zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Tài liệu Ôn thi tốt nghiệp môn Toán 2014 - Hoàng Thái Việt

Chia sẻ: Nguyễn Văn Cường | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Báo xấu

96
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Ôn thi tốt nghiệp môn Toán 2014 do Hoàng Thái Việt biên soạn nhằm giúp cho các bạn biết được cấu trúc đề thi cũng như củng cố cho các bạn những kiến thức về khảo sát, vẽ đồ thị hàm số; hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit; nguyên hàm, tích phân, ứng dụng;... Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Ôn thi tốt nghiệp môn Toán 2014 - Hoàng Thái Việt

TÀI LI U n ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 2014 HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BÁCH KHOA ĐÀ N NG SĐT: 01695316875 - LTĐH CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN * PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm) - Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. - Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)... Câu II (3,0 điểm) - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. - Tìm nguyên hàm, tính tích phân. - Bài toán tổng hợp. Câu III (1,0 điểm) Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. * PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2). Theo chương trình Chuẩn Câu IV.a (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu V.a (1,0 điểm) - Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức Delta âm. - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Theo chương trình Nâng cao Câu IV.b (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu V.b (1,0 điểm) - Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác của số phức. - Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan. - Sự tiếp xúc của hai đường cong. - Hệ phương trình mũ và lôgarit. - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. -------------Trang 1 Hết -------------
Taøi lieäu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 oát nghie äp nTHP moân Toaù MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG ĐẶC BIỆT π π π π 2π 3π 5π Cung/ π 0 6 4 3 2 3 4 6 GTLG (0 ) 0 ( 30 ) 0 ( 45 ) 0 (60 ) 0 (90 ) 0 ( 120 ) 0 ( 1350 ) ( 1500 ) ( 180 0 ) 1 2 3 3 2 1 sin 0 2 2 2 1 2 2 2 0 3 2 1 1 2 3 − − − cos 1 2 2 2 0 2 2 2 -1 3 3 − tan 0 3 1 3 || − 3 -1 3 0 3 3 − cot || 3 1 3 0 3 -1 − 3 || II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin 2a = 2sin a cos a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a 2 tan a tan 2a = sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a 1 − tan 2 a tan a + tan b π 3. Công thức hạ bậc tan(a + b) = ,(a, b ≠ + kπ , k ∈ ℤ) 1 + cos 2a 1 − cos 2a 1 − tan a tan b 2 cos 2 a = tan 2 a = tan a − tan b π 2 1 + cos 2a tan(a − b) = ,(a, b ≠ + kπ , k ∈ ℤ) 1 − cos 2a 1 + tan a tan b 2 sin 2 a = 2 4. Công thức biến đổi tích thành tổng 5. Công thức biến đổi tổng thành tích 1 a+b a −b cos a cos b = [ cos(a − b) + cos(a + b)] cos a + cos b = 2cos .cos 2 2 2 1 a+b a −b sin a sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)] cos a − cos b = −2sin .sin 2 2 2 1 a+b a −b sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b) ] sin a + sin b = 2sin .cos 2 2 2 6. Các hằng đẳng thức lượng giác a+b a −b sin 2 a + cos 2 a = 1 sin a − sin b = 2cos .sin 2 2 1 π sin(a + b) 1 + tan 2 a = 2 , a ≠ + kπ , k ∈ ℤ tan a + tan b = cos a 2 cos a cos b 1 sin(a − b) 1 + cot 2 a = , a ≠ kπ , k ∈ ℤ cot a + cot b = sin 2 a cos a cos b kπ tan a.cot a = 1, a ≠ ,k ∈ℤ 2 Trang 2
Taøi lieäu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 oát nghie äp nTHP moân Toaù IV. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY DÙNG  π  π  1  sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2cos  x −  sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x )  1 + sin 2 x   4  4  2  cos4x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x = cos 2 x − sin 2 x sin 4 x + cos 4 x = 1 − 1 sin 2 2 x 2 2 2 2 (sinx ± cosx) 2 = 1 ± sin 2 x 2 sin x − cos x = sin x − cos 2 x 4 4 2  1  sin x + cos x = (sin x + cos x)  1 − sin 2 x  3 3 3  2  sin x + cos 6 x = 1 − sin 2 2 x 6 4 III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = a Phương trình cosx = a  x = α + k 2π  x = α + k 2π sin x = a = sin α ⇔  ;k ∈ℤ co s x = a = co s α ⇔  ; k ∈ℤ  x = π − α + k 2π  x = −α + k 2π  x = arc sin a + k 2π  x = arccosa + k 2π sin x = a ⇔  ;k ∈ℤ cosx = a ⇔  ;k ∈ ℤ  x = π − arc sin a + k 2π  x = −arccosa + k 2π π Phương