PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO<br />
CẨM THỦY<br />
<br />
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN<br />
DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2)<br />
<br />
Năm học 2018 - 2019<br />
Môn: Toán - Lớp 9<br />
<br />
ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br />
(Đề thi gồm có 01 trang)<br />
<br />
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br />
<br />
Câu I. (4,0 điểm):<br />
1. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
26 15 3. 2 3<br />
<br />
3<br />
<br />
9 80 3 9 80<br />
<br />
x<br />
<br />
2. Tính tổng:<br />
8.12 1<br />
8.22 1<br />
8.32 1<br />
8.10092 1<br />
S 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ... 1 <br />
1 .3<br />
3 .5<br />
5 .7<br />
2017 2.20192<br />
<br />
Câu II. (4,0 điểm):<br />
3<br />
2<br />
<br />
5<br />
2<br />
<br />
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(1; ); N(3;0); K(4; ). Xác định tọa độ<br />
các đỉnh của tam giác ABC sao cho M, N, K lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.<br />
2. Giải phương trình: 13 x2 x4 9 x2 x4 16 .<br />
Câu III. (4,0 điểm):<br />
1. Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 3x2 18 y 2 2 z 2 3 y 2 z 2 18x 27 .<br />
2. Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:<br />
<br />
x4 1 y 4 1<br />
<br />
là số nguyên. Chứng<br />
y 1 x 1<br />
<br />
minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1).<br />
Câu IV. (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và dây cung AH < R. Qua H vẽ đường thẳng d<br />
tiếp xúc với đường tròn (O; R). Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d tại B và C sao cho<br />
H nằm giữa B và C. Vẽ HM vuông góc với OB (M OB), vẽ HN vuông góc với OC<br />
(N OC).<br />
1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.<br />
2) Chứng minh: OB.OC = 2R2.<br />
3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.<br />
Câu V. (2,0 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 3.<br />
Chứng minh rằng:<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
1.<br />
2<br />
2<br />
2 a b 2 b c 2 c2a<br />
<br />
-------------Hết-----------Chữ ký giám thị 1: ………………………………<br />
Chữ ký giám thị 2: ………………………………<br />
<br />
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM<br />
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9<br />
(Đáp án gồm có 04 trang)<br />
Đáp án<br />
<br />
Bài<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
1. Hãy tính giá trị của biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
26 15 3. 2 3<br />
<br />
3<br />
<br />
9 80 3 9 80<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a 3 9 80 3 9 80 a 3 9 80 9 80 3 3 9 80 9 80 .a<br />
<br />
Đặt a3 18 3 3 81 80.a a 3 18 3a a 3 3a 18 0<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
a 3<br />
a 3 a 2 3a 6 0 2<br />
a 3a 6 0<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
Mặt khác: 3 26 15 3 3 3 2 3 2<br />
3<br />
<br />
Suy ra: x <br />
1<br />
(4đ)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
26 15 3. 2 3<br />
<br />
3<br />
<br />
9 80 9 80<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 2 3<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
Vậy Q 3. 1<br />
27 9 <br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
2020<br />
<br />
1<br />
<br />
2020<br />
<br />
43 1<br />
3<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
3<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
1<br />
<br />
2. Tính tổng:<br />
S 1<br />
<br />
1<br />
<br />
Ta có:<br />
<br />
8.12 1<br />
8.22 1<br />
8.32 1<br />
8.10092 1<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
...<br />
<br />
1<br />
<br />
12.32<br />
32.52<br />
52.7 2<br />
2017 2.20192<br />
<br />
8n 2 1<br />
<br />
2n 1 2n 1<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
8n 2 1<br />
<br />
4n 1<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
16n 4 8n 2 1 8n 2 1<br />
<br />
4n 1<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
4n 2<br />
<br />
<br />
<br />
4n 1<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
4n 2<br />
4n 2 1<br />
<br />
1 1<br />
1 <br />
1 .<br />
<br />
<br />
2 2n 1 2n 1 <br />
Với n ≥ 1, n N Thay lần lượt n từ 1 đến 1009 ta được:<br />
1 1 1 <br />
1 1 1<br />
1 1<br />
1 <br />
1 <br />
1 <br />
1009<br />
S 1 . 1 . ... 1 . <br />
<br />
1009 . 1 <br />
1009<br />
2 1 2 <br />
2 3 5<br />
2 2017 2019 <br />
2 2019 <br />
2019<br />
y<br />
<br />
3<br />
2<br />
<br />
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm5M(1; ); N(3;0);<br />
2<br />
(4đ)<br />
<br />
5<br />
K(4; ).<br />
2<br />
<br />
4<br />
3<br />
<br />
Xác định các đỉnh của<br />
tam giác ABC sao cho M, N, K<br />
lần lượt là trung điểm của AC, CB, BA.<br />
-2<br />
<br />
A<br />
<br />
K<br />
<br />
2<br />
<br />
M<br />
B<br />
<br />
1<br />
N<br />
-1<br />
<br />
O<br />
C<br />
<br />
1<br />
-1<br />
