Đề thi tuyển chọn HSG văn hóa cấp huyện môn Toán năm 2016 - 2017 - Sở GD&ĐT Xuyên Mộc

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO<br /> HUYỆN XUYÊN MỘC<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN<br /> NĂM HỌC 2016 - 2017<br /> Môn: Toán<br /> Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> Khóa thi, ngày 10 tháng 01 năm 2017<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Bài 1:(3,0 điểm)<br /> 1) Chứng minh rằng các số A  62015 1 và B  62016 1 đều là bội của 7.<br /> 2) So sánh A <br /> <br /> 102016  1<br /> 102016  1<br /> và<br /> B<br /> <br /> 102017  11<br /> 102017  9<br /> <br /> Bài 2: (5,5 điểm)<br /> 1) Rút gọn biểu thức: P <br /> <br /> 2 x 9<br /> 2 x 1<br /> x 3<br /> với x  0;x  4;x  9 .<br /> <br /> <br /> x 5 x 6<br /> x 3 2 x<br /> <br /> 2) T m giá tr lớn nh t của biểu thức:<br /> <br /> Q<br /> <br /> 2016 x 2  2 x  2016<br /> x2  1<br /> <br /> 3) T m nghiệm nguyên dương của phương tr nh: 6x2 + 5y2 = 74<br /> Bài 3: (3,5 điểm)<br /> 1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương tr nh  m  4 x   m  3 y  1 (m là<br /> tham số). T m m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nh t.<br /> 2) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> 2<br /> ab bc ca<br /> <br /> Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. L y điểm M b t kỳ trên nửa<br /> đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K.<br /> Gọi E là giao điểm của AM và OK.<br /> 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.<br /> 2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N.<br /> Chứng minh: IN = IO.<br /> 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH.<br /> Chứng minh: EF//AB.<br /> Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Một điểm P chạy trên cung<br /> <br /> nhỏ AB (P khác A và B). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B<br /> không lớn hơn đường kính của đường tròn (O).<br /> ------- HẾT ----Họ và tên thí sinh: ……………………………<br /> Số báo danh: ………………………………….<br /> <br /> Chữ ký giám th số 1: ………………..<br /> <br /> UBND HUYỆN XUYÊN MỘC<br /> PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI<br /> CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9<br /> (Hướng dẫn chấm có ……… trang)<br /> Bài 1:(3,0 điểm)<br /> 1) Chứng minh rằng các số A  62015 1 và B  62016 1 đều là bội của 7.<br /> 2) So sánh A <br /> Bài 1<br /> <br /> 102016  1<br /> 102017  11<br /> <br /> Ta có: A  6<br /> <br /> 2015<br /> <br /> và B <br /> <br /> 1 6 1  7 7<br /> <br /> B  62016 1   62 <br /> <br /> 1013<br /> <br /> 1.1<br /> (1,0đ)<br /> <br /> Ta có: 10. A <br /> 1.2<br /> (2,0đ)<br /> <br /> 102016  1<br /> 102017  9<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> 10.(102016  1) 102017  11  1<br /> 1<br /> <br />  1  2017<br /> 2017<br /> 2017<br /> 10  11<br /> 10  11<br /> 10  11<br /> <br /> 10.(102016  1) 102017  9  1<br /> 1<br /> <br />  1  2017<br /> 2017<br /> 2017<br /> 10  9<br /> 10  9<br /> 10  9<br /> <br /> Ta th y<br /> <br /> 1<br /> 10<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  1 62 1  35 7<br /> <br /> Và: 10. B <br /> <br /> 2017<br /> <br /> Điểm<br /> 0,5<br /> <br />  11<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 10<br /> <br /> 2017<br /> <br /> 9<br /> <br /> (*)<br /> <br /> (**)<br /> <br /> nên từ (*) và (**)  10A > 10B  A > B.<br /> <br /> 0,75<br /> 0,5<br /> 0,75<br /> <br /> ( Trong 2 ý đầu, ý nào chứng minh trước đúng cho 0,75; ý sau tương tự cho<br /> 0,5đ)<br /> Bài 2: (5,5 điểm)<br /> 1) Rút gọn biểu thức: P <br /> <br /> 2 x 9<br /> 2 x 1<br /> x 3<br /> với x  0;x  4;x  9 .