Đề ôn thi tôt nghiệp môn toán

Chia sẻ: Dinh Phuc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

101
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các bài tập toán cơ bản nhằm củng cố kiến thức chuẩn bị cho những kỳ thi trung học phổ thông

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề ôn thi tôt nghiệp môn toán

PHẦN GIẢI TÍCH: Tóm tắt lý thuyết các dạng bài tập PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ℑ 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b) 1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 ∈(a,b) mà x11 . c) ln x Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm : x5 − x3 + 2 x − 1 = 0 -1-
ℑ 2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0 ∈(a,b) . • Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x) < f(x0) (x ≠ x0). • Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta có f(x)>f(x0) (x ≠ x0). 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0. Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0) a) Nếu f’(x0) > 0 trên khoảng (x0 ; x0); f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b) Nếu f’(x) 0 trên khoảng (x0; δ+ x0) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị. Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo) ≠ 0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa 1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. Nói cách khác: 1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0 ⇒ x0 là điểm cực tiểu. 2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 ⇒ x0 là điểm cực đại. B . CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = − x 4 + 2mx 2 − 2m + 1 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1). x 2 + mx − 2m − 4 Bài 2: Cho hàm số y = x+2 a) Khảo sát hàm số khi m=-1. b) Xác định m để hàm số có hai cực trị. Bài 3: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 2m a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C). b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó. c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞ ). x 2 − 2kx + k 2 + 1 Bài 4: Cho hàm số y = với tham số k. x−k 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1 -2-
2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Bi ện luận theo a số giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuy ến của (C) đi qua A. 3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và t ổng tung đ ộ của chúng bằng 0. 1 Bài 5: Định m để hàm số y = x3 − mx 2 + (m 2 − m + 1) x + 1 đạt cực tiểu tại x = 1. 3 x −x+m 2 Bài 6: Cho hàm số y = Xác định m sao cho hàm số. x +1 a) Có cực trị. b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau. Bài 7: Cho hàm số y = f ( x) = − x 3 + 3x 2 − 3mx+3m-4 a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số ℑ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: ∀x ∈ D : f ( x) ≤ M (ký hiệu M=maxf(x) ) ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: ∀x ∈ D : f ( x) ≥ m (ký hiệu m=minf(x) ) ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b) 3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. + Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b]. + Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên M = max f ( x) ; m = min f ( x) [ a ,b ] [ a ,b ] B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) y = 2 x3 + 3x 2 − 1 trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) y = x + 4 − x 2 . 4 c) y = 2s inx- sin 3 x trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) 3 x∈[0,π/2] d) y = 2cos2x+4sinx (TN-THPT 01-02/1đ) e) y = x − 3x + 2 2 trên đoạn [-10,10]. -3-
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x + 1 + −3x 2 + 6x + 9 trên đoạn[-1,3]. x2 + 3 6 Bài 3: Chứng minh rằng ≤ 2 với mọi giá trị x. ≤2 7 x +x+2 ℑ 4. LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Định nghĩa : +Cung AB lồi nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía trên cung. +Cung AB lõm nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía dưới cung. 2) Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên (a;b). + Nếu f”(x)0 với mọi x∈(a,b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó. + Nếu f’’(x) đổi dấu khi xđi qua x0 thì điểm M0(x0,f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số. B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Tìm a,b để hàm số y = x3 − ax 2 + x + b nhận điểm (1;1) làm điểm uốn. 2x +1 Bài 2: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = có ba điểm uốn thẳng hàng. x + x +1 2 Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất. ℑ 5. TIỆM CẬN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận đứng: Nếu xlim f ( x) = ∞ thì đường thẳng (d) có phương trình x=x0 là tiệm cân →x 0 đứng của đồ thị (C). 2) Tiệm cận ngang: Nếu lim f ( x) = y0 thì đường thẳng (d) có phương trình y=x0 là tiệm cân x →∞ ngang của đồ thị (C). 3) Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là lim [f ( x) − (ax+b)] = 0 x →+∞ lim [f ( x) − (ax+b)] = 0 hoặc x →−∞ lim[f ( x) − (ax+b)] = 0 . hoặc x →∞ 4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b. -4-
f ( x) a = lim b= lim[f ( x) − ax] . x x →∞ x →∞ B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: − x2 + 4x − 5 1. Khảo sát hàm số . y = x−2 − x 2 − (m − 4) x + m 2 − 4m − 5 2. Xác định m để đồ thị hàm số y = có các tiệm cận x+m−2 trùng với các tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. ( TN-THPT 02- 03/3đ) Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số a) y = x2 −1 x3 + x + 1 y= b) x2 −1 3x 2 + x + 1 y= c) . 1− 2x x2 + x + 1 y= d) 3 − 2 x − 5x2 PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ 1. Tập xác định 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên 2. Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn, tiệm cận - Giới hạn - Bảng biến thiên - Bảng biến thiên 3. Đồ thị 3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Giá trị đặt biệt - Đồ thị - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.  Các dạng đồ thị hàm số:  Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) y y y y I I I • I • • • O O x x O O x x a>0 a>0 a
 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) y y y y O O x x O O x x a>0 a>0 a
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP x2 + (m − 2)x + m Bài 1) Cho hàm số y = , m là tham số, có đồ thị là (Cm) x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao đi ểm phân biệt A và B. Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB. 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2. x2 − 4mx+ 5m Bài 2) Cho hàm số y = , có đồ thị là (Cm) x− 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai đi ểm phân biệt đối xứng nhau qua O. Bài 3) Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 và y = 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.(Học kỳ2) 2 x 2 − 4x − 3 Bài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2( x − 1) 2. Định m để ptrình : 2x2 – 4x – 3 + 2m| x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt. x+3 Cho hàm số y = gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho Bài 5 : x +1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C) Bài 6:Cho hàm số y = ( x − 1) 2 (4 − x) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5) d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3 − 6 x 2 + 9 x − 4 − m = 0 Bài 7: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 2m -7-
