intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

ĐỀ TÀI " BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP 2 TRONG KHÔNG GIAN HOLDER "

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST
Báo xấu
121
lượt xem 22
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai có một đặc điểm quan trọng là: khi vế phÊi và các hệ số của phương trình là các hàm liên tục thí nghiệm cổ điển lớp C2 của nó nói chung là  không tồn tại. Nhà toán học Schauder đã có một phát hiện quan trọng là khi vế phải và các hệ số của phương trình thuộc lớp Holder C thì ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ TÀI " BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP 2 TRONG KHÔNG GIAN HOLDER "

  1. Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M TR N TH THÚY MAI BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUY N TÍNH C P HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER LU N VĂN TH C S TOÁN H C Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  2. Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M TR N TH THÚY MAI BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUY N TÍNH C P HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER Chuyên ngành: GI I TÍCH Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C S TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c PGS.TS HÀ TI N NGO N Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  3. i M cl c M đ u 1 1 M t s ki n th c chu n b 3 1.1 Công th c tích phân t ng ph n . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Công th c Green th nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Công th c Green th hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Công th c Green bi u di n hàm s . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 L p hàm Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Đánh giá Schauder đ i v i th v Newton . . . . . . . . . . 7 1.7 Phương pháp liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Phương pháp làm trơn hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuy n tính c p hai 14 2.1 Đánh giá Schauder đ i v i nghi m c a bài toán biên Dirich- let cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Đánh giá Schauder đ i v i nghi m bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuy n tính c p hai . . . . . . . . . 19 2.3 Tính gi i đư c c a bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Tính gi i đư c c a bài toán Dirichlet cho phương trình el- liptic c p hai d ng t ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 K t lu n 28 TÀI LI U THAM KH O 29 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  4. 