 Câu 22. Giá tri của tích phân (với a , b , là các số tự nhiên và là phân số tối giản). 0 b b Tổng a + b bằng A. 35 . B. 29 . C. 6 . D. 23 . 2 Câu 23. Cho I =  2 x x 2 − 1dx và u = x2 − 1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: 1 3 3 2 2 3 A. I =  udu . B. I = u . C. I =  udu . D. I = 2 3 . 0 3 0 1 1  ( 2 x + 3) e dx = a + b.e ; ( a , b  ).Tính giá giá biểu thức P = 2a + b . x Câu 24. Biết rằng tích phân 0 A. 7 . B. 2 . C. 5. D. 3. 3 f ( x ) dx = 4 9 f ( x ) dx   x Câu 25. Cho 1 . Khi đó 1 bằng
A. 4 . B. 2 . C. 16 . D. 8 . 1 Câu 26. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = thỏa mãn F ( 0) = 10 . Tìm F ( x ) . 2e + 3x A. F ( x ) = 1 3 (x − ln ( 2e x + 3) + 10 + ) ln 5 3 . 1 3 ( B. F ( x ) = x + 10 − ln ( 2e x + 3) . ) 1  3  1  3  ln 5 − ln 2 C. F ( x ) =  x − ln  e x +   + 10 + ln 5 − ln 2 . D. F ( x ) =  x − ln  e x +   + 10 − . 3  2  3  2  3    1 dx Câu 27. Cho tích phân I =  . Nếu đổi biến số x = 2sin t , t   − ;  thì: 0 4− x 2  2 2     3 6 6 6 dt A. I =  dt . B. I =  t dt . C. I =  dt . D. I =  . 0 0 0 0 t 2 Câu 28. Biết rằng  ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c / 1 A. S = 0 . B. S = 1 . C. S = 2 . D. S = −2 . 4 ( x + 1) e x dx = ae4 + b . Tính T = a2 − b2 / Câu 29. Biết rằng tích phân  0 2x + 1 3 5 A. T = 1 . B. T = 2 . C. T = . D. T = . 2 2 Câu 30. Cho hàm số f ( x ) liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 . Biết f ( x ) . f (1 − x ) = 1 với 1 dx x   0;1 . Tính giá trí I =  . 0 1 + f ( x) 3 1 A. . B. . C. 1 . D. 2 . 2 2 2 4 4  f ( x ) dx = 1  f ( x ) dx = −4 I =  f ( x ) dx Câu 31. Cho −2 , −2 . Tính 2 . A. I = 5 . B. I = −5 . C. I = −3 . D. I = 3 . 3 Câu 32. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn 1;3 , f ( 3) = 5 và  f  ( x ) dx = 6 . Khi đó f (1) bằng 1 A. −1. B. 11. C. 1. D. 10. 9 4 Câu 33. Biết f ( x ) là hàm liên tục trên và  f ( x )dx = 9 . Khi đó giá trị của  f ( 3x − 3)dx là 1 0 A. 0 . B. 27 . C. 3 . D. 24 . 2 2 Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên . Biết f ( 2) = 4 và  f ( x)dx = 5 . Tính I =  xf ( x)dx . 0 0 A. I = 1. B. I = 3 . C. I = −1 . D. I = 9 . Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên đồng thời thỏa mãn f ( 0) = f (1) = 5 . Tính tích phân 1 I =  f  ( x ) .e f ( x )dx . 0
A. I = 10 . B. I = −5 . C. I = 0 . D. I = 5 . 1 Câu 36. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn: f ( 0) = f (1) = 1 . Biết  e x  f ( x ) + f  ( x ) dx = ae + b . Tính giá trị   0 biểu thức T = a 2019 +b 2019 . A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . f ( x) \ 1 , ( ) , ( ) 1 f 0 =1 f 2 = 2 Câu 37. Cho hàm số xác định trên thỏa mãn: f  ( x ) = . Giá trị x −1 biểu thức ( ) f −1 + f ( 5) là A. 2ln 2 +1 . B. 3ln 2 + 3 . C. 3ln 2 + 1 . D. 2 ln 2 + 3 . Câu 38. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên , đồng thời thỏa mãn: 2 f ( x ) + 3 f ( − x ) = x2 . 1 Tính I =  f ( x )dx . −1 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 15 15 5 5 có đạo hàm liên tục trên đoạn  y = f ( x) −1;1 , thỏa mãn ( ) f x  0, x  Câu 39. Cho hàm số và f ( x) + 2 f ( x) = 0 . Biết ( ) . Tính ( ) . f 1 =1 f −1 A. f ( −1) = e−2 . B. f ( −1) = e3 . C. f ( −1) = e4 . D. f ( −1) = 3 . Câu 40. Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên khoảng ( 0;+ ) và ( ) f x f x  0 x  ( 0; +) , thỏa mãn f  ( x ) = − x. f 2 ( x ) x  ( 0; + ) 2 1 với mọi , biết f (1) = và f ( 2 )  . Tổng tất cả các giá trị a+3 4 nguyên của a thỏa mãn là A. −14 . B. 1 . C. 0 . D. −2 . Câu 41. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên 0;1 thỏa mãn f ( x ) + xf ( x2 ) = 2 x2 + 1 . Giá trị   1  f ( x ) dx bằng 0 5 10 5 10 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3  2 Câu 42. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên  cot x. f ( sin x ) dx = 1 2 thỏa mãn và 0 e2 f ( ln x ) 2 f ( x)  e x ln x dx = 2 . Giá trị  0 x dx bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. π Câu 43. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm và liên tục trên R đoạn ; thỏa mãn     4 4 f   = 2 2 ;  f ( x ) cos xdx = 1 . Tích phân  sin x. f  ( x )dx = 1 bằng 4 0 0 A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn f ( x )  0; x  , 1 1 f ( 0 ) = 1; f (1) = e và   ( ) f ( x ) .dx = 2 . Tích phân I =  f  ( x ) ln f ( x ) + x  dx bằng  0 0 A. 0. B. 2. C. 1. D. e . Câu 45. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên 1; 2  thỏa mãn f (1) = 2; f ( 2 ) = 4 và   2 2 f 2 ( x ) + x2  f  ( x )  = 12 x2 , x  1; 2  . Giá trị của tích phân  f ( x ) dx bằng 2 2     1 23 28 A. . B. 9 . C. . D. 10 . 3 3 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.   f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .   B.  3 f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx . C.   f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx −  g ( x ) dx .   D.   f ( x ) .g ( x )  dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .   Lời giải Chọn D Ta luôn có   f ( x ) .g ( x ) dx   f ( x ) dx. g ( x ) dx .   Câu 2. Tìm nguyên hàm F ( x ) =  x 2 dx . x3 x3 A. F ( x ) = . B. F ( x ) = + C . C. F ( x ) = x 2 + C . D. 2x + C . 3 3 Lời giải Chọn B x3  x dx = +C 2 Ta có: 3  1  Câu 3. Tính nguyên hàm    dx .  2x − 7  1 A. ln ( 2 x − 7 ) + C . B. 2ln ( 2 x − 7 ) + C . C. 2ln 2 x − 7 + C . D. ln 2 x − 7 + C . 2 Lời giải Chọn D  1  1 Ta có:    dx = ln 2 x − 7 + C .  2x − 7  2 1 Câu 4. Nguyên hàm của hàm số y = x 2 − 3cos x + là: x
1 A. 2 x − 3sin x − 2 + C . B. x2 + 3cos x + ln x + C . x x3 x3 C. − 3sin x + ln x + C . D. − 3sin x + ln x + C . 3 3 Lời giải Chọn D  2 1 x3 Ta có:   x − 3cos x +  dx = − 3sin x + ln x + C .  x 3 x2 + 2x Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . x +1 x2 A. 1 − ln x + 1 + C . B. + x + ln x + 1 + C . 2 x2 x2 C. + x + ln ( x + 1) + C . D. + x − ln x + 1 + C . 2 2 Lời giải Chọn D x2 + 2x  1  x2 Ta có  x +1 dx =   x + 1 −   x +1  dx = + x − ln x + 1 + C . 2   Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3cos  3x +   6     A. −3cos  3x +  + C . B. −3sin  3x +  + C .  6  6 1     C. sin  3x +  + C . D. sin  3x +  + C . 3  6  6 Lời giải Chọn D   1     Ta có:  3cos  3x + dx = .3sin  3x +  + C = sin  3x +  + C .  6 3  6  6 Tính nguyên hàm  x ( x −1) dx . 4 Câu 7. x 2 ( x + 1) 5 +C. B. 6 ( x − 1) + 5 ( x − 1) + C . 6 5 A. 10 ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x − 1) 6 5 6 5 C. + +C . D. + +C . 6 5 6 5 Lời giải Chọn D Đặt t = x − 1  dt = dx .
