Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn Toán năm 2008 - 2009 - Sở GD&ĐT Hải Lăng

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG<br /> <br /> KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN<br /> CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009<br /> ĐỀ THI VÒNG II<br /> (Thời gian làm bài 120 phút)<br /> Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c  Q; a, b, c đôi một khác nhau.<br /> Chứng minh rằng<br /> <br /> 1<br /> <br /> a  b<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> b  c <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> c  a 2<br /> <br /> bằng bình phương của một số<br /> <br /> hữu tỷ.<br /> Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500<br /> với x < y < z.<br /> x 2  4x  1<br /> Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A =<br /> x2<br /> <br /> Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu<br /> thêm số 0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần<br /> chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm.<br /> Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 200. Trên AC lấy<br /> điểm E sao cho góc EBC = 200. cho AB = AC = b, BC = a<br /> a) Tính CE.<br /> b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2.<br /> ----------------------------------------<br /> <br /> Hướng dẫn và thang điểm chấm Toán vòng 2<br /> Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009<br /> Bài 1: (2 điểm)<br /> 1<br /> <br /> a  b<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> b  c <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> =<br /> <br /> c  a 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 1 <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1 <br />  1<br />  1<br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> .<br /> <br /> .<br /> <br />   2<br /> <br /> a b bc ca<br /> a b bc bc ca ca a b<br /> <br /> =<br /> <br /> (1đ)<br /> <br /> 1<br /> 1 <br /> ca bc a b<br />  1<br /> <br /> <br /> <br />  2<br /> (a  b)(b  c)(c  a)<br /> a b bc ca<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 1 <br />  1<br /> <br /> <br /> <br />  a b bc c a <br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> 2<br /> <br /> =<br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> Bài 2: (2 điểm) 5x + 2.5y + 5z = 4500 (*)<br /> x<br /> <br /> 5 ( 1+ 2.5<br /> x<br /> <br /> y-x<br /> <br /> +5<br /> <br /> 3<br /> <br /> z-x<br /> <br />  5 = 5 ; 1+ 2.5<br />  x = 3; 5<br /> <br /> y-x<br /> <br /> y-x<br /> <br /> ) = 4500 = 22 . 33 . 53<br /> +5<br /> <br /> (2+5<br /> <br /> z-x<br /> <br /> z-y<br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> = 36 = 1 + 35<br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> )=5.7<br /> <br /> (0.25đ)<br /> <br /> z-y<br /> <br /> (0.25đ)<br /> <br />  x = 3; y – 3 = 1 ; 2 + 5<br /> <br /> =7=2+5<br /> <br />  x = 3; y = 4 ; z – y = 1<br /> <br /> (0.25đ)<br /> <br />  x = 3 ; y = 4 ; z = 5 thoả (*)<br /> <br /> (0.25đ)<br /> <br /> Bài 3: (2 điểm)<br /> x 2  4x  1<br /> A=<br /> x2<br /> <br /> 4<br /> x<br /> <br /> = 1 <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> x2<br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> 4<br /> x<br /> <br /> = 3 4  <br /> <br /> 1<br /> <br /> x2 <br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> =  3   2    3<br /> x<br /> <br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi  2   0  x <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> Bài 4: (2 điểm)<br /> _<br /> <br /> ___<br /> <br /> __<br /> <br /> ab 3 và a0b 2a  9 ab<br /> (0.25đ)<br /> (a  b) 3<br /> (a  b) 3<br /> <br /> <br /> (0.5đ)<br /> 100a  b  2a  9(10a  b)<br /> 3a  2b<br /> Từ 3a  2b  2b3 mà (2,3)  1  b3 do (a  b)3  a 3 mà 3a  2  a  2 (0.5đ)<br /> <br /> Gọi số cần tìm là ab . Ta có:<br /> <br /> __<br /> <br /> Ta có a3, a 2, (2,3)  1  a6,1  a  9  a  6  b  9 Vậy ab  69<br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> Bài 5: (2 điểm)<br /> a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh bằng<br /> 200 và góc đáy bằng 800) nên<br /> <br /> CE BC<br /> <br /> BC AB<br /> <br /> (0.5đ)<br /> A<br /> <br /> 2<br /> <br /> Và BE = BC = a, suy ra CE =<br /> <br /> a<br /> b<br /> <br /> b) Dựng AD  BE, suy ra BD =<br /> <br /> (0.5đ)<br /> 1<br /> 1<br /> AB = b<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> ta có: AE2 = ED2 + AD2, AB2 = BD2 + AD2 do đó<br /> AB2 = BD2 + EA2 - DE2<br /> b2 <br /> a2<br /> <br /> b<br /> <br /> <br /> b<br /> <br /> Thay vào ta được:<br /> 4 <br /> b<br /> 2<br /> <br /> =<br /> <br /> (0.5đ)<br /> 2<br /> <br />  b<br /> <br />     a <br /> <br />  2<br /> <br /> 2<br /> <br /> b2<br /> a4<br /> b2<br />  b 2  2  2a 2 <br />  a 2  ab<br /> 4<br /> 4<br /> b<br /> <br />  b 4  b 4  a 4  3a 2 b 2  ab 3<br /> <br />  a 3  b 3  3ab 2<br /> <br /> D<br /> <br /> E<br /> <br /> (0.5đ)<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br />