Đề thi tuyển chọn HSG cấp huyện lớp 9 THCS môn Toán năm 2016 - 2017 - Sở GD&ĐT Xuyên Mộc

UBND HUYỆN XUYÊN MỘC<br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS<br /> PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC<br /> NĂM HỌC 2016 – 2017<br /> MÔN THI: TOÁN<br /> Thời gian làm bài thi 150 phút<br /> <br /> Ngày thi ……. tháng 01 năm 2017<br /> ĐỀ DỰ BỊ<br /> Bài 1:(2,5 điểm)<br /> Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 2n3  mn 2  3n 2 14n  7m  5  0<br /> Bài 2: (7,5 điểm)<br /> a)<br /> <br /> tg n<br /> <br />  2 x 1 2x  x  2 x 1<br /> <br />  : 3<br /> 1<br /> <br /> x<br /> x<br /> <br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br />  x 1<br /> <br /> u th c A  <br /> <br /> b) x  2014  x  2016  y  2016  x  2016<br /> u th c A <br /> <br /> c) Tìm GTNN của<br /> <br /> 3 4 x<br /> x 1<br /> <br /> d) Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1.<br /> <br /> x+y + y+z + z+x  6<br /> <br /> Ch ng m nh rằng<br /> Bài 3: (2,0 điểm)<br /> <br /> Cho tam g ác ABC có chu v 2p = a +<br /> Ch ng m nh rằng :<br /> <br /> 1<br /> pa<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> pb<br /> <br /> <br /> <br /> + c (a, , c là độ dà<br /> <br /> a cạnh của tam g ác).<br /> <br /> 1 1 1<br />  2.     .<br /> pc<br /> a b c<br /> <br /> 1<br /> <br /> Bài 4:(5,0 điểm)<br /> Cho tam g ác ABC nộ t ếp đường tròn (O ; ). G<br /> <br /> (I ; r) là đường tròn nộ t ếp tam g ác<br /> <br /> ABC, M là t ếp đ m của AB vớ đường tròn (I); H là g ao đ m của AI vớ đường tròn (O) (H<br /> khác A), HK là đường kính của đường tròn (O). G<br /> <br /> a là độ dà đoạn OI. Ch ng m nh rằng<br /> <br /> a) Tam g ác AMI và tam g ác KCH đồng dạng<br /> b) HB = HI<br /> c) IA.IH  R 2  a 2 .<br /> d) R 2  2Rr  a 2<br /> Bài 5:(3,0 điểm) Cho đường tròn (C) đường kính PQ = 2 cố định và một đường kính MN<br /> của đường tròn thay đổ (MN khác PQ). Qua P vẽ đường thẳng (d) là t ếp tuyến của đường tròn,<br /> (d) cắt QM và QN lần lượt ở E và F.<br /> 1) Ch ng m nh tam g ác QMN đồng dạng vớ tam g ác QFE.<br /> 2) Tìm vị trí của đường kính MN đ EF có độ dà nhỏ nhất và tính g á trị nhỏ nhất đó theo R.<br /> ------- HẾT ----H và tên thí s nh ……………………………<br /> Số áo danh ………………………………….<br /> <br /> Chữ ký g ám thị số 1 ………………..<br /> <br /> UBND HUYỆN XUYÊN MỘC<br /> PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI<br /> CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9<br /> (Hướng dẫn chấm có ……… trang)<br /> <br /> Bài 1:(2,5 điểm)<br /> Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 2n3  mn2  3n2 14n  7m  5  0<br /> Bài 1<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  m  2n  3 <br /> 1.2<br /> (2,5đ)<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 2n  mn  3n  14n  7m  5  0<br /> 3<br /> <br /> 16<br /> (1)<br /> n 7<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vì m, n  Z nên<br /> n2  7 U (16)  n2  7 8;16  n2 1;9  n 1; 3 (2)<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy được<br /> (m, n)  (1;1),(3; 1);(4;3),(8; 3)<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> Bài 2: (7,5 điểm)<br /> a)<br /> <br /> tg n<br /> <br />  2 x 1 2x  x  2 x 1<br /> <br />  : 3<br />  1 x x  x 1  x 1<br /> <br /> u th c A  <br /> <br /> b) x  2014  x  2016  y  2016  x  2016 (1)<br /> c) Tìm GTNN của<br /> <br /> u th c A <br /> <br /> 3 4 x<br /> x 1<br /> <br /> d) Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1.