( x − 1) + ( x − 1) + C 6 5 t6 t5 Khi đó:  x ( x − 1) dx =  ( t + 1) t dt =  (t + t )dt = + + C = 4 4 5 4 . 6 5 6 5 Câu 8. Tính nguyên hàm  e x ( 2 − x ) dx x2 x A. 2 xe x − e +C . B. 2ex + xex + C . 2 C. 2ex − xex + C . D. 3ex − xex + C . Lời giải Chọn D u = 2 − x  du = −dx Đặt  dv = e dx  v = e x x Khi đó:  e x ( 2 − x ) dx = ( 2 − x ) e x +  e x dx = 2e x − xe x + e x + C = 3e x − xe x + C . 1 Câu 9. Tính nguyên hàm x 2 + x−6 dx . 1 x+3 1 x−2 A. ln +C . B.  +C . 5 x−2 5 x+3  x−2 1 x−2 C. ln  +C . D. ln +C .  x+3 5 x+3 Lời giải Chọn D 1 Ta có:  dx x + x−6 2 1 = dx ( x − 2 )( x + 3) 1 ( x + 3) − ( x − 2 ) =  dx 5 ( x − 2 )( x + 3) 1  1 1  =   x − 2 − x + 3 dx 5   = ( ln x − 2 − ln x + 3 ) + C 1 5 1 x−2 = ln +C 5 x+3 f ( x) f ( x ) = x2 − sin x F ( 0) = 1 F ( x) Câu 10. Cho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tìm . x3 x3 A. − cos x + 1 . B. + cos x + C . 3 3 x3 x3 C. + cos x . D. + cos x − 1 . 3 3
Lời giải Chọn D x3 Ta có: F ( x ) = + cos x + C . 3 03 Mặt khác F ( 0 ) = 1  + cos 0 + C = 1  C = −1 . 3 x3 Vậy F ( x ) = + cos x − 1 . 3 ln x Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là x 1 2 1 2 A. ln x + ln x + C . B. ln x + C . C. ln 2 x + C . D. ln ( ln x ) + C . 2 2 Lời giải Chọn B ln x Xét I =  f ( x ) dx =  dx . x 1 Đặt t = ln x  dt = dx . x 1 1 Khi đó I =  tdt = t 2 + C = ln 2 x + C . 2 2 x2 Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = là x3 + 1 1 2 3 2 1 3 A. + C. B. x + 1 + C. C. + C. D. x + 1 + C. 3 x3 + 1 3 3 x3 + 1 3 Lời giải Chọn B 2 2 2 3 Đặt t = x3 + 1  t 2 = x3 + 1  2tdt = 3x2dx . Khi đó I = 3  dt = 3 t + C = 3 x + 1 + C. . Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số I =  (1 + 2 x ) (cos x + 1)dx là A. (1 + 2 x ) sin x + 2cos x + C . B. x + x2 + (1 + 2 x ) sin x + 2cos x . C. x + x2 + (1 + 2 x ) sin x − 2cos x + C . D. x + x2 + (1 + 2 x ) sin x + 2cos x + C . Lời giải Chọn D Gọi I =  ( 2 x − 1) e x dx . u = 2 x − 1  du = 2dx Đặt  . dv = e dx  v = e x x