<br /> <br /> <br /> x 5 x 6<br /> x 3 2 x<br /> <br /> 2) T m giá tr lớn nh t của biểu thức:<br /> <br /> 2016 x 2  2 x  2016<br /> Q<br /> x2  1<br /> <br /> 3) T m nghiệm nguyên dương của phương tr nh: 6x2 + 5y2 = 74<br /> Bài 2<br /> 2.1<br /> (2,0đ)<br /> <br /> Đáp án<br /> 2 x  9  (2 x  1)( x  2)  ( x  3)( x  3)<br /> P<br /> ( x  2)( x  3)<br /> <br /> P<br /> <br /> x x 2<br /> ( x  2)( x  1)<br /> x 1<br /> <br /> <br /> ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3)<br /> x 3<br /> <br /> Điểm<br /> 0,75<br /> 0,5x2<br /> +0,25<br /> <br /> a) Ta có:<br /> 2016 x 2  2 x  2016 (2017 x 2  2017)  ( x 2  2 x  1)<br /> <br /> x2  1<br /> x2  1<br /> 2017( x 2  1) ( x  1) 2<br /> ( x  1) 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2017<br /> <br /> (*)<br /> x2  1<br /> x2  1<br /> x2  1<br /> ( x  1) 2<br />  0 nên từ (*)  Q  2017 <br /> Vì 2<br /> x 1<br /> Q<br /> <br /> 2.2<br /> (2,0đ)<br /> <br /> D u “=” xảy ra <br /> <br /> ( x  1)2<br />  0  x 1  0  x  1<br /> x2  1<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> Vậy max Q = 2017  x  1<br /> Cách 1:<br /> Ta có : 6x2 + 5y2 = 74  6x2 – 24 = 50 – 5y2<br /> 2<br /> 2<br />  6(x – 4) = 5(10 – y ) (*)<br /> Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) 5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) 5<br /> Đặt x2 – 4 = 5t ( t  )  x2 = 5t + 4. Thay vào (*)  y2 = 10 – 6t<br /> <br /> 2.3<br /> (1,5đ)<br /> <br /> 4<br /> <br /> t<br /> 2<br /> <br />  x 2  0<br /> <br /> x<br /> <br /> 5<br /> t<br /> <br /> 4<br /> <br /> 0<br /> 4<br /> 5<br /> <br /> <br /> 5<br /> Vì  2<br />  2<br /> <br />  t <br /> 5<br /> 3<br />  y  0<br />  y  10  6t  0 t  5<br />  3<br />  t  0 hoặc t = 1<br /> 2<br />  Khi t = 0 thì y = 10 (loại v y  )<br />  x2  9<br /> x  3<br /> <br /> (vì x > 0; y > 0)<br />  Khi t = 1 thì  2<br /> <br /> y  4<br /> y  2<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Cách 2:<br /> Ta có : 6x2 + 5y2 = 74  6x2 – 24 = 50 – 5y2  6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*)<br /> Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) 5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) 5<br /> 2<br /> 2<br />  [(x – 4) +5] 5  (x +1) 5 (**).<br /> Từ bài ra  0 < 6x2 < 74  0 < x2  12 . Kết hợp (**)  x2 = 4 hoặc x2 = 9<br /> 2<br /> 2<br />  Khi x = 4 thì y = 10 (loại v y  )<br /> 2<br /> 2<br />  Khi x = 9 thì y = 4  (x = 3 y = 2) (vì x > 0; y > 0)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Bài 3: (3,5 điểm)<br /> 1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương tr nh  m  4 x   m  3 y  1 (m là<br /> tham số). T m m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nh t.<br /> 2) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 <br /> Bài 3<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> 2<br /> ab bc ca<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> Xét pt:  m  4  x   m  3 y  1<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Ta th y:  m  4 .0   m  3 .0  0  1 nên (d) không thể đi qua O(0;0)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + m = 4 ta được y = 1 nên K/c từ (d) đến O bằng y  1<br /> 0,25x2<br /> <br /> + m = 3 ta được x = - 1 nên K/c từ (d) đến O bằng x  1  1<br /> <br /> 1 <br />  1<br /> <br /> <br /> ,0  và cắt Oy tại B  0,<br /> <br />  m3<br />  m4 <br /> <br /> + m  3;m  4 th (d) cắt Ox tại A <br /> 3.1<br /> (2,0đ)<br /> <br /> Kẻ OH vuông góc với (d) tại H; ta có K/c từ O đến (d) là OH.