1 M đ u 1. Lý do ch n Lu n văn Phương trình elliptic tuy n tính c p hai có m t đ c đi m quan tr ng là: khi v ph i và các h s c a phương trình là các hàm liên t c thì nghi m c đi n l p C 2 c a nó nói chung là không t n t i. Nhà toán h c Schauder đã có m t phát hi n quan tr ng là khi v ph i và các h s c a phương trình thu c l p Holder C α thì nghi m luôn t n t i trong l p C 2,α . Do đó c n ph i trình bày m t cách h th ng lý thuy t Schauder v tính gi i đư c c a phương trình elliptic c p hai trong không gian Holder. 2. Phương pháp nghiên c u Các phương pháp chính đư c s d ng trong Lu n văn là các đánh giá tiên nghi m đ i v i th v Newton và s d ng phương pháp liên t c đ chuy n các k t qu cho phương trình Poisson sang lo i phương trình t ng quát. 3. M c đích c a Lu n văn Trình bày tính gi i đư c c a bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic c p hai d ng t ng quát. 4. N i dung c a Lu n văn Lu n văn bao g m ph n M đ u, hai chương n i dung chính, K t lu n và Tài li u tham kh o. Chương 1. Gi i thi u các ki n th c chu n b cho vi c nghiên c u k t qu chính c a Lu n văn. Trư c h t trình bày công th c tích phân t ng ph n, sau đó trình bày các công th c Green th nh t, công th c Green th hai và công th c tích phân t ng ph n. Ti p theo gi i thi u v l p hàm Holder, đánh giá c a Schauder đ i v i th v Newton và hai phương pháp quan tr ng là phương pháp liên t c và phương pháp làm trơn hàm s . Chương 2. Gi i thi u các đánh giá c a Schauder đ i v i nghi m c a 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  5. 2 bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và đ i v i nghi m c a bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuy n tính c p hai. Ti p theo trình bày v tính gi i đư c c a bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và tính gi i đư c c a bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic c p hai d ng t ng quát. Lu n văn này đư c hoàn thành dư i s hư ng d n và nhi t tình ch b o c a PGS.TSKH Hà Ti n Ngo n, Vi n Toán h c. Em xin đư c bày t lòng biêt ơn sâu s c đ n Th y. Tác gi cũng xin g i l i c m ơn chân thành đ n Ban Giám hi u, phòng Đào t o, khoa Toán-trư ng Đ i h c sư ph m, Đ i h c Thái Nguyên đã t o đi u ki n thu n l i trong su t quá trình h c t p t i trư ng. Xin chân thành c m ơn gia đình, b n bè đ ng nghi p và các thành viên trong l p cao h c toán K18B đã luôn quan tâm, đ ng viên, giúp đ tôi trong su t th i gian h c t p và quá trình làm Lu n văn. Tuy có nhi u c g ng, song th i gian và năng l c c a b n thân có h n nên Lu n văn khó tránh kh i nh ng thi u sót. R t mong đư c s đóng góp ý ki n c a các th y cô cùng toàn th b n đ c. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác gi Tr n Th Thúy Mai 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  6. 