 I = ( 2 x − 1) e x − 2 e x dx = ( 2 x − 1) e x − 2e x + C = ( 2 x − 3) e x + C . Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x . 1 3 2 3 A.  f ( x ) dx = x 2 ( 3ln x − 2 ) + C . B.  f ( x ) dx = x 2 ( 3ln x − 2 ) + C . 9 3 2 3 2 3 C.  f ( x ) dx = x 2 ( 3ln x − 1) + C . D.  f ( x ) dx = x 2 ( 3ln x − 2 ) + C . 9 9 Lời giải Chọn A Giả sử I =  f ( x ) dx =  x ln x.dx . Đặt: t = x  t 2 = x  2tdt = dx .  I = 2 t 2 ln t 2 .dt = 4  t 2 ln t.dt .  4 u = 4 ln t  du = t dt  Đặt:  . dv = t dt  v = 2 t3   3 4 4 4 4 4  I = t 3 ln t −  t 2dt = t 3 ln t − t 3 + C = t 3 ( 3ln t − 1) + C 3 3 3 9 9 4 3 ( 2 3 ) = x 3ln x − 1 + C = x 2 ( 3ln x − 2 ) + C . 9 2 9 Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x ( x + cos x ) là A. x3 + 3 ( x sin x + cos x ) + C . B. x3 − 3 ( x sin x + cos x ) + C . C. x3 + 3 ( x sin x − cos x ) + C . D. x3 − 3 ( x sin x − cos x ) + C . Lời giải Chọn A Giả sử: y = f ( x ) = 3x ( x + cos x ) . Đặt I =  f ( x ) dx . I =  3 x ( x + cos x ) dx =  3x dx +  3x cos x dx = x + C1 + 3.I1 (với I1 =  x cos x dx ). 2 3 u = x  du = dx Đặt  dv = cos x dx  v = sin x  I1 =  x cos x dx = x sin x −  sin x dx = x sin x + cos x + C2 .  I = x 3 + C1 + 3 ( x sin x + cos x + C2 ) = x3 + 3 ( x sin x + cos x ) + C (với C = C1 + 3C2 ). 3 4 4 5 3  f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( u ) du 3 5 Câu 16. Biết 0 và 0 . Tính 3 .
8 14 17 16 A. . B. . C. − . D. − . 15 15 15 15 Lời giải Chọn D 4 3 4 Ta có  f ( u ) du =  f ( u ) du +  f ( u ) du . 0 0 3 3 3 4 4 5 3 Mà  f ( u ) du =  f ( x ) dx = và  f ( u ) du =  f ( t ) dt = . 0 0 3 0 0 5 4 4 3 5 3 5 16 Nên = +  f ( u ) du   f ( u ) du = − = − . 5 3 3 3 5 3 15 Câu 17. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên  a; b và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) . Khẳng định nào sau đây là đúng. b b  f ( x ) dx = F ( x ) = F ( a ) − F (b) .  f ( x ) dx = F ( x ) = F (b) − F (a ) . b b A. a B. a a a b b  f ( x ) dx = F ( x ) = F ( a ) + F (b) .  f ( x ) dx = F ( x ) = −F ( a ) − F (b ) . b b C. a D. a a a Lời giải Chọn B b  f ( x ) dx = F ( x ) = F ( a ) − F (b) . b Áp dụng định nghĩa ta có a a 5 dx Câu 18. Giả sử  2 x − 1 = ln c . Giá trị của c là 1 A. 9. B. 3. C. 81. D. 8. Lời giải Chọn D 5 dx  2 x − 1 = ln 2 x − 1 5 Ta có 1 = ln 9 − ln1 = ln 9 . 1 Do đó c = 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 2 x Câu 19. Cho tích phân I =  dx nếu đặt t = x + 1 thì I =  f ( t ) dt trong đó: 0 1+ x +1 1 A. f ( t ) = t 2 + t . B. f ( t ) = 2t 2 + 2t . C. f ( t ) = t 2 − t . D. f ( t ) = 2t 2 − 2t . Lời giải Chọn D Đặt t = x + 1  t 2 = x + 1  2tdt = dx .
