Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy (Lần 2)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO<br /> CẨM THỦY<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN<br /> DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2)<br /> <br /> Năm học 2018 - 2019<br /> Môn: Toán - Lớp 9<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> (Đề thi gồm có 01 trang)<br /> <br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu I. (4,0 điểm):<br /> 1. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 26  15 3. 2  3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 9  80  3 9  80<br /> <br /> x<br /> <br /> 2. Tính tổng:<br /> 8.12  1<br /> 8.22  1<br /> 8.32  1<br /> 8.10092  1<br /> S  1  2 2  1  2 2  1  2 2  ...  1 <br /> 1 .3<br /> 3 .5<br /> 5 .7<br /> 2017 2.20192<br /> <br /> Câu II. (4,0 điểm):<br /> 3<br /> 2<br /> <br /> 5<br /> 2<br /> <br /> 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1; ); N(3;0); K(4; ). Xác định tọa độ<br /> các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.<br /> 2. Giải phương trình: 13 x2  x4  9 x2  x4  16 .<br /> Câu III. (4,0 điểm):<br /> 1. Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x2  18 y 2  2 z 2  3 y 2 z 2  18x  27 .<br /> 2. Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:<br /> <br /> x4 1 y 4 1<br /> <br /> là số nguyên. Chứng<br /> y 1 x 1<br /> <br /> minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1).<br /> Câu IV. (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R. Qua H vẽ đường thẳng d<br /> tiếp xúc với đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho<br /> H nằm giữa B và C. Vẽ HM vuông góc với OB (M  OB), vẽ HN vuông góc với OC<br /> (N  OC).<br /> 1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.<br /> 2) Chứng minh: OB.OC = 2R2.<br /> 3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.<br /> Câu V. (2,0 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  3.<br /> Chứng minh rằng:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  1.<br /> 2<br /> 2<br /> 2  a b 2  b c 2  c2a<br /> <br /> -------------Hết-----------Chữ ký giám thị 1: ………………………………<br /> Chữ ký giám thị 2: ………………………………<br /> <br /> ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM<br /> ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9<br /> (Đáp án gồm có 04 trang)<br /> Đáp án<br /> <br /> Bài<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 1. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 26  15 3. 2  3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 9  80  3 9  80<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a  3 9  80  3 9  80  a 3  9  80  9  80  3 3 9  80 9  80 .a<br /> <br /> Đặt  a3  18  3 3 81  80.a  a 3  18  3a  a 3  3a  18  0<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> a  3<br />   a  3  a 2  3a  6   0   2<br />  a  3a  6  0<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Mặt khác: 3 26  15 3  3  3  2   3  2<br /> 3<br /> <br /> Suy ra: x <br /> 1<br /> (4đ)<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> 3<br /> <br /> 26  15 3. 2  3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 9  80  9  80<br /> <br /> <br /> <br /> 3 2 2 3<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> Vậy Q   3.   1<br />  27 9 <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2020<br /> <br />   1<br /> <br /> 2020<br /> <br />   43  1<br /> 3<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2. Tính tổng:<br /> S  1<br /> <br /> 1<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> 8.12  1<br /> 8.22  1<br /> 8.32  1<br /> 8.10092  1<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> ...<br /> <br /> 1<br /> <br /> 12.32<br /> 32.52<br /> 52.7 2<br /> 2017 2.20192<br /> <br /> 8n 2  1<br /> <br />  2n  1  2n  1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  1<br /> <br /> 8n 2  1<br /> <br />  4n  1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 16n 4  8n 2  1  8n 2  1<br /> <br />  4n  1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 4n 2<br /> <br /> <br /> <br />  4n  1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 4n 2<br /> 4n 2  1<br /> <br /> 1 1<br /> 1 <br />  1  .<br /> <br /> <br /> 2  2n  1 2n  1 <br /> Với  n ≥ 1, n  N Thay lần lượt n từ 1 đến 1009 ta được:<br /> 1 1 1 <br /> 1 1 1<br /> 1 1<br /> 1 <br /> 1 <br /> 1 <br /> 1009<br /> S  1  .     1  .     ...  1  . <br /> <br />   1009  . 1 <br />   1009<br /> 2 1 2 <br /> 2 3 5<br /> 2  2017 2019 <br /> 2  2019 <br /> 2019<br /> y<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm5M(1; ); N(3;0);<br /> 2<br /> (4đ)<br /> <br /> 5<br /> K(4; ).<br /> 2<br /> <br /> 4<br /> 3<br /> <br /> Xác định các đỉnh của<br /> tam giác ABC sao cho M, N, K<br /> lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.