<br /> Ch ng m nh rằng<br /> <br /> x+y + y+z + z+x  6<br /> Đáp án<br /> <br /> Bài 2<br />  2 x 1<br /> <br /> 2.1<br /> (2,0đ)<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 2x  x  2 x 1<br /> <br /> Ta có A  <br /> <br />  : 3<br />  1 x x  x 1  x 1<br /> <br /> <br /> (2 x  1)( x  x  1)  x (2 x  1)(1  x ) x3  1<br /> <br /> (1  x )( x  x  1)<br /> 2 x 1<br /> <br /> <br /> <br /> (2 x  1)( x  x  1  x  x)( x  1)( x  x  1)<br /> x 1<br /> <br /> (1  x )( x  x  1)(2 x  1)<br /> 1 x<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> x  2014  x  2016  y  2016  x  2016 (1)<br /> Ta có:<br /> 2.2<br /> (2,0đ)<br /> <br /> x  2016  x  2016  x  x  x  2016  x  2016<br /> <br /> Chỉ ra được dấu « = » xảy ra kh 0  x  2016 (*)<br /> Từ (1) và (2) suy được x  2014  y  2016  0<br /> <br /> (2)<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25x2<br /> <br /> <br />  x  2014  0  x  2014<br /> <br /> y<br /> <br /> 2016<br /> <br /> 0<br />  y  2016<br /> <br /> <br /> <br /> Lập luận suy được <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Đố ch ếu ĐK (*) và kết luận được ngh ệm<br /> . ĐK x  0<br /> 3  4 x (x  4 x  4)  (x  1) ( x  2)2<br /> A<br /> <br /> <br />  1  1 (vì x  0 )<br /> 2.3<br /> x<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> (1,5đ)<br /> Chỉ ra được M n A = -1 kh x = 4 (tmđk)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1,0<br /> 0,5<br /> <br /> Áp dụng BĐT Bunh akopsk có<br /> 2.4<br /> (2,0đ)<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  1  1  1    x + y    y + z   <br /> <br /> A 2  1. x + y +1. y + z + 1. z + x<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> z + x  <br /> <br /> 1,0<br /> <br /> <br /> <br /> = 3.2(x +y + z) = 6.1 = 6 (vì x + y + z = 1)<br /> 1<br /> Suy được A  6 khi a  b  c <br /> 3<br /> Bài 3: (2,0 điểm)<br /> Cho tam g ác ABC có chu v 2p = a +<br /> Ch ng m nh rằng :<br /> Bài 3<br /> <br /> 3<br /> (2,0đ)<br /> <br /> 1<br /> pa<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> pb<br /> <br /> <br /> <br /> + c (a, , c là độ dà<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> a cạnh của tam g ác).<br /> <br /> 1 1 1<br />  2.     .<br /> pc<br /> a b c<br /> <br /> 1<br /> <br /> Đáp án<br /> bca<br /> Chỉ ra được p  a <br />  0; p  b  0; p  c  0<br /> 2<br /> Áp dụng BĐT Cô s ta có :<br /> <br /> <br /> ( p  a)  ( p  b) <br /> <br /> 1<br /> <br />  pa<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 4<br />   2 ( p  a)( p  b) .<br /> p b <br /> ( p  a)( p  b)<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> p  a p b p  a  p b c<br /> 1<br /> 1<br /> 4 1<br /> 1<br /> 4<br /> Tương tự<br /> <br />  ;<br /> <br /> <br /> p b p c a p c p a b<br /> <br /> Điểm<br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Suy được<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1 <br /> 1 1 1<br /> <br /> <br />   4.    <br /> a b c<br />  p a p b p c <br /> Suy được đpcm và<br /> Dấu “=” xảy ra kh a  b  c.