( x 1− x +1 ) dx = ( ) 3 3 I = x + 1 − 1 dx . 0 1 − ( x + 1) 0 2 2  I = 2 ( t − 1) tdt =  ( t 2 − t ) 2dt  f ( t ) = 2t 2 − 2t . 1 1   2 2  f ( x ) dx = 5 I =   f ( x ) + 2sin x  dx   Câu 20. Cho 0 . Tính 0 .  A. I = 7 . B. I = 5 + . C. I = 3 . D. I = 5 +  . 2 Lời giải Chọn A    2 2 2 Ta có I =   f ( x ) + 2sin x  dx =  f ( x ) dx + 2  sin xdx = 7 .   0 0 0 2 1 Câu 21. Tính tích phân I =  dx . 0 3x + 1 ln 7 − 1 ln 7 ln 7 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = ln 7 + 1 . 3 3 2 Lời giải Chọn B 2 2 1 1 1 ln 7 I = dx = ln 3x + 1 = ( ln 7 − ln1) = . 0 3x + 1 3 0 3 3 3 a a Câu 22. Giá tri của tích phân  0 x 2 − x dx là b (với a , b , là các số tự nhiên và b là phân số tối giản). Tổng a + b bằng A. 35 . B. 29 . C. 6 . D. 23 . Lời giải Chọn A 2 2 3 1  x 2 x3   x3 x 2  3 x − x dx =  ( x − x ) dx +  ( x − x ) dx =  −  +  −  = 29  2 2 2 Ta có . 0 0 1  2 3 1  3 2 1 6 Vây a + b = 35 2 Câu 23. Cho I =  2 x x 2 − 1dx và u = x2 − 1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: 1 3 3 2 2 3 A. I =  udu . B. I = u . C. I =  udu . D. I = 2 3 . 0 3 0 1 Lời giải Chọn C
x = 1  u = 0 Đặt u = x2 − 1  du = 2 xdx. Đổi cận:  . x = 2  u = 3 2 3 3 2 3 Suy ra I =  2 x x − 1dx =  2 udu = x =2 3 1 0 3 0 Do đó C sai. 1  ( 2 x + 3) e dx = a + b.e ; ( a , b  ).Tính giá giá biểu thức P = 2a + b . x Câu 24. Biết rằng tích phân 0 A. 7 . B. 2 . C. 5. D. 3. Lời giải Chọn C u = 2 x + 3 du = 2dx Đặt   .  dv = e d x v = e x x 1 1   ( 2 x + 3) e xdx = ( 2 x + 3) e x − 2  e xdx = ( 2 x + 1) e x 0 = 3e − 1 = a + b.e . 1 1 0 0 0 a = 3  . Vậy tích P = 2a +b = 5 . b = -1 3 f ( x ) dx = 4 9 f ( x ) dx   x Câu 25. Cho 1 . Khi đó 1 bằng A. 4 . B. 2 . C. 16 . D. 8 . Lời giải. Chọn D f ( x ) dx = 2  f ( x ) d ( x ) = 2 f ( t ) dt = 8 . 9 9 3  1 x 1 1 1 Câu 26. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = thỏa mãn F ( 0) = 10 . Tìm F ( x ) . 2e + 3 x A. F ( x ) = 1 3 ( x − ln ( 2e x + 3) + 10 + ln 5 3 .) 1 3 ( B. F ( x ) = x + 10 − ln ( 2e x + 3) . ) 1  3  1  3  ln 5 − ln 2 C. F ( x ) =  x − ln  e x +   + 10 + ln 5 − ln 2 . D. F ( x ) =  x − ln  e x +   + 10 − 3  2  3  2  3 . Lời giải Chọn A 1 ex F ( x ) =  f ( x ) dx =  dx =  dx . 2e x + 3 ( 2e x + 3) e x Đặt t = e x  dt = e xdx . Suy ra