<br /> -2<br /> <br /> A<br /> <br /> K<br /> <br /> 2<br /> <br /> M<br /> B<br /> <br /> 1<br /> N<br /> -1<br /> <br /> O<br /> C<br /> <br /> 1<br /> -1<br /> -2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> 5<br /> <br /> 6<br /> <br /> x<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> Lời giải:<br /> Phương trình đường thẳng MN có dạng y=ax + b.<br /> Vì M(1;<br /> <br /> 3<br /> 3<br /> ) thuộc đường thẳng MN nên: = a + b (1)<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Vì M(3;0) thuộc đường thẳng MN nên: 0 = 3a + b (2)<br /> Từ (1 ) và (2) suy ra: a = -3/4; b = 9/4<br /> <br /> 3<br /> 9<br /> x<br /> 4<br /> 4<br /> 1<br /> 7<br /> Tương tự phương trình đường thẳng MK là: y  x <br /> 3<br /> 6<br /> 5<br /> 15<br /> phương trình đường thẳng NK là: y  x <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Suy ra phương trình đường thẳng MN là: y <br /> <br /> Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // AB<br />  Phương trình đường thẳng AB có dạng y <br /> <br /> 3<br /> xc<br /> 4<br /> <br /> 5 3<br /> 11<br />  .4  c => c=<br /> 2 4<br /> 2<br /> 3<br /> 11<br />  Phương trình đường thẳng AB là: y  x <br /> 4<br /> 2<br /> 1<br /> Tương tự : phương trình đường thẳng BC là: y  x  1<br /> 3<br /> 5<br /> Phương trình đường thẳng AC là: y  x  1<br /> 2<br /> 3<br /> 11<br /> <br />  y  4 .x  2<br /> x  2<br /> Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình <br /> <br /> y  4<br />  y  5 .x  1<br /> <br /> 2<br /> 5<br /> 2<br /> <br /> Mà K(4; )<br /> <br /> AB suy ra<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Suy ra A(2;4)<br /> Tương tự: B(6;1) và C(0;-1)<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> 1. Giải phương trình: 13 x2  x4  9 x2  x4  16 .<br /> Lời giải:<br /> Đk: -1 ≤ x ≤ 1<br /> 13. x . 1  x 2  9 x . 1  x 2  13<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  256<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Áp dụng Bđt bunhicopxki cho 2 dãy số:<br /> 13 ; 3 3<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br />  x 2 . 13 1  x 2  9 1  x 2<br /> <br /> 13(1  x ); 3 1  x<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> ta được:<br /> <br /> 13. 13 1  x 2   3 3. 3 1  x 2 <br /> <br />   13  27 13 13x  3  3x   40.16 10x <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Áp dụng bđt Cosi ta có:<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 4.10 x 2 . 16  10 x 2   (10 x 2  16  10 x 2 )2  162  256<br /> <br /> Dấu bằng xảy ra  10x2 = 16 - 10x2  x  <br /> <br /> 2<br /> 2 5<br /> <br /> 5<br /> 5<br /> <br /> 1) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:<br /> 3x2  18 y 2  2 z 2  3 y 2 z 2  18x  27 .<br /> 2<br /> Giả thiết  3 x  3  18 y 2  2 z 2  3 y 2 z 2  54 (1)<br /> +) Lập luận để z 2 3  z 3  z 2 9  z 2  9 (*)<br /> (1)  3( x  3)2  2 z 2  3 y 2 ( z 2  6)  54(2)<br /> (2)  54  3( x  3)2  2 z 2  3 y 2 ( z 2  6)  3( x  3)2  2.9  3 y 2 .3<br /> <br /> III<br /> (4đ)<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> ( x  3)2  3 y 2  12<br />  y 2  4  y 2  1; y 2  4 vì y nguyên dương.<br /> Nếu y 2  1  y  1 thì (1) có dạng:<br /> 3  x  3  5 z 2  72  5 z 2  72  z 2 <br /> 2<br /> <br /> 72<br />  z 2  9  z  3 (vì có(*))<br /> 5<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Khi đó 3 x  3  27   x  3  9 , x nguyên dương nên tìm được x = 6<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Nếu y 2  4  y  2 (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng:<br /> 2<br /> 3 x  3  14 z 2  126  14 z 2  126  z 2  9  z 2  9  z  3 (vì z nguyên dương)<br /> Suy ra ( x  3)2  0  x  3 (vì x nguyên dương)<br /> x  3 x  6<br /> <br /> <br /> Đáp số  y  2;  y  1<br /> z  3 z  3<br /> <br /> <br /> 2) Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> x4 1 y 4 1<br /> <br /> là số<br /> y 1 x 1<br /> <br /> nguyên. Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)<br /> Lời giải:<br /> Đặt<br /> <br /> x4 1 a y 4 1 m<br />  ;<br /> <br /> với (a;b)=1; (m;n)=1 và b,n > 0<br /> y 1 b x 1 n<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> a m an  bm<br />  <br /> Z<br /> b n<br /> bn<br /> an  bm b an b<br /> n b<br /> Suy ra: <br /> mà (a;b)=1; (m;n)=1 suy ra:   n  b<br /> <br /> an  bm n bm n<br /> b n<br /> a m x4 1 y 4 1<br /> 4<br /> 4<br /> .<br />  Z ( vì x - 1 x+1 và y - 1 y + 1)<br /> Mặt khác: . <br /> b n<br /> y 1 x 1<br /> <br /> Theo bài ra ta có:<br /> <br /> Suy ra a.m n mà (m;n) =1 suy ra a n mà n = b nên a b suy ra x4 - 1 y + 1<br /> Do đó: x4y44 – 1= y44 (x4 - 1) + (y44 – 1) y + 1<br /> Vì x4 - 1 y + 1 và y44 – 1 y + 1 (đpcm)<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> B<br /> <br /> A<br /> <br /> M<br /> D<br /> <br /> H<br /> <br /> O<br /> N<br /> <br /> C<br /> <br /> IV 1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.<br /> (6đ)<br /> a) Chứng minh: OM.OB = ON.OC.<br /> Vì tam giác OHB vuông tại H có HM là đường cao nên: OM.OB = OH2<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Vì tam giác OHC vuông tại H có HN là đường cao nên: ON.OC = OH2<br /> Suy ra: OM.OB = ON.OC (vì cùng bằng OH2)<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br />