3 Chương 1 M t s ki n th c chu n b 1.1 Công th c tích phân t ng ph n Gi s Ω ⊂ Rd là mi n b ch n trong Rd v i biên ∂Ω. V i x ∈ ∂Ω ta ký hi u νx = (ν1 , ν2 , ..., νd ) là véctơ pháp tuy n ngoài đơn v t i x, dσ(x) là ph n t di n tích c a ∂Ω. V i u(x), v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ta có công th c tích phân t ng ph n sau đây: ∂u(x) ∂v(x) v(x)dx = − u(x) dx + u(x)v(x)νk dσ(x). (1.1) ∂xk ∂xk Ω Ω ∂Ω 1.2 Công th c Green th nh t B đ 1.2.1. Gi s u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω), d ∂2u ∆u = ∂x2 . Khi đó ta có công th c Green th nh t k k=1 ∂u v(x)∆u(x)dx + u(x). v(x)dx = v(z) (z)dσ(z), (1.2) ∂νz Ω Ω ∂Ω d ∂u ∂u ∂u ∂u trong đó u= ( ∂x1 , ..., ∂xd ) , ∂νz = ∂xk νk = ( u, νz ) là đ o hàm c a k=1 u theo hư ng νz . 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  7. 4 Ch ng minh. Ta có: d ∂ ∂u v(x)∆u(x)dx = v(x) ( )dx k=1 ∂xk ∂xk Ω Ω d d ∂u ∂v ∂u(z) = − dx + v(z) νk dσ(z) ∂xk ∂xk ∂xk Ω k=1 ∂Ω k=1 ∂u = − u(x). v(x)dx + v(z) (z)dσ(z). ∂νz Ω ∂Ω Do đó ta có công th c (1.2). 1.3 Công th c Green th hai B đ 1.3.1. Gi s u(x), v(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), ta có công th c Green th hai: ∂u ∂v {v(x)∆u(x) − u(x)∆v(x)}dx = v(z) − u(z) (z) dσ(z). ∂νz ∂νz Ω ∂Ω (1.3) Ch ng minh. Theo công th c Green th nh t ta có: ∂u v(x)∆u(x)dx + u(x). v(x)dx = v(z) (z)dσ(z). ∂νz Ω Ω ∂Ω Đ i vai trò hàm u(x) và v(x) ta có: ∂v u(x)∆v(x)dx + v(x). u(x)dx = u(z) (z)dσ(z). ∂νz Ω Ω ∂Ω Tr các v c a hai phương trình trên ta có (1.3). 1.4 Công th c Green bi u di n hàm s Đ nh lý 1.4.1. N u u ∈ C 2 (Ω), ta có: ∂Γ ∂u u(y) = u(x) (x, y) − Γ(x, y) (x) do(x) + Γ(x, y)∆u(x)dx, ∂νx ∂νx ∂Ω Ω (1.4) 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  8. 5 trong đó 1 2π log |x − y| v id=2 Γ(x, y) = Γ(|x − y|) = 1 2−d (1.5) d(2−d)ωd |x − y| v id>2 và ωd là th tích c a hình c u đơn v trong Rd . Ch ng minh. V i > 0 đ nh , t n t i hình c u tâm y bán kính B(y, ) ⊂ Ω (vì Ω m ). Áp d ng (1.3) cho v(x) = Γ(x, y) và Ω \ B(y, ). Do Γ là hàm đi u hòa theo bi n x trong Ω \ {y}, ta thu đư c: ∂u ∂Γ(x, y) Γ(x, y)∆u(x)dx = Γ(x, y) (x) − u(x) dσ(x) ∂νx ∂νx Ω\B(y, ) ∂Ω ∂u ∂Γ(x, y) + Γ(x, y) (x) − u(x) dσ(x). ∂νx ∂νx ∂B(y, ) (1.6) Trong tích phân th hai trên biên, ν là pháp tuy n ngoài c a Ω \ B(y, ), do v y là pháp tuy n trong c a B(y, ). Ta l y gi i h n t ng tích phân trong công th c khi → 0. Do u ∈ C 2 (Ω), ∆u b ch n. Do Γ là kh tích nên v trái c a (1.6) tr thành: Γ(x, y)∆u(x)dx. Ω Trên ∂B(y, ), ta có Γ(x, y) = Γ( ). Vì v y khi → 0, ∂u d−1 Γ(x, y) (x)dσ(x) ≤ dωd Γ( ) sup | u| → 0. ∂νx B(y, ) ∂B(y, ) Ngoài ra, ∂Γ(x, y) ∂ − u(x) dσ(x) = Γ( ) u(x)dσ(x) ∂νx ∂ ∂B(y, ) ∂B(y, ) 1 = d−1 u(x)dσ(x) → u(y). dωd ∂B(y, ) 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  9. 6 (do ν là pháp tuy n trong c a B(y, )). Do v y, ta có (1.4). 