F ( x) =  1 ( 2t + 3) t 1 dt = ln t 3 2t + 3 1 ex + C = ln x 3 2e + 3 + C = x − ln ( 2e x + 3) + C . 1 3 ( ) 1 ln 5 Vì F ( 0) = 10 nên 10 = ( 0 − ln 5) + C  C = 10 + . 3 3 Vậy F ( x ) = 1 3 (x − ln ( 2e x + 3) + 10 + ) ln 5 3 .    1 dx Câu 27. Cho tích phân I =  . Nếu đổi biến số x = 2sin t , t   − ;  thì: 0 4− x 2  2 2     3 6 6 6 dt A. I =  dt . B. I =  t dt . C. I =  dt . D. I =  . 0 0 0 0 t Lời giải Chọn C    Đặt x = 2sin t , t   − ;  , dx = 2cos t dt .  2 2  Đổi cận: x = 0  t = 0 , x = 1  t = . 6    1 6 6 6 dx 2 cos t dt 2 cos t dt I = = = =  dt . 0 4− x 2 0 4 − 4sin t 2 0 2 cos2 t 0 2 Câu 28. Biết rằng  ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c . 1 A. S = 0 . B. S = 1 . C. S = 2 . D. S = −2 . Lời giải Chọn A u = ln ( x + 1)  1 du = dx Đặt   x +1 .  dv = dx v = x  Khi đó, ta có: 2 2 2 x  ln ( x + 1) dx = x ln ( x + 1) −  dx 1 1 1 x +1 2  1  2 = 2 ln 3 − ln 2 −   1 −  dx = 2 ln 3 − ln 2 − ( x − ln x + 1 ) 1 1 x +1 = 2ln 3 − ln 2 − ( 2 − ln 3 − 1 + ln 2 ) = 3ln 3 − 2ln 2 − 1 . Suy ra S = a + b + c = 3 − 2 − 1 = 0 . 4 ( x + 1) e x dx = ae4 + b . Tính T = a2 − b2 . Câu 29. Biết rằng tích phân  0 2x + 1
3 5 A. T = 1 . B. T = 2 . C. T = . D. T = . 2 2 Lời giải Chọn B x +1 x 1 2x + 2 x 1  4 4 4 4 ex Ta có I =  e dx =  e dx =   2 x + 1.e dx +  x dx  . 0 2x + 1 2 0 2x + 1 20 0 2x + 1  4 ex Xét I1 =  dx . 0 2x + 1 du = e x dx u = e x    1 Đặt   dx 1 ( 2 x + 1) 2 dx v= = . = 2x + 1 dv = 2 x + 1  2x + 1 2 1    2 4 4 Do đó I1 = e . 2 x + 1 −  e x . 2 x + 1dx . x 0 0 3e 4 − 1 3 −1 9 1 Suy ra I = . Khi đó a = , b =  T = − = 2. 2 2 2 4 4 Câu 30. Cho hàm số f ( x ) liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 . Biết f ( x ) . f (1 − x ) = 1 với 1 dx x   0;1 . Tính giá trí I =  . 0 1 + f ( x) 3 1 A. . B. . C. 1 . D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn B 1 f ( x) Ta có: f ( x ) . f (1 − x ) + f ( x ) = 1 + f ( x )  = f (1 − x ) + 1 1 + f ( x ) 1 dx Xét I =  0 1 + f ( x) Đặt t = 1 − x  x = 1 − t  dx = −dt . Đổi cận: x = 0  t = 1; x = 1  t = 0 . dt 0 1 dt 1 dx 1 f ( x ) dx Khi đó I = −  = = = 1 1 + f (1 − t ) 0 1 + f (1 − t ) 0 1 + f (1 − x ) 0 1 + f ( x ) 1 dx 1 f ( x ) dx 1 1 + f ( x ) 1 1 Mặt khác  1 + f ( x ) 0 1 + f ( x ) 0 1 + f (t ) 0 + = dx =  dx = 1 hay 2 I = 1 . Vậy I = . 0 2 2 4 4 Câu 31. Cho  f ( x ) dx = 1 ,  f ( x ) dx = −4 . Tính I =  f ( x ) dx . −2 −2 2 A. I = 5 . B. I = −5 . C. I = −3 . D. I = 3 .
