Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về một áp dụng của định lý điểm bất động vào bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình Elliptic nữa tuyến tính

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với đề tài "Về một áp dụng của định lý điểm bất động vào bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình Elliptic nữa tuyến tính" tác giả nghiên cứu ứng dụng của định lý điểm bất động của ánh xạ có tìm điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình Elliptic nữa tuyến tính trên miền không bị chặn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về một áp dụng của định lý điểm bất động vào bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình Elliptic nữa tuyến tính

I H C QU C GIA HÀ N I TR NG I H C KHOA H C T NHIÊN ---------------------------- ng cC ng V M T P NG A NH I MB T NG O I N DIRICHLET I V I H! PH "NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH LU(N V)N TH C S* KHOA H C Hà N i-2011
I H C QU C GIA HÀ N I TR NG I H C KHOA H C T NHIÊN ---------------------------- ng cC ng V M T P NG A NH I MB T NG O I N DIRICHLET IV I H! PH "NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH Chuyên ngành: +n ,-.i /0ch Mã s1: 60.46.01 LU(N V)N TH C S* KHOA H C Ng i h 2ng d3n khoa h4c: PGS. TS. NG QU C N Hà N i-2011 2
5 C C 56c 76c 1 L i m8 9:u 2 L i ;.m u 5 CH "NG 1. KI&N TH?C CHU@N .................................................................. 6 1.1. M ts nh a chung v ph ng nh o m riêng 6 1.2. H i y u ...................................................................................................... 7 1.3. Không gian Sobolev....................................................................................... 8 1.4. nt a i n Dirichlet....................................................................... 10 1.5. nh ! Lax-Milgram..................................................................................... 14 CH "NG 2. M T S NH V I MB T NG.................................... 18 2.1. " c nh ! i#m b$t ng a nh % co..................................................... 18 2.2. " c nh ! i#m b$t ng a nh % không &'n........................................ 26 2.3. " c nh ! i#m b$t ng a nh % liên c............................................. 33 CH "NG 3. I N DIRICHLET I V I H! PH "NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH TRÊN MI N KHÔNG CHAN.................... 40 3.1. (t bài toán.................................................................................................... 40 3.2. S) t*n i a nghi+m y u a i n Dirichlet.......................................... 43 L i kBt 50 i li>u tham CD.o 52 3
