Tóm tắt luận văn thạc sĩ khoa học: Bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác

Chia sẻ: Lang Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

309
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt luận văn thạc sĩ khoa học: Bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác tổng quan các bài toán lượng giác cơ bản, bất đẳng thức lượng giác không đối xứng trong tam giác, kỹ thuật chứng minh một số lớp bất đẳng thức lượng giác tổng quát.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn thạc sĩ khoa học: Bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng trong tam giác

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG PH M XUÂN THÀNH B T Đ NG TH C LƯ NG GIÁC D NG KHÔNG Đ I X NG TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60 46 40 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C ĐÀ N NG - NĂM 2011
Công trình đư c hoàn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH. NGUY N VĂN M U Ph n bi n 1: TS. Lê Hoàng Trí Ph n bi n 2: PGS.TS. Nguy n Gia Đ nh Lu n văn s đư c b o v t i h i đ ng ch m Lu n văn t t nghi p th c sĩ Khoa h c h p t i Đà N ng vào ngày 18 tháng 8 năm 2011 * Có th tìm th y thông tin lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Đà N ng
1 M Đ U 1. Lí do ch n đ tài B t đ ng th c là m t trong nh ng v n đ c đi n nh t c a toán h c, đây cũng là m t trong nh ng ph n toán sơ c p đ p và thú v nh t. N i dung xuyên su t c a lu n văn là h th ng các b t đ ng th c lư ng giác. Đi m đ c bi t, n tư ng nh t c a các b t đ ng th c lư ng giác trong toán sơ c p là khó và r t khó, nhưng có th gi i chúng hoàn toàn b ng phương pháp sơ c p, không vư t qua gi i h n c a chương trình toán h c ph thông. Vi c đi tìm l i gi i cho bài toán b t đ ng th c là ni m say mê c a không ít ngư i, đ c bi t là nh ng ngư i đang tr c ti p gi ng d y toán. Các bài toán v b t đ ng th c r t đa d ng v đ tài, phong phú v ch ng lo i và phù h p v i nhi u đ i tư ng thu c các c p h c khác nhau. Đ tài "B t đ ng th c lư ng giác d ng không đ i x ng trong tam giác" nh m đáp ng mong mu n c a b n thân v m t đ tài phù h p mà sau này có th ph c v thi t th c cho vi c nâng cao ch t lư ng gi ng d y c a mình trong nhà trư ng ph thông. Đ tài này liên quan đ n nhi u chuyên đ , trong đó có các v n đ v đ c trưng, tính ch t và bi u di n c a hàm s , s d ng các b t đ ng th c quen thu c như: AM-GM, Jensen, Cauchy-Schwarz, Chebyshev, Karamata,. . . . 2. M c đích nghiên c u Nh m h th ng t ng quan các bài toán v b t đ ng th c lư ng giác cơ b n, b t đ ng th c lư ng giác d ng không đ i x ng trong tam giác. N m đư c m t s k thu t v ch ng minh m t s l p b t đ ng th c lư ng giác t ng quát d ng không đ i x ng trong tam giác. 3. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u
2 Nghiên c u các bài toán v b t đ ng th c lư ng giác d ng không đ i x ng trong tam giác và h th ng các ki n th c liên quan. Nghiên c u t các tài li u, giáo trình c a GS.TSKH Nguy n Văn M u, các tài li u b i dư ng h c sinh gi i, t sách chuyên toán, t p chí toán h c và tu i tr , . . . 4. Phương pháp nghiên c u Nghiên c u tr c ti p t các tài li u c a th y hư ng d n, c a các đ ng nghi p cũng như các b n h c viên trong l p. 5. Ý nghĩa khoa h c T o đư c m t đ tài phù h p cho vi c gi ng d y, b i dư ng giáo viên và h c sinh trung h c ph thông. Đ tài đóng góp thi t th c cho vi c nâng cao ch t lư ng d y h c các chuyên đ toán trong trư ng THPT, đem l i ni m đam mê sáng t o t nh ng bài toán cơ b n nh t. 6. C u trúc lu n văn Lu n văn bao g m ph n m đ u, 3 chương, ph n k t lu n và danh m c tài li u tham kh o. Chương 1. M t s h th c lư ng giác cơ b n trong tam giác: Trong chương này, tác gi trình bày m t s b t đ ng th c cơ b n, b t đ ng th c lư ng giác d ng đ i x ng trong tam giác. Đ g n đ u và th t s p đư c c a các bi u th c d ng đ i x ng trong tam giác. M t s ví d minh h a. Chương 2. M t s l p b t đ ng th c lư ng giác d ng không đ i x ng trong tam giác: Trình bày m t s l p b t đ ng th c lư ng giác d ng không đ i x ng trong tam giác. Chương 3. Áp d ng: Xét m t s áp d ng c a b t đ ng th c vào tìm c c tr c a bi u th c lư ng giác d ng không đ i x ng trong tam giác, gi i phương trình lư ng giác.