Lời giải Chọn B 4 2 4 4 4 2 Ta có  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx   f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx = −4 − 1 = −5 . −2 −2 2 2 −2 −2 3 Câu 32. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn 1;3 , f ( 3) = 5 và  f  ( x ) dx = 6 . Khi đó f (1) bằng 1 A. −1. B. 11. C. 1. D. 10. Lời giải Chọn A 3  f ' ( x ) dx = 6  f ( x ) = f ( 3) − f (1) = 5 − f (1) = 6  f (1) = −1 . 3 Ta có: 1 1 Vậy f (1) = −1 . 9 4 Câu 33. Biết f ( x ) là hàm liên tục trên và  f ( x )dx = 9 . Khi đó giá trị của  f ( 3x − 3)dx 0 1 là A. 0 . B. 27 . C. 3 . D. 24 . Lời giải Chọn C Đặt u = 3x − 3 , suy ra du = 3dx . Đổi cận: x = 1 thì u = 0 ; x = 4 thì u = 9 . 4 9 9 9 1 1 1 1 Ta có:  f ( 3x − 3)dx =  f ( u )du =  f ( u )du =  f ( x )dx = .9 = 3. . 1 0 3 30 30 3 4 Vậy  f ( 3x − 3)dx = 3 . 1 2 2 Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên . Biết f ( 2) = 4 và  f ( x)dx = 5 . Tính I =  xf ( x)dx . 0 0 A. I = 1. B. I = 3 . C. I = −1 . D. I = 9 . Lời giải ChọnB u = x  du = dx  Đặt     dv = f  ( x ) dx v = f ( x )  2  I = xf ( x ) 0 −  f ( x)dx = 2.4 − 5 = 3. 2 0 Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên đồng thời thỏa mãn f ( 0) = f (1) = 5 . Tính tích phân 1 I =  f  ( x ) .e f ( x )dx . 0
A. I = 10 . B. I = −5 . C. I = 0 . D. I = 5 . Lời giải Chọn C 1 1 I =  f  ( x ) .e f ( x)dx =  e f ( x )d ( f ( x ) ) = e f ( x ) 1 0 = e f (1) − e f ( 0) = e5 − e5 = 0 . 0 0 1 Câu 36. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn: f ( 0) = f (1) = 1 . Biết  e x  f ( x ) + f  ( x ) dx = ae + b . Tính giá trị   0 biểu thức T = a 2019 +b 2019 . A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn D Ta có: 1 1 1 I =  e  f ( x ) + f  ( x ) dx =  e f ( x ) dx +  e x f  ( x ) dx .  x  x 0 0 0 1 Xét I1 =  e x f  ( x ) dx . 0 u = e x   du = e x dx  Đặt   . dv = f  ( x ) dx  v = f ( x )  1 Khi đó: I1 = e x f ( x ) −  e x f ( x ) dx . 1 0 0 Do đó: I = e x f ( x ) 0 = e. f (1) − f ( 0 ) = e − 1 . 1 a = 1  . b = −1 Vậy T = 12019 + ( −1) =0. 2019 f ( x) \ 1 , ( ) , ( ) 1 f 0 =1 f 2 = 2 Câu 37. Cho hàm số xác định trên thỏa mãn: f  ( x ) = . Giá trị x −1 biểu thức ( ) f −1 + f ( 5) là A. 2ln 2 +1 . B. 3ln 2 + 3 . C. 3ln 2 + 1 . D. 2 ln 2 + 3 . Lời giải Chọn B Ta có: 1 1 ln ( x − 1) + C1 ; x  1  f ( x) =  f ( x) =  dx = ln x − 1 + C =  . x −1 x −1 ln (1 − x ) + C2 ; x  1 
f ( 0 ) = 1  ln1 + C1 = 1  C1 = 1 . f ( 2) = 2  ln1 + C2 = 2  C1 = 2 . ln ( x − 1) + 1; x  1  Do đó, f ( x ) =  ln (1 − x ) + 2; x  1  Vậy f ( −1) + f ( 5) = ( ln 2 + 2) + ( ln 4 + 1) = 3ln 2 + 3 . Câu 38. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên , đồng thời thỏa mãn: 2 f ( x ) + 3 f ( − x ) = x2 . 