trình cotx = a (ĐK: x ≠ kπ , k ∈ ℤ ) Phương trình tanx = a (ĐK: x ≠ + kπ , k ∈ ℤ ) 2 tan x = a = tan α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ cot x = a = co t α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ ; k ∈ ℤ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ ; k ∈ ℤ IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. Phương trình asinx + bcosx = c a b asinx + bcosx = c ⇔ a 2 + b 2 sin( x + α ) = c . Trong đó cosα = ;sin α = a 2 + b2 a2 + b2 2. Phương trình a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d - Kiểm tra xem cosx = 0 có là nghiệm của phương trình không ?. - Nếu cos x ≠ 0 , chia cả 2 vế của phương trình cho cos 2 x , ta được: a tan 2 x + btanx + c = d (1 + tan 2 x) BẢNG ĐẠO HÀM ( xα )' = α .xα −1 (sinx)’ = cosx (u α )' = α .u '.uα −1 (sinu)’ = u’.cosu ' (cosx)’ = - sinx ' (cosu)’ = -u’.sinu 1 1 1 1 u' u'  = − 2 (tanx)’ =   = − (tanu)’ =  x x cos 2 x u u2 cos 2 u 1 1 u' u' ( x )' = (cotx)’ = − 2 ( u )' = (cotu)’ = − 2 2 x sin x 2 u sin u (e x ) ' = ex (e u ) ' = u’.eu (u ± v)’ = u’ ± v’ ax + b a.d − b.c y= ⇒ y'= (a x ) ' = ax.lna (a u ) ' = u’.au.lna (uv)’ = u’v + v’u cx + d (cx + d ) 2 (ku)’ = k.u’ 1 u' ' (ln| x |)’ = (ln| u |)’ = u u ' v − v 'u x u   = 1 u' v v2 (loga| x |)’ = (loga| u |)’ = x ln a u ln a Trang 3
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù PHẦN GIẢI TÍCH Chương I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3, BẬC 4 1. Các bước khảo sát - Tập xác định: D = R ; - Tính đạo hàm y’, giải phương trình y’ = 0 và tìm các điểm cực trị ; - Tính các giới hạn lim y ; lim y ; x →−∞ x →+∞ - Lập BBT, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số ; - Vẽ đồ thị. Tìm điểm đặc biệt: Tâm đối xứng của đồ thị, giao với các trục Ox, Oy … 2. Các dạng của đồ thị Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4 Có cực đại và cực tiểu Có cực đại và cực tiểu a>0 a0 a0 a0 a
Taøi lieäu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 oát nghie äp nTHP moân Toaù x −∞ -2 0 +∞ x −∞ -1 0 1 +∞ y’ + 0 - 0 + y’ - 0 + 0 - 0 + 0 +∞ +∞ -3 +∞ y −∞ -4 y * Nhận xét : -4 -4 + HS đồng biến trên (−∞; −2)và (0; +∞) , nghịch * Nhận xét: biến trên (-2 ; 0). + HS đồng biến trên (−1;0) và (1; +∞) , nghịch + HS đạt cực đại tại x = -2 ; yCĐ = 0, đạt cực tiểu biến trên (−∞; −1) và (0;1) . tại x = 0 ; yCT = -4. + HS đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = -3, đạt cực tiểu * Đồ thị: tại x = ±1 ; yCT = -4. + Ñoà thò nhaän ñieåm I(-1 ; -2) laøm taâm ñoái xöùng. * Đồ thị: + Cho x = 1 ⇒ y = 0 . + Cho x = −2 ⇒ y = 5 . + Cho x = −3 ⇒ y = −4 . + Cho x = 2 ⇒ y = 5 . ax + b  d II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC y = cx + d , x ≠ − c    Các bước khảo sát Ví dụ  d Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số * TXĐ: D = R \ −  .  c x +1 y= ad − bc x −1 * Tính đạo hàm y ' = . (cx + d ) 2 Giải * Giới hạn, tiệm cận. * Tập xác định: D = ℝ \{1} −2 lim + y = ? , lim − y = ? ⇒ Tiệm cận đứng: x = − d . * Đạo hàm: y ' = < 0 ∀x ∈ D . d d c ( x − 1)2 x →− x →− c c * Giới hạn, tiệm cận: a a a lim y = , lim y = ⇒ Tiệm cận ngang: y = . + Vì lim y = +∞ ; lim y = −∞ neân TCÑ: x = 1. x →+∞ c x →−∞ c c x →1+ x →1− * Lập bảng biến thiên: + Vì lim y = 1 neân tieäm caän ngang laø y = 1. x →±∞ y’ > 0 y’ < 0 * Baûng bieán thieân: x −∞ 1 +∞ y’ - - 1 +∞ y −∞ 1 * Nhận xét: Trang 5
Taøi lieäu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 oát nghie äp nTHP moân Toaù + HS luôn nghịch biến trên ( −∞;1) và (1; +∞ ) . * Vẽ đồ thị. + HS không có cực trị. Tìm điểm đặc biệt: giao với trục Ox, Oy. * Đồ thị: + Cho x = 0 ⇒ y = −1 . Lưu ý: + Cho y = 0 ⇒ x = −1 . - Đồ thị đối xứng qua điểm I là giao điểm của TCĐ và TCN. - Trục hoành: y = 0. - Trục tung: x = 0. BÀI TẬP Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1. y = x 3 + 3 x 2 − 1 5. y = 2 x 3 − 3 x 2 9. y = − x 3 + 3 x 2 − 1 2. y = x 3 − 3 x 2 + 1 6. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x 10. y = − x 3 + 3 x − 2 3. y = x 3 + 3 x 2 7. y = − x 3 + 3 x 2 11. y = − x 3 − 3 x 2 + 2 4. y = x 3 − 3 x 2 + 2 8. y = −2 x3 + 3 x 2 + 1 12. y = − x 3 + 3 x 2 − 4 13. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 Bài tập 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1. y = x 4 − 2 x 2 − 1 4. y = 2 x 4 − 4 x 2 − 1 x4 3 7. y = − x2 − 2. y = 2 x 2 − x 4 5. y = x 4 − 2 x 2 − 2 2 2 1 6. y = x 4 − 2 x 2 + 1 8. y = − x + 4 x 4 2 3. y = − x 4 + 2 x 2 + 1 4 Bài tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: x −1 2x − 3 3x + 5 −2 x + 1 1. y = 4. y = 7. y = 10. y = x+2 x +1 2x + 2 x+2 x −1 x+3 3x − 2 2x +1 2. y = 5. y = 8. y = 11. y = x−2 x −1 x +1 x−2 2x −1 3x + 1 2x + 1 x+2 3. y = 6. y = 9. y = 12. y = x +1 x −1 x−2 x +1 x +1 13. y = x−2 Trang 6
