intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Áp dụng định lý điểm bất động Brouwer-Schauder nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình Elliptic không tuyến tính

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST
Báo xấu
204
lượt xem 28
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chủ yếu của chương 1 là trình bày các định lý về điểm bất động trong không gian Banach, bao gồm: Định lý ánh xạ co Banach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer - Schauder, Định lý điểm bất động Leray - Schauder - Schaefer. Trong chương 2 trình bày một số áp dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường của bài toán Dirichlet và bài toán Neumann đối với một lớp các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính, với phần chính là toán tử Laplace, dạng: −∆u = g(x, u) trong miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω trong R n .

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Áp dụng định lý điểm bất động Brouwer-Schauder nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình Elliptic không tuyến tính

  1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Hữu Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER - SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014
  2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Hữu Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER - SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Hoàng Quốc Toàn Khoa Toán - Cơ - Tin, Đại học KHTN, ĐHQG Hà Nội Hà Nội - 2014
  3. Lời nói đầu Các phương pháp giải tích phi tuyến có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính. Trong luận văn này, tác giả trình bày một số áp dụng định lý điểm bất động vào bài toán biên đối với một lớp phương trình elliptic không tuyến tính. Luận văn gồm hai chương: Nội dung chủ yếu của chương 1 là trình bày các định lý về điểm bất động trong không gian Banach, bao gồm: Định lý ánh xạ co Banach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer - Schauder, Định lý điểm bất động Leray - Schauder - Schaefer. Trong chương 2 trình bày một số áp dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường của bài toán Dirichlet và bài toán Neumann đối với một lớp các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính, với phần chính là toán tử Laplace, dạng: −∆u = g(x, u) trong miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω trong Rn . Trong quá trình viết luận văn, tác giả nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận tình của PGS. TS Hoàng Quốc Toàn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại i
  4. học Quốc gia Hà Nội, đã dạy bảo, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới những người thân, gia đình, ban bè đồng nghiệp, đã luôn động viên, ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn. Hà Nội, năm 2014 Học viên Vũ Hữu Đạt ii
