Trang 1
CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
* PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I
(3,0 điểm)
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực
trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước,
tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)...
Câu II (3,0 điểm)
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
Câu III (1,0 điểm)
Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích
khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
* PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2). Theo
chương trình Chuẩn
Câu IV.a (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.a (1,0 điểm)
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương trình bậc
hai hệ số thực có biệt thức Delta âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Theo
chương trình Nâng cao
Câu IV.b (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí
tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.b (1,0 điểm)
- Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình bậc hai với
hệ số phức; dạng lượng giác của số phức.
- Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax
2
+ bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lôgarit.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
------------- Hết -------------
ｔ￀ｉ＠ｌｉ󰹧ｕ＠
ￔｎ＠ｔｈｉ＠ｔ󰹱ｔ＠ｎｇｈｉ󰹧ｐ＠＠ｍￔｎ＠ｔｏ￁ｎ＠ＲＰＱＴ
HOÀNG THÁｉ＠ｖｉỆｔ＠
＠＠＠＠＠Đｈ＠＠ｂ￁ｃｈ＠ｋｈｏａ＠Đ￀＠ｎ󰹕ｎｇ
＠＠＠＠＠＠ｓĐｔＺ＠＠＠ＰＱＶＹＵＳＱＶＸＷＵ＠＠＠Ｍ＠＠ｌｔĐｈ



 
Trang 2
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG ĐẶC BIỆT
Cung/
GTLG 0
(
0
0
)
6
π
(
0
30
)
4
π
(
0
)
3
π
0
(60 )
2
π
0
(90 )
2
π
(
0
120
)
3
π
(
0
135
)
5
π
(
0
150
)
π
(
0
180
)
sin 0
1
2
3
1
3
2
1
0
cos 1
3
2
1
0
1
2
−
3
−
-1
tan 0
3
1
3
||
3
−
-1
3
−
0
cot ||
3
1
3
0
3
−
-1
3
−
||
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
tan tan
tan( ) ,( , , )
1 tan tan 2
tan tan
tan( ) ,( ,
1 tan tan
π π
− = +
+ = −
− = −
+ = +
+
+ = ≠ + ∈
−−
− = ≠
+
ℤ
a b a b a b
a b a b a b
a b a b b a
a b a b b a
a b
a b a b k k
a b
a b
a b a b
a b
, )
2
π π
+ ∈
ℤ
k k
2. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
a a a
a a a a a
a
a
a
=
= − = − = −
=
−
3. Công thức hạ bậc
2 2
2
1 cos 2 1 cos 2
cos tan
2 1 cos 2
1 cos 2
sin
2
a a
a a
a
a
a
+ −
= = +
−
=
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= − + +
6. Các hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
2
2
sin 1
1
1 tan , ,
2
1
1 cot , ,
sin
tan .cot 1, ,
2
a cos a
a a k k
cos a
a a k k
a
k
a a a k
π π
π
π
+ =
+ = ≠ + ∈
+ = ≠ ∈
= ≠ ∈
ℤ
ℤ
ℤ
5. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )
tan tan cos cos
sin( )
cot cot
cos cos
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+
+ =
−
+ =
OAØNAÙ IIEÄÑKÑN-01695316875



 
Trang 3
IV. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY DÙNG
2 2 2 2
2
3 3
sin cos 2 sin 2
4 4
cos4x = 2cos 2 1 1 2sin 2 2 sin 2
(sinx cosx) 1 sin 2
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
π π
+ = + = −
− = − = −
± = ±
+ = + −
x x x cos x
x x cos x x
x
x x x x x
6
3 3
4 4 2
4 4 2 2
6 2
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
1
sin cos 1 sin 2
2
sin cos sin cos
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x x x
x x x
x x x x
x x x
− = − +
+ = −
− = −
+ = −
III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Phương trình sinx = a Phương trình cosx = a
2
sin sin ;
2
α π
α π α π
= +
= = ⇔ ∈
= − +
ℤ
sin 2
sin ;
sin 2


π
π π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
2
s s ;
2
α π
α α π
= +
= = ⇔ ∈
= − +
ℤ
 
2;
2
π
π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ



Phương trình tanx = a (ĐK:
π π
≠ + ∈
ℤ
,
2
) Phương trình cotx = a (ĐK:
π
≠ ∈
ℤ
,
)
tan tan ;
α α π
= = ⇔ = + ∈
ℤ
tan arctan ;
π
= ⇔ = + ∈
ℤ
cot t ;
α α π
= = ⇔ = + ∈
ℤ

