Đề thi chọn đội tuyể Olympic Toán học sinh viên năm 2010 - Môn- Đại số

Chia sẻ: Ly Tran Hiep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

96
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn đội tuyể Olympic Toán học sinh viên đây sẽ là tài liệu tham khảo giúp ích cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi giữa kì và cuối kì.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn đội tuyể Olympic Toán học sinh viên năm 2010 - Môn- Đại số

Đ THI CH N Đ I TUY N OLYMPIC TOÁN H C SINH VIÊN NĂM 2010 M¤N: §¹I Sè (Th i gian làm bài: 120 phút) 1 + x1 1 1 1 1 1 1 + x2 1   Câu 1. Tính đ nh th c c a ma tr n: 1 1 1 1 + x3   1 1 1 1 + x4  Trong đó x1 , x 2 , x 3 , x 4 là các nghi m c a đa th c f(x) = x 4 − 6x 2 + 1  5 11   x 14  Câu2. Cho 2 ma tr n A,B sao cho AB =   , BA = 14 y  . 11 25   Hãy tìm x,y và A,B. Câu 3. Cho ma tr n 3 2 0  A =  2 4 −2     0 −2 5    Tim giá tr riêng c a ma tr n A 5 . Câu 4. Cho a, b ∈ R .Tìm các đa th c P(x) tho mãn đi u ki n xP(x − a) = (x − b)P(x) ∀x ∈ R Câu 5. Cho B là ma tr n th c ,vuông c p n có h ng b ng 1 .Ch ng minh r ng t n t i duy nh t s th c k sao cho B 2 = kB . Câu 6. Cho A là ma tr n c p nx(n+1).A’ là ma tr n chuy n v c a A.B là ma tr n ph h p c a ma tr n A’A và B ≠ 0 .Xác đ nh h ng c a ma tr n B. Câu 7. Cho A là ma tr n vuông c p n có r(A) = k.Tìm r(A*). Câu 8. Tìm ma tr n vuông X c p n sao cho AX = XA ∀A vuông c p n. ________________________________________ Chú ý: Sinh viên không đư c dùng tài li u
Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam Tr−êng §H Kinh tÕ quèc d©n §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ========= ========== §Ò thi chän ®éi tuyÓn olympic to¸n häc sinh viªn n¨m 2010 M«n : Gi¶i tÝch (Thêi gian lµm bµi: 120 phót) n Câu 1. Cho { a n } là dãy s xác đ nh b i a 1 > 0 và a n +1 = a n + , n ≥ 1. an a  Ch ng minh r ng dãy  n  h i t và tìm gi i h n c a nó. n Câu 2.Cho các hàm f,g không là hàm h ng trên kho ng (a,b), f(x) + g(x) ≠ 0 và f(x).g’(x) – f ’(x)g(x) = 0 ∀x ∈ (a, b) .Ch ng minh r ng g(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a, b) và f (x) là h ng s trên (a,b). g(x) Câu 3. Cho hàm f(x) liên t c trên [0,a] ,kh vi trên (0,a) sao cho f(a) = 0.Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (0, a) đ cf '(c) = f(c)(c − 1) . Câu 4. Gi s f(x) là hàm s có đ o hàm c p 2 liên t c trên R và tho mãn đi u ki n f(0) = f(1) = a .Ch ng minh r ng max{f''(x)} ≥ 8(a-b) x∈[0,1] v i b = min {f(x)} x∈[0,1] 1 Câu 5. Cho f : R → R là hàm liên t c và ∫ tf(t)dt = 0 .Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (0,1) sao cho 0 1 cf(c) = 2010∫ f(t)dt 0 Câu 6. Tìm t t c các hàm s f : R → R tho mãn f(f(x-y)) = f(x)f(y)- f(x) + f(y) – xy ∀x, y ∈ R ---------------------------------------------- Thí sinh không đư c s d ng tài li u
Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam Tr−êng §H Kinh tÕ quèc d©n §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ========= ========== §Ò thi chän ®éi tuyÓn olympic to¸n häc sinh viªn n¨m 2010 M«n : Gi¶i tÝch (Thêi gian lµm bµi: 120 phót) k 3 + 6 k 2 + 11k + 5 n lim ∑ Câu 1. Tính gi i h n (k + 3)! n →+∞ k =1 xn +∞ ∫ Câu 2. Tính gi i h n A = lim dx . x n+2 + 1 n →+∞ 0 Câu 3. Cho hàm s f(x) kh vi trên [a,b] và tho mãn đi u ki n [f(x)]2 + [f'(x)]2 > 0, ∀x ∈ [a,b] Ch ng minh r ng s các nghi m c a phương trình f(x) = 0 trên [a,b] là h u h n 1 1 1 1 1 + ... + + ... + =0 + + Câu 4. Xét phương trình 2 x − n2 2x x − 1 x − 4 x−k n nguyên dương.Ch ng minh r ng v i m i n thì phương trình có nghi m duy nh t trong (0,1) ;kí hi u nghi m đó là x n .Ch ng minh dãy s ( x n ) có gi i h n h u h n . Câu 5. Cho a,b là các s th c 0
Đ THI CH N Đ I TUY N OLYMPIC TOÁN H C SINH VIÊN NĂM 2010 M¤N: §¹I Sè (Th i gian làm bài: 150 phút) Câu 1. Cho ma tr n:  2 −2 4  A =  −2 2 0     −1 0 2    E + A + A 2 + ⋯ + A 2009 Tính ma tr n: Câu2. Cho A là ma tr n vuông c p n tho mãn A′ = − A . Ch ng minh r ng det ( E + xA 2 ) là m t s không âm v i m i s th c x. Câu 3. Cho A, B là các ma tr n vuông c p n tho mãn: V t ( AA′ + BB′ ) = V t ( AB + A′B′ ) Ch ng minh r ng A = B′ . Câu 4. Cho x1 , x 2 ,… , x n là các s th c b t kỳ, tính đ nh th c c p n sau: 2 3 n 1 x 1 x1 ⋯ x 1 1 x 2 x3 ⋯ x n 2 2 2 ⋯⋯⋯⋯⋯ x2 x3 ⋯ xn 1 n n n Câu 5. Cho A là ma tr n vuông c p n sao cho t t c các ph n t đ u dương và t ng c a t t c các ph n t trên m i dòng đ u không vư t quá s k dương cho trư c. Ch ng minh r ng t t c các giá tr riêng th c c a ma tr n A (n u có) đ u nh hơn k. Câu 6. Cho A, B là các ma tr n vuông cùng c p sao cho B′A = 0 , ch ng minh r ng: r ( A + B) = r ( A ) + r ( B) ________________________________________ Chú ý: Sinh viên không đư c dùng tài li u