Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT số 2 Bảo Thắng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

“Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT số 2 Bảo Thắng” sau đây sẽ giúp bạn đọc nắm bắt được cấu trúc đề thi, từ đó có kế hoạch ôn tập và củng cố kiến thức một cách bài bản hơn, chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT số 2 Bảo Thắng

TRƯỜNG THPT SỐ 2 BẢO THẮNG ĐỀ MINH HỌA GIỮA KÌ 2 - LỚP 12 TỔ TOÁN - TIN NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN - Lớp 12 - Chương trình chuẩn Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng K . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. F ' ( x) = f ( x), x  K . B. f ' ( x) = F ( x), x  K . C. F ' ( x) = f ( x) + C , x  K , với C là hằng số.D. f ' ( x) = F ( x) + C , x  K , với C là hằng số. Câu 2. Công thức nguyên hàm nào sau đây đúng? 1 1 A.  dx = ln | x | +C B.  sin xdx = cosx + C C.  a x dx = a x + C (0  a  1) D.  dx = tan x + C x cos x Câu 3. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số y = cos x (với C là hằng số tuỳ ý) A. F ( x) = − sin x + C . B. F ( x) = sin x + C . C. F ( x) = cosx + C . D. F ( x) = −cosx + C . Câu 4. Nguyên hàm của hàm số y = x là x2 A. F ( x) = x + C B. F ( x) = x 2 + C C. F ( x) = 2 x + C D. F ( x) = +C 2 Câu 5. Cho hai hàm số f ( x ), g ( x ) xác định và liên tục trên , chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A.   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx . B.   f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . C.  f ( x ) .g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx . D.  f ' ( x)dx = f ( x) + C Câu 6. Công thức nguyên hàm nào sau đây đúng? A.  k . f ( x)dx =  f ( x)dx B.  k . f ( x)dx = k . f ( x) C.  k . f ( x)dx = k . f ( x)dx D.  k . f ( x)dx = k +  f ( x)dx Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x sin 2 x A.  cos 2 xdx = 2sin 2 x + C . B.  cos 2 xdx = +C . 2 sin 2 x C.  cos 2 xdx = − +C . D.  cos 2 xdx = sin 2 x + C . 2 1 Câu 8. Tích phân  (3x 2 + 2 x)dx bằng 0 A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. −2 . 3 dx Câu 9. Tích phân  2 x − 1 bằng 2 5 1 3 3 1 5 A. 2 ln B. ln C. 2 ln D. ln 3 2 5 5 2 3 Câu 10. Công thức tích phân nào sau đây là đúng? b b  f ( x ) dx = F ( x ) = F ( a ) − F (b ) .  f ( x ) dx = F ( x ) = F (b ) + F ( a ) . b b A. a B. a a a b b  f ( x ) dx = F ( x ) = F (b ) − F ( a ) .  f ( x ) dx = F ( x ) = 2F (b ) . b b C. a D. a a a 3 3 Câu 11. Biết  f ( x ) dx = 3 . Giá trị của  2 f ( x ) dx bằng 1 1 3 A. 5 . B. 9 . C. 6 . D. . 2 Câu 12. Giả sử f ( x ) , g ( x ) liên tục trên  a; b . Mệnh đề nào sau đây sai?