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C) b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞ ) Bài 8 : 5 Cho hàm số y = -x 3 + 2x 2 + x 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2- 5x+m=0. c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M. d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx. e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng. 1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN. Số mũ α C ơ số a Lũy thừa a α a∈R a α = a n = a.a......a (n thừa số ) α = n∈ N* α =0 a≠0 aα = a 0 = 1 a≠0 α = −n ( n ∈ N * ) 1 a α = a −n = n a a>0 m m α= (m ∈ Z , n ∈ N * ) α a =a = n a m ( n a = b ⇔ b n = a) n n a>0 a α = lim a rn α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * ) 2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA. * với a > 0, b > 0, ta có α aα aα a α β α +β = aα −β α β α .β α α α a .a = a ; (a ) = a ; (ab) = a .b ;=α ; aβ b b a > 1 : aα > a β ⇔ α > β 0 < a < 1 : aα > a β ⇔ α < β 3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT. * Với số 0 < a ≠ 1, b > 0 . log a b = α ⇔ a α = b ⇔ 10α = b log b = α ⇔ eα = b ln b = α 4. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT. log a 1 = 0 ; log a a = 1 ; a log b = b * a -8-
log a (b.c) = log a b + log a c * b log a   = log a b − log a c c log a b α = α . log a b 1 1 Đặc biệt: log a = − log a b ; log a n b = log a b b n log a c log b c = ⇒ log a b. log b c = log a c * log a b 1 1 Đặc biệt : log a b = log a ; log aα b = α log a b b a > 1 : log a b > log a c ⇔ b > c > 0 0 < a < 1 : log a b > log a c ⇔ 0 < b < c 5. GIỚI HẠN. ex −1 ln(1 + x) =1 ; =1 lim lim x x x →0 x →0 6. BẢNG ĐẠO HÀM. (e x )' = e x (e u )' = u '.e u (a x )' = a x . ln a (a u )' = u '.a u . ln a 1 u' (ln x )' = (ln u )' = x u 1 u' (log a x )' = x (log a u )' = u. ln a a ln a α α −1 (u )' = α .u α −1 u ' α ( x )' = α .x (α ≠ 0, x > 0) 1 u' ( n x )' = ( n u )' = n n x n −1 n. n u n −1 7 .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT. a) 0 < a ≠ 1 a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x )  f ( x) > 0 hay ( g ( x) > 0) log a f ( x) = log a g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x) b) a > 1 >a ⇔ f ( x ) > g ( x) f ( x) g ( x) a log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > 0 c) 0 < a < 1 a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x) I. LŨY THỪA * Đơn giản biểu thức. 4 4 ) 1 ( a −1 a +4 a 2) a b + ab .a + 1 5 . 3 3 4 1) 3) x 6 . y 12 − x. y 2 3 5 4 1 a +1 a+ b a +a 3 3 3 2 -9-
1 m2 + 4   m 1 1  . − −3 + 4)  2  m + 2 m + 2 2  2 m * Tính giá trị của biểu thức. 1 3 − − 1 1 1 2 1 3 5 2) 0,001− 3 − (−2) − 2 .64 3 − 8 −13 + (9 0 ) 2 1) 81−0,75 + −    125   32  1 −0 , 75 2 −1 1  1 2 3) 27 +   − 25 4) (−0,5) − 4 − 625 0, 25 0,5 + 19(−3) −3 − 2  3  16   4 * Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. 17 5 3 14 27.3 a 1) 2) 3) 4) 2 .ax a 5 .4 a b 3 .4 b 8 3 8 3 * Tính . 1)  ( 3 )  () 2 3 27 5 3 4 2) 41−2 3 .161+ 3) 4) 2 5 3   8   32 3 * Đơn giản các biểu thức. − b2 a2 2 3 − 1)(a 2 +a + a3 3 ) (a 2 3 3 3 +1 1) 2) − b 3 )2 2 −a (a a4 3 3 π 1  ( a + b ) −  4 π .ab  π π 3) 2     II. LÔGARIT. * Biết log52 = a và log53 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b. 1) log527 2) log515 3) log512 4) log530 * Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit. −0 , 2  a 10  ) ( b2 2 2)  6 5  1) 3) 9a 4 5 b 4) 3 5   3 ab 27 a 7 b  * Tính giá trị các biểu thức. 1 2) 2 log 1 6 − 2 log 1 400 + 3 log 1 45 3 1) log915 + log918 – log910 3 3 3 1 log 1 (log 3 4. log 2 3) 3) log 36 2 − 2 log 1 3 4) 4 6 * Tính giá trị các biểu thức.  1 − 1 log 9 4  1 1)  814 2 + 25 log125 8 .49 log7 2 2) 161+ log 5 + 42 2 log 3+ 3 log 5 5   2 4    − log 5 4  1 log 7 9 − log 7 6 3) 72 49 2  +5     * Tìm x biết. 1 2) log4x = log 4 216 − 2 log 4 10 + 4 log 4 3 1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63. 3 * Tính. - 10 -
1) log(2 + 3 ) 20 + log(2 − 3 ) 20 2) 3 log( 2 + 1) + log(5 2 − 7) 1 3) ln e + ln 4) ln e −1 + 4 ln(e 2 . e ) e * Tìm x biết 3 2) log x 5 2 = − 3) log x (2.3 2 ) = −6 1) logx18 = 4 5 * Biết log126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b. * Biết log214 = a. Tính log4932 theo a III. HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA. * Tìm tập xác định của các hàm số sau.  2x − 1 ex 3) y = ln   1) y = x 2) y = e 2 x −1 − 1  1− x  e −1 4) y = log(-x2 – 2x ) 5) y = ln(x2 -5x + 6) 6) y =  2 x − 3x + 1  2 log 2   1 − 3x     * Tìm các giới hạn. 1  e3x − 1 e 2 x − e 3x 4) lim x.e x − x  3) lim(2 − 3 ) x x 1) lim 2) lim   x →5 x →∞ x 5x   x →0 x →0 ln(4 x + 1) ln(3 x + 1) − ln(2 x + 1) 5) lim log 3 x 6) lim 7) lim x →9 x x x →0 x →0 ln(1 + 3 x) e −1 ln(1 + 2 x) x 8) lim 9) lim 10) lim x +1 −1 sin 2 x tan x x →0 x →0 x →0 * Tính đạo hàm của các hàm số sau. e x − e−x 1) y = (x2 -2x + 2).ex 2) y = (sinx – cosx).e2x 3) y = e x + e−x ln x 4) y = 2x - e x 5) y = ln(x2 + 1) 6) y = x 9) y = 3x.log3x 7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = x 2 . ln x 2 + 1 10) y = (2x + 3)e 11) y = x π .π x 12) y = 3 x 15) y = 5cosx + sinx 13) y = 3 ln 2 2 x 14) y = 3 cos 2 x * Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho. 1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 0 2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0 x 3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan =0 2 4) y = ex.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0 5) y = ln2x ; x2.y’’ + x. y’ = 2 IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ. * Giải các phương trình: 3 x −1 x 2 −2 1 4).   1 x-1 =3 = 2 4 −3 x 1). (0,2) =1 2).   3). 4 x −3 x + 2 = 16 2   3 2 - 11 -
5). (3 − 2 2 ) = (3 + 2 2 ) 6). ( ) ( ) x −1 2x 2 x −1 7). 3 x −5 = 9 x +1 5+2 = 5−2 x +1 x+7 1− 2 x 1 1 x x+1 =2 8). 5 9) 3 .2 = 72 9)   .  x− x2 +4 = 25 2 2 20 60 11) 5x+1 + 6. 5x – 3. 5x-1 = 52 10) 4 x +1.3 x −3.5 x +1 = 27 12) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9 13) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1 * Giải các phương trình. 1) 4x + 2x+1 – 8 = 0 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0 2) 3) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27 31+x + 31-x = 10 4) 5) 5x-1 + 53 – x = 26 9x + 6x = 2. 4x 6) 7) 4x – 2. 52x = 10x 27x + 12x = 2. 8x 8) 9) ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 2 x x 10)  7 − 48  +  7 + 48  = 14 x x        12) (7 + 3 5 ) + ( 7 − 3 5 ) = 14.2 x x x 11)  6 + 35  +  6 − 35  = 12 x x        13) 32x+4 + 45. 6x – 9. 22x+2 = 0 14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 3. 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x * Giải các phương trình. x −1 x 1) 3 x − 4 x = 2 x −4 2) 2 x −1 = 3 x −5 x + 4 3) 8 x + 2 = 36.3 2− x 4) 5 x.8 x = 500 2 2 5) 5 3−log x = 25 x 6) x −6 .3− log 3 = 3 −5 7) 9.x log x = x 2 8) x 4 .53 = 5 log 5 5 x 9 x * Giải các phương trình. 1) 2x + 3x = 5x 2) 3x + 4x = 5x 3) 3x = 5 – 2x 4) 2x = 3–x 5) log2x = 3 – x 6) 2x = 2 – log2x 7) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – 5 = 0 V. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT. * Giải các phương trình. 1) log2x(x + 1) = 1 2) log2x + log2(x + 1) = 1 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) 4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3 5) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + 2 = 0 log x. log 25 x = log125 2 x 5 7) 7logx + xlog7 = 98 8) log2(2x+1 – 5) = x 6) log 5 x * Giải các phương trình. 1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 7 2) log4x8 – log2x2 + log9243 = 0 3) 3 log 3 x − log 3 3x = 3 4) 4log9x + logx3 = 3 1 + log x 1 + log x 7 6) 1 + log x = 1 + log x 3 27 =0 5) logx2 – log4x + 6 9 81 2 7) log9(log3x) + log3(log9x) = 3 + log34 8) log2x.log4x.log8x.log16x = 3 9) log5x4 – log2x3 – 2 = -6log2x.log5x 10) log x (2 x − 5) + log 2 x 5 x = 3 2 2 2 VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT. * Giải các hệ phương trình sau. - 12 -
 x + y = 11 log( x 2 + y 2 ) = 1 + log 8 1) log x + log y = 1 + log 15 2)  log( x + y ) − log( x − y ) = log 3 2 2 2 x y 3 .2 = 972  x + y = 25 3) log ( x − y ) = 2 4) log x − log y = 2  2  2 3  −x 4 −y 3 x + 3 y = 4 3 + 3 = 5)  6)  9 x + y = 1 x + y = 3  x x+ y 2 + 5 = 7 x 2 − y 2 = 3 7)  x −1 x + y 8)  log 3 ( x + y ) − log 5 ( x − y ) = 1 2 .5 = 5  2  log x = 4 log y log x = log y + log ( xy ) 2 2 3 9)  2 10)  log ( x − y ) + log x. log y = 0 (4 x) log 4 = (3 y ) log 3    y = 1 + log 2 x  log xy 4 3 = 2 + ( xy ) 3 log 2 11)  2 12)   x = 64  x + y 2 − 3x − 3 y = 12 y  log 27 xy = 3 log 27 x. log 27 y 9 x 2 − 4 y 2 = 5  13)  14) log x = 3 log 3 x log 5 (3x + 2 y ) − log 3 (3 x − 2 y ) = 1  3 y 4 log y  3 VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT. * Giải các bất phương trình. x 2 −5 x + 4 1 3)   1 2) 27x < 1) 3 2 x +5 > 1 4) 6 2 x +3 < 2 x+ 7.33 x −1 >4  3 2 6) 3x – 3-x+2 + 8 > 0 x+4 5) 9 x < 3 x +1 + 4 7) x log < 243 3 1 + 3x log 1 (5 x + 1) < −5 11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5) 9) 10) log 4 x −1 2 1 + 2x log x 3 − log x < 0 12) log 1 (log 2 1 + x ) > 0 13) log22x + log24x – 4 > 0 14) 3 3 3x − 1 17) log 4 x − 3 < 1 >0 15) log2(x + 4)(x + 2) ≤ −6 16) log x x2 +1 19) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 ≤ 0 18) log2x + log3x < 1 + log2x.log3x  1    1   x −1 x +1 x x 21) log 4 log 3 x + 1 < log 1 log 1 x − 1 20) log 1   − 1 < log 1   − 3  2   4        4 3 3 2 * Tìm tập xác định của các hàm số. 2x + 1 2) y = log 1 ( x − 2) + 1 −2 1) y = log 0,8 x+5 2 §1. NGUYÊN HÀM: - 13 -
1). Định nghĩa : Hàm số F ( x ) gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ( a,b ) nếu F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a,b ) . Ghi nhớ : Nếu F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) thì mọi hàm số có dạng F ( x ) + C ( C là hằng số) cũng là nguyên hàm của f ( x ) và chỉ những hàm số có dạng F ( x ) + C mới là nguyên hàm của f ( x ) . Ta gọi F ( x ) + C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số f ( x ) và ký hiệu là ∫ f ( x ) dx . Như vậy: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) +C 2). Tính chất: ∫kf ( x ) dx =k ∫ f ( x ) dx; ( k ≠0 ) a.TC1: ∫ f ( x ) ±g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx ±∫g ( x ) dx b.TC2:   ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C thì ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C . Nếu c.TC3: 3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ ( a, b ∈ ¡ & a ≠ 0 ) : ∫ dx = x + C dx 1 ∫ ax + b a = ln ax + b + C ∫ e dx = e x α +1 +C x x ∫ x dx = α + 1 + C , ( α ≠ −1) α ∫ sin xdx = − cosx + C 1 ∫e dx = e ax + C ax a ∫ cosxdx = sinx + C 1 ∫ sinaxdx = − a cosax + C π dx 1 ∫ cos2 x ∫ = tgx + C , x ≠ + kπ cosaxdx = sinax + C 2 a π dx dx 1 ∫ sin ∫ cos ax = a tgx + C , x ≠ 2 + kπ = − cot gx + C , x ≠ kπ 2 2 x dx dx 1 ∫ x = ln x + C , ( x ≠ 0 ) ∫ sin2 ax a = − cot gax + C , x ≠ kπ 4). Bài tập: Ghi nhớ: − Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hi ệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần. - 14 -
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần. − Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm. 1 1 Bài 1: Cho hai hàm số F ( x ) = x + sin2 x ; f ( x ) = cos x . 2 2 4 a. Chứng minh rằng F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) . π  b. Tìm nguyên hàm G ( x ) biết rằng G  ÷ = 0 . 4 cosx + cos2 x + cos3x Bài 2: Cho hàm số f ( x ) = . cos4 x − sin4 x Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) biết rằng F ( π ) = π . Bài 3: Cho hàm số f ( x ) = 2 cos x cos4 x . Tìm hàm số G ( x ) biết rằng 2 π  29 1 G′′ ( x ) = f ( x ) và G ( 0 ) = − ; G  ÷= − . 144  12  32 Bài 4: Cho hàm số f ( x ) = 8 sin x cosx cos2 x cos4 x . a. Giải phương trình f ′′ ( x ) + f ( x ) = 0 . b. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) biết rằng đồ thị của hàm số π  F ( x ) đi qua điểm M  − ;0 ÷. 8 sin x là nguyên hàm của f ( x ) . Hãy tìm các Bài 5: Biết rằng hàm số F ( x ) = 1 + cosx giá trị của x sao cho f ( x ) − f ′ ( x ) = 0 . Bài 6: Cho hàm số y = xe x . a. Tính y′ và y′ ( 2 ) . b. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x + 2007 ) e . x Bài 7: Cho hàm số f ( x ) = e sin x . Chứng minh rằng hàm số f ′ ( x ) − f ′′ ( x ) là x nguyên hàm của hàm số 2 f ( x ) . x 3 + 3x 2 + 3x − 1 Bài 8: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ,biết rằng x2 + 2x + 1 1 F ( 1) = . (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) 3 §2. TÍCH PHÂN : - 15 -
b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b) − F ( a) b 1). Định nghĩa: a a 2). Tính chất: b a ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx a. TC1: a b b b ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx (k ≠ 0) b. TC2: a a b b b ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx c. TC3:   a a a b c b ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx d. TC4: a a c b Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a;b ] thì ∫ f ( x ) dx ≥ 0 e. TC5: a b b Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a;b ] thì ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx f. TC6: a a b Nếu m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ [ a;b ] thì m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) g. TC7: a 3). Bài tập:  Ghi nhớ: − Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm. − Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số h ữu tỷ có bậc c ủa t ử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu. − Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuy ệt đ ối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đo ạn c ần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong d ấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. Bài 1: Tính các tích phân sau đây: π π ∫ cosx + sin x dx 4 ∫ a. cos2 x cosxdx b. π 0 4 x2 + 2 x + 3 e2 x + ln x 1 2 c. ∫ d. ∫ dx dx x +2 x −1 1 - 16 -
x Bài 2: Cho hàm số f ( x ) = và hàm số F ( x ) = ln x 2 + 1 . x +1 2 a. Chứng minh rằng F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) . 1 xdx ∫x b. Áp dụng câu a. tính . +1 2 0 Bài 3: Cho hàm số f ( x ) = x ln x − 2 x ln x . 2 a. Tính f ′ ( x ) . e b. Áp dụng câu a. tính ∫ ln xdx . 2 1 cosx − sin x là một nguyên hàm của f ( x ) . Hãy tính : Bài 4: Biết hàm số F ( x ) = cosx + sin x π 4 ∫ f ′ ( x ) dx . 0 §3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: β b ∫ f ϕ ( x ) .ϕ′( x ) dx = ∫ f ( t ) dt 1). Công thức tổng quát:   α a Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của f ϕ ( x )  (hàm số theo biến là ϕ ( x ) ) với đạo hàm của   hàm ϕ ( x ) . Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đ ặt cụ thể như sau: β ∫ f ( sinx ) .cosxdx . a). TH1: α → Đặt t = sin x → hoặc t = p sin x + q ( p, q ∈ ¡ ) → hoặc t = n p sin x + q nếu như biểu thức p sin x + q nằm trong n . β TH2: ∫ f ( cosx ) .sin xdx . b). α → Đặt t = cosx ( p, q ∈ ¡ ) → hoặc t = p cosx + q → hoặc t = n p cosx + q nếu như biểu thức p cosx + q nằm trong n . β 1 ∫ f ( lnx ) . x dx . c). TH3: α - 17 -