cot cot ;
π
= ⇔ = + ∈
ℤ

IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình asinx + bcosx = c
asinx + bcosx = c
2 2
sin( )
a b x c
α
⇔ + + =
. Trong đó
2 2 2 2
;sin
a b
cos
a b a b
α α
= =
+ +
2. Phương trình
2 2
a x b x x c x d
+ + =
sin sin cos cos
- Kiểm tra xem cosx = 0 có là nghiệm của phương trình không ?.
- Nếu
cos 0
x
≠
, chia cả 2 vế của phương trình cho
2
cos x
, ta được:
2 2
tan (1 tan )
a x btanx c d x
+ + = +
BẢNG ĐẠO HÀM
'
( )
x
α
=
1
.
x
α
α
−
'
1
=
2
1
−
'
( )
x
=
1
2
x
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = - sinx
(tanx)’ =
2
1
x
(cotx)’ =
2
1
x
−
'
( )
u
α
=
1
. '. u u
α
α
−
'
1
=
2
'
u
−
'
( )
u
=
'
2
u
u
(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’ = -u’.sinu
(tanu)’ =
2
'
u
u
(cotu)’ =
2
'
u
u
−
'
)(
x
e = e
x
'
)(
x
a
= a
x
.lna
(ln| x |)’ =
x
1
(log
a
| x |)’ =
1
x a
'
)(
u
e = u’.e
u
'
)(
u
a
= u’.a
u
.lna
(ln| u |)’ =
u
u'
(log
a
| u |)’ =
a
u
u
ln
'
(u
±
v)’ = u’
±
v’
(uv)’ = u’v + v’u
(ku)’ = k.u’
'
u
=
2
' '
u v v u
−
2
. .
'
( )
ax b a d b c
y y
cx d cx d
+ −
= ⇒=
+ +
OAØNAÙ IIEÄÑKÑN-01695316875



 
Trang 4
Chương I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3, BẬC 4
1. Các bước khảo sát
- Tập xác định: D = R ;
- Tính đạo hàm y’, giải phương trình y’ = 0 và tìm các điểm cực trị ;
- Tính các giới hạn
lim
x
y
→−∞

lim
x
y
→+∞

- Lập BBT, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số ;
ẽđồ thị.
Tìm điểm đặc biệt: Tâm đối xứng của đồ thị, giao với các trục Ox, Oy …
2. Các dạng của đồ thị
Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4
Có cực đại và cực tiểu Có cực đại và cực tiểu
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
Không có cực trị Có cực đại hoặc cực tiểu
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
3. Các ví dụ
Hàm số bậc ba Hàm số bậc bốn
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 4
y x x
= + −
Giải
* Taäp xaùc ñònh: D = R
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)
y x x x x
= + = +
Cho
0 4
' 0 3 ( 2) 0
2 0
x y
y x x x y
= ⇒= −
= ⇔ + = ⇔
= − ⇒=
* Giới hạn:
lim
x
y
→−∞
= −∞
;
lim
x
y
→+∞
= +∞
* Baûng bieán thieân:
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 3
y x x
= − −
ải
* Taäp xaùc ñònh: D = R
* Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( 1)
y x x x x
= − = −
Cho
2
1 4
' 0 4 ( 1) 0
0 3
x y
y x x x y
= ± ⇒= −
= ⇔ − = ⇔
= ⇒= −
* Giới hạn:
lim
x
y
→−∞
= +∞
;
lim
x
y
→+∞
= +∞
* Baûng bieán thieân:
PHẦN GIẢI TÍCH
OAØNAÙ IIEÄÑKÑN-01695316875



 
Trang 5
x
−∞
-2 0 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y 0
+∞
−∞
-4
* Nhận xét :
+ HS đồng biến trên
( ; 2)1
−∞ −
và
(0; )
+∞
, nghịch
biến trên (-2 ; 0).
+ HS đạt cực đại tại x = -2 ; y
CĐ
= 0, đạt cực tiểu
tại x = 0 ; y
CT
= -4.
* Đồ thị:
+ Ñoà thò nhaän ñieåm I(-1 ; -2) laøm taâm ñoái xöùng.
+ Cho
1 0
x y
= ⇒=
.
+ Cho
3 4
x y
= − ⇒= −
.
x
−∞
-1 0 1 +
∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞
-3
+∞
-4 -4
* Nhận xét:
+ HS đồng biến trên
( 1;0) −
và
(1; )
+∞
,
nghịch
biến trên
( ; 1)
−∞ −
và
(0;1)
.
+ HS đạt cực đại tại x = 0 ; y
CĐ
= -3, đạt cực tiểu
tại x =
1 ±
; y
CT
= -4.
* Đồ thị:
+ Cho
2 5
x y
= − ⇒=
.
+ Cho
2 5
x y
= ⇒=
.
II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
ax b
y
cx d
+
=
+
,
d
x
c
≠ −
Các bước khảo sát Ví dụ
* TXĐ: D = \
d
R
c
− .
* Tính đạo hàm '
2
( )
ad bc
y
cx d
−
=+.
* Giới hạn, tiệm cận.
lim ?
d
x c
y
+
→−
=
,
lim ?
d
x c
y
−
→−
=
⇒
Tiệm cận đứng:
d
x
c
= −
.
lim
x
a
y
c
→+∞
=
,
lim
x
a
y
c
→−∞
=
⇒
Tiệm cận ngang: y =
a
.
* Lập bảng biến thiên:
y’ > 0 y’ < 0
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
x
y
x
+
=
−
ải
* Tập xác định:
\{1}
D
=
ℝ
* Đạo hàm:
2
2
' 0
( 1)
y x
−
= <
−
x D
∀ ∈
.
* Giới hạn, tiệm cận:
+ Vì
1 1
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
= +∞ = −∞
neân TCÑ: x = 1.
+ Vì
lim 1
x
y
→±∞
=
neân tieäm caän ngang laø y = 1.
* Baûng bieán thieân:
x
−∞
1 +
∞
y’ - -
y
1
+∞
−∞
1
* Nhận xét:
OAØNAÙ IIEÄÑKÑN-01695316875