3 Chương 1 M T S H TH C LƯ NG GIÁC CƠ B N TRONG TAM GIÁC 1.1 M t s b t đ ng th c cơ b n Đ nh lí 1.1 ([2] B t đ ng th c AM - GM). Gi s x1 , x2 , . . . , xn là các s không âm. Khi đó x1 + x2 + · · · + xn √ n x1 x2 . . . xn . (1.1) n D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = · · · = xn . Đ nh lí 1.2 ([2] Jensen). Gi s hàm s f (x) liên t c trên I(a, b) (trong đó I(a, b) đư c ng m hi u là m t trong các t p [a, b], [a, b), (a, b], (a, b). Khi đó đi u ki n c n và đ đ hàm s f (x) l i trên I(a, b) là x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) f , ∀x1 , x2 ∈ I(a, b). (1.2) 2 2 Đ nh lí 1.3 ([2] B t đ ng th c Chebyshev). Gi s f (x) và g(x) là hai hàm đơn đi u tăng và (xk ) là m t dãy đơn đi u tăng: x1 x2 ··· xn . Khi đó m i b tr ng (pj ) : pj 0, j = 1, 2, . . . , n; p1 + p2 + · · · + pn = 1, ta đ u có n n n pk f (xk ) pk g(xk ) pk f (xk )g(xk ) . (1.3) k=1 k=1 k=1
4 Đ nh lí 1.4 ([2] B t đ ng th c Karamata). Cho hai dãy s xk , yk ∈ I(a; b), k = 1, 2, . . . n, th a mãn đi u ki n x1 x2 ··· xn , y1 y2 ··· yn và  x1 y1   x1 + x2 y1 + y2    .........  x1 + x2 + · · · + xn−1 y1 + y2 + · · · + yn−1     x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn  Khi đó, ng v i m i hàm l i kh vi f (x), (f (x) 0) trên I(a; b), ta đ u có f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ). (1.4) 1.2 B t đ ng th c cơ b n d ng đ i x ng trong tam giác Gi s f (A, B, C) là bi u th c ch a các hàm s lư ng giác c a các góc trong tam giác ABC. Gi s các góc A, B, C th a mãn đi u ki n: A+B A+B 1. f (A) + f (B) 2f ho c f (A)f (B) f2 , (1.5) 2 2 đ ng th c x y ra khi và ch khi A = B. π π π C+ π C+ 2. f (C) + f 2f 3 ho c f (C)f f2 3 , (1.6) 3 2 3 2 π đ ng th c x y ra khi và ch khi C = . 3 Khi c ng (ho c nhân) (1.5) và (1.6) ta s có b t đ ng th c π π f (A) + f (B) + f (C) 3f ho c f (A)f (B)f (C) f3 , 3 3 đ ng th c x y ra khi và ch khi A = B = C.