L I ME FU Ph ng nh vi phân o m riêng b môn khoa ,c -.p nghiên c/u r$t nhi u i n /ng & ng 0 c nhau nh : ng l)c ,c, i+n ,c, quang ,c, ! thuy t n h*i.... Ph ng nh vi phân o m riêng 1n 2 m i quan h+ quan ,ng v3i ! thuy t % c su$t . Hi+n nay ph ng nh vi phân ng4u nhiên công n ,c y u nghiên c/u m t v$n quan ,ng trong nh v)c kinh t i 5nh nh - c6 phi u. M t s nh v)c n ,c hi+n i 0 c nh : 7! thuy t bi#u di8n 2m, 7! thuy t tr 9ng l :ng t , 7! thuy t c không gian thu;n nh$t < V=t ! n trong 2 ph ng nh vi phân o m riêng 2ng vai 1 quan ,ng. M t nh v)c quan ,ng nh$t trên ph ng di+n /ng & ng, 2 5nh n khoa ,c > m t trong nh?ng n i dung y u a 2 -@i c ph ng nh vi phân o m riêng. Tuy nhiên nhi u i n ph ng nh vi phân o m riêng > vi+c m nghi+m a 2 r$t ph/c p m(c &A 2 0 n -@n v m(t c$u .c. B2i chung không 2 ph ng C p chung # -@i c ph ng nh vi phân o m riêng. i u ng 9i ta quan tâm khi nghiên c/u c ph ng nh vi phân o m riêng 5nh t*n i < t*n i duy nh$t nghi+m a 2. V3i i "VG mHt +p I6ng ;Ja 9Knh 7L 9iMm bNt 9Hng O o P i / +n Dirichlet 91i v2i h> ph
s nh ! trong ! thuy t v i#m b$t ng. "2 K k t HI@ n6i ti ng nh$t trong ! thuy t v i#m b$t ng nguyên ! nh % co Banach. 2 ! do .ng tôi bLt ;u ch ng y bMng vi+c nh y v nh % co < m t ch/ng minh a nguyên ! y. 2 Jng c sF y u # m i u ki+n t*n i nghi+m a i n Dirichlet cho h+ ph ng nh elliptic n a tuy n 5nh. Trong ch ng hai .ng tôi 1n nh y thêm m t s k t HI@ 0 c a ! thuy t i#m b$t ng < m t s v5 & /ng & ng ' :c nghiên c/u. N i dung ch ng hai :c tham 0 @o y u tN i li+u [6]. Ch ph
L I WM "N B@n lu=n vDn này :c hoàn thành d 3i s) h 3ng d4n t=n tình c a PGS. TS. HOÀNG QU C TOÀN, Tr 9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên – i h,c Qu c gia O N i. Th;y là ng 9i xu$t, dành nhi u th9i gian h 3ng d4n, s a các lPi cJng nh gi@i áp các thLc mLc c a tôi trong su t quá trình làm lu=n vDn. Tôi mu n bày tQ lòng bi t n sâu sLc nh$t n ng 9i th;y c a mình. Tôi xin c@m n Tr 9ng THPT Chu VDn An, 7 ng S n ã giúp R, t o i u ki+n thu=n l:i cho tôi hoàn thành khoá h,c này. Và tôi cJng xin cám n Xeminar c a b môn Gi@i tích, Tr 9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên ã giúp tôi b6 sung, c ng c các ki n th/c v Lý thuy t ph ng trình o hàm riêng. Qua ây, tôi xin g i t3i các th;y cô Khoa Toán- C - Tin h,c, Tr 