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI TOÁN 1: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên TXĐ 1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2 Cho tam thức bậc 2: f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) có ∆ = b 2 − 4ac . Khi đó: - Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ . b - Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ , trừ x = − . 2a - Nếu ∆ > 0 , giả sử tam thức có 2 nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ) ta có bảng xét dấu: x -∞ x1 x2 +∞ f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a 2. Định giá trị của m Đối với hàm bậc 3 y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) ax + b  ,  x ≠ −  d Đối với hàm nhất biến y = - Tập xác định: D = R cx + d  c - Đạo hàm: y ' = 3ax + 2bx + c . 2  d a.d − b.c TXĐ: D = R \ −  . Đạo hàm: y ' =  c (cx + d )2 y đồng biến trên D y nghịch biến trên D y đồng biến trên từng y nghịch biến trên từng ⇔ y ' ≥ 0 , ∀x ∈ D ⇔ y ' ≤ 0 , ∀x ∈ D khoảng của D khoảng của D a > 0 a < 0 ⇔ y ' > 0 , ∀x ∈ D ⇔ y ' < 0 , ∀x ∈ D ⇔ ⇔ ∆ ≤ 0 ∆ ≤ 0 ⇔ ad − bc > 0 ⇔ ad − bc < 0 Ví dụ: Định m để hàm số (2m − 1) x + 3 Ví dụ: Định m để hàm số y = đồng 1 y = x3 + mx 2 + (m + 6) x − (2m + 1) đồng biến trên x+m 3 biến trên tập xác định. tập xác định. Giải. Tập xác định: D = R\{-m} Giải. Tập xác định: D = R m(2m − 1) − 3 2m2 − m − 3 Ta có y ' = = . y ' = x 2 + 2mx + m + 6 có ∆ 'y ' = m 2 − .1(m + 6) ( x + m) 2 ( x + m) 2 = m2 − m − 6 Để HS đồng biến trên TXĐ thì Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì  m < −1 a = 1 > 0 y ' > 0 ⇔ 2m − m − 3 > 0 ⇔  2 . ⇔ −2 < m < 3 . m > 3  2 3  2 m − m − 6 < 0 BÀI TẬP 1. Cho hàm số y = x 3 + (m + 2) x 2 − (m − 1) x − 2 (1). Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 2. Cho hàm số y = 2 x3 + 3 x 2 − 2mx + 1 (1). Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 1 3. Cho hàm số y = (m2 − 1) x3 + (m − 1) x 2 − 2 x + 1 (1). Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác 3 định của nó. Trang 7
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù BÀI TOÁN 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a ; b] Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a ; b]. Phương pháp Ví dụ * Tính đạo hàm y’. Ví dụ. Tìm GTLN và GTNN của hàm số * Giải y’ = 0 tìm nghiệm x1 , x2 … ∈ (a; b) y = x 3 − 3x 2 + 2 trên đoạn [-1 ; 1]. * Tính các giá trị y (a), y (b), y( x1 ), y ( x2 )... Giải * Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số * Đạo hàm: y ' = 3x − 6 x = 3x( x − 2) 2 trên, ta có:  x = 0(nhaän) max y = M min y = m Cho y’ = 0 ⇔ 3 x ( x − 2) = 0 ⇔  [a;b] [a;b]  x = 2(loaïi) * Ta có y(-1) = -2 ; y(0) = 2 ; y(1) = 0 * Vậy: max y = 2 đạt được tại x = 0. [−1;1] min y = −2 đạt được tại x = -1. [−1;1] BÀI TẬP 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x − 3x + 1 trên đoạn [0 ; 2] (TN THPT 2007). 3 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 trên đoạn [0 ; 2] (TN THPT 2008 – Lần 1). 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2 x3 − 6 x 2 + 1 trên đoạn [-1 ; 1] (TN THPT 2008 – Lần 2). 1 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x3 − 2 x 2 + 3x − 7 trên đoạn [0 ; 2]. 3 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 2 − ln(1 − 2 x ) trên đoạn [-2 ; 0] (TN THPT 2009). 6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = (3 − x)e x trên đoạn [3 ; 3]. 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x − e2 x trên đoạn [-1 ; 0]. BÀI TOÁN 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của hàm số y = f(x) có đồ thị (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ đồ thị (C) và có hệ số góc k = f '( x0 ) là: y − y0 = k ( x − x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) Các bài toán thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y = f(x). 1. Tại điểm có hoành độ là x0, (tung độ y0 ) biết trước. Cách giải: Thay x0, ( y0 ) vào phương trình của (C) ta tìm được y0, ( x0 ) tương ứng. Lưu ý: + Tại giao của đồ thị (C) với trục tung: Ta có x0 = 0. + Tại giao của đồ thị (C) với trục hoành: Ta có y0 = 0. 2. Có hệ số góc k cho trước. Cách giải: Từ phương trình k = f’( x0 ) ta tìm được x0 từ đó tìm được y0 . 3. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) y = ax + b. Cách giải: Vì tiếp tuyến // d ⇒ k = a , từ phương trình k = f’( x0 ) = a ta tìm được x0 từ đó tìm y0 . 4. Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d) y = ax + b. Cách giải: Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên k.a = -1 từ đó suy ra được k, từ phương trình Trang 8