1.5 L p hàm Holder Đ nh nghĩa 1.5.1. Cho f : Ω → R, x0 ∈ Ω, 0 < α < 1. Hàm f đư c g i là liên t c Holder t i x0 v i s mũ α n u |f (x) − f (x0 )| sup < ∞. (1.7) x∈Ω |x − x0 |α Hơn n a f đư c g i là liên t c Holder trong Ω n u nó liên t c t i m i x0 ∈ Ω (v i s mũ α). Khi đó ta vi t f ∈ C α (Ω). N u f liên t c Holder t i x0 thì f liên t c t i x0 . Trong (1.7) n u α = 1 thì f đư c g i là liên t c Lipschitz t i x0 . Ta đ nh nghĩa chu n: |f (x) − f (y)| |f |C α (Ω) = sup (1.8) x,y∈Ω |x − y|α f C α (Ω) = f C 0 (Ω) + |f |C α (Ω) (1.9) Không gian C α (Ω) v i chu n (1.9) là không gian Banach. Ví d 1.5.2. Hàm f trên B1 (0) đư c cho b i f (x) = |x|β , 0 < β < 1, liên t c Holder v i s mũ β t i x = 0 và liên t c Lipschitz khi β = 1. Đ nh nghĩa 1.5.3. C k,α (Ω) là không gian các hàm f ∈ C k (Ω) mà đ o hàm c p k liên t c Holder v i s mũ α. Khi đó f C k,α (Ω) = f C k (Ω) + |Dα f |C α (Ω) . (1.10) |α|=k Ta thư ng vi t C α thay cho C 0,α . Không gian C k,α (Ω) v i chu n (1.10) là không gian Banach. B đ 1.5.4. N u f1 , f2 ∈ C α (G) trên G ⊂ Rd . Khi đó f1 f2 ∈ C α (G) và: |f1 f2 |C α (G) ≤ sup |f1 | |f2 |C α (G) + sup |f2 | |f1 |C α (G) . G G 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  10. 7 Ch ng minh. Ta có: |f1 (x)f2 (x) − f1 (y)f2 (y)| |f1 (x) − f1 (y)| ≤ |f2 (x)| |x − y|α |x − y|α |f2 (x) − f2 (y)| + |f1 (x)|. |x − y|α Suy ra đi u ph i ch ng minh. 1.6 Đánh giá Schauder đ i v i th v Newton Đ nh nghĩa 1.6.1. Cho Ω ∈ Rd là m và b ch n. Th v Newton c a f là hàm s u trên Rn đư c đ nh nghĩa b i: u(x) = Γ(x, y)f (y)dy, (1.11) Ω trong đó Γ(x, y) đư c xác đ nh b i (1.5). Đ nh lý 1.6.2. a. N u f ∈ L∞ (Ω) (t c sup |f (x)| < ∞), thì u ∈ C 1,α (Ω) và: x∈Ω u C 1,α (Ω) ≤ c1 sup |f | v i α ∈ (0; 1). (1.12) b. N u f ∈ C0 (Ω), thì u ∈ C 2,α (Ω) và: α u C 2,α (Ω) ≤ c2 f C α (Ω) v i α ∈ (0; 1), (1.13) trong đó C0 (Ω) g m các hàm thu c C α (Ω) và b ng không trong lân c n α c a biên ∂Ω. Các h ng s trong (1.12) và (1.13) ph thu c vào α, d và |Ω|. ∂u Ch ng minh. a. Đ o hàm c p m t v i = ∂xi c a u đư c cho b i: i xi − y i v (x) = f (y)dy (i = 1, 2, ..., d). |x − y|d Ω Trong công th c trên đã b qua th a s mà ch ph thu c vào d. T đó ta có công th c: xi − y i 1 xi − y i |v i (x1 ) − v i (x2 )| ≤ sup |f |. − 2 dy. (1.14) Ω |x1 − y|d |x2 − y|d Ω 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  11. 8 Theo đ nh lý giá tr trung bình ta có: Trong đo n [x1 ; x2 ] t n t i x3 sao cho: xi − y i 1 xi − y i c3 |x1 − x2 | d − 2 d ≤ . (1.15) |x1 − y| |x2 − y| |x3 − y|d Ta đ t δ = 2|x1 − x2 |. Do Ω là b ch n nên ta có th tìm R > 0 v i Ω ⊂ B(x3 , R). Ta thay th tích phân trên Ω trong (1.14) b i tích phân trên B(x3 , R) và ta phân tích như sau: = + = I1 + I2 . (1.16) B(x3 ,R) B(x3 ,δ) B(x3 ,R)\B(x3 ,δ) Không m t tính t ng quát ta l y δ < R. Ta có: 1 I1 ≤ 2 dy = 2ωd δ, (1.17) |x2 − y|d−1 B(x3 ,δ) và do (1.15) ta có : I2 ≤ c4 δ(log R − log δ) . Do đó: I1 + I2 ≤ c5 |x1 − x2 |α v i α ∈ (0; 1). Hi n nhiên ta có: |v i (x)| ≤ c6 sup |f |. (1.18) Ω ∂2u b. Đ o hàm c p hai wij = ∂xi ∂xj c a u đư c cho b i: 1 wij (x) = |x − y|2 δij − d(xi − y i )(xj − y j ) f (y)dy. |x − y|d+2 Trong công th c trên đã b qua th a s mà ch ph thu c vào d. Tuy nhiên α ta v n c n ch ra r ng tích phân này là h u h n n u gi thi t f ∈ C0 (Ω) c đ nh. Đ u tiên ta đ t f (x) = 0 v i x ∈ Rd \ Ω. Đi u này không nh hư ng đ n tính liên t c Holder c a f . Ta vi t: 1 K(x − y) = |x − y|2 δij − d(xi − y i )(xj − y j ) |x − y|d+2 ∂ xi − y i = . ∂xj |x − y|d 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  12. 