  5. Bảng ký hiệu Rn là không gian thực n chiều. Ω là miền bị chặn có biên trơn trong Rn . ∂Ω là biên của Ω. α = (α1 , ..., αn ), αi ∈ N(i = 1, ..., n) được gọi là đa chỉ số. |α| = α1 + ... + αn được gọi là cấp của đa chỉ số α. kukX chuẩn của u ∈ X, X là không gian Hilbert. hu, vi: tích trong của u và v trong không gian Hilbert. ∂ |α| u Dα u = α1 α2 . ∂x1 ∂x2 ...∂xαnn Dk u ={Dα u : |α| = k}.  ∂u ∂u ∂u ∇u = ; ; ...; . ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = 2 + 2 + ... + 2 . ∂x1 ∂x2 ∂xn Các không gian hàm: C k (Ω) = {u : Ω → R khả vi liên tục đến cấp k}. ∞ ∞ C k (Ω) : các hàm khả vi vô hạn trong Ω. T C (Ω) = k=0 ∞ k C0 (Ω), C0 (Ω) kí hiệu các hàm trong C k (Ω), C ∞ (Ω) với giá compact. W (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)|Du ∈ Lp (Ω)}với chuẩn 1,p kukW 1,p = kukLp (Ω) + k∇ukLp (Ω) . W01,p (Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω)|u = 0 trên ∂Ω} với chuẩn kukW01,p = k∇ukLp (Ω) . 1 1 W −1;q (Ω)không gian đối ngẫu của W01,p (Ω), + = 1. p q 1 1,p H0 (Ω) : không gian hàm W0 (Ω) với p = 2. H −1 (Ω) : không gian W −1,q (Ω) với p = q = 2. iii
  6. Mục lục 1 Cơ sở toán học 1 1.1 Sự hội tụ yếu trong không gian Banach . . . . . . . . . . 1 1.2 Sự hội tụ đơn điệu và hội tụ trội . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Không gian Holder và Không gian Sobolev . . . . . . . . 3 1.3.1 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Toán tử −∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Một số định lý điểm bất động cơ bản . . . . . . . . . . . 12 1.5.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . 13 1.5.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng yếu . . . 15 1.5.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng mạnh . . 16 1.5.4 Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . 18 1.5.5 Định lý điểm bất động Leray-Schauder-Schaefer . 21 2 Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng 23 2.1 Ứng dụng định lý điểm bất động Banach đối với bài toán Dirichlet cho một lớp phương trình elliptic cấp 2 phi tuyến. 23 2.2 Ứng dụng định lý Leray-Schaefer để giải bài toán giá trị biên đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho bài toán Dirichlet đối với một lớp phương trình elliptic cấp 2 phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 iv
  7. MỤC LỤC 2.4 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho bài toán Neumann đối với một lớp phương trình elliptic cấp 2 phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tài liệu tham khảo 45 v
  8. Chương 1 Cơ sở toán học 1.1 Sự hội tụ yếu trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là một không gian Banach, {un } ⊂ X. Dãy {un } được gọi là hội tụ yếu đến u ∈ X nếu lim (u∗ , un ) = (u∗ , u), ∀u∗ ∈ X ∗ (1.1) n→∞ Kí hiệu un * u. Nhận xét 1.1.2. i) Nếu un → u thì un * u; ii) Một dãy hội tụ yếu thì bị chặn. iii) Nếu un * u thì ||u|| ≤ lim inf ||un ||. n→∞ Định lý 1.1.3. Cho X là không gian Banach phản xạ và dãy {un } bị chặn trong X. Khi đó tồn tại một dãy con {unk } của {un } và u ∈ X sao cho dãy {unk } hội tụ yếu đến u trong X. Nhận xét 1.1.4. 1
  9. Chương 1. Cơ sở toán học 1. Mọi dãy bị chặn trong không gian Hilbert đều chứa dãy con hội tụ yếu. 1 1 2. Xét X = Lp (Ω), ta có X ∗ = Lq (Ω) với + = 1. Một phiếm hàm p q tuyến tính f trên Lp (Ω) có thể biểu diễn dưới dạng Z f 7−→ f gdx, ∀g ∈ Lq (Ω) Ω Từ đó fn * f ∈ Lp (Ω) có nghĩa là Z Z fn gdx −→ f gdx, ∀g ∈ Lq (Ω) (1.2) Ω Ω Vì Lp (Ω) là không gian đối ngẫu của Lq (Ω) nên Lp (Ω) là không gian phản xạ nếu 1 < q < +∞. Vậy từ một dãy bị chặn trong Lp (Ω) có thể tách ra được một dãy con hội tụ yếu thỏa mãn 1.2. Khẳng định này rất quan trọng về tính compact. Định lý 1.1.5. Giả sử dãy các hàm {fn } trong Lp (Ω) thỏa mãn ||fn − f ||Lp (Ω) −→ 0(n → ∞) Khi đó tồn tại một dãy con {fnk } của dãy {fn } sao cho: i) fnk −→ f h.k.n trên Ω ii) |fnk (x)| ≤ h(x), ∀k và h.k.n trên Ω, trong đó h ∈ Lp (Ω). 1.2 Sự hội tụ đơn điệu và hội tụ trội Định lý 1.2.1. Bổ đề Fatou Giả sử {fm } là khả tổng, không âm và fm −→ f h.k.n. Khi đó Z Z f dx ≤ lim inf fm dx m→∞ Rn Rn 2