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù k = f’( x0 ) = a ta tìm được x0 từ đó tìm y0 . x −1 Ví dụ 1. Cho hàm số y = , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) . x+2 1. Tại điểm có hoành độ bằng -1 ; 2. Tại điểm có tung độ bằng 2 ; 3. Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành ; 4. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung. 3 Giải. y'= . ( x + 2)2 1. Theo đề bài ta có x0 = -1 ⇒ y0 = y (−1) = −2 . Mặt khác hệ số góc k = y’(-1) = 3. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 3(x + 1) hay y = 3x + 1. x0 − 1 2. Theo đề bài ta có y0 = 2 ⇒ = 2 ⇒ x0 − 1 = 2( x0 + 2) ⇒ x0 = −5 . x0 + 2 1 Mặt khác hệ số góc k = y’(-5) = . 3 1 x 11 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y - 2 = (x + 5) hay y = + . 3 3 3 x0 − 1 1 3. Theo đề bài ta có y0 = 0 ⇒ = 0 ⇒ x0 = 1 . Mặt khác hệ số góc k = y’(1) = . x0 + 2 3 1 1 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 = (x - 1) hay y = x - . 3 3 3 1 3 4. Theo đề bài ta có x0 = 0 ⇒ y0 = - . Mặt khác hệ số góc k = y’(0) = . 2 4 1 3 3 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = (x - 0) hay y = x - . 2 4 4 2 2x Ví dụ 2. Cho hàm số y = , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C) x −1 1. Tại điểm có hệ số góc bằng -2. 1 2. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = − x . 2 9 3. Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = x + 1 . 2 −2 Giải y'= . ( x − 1) 2 −2  x0 = 0 1. Theo đề bài ta có y '( x0 ) = −2 ⇔ = −2 ⇔ ( x0 − 1)2 = 1 ⇔ x02 − 2 x0 = 0 ⇔  . ( x0 − 1)  x0 = 2 2 Với x0 = 0 ⇒ y0 = 0 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 = -2(x – 0) hay y = -2x. Với x0 = 2 ⇒ y0 = 4 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 4 = -2(x – 2) hay y = -2x + 8. 1 1 2. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x nên tiếp tuyến có hệ số góc k = y '( x0 ) = − . 2 2 1 −2 1  x0 = 3 Ta có y '( x0 ) = − ⇔ = − ⇒ ( x0 − 1) 2 = 4 ⇒ x02 − 2 x0 − 3 = 0 ⇒  . ( x0 − 1)  x0 = −1 2 2 2 1 1 9 Với x0 = 3 ⇒ y0 = 3 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − 3 = − ( x − 3) hay y = − x + . 2 2 2 1 1 1 Với x0 = −1 ⇒ y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − 1 = − ( x + 1) hay y = − x + . 2 2 2 Trang 9
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑN - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù 9 2 3. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x nên tiếp tuyến có hệ số góc k = y '( x0 ) = − . 2 9 Đến đây làm tương tự câu 2. 2 32 2 8 Đáp án: Có 2 tiếp tuyến thoả mãn là y = − x + và y = − x + . 9 9 9 9 BÀI TẬP 2x + 3 1. Viết PTTT với đồ thị hàm số y = tại điểm có hoành độ x0 = −3 (TN THPT 2006). x +1 2. Cho HS y = x 4 − 2 x 2 + 1 có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007). 3x − 2 3. Cho HS y = có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ = -2 (TN THPT 2008). x +1 2x +1 4. Cho HS y = có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5 (TN x−2 THPT 2009). 1 3 5. Cho HS y = x 4 − 3 x 2 + có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 2 2 2x − 3 6. Cho HS y = có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường 1− x thẳng y = -x + 3. BÀI TOÁN 4: Dùng đồ thị (C) y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m Phương pháp - Biến đổi, đưa phương trình về dạng: f(x) = m (1). - Đặt: y = f(x) (C). y=m (d) là đường thẳng song song với trục Ox. - Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị, ta có: Hàm bậc 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d Hàm bậc 4: y = ax 4 + bx 2 + c Đồ thị Biện luận Đồ thị Biện luận m > yCD * m < yCT : (1) vô nghiệm. *  : (1) có 1 nghiệm.  m < yCT * m = yCT : (1) có 2 nghiệm. m = y CD * yCT < m < yCD : (1) có *  : (1) có 2 nghiệm.  m = yCT 4 nghiệm. * m = yCD : (1) có 3 nghiệm. * yCT < m < yCD : (1) có 3 nghiệm. * m > yCD : (1) có 2 nghiệm. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 − 3 x . Dựa vào đồ thị (C), biện luận hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1 . Dựa vào đồ thị (C), biện theo m số nghiệm của phương trình luận theo m số nghiệm của phương trình x3 − 3x + 1 − m = 0 . x4 − 2x2 − m + 1 = 0 . Giải Giải * Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm * Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: (học sinh tự làm). số: (học sinh tự làm). * Đồ thị: * Đồ thị: Trang 10