b a b b b A.  f ( x ) dx = − f ( x ) dx a b B.   f ( x ) + g ( x)  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx. a a a a b f ( x)  f ( x ) dx b b b C.  dx = b b D.   f ( x ) − g ( x)  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx. g(x)  g ( x ) dx a a a a a 2 4 4 Câu 13. Cho  f ( x)dx = 5 và  f ( x)dx = −3 , khi đó  2 f ( x)dx 0 2 0 bằng A. 2 . B. −4 . C. 4 . D. 16 . 1 1  f ( x)dx = 3 khi đó   f ( x) + 3x  dx bằng : 2 Câu 14. Cho −2 −2 A. 11. B. 28. C. -12. D. 12. Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = 3i + j − 2k . Tọa độ của vectơ a là: A. ( 3;0; −2 ) . B. ( −3; −1;2 ) . C. ( 3;1; 2 ) . D. ( 3;1; −2 ) . Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A (1; 2; −3) và B ( 3; −4; −1) . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng A B . A. I ( 4; −2; −4 ) . B. I ( 2; −1; −2 ) . C. I (1; −3;1) . D. I ( 2; −6; −4 ) . Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 5 ) + ( y − 2 ) + z 2 = 49 . Tính 2 2 tọa độ tâm I và bán kính R của ( S ) . A. I ( −5; 2;0 ) và R = 7 . B. I ( 5; −2;0 ) và R = 7 . C. I ( −5; 2;0 ) và R = 49 . D. I ( 5; −2;0 ) và R = 49 Câu 18. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( Q ) : x − 7 y + 2 z − 2023 = 0 có một véc tơ pháp tuyến là A. n = (1;7; 2 ) B. n = ( −1; −7; −2 ) C. n = (1; −7; −2 ) D. n = (1; −7; 2 ) Câu 19. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : −2 x + y − 10 = 0 có một véc tơ pháp tuyến là A. n = ( −2;1; −10 ) B. n = ( 2;1; −10 ) C. n = ( 2;1;0 ) D. n = ( −2;1;0 ) Câu 20. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 3z + 7 = 0 có một véc tơ pháp tuyến là A. n = (1; 2; −3) B. n = ( 2; 4; −6 ) C. n = ( 2; −4; −6 ) D. n = (1; −2;3) Câu 21. Khẳng định nào đây sai? 1 A.  cos x dx = − sin x + C . B.  x dx = ln x + C . C.  2 x dx = x 2 + C . D.  e dx = e + C . x x Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + cos x + 2018 là A. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x + C . B. F ( x ) = e x − sin x + 2018 x + C . C. F ( x ) = e x + sin x + 2018 x . D. F ( x ) = e x + sin x + 2018 + C Câu 23. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( 3x + 1) ? 5 ( 3x + 1) ( 3x + 1) 6 6 A. F ( x ) = +8. −2. B. F ( x ) = 18 18 ( 3x + 1) ( 3x + 1) 6 6 C. F ( x ) = . D. F ( x ) = . 18 6 1 1 Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 − x 2 − là x 3
− x4 + x2 + 3 −2 A. +C . B. 2 − 2x + C . 3x x x + x +3 4 2 − x3 1 x C. − +C. D. − − +C . 3x 3 x 3 Câu 25. Hàm số F ( x) = e + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào x 1 1 A. f ( x) = e x − 2 B. f ( x) = e x + 2 sin x sin x  e −x  1 C. f ( x) = e x 1 + 2  D. f ( x ) = e x + 2  cos x  cos x b a b Câu 26. Cho tích phân I1 =  f ( x ) dx = m và I 2 =  f ( x ) dx = n . Tích phân I =  f ( x )dx có giá trị là: a c c A. m + n . B. m − n . C. −m − n . D. −m + n . 3 Câu 27. Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  2;3 đồng thời f ( 2 ) = 2 , f ( 3) = 5 . Tính  f ( x)dx 2 bằng A. -3. B. 7. C. 10 D. 3. 1 1 Câu 28. Cho  f ( x ) dx = 3 . Tính tích phân −2 I =   2 f ( x ) − 1 dx . −2 A. −9 . B. −3 . C. 3 . D. 5 . 1 Câu 29. Cho tích phân  3 1 − xdx , với cách đặt t = 3 1 − x thì tích phân đã cho bằng với tích 0 Phân nào sau đây? 1 1 1 1 A. 3 tdt . B.  t 3dt . C. 3 t 2 dt . D. 3 t 3dt . 0 0 0 0 2 2016 x Câu 30. Tính tích phân I = e −2 x +1 dx. 2018 2017 2018 A. I = 0 . B. I = 2 . C. I = 2 . D. I = 2 . 2017 2017 2018 1 −1 Câu 31. Cho giá trị của tích phân I1 =  ( x 4 + 2 x3 )dx = a , I 2 =  (x + 3x )dx = b . Giá trị của 2 a là: −1 −2 b 4 12 12 4 A. P = − . B. P = . C. P = − . D. P = . 65 65 65 65 Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; − 1) , B ( 2; − 1; 3) , C ( −3; 5;1) . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D ( −2; 8; − 3) . B. D ( −2; 2; 5) . C. D ( −4; 8; − 5) . D. D ( −4; 8; − 3) Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 3) + ( z − 2 ) = 9 2 2 2 Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ( P ) là A. I (1; −3; −2 ) , R = 9 B. I ( −1;3; 2 ) , R = 3 C. I (1;3; 2 ) , R = 3 D. I ( −1;3; 2 ) , R = 9 Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 4;1; −2 ) và B ( 5;9;3) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: A. 2 x + 6 y − 5 z + 40 = 0 B. x + 8 y − 5 z − 41 = 0 C. x − 8 y − 5 z − 35 = 0 D. x + 8 y + 5 z − 47 = 0