9 Ta có yj yi yj yi K(y)dy = . − . = 0, (1.19) R2 |y|d R1 |y|d R1
  13. 10 Hơn n a: I2 = f (x2 ) − f (x1 ) K(x1 − y)dy Rd \B(x1 ,δ) + f (y) − f (x2 ) K(x1 − y) − K(x2 − y) dy. (1.25) Rd \B(x1 ,δ) Tích phân th nh t tri t tiêu do (1.19). S d ng (1.22) và do y ∈ Rd \ B(x1 , δ), 1 c9 ≤ . |x3 − y|d+1 |x1 − y|d+1 Ta có: |I2 | ≤ c10 δ f Cα |x1 − y|α−d−1 ≤ c11 δ α f Cα . (1.26) Rd \B(x1 ,δ) B t đ ng th c (1.13) đư c suy ra t (1.23), (1.24), (1.26). 1.7 Phương pháp liên t c Đ nh lý 1.7.1. Gi s L0 , L1 : B1 → B2 là các toán t tuy n tính gi a các không gian Banach B1 , B2 . Ta đ t: Lt = (1 − t)L0 + tL1 v i 0 ≤ t ≤ 1. (1.27) Gi s t n t i h ng s c không phu thu c vào t mà: u B1 ≤ c Lt u B2 v i m i u ∈ B1 . (1.28) Khi đó, n u L0 là toàn ánh thì L1 cũng là toàn ánh. Ch ng minh. Gi s Lτ là toàn ánh v i m t giá tr nào đó τ ∈ [0; 1]. Theo (1.28), khi đó Lτ là đơn ánh. Vì v y Lτ là song ánh. Do đó có toán t ngh ch đ o: L−1 : B2 → B1 τ V i t ∈ [0; 1], ta vi t l i phương trình: Lτ u = f v i f ∈ B2 (1.29) 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  14. 11 thành phương trình sau: Lτ u = f + (Lτ − Lt )u = f + (t − τ )(L0 u − L1 u), ho c u = L−1 f + (t − τ )L−1 (L0 − L1 )u = Λu. τ τ Vì v y, đ gi i (1.29), ta c n tìm m t đi m b t đ ng c a toán t Λ : B1 → B2 . Theo đ nh lý đi m b t đ ng c a Banach thì t n t i m t đi m b t đ ng n u ta tìm đư c q < 1 mà: Λu − Λv B1 ≤q u−v B1 . Ta có Λu − Λv ≤ L−1 ( L0 + L1 )|t − τ | u − v . τ Theo (1.28), L−1 ≤ c. Do đó ta ch n đư c: τ 1 |t − τ | ≤ (c( L0 + L1 ))−1 = η. 2 Và thu đư c đi m c đ nh c n tìm. Có nghĩa là n u Lτ u = f gi i đư c thì Lt u = f cũng gi i đư c v i m i t th a mãn |t − τ | ≤ η . T đó L0 là toàn ánh theo gi thi t, khi đó Lt là toàn ánh v i 0 ≤ t ≤ η . L p l i ch ng minh trên v i τ = η , ta thu đư c toàn ánh v i η ≤ t ≤ 2η . L p l i t t c Lt v i t ∈ [0; 1] và đ c bi t L1 là toàn ánh. 1.8 Phương pháp làm trơn hàm s Ta xét khái ni m làm trơn hàm s (mollification). Ta ch n (x) là m t ∞ hàm không âm nào đó thu c C0 (B(0, 1)) v i dx = 1, Rd trong đó B(0, 1) = {x ∈ Rd : |x| ≤ 1}. V i h > 0 đ nh và hàm u(x) cho trư c ta đ t: 1 x−y uh (x) = ( )u(y)dy, x ∈ Ω, hd y Rd 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  15. 