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù * Ptrình x3 − 3 x + 1 − m = 0 ⇔ x3 − 3 x = m − 1 (1) * Ptrình x 4 − 2 x 2 − m + 1 = 0 ⇔ x 4 − 2 x 2 − 1 = m − 2 (1) * Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị * Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m – 1. Dựa vào đồ thị (C) với đường thẳng y = m – 2. Dựa vào đồ thị (C), (C), ta có: ta có: + Nếu m − 2 < −2 ⇔ m < 0 thì phương trình (1) vô  m − 1 < −2  m < −1 + Nếu  ⇔ thì phương trình (1) nghiệm. m − 1 > 2 m > 3 + Nếu m − 2 = −2 ⇔ m = 0 thì phương trình (1) có 2 có 1 nghiệm. nghiệm.  m − 1 = −2  m = −1 + Nếu −2 < m − 2 < −1 ⇔ 0 < m < 1 thì phương trình + Nếu  ⇔ thì phương trình (1) m −1 = 2 m = 3 (1) có 4 nghiệm. có 2 nghiệm. + Nếu m − 2 = −1 ⇔ m = 1 thì phương trình (1) có 3 + Nếu −2 < m − 1 < 2 ⇔ −1 < m < 3 thì phương trình nghiệm. (1) có 3 nghiệm. + Nếu m − 2 > −1 ⇔ m > 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm. Chú ý: Phương pháp biện luận trên chỉ áp dụng cho trường hợp hàm bậc 3 hoặc bậc 4 có cả điểm cực đại và điểm cực tiểu. Ví dụ: Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 2 , gọi đồ thị của Ví dụ: Cho hàm số y = − 1 x 4 + 2 x 2 , gọi đồ thị của hàm số là (C). 4 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số là (C). hàm số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của 2. Tìm các giá trị của m để phương trình hàm số. x 3 − 3 x 2 + 2 + m + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 2. Tìm các giá trị của m để phương trình 1 Giải − x 4 + 2 x 2 − 2m + 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. 1. Học sinh tự làm. 4 Giải 1. Học sinh tự làm. 2. Tìm các giá trị của m … x 3 − 3 x 2 + 2 + m + 1 = 0 ⇔ − x 3 + 3 x 2 − 2 = m + 1 (1) Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị 2. Tìm các giá trị của m … (C) với đường thẳng y = m + 1. Để phương trình 1 1 có 3 nghiệm phân biệt thì: − x 4 + 2 x 2 − 2 m + 1 = 0 ⇔ − x 4 + 2 x 2 = 2m − 1 −2 < m + 1 < 2 ⇔ −3 < m < 1 . 4 4 Trang 11
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù Số nghiệm của PT trên là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = 2m - 1. Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì: 1 5 0 < 2m − 1 < 4 ⇔
Ta iø lie uä o nâ thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o tá nghie pä nTHP mo nâ Toaù  y '( x0 ) = 0 Ta có y ' = mx 2 + 2(m − 1) x + 3m 2 − 4m ⇒ y '' = 2mx + 2(m − 1) Điểm x0 là điểm cực tiểu ⇔  .  y ''( x0 ) > 0 Để hàm số nhận điểm x = 1 làm điểm cực đại thì  2  m = 1∨ m = −  y '(1) = 0 3m − m − 2 = 0 2 3 2  ⇔ ⇔ ⇔m=− .  y ''(1) < 0  4m − 2 < 0 m < 1 3  2 BÀI TẬP 1. Cho hàm số y = x − (m + 3) x + mx + 5 . Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 2. 3 2 1 2. Cho hàm số y = x3 − mx 2 + (m 2 − m + 1) x + 1 . Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. 3 3. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + ( m 2 − 1) x + 2 . Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 2. BÀI TOÁN 7: Chứng minh hàm số y = f(x, m) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m Phương pháp Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị hàm số Chứng tỏ f’(x, m) luôn có nghiệm và đổi dấu khi x y = x3 − mx 2 − 2 x + 1 luôn có một điểm cực đại và đi qua các nghiệm đó. một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m. - Với hàm số bậc 3, chứng tỏ y’ = 0 có delta dương Giải với mọi m. * Tập xác định: D = R. - Với hàm số bậc 4, cần theo yêu cầu bài toán để * Đạo hàm: y ' = 3 x 2 − 2mx − 2 tìm m sao cho y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc 3 nghiệm. * Ta có ∆ ' = (−m)2 − 3.(−2) = m2 + 6 > 0, ∀m ∈ R . Suy ra y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y’đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm x1; x2 ) khi x đi qua 2 nghiệm đó. * Vậy hàm số luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi m. ---------------------------------------- Hết chương I ---------------------------------------- Trang 13