  10. Chương 1. Cơ sở toán học Định lý 1.2.2. Định lý hội tụ đơn điệu Giả sử dãy hàm {fm } là đo được và không giảm. Khi đó nếu f1 ≥ 0 hoặc f1 khả tổng thì Z Z lim fm dx = lim fm dx m→∞ m→∞ Rn Rn Định lý 1.2.3. Định lý hội tụ trội Giả sử {fm } là khả tích, |fm | ≤ g và fm −→ f h.k.n với g là hàm khả tổng. Khi đó Z Z f dx = lim fm dx m→∞ Rn Rn Sau đây ta xét không gian Holder và không gian Sobolev là các không gian thường được đề cập khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng. 1.3 Không gian Holder và Không gian Sobolev 1.3.1 Không gian Holder Định nghĩa 1.3.1. i) Hàm số u : Ω −→ R được gọi là liên tục Holder bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , ∀x, y ∈ Ω Khi γ = 1 thì u là liên tục Lipschitz ii) Nếu u : Ω −→ R liên tục và bị chặn trên Ω ta định nghĩa ||u||C(Ω) = sup |u(x)| Ω iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ của u : Ω −→ R là |u(x) − u(y)| [u]C0γ (Ω) = sup x,y∈Ω,x6=y |x − y|γ 3
  11. Chương 1. Cơ sở toán học và chuẩn Holder bậc γ của u : Ω −→ R là ||u||C0γ (Ω) = ||u||C(Ω) + [u]C0γ (Ω) Định nghĩa 1.3.2. Không gian C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm u : Ω −→ R sao cho các đạo hàm riêng cấp k của u bị chặn và liên tục Holder bậc γ. Tức là X X C k,γ (Ω) = {u ∈ C kγ (Ω) : ||Dα u||C(Ω) + [Dα u]C 0,γ (Ω) < ∞} |α|≤k |α|=k Định lý 1.3.3. Không gian Holder C k,γ (Ω) là không gian Banach với chuẩn C k,γ (Ω). Định nghĩa 1.3.4. Cho u, v ∈ L1loc (Ω) và α là một đa chỉ số. Hàm v được gọi là đạo hàm yếu cấp α của u nếu Z Z |α| α uD ϕdx = (−1) vϕdx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Ω Ω Kí hiệu Dα u = v. Nhận xét 1.3.5. Đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại là duy nhất 1.3.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.3.6. W k,p (Ω) = {u : Ω −→ R : Dα u ∈ Lp (Ω), ∀|α| ≤ k} Nhận xét 1.3.7. i) Với p = 2 thì H k (Ω) = W k,p (Ω), chuẩn của u được xác định bởi  P R α p 1/p ( |D u| dx) với 1 ≤ p < ∞     |α|≤k Ω ||u||W k,p (Ω) = ess sup |Dα u| P với p = ∞     |α|≤k Ω 4
  12. Chương 1. Cơ sở toán học ii) Cho dãy {un }, u ∈ W k,p (Ω). Khi đó {un } gọi là hội tụ đến u trong W k,p (Ω) nếu lim ||un − u||W k,p (Ω) = 0 n→∞ Kí hiệu un −→ u trong W k,p (Ω). Định lý 1.3.8. i) Với mỗi k = 1, 2, ... và 1 ≤ p < ∞, không gian Sobolev W k,p (Ω) là không gian Banach. ii) Không gian Sobolev W k,p (Ω) là không gian phản xạ khi và chỉ khi 1 < p < ∞. Hơn nữa khi đó W k,p (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi XZ (u, v)W k,p (Ω) = Dα uDα vdx |α|≤k Ω Nhận xét 1.3.9. i) Gọi bao đóng của C0∞ (Ω) trong W k,p (Ω) là W0k,p (Ω), khi đó W0k,p (Ω) = C0∞ (Ω)W k,p (Ω) = {u ∈ W k,p (Ω) : Dα u = 0 trên ∂Ω, |α| ≤ k} ii) H0k (Ω) = W0k,2 (Ω) Định nghĩa 1.3.10. Không gian đối ngẫu của không gian H0k (Ω) được ký hiệu là H −k (Ω). Một hàm f ∈ H −k (Ω) là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H0k (Ω). Trong phần này ta xét các định lý nhúng mà trong đó định lý nhúng Sobolev đóng một vai trò quan trọng. Định nghĩa 1.3.11. Giả sử X, Y là các không gian Banach i) X được gọi là nhúng liên tục trong Y nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục i : X −→ Y sao cho ||i(x)||Y ≤ C||x||X ,∀x ∈ X. Kí hiệu X ,→ Y . Khi đó ta có thể đồng nhất X với một không gian con i(X) ⊂ Y . 5
  13. Chương 1. Cơ sở toán học ii) X được gọi là nhúng compact vào Y nếu ánh xạ i biến mọi tập con bị chặn trong X thành tập compact tương đối trong Y . Định lý 1.3.12. Cho Ω ⊂ Rn có độ đo Lebesgue hữu hạn, 1 ≤ p ≤ q < ∞. Khi đó Lq (Ω) nhúng compact trong Lp (Ω). Định lý 1.3.13. Giả sử Ω là miền compact tương đối trong Rn và k ∈ N, 0 ≤ α ≤ β < ∞. Khi đó ta có phép nhúng compact Ckβ (Ω) ,→ Ckα (Ω). Định lý 1.3.14. Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz, k ∈ N, 1 ≤ p < ∞. Khi đó: np i) Nếu k.p < n, 1 ≤ q ≤ thì ta có n − kp W k,p (Ω) ,→ Lp (Ω) np và phép nhúng là compact nếu q < n − kp n n ii) Nếu 0 ≤ m < k − < m + 1 và 0 ≤ α ≤ k − m − thì p p W k,p (Ω) ,→ Cm α (Ω) n và phép nhúng là compact nếu α < k − m − p Nhận xét 1.3.15. Định lý nhúng Sobolev vẫn đúng với các không gian W0k,p (Ω) trên mọi miền Ω bị chặn. 1.3.3 Bất đẳng thức Poincare Định lý 1.3.16. Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn , d là đường kính của Ω, u ∈ H01,p (Ω). Khi đó: Z Z 2 2 |u| dx ≤ d |Du|2 dx Ω Ω 6
  14. Chương 1. Cơ sở toán học Định lý 1.3.17. Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn trong lớp C 1 . Khi đó tồn tại hằng số C = C(Ω) sao cho mọi u ∈ H01,p (Ω), ta có   Z Z Z |u|2 dx ≤ C 2  |Du|2 dx + |u|2 ds Ω Ω ∂Ω 1.4 Toán tử −∆ Ta kí hiệu −∆ là toán tử: −∆ : Ho1 (Ω) −→ H −1 (Ω) (1.1) xác định theo công thức: (−∆u, v) = (5u, 5v), ∀u, v ∈ Ho1 (Ω) (1.2) Ta chú ý rằng với ∀u, v ∈ C 2 (Ω) thì R (−∆u, v) = 5u(x) 5 v(x)dx Ω Pn R ∂u ∂v = (x). (x)dx i=1 Ω ∂xi ∂xi Pn R ∂u ∂u ∂ 2u = ( (v − v 2 dx) i=1 Ω ∂xi ∂xi ∂xi n PR ∂ u 2 Pn R ∂u = − v 2 dx) + ( v.cos(xi , v)ds i=1 Ω ∂xi i=1 Ω ∂xi Pn R ∂ 2u = − v 2 dx i=1 Ω ∂xi Pn ∂ 2u Từ đó suy ra :∆u = 2 là toán tử Laplace i=1 ∂xi Cho λ1 ∈ R xác định bởi |5u(x)|2 dx R Ω λ1 = inf |u(x)|2 dx 1 R u∈H (Ω),u6=0 Ω 7
  15. Chương 1. Cơ sở toán học   R 2 R 2 Hay λ1 = inf |5u(x)| dx : |u(x)| dx = 1, u ∈ H 1 (Ω) Ω Ω Điều này tương đương với đặc trưng sau của λ1 |u(x)|2 dx R 1 Ω = sup (1.3) λ1 u∈H01 (Ω),u6=0 |5u(x)|2 dx R Ω   1 R 2 R 2 1 Hoặc : = sup |u(x)| dx : |5u(x)| dx = 1, u ∈ H (Ω) λ1 Ω Ω Sau đây ta sẽ chứng minh sự tồn tại của λ1 . Xét toán tử: A : Ho1 (Ω) −→ Ho1 (Ω) được xác định bởi Z (A(u), v)Ho1 (Ω) = u(x)v(x)dx, u, v ∈ Ho1 (Ω) Ω là toán tử xác định dương, tự liên hợp và compact (do phép nhúng Ho1 (Ω) ,→ L2 (Ω) là compact). Áp dụng định lý Courant Fischer suy ra toán tử A có dãy vectơ riêng {ui } trong Ho1 (Ω), tương ứng với dãy các giá trị riêng {µi } đơn điệu giảm khi i −→ +∞, nghĩa là: µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µi ≥ · · · > 0, µi −→ 0(i −→ +∞)  và µ1 = max (Au, u) : ||u| |Ho1 (Ω) = 1, u ∈ Ho1 (Ω) . Nếu với mỗi λ có một hàm u 6= 0, u ∈ Ho1 (Ω) sao cho: Z Z 5u(x) 5 v(x)dx = λ u(x)v(x)dx, v ∈ Ho1 (Ω) (1.4) Ω Ω thì λ là một giá trị riêng và u là một hàm riêng tương ứng của bài toán giá trị riêng   −∆u(x) = λu(x) trong Ω (1.5) u= 0 trên ∂Ω 1 khi đó 1.4 tương ứng với bài toán giá trị riêng µ = Au trong đó µ = . λ Do đó giá trị riêng của bài toán (2.5) là một dãy tăng 0 < λ1 < λ2 ≤ · · · ≤ λi ≤ . . . λi −→ +∞(i −→ +∞) 8
  16. Chương 1. Cơ sở toán học lấy λ1 là giá trị riêng đầu của toán tử −∆ ta có điều phải chứng minh Từ 1.3 ta có: |u(x)|2 dx R 1 Ω = sup λ1 u∈H 1 (Ω),u6=0 |5u(x)|2 dx R Ω Suy ra: Z Z 2 1 |u(x)| dx ≤ |5u(x)|2 dx, ∀u ∈ H01 (Ω) λ1 Ω Ω Hay 1 ||u||L2 (Ω) ≤ ||u| |H01 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω) λ1 1 Và √ là hằng số nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên nên nó là λ1 hằng số nhúng tốt nhất của phép nhúng H01 (Ω) ,→ L2 (Ω). Định lý 1.4.1. Toán tử −∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω) là ánh xạ 1 − 1 lên. Chứng minh. Theo định nghĩa toán tử −∆ ta có: (∆u, u) = (Du, Du) = ||Du||2L2 (Ω) ≥ k||u||2L2 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω). Do đó k||u||2L2 (Ω) ≤ (−∆u, u) ≥ ||∆u||H −1 (Ω) .||u||H 1 (Ω) . Suy ra ||u||H 1 (Ω) ≤ C||∆u||H −1 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω) (1.6) Nếu −∆u = 0, vì toán tử −∆ xác định dương suy ra u = 0. Vậy −∆ là ánh xạ 1 − 1. Ta chứng minh −∆ là toán tử đóng trong miền xác định R(−∆). Thật vậy, giả sử {fi } ⊂ R(−∆) là dãy hội tụ đến f trong R(−∆) ,→ H 1 (Ω). Khi đó tồn tại dãy {uj } ⊂ D(−∆) sao cho −∆uj = fj . Theo 1.6 ta có ||uj − uk ||H01 (Ω) ≤ C||fj − fk ||H −1 (Ω) , ∀j, k. Từ đó, {uj } là dãy Cauchy trong H01 . Vì H01 là không gian Hilbert nên tồn tại u : lim ||uj − u||H01 = 0. j→∞ 9
  17. Chương 1. Cơ sở toán học Do −∆ là toán tử liên tục nên −∆u = f. Vậy −∆ là toán tử đóng. Ta chứng minh −∆ là ánh xạ lên. Thật vậy, giả sử u0 ∈ H01 (Ω) trực giao với R(−∆) ,→ H 1 (Ω. Ta có (−∆u, u) = 0, ∀u ∈ H01 (Ω) Cho u = u0 suy ra 0 = (−∆u0 , u0 ) ≥ k||u0 ||2H01 (Ω) Suy ra u0 = 0. Do R(−∆) đóng trong H −1 (Ω) nên R(−∆) = H −1 (Ω). Vậy −∆ là ánh xạ lên. Định nghĩa 1.4.2. Giá trị λ được gọi là giá trị riêng của toán tử −∆ nếu tồn tại hàm φ(x) 6= 0, φ(x) ∈ H01 (Ω) sao cho: −∆φ = λφ. Hàm φ được gọi là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ. Chú ý 1.4.3. Ký hiệu T : H −1 (Ω) → H01 (Ω) là toán tử nghịch đảo của toán tử −∆. Giả sử u, v ∈ H01 (Ω). Ta đặt Φ = −∆u, ψ = −∆v. Ta có (T (Φ), ψ) = (T (−∆u), −∆v) = (u, −∆v) = (Du, Dv) = (−∆u, v) = (Φ, T ψ), ∀Φ, ψ ∈ L2 (Ω). Điều này chứng tỏ hạn chế của toán tử T trên không gian L2 (Ω) là toán tử liên hợp, tức là: T = T∗ Mặt khác phép nhúng H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) là compact nên toán tử T hạn chế trên L2 (Ω) T : L2 (Ω) → H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) 10
  18. Chương 1. Cơ sở toán học là toán tử compact, tự liên hợp trong L2 (Ω). Ngoài ra ta có (T ψ, ψ) = (u, −∆u) ≥ k||u||2H01 (Ω) . Suy ra (T ψ, ψ) ≥ 0, ∀ψ ∈ H −1 (Ω) Do đó hạn chế của toán tử T trong L2 (Ω) là toán tử tự liên hợp, compact, xác định dương. Suy ra, trong L2 (Ω) tồn tại một cơ sở trực giao đếm được gồm toàn các hàm riêng {uj }∞ j=1 của T tương ứng với các giá trị ∞ riêng {µj }j=1 trong đó µj > 0 và giảm dần về 0 khi j → ∞. Tức là T uj = µj uj , µj → 0 khi j → ∞. (1.7) Hơn nữa, vì: T : L2 (Ω) → H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) nên từ 1.7 uj ∈ H01 (Ω), ∀j. Tác động toán tử −∆ vào hai vế của 1.7 ta được −∆T uj = µj (−∆uj ) suy ra uj = µj (−∆uj ). Suy ra 1 −∆uj = λj uj , với λj = , j = 1, 2, 3... µj Như vậy toán tử −∆ có dãy hàm riêng µj trong H01 (Ω) tương ứng với dãy các giá trị riêng {λj } đơn điệu tăng khi j → ∞. Nghĩa là 0 < λ1 < λ2 ≤ · ≤ λj ≤ · · · Vì dãy {uj } là các hàm riêng của T nên ta đi đến khẳng định sau: Định lý 1.4.4. Tồn tại một cơ sở Hilbert gồm những hàm riêng {uj } của toán tử −∆ tương ứng với các giá trị riêng λj đơn điệu tăng khi j → ∞. Định lý 1.4.5. Nếu λ1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử −∆ thì ||(−∆)−1 || = 1 λ1 . Chứng minh. Giả sử µ1 là giá trị riêng thứ nhất của toán tử T = (−∆)−1 trong L2 (Ω). µ1 ≥ µ2 ≥ · ≥ µ ≥ · · · → 0(j → ∞). 11
  19. Chương 1. Cơ sở toán học Ta sẽ chứng minh ||T ||L2 (Ω) = µ1 . Thật vậy ta có: ||T ||L2 (Ω) = sup , u 6= 0 → ||T u||L2 (Ω) ≤ ||T ||L2 (Ω) .||u||L2 (Ω) . u∈L2 (Ω) Với u ∈ L2 (Ω), θ = P (u, uj )uj , ta có: j X X Tu = (u, uj )T uj = µj (u, uj )uj j j Suy ra: X X ||T u||2L2 (Ω) = µ2j |(u, uj )|2 ≤ µ21 |(u, uj )|2 j j Do đó ||T u||2L2 (Ω) ≤ µ21 ||u||2L2 (Ω) → ||T ||L2 (Ω) ≤ µ1 (1.8) Mặt khác T u1 = µ1 u1 , ||u1 ||L2 (Ω) = 1 nên ||T ||L2 (Ω) ≥ ||T u1 ||L2 (Ω) = µ1 (1.9) Từ 2.11 và 2.10 suy ra 1 ||T ||L2 (Ω) = µ1 . Vì T = (−∆)−1 nên ||(−∆)−1 ||L2 (Ω) = µ1 = . λ1 Hệ quả 1.4.6. Hàm riêng u1 của toán tử −∆ thỏa mãn ||Du1 ||2L2 (Ω) = λ1 . 1.5 Một số định lý điểm bất động cơ bản Các định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng quát sau đây: Cho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào X. Phải đặt những điều kiện nào trên C, X và T để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm x0 trong C mà T x0 = x0 . Điểm x0 như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Trong rất nhiều trường hợp quan trọng, việc giải một phương trình được 12
  20. Chương 1. Cơ sở toán học quy về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là một phần tử cố định của X thì nghiệm của phương trình Sx = y chính là điểm bất động của ánh xạ T xác định bởi T x = Sx + x − y, ∀x ∈ X, Sau đây ta sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động. 1.5.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là nguyên lý ánh xạ co Banach. Trước khi phát biểu nguyên lý nổi tiếng này, chúng ta sẽ định nghĩa ánh xạ co: Định nghĩa 1.5.1. Một ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho: ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X Như vậy ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên là liên tục Định lý 1.5.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Cho (X,d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong X. Khi đó tồn tại x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ Ngoài ra, ∀x0 ∈ X ta có T n x0 → x∗ khi n → ∞. Chứng minh. (định lý) Cho α < 1 là hằng số co, trước tiên ta chứng minh T có nhiều nhất một điểm bất động. Thật vậy, giả sử x0 6= y0 và T x0 = x0 , T y0 = y0 ta có d(x0 , y0 ) = d(T x0 , T y0 ) ≤ α.d(x0 , y0 ) < d(x0 , y0 ) điều này vô lý. Để chứng minh sự tồn tại, ta phải chỉ ra rằng y ∈ X bất kì, lấy {T n y} hội tụ đến điểm bất động x∗ . Đầu tiên ta có: d(T y, T 2 y) ≤ αd(y, T y) 13
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Tài Chính Ngân Hàng
172 tài liệu
843 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2