5 Các b t đ ng th c cơ b n d ng đ i x ng trong tam giác d ng f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + f (g(C, A, B)) 0, ho c f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + f (g(C, A, B)) 0, trong đó f (t) là m t trong các hàm lư ng giác d ng sin t, cos t, tan t, cott và g(x, y, z) là hàm tuy n tính d ng g(x, y, z) = αx + βy + γz, đã đư c đ c p nhi u trong các sách chuyên đ và sách tham kh o. Trong m c này, ta ch xét m t s ví d c a các d ng đ i x ng ph thu c vào t ng và tích các hàm s lư ng giác cơ b n. B t đ ng th c c a các d ng không đ i x ng mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, ho c mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, s đư c xét m c ti p theo. 1.2.1 B t đ ng th c lư ng giác đ i x ng sinh b i hàm cos x Ta nh c l i m t s b t đ ng th c cơ b n trong tam giác. Bài toán 1.1. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có 3 cos A + cos B + cos C . (1.7) 2 Bài toán 1.2. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta đ u có √ A B C 3 3 cos + cos + cos . (1.8) 2 2 2 2 Bài toán 1.3. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC ta đ u có 1 cos A cos B cos C . (1.9) 8 Bài toán 1.4. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có √ A B C 3 3 cos cos cos . (1.10) 2 2 2 8
6 1.2.2 B t đ ng th c lư ng giác đ i x ng sinh b i sin x Bài toán 1.5. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có √ 3 3 sin A + sin B + sin C . (1.11) 2 Bài toán 1.6. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có A B C 3 sin + sin + sin . (1.12) 2 2 2 2 Bài toán 1.7. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có A B C 1 sin sin sin . (1.13) 2 2 2 8 Bài toán 1.8. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có √ 3 3 sin A sin B sin C . (1.14) 8 Bài toán 1.9. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có 9 sin2 A + sin2 B + sin2 C . (1.15) 4 1.2.3 B t đ ng th c lư ng giác đ i x ng sinh b i hàm tan x Bài toán 1.10. Ch ng minh r ng tam giác nh n ABC, ta đ u có √ tan A + tan B + tan C 3 3. (1.16) Bài toán 1.11. Ch ng minh r ng m i tam giác ABC, ta đ u có A B C √ tan + tan + tan 3. (1.17) 2 2 2 Bài toán 1.12. Ch ng minh r ng m i tam giác ABC, ta đ u có A B C 1 tan tan tan √ . (1.18) 2 2 2 3 3 Bài toán 1.13. Ch ng minh r ng trong tam giác nh n ABC, ta luôn có √ tan A tan B tan C 3 3. (1.19) Bài toán 1.14. Cho tam giác ABC. Ch ng minh r ng v i n là s nguyên dương ta luôn có A B C 1 tan2n + tan2n + tan2n . (1.20) 2 2 2 3n−1
7 1.2.4 B t đ ng th c đ i x ng sinh b i hàm s cot x Bài toán 1.15. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có √ cot A + cot B + cot C 3. (1.21) Bài toán 1.16. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có A B C √ cot + cot + cot 3 3. (1.22) 2 2 2 Bài toán 1.17. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta luôn có A B C √ cot cot cot 3 3. (1.23) 2 2 2 Bài toán 1.18. Ch ng minh r ng trong tam giác nh n ABC, ta luôn có 1 cot A cot B cot C √ . (1.24) 3 3 1.3 Đ g n đ u và th t s p đư c c a các bi u th c d ng đ i x ng trong tam giác Đ nh nghĩa 1.1 ([1]). V i m i tam giác ABC cho trư c, ta kí hi u δ∆ABC = max {A, B, C} − min {A, B, C} (1.25) và g i δ∆ABC là đ g n đ u c a tam giác ABC. Rõ ràng δ∆ABC 0 và δ∆ABC = 0 khi và ch khi tam giác ABC là m t tam giác đ u. Đ nh nghĩa 1.2 ([1]). V i m i c p tam giác A1 B1 C1 và A2 B2 C2 tho mãn đ ng th i các đi u ki n max {A1 , B1 , C1 } max {A2 , B2 , C2 } min {A1 , B1 , C1 } min {A2 , B2 , C2 } thì ta nói c p tam giác A1 B1 C1 và A2 B2 C2 là c p đư c s p th t và tam giác A1 B1 C1 g n đ u hơn tam giác A2 B2 C2 .