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù Chương II HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 1. Luỹ thừa với số mũ nguyên ( a ≠ 0 , m, n ∈ ℤ ) a 0 = 1,(a ≠ 0) a m .a n = a m + n (a ) m n = a m. n (a.b)m = a m .b m 1 am a−n = n n = a m−n a a m m a a   = m b b 2. Căn bậc n Định nghĩa: Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2. Tính chất ( a, b > 0 , m, n ∈ ℤ + ) Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n = b . n a na Kí hiệu: a= n b. n a . n b = n a.b = n b b - n lẻ, b ∈ R : tồn tại duy nhất n b . ( a) m n = n am n m a = n .m a - n chẵn: + b < 0: không tồn tại căn bậc n của b. + b = 0: n 0 = 0 . m n am = a n m. n am = n a + b > 0: tồn tại 2 căn bậc n trái dấu của b đó là n b và - n b . 3. Luỹ thừa với số mũ thực ( a > 0 , α , β ∈ R ) ( a.b ) = aα .bα Neáu a > 1 thì aα > a β ⇔ α > β α aα .a β = aα + β aα a aα α Neáu 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β β = aα − β   = α a b b ( aα ) = a α . β β 4. Loâgarit a. Định nghĩa: Cho a, b > 0, a ≠ 1 , ta có: log a b = α ⇔ aα = b b. Công thức: Cho a > 0, a ≠ 1 , M, N > 0. log a 1 = 0 log a ( M .N ) = log a M + log a N M log a a = 1 log a = log a M − log a N N log a a M = M log a b M = M log a b loga M 1 a =M log aα b = log a b α log a b = 1 log b a log c b c. Công thức đổi cơ số: Cho a, b, c > 0, a ≠ 1 , c ≠ 1. log a b = log c a d. So sánh lôgarit: Cho a > 0, a ≠ 1 . a>1 : log a M > log a N ⇔ M > N . 0 < a < 1: log a M > log a N ⇔ M < N . n  1 e. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên: Số e = lim 1 +  ≈ 2, 71828... x →+∞  n Lôgarit thập phân: log10 x = logx = lgx Lôgarit t ự nhiên: log e x = ln x Trang 14
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù 5. Giải PT, BPT mũ và lôgarit Phương trình mũ Phương trình lôgarit a. Phöông trình muõ cô baûn a. Phöông trình loâgarit cô baûn Daïng: a x = b , (a > 0, a ≠ 1) . Daïng: log a x = b , (a > 0, a ≠ 1). Vôùi b > 0, ta coù: a x = b ⇔ x = log a b Ta coù: log a x = b ⇔ x = a b Vôùi b ≤ 0, phöông trình voâ nghieäm. b. Phương pháp giải PT mũ thường gặp b. Phương pháp giải PT lôgarit thường gặp - Đưa về cùng cơ số. - Đưa về cùng cơ số. - Đặt ẩn phụ (đặt t = a , t > 0). x - Đặt ẩn phụ (không cần đặt điều kiện cho ẩn phụ). - Lôgarit hoá. - Mũ hoá. Chú ý: Các em nắm thật vững hai phương pháp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ để giải PT, BPT mũ, lôgarit. Còn phương pháp thứ 3 tương đối khó chỉ nên tham khảo thêm. 6. Một số dạng phương trình (BPT) mũ, lôgarit thường gặp a. Các dạng cơ bản a > 0, a ≠ 1 a>1 0 g ( x ) a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x )  f ( x) > 0  g ( x) > 0  f ( x) > 0 log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   f ( x) < g ( x) log a f ( x) = log a g ( x) ⇔  g ( x) > 0  f ( x ) > g ( x)  f ( x ) = g ( x)  b. Vận dụng Dạng toán Ví dụ Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai Ví dụ: Giải phương trình 32 x +1 − 4.3x + 1 = 0 . m.a 2 x + n.a x + p = 0 (1) Giải 2 x +1 Phương pháp 3 − 4.3 + 1 = 0 ⇔ 3.3 − 4.3 + 1 = 0 x 2x x - Đặt t = a , (t > 0). Ta được PT: m.t + n.t + p = 0 x 2 Đặt t = 3x (t > 0), ta được phương trình - Giải phương trình trên tìm nghiệm t (nhớ với điều t = 1 kiện t > 0). 3t 2 − 4t + 1 = 0 ⇔  1 t = 3 - Giải phương trình a x = t ⇔ x = log a t . Với t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = log 3 1 = 0 . - Kết luận, nghiệm của (1). 1 1 1 Với t = ⇔ 3x = ⇔ 3x = log 3 = −1 . 3 3 3 Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x = 0 ; x = -1. n Dạng 2: m.a x + n.a − x + p = 0 hay m.a x + x + p = 0 . Ví dụ: Giải phương trình 6 x − 61− x − 5 = 0 . a Giải Phương pháp 6 6 x − 61− x − 5 = 0 ⇔ 6 x − −5 = 0 - Đặt t = a x , (t > 0). Khi đó a − x = 1 1 = . 6x ax t Đặt t = 6 x (t > 0), ta được phương trình - Thay vào PT đã cho giải tìm t (t > 0). Rồi tìm x. 6 t = 6(nhan) ä - Kết luận, nghiệm của PT. t − − 5 = 0 ⇔ t 2 − 5t − 6 = 0 ⇔  . t t = −1(loai) ï Với t = 6 ⇔ 6 x = 6 ⇔ x = log 6 6 = 1 . Trang 15
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6. Dạng 3: BPT mũ a ≤ a , (0 < a ≠ 1) . f (x) g (x) Ví dụ: Giải bất phương trình 2 x 2 −3 x ≤ 1 . Phương pháp 4 - Nếu 0 < a < 1, ta có f(x) ≥ g(x) (BPT đổi chiều). Giải - Nếu a > 1, ta có f(x) ≤ g(x). 2x 2 −3 x ≤ 1 ⇔ 2 x −3 x ≤ 2−2 ⇔ x 2 − 3 x ≤ −2 2 Với BPT a f ( x ) ≤ c 4 - Nếu 0 < a < 1, ta có f(x) ≥ log a c (BPT đổi ⇔ x 2 − 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 chiều) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [1 ; 2]. - Nếu a > 1, ta có f(x) ≤ log a c . Dạng 4: Biến đổi về phương trình dạng Ví dụ: Giải phương trình log 3 (9 x) + log 9 x = 5 . log a f ( x) = log a g ( x) . Giải Phương pháp x > 0 - Dùng các công thức tính toán, cộng, trừ lôgarit Điều kiện:  ⇔ x > 0 . Khi đó: 9 x > 0 để biến đổi. log 3 (9 x) + log 9 x = 5 ⇔ log 3 9 + log 3 x + log 32 x = 5 - Cần chú ý đến ĐK của các biểu thức dưới dấu 1 3 lôgarit. ⇔ 2 + log 3 x + log 3 x = 5 ⇔ log 3 x = 3 2 2 ⇔ log 3 x = 2 ⇔ x = 3 = 9. 