9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên, i h,c Qu c gia Hà n i, cJng nh các th;y cô ã tham gia gi@ng d y khóa cao h,c 2008-2010, l9i c@m n i v3i công lao d y dP trong su t quá trình ,c t=p i nhà tr 9ng. Tôi xin c@m n gia ình, b n bè và t$t c@ m,i ng 9i ã quan tâm, t o i u ki+n, ng viên c6 vJ tôi # tôi có th# hoàn thành nhi+m v c a mình. Hà n i, tháng 12 nDm 2010 ng cC ng 6
=' HI!U MHt s1 C0 hi>u th ng IXng trong luYn vZn 1. N : không gian Euclide th)c N chi u 2. ∂Ω : Biên a Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω : bao 2ng a Ω. ∂u ( x ) u ( x + hei ) − u ( x ) 3. = lim n u gi3i n y t*n i. S! hi+u u xi , ∂xi h → 0 h ei = ( 0, 0, , 0, i, 0, , 0 ) : Vect n < th/ i. 4. α = (α1 , α 2 , , α N ) : a T s . α i ∈ + α = α1 + α 2 + + α N : b=c a a T s . ∂ 5. D j = −i , i 2 = −1, D = ( D1 , D2 , , DN ) : Vect gradient ∂x j α αj αj ∂ j α ∂α D j = ( −1) α , D = ( −1) α ∂x j j ∂x1α1 ∂x2α 2 ∂xαNN N 6. ∆u = u xi xi = tr ( D 2u ) : n t Laplace a u. i =1 7. C ( Ω ) : không gian c m u :Ω → liên c. ( ) C Ω : không gian c m u ∈ C ( Ω ) , u liên c u. C k ( Ω ) : không gian c m u :Ω → 0 @ vi n c$p k C ∞ ( Ω ) : không gian c m u :Ω → 0 @ vô n ∞ C∞ Ω = ( ) k =0 ( ) C k Ω v3i C k Ω : không gian( ) c m u ∈ C k ( Ω ) , Dα u liên c u v3i >,i α , α ≤ k . C0k ( Ω ) : không gian c m u ∈ C k ( Ω ) , u 2 - compact 8. Lp ( Ω ) : không gian c m u : Ω → , u o :c Lebesgue u Lp ( Ω ) µ} = 0} , f m th)c o :c. Lloc ( Ω ) p không gian c m u : Ω → , u ∈ Lp (U ) v3i >,i U t=p con compact trong Ω . 9. C k ,α ( Ω ) , C k ,α ( Ω ) , k = 1, 2, ; 0 ≤ α ≤ 1 : c không gian Hölder. o 10. W pk ( Ω ) , H k ( Ω ) , H k ( Ω ) , k = 0,1, ; 1 ≤ p ≤ ∞ : c không gian Sobolev. 7
CH NG 1 KI N TH C CHU N 1.1. MHt s1 9Knh [,D\a chung vG ph 'n (1.1). Knh [,D\a 1.2. Ph ng nh o m riêng (1.1) :c , i tuy n nh n u 2 2 & ng aα ( x ) Dα u = f ( x ) α ≤k Trong 2 aα ( x ) < f ( x) c m ' cho. Ph ng nh :c , i tuy n nh thu n nh t n u f ≡ 0 Ph ng nh o m riêng (1.1) :c , i n a tuy n nh n u 2 2 & ng aα ( x ) Dα u + a0 ( x, u, Du, , D k −1u ) = 0 α =k 8
Ph ng nh o m riêng (1.1) :c , i t a tuy n nh n u 2 2 & ng aα ( x, u, Du, , D k −1u ) Dα u + a0 ( x, u , Du , , D k −1u ) = 0 α =k Ph ng nh o m riêng (1.1) :c ,i phi tuy n n u 2 C thu c không tuy n 5nh < o o m riêng b=c cao nh$t. 1.2. HHi /6 yBu Cho X không gian Banach Knh [,D\a 1.3. U'y {un } ch/a trong X :c , i h i y u n u∈X n u u * , un → u * , u v3i >,i u * ∈ X * NhYn U^t 1.1. 