→ Đặt t = ln x → hoặc t = p ln x + q ( p, q ∈ ¡ ) → hoặc t = n p ln x + q nếu như biểu thức p ln x + q nằm trong dấu n . β 1 d). TH4: ∫ f ( tgx ) . cos2 x dx . α → Đặt t = tgx → hoặc t = ptgx + q ( p, q ∈ ¡ ) → hoặc t = n ptgx + q nếu như biểu thức ptgx + q nằm trong dấu n . β 1 e). TH5: ∫ f ( cotgx ) . sin . dx 2 x α → Đặt t = cotgx ( p, q ∈ ¡ ) → hoặc t = pcotgx + q → hoặc t = n pcotgx + q nếu như biểu thức pcotgx + q nằm trong n . 2). Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: π π 2 6 cosxdx ∫ 6 cosx + 1 sin xdx ∫ ( 2 sin x + 1) a. b. 3 π 0 3 e 19 dx xdx c. ∫ ∫ d. x ( 3 ln x + 2 ) x2 + 8 3 1 0 Bài 2: Tính các tích phân sau đây: π ( x − 2 ) dx 1 e 2 tgx dx 4 ∫x ∫ cos2 x a. b. − 4x + 5 2 0 0 π 4 2 dx dx ∫ ∫e c. d. ( ) 2 x +1 3 cot gx + 1 sin2 x x π 1 6 Bài 3: Tính các tích phân sau đây: π π 2 3 tgxdx b. ∫ sin x cos xdx 2 3 ∫ cos3 x a. π 0 6 π π 4 cos2 xdx 6 sin2 xdx ∫ ( sin x + cosx ) ∫ cos4 x − sin4 x c. d. 2 0 0 - 18 -
Bài 4: Tính các tích phân sau đây: π 3 3 3 a. sin xdx ∫ x 2 + 1x 3dx ∫ cos4 x b. 0 0 π π 4 dx 6 sin2 xdx ∫ tgx + tg x ∫ 2 sinx + 1 c. d. 3 π 0 6 §4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b b ∫ uv′dx = ( uv ) a − ∫ vu′dx b 1). Công thức tổng quát: a a b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b hay (1) a a 2). Các bước thực hiện: du = u′(x )dx (Ñaï haø )  u = u( x ) om ⇒ • Bước 1: Ñaë t dv = v′(x )dx  v = v(x ) (nguyeâ haø ) nm • Bước 2: Thế vào công thức (1). b • Bước 3: Tính ( uv ) a và suy nghĩ tìm cách tính tiếp ∫ vdu b a (tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét). 3). Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần: Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có d ạng như sau: b a). Dạng 1: ∫ p ( x ) .q ( x ) dx a Trong đó p ( x ) là hàm số đa thức, còn q ( x ) là hàm sinα (x ) hoặc cosα (x ) .  u = p( x) → Trong trường hợp này ta đặt:  dv = q ( x ) dx  Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào b b công thức ta được ∫ vdu phức tạp hơn ∫ udv ban đầu. a a - 19 -
b b). Dạng 2: ∫ p ( x ) .q ( x ) dx a Trong đó p ( x ) là hàm số đa thức, còn q ( x ) là hàm logarit.  u = q( x) → Trong trường hợp này ta đặt:  dv = p ( x ) dx Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra v từ dv . 4). Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: π π π ∫( x + 2 x ) cosxdx ∫ ( 2 x + 1) sinxdx 4 2 ∫ x cos xdx a. b. c. 2 0 0 0 π 1 1 3x − 2 ∫ ( x + 1) 4 ∫ e x dx xdx 2 2x e dx ∫ cos2 x d. e. f. 0 0 0 1 1 ∫( x + e ) x2 g. ∫ (x − 3)2 dx x dx h. 0 0 Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 3 1 ∫ ( 3x + 1) ln xdx b. ∫ x ln( x + 1) dx 2 a. 1 0 e 1 d. ∫ x ln( x + 1) dx c. ∫ ln xdx 2 2 1 0 §5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính các tích phân sau đây: π π ( cot g x + sin2 x ) dx ( lnx + x e ) dx ( 1 − cosx ) dx 2 2x 2 2 2 ∫ ∫ ∫ a. b. c. sin2 x sin2 x x π π 1 6 6 π π 1 1  sin x cosxdx 1 d.   2 2 e. ∫ f. ∫  2 −x ÷xdx ∫  3 cosx + 1 + x ÷sinxdx cos2 x + 1 x +2 e 0  0  0 π 1   2 g. ∫  cos2 x + h. ∫ x ln 3x + 1dx 2 ÷cos2 xdx sin2 x + 3  0 0 §6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) ; x = a; x = b - 20 -