8 V y trong trư ng h p có s p th t : V i m i c p tam giác A1 B1 C1 và A2 B2 C2 (v i A1 B1 C1 và A2 B2 C2 ) tho mãn đ ng th i các đi u ki n A1 A2 C1 C 2 thì ta có tam giác A1 B1 C1 g n đ u hơn tam giác A2 B2 C2 . Nh n xét 1.1. Tam giác đ u g n đ u hơn m i tam giác khác. Nh n xét 1.2. Trong t p h p các tam giác không nh n thì tam giác vuông cân g n đ u hơn m i tam giác khác. Đ nh lí 1.5 ([1]). Cho hàm s y = f (x) có đ o hàm c p hai f (x) trong kho ng (a;b). i) N u f (x) 0 v i m i x ∈ (a; b) thì f (x) f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), ∀x0 ∈ (a; b). ii) N u f (x) 0 v i m i x ∈ (a; b) thì f (x) f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), ∀x0 ∈ (a; b). Đ nh lí 1.6 ([4]). Đi u ki n c n và đ đ tam giác A2 B2 C2 g n đ u hơn tam giác A1 B1 C1 , t c là th a mãn đi u ki n max{A1 , B1 , C1 } max{A2 , B2 , C2 } min{A1 , B1 , C1 } min{A2 , b2 , C2 } là gi a chúng có m t phép bi n đ i tuy n tính d ng  αA1 + βB1 + γC1 = A2  αB + βC1 + γA1 = B2  1 αC1 + βA1 + γB1 = C2  trong đó α 0, β 0, γ 0, α + β + γ = 1. H qu 1.1 ([4]). Cho tam giác ABC, các s dương α, β, γ th a mãn đi u ki n α + β + γ = 1. Đ t A1 = αA + βB + γC, B1 = αB + βC + γA, C1 = αC + βA + γB. Khi đó A1 , B1 , C1 cũng là các góc c a m t tam giác A1 B1 C1 nào đó và tam giác này g n đ u hơn tam giác đã cho.
9 Nh n xét 1.3. Nh n xét r ng k t qu c a H qu 1.1 v n đúng khi α, β, γ là không âm và có ít nh t hai trong ba s là dương. Trư ng h p có hai s b ng 0, ch ng h n β = 0, γ = 0 thì α = 1 và ta nh n đư c ba góc m i chính là m t hoán v c a A, B, C nên k t lu n c a H qu 1.1 v n đúng. Nh n xét 1.4. K t qu c a H qu 1.1 cho ta cách d ng m t tam giác m i g n đ u hơn tam giác đã cho. Tuy nhiên, đ d ng m t tam giác A1 B1 C1 xa đ u hơn tam giác ABC đã cho, ta c n ph i ti n hành gi i h phương trình tương ng. Xét h phương trình  αA1 + βB1 + γC1 = A  αB + βC1 + γA1 = B  1 αC1 + βA1 + γB1 = C  1 trong đó α, β, γ không âm và không đ ng th i b ng nhau = th a 3 mãn đi u ki n α + β + γ = 1, A1 , B1 , C1 là các góc c n xác đ nh. Ta có   α β γ D = det  γ α β  = α3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ = 0 β γ α và   A β γ DA1 = det B α β  = (α2 − βγ)A + (γ 2 − βα)B + (β 2 − γα)C C γ α nên DA1 (α2 − βγ)A + (γ 2 − βα)B + (β 2 − γα)C A1 = = . D α3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ Tương t , ta nh n đư c DB1 (α2 − βγ)B + (γ 2 − βα)C + (β 2 − γα)A B1 = = , D α3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ DC1 (α2 − βγ)C + (γ 2 − βα)A + (β 2 − γα)B C1 = = . D α3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ V y nên  α1 A + β1 B + γ1 C = A1  α B + β1 C + γ1 A = B1  1 α1 C + β1 A + γ1 B = C1 