12 trong đó u(y) đư c hi u là b ng không bên ngoài Ω. Khi đó hàm uh (x) ∈ ∞ C0 (Rd ). B đ 1.8.1. V i u ∈ C 0 (Ω), khi h → 0, uh h i t đ u t i u trên t p b t kỳ Ω ⊂⊂ Ω. Ch ng minh. Ta xét 1 x−y uh (x) = ( )u(y)dy hd h |x−y|≤h x−y = (z)u(x − hz)dz v iz= . (1.30) y |z|≤1 Vì v y, n u Ω ⊂⊂ Ω và 2h < dist(Ω, ∂Ω), s d ng u(x) = (z)u(x)dz |z|≤1 và do (z)dz = 1, ta thu đư c: |z|≤1 sup |u − uh | ≤ sup (z)|u(x) − u(x − hz)|dz, Ω x∈Ω |z|≤1 ≤ sup sup |u(x) − u(x − hz)|. x∈Ω |z|≤1 Do u liên t c đ u trên t p compact {x : dist(x, Ω ) ≤ h}, ta suy ra: sup |u − uh | → 0 v i h → 0. Ω B đ 1.8.2. Gi s u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞. V i h → 0, khi đó ta có: u − uh Lp (Ω) → 0. Hơn n a, uh h i t t i u t i h u kh p nơi. Ch ng minh. Ta s d ng b t đ ng th c Holder, trong (1.30) ta có 1 1 (z)u(x − hz) = (z) q (z) p u(x − hz), 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  16. 13 1 1 v i q + p = 1, ta thu đư c: p p q |uh (x)| ≤ (z)dz (z)|u(x − hz)|p dz |z|≤1 |z|≤1 = (z)|u(x − hz)|p dz. |z|≤1 Ta ch n t p Ω b ch n v i Ω ⊂⊂ Ω . N u 2h < dist(Ω, ∂Ω ) thì |uh (x)|p dx ≤ (z)|u(x − hz)|p dzdx Ω Ω |z|≤1 = (z) |u(x − hz)|p dx dz (1.31) |z|≤1 Ω ≤ |u(y)|p dy Ω (v i phép th y = x − hz ). V i ε > 0, ta ch n w ∈ C 0 (Ω ) v i u−w Lp (Ω ) < ε. Theo B đ 1.8.1, v i h đ nh , ta có: w − wh Lp (Ω ) < ε. Áp d ng (1.31) v i u − w, ta thu đư c: |uh (x) − wh (x)|p dx ≤ |u(y) − w(y)|p dy Ω Ω và do đó u − uh Lp (Ω) ≤ u−w Lp (Ω) + w − wh Lp (Ω) + uh − wh Lp (Ω) ≤ 2ε + u − w Lp (Ω ) ≤ 3ε. Vì v y uh h i t t i u v i chu n tương ng . p . Do đó dãy con c a uh h i t t i u t i h u kh p nơi. Khi đó dãy uh h i t t i u khi h → 0. 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  17. 14 Chương 2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuy n tính c p hai 2.1 Đánh giá Schauder đ i v i nghi m c a bài toán biên Dirich- let cho phương trình Poisson Xét phương trình Poisson sau trong mi n Ω ⊂ Rd ∆u(x) = f (x), x ∈ Ω. (2.1) Ta ký hi u H 1 (Ω) là không gian ∂u H 1 (Ω) = {u(x) ∈ L2 (Ω); ∈ L2 (Ω), ∀i = 1, 2, ..., d}. ∂xi Không gian H 1 (Ω) là không gian Hilbert v i tích vô hư ng sau: d ∂u ∂v (u, v)H 1 (Ω) = u(x)v(x) + . dx. i=1 ∂xi ∂xi Ω Cho f (x) ∈ L2 (Ω), hàm s u(x) ∈ H 1 (Ω) đư c g i là m t nghi m y u c a phương trình (2.1) n u: n ∂u ∂v − dx = f (x)v(x)dx (2.2) i=1 ∂xi ∂xi Ω Ω 1 v i m i v(x) ∈ H0 (Ω), trong đó H0 (Ω) = {v(x) ∈ H 1 (Ω); v(x) = 0, x ∈ ∂Ω}. 1 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  18. 15 Đ nh lý 2.1.1. Gi s Ω ⊂ Rd là m và b ch n, và Ω0 ⊂⊂ Ω. Cho u là m t nghi m y u c a ∆u = f trong Ω. (a) N u f ∈ C 0 (Ω), thì u ∈ C 1,α (Ω) và u C 1,α (Ω0 ) ≤ c12 f C 0 (Ω) + u L2 (Ω) . (2.3) (b) N u f ∈ C α (Ω), thì u ∈ C 2,α (Ω) và u C 2,α (Ω0 ) ≤ c13 f C α (Ω) + u L2 (Ω) . (2.4) Ch ng minh. Ta ch ng minh ư c lư ng (2.3) và (2.4) v i gi thi t u ∈ C 2,α (Ω). Ta có th ph Ω0 b i m t só h u h n các hình c u ch a trong Ω. Do đó ta ch c n xét các trư ng h p Ω = B(0, R), Ω0 = B(0, r), 0 < r < R < ∞. ∞ Gi s 0 < R1 < R2 < R. Ta ch n η ∈ C0 (B(0, R2 )) v i 0 ≤ η ≤ 1, η(x) = 1 v i |x| ≤ R1 và η C k,α (B(0,R2 )) ≤ c14 (R2 − R1 )−k−α . (2.5) Ta đ t φ = ηu. (2.6) Khi đó φ tri t tiêu phía ngoài c a B(0, R2 ) và do ϕ(y) = Γ(x, y)∆ϕ(x)dx, Ω ta có: φ(x) = Γ(x, y)∆φ(y)dy. (2.7) Ω đây ∆φ = η∆u + 2Du.Dη + u∆η, (2.8) và vì v y ∆φ C0 ≤ ∆u C0 + c15 η C2 . u|C 1 . (2.9) 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  19. 