2 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 9. Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu lôgarit Ví dụ: Giải phương trình 4 log 22 x − 3log 2 x − 10 = 0 . m.log 2a f ( x) + n.log a f ( x) + p = 0 . Giải Phương pháp Điều kiện: x > 0 . - ĐK: f(x) > 0. Đặt t = log 2 x , ta được PT 4t 2 − 3t − 10 = 0 . - Đặt t = log a f ( x) , ta được m.t 2 + n.t + p = 0 . Giải 5 Giải PT này được t = 2 ; t = − . phương trình tìm t. 4 - Giải PT log a f ( x) = t ⇔ f ( x ) = a t để tìm x. Với t = 2, ta có log 2 x = 2 ⇔ x = 22 = 4 . - Kết luận nghiệm. 5 5 − 5 Với t = − , ta có log 2 x = − ⇔ x = 2 4 . 4 4 Dạng 6: BPT lôgarit Ví dụ: Giải các bất phương trình sau: log a f ( x) < log a g ( x), (0 < a ≠ 1) . a. log 2 x ≥ log 2 (3 x − 1) ; Phương pháp b. log 1 (2 x − 1) > log 1 ( x + 2) .  f ( x) > 0 3 3 - ĐK:  . Giải  g ( x) > 0 x > 0 1 - Nếu 0 < a < 1, ta có f(x) > g(x) (BPT đổi chiều). a. Điều kiện:  ⇔ x > . Khi đó: - Nếu a > 1, ta có f(x) < g(x). 3 x − 1 > 0 3 Với BPT log a f ( x) ≤ c log 2 x ≥ log 2 (3 x − 1) ⇔ x ≥ 3x − 1 ⇔ 2 x ≤ 1 ⇔ x ≤ 1 . - Nếu 0 < a < 1, ta có f ( x) ≥ a c (BPT đổi chiều) 2  1 1 - Nếu a > 1, ta có f(x) ≤ a c . Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là: T =  ;  . 3 2  2 x − 1 > 0 1 b. Điều kiện:  ⇔ x > . Khi đó: x + 2 > 0 2 log 1 (2 x − 1) > log 1 ( x + 2) ⇔ 2 x − 1 < x + 2 ⇔ x < 3 . 3 3 Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là: T =  ;3  . 1 2  Trang 16
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù BÀI TẬP Bài tập 1. Không sử dụng máy tính cầm tay. Hãy tính: −5 −4 10 2+ k. 4log 2 32 4  − 25    −0,75 − 3 7  1 1 3 e.  5  +  0, 2 4  h. a.   +  22+ 7 .51+ 7 l. 7 log49 15  16  8     1+ 2 3 2 3 i. 83+ 2 .41− 2.2−4− 2 m. 3log9 27 b. 22−3 5.8 5 2 f. 3 :9 n. 81−log 2 3 2 9 2 6 4 65+ 20 c. (0, 04) −1,5 .(0,125) − 3 g. 8 7 : 8 7 − 35.3 5 j. 2+ 5 1+ 5 o. 102+ 2 log10 7 4 .9 p. 9 2 log3 2+ 4 log81 2 d. (42 3 − 4 3 −1 ).2 −2 3 Bài tập 2. Giải các phương trình sau: a. 2 x −3 x + 2 = 4 b. (0,5) x −3 .(0,5)1− 2 x = 2 c. 32 x −1 + 32 x = 108 d. 2x +1 + 2 x −1 + 2 x = 28 2 Bài tập 3. Giải các phương trình sau: a. 3.9x − 3x − 2 = 0 i. 32 x+1 − 9.3x + 6 = 0 o. 3x+1 − 5.33− x = 12 b. 22 x + 2 − 9.2 x + 2 = 0 j. e6 x − 3.e3 x + 2 = 0 p. 7 x + 2.71− x − 9 = 0 x −1 c. 9x+1 − 36.3x−1 + 3 = 0 k. 3x + 33− x − 12 = 0 3x 1 1 q.   −   − 128 = 0 d. 4x − 10.2x−1 = 24 l. 5x−1 + 53− x = 26  4 8 e. 52 x−1 + 5x+1 = 250 m. 2x + 21− x − 3 = 0 ( ) ( ) x x f. 22 x+6 + 2x+7 − 17 = 0 n. 6 x − 61− x − 5 = 0 r. 2 − 3 + 2+ 3 = 14 Bài tập 4. Giải các phương trình sau: a. log 4 (5 − 2 x) = log 4 ( x + 3) k. log 2 (log 3 (log 4 x)) = 0 b log2 ( x + 1) = 1 + log2 x l. log 1 (3x + 1) = log 4 (2 − 3x ) c. log 4 x + log 2 (4 x) = 5 4 d. log 3 (9 x) + log 9 x = 5 m. log 3 (9 x + 1) − log 3 (2.3x − 1) = log 3 2 e. log 3 ( x + 2) + log 3 ( x − 2) = log 3 5 n. log 1 (e x + 5) + 2 log 4 (e x − 1) = 0 f. log 2 ( x − 2) + log 2 ( x − 3) = log 2 12 4 1 g. log 2 ( x − 2) + log 2 ( x − 3) = 1 o. log 2 x = 1 + log 2 x h. log2 x + log2 ( x − 1) = 1 p. log x − 2log 4 x + 1 = 0 2 4 i. log 6 ( x − 4) − log 1 ( x + 1) = 1 6 q. log x + log 2 x3 − 4 = 0 2 2 j. log 4 ( x + 3) − log 4 ( x − 1) = 2 − log 4 8 r. log x − 3log 2 x − 10 = 0 2 2 Bài tập 5. Giải các bất phương trình sau: 2 x −1 −3 x + 2 1 x2 2 5 f. 7 x − 2 x + 2 ≤ 5.7 x −1 − 2 x −1 a. 7 2 x 2 −3 x + 2   g. 2 x −1 − 3x > 3x −1 − 2 x + 2 2 2 2 2 7 5 2 1 x 2 −3 x h. 9 x − 3x − 2 ≥ 0 x 2 −3 x ≤  1  b. 2 e.   ≥9 i. 49 x − 6.7 x − 7 < 0 4   3 1 j. 52 x +1 > 5 x + 4  1 x c. 5 x +1 <    25  Bài tập 6. Giải các bất phương trình sau: Trang 17