10 trong đó α2 − γβ α1 = 3 , α + β 3 + γ 3 − 3αβγ γ 2 − βα β1 = 3 , α + β 3 + γ 3 − 3αβγ β 2 − αγ γ1 = 3 . α + β 3 + γ 3 − 3αβγ Nh n xét r ng (α + β + γ)(α2 + β 2 + γ 2 − αβ − βγ − γα) (α+β+γ)(α1 +β1 +γ1 ) = = 1. α3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ T k t qu này, ta thu đư c k t lu n sau đây. H qu 1.2. Cho tam giác ABC, các s α, β, γ không âm và không 1 đ ng th i b ng nhau = th a mãn đi u ki n α + β + γ = 1. Đ t 3  α1 A + β1 B + γ1 C = A1  α B + β1 C + γ1 A = B1  1 α1 C + β1 A + γ1 B = C1  trong đó α2 − γβ α1 = , α3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ γ 2 − βα β1 = 3 , α + β 3 + γ 3 − 3αβγ β 2 − αγ γ1 = 3 . α + β 3 + γ 3 − 3αβγ Khi đó A1 , B1 , C1 là các góc c a m t tam giác A1 B1 C1 xa đ u hơn tam giác ABC đã cho. M nh đ 1.1 ([4]). ho các s dương α, β, γ th a mãn đi u ki n α + 1 β + γ = 1 và max(α, β, γ) . Khi đó, v i m i tam giác ABC, ta đ t 2  A1 = αA + βB + γC  B = αB + βC + γA  1 C1 = αC + βA + γB 
11 thì A1 , B1 , C1 là các góc c a m t tam giác nh n A1 B1 C1 và tam giác này g n đ u hơn tam giác đã cho. M nh đ 1.2 ([4]). Cho tam giác ABC. Xét tam giác A1 B1 C1 có các góc đư c tính theo công th c A = A + B + C   1   2 3 6 B C A  B = + + .  1 2 3 6 C A B   C1 = + +  2 3 6 π π Khi đó các góc A1 B1 C1 n m trong kho ng ; . 6 2 1.4 M t s ví d minh h a Bài toán 1.19 ([4]). Cho tam giác ABC và cho ba s không âm α, β, γ sao cho α + β + γ = 1. Đ t  A0 = αA + βB + γC  B = αB + βC + γA  0 C0 = αC + βA + γB  Ch ng minh r ng khi đó tam giác A0 B0 C0 g n đ u hơn tam giác ABC. K t qu sau đây bao hàm h u h t các b t đ ng th c đ i x ng d ng cơ b n trong tam giác. Bài toán 1.20 ([1]). Cho tam giác A2 B2 C2 g n đ u hơn tam giác A1 B1 C1 và cho hàm s f (x) có f (x) 0 v i m i x ∈ (0; π). Khi đó f (A1 ) + f (B1 ) + f (C1 ) f (A2 ) + f (B2 ) + f (C2 ). (1.26) Bài toán 1.21 ([1]). Cho tam giác A2 B2 C2 g n đ u hơn tam giác A1 B1 C1 và cho hàm s f (x) có f (x) 0 v i m i x ∈ (0; π). Khi đó f (A1 ) + f (B1 ) + f (C1 ) f (A2 ) + f (B2 ) + f (C2 ). (1.30) Bài toán 1.22 ([1]). Cho tam giác ABC và cho ba s dương α, β, γ sao cho α + β + γ = 1. Đ t  A0 = αA + βB + γC  B = αB + βC + γA  0 C0 = αC + βA + γB 
12 Ch ng minh r ng sin A + sin B + sin C sin A0 + sin B0 + sin C0 . (1.34) Bài toán 1.23 ([1]). Cho tam giác ABC và cho ba s dương α, β, γ sao cho α + β + γ = 1. Đ t  A0 = αA + βB + γC  B = αB + βC + γA  0 C0 = αC + βA + γB.  Ch ng minh r ng A B C A0 B0 C0 cos + cos + cos cos + cos + cos . (1.36) 2 2 2 2 2 2 Bài toán 1.24 ([4]). Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c A B C B C A C A B M1 = sin + + + sin + + + sin + + (1.37) 2 3 6 2 3 6 2 3 6 trong t p M (∆), t c là các góc c a tam giác suy r ng ABC. Bài toán 1.25 ([4]). Cho các s dương x, y, z th a mãn đi u ki n x y z. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta luôn có A B C B C A C A B x sin + + + y sin + + + z sin + + 2 3 6 √ 2 3 6 2 3 6 3 1 x+ y + z. (1.38) 2 2 Bài toán 1.26 ([4]). Cho các s dương α, β, γ th a mãn α + β + γ = 1. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c M0 = sin(αA+βB+γC)+sin(αB+βC+γA)+sin(αC+βA+γB) (1.41) trong M (∆), t c là A, B, C là các góc trong tam giác suy r ng ABC.
13 Chương 2 M T S L P B T Đ NG TH C LƯ NG GIÁC D NG KHÔNG Đ I X NG TRONG TAM GIÁC Các b t đ ng th c cơ b n d ng không đ i x ng trong tam giác d ng mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, ho c mf (g(A, B, C)) + nf (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, trong đó f (t) là m t trong các hàm lư ng giác d ng sin t, cos t, tan t, cott, g(x, y, z) là hàm tuy n tính d ng g(x, y, z) = αx+βy +γz và m, n, p 0. Các b t đ ng th c cơ b n d ng đ i x ng b ph n trong tam giác d ng f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, ho c f (g(A, B, C)) + f (g(B, C, A)) + qf (g(C, A, B)) 0, trong đó f (t) là m t trong các hàm lư ng giác d ng sin t, cos t, tan t, cot t, g(x, y, z) là hàm tuy n tính d ng g(x, y, z) = αx + βy + γz và q ∈ R. Trong m c này, ta xét các ví d c a các d ng đ i x ng b ph n và không đ i x ng ph thu c vào t ng c a các hàm lư ng giác cơ b n.
14 2.1 B t đ ng th c d ng không đ i x ng sinh b i hàm cos x Ta xét m t s b t lư ng giác d ng đ i x ng b ph n Bài toán 2.1 ([4]). Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC, ta đ u có −2k 2 − 1 a) cos 2A + cos 2B + k cos 2C , khi k > 0. (2.1) 2k −2k 2 − 1 b) cos 2A + cos 2B + k cos 2C , khi k < 0. (2.2) 2k Bài toán 2.2 ([4]). Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC, ta đ u có 3 cos 2A − cos 2B + cos 2C . (2.3) 2 Bài toán 2.3 ([4]). Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC, ta đ u có √ 5 3(cos 2A + cos 2B) + cos 2C − . (2.4) 2 Bài toán 2.4 ([4]). Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC, ta đ u có √ 5 3(cos 2A − cos 2C) + cos 2B . (2.5) 2 Bài toán 2.5 ([4]). Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC, ta đ u có 2k 2 + 1 a) cos 3A + cos 3B + k cos 3C , khi k < 0. (2.6) 2k 2k 2 + 1 b) cos 3A + cos 3B + k cos 3C , khi k > 0. (2.7) 2k Ti p theo, ta kh o sát bài toán cơ b n v b t đ ng th c không đ i x ng trong tam giác sinh b i hàn s cos t, t ∈ [0; π]. Bài toán t ng quát 1. Cho các s dương x, y, z. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c Tc = x cos A + y cos B + z cos C, trong t p M (∆), t c là A, B, C là các góc c a tam giác suy r ng ABC.
15 Kí hi u M (∆) là t p h p t t c các tam giác ABC k c tam giác suy bi n, t c là A 0, B 0, C 0 và A + B + C = π. Ta g i các tam giác thu c M (∆) là các tam giác suy r ng. 1 1 1 Bài toán 2.6 ([4]). Cho các s dương x, y, z sao cho, , l p thành x y z đ dài các c nh c a m t tam giác XY Z cho trư c. Khi đó v i m i tam giác ABC, ta đ u có yz xz xy x cos A + y cos B + z cos C + + . (2.8) 2x 2y 2z Đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC đ ng d ng v i tam giác XY Z. Nh n xét 2.1. Bi u th c P = x cos A + y cos B + z cos C đ t đư c giá yz xz xy 1 1 1 tr l n nh t b ng + + khi và ch khi , , là đ dài ba c nh 2x 2y 2z x y z 1 1 1 c a m t tam giác, hay − < . Trong trư ng h p t ng quát, khi các x y z 1 1 1 h s x, y, z là các s dương tùy ý không th a mãn đi u ki n − < x y z thì d u đ ng th c trong (2.8) s không x y ra. Ti p theo, ta xét các trư ng h p khi các s dương x, y, z không th a 1 1 1 mãn đi u ki n c a Bài toán 2.6, bao g m các trư ng h p − = x y z 1 1 1 ho c − > . x y z Bài toán 2.7 ([4]). Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta đ u có 1 3 cos A + cos B + cos C < . (2.13) 2 2 1 Bài toán 2.8 ([4]). Cho s dương m tho mãn đi u ki n 0 < m < . 2 Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta đ u có cos A + cos B + m cos C < 2 − m. (2.14) B đ 2.1 ([4]). Cho các s dương x, y, z v i x y z > 0. Khi đó v i m i tam giác ABC, ta đ u có x cos A + y cos B + z cos C x cos A0 + y cos B0 + z cos C0 , (2.15) trong đó A0 = min {A, B, C} , B0 = med {A, B, C} , C0 = max {A, B, C}
16 1 1 1 Bài toán 2.9 ([4]). Cho các s dương x, y, z sao cho + = . Khi đó x y z v i m i tam giác ABC, ta đ u có x cos A + y cos B + z cos C < x + y − z. (2.16) T ng quát hơn, ta có k t lu n sau. 1 1 1 Bài toán 2.10 ([4]). Cho các s dương x, y, z sao cho + . Khi x y z đó v i m i tam giác ABC ta đ u có x cos A + y cos B + z cos C x + y − z. (2.21) 1 Bài toán 2.11 ([4]). Cho các s dương x, y, z th a mãn đi u ki n 2 + x 1 1 > 2 . Ch ng minh r ng v i m i tam giác nh n ABC, ta đ u có y2 z yz xz xy x cos A + y cos B + z cos C + + . (2.22) 2x 2y 2z D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x sin A = y sin B = z sin C, t c là tam giác ABC đ ng d ng v i tam giác nh n có đ dài các c nh l n lư t 1 1 1 là , , . x y z B đ 2.2 ([4]). Cho các s dương x, y, z th a mãn x y z. Khi đó v i m i tam giácABC, ta đ u có x cos A + y cos B + z cos C x cos A0 + y cos B0 + z cos C0 , (2.28) trong đó A0 = max {A, B, C} , B0 = med {A, B, C} , C0 = min {A, B, C} . Đ nh lí 2.1 ([4]). Cho các s dương x, y, z th a mãn đi u ki n x y z. Khi đó v i m i tam giác ABC ∈ M (∆), ta đ u có x cos A + y cos B + z cos C −x + y + z. (2.29) D u đ ng th c x y ra khi và ch khi A = π, B = C = 0. Bài toán t ng quát 2. Cho các s dương x, y, z. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c T2C = x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C, trong t p M (∆), t c là A, B, C là ba góc c a tam giác suy r ng ABC.