16 Và do B đ 1.5.4, ta có: ∆φ Cα ≤ c16 η C 2,α ∆u Cα + u C 1,α . (2.10) đây t t c các chu n đư c tính toán trên B(0, R2 ). T Đ nh lý 1.6.2 và (2.9) và (2.10), ta thu đư c: φ C 1,α ≤ c17 ∆u C0 + η C2 u C1 , (2.11) và φ C 2,α ≤ c18 η C 2,α ∆u Cα + u C 1,α (2.12) tương ng. Do u(x) = φ(x) v i |x| ≤ R1 , và tr l i (2.5), ta thu đư c: 1 u C 1,α (B(0,R1 )) ≤ c19 ∆u C 0 (B(0,R2 )) + u C 1 (B(0,R2 )) , (R2 − R1 )2 (2.13) và 1 u C 2,α (B(0,R1 )) ≤ c20 ∆u C α (B(0,R2 )) + u C 1,α (B(0,R2 )) (R2 − R1 )2+α (2.14) tương ng. Bây gi ta ch ra r ng v i α ∈ (0; 1), v i b t kỳ ε > 0 t n t i N (ε) < ∞ sao cho: u C 1 (Ω) ≤ ε u C 1,α (Ω) + N (ε) u L2 (Ω) , (2.15) v i m i u ∈ C 1,α (Ω). N u không ta có th tìm th y m t dãy hàm (un )n∈N ⊂ C 1,α (Ω) v i un C 1 (Ω) = 1, un C 1 (Ω) > ε un C 1,α (Ω) + n un L2 (Ω) . (2.16) Đ c bi t, un C 1,α (Ω) là b ch n đ u. Có nghĩa là un và đ o hàm c p m t c a chúng liên t c đ u. T đ nh lý Arzela-Ascoli, ta ch n đư c m t dãy con (un ) h i t t i u ∈ C 1 (Ω) v i u C 1 (Ω) = 1. Tuy nhiên t (2.16) kéo theo u L2 (Ω) = 0, do đó u ≡ 0, do v y u C 1 (Ω) = 0 (mâu thu n). Do v y (2.15) đư c ch ng minh. B ng cách tương t ta cũng ch ng minh đư c u C 2 (Ω) ≤ε u C 2,α (Ω) + N (ε) u L2 (Ω) . (2.17) 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
  20. 17 Ta đ t A1 = sup (R − r)3 u C 1,α (B(0,r)) , 0≤r≤R A2 = sup (R − r)3 u C 2,α (B(0,r)) . 0≤r≤R Đ ch ng minh (a), ta ch n R1 sao cho: A1 ≤ 2(R − R1 )3 u C 1,α (B(0,R1 )) . (2.18) Và đ ch ng minh (b) ta ch n R1 sao cho: A2 ≤ 2(R − R1 )3 u C 1,α (B(0,R1 )) . (2.19) Khi đó (2.13) và (2.15) kéo theo: ε A1 ≤ c21 (R − R1 )3 ∆u C 0 (B(0,R2 )) + u C 1,α (B(0,R2 )) (R2 − R1 )2 1 + N (ε) u L2 (B(0,R2 )) (R2 − R1 )2 (R − R1 )3 ε ≤ c22 . 3 (R − R )2 .A1 + c23 (R − R1 )3 ∆u C 0 (B(0,R2 )) (R − R2 ) 2 1 3 (R − R1 ) + c24 N (ε) u L2 (B(0,R2 )) . (R2 − R1 )3 Ch n R2 (R1 < R2 < R), và ε thích h p, h s c a A1 v ph i nh hơn 1 2 . Khi đó ta đư c: 1 u|C 1,α (B(0,r)) ≤ A1 (R − r)3 ≤ c25 ∆u C 0 (B(0,R)) + u L2 (B(0,R)) (2.20) v i m t h ng s ph thu c vào bán kính. M t cách tương t t (2.14) và (2.17) ta thu đư c: u C 2,α (B(0,r)) ≤ c26 ∆u C 0 (B(0,R)) + u L2 (B(0,R)) (2.21) v i 0 < r < R. T ∆u = f , ta có (2.3) và (2.4) đư c ch ng minh v i u ∈ C 2,α (Ω). V i u ∈ H 1 (Ω) ta xét uh như trong chương 1. 20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Tài Chính Ngân Hàng
172 tài liệu
849 lượt tải

ERROR:connection to 10.20.1.98:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.98:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
86=>2