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 4 y + 2 z + 4 = 0 và điểm A (1; −2;3) . Tính khoảng cách d từ A đến (P). 5 5 5 1 A. d = . B. d = . C. d = . D. 9 29 29 29 1 Câu 36. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = , biết F (1) = 2. Giá trị của F ( 0 ) x−2 bằng A. 2 + ln 2. B. ln 2. C. 2 + ln ( −2 ) . D. ln ( −2 ) . Câu 37. Biết F ( x ) = e x + x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên . Khi đó  f ( 2 x ) dx bằng 1 2x 1 2x A. 2e x + 2 x 2 + C. B. e + x 2 + C. C. e + 2 x 2 + C. D. e2 x + 4 x 2 + C. 2 2  4 Câu 38. Cho hàm số f ( x ) . Biết f ( 0 ) = 4 và f ' ( x ) = 2sin 2 x + 1, x  , khi đó  f ( x ) dx bằng 0  + 16 − 4 2  −4 2  + 15 2  2 + 16 − 16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 e  (1 + x ln x ) dx = ae + be + c với a , b , c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 Câu 39. Cho 1 A. a + b = c B. a + b = −c C. a − b = c D. a − b = −c Câu 40. Cho hình nón ( N ) có đỉnh S , bán kính đáy bằng 3a và độ dài đường sinh bằng 4a . Gọi (T ) là mặt cầu đi qua S và đường tròn đáy của ( N ) . Bán kính của (T ) bằng 2 10a 16 13a 8 13a A. . B. . C. . D. 13a . 3 13 13 Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD. ABCD . Biết A ( 2; 4;0 ) , B ( 4;0;0 ) , C ( −1; 4; − 7 ) và D ( 6;8;10 ) . Tọa độ điểm B  là A. B (8; 4;10 ) . B. B ( 6;12;0 ) . C. B (10;8;6 ) . D. B (13;0;17 ) . Câu 42. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A (1; −1; 4 ) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ. A. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z + 3) = 16 . B. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 3) = 9 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z + 3) = 36 . D. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 49 . 2 2 2 2 2 2 Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( −1;0;0 ) , B ( 0;0; 2 ) , C ( 0; −3;0 ) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là 14 14 14 A. . B. . C. . D. 14 . 3 4 2 Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A ( 2;4; −1) , B (1;4; −1) , C ( 2;4;3) , D ( 2;2; −1) , biết M ( x; y; z ) để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng 21 A. 6 . B. . C. 8 . D. 9 . 4 Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 3 y + 2 z − 1 = 0, ( Q ) : x − z + 2 = 0 . Mặt phẳng ( ) vuông góc với cả ( P ) và ( Q) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mp ( ) là A. x + y + z − 3 = 0 B. x + y + z + 3 = 0 C. −2 x + z + 6 = 0 D. −2 x + z − 6 = 0
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 3; −2; −2 ) , B ( 3; 2;0 ) , C ( 0; 2;1) . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là A. 2 x − 3 y + 6 z + 12 = 0 . B. 2 x + 3 y − 6 z − 12 = 0 . C. 2 x − 3 y + 6 z = 0 . D. 2 x + 3 y + 6 z + 12 = 0 . Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và không âm trên thỏa mãn f ( x ) . f  ( x ) = 2 x f 2 ( x ) + 1 và f ( 0 ) = 0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn 1;3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P = 2M − m có dạng a 11 − b 3 + c , ( a , b , c  ) . Tính a+b+c A. a + b + c = 7 . B. a + b + c = 4 . C. a + b + c = 6 . D. a + b + c = 5 . Câu 48. Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4m , chiều rộng AB = 4m , AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng /m2 , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng /m2 . Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 đồng. B. 4077000 đồng. C. 7368000 đồng. D. 11370000 đồng. Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A (1;1;1) , B ( 2; 0;2) , C ( −1; −1; 0) , D ( 0;3; 4) . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B,C, D thỏa = 4 . Viết phương trình mặt phẳng ( BCD  ) biết tứ diện ABCD có thể tích nhỏ AB AC AD + + AB AC AD nhất? A. 16 x + 40 y + 44 z − 39 = 0 B. 16 x − 40 y − 44 z + 39 = 0 C. 16 x + 40 y − 44 z + 39 = 0 D. 16 x − 40 y − 44 z − 39 = 0 Câu 50. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 2; −2; 2 ) và mặt cầu ( S ) : x2 + y 2 + ( z + 2) = 1 . Điểm M di chuyển trên mặt cầu ( S ) đồng thời thỏa mãn OM . AM = 6 . 2 Điểm M thuộc mặt phẳng nào sau đây? A. 2 x − 2 y − 6 z + 9 = 0 . B. 2 x − 2 y + 6 z − 9 = 0 . C. 2 x + 2 y + 6 z + 9 = 0 . D. 2 x − 2 y + 6 z + 9 = 0 .
BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 9.D 10.C 11.C 12.C 13.C 14.D 15.D 16.B 17.A 18.D 19.D 20.D 21.A 22.A 23.D 24.D 25.D 26.A 27.D 28.C 29.D 30.C 31.C 32.D 33.B 34.D 35.C 36.A 37.C 38.A 39.C 40.C 41.D 42.B 43.C 44.B 45.A 46.C 47.A 48.A 49.C 50.D 1 Câu 36. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = , biết F (1) = 2. Giá trị của F ( 0 ) x−2 bằng A. 2 + ln 2. B. ln 2. C. 2 + ln ( −2 ) . D. ln ( −2 ) . Lờigiải Cách 1: 1 Ta có:  f ( x )dx =  x − 2dx = ln x − 2 + C, C  R . Giả sử F ( x ) = ln x − 2 + C0 là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F (1) = 2 . Do F (1) = 2  C0 = 2  F ( x ) = ln x − 2 + 2 .Vậy F ( 0 ) = 2 + ln 2. Câu 37. Biết F ( x ) = e x + x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên . Khi đó  f ( 2 x ) dx bằng 1 2x 1 2x A. 2e x + 2 x 2 + C. B. e + x 2 + C. C. e + 2 x 2 + C. D. e2 x + 4 x 2 + C. 2 2 Lời giải Chọn C Ta có: F ( x ) = e x + x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên 1 1 1   f ( 2 x ) dx =  f ( 2 x ) d 2 x = F ( 2 x ) + C = e 2 x + 2 x 2 + C. 2 2 2  4 Câu 38. Cho hàm số f ( x ) . Biết f ( 0 ) = 4 và f ' ( x ) = 2sin 2 x + 1, x  , khi đó  f ( x ) dx bằng 0  + 16 − 4 2  −4 2  + 15 2  2 + 16 − 16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải Chọn A Ta có f ( x ) =  ( 2sin 2 x + 1) dx =  ( 2 − cos 2 x ) dx = 2 x − sin 2 x + C. 1 2 Vì f ( 0 ) = 4  C = 4 1 Hay f ( x ) = 2 x − sin 2 x + 4. 2     4 4 1 Suy ra  f ( x ) dx =   2 x − sin 2 x + 4  dx 0  0 2  1 2 1  2 + 16 − 4 = x + cos 2 x + 4 x 4 = 2 + − = . 4 16 4 16 0 e  (1 + x ln x ) dx = ae + be + c với a , b , c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 Câu 39. Cho 1 A. a + b = c B. a + b = −c C. a − b = c D. a − b = −c Lời giải Chọn C
e e e e Ta có  (1 + x ln x ) dx = 1.dx +  x ln x dx = e − 1 +  x ln x dx . 1 1 1 1  1 u = ln x  du = x dx Đặt  2 dv = x.dx  v = x  2 e 2 e x e 1 e2 1 2 e e2 e2 1 e2 1 Khi đó  x ln x dx = ln x −  x dx = − x = − + = + . 1 2 1 21 2 4 1 2 4 4 4 4 e e2 1 e2 3  (1 + x ln x ) dx = e − 1 + 1 3 Suy ra + = + e − nên a = , b = 1 , c = − . 1 4 4 4 4 4 4 Vậy a − b = c . Câu 40. Cho hình nón ( N ) có đỉnh S , bán kính đáy bằng 3a và độ dài đường sinh bằng 4a . Gọi (T ) là mặt cầu đi qua S và đường tròn đáy của ( N ) . Bán kính của (T ) bằng 2 10a 16 13a 8 13a A. . B. . C. . D. 13a . 3 13 13 Lời giải. Chọn C Cách 1. Nếu cắt mặt cầu ngoại tiếp khối nón ( N ) bởi mặt phẳng ( SAB ) , ta được mộ hình tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Khi đó bán kính mặt cầu (T ) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Gọi M là trung điểm của SB . Kẻ đường vuông góc với SB tại M , cắt SO tại I . Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB và r = SI là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB . SI SM SM Ta có: SIM ∽ SBO  =  SI = .SB . SB SO SO  SM = 2a  8a 13 Trong đó:  SB = 4a  r = SI = .  