17 B đ 2.3 ([4]). Gi s x y z > 0. Khi đó, v i m i tam giác ABC ∈ M (∆), ta đ u có x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C x cos 2A0 + y cos 2B0 + z cos 2C0 , (2.30) trong đó A0 = min {A, B, C} , B0 = med {A, B, C} , C0 = max {A, B, C} . Đ nh lí 2.2 ([4]). Gi s x y z > 0. Khi đó, v i m i tam giác ABC ∈ M (∆), ta đ u có x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C x + y + z. (2.31) D u đ ng th c x y ra khi A = B = 0, C = π. 1 1 1 B đ 2.4 ([4]). Cho các s dương x, y, z sao cho , , l p thành ba x y z c nh c a m t tam giác XY Z cho trư c. Khi đó m i tam giác ABC, ta đ u có 1 xy yz zx x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C − + + . (2.32) 2 z x y D u đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC đ ng d ng v i tam giác XY Z. Nh n xét 2.2. Nh n xét r ng, bi u th c T2C = x cos 2A + y cos 2B + 1 xy yz zx z cos 2C đ t đư c giá tr nh nh t là − + + khi và ch khi 2 z x y 1 1 1 1 1 1 1 1 , , là đ dài ba c nh c a m t tam giác, hay − < < + . x y z x y z x y Trong trư ng h p t ng quát, khi các h s x, y, z là các s dương tùy ý 1 1 1 không th a mãn đi u ki n − < thì d u đ ng th c trong (2.32) x y z s không x y ra. 1 1 1 Bài toán 2.12 ([4]). Cho các s dương x, y, z sao cho + = . Khi x y z đó v i m i tam giác ABC, ta đ u có x cos 2A + y cos 2B + z cos 2C > z − y − x. (2.33) Ti p theo, đ k t thúc d ng toán này ta ch ng minh bài toán t ng quát sau. Bài toán 2.13 ([4]). Cho các s dương x, y, z và n ∈ N. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC, ta đ u có x2 + y 2 + z 2 2(−1)n+1 (yz cos nA + zx cos nB + xy cos nC). (2.39)
18 2.2 B t đ ng th c d ng không đ i x ng sinh b i hàm sin x Bài toán 2.14 ([4]). Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC, ta đ u có (2k + 1)2 a) sin2 A + sin2 B + k sin2 C khi k > 0. (2.44) 4k 2 2 2 (2k + 1)2 b) sin A + sin B + k sin C khi k < 0. (2.45) 4k Bài toán 2.15 ([1]). Ch ng minh r ng trong m i tam giác ABC, ta đ u có √ 2 2 1 2 3 2 sin A + sin B + √ sin C 1 + . (2.46) 2 4 Bài toán 2.16. Ch ng minh r ng trong m i tam giác ta đ u có √ 4√ sin A + sin B + 3 sin C 6. (2.47) 3 B đ 2.5 ([4]). Cho các s dương x, y, z tho mãn đi u ki n x y z > 0. Khi đó v i m i tam giác ABC ta đ u có x sin A + y sin B + z sin C x sin A0 + y sin B0 + z sin C0 , (2.49) trong đó A0 = min {A, B, C} , B0 = med {A, B, C} , C0 = max {A, B, C} Đ nh lí 2.3 ([4]). Cho các s dương x, y, z tuỳ ý. Khi đó v i m i tam giác ABC, ta đ u có x sin A + y sin B + z sin C 0. (2.50) D u đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC có s đo ba góc là 0, 0, π. Đ nh lí 2.4 ([4]). Gi s α, β, γ là ba góc c a tam giác nh n XY Z cho trư c. Khi đó v i m i tam giác ABC, ta đ u có sin A sin B sin C 1 1 1 + + + + cos α cos β cos γ sin 2α sin 2β sin 2γ 1 − (cot 2α + cot 2β + cot 2γ) 2 1 sin 2α sin 2β sin 2γ + + + . 4 sin 2β sin 2γ sin 2α sin 2γ sin 2α sin 2β (2.51)