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù a. log 2 x ≥ log 2 (3 x − 1) i. log 1 ( x 2 − 6 x + 5) + 2log 2 (2 − x) ≥ 0 b. 2 log2 ( x − 1) − log2 (5 − x ) − 1 ≤ 0 2 j. log 1 x − log 5 ( x − 2) < log 1 3 c. log 2 ( x + 2) + log 1 (3 − x ) ≥ 4 5 5 2 d. log 1 (2 x + 4) ≥ 1 k. log 1 (2 3 x +5 − 15) > 0 2 2 e. log 1 (2 x − 1) > log 1 ( x + 2)   1  l. log3  log 1  x 2 +   > 1 3 3  2 16   f. log 2 x ≥ log 2 (3 x − 1) m. log 4 ( x 2 − 2 x ) > log 4 ( x 2 + 4) g. 2 log2 ( x − 1) − log2 (5 − x ) − 1 ≤ 0 n. log 32 2 x − 5log 3 2 x + 4 < 0 h. log 2 ( x + 2) + log 1 (3 − x ) ≥ 4 2 ---------------------------------------- Hết chương II ---------------------------------------- Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG 1. Định nghĩa nguyên hàm Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh treân K. Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) neáu F’(x) = f(x) vôùi moïi x ∈ K. 2. Bảng nguyên hàm Hàm số sơ cấp Nguyên hàm bổ sung ∫ dx = x + C 1 1 ∫ ( ax + b)α dx = . (ax + b)α +1 + C x α +1 a α +1 ∫ xα dx = +C α +1 1 ∫ e ax +b dx = e ax +b + C ∫ cos xdx = sin x + C a ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ 1 1 dx = ln ax + b + C 1 ax + b a ∫ dx = tan x + C 1 cos 2 x ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b) + C 1 a ∫ dx = − cot x + C 1 sin 2 x ∫ sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) + C dx a ∫ = ln x + C sin x x ∫ tan xdx = ∫ dx = − ln | cosx | +C cosx ∫ e dx = e + C x x cosx a x ∫ cot xdx = ∫ dx = ln | sin x | +C ∫ a dx = x +C sinx ln a 3. Định nghĩa tích phân Cho f(x) laø haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b]. Giaû söû F(x) laø 1 nguyeân haøm cuûa f(x) treân ñoaïn [a ; b]. b Hieäu soá F(b) – F(a) ñöôïc goïi laø tích phaân töø a ñeán b cuûa haøm soá f(x). Kí hieäu: ∫ f ( x)dx . a Trang 18
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù b ∫ f ( x )dx = F ( x ) |a = F (b) − F (a ) b Coâng thức: a 4. Các bài toán đổi biến số Bài toán Ví dụ b π Bài toán 1: ∫ f [u ( x)].u '( x)dx 2 a Ví dụ: Tính I = ∫ esin x .cos xdx Phương pháp: - Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u '( x)dx 0 Giải x = b ⇒ t = β Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx - Đổi cận:  x = a ⇒ t = α  π β x = ⇒ t =1 Đổi cận:  b - Thế: ∫ f [u ( x)].u '( x)dx = ∫ f (t )dt  2 a α  x = 0 ⇒t =0 1 ⇒ I = ∫ et dx = et 10 = e1 − e0 = e − 1 0 b 1 Bài toán 2: ∫ u ( x) .u '( x)dx Ví dụ: Tính I = ∫ x x 2 + 1dx a 0 Phương pháp: - Đặt t = u ( x) ⇒ t = u ( x) 2 Giải ⇒ 2tdt = u '( x)dx Đặt t = x + 1 ⇒ t = x 2 + 1 ⇒ 2tdt = 2 xdx 2 2 - Đổi cận. ⇒ tdt = xdx - Thế vào. x =1⇒ t = 2 Đổi cận:  x = 0 ⇒ t =1 2 2 1 1 ⇒ I = ∫ t.tdt = ∫ t 2 dt = t 3 1 2 =  2 2 − 1 1 1 3 3 a a 1 2 Bài toán 4: ∫ 2 2 dx ∫ a − x dx 0 a + x 2 2 Bài toán 3: 0 Phương pháp Phương pháp: Đặt x = a sin t ⇒ dx = a cos t Đặt x = a tan t ⇒ dx = a(1 + tan 2 t )dt Chú ý: Các em nên tập trung vào 2 bài toán đầu, còn 2 bài toán sau chỉ nên tham khảo. BÀI TẬP Tính các tích phân sau: π π π 1 6 1. ∫ cos 2 xdx 2 cos x 6 17. ∫ 3 x + 1dx 0 6. ∫0 3 + sin x dx 11. ∫ (cos x + 1)sin xdx π 0 2 π π ∫ 4 − x 2 .xdx 3 2 2 π 18. sin x 2. ∫ sin 3 x cos xdx ∫ 4 0 7. dx sin 2 x π 2 − co s x 12. ∫ dx 1 4 − cos 2 x 19. ∫ e − x .xdx 2 0 π 3 0 2 π 2 0 3. ∫ cos x sin xdx 3 6 13. ∫ (6 x 2 − 4 x + 1)dx ln 3 ex 0 8. ∫ esin x cos xdx 1 20. ∫ dx π 0 2 0 e x + 1 2 π 14. ∫ (2 x − 1)5 dx ln 5 (e x + 1)e x 4. ∫ sin 2 xdx 6 1 21. ∫ dx 9. ∫ 2 1 + 4sin 3 x .cos 3 xdx 1 ex + 1 0 x2 ln 2 0 15. ∫ 1 + x3 dx e ln3 x 0 22. ∫1 x dx Trang 19
Ta øi lie äu oân thi TT HOAØNG THAÙI VIEÄT ÑHBKÑNn - 01695316875 o át nghie pä nTHP mo ân Toaù π π 1 ∫ x (1 − x ) dx 2 3 4 4 2 16. 5. ∫ tan xdx 0 10. ∫ (2sin x + 3) cos xdx 0 −1 5. Phương pháp tích phân từng phần b b ∫ udv = uv |a − ∫ vdu b a. Công thức a a b. Các bài toán tích phân từng phần Bài toán Ví dụ b 1 Bài toán 1: x ∫ P( x)e dx Ví dụ: Tính tích phân I = ∫ xe x dx . a 0 u = P( x) u = x ⇒ du = dx Phương pháp: Đặt  Giải. Ñaët  dv = e dx dv = e dx ⇒ v = e x x x 1 Vaäy I = ( xe x ) |10 − ∫ e x dx = e − e x |10 = e − (e − 1) = 1 . 0 b π Bài toán 2: ∫ P( x)sin xdx Ví dụ: Tính tích phân I = ∫ (2 x + 1) sin xdx . 2 a u = P( x) 0 Phương pháp: Đặt  u = 2 x + 1 ⇒ du = 2dx dv = sin xdx Giải. Ñaët  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π Vaäy I = − [ (2 x + 1) cos x ] | +2 ∫ cos xdx 2 2 0 0 π = 1 + 2sin x |02 = 1 + 2 = 3 . b π Bài toán 3: ∫ P( x)cosxdx Ví dụ: Tính tích phân I = ∫ (1 − x)cosxdx . 2 a u = P( x) 0 Phương pháp: Đặt  u = 1 − x ⇒ du = − dx  dv = co s xdx Giải. Ñaët  dv = cos xdx ⇒ v = sinx π π Vaäy I = [ (1 − x)sin x ] | + ∫ sin xdx 2 2 0 0 π π π π = 1− + cos x |02 = 1 − −1 = − . 2 2 2 b 2 Bài toán 4: ∫ P( x) ln xdx Ví dụ: Tính tích phân I = ∫ 2 x ln xdx . a 1 u = ln x  1 Phương pháp: Đặt  u = ln x ⇒ du = dx Giải. Ñaët   dv = P( x)dx x dv = 2 xdx ⇒ v = x 2  2 1 Vaäy I = ( x 2 ln x) |12 − ∫ xdx = ( x 2 ln x) |12 − x 2 |12 1 2 3 = 4 ln 2 − . 2 Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.01: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2019

315 tài liệu

1700 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.