<br /> Suy được 2. <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> Bài 4:(5,0 điểm)<br /> Cho tam g ác ABC nộ t ếp đường tròn (O ; ). G<br /> <br /> (I ; r) là đường tròn nộ t ếp tam g ác<br /> <br /> ABC, M là t ếp đ m của AB vớ đường tròn (I); H là g ao đ m của AI vớ đường tròn (O) (H<br /> khác A), HK là đường kính của đường tròn (O). G<br /> a) Tam g ác AMI và tam g ác KCH đồng dạng<br /> b) HB = HI<br /> c) IA.IH  R 2  a 2 .<br /> <br /> a là độ dà đoạn OI. Ch ng m nh rằng<br /> <br /> d) R 2  2Rr  a 2<br /> K<br /> A<br /> 12<br /> <br /> M<br /> <br /> E<br /> <br /> I<br /> <br /> O<br /> F<br /> <br /> 1<br /> <br /> B<br /> <br /> 1<br /> <br /> C<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> H<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> Bài 4<br /> * Hình vẽ đ ng<br /> <br /> 4.a<br /> (1,75đ) – Ch ng m nh được các tam g ác AMI và KCH là các tam g ác vuông<br /> <br /> - Ch ng m nh được A1  A2  K<br /> - Suy ra được tam g ác AMI và tam g ác KCH đồng dạng (đpcm)<br /> <br /> 4.b<br /> (1,0đ)<br /> 4.c<br /> (1,0đ)<br /> <br /> - Ch ng m nh được I1  A1  B1; IBH  B2  B3  B1  A1<br /> Do đó I1  IBH  HB  HI (đpcm)<br /> G EF là đường kính của (O) và đ qua I.<br /> - Nêu được IA.IH = IE.IF (hệ th c trong đường tròn)<br /> - Suy ra: IA.IH = (R – a).(R + a) = R2 – a2<br /> <br /> IA IM<br /> <br />  IA.HC = HK.IM = 2Rr (*)<br /> 4.d<br /> HK HC<br /> (1,25đ)<br /> Mà HB = HC (do A1  A2 )  HC = HI.<br /> Kết hợp câu c), thay vào (*) ta có: R2 – a2 = 2Rr  R 2  2Rr  a 2 (đpcm)<br /> <br /> Từ câu a), ta có<br /> <br /> Điểm<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> 0,50<br /> 0,25<br /> 0,50<br /> <br /> Bài 5:(3,0 điểm) Cho đường tròn (C) đường kính PQ = 2 cố định và một đường kính MN<br /> của đường tròn thay đổ (MN khác PQ). Qua P vẽ đường thẳng (d) là t ếp tuyến của đường tròn,<br /> (d) cắt QM và QN lần lượt ở E và F.<br /> 1) Ch ng m nh tam g ác QMN đồng dạng vớ tam g ác QFE.<br /> 2) Tìm vị trí của đường kính MN đ EF có độ dà nhỏ nhất và tính g á trị nhỏ nhất đó theo R.<br /> <br /> P<br /> <br /> E<br /> <br /> M<br /> <br /> F<br /> <br /> C<br /> N<br /> Q<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> Bài 5<br /> 5.1<br /> (1,5đ)<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Ch ng m nh được QM.QE = QN.QF(=PQ2) <br /> <br /> QM QN<br /> <br /> QF QE<br /> <br /> Chỉ ra được  QMN đồng dạng  QFE (c.g.c)<br /> <br /> 0,75<br /> 0,75<br /> <br />  QFE vuông tạ Q có PQ  EF (gt) (1)  PQ = PE.PF (hệ th c 2)<br /> 2<br /> <br /> 5.2<br /> (1,5đ)<br /> <br />  PE.PF = (2R)2 = 4R2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Áp dụng ất đẳng th c Cô s cho 2 số EP, PF > 0 ta có<br /> EF  EP  PF  2 EP.PF  2. 4R 2  4R<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  EF nhỏ nhất ằng 4 kh EP = PF (2)<br /> <br /> Từ (1) và (2)  ∆QEF cân tạ Q có PQ là đường cao đồng thờ là<br /> phân giác.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Chỉ ra được PMQN là hình chữ nhật<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  PMQN là hình vuông  MN  PQ<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy Khi MN  PQ thì EF có độ dà nhỏ nhất ằng 4 ’<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì GK vẫn cho điểm tương đương.<br /> 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.<br /> <br />