1. N u &'y {un } h i nu &'y {un } h i y u n u. 2. M t &'y h i y u &'y ch(n 3. N u {un } h i y u n u u ≤ lim inf un n →∞ Knh 7L 1.1. Cho X không gian Banach n ( ( X *) * = X ) y {un } ch n. Khi t n im t { } y con unk ⊂ {un } u ∈ X sao cho unk { }h i y u n u. NhYn U^t 1.2. 1. M t &'y ch(n trong không gian Hilbert ch/a m t &'y con h i y u. 1 1 2. VWt X = Lp ( Ω ) X * = Lq ( Ω ) , + = 1 , 1 < q ≤ ∞ . M t phi m m tuy n p q 5nh ch(n f trên Lp ( Ω ) 2 th# :c bi#u di8n d 3i & ng f fgdx , g ∈ Lq ( Ω ) Ω TN 2 f n h i y u n f thu c Lp ( Ω ) a : (1.2) gf n dx → fgdx , khi n → ∞ v3i >,i g ∈ Lq ( Ω ) Ω Ω X Lp ( Ω ) không gian i ng4u a Lq ( Ω ) , do 2 Lp ( Ω ) C @n % n u 1 < q < ∞ . V=y tN mPi &'y ch(n trong L ( Ω ) v3i 1 < p < ∞ 2 th# 5ch ra p m t &'y con h i y u Qa >'n (1.2). KhYng nh y r$t quan ,ng v 5nh compact. Knh 7L 1.2. !" s y { fn} y #$c m trong Lp ( Ω ) sao cho 9
fn − f Lp ( Ω ) →0 Khi t n im t { } y con f nk ⊂ { f n } sao cho: 1. f nk → f h.k.n trên Ω . 2. f nk ( x ) ≤ h ( x ) v%i &'i k h.k.n trên Ω v%i h ∈ Lp ( Ω ) . 1.3. Không gian Sobolev. Knh [,D\a 1.4. (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev W pk ( Ω ) = {u : Ω → : Dα u ∈ Lp ( Ω ) , ∀ α ≤ k } NhYn U^t 1.3. 1. V3i p = 2 , không gian H k ( Ω ) = W2k ( Ω ) , k = 0,1, không gian Hilbert. 2. H 0 (Ω) ≡ L (Ω) 2 Knh [,D\a 1.5. 1. N u u ∈ W pk ( Ω ) chuGn au :c % c nh nh sau: 1 p p Dα u dx , 1≤ p < ∞ u W pk (Ω) := α ≤k Ω ess sup Dα u , p=∞ α ≤k Ω 2. Cho &'y {un } , u ∈ Wpk ( Ω ) . Khi 2 {un } :c , i h i n u trong W pk ( Ω ) n u lim un − u W pk ( Ω ) =0 n →∞ S5 hi+u un → u trong W pk ( Ω ) . Knh 7L 1.3. 1. V%i m(i k = 1, 2, 1 ≤ p ≤ ∞ không gian Sobolev W pk ( Ω ) không gian Banach. 2. Không gian Sobolev W pk ( Ω ) không gian n n u # ) n u 1< p < ∞ . H n n*a W2k ( Ω ) không gian Hilbert v%i ch vô h %ng 10
u, v W2k ( Ω ) = D a uDα vdx α ≤k Ω NhYn U^t 1.4. o 1. Z,i bao 2ng a C0∞ ( Ω ) trong W pk ( Ω ) W pk ( Ω ) . Khi 2 o W pk ( Ω ) = C0∞ ( Ω ) trong W pk ( Ω ) { = u ∈ Wpk ( Ω ) : Dα u ∂Ω = 0, ∀ α ≤ k − 1} o 2. H 0k ( Ω ) = W2k ( Ω ) Knh [,D\a 1.6. Không gian +i ng,u a không gian H 0k ( Ω ) :c 05 hi+u H −k ( Ω) . M t m f ∈ H −k ( Ω ) n u f phi m m tuy n 5nh ch(n trên H 0k ( Ω ) . Trong ph;n y ta xWt c nh ! .ng > trong 2 nh ! .ng Sobolev 2ng m t vai 1 quan ,ng. Knh [,D\a 1.7. Z-@ s X < Y c không gian Banach. 1. X :c ,i - .ng liên c trong Y n u t*n i nh % tuy n 5nh i: X →Y sao cho i ( x) Y ≤ c x X , v3i ∀ x ∈ X . v3i c > 0 hMng s . Khi 2 ta *ng nh$t X v3i không gian con i ( X ) ⊂ Y . 2. X :c ,i - .ng compact < o Y n u nh % i bi n t=p con ch(n trong X nh t=p compact t ng i trong Y. Knh 7L 1.4. Cho Ω ⊂ N # o Lebesgue N (Ω) < ∞ , 1 ≤ p ≤ q < ∞ Lq ( Ω ) ⊂ Lp ( Ω ) N u N ( Ω ) = +∞ - i chung nh / không .ng. Knh 7L 1.5. !" s Ω mi0n compact t ng +i trong N k∈ , 0 ≤ α < β ≤ 1. Khi ( ) C k ,β Ω - .ng liên c trong C k ,α Ω ( ) compact. Knh 7L 1.6. ( Knh 7L [D_ng Sobolev) !" s Ω⊂ N mi0n ch n v%i biên Lipschitz, k ∈ , 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi 11
Np 1. N u kp < N , 1 ≤ q ≤ ta # W pk ( Ω ) - .ng liên c trong Lq ( Ω ) N − kp Np 1p - .ng compact n u q < . N − kp N N 2. N u 0 ≤ m < k − < m +1 , 0 ≤ α ≤ k − m − ta # W pk ( Ω ) - .ng liên c p p ( ) trong C m ,α Ω 1p - .ng compact n u α < k − m − N p . o NhYn U^t 1.5. nh ! .ng Sobolev v4n .ng trong c không gian W pk ( Ω ) trên >,i mi n Ω ch(n. Knh 7L 1.7. (BNt 9`ng th c a -;bQ^) !" s Ω mi0n ch n trong N ,d 2ng 3 nh #4a Ω , u ∈ H 01 ( Ω ) . Khi 2 2 u dx ≤ d 2 Du dx Ω Ω Knh 7L 1.8. !" s Ω⊂ N mi0n ch n thu c l%p C 1 , t n i h5ng s+ c = c ( Ω ) sao cho v%i &'i u ∈ H 01 ( Ω ) ta # 2 2 2 u dx ≤ c 2 Du dx + u dσ Ω Ω ∂Ω 1.4. +n tS ;Ja P i / +n Dirichlet. S5 hi+u H −1 ( Ω ) = ( H 01 ( Ω ) ) * không gian c phi m m tuy n 5nh liên c trên H (Ω) , L ( Ω) ⊂ H (Ω) . 1 0 2 −1 Ta 0! hi+u −∆ nt (1.3) −∆ : H 01 ( Ω ) → H −1 ( Ω ) % c nh theo công th/c (1.4) ( −∆u, v ) = ( Du, Dv ) , v3i >,i u, v ∈ H 01 ( Ω ) Khi 2 v3i u , v ∈ C0∞ ( Ω ) ta 2 ( −∆u, v ) = DuDvdx Ω 12
N ∂u ∂v = . dx i =1 Ω ∂xi ∂xi N ∂ ∂u ∂ 2u = v − v 2 dx i =1 Ω ∂xi ∂xi ∂xi N ∂ 2u N ∂u =− 2 vdx + cos ( xi , v ) dS i =1 Ω ∂xi i =1 ∂Ω ∂xi N ∂ 2u = − vdx, ∀v ∈ C0∞ ( Ω ) Ω i =1 ∂xi2 TN 2 suy ra n ∂ 2u ∆u = n t Laplace. i =1 ∂xi2 n t −∆ :c % c nh bFi (1.3) < (1.4) :c ,i nt a i n Dirichlet v3i i u ki+n biên thu;n nh$t i v3i ph ng nh Laplace. (1.5) −∆u = f ( x ) trong Ω u=0 trên ∂Ω Knh [,D\a 1.8. Z-@ s f ( x ) ∈ L2 ( Ω ) , m u ( x ) ∈ H 01 ( Ω ) ,i nghi6m suy r ng (nghi6m y u) a i n Dirichlet (1.5) n u ( Du, Dv ) = ( f , v ) v3i ∀v ∈ C0∞ ( Ω ) D_ L: N u nghi6m suy r ng c4a bài toán (1.5) th7a mãn i0u ki6n u ∈ H (Ω) ∩ C 2 ( Ω) 1 0 u nghi6m c8 i9n #4a i :$n (1.5).Th t v y: u ∈ H 01 ( Ω ) nghi6m suy r ng #4a i :$n (1.5) thì ( Du, Dv ) = ( f , v ) v%i m'i v∈C ∞ 0 ( Ω) . n ∂ 2u u ∈ C 2 ( Ω ) thì ( Du , Dv ) = ( −∆u , v ) , trong ∆u = , v%i m'i v ∈ C0∞ ( Ω ) . i =1 ∂xi2 Suy ra ( −∆u , v ) = ( f , v ) v%i m'i v ∈ C ∞ 0 ( Ω ) . Hay −∆u = f trong Ω . Hay u nghi6m c8 i9n #4a i :$n (1.5). Ti p theo ta %Wt ph6 a n t −∆ . Theo inh a ta 2 v3i ∀u ∈ H 01 ( Ω ) 2 2 ( −∆u, u ) = ( Du, Du ) = Du L2 ( Ω ) ≥γ u H 01 ( Ω ) , γ ≥0 13
suy ra 2 γ u H 01 ( Ω ) ≤ ( −∆u , u ) ≤ ∆u H −1 ( Ω ) .u H 01 ( Ω ) do 2 ∆u H −1 ( Ω ) ≥ C. u H 01 ( Ω ) , u ∈ H 01 ( Ω ) . Sau ây nh ! quan ,ng v 5nh ch$t a n t −∆ . Knh 7L 1.9. ;:$n t −∆ : H 01 ( Ω ) → H −1 ( Ω ) $nh 1-1 lên. Ch cd. 1.1. V%i &'i f ( x ) ∈ L ( Ω ) 2 i :$n Dirichlet (1.5) t n i duy nh t nghi6m suy r ng (nghi6m y u) u0 ∈ H 1 ( Ω ) . Ch
(Tϕ ,ψ ) = ( −T ∆u, −∆v ) = ( u, −∆v ) = ( Du, Dv ) = ( −∆u, v ) = (ϕ , Tψ ) . V=y ta 2 (T ϕ ,ψ ) = (ϕ , Tψ ) , v3i >,i ϕ ,ψ ∈ L2 ( Ω ) Do 2 n ch a n t T trên L2 ( Ω ) n t t) liên h:p T = T * . M(t 0 c C Wp .ng H 01 ( Ω ) < o L2 ( Ω ) compact cho nên n ch trên L2 ( Ω ) a nt T : L2 ( Ω ) → H 01 ( Ω ) ⊂ L2 ( Ω ) compact, t) liên h:p. H n n?a v3i >,i ϕ ∈ L2 ( Ω ) , t*n i duy nh$t u ∈ H 01 ( Ω ) sao cho: −∆u = ϕ . Ta 2: 2 (Tϕ ,ψ ) = ( u, −∆u ) ≥ γ u H 01 ( Ω ) , γ ≥ 0. Ta 2 5nh ch$t sau v nt ch @o a n t −∆ . Knh 7L 1.10. ;:$n t -= ch o T #4a :$n t −∆ :$n t compact, $c nh d ng t liên h p trong L2 ( Ω ) . NhYn U^t 1.6. nh ! y cho ta s) t*n i m t c sF tr)c giao trong L2 ( Ω ) g*m c m riêng {u j } j =1 riêng {µ j } j =1 , µ j > 0 , µ j ↓ 0 khi ∞ ∞ a n t T /ng v3i c - j → +∞ , t/c (1.6) Tu j = µ j u j , µ j ↓ 0 khi j → +∞ X T : H −1 ( Ω ) → H 01 ( Ω ) nên tN (1.6) suy ra u j ∈ H 01 ( Ω ) v3i ∀j = 1, 2, . "Jng tN (1.6) ta 2 1 −∆u j = λ j u j , λ j = , λ j → +∞ µj m riêng {u j } trong H 01 ( Ω ) /ng v3i &'y ∞ X v=y nt −∆ Jng 2 &'y c c j =1 riêng {λ j } ∞ giá n i+u tDng khi j → +∞ , j =1 0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ ≤ λj ≤ , λ j → +∞ khi j → +∞ < c m riêng l=p nh m t c sF tr)c giao trong L2 ( Ω ) . 1.5. Knh 7L Lax-Milgram 15
Knh lý 1.11. Gi s X là không gian Hilbert th c, a(u, v) là phi m hàm song tuy n tính th c trên X. Gi s a(u, v) th7a mãn các i0u ki6n. i. T n t i c > 0 sao cho a ( u , v ) ≤ c u . v , ∀u , v ∈ X 2 ii. T n t i γ > 0 sao cho a ( u , u ) ≥ γ u , ∀u ∈ X Khi ó m'i phi m hàm tuy n tính liên t c F ( u ) trên X 0u t n t i f ∈ X sao cho F ( u ) = a ( u, f ) , u ∈ X Ch
c (1.8) u ≤ Au , ∀u ∈ X γ Do ó v3i u1 , u2 ∈ X mà (1.9) u1 ≠ u2 Au1 ≠ Au2 TN (1.7) và (1.9) suy ra A : X → X là ánh x 1 – 1. Kí hi+u A ( X ) = { Au, u ∈ X } , ta ch/ng minh A ( X ) óng trong X. Th=t v=y; gi@ s { Au } là dãy h j it n v ∈ X . Vì { Au j } là dãy Cauchy trong X , ta có: lim Au j − Auk = 0 j , k →∞ c TN (1.8) ta có: u j − uk ≤ Au j − Auk . V=y {u j } là dãy