-2<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
4<br />
<br />
5<br />
<br />
6<br />
<br />
x<br />
<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
<br />
Lời giải:<br />
Phương trình đường thẳng MN có dạng y=ax + b.<br />
Vì M(1;<br />
<br />
3<br />
3<br />
) thuộc đường thẳng MN nên: = a + b (1)<br />
2<br />
2<br />
<br />
Vì M(3;0) thuộc đường thẳng MN nên: 0 = 3a + b (2)<br />
Từ (1 ) và (2) suy ra: a = -3/4; b = 9/4<br />
<br />
3<br />
9<br />
x<br />
4<br />
4<br />
1<br />
7<br />
Tương tự phương trình đường thẳng MK là: y x <br />
3<br />
6<br />
5<br />
15<br />
phương trình đường thẳng NK là: y x <br />
2<br />
2<br />
<br />
Suy ra phương trình đường thẳng MN là: y <br />
<br />
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // AB<br />
Phương trình đường thẳng AB có dạng y <br />
<br />
3<br />
xc<br />
4<br />
<br />
5 3<br />
11<br />
.4 c => c=<br />
2 4<br />
2<br />
3<br />
11<br />
Phương trình đường thẳng AB là: y x <br />
4<br />
2<br />
1<br />
Tương tự : phương trình đường thẳng BC là: y x 1<br />
3<br />
5<br />
Phương trình đường thẳng AC là: y x 1<br />
2<br />
3<br />
11<br />
<br />
y 4 .x 2<br />
x 2<br />
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình <br />
<br />
y 4<br />
y 5 .x 1<br />
<br />
2<br />
5<br />
2<br />
<br />
Mà K(4; )<br />
<br />
AB suy ra<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
Suy ra A(2;4)<br />
Tương tự: B(6;1) và C(0;-1)<br />
<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
<br />
1. Giải phương trình: 13 x2 x4 9 x2 x4 16 .<br />
Lời giải:<br />
Đk: -1 ≤ x ≤ 1<br />
13. x . 1 x 2 9 x . 1 x 2 13<br />
<br />
Ta có:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
256<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
Áp dụng Bđt bunhicopxki cho 2 dãy số:<br />
13 ; 3 3<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
x 2 . 13 1 x 2 9 1 x 2<br />
<br />
13(1 x ); 3 1 x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
ta được:<br />
<br />
13. 13 1 x 2 3 3. 3 1 x 2 <br />
<br />
13 27 13 13x 3 3x 40.16 10x <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
Áp dụng bđt Cosi ta có:<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
4.10 x 2 . 16 10 x 2 (10 x 2 16 10 x 2 )2 162 256<br />
<br />
Dấu bằng xảy ra 10x2 = 16 - 10x2 x <br />
<br />
2<br />
2 5<br />
<br />
5<br />
5<br />
<br />
1) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:<br />
3x2 18 y 2 2 z 2 3 y 2 z 2 18x 27 .<br />
2<br />
Giả thiết 3 x 3 18 y 2 2 z 2 3 y 2 z 2 54 (1)<br />
+) Lập luận để z 2 3 z 3 z 2 9 z 2 9 (*)<br />
(1) 3( x 3)2 2 z 2 3 y 2 ( z 2 6) 54(2)<br />
(2) 54 3( x 3)2 2 z 2 3 y 2 ( z 2 6) 3( x 3)2 2.9 3 y 2 .3<br />
<br />
III<br />
(4đ)<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
( x 3)2 3 y 2 12<br />
y 2 4 y 2 1; y 2 4 vì y nguyên dương.<br />
Nếu y 2 1 y 1 thì (1) có dạng:<br />
3 x 3 5 z 2 72 5 z 2 72 z 2 <br />
2<br />
<br />
72<br />
z 2 9 z 3 (vì có(*))<br />
5<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
Khi đó 3 x 3 27 x 3 9 , x nguyên dương nên tìm được x = 6<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
Nếu y 2 4 y 2 (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng:<br />
2<br />
3 x 3 14 z 2 126 14 z 2 126 z 2 9 z 2 9 z 3 (vì z nguyên dương)<br />
Suy ra ( x 3)2 0 x 3 (vì x nguyên dương)<br />
x 3 x 6<br />
<br />
<br />
Đáp số y 2; y 1<br />
z 3 z 3<br />
<br />
<br />
2) Cho x, y là các số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 sao cho:<br />
<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
<br />
x4 1 y 4 1<br />
<br />
là số<br />
y 1 x 1<br />
<br />
nguyên. Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1)<br />
Lời giải:<br />
Đặt<br />
<br />
x4 1 a y 4 1 m<br />
;<br />
<br />
với (a;b)=1; (m;n)=1 và b,n > 0<br />
y 1 b x 1 n<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
a m an bm<br />
<br />
Z<br />
b n<br />
bn<br />
an bm b an b<br />
n b<br />
Suy ra: <br />
mà (a;b)=1; (m;n)=1 suy ra: n b<br />
<br />
an bm n bm n<br />
b n<br />
a m x4 1 y 4 1<br />
4<br />
4<br />
.<br />
Z ( vì x - 1 x+1 và y - 1 y + 1)<br />
Mặt khác: . <br />
b n<br />
y 1 x 1<br />
<br />
Theo bài ra ta có:<br />
<br />
Suy ra a.m n mà (m;n) =1 suy ra a n mà n = b nên a b suy ra x4 - 1 y + 1<br />
Do đó: x4y44 – 1= y44 (x4 - 1) + (y44 – 1) y + 1<br />
Vì x4 - 1 y + 1 và y44 – 1 y + 1 (đpcm)<br />
<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
<br />
B<br />
<br />
A<br />
<br />
M<br />
D<br />
<br />
H<br />
<br />
O<br />
N<br />
<br />
C<br />
<br />
IV 1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC và MN luôn đi qua một điểm cố định.<br />
(6đ)<br />
a) Chứng minh: OM.OB = ON.OC.<br />
Vì tam giác OHB vuông tại H có HM là đường cao nên: OM.OB = OH2<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
Vì tam giác OHC vuông tại H có HN là đường cao nên: ON.OC = OH2<br />
Suy ra: OM.OB = ON.OC (vì cùng bằng OH2)<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />