Đề thi chuyên toán Quang Trung 2009-2010 có đáp án đề chuyền

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

193
lượt xem 56
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi chuyên toán Quang Trung 2009-2010 có đáp án đề chuyền "sẽ giúp cho các bạn học sinh có thể tự học, tự ôn tập, luyện tập và tự kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu kiến thức, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chuyên toán Quang Trung 2009-2010 có đáp án đề chuyền

S GD- T BÌNH PH C KÌ THI TUY N SINH VÀO TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG N M H C 2009-2010 CHÍNH TH.C MÔN THI: TOÁN ( CHUYÊN) Th i gian: 150 phút (không k th i gian giao ) Bài 1 (2,5 i m) x2 a) Gi i ph ng trình: + x2 − 4 = 8 − x2 4 xy + x + y = 71 b) Cho x, y là hai s nguyên d ng th a mãn h ph ng trình . Tính = + . x 2 y + y 2 x = 880 Bài 2 (3,0 i m) a) M t máy bay tr c th ng có v n t c 280 km/h. Máy bay bay t A n B cách nhau 960 km. Khi bay t A t i B do b gió c n nên th i gian bay ph i nhi u h n m t gi so v i th i gian bay t B n A (do c gió y). Tìm v n t c c a gió. b) Cho parabol (P): =− và ng th ng (d): = − − . Ch ng minh r!ng (d) luôn c"t (P) t#i hai i m phân bi t A, B khi m thay $i. G%i l&n l t là hoành c a A và B. Xác nh m + #t giá tr nh nh't và tính giá tr nh nh't này. Bài 3 (1,5 i m) a) Tìm các s nguyên không âm x, y th a mãn ng th c = + + . b) Cho > ≥ . Ch ng minh r!ng + ≥ . D'u “=” x y ra khi nào? − + Bài 4 (2,0 i m) Cho n(a ng tròn ng kính AB = 2a. Trên o#n AB l'y i m M. Trong n(a m)t ph ng b AB ch a n(a ng tròn ta k* hai tia Mx, My sao cho = = . Tia Mx c"t n(a ng tròn t#i i m E, tia My c"t n(a ng tròn t#i i m F. K* EE’ và FF’ vuông góc v i AB l&n l t t#i E’ và F’. a) Cho = . Tính di n tích hình thang vuông EE’F’F theo a. b) Khi i m M di ng trên AB. Ch ng minh r!ng ng th ng EF luôn ti p xúc v i m t ng tròn c nh. Bài 5 (1 i m) Cho ng tròn (C). V+ hai dây cung AB, EF c"t nhau t#i i m I, v i I n!m trong ng tròn. G%i M là trung i m c a BF, MI kéo dài c"t AE t#i i m N. Ch ng minh r!ng = . (Thí sinh c s( d,ng công th c = ). H t H% và tên thí sinh: ……………………….. S báo danh: ……………… H% và tên giám th 1: ………………………………. Ch- kí: …………. H% và tên giám th 1: ………………………………. Ch- kí: ………….
S GIÁO D C VÀ ÀO T O T NH BÌNH PH C TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG H NG D N GI I THI VÀO TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG MÔN TOÁN CHUYÊN N M H C 2009-2010 Bài 1 (2,5 i m) x2 a) Gi i ph ng trình: + x2 − 4 = 8 − x2 4 Gi i ≥ +) K: − ≥ ⇔ ≤− +) t = − , k: ≥ + Ph ng trình tr thành: + = − + + + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ + − = ⇔ =− +) V i = ta có: − = ⇔ = ⇔ =± +) KL: T p nghi m c a ph ng trình là: = − . xy + x + y = 71 b) Cho x, y là hai s nguyên d ng th a mãn h ph ng trình . Tính = + . x 2 y + y 2 x = 880 Gi i = + S + P = 71 +) t − ≥ . H ph ng trình tr thành . = S .P = 880 = = Gi i h ph ng trình hai n S, P này ta có: = = = = +) V i ta có x, y là các nghi m c a ph ng trình: − + = ⇔ .V yh = = = = ph ng trình ã cho có hai nghi m là và ( u tho mãn i u ki n x, y là hai s = = nguyên d ng). C hai nghi m u cho B có cùng m t giá tr là B = 146. = +) V i ta có x, y là các nghi m c a ph ng trình: − + = . D th y ph ng trình = không có nghi m nguyên d ng nên không tho mãn bài toán. +) KL: = + = .
Bài 2 (3,0 i m) a) M t máy bay tr c th ng có v n t c 280 km/h. Máy bay bay t A n B cách nhau 960 km. Khi bay t A t i B do b gió c n nên th i gian bay ph i nhi u h n m t gi so v i th i gian bay t B n A (do c gió y). Tìm v n t c c!a gió. Gi i +) G i x là v n t c c a gió, i u ki n < < . +) Ta có v n t c c a máy bay khi bay t A n B là: 280 – x th i gian c a máy bay bay t A n B là . − +) Ta có v n t c c a máy bay khi bay t B n A là: 280 + x th i gian c a máy bay bay t B n A là . + = +) Theo gi thi t ta có ph ng trình: = + ⇔ + − = ⇔ − + =− +) KL: V n t c c a gió là 40 km/h. b) Cho parabol (P): =− và ng th"ng (d): = − − . Ch#ng minh r$ng (d) luôn c%t (P) t&i hai i'm phân bi t A, B khi m thay (i. G)i l*n l t là hoành c!a A và B. Xác nh m ' + &t giá tr nh nh+t và tính giá tr nh nh+t này. Gi i +) Ph ng trình hoành giao i m c a (d) và (P): − = − − ⇔ + − − = , (*). +) Ta th y ph ng trình b c hai (*) có ∆ = + + = + + > ∀ ∈ . Do ó (*) luôn có hai nghi m phân bi t (d) luôn c t (P) t i hai i m phân bi t A và B v i m i m. + =− +) Áp d ng nh lí Viét ta có: . =− − Do ó + = + =− − − = + = + − ≥− ∀ ∈ D u “=” x y ra ⇔ = − . +) KL: Giá tr nh nh t c a bi u th c + là –16, t c khi =− . Bài 3 (1,5 i m) a) Tìm các s nguyên không âm x, y th a mãn "ng th#c = + + . Gi i +) T gi thi t ta có = − + < , (1). +) Ta s i ch ng minh + ≤ + . Th t v y ta có: + ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔ + ≥ , luôn úng vì ≥ . + + ≤ + + = + , (2). ng th c x y ra ⇔ = . +) T (1) và (2) ta có: < = + + ≤ + . Vì + là hai s chính ph ng nên ta có = + + = + = và x = 1. = +) KL: V y là c p s không âm tho mãn bài toán. =
b) Cho > ≥ . Ch#ng minh r$ng + ≥ . D+u “=” x y ra khi nào? − + Gi i Cách 1 (Áp d ng k thu t ch n i m r i) + + +) Áp d ng B T Cô Si cho 4 s d ng − ta có: − + + + ( + ) − + + + ≥ ( − ) − + − + ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ , ( pcm). − + − + + = +) ng th c x y ra − = = ⇔ − + = Cách 2 (Chuy n v B T m t bi n). +) Ta có B T ã cho ⇔ − + ≥ − − + +) Áp d ng B T Cô Si cho 2 s d ng − ta có: − + − + ≥ ( − ) ⇔ − + ≥ − + − + − + + +) ch ng minh B T ã cho ta s i ch ng minh ≥ − , (*) + Ta có (*) ⇔ ≥ ( − )( + )⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ , (luôn úng) B T ã cho là úng. − = = +) ng th c x y ra ⇔ − + ⇔ = − = Cách 3 (Bi n !i t ng ng r"i s# d ng B T Cô Si d ng tích). +) B T ã cho ⇔ ≥ − ⇔ − + ( − )≤ ⇔ − + ( − ) ≤ , (*). − + + + + +) Theo B T Cô Si ta có: + + + ≥ ⇔ ≤ ∀ ≥ , (**). − + + + + +( − ) +) Áp d ng (**) ta có: − + ( − )≤ = V y (*) úng B T ã cho c ch ng minh. = +) ng th c x y ra ⇔ − = + = − ⇔ = Cách 4 (S# d ng B T Cô Si). +) Áp d ng B T Cô Si cho 4 s d ng + + − − ta có: ( + ) +( + )+ ( − )+ ( − ) ≥ ( + )( + )( − )( − ) ⇔ ≥ ( + )( − )( − ) ⇔ ≥ ( + ) ( − )( − )⇔ ≥ ( + )( − )( − )
⇔ ≥( + )( − )( − )⇔ ≥ − ⇔ + ≥ ( + )( − ) ( + )( − ) = +) ng th c x y ra ⇔ − = + = − ⇔ = Bài 4 (2,0 i m) Cho n,a ng tròn ng kính AB = 2a. Trên o&n AB l+y i'm M. Trong n,a m-t ph"ng b AB ch#a n,a ng tròn ta k. hai tia Mx, My sao cho = = . Tia Mx c%t n,a ng tròn t&i i'm E, tia My c%t n,a ng tròn t&i i'm F. K. EE’ và FF’ vuông góc v i AB l*n l t t&i E’ và F’. a) Cho = . Tính di n tích hình thang vuông EE’F’F theo a. b) Khi i'm M di ng trên AB. Ch#ng minh r$ng ng th"ng EF luôn ti p xúc v i m t ng tròn c nh. Gi i a) Tính di n tích hình thang vuông EE’F’F theo a. G i C, D l$n l t là giao i m c a EE’ và FF’ v i n#a d ic a ng tròn, g i H là hình chi u vuông góc F c a O trên CF. D th y MCE và MDF là các tam giác u. I +) Xét ∆ ta có: = = = E H +) Xét ∆ ta có: = − = − = A B E' O F' M CF = 2HF = . C +) M t khác ta có: = = D + = ( + )= = +) M t khác ta có: = = = = + = ( + )= = + Do ó = = = ( vdt). b) Ch#ng minh r$ng ng th"ng EF luôn ti p xúc v i m t ng tròn c nh. +) Ta có = − ( + )= − ( + )= +) Ta có = ( + ) mà = = = . +) K% ⊥ ta có = = = . +) Vì O c nh và = không !i nên I luôn ch y trên ng tròn tâm O bán kính = . Mà ⊥ ti p xúc v i ng tròn này. +) KL: Khi M thay !i thì EF luôn ti p xúc v i ng tròn tâm O bán kính = .
Bài 5 (1 i m) Cho ng tròn (C). V/ hai dây cung AB, EF c%t nhau t&i i'm I, v i I n$m trong ng tròn. G)i M là trung i'm c!a BF, MI kéo dài c%t AE t&i i'm N. Ch#ng minh r$ng = . (Thí sinh c s, d0ng công th#c = ). Gi i +) Ta có hai tam giác IMB và IMF có di n tích b&ng B nhau (chung ng cao và c nh áy MB = MF). M +) Ta có hai tam giác IAN và IEN có chung ng cao F = , (*). I +) M t khác ta có = O A E = = , (**). N t (*) và (**) ta có = , (1) +) Ta có ∆ ∆ − = , (2). Thay (2) vào (1) ta có = , ( pcm). H t GV: Ph&m V n Quý, Tr ng THPT chuyên Quang Trung