1 Tính I =  f ( x )dx . −1 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 15 15 5 5 Lời giải Chọn A 1 Tính tích phân I1 =  f ( − x )dx . −1 Đặt t = − x  dt = −dx . Đổi cận: x = −1  t = 1 x = 1  t = −1 Khi đó: 1 −1 1 1 I1 =  f ( − x )dx =  f ( t )( −dt ) =  f ( t )dt =  f ( x )dx . −1 1 −1 −1 Lại có: 2 f ( x ) + 3 f ( − x ) = x2 . 1 1    2 f ( x ) + 3 f ( − x ) dx =  x 2 dx .   −1 −1 1 1 1  2  f ( x )dx + 3  f ( − x )dx =  x 2 dx . −1 −1 −1 1 1 1 x3 2 2  5  f ( x )dx = =   f ( x )dx = . −1 3 −1 3 −1 15 2 Vậy I = . 15 có đạo hàm liên tục trên đoạn  y = f ( x) −1;1 , thỏa mãn ( ) f x  0, x  Câu 39. Cho hàm số và f ( x) + 2 f ( x) = 0 . Biết ( ) . Tính ( ) . f 1 =1 f −1 A. f ( −1) = e−2 . B. f ( −1) = e3 . C. f ( −1) = e4 . D. f ( −1) = 3 . Lời giải
Chọn A f ( x) Ta có: f  ( x ) + 2 f ( x ) = 0  = −2 . f ( x) f ( x)  dx = −2 dx  ln  f ( x )  = −2 x + C  f ( x ) = e−2x+C .   f ( x) Lại có: f (1) = 1  e−2+C = 1  C = 2 . Do đó f ( x ) = e−2 x+2 . Vậy f ( −1) = e4 . Câu 40. Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên khoảng ( 0; + ) và ( ) f x f x  0 x  ( 0; + ) , thỏa mãn f  ( x ) = − x. f ( x ) 2 x  ( 0; + ) 2 1 với mọi , biết f (1) = và f ( 2 )  . Tổng tất cả các giá trị a+3 4 nguyên của a thỏa mãn là A. −14 . B. 1 . C. 0 . D. −2 . Lời giải Chọn D f ( x)  1  Trên ( 0; + ) ta có f  ( x ) = − x. f 2 ( x )  − =x  f ( x)  = x . f 2 ( x)     1  1 x2    f ( x)   dx =  xdx  = +C .   f ( x) 2 2 a+3 1 a+2 Có f (1) =  = +C  C = . a+3 2 2 2 1 a+2 2 1 2 1 2−a = 2+  f ( 2) = ; f ( 2)      0  −6  a  2 . f ( 2) 2 a+6 4 a+6 4 4 ( a + 6) 1 x2 a + 2 Ta có = + . Do đó f ( x )  0 , x  ( 0; + )  a  −2 . f ( x) 2 2 Với a   a −2; −1;0;1 . Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của a cần tìm là −2 . Câu 41. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên 0;1 thỏa mãn f ( x ) + xf ( x2 ) = 2 x2 + 1 . Giá trị   1  f ( x ) dx bằng 0 5 10 5 10 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 Lời giải Chọn B Theo đề f ( x ) + xf ( x2 ) = 2 x2 + 1 1 ( ) Xét A =  xf x 2 .dx . Đặt t = x2  dt = 2x.dx 0
Đổi cận: x 0 1 t 0 1 1 1 1 1 A= 20 f ( t ).dt = 2  f ( x ).dx . 0 1 1 1 1 1 1 5 Từ đó: 2 ( )  f ( x ).dx +  xf x .dx =  2x + 1 .dx   f ( x ).dx + 2 ( ) 20 f ( x ).dx = 3 0 0 0 0 1 1 3 5 10   f ( x ) .dx =   f ( x ) .dx = . 20 3 0 9  2 Câu 42. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên  cot x. f ( sin x ) dx = 1 2 thỏa mãn và 0 e2 f ( ln x ) 2 f ( x)  e x ln x dx = 2 . Giá trị  0 x dx bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn D  2 Đặt A =  cot x. f sin 2 x dx = 1 .( ) 0 Đổi biến t = sin2 x  dt = 2 sin x cos x.dx  dt = 2 sin2 x.cot x.dx 1 1  cot x.dx = dt = dt 2 sin x 2 2t Đổi cận:  x 1 f (t ) f (t ) f ( x) 0 1 1 1 2 Suy ra: t 0 1 A=  t 20 dt = 1   0 t dt = 2   0 x dt = 2 e2 f ( ln x ) Đặt B =  dx = 2 . e x ln x 1 x e e2 Đổi biến t = ln x  dt = dx Đổi cận: x t 1 2 2 f (t ) 2 f ( x) Suy ra: B =  dt = 2   dt = 2 . 1 t 1 x 2 f ( x) 1 f ( x) 2 f ( x) Từ đó:  0 x dx =  0 x dx +  1 x dx = 2 + 2 = 4 .