Cauchy trong X, nên t*n t i γ u ∈ X sao cho: lim u j = u j →∞ Do A là ánh x liên t c nên Au = v ∈ A ( X ) , hay A ( X ) là óng trong X. Ta ch/ng minh A ( X ) = X . Gi@ s A ( X ) ⊂ X , A óng. L$y u ∈ X , u ∉ A ( X ) , tr)c giao v3i A ( X ) , t/c là ( u, Au ) = a ( u, u ) = 0 2 1 Vì u ≤ a ( u , u ) = 0 nên u = 0 , t/c là A ( X ) = X . γ V=y A : X → X là song ánh. Gi@ s F ( u ) là phi m hàm tuy n tính liên t c trên X . Theo nh lý Riesz-Frechet, t*n t i duy nh$t g ∈ X sao cho F (u ) = ( g, u ) Khi ó t*n t i f ∈ X sao cho g = Af . Do ó F ( u ) = ( g , u ) = ( Af , u ) = a ( f , u ) , v3i ∀u ∈ X V=y ta có i u ph@i ch/ng minh. Chú ý: 17
- Yng c$u A : X → X :c xây d)ng trong nh lý Lax-Milgram sao cho ( Au, v ) = a ( u, v ) , ∀u, v ∈ X :c g,i là toán t liên k t v3i d ng song tuy n tính a ( u, v ) trên không gian Hilbert X. Hay a ( u, v ) :c g,i là d ng song tuy n tính liên k t v3i toán t A. - D ng song tuy n tính liên t c a ( u, v ) :c g,i là Qa >'n i0u ki6n b 0 sao cho 2 a ( u , u ) ≥ c u , v3i ∀u ∈ X Knh 7L 1.12. N u a (.,.) là d ng song tuy n tính liên t c 7a & n i0u ki6n bng c u t? V lên V’. Trong ó V là không gian Hilbert ph
Suy ra @nh c a A là óng trong V’. V=y A là song ánh tN V lên V’. TN b$t Yng th/c (1.14) và nh lý Banach v ánh x ng :c suy ra A−1 liên t c. V=y A là Yng c$u tN V lên V’. 19
CH NG 2 M TS NH LÝ V I MB T NG Trong ch ng này, chúng tôi trình bày m t s nh lý v i#m b$t ng c a ánh x co, ánh x không dãn, ánh x liên t c và m t s /ng d ng c a nó. Trong s ó, nh lý v i#m b$t ng c a ánh x co trong không gian Banach sK :c áp d ng # gi@i quy t bài toán F ch ng sau. 2.1. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] co. Cho ( X , d ) là m t không gian metric. M t ánh x F : X → X :c g,i là m t ánh x Lipschitz (Lipschitzian) n u t*n t i m t hMng s α không âm sao cho: (2.1) d ( F ( x ) , F ( y ) ) ≤ α d ( x, y ) v3i m,i x, y ∈ X . Chú ý rMng mPi ánh x Lipschitz u liên t c trên X. HMng s α nhQ nh$t thQa mãn (2.1) :c g,i là hMng s Lipschitz i v3i F kí hi+u là L. N u L < 1 thì ta nói F là ánh x co, L = 1 thì ta nói F là ánh x không dãn. Cho F : X → X , x ∈ X , ta xác d nh bMng qui n p dãy {F n ( x )} nh sau: F 0 ( x ) = x, F n +1 ( x ) = F ( F n ( x ) ) , ∀n ∈ . Knh lý 2.1. Cho ( X , d ) là không gian metric 4 và cho F : X → X là ánh x co v%i h5ng s+ Lipschitz L. Khi ó F có m t i9m b t ng duy nh t u ∈ X . Ngoài ra v%i m'i x ∈ X ta có: lim F n ( x ) = u n →∞ và Ln d ( F n ( x) , u ) ≤ d ( x, F ( x ) ) 1− L Ch