<br /> Dựa vào ΔOAB vuông tại O chỉ ra được<br /> 2<br /> 1<br /> 7 1 1<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> (<br /> m<br /> <br /> 4)<br /> <br /> (<br /> m<br /> <br /> 3)<br /> <br /> 2<br /> m<br /> <br />  <br /> <br /> OH 2<br /> 2  2 2<br /> <br /> Suy ra được: OH  2<br /> Suy được khoảng cách từ O đến (d) lớn nh t OH = 2 khi m =<br /> <br /> 7<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> V a, b, c là các số dương (gt) nên ta có:<br /> a<br /> a<br /> ac<br /> <br /> <br /> abc ab abc<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3.2<br /> (1,5đ)<br /> <br /> b<br /> b<br /> ba<br /> <br /> <br /> abc bc bca<br /> <br /> (2)<br /> <br /> c<br /> c<br /> cb<br /> <br /> <br /> a bc ca ca b<br /> <br /> (3)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có: 1 <br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> 2<br /> ab bc ca<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Lưu ý: HS chứng minh đúng một vế cho 0,75đ<br /> Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. L y điểm M b t kỳ trên nửa<br /> đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K.<br /> Gọi E là giao điểm của AM và OK.<br /> 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.<br /> 2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N.<br /> Chứng minh: IN = IO.<br /> 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh:<br /> <br /> EF//AB.<br /> N<br /> <br /> K<br /> <br /> M<br /> I<br /> <br /> E<br /> A<br /> <br /> F<br /> <br /> O H<br /> <br /> B<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> Bài 4<br /> <br /> Điểm<br /> 0,25<br /> <br /> H nh vẽ đến câu 1<br /> 4.1<br /> (1,75đ) Chứng minh được OK  AM tại E<br /> Dựa vào  OAK vuông tại A chỉ ra được OE.OK = OA2 = R2 không đổi.<br /> <br /> 4.2<br /> <br /> Chứng minh được: OK // BN (  AM)<br /> Chứng minh được:  AOK =  OBN (g.c.g)  OK = BN<br /> <br /> (1,75đ) Suy được OBNK là h nh b nh hành từ đó suy được: IN = IO<br /> <br /> 0,75<br /> 0,75<br /> 0,25x2<br /> 0,5 +<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> Chứng minh được  AOK đồng dạng  HBM<br /> <br /> <br /> HB MB<br /> HB 2 MB 2<br /> <br /> <br /> <br /> (1)<br /> AO OK<br /> AO 2 OK 2<br /> <br /> Chỉ ra được MB = HB.AB và OA = OE.OK (cma) (2)<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy được<br /> HB 2<br /> HB. AB<br /> HB AB<br /> HB OE<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> OK .OE<br /> OK<br /> OE OK<br /> AB OK<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4.3<br /> (2,0đ)<br /> <br /> 2<br /> <br /> (3)<br /> <br /> HB FB<br /> 0,25<br /> (4)<br /> <br /> AB BK<br /> 0,5<br /> FB OE<br /> Từ (3) và (4) suy ra<br />  EF // OB //AB (đl Ta let)<br /> <br /> KB OK<br /> Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Một điểm P chạy trên cung<br /> Chứng minh được<br /> <br /> nhỏ AB (P khác A và B). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B<br /> không lớn hơn đường kính của đường tròn (O).<br /> A<br /> 13 2<br /> 1<br /> <br /> P<br /> 1<br /> B<br /> <br /> Bài 5<br /> <br /> O<br /> Q<br /> C<br /> <br /> Đáp án<br /> Vì ABC đều, P  AB nên AP < PC. L y điểm Q trên PC sao cho PQ = PA<br /> APQ cân có APQ  P1  600 (chắn cung 120 ) nên APQ đều<br /> <br /> Điểm<br /> 0,25<br /> <br /> 0<br /> <br /> 5<br /> (2,5đ)<br /> <br />  AP = AQ = PQ<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> - Chứng minh được APB = AQC (c.g.c)  PB = QC<br /> Từ đó  PA + PB = PQ + QC = PC. Mà PC là 1 dây của (O)<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> nên PC  2R (đường kính)<br /> Chứng tỏ tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> đường kính của đường tròn (O). (đpcm)<br /> Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì GK vẫn cho điểm tương đương.<br /> 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.<br /> <br />