13  SO = SB − OB = a 13 2 2 Cách 2. Gọi O là tâm của mặt cầu (T ) , H là tâm đường tròn đáy của ( N ) , M là một điểm trên đường tròn đáy của ( N ) và R là bán kính của (T ) . Ta có: SO = OM = R ; OM 2 = OH 2 + HM 2 ; SH = SM 2 − HM 2 = 13a . Do SH  HM nên chỉ xảy ra hai trường hợp sau Trường hợp 1: SH = SO + OH
Ta có hệ phương trình  R + OH = 13a OH = 13a − R  2   2 .  R = OH + 3a  R = 13a − 2 3aR + R + 3a (*) 2 2 2 2 2 8 13a Giải (*) ta có R = . 13 Trường hợp 2: SH = SO − OH .  R = OH + 13a OH = R − 13a Ta có hệ phương trình    2 .  R = OH + 3a  R = 13a − 2 13aR + R + 3a (*) 2 2 2 2 2 2 8 13a Giải (*) ta có R = . 13 Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD. ABCD . Biết A ( 2; 4;0 ) , B ( 4;0;0 ) , C ( −1; 4; − 7 ) và D ( 6;8;10 ) . Tọa độ điểm B  là A. B (8; 4;10 ) . B. B ( 6;12;0 ) . C. B (10;8;6 ) . D. B (13;0;17 ) . Lời giải A' B' C' D'(6; 8; 10) A(2; 4; 0) B(4; 0; 0) D C(-1; 4;-7) Giả sử D ( a; b; c ) , B ( a; b; c ) a = −3  1 −7   Gọi O = AC  BD  O  ; 4;   b = 8 . O 2 2   c = −7
a = 13 Vậy DD = ( 9;0;17 ) , BB = ( a − 4; b; c ) . Do ABCD. ABCD là hình hộp nên DD = BB  b = 0 . c = 17  Vậy B (13;0;17 ) . Câu 42. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A (1; −1; 4 ) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ. A. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z + 3) = 16 . B. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 3) = 9 . 2 2 2 2 2 2 C. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z + 3) = 36 . D. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 49 . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Gọi I ( a; b; c ) là tâm của mặt cầu ( S ) . Mặt cầu ( S ) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ d ( I , ( Oxy ) ) = d ( I , ( Oyz ) ) = d ( I , ( Oxz ) )  a = b = c = R (1) Mặt cầu ( S ) đi qua A (1; −1; 4 )  IA = R  IA2 = R 2 ( a − 1) + ( b + 1) + ( c − 4 ) = R 2 2 2 2    a  0; c  0; b  0 a  0; c  0; b  0 a = c = −b = R  0 (do (1)) ( a − 1) + ( −a + 1) + ( a − 4 ) = a  2a 2 − 12a + 18 = 0  a 2 − 6a + 9 = 0 2 2 2 2    a = c = −b = R  0  a = c = −b = R  0 a = c = −b = R  0 a = c = 3   b = −3  ( S ) : ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 3) = 9 . 2 2 2 R = 3  Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( −1;0;0 ) , B ( 0;0; 2 ) , C ( 0; −3;0 ) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là 14 14 14 A. . B. . C. . D. 14 . 3 4 2 Lời giải Gọi ( S ) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Phương trình mặt cầu ( S ) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 . Vì O , A , B , C thuộc ( S ) nên ta có:  1  a=− d = 0 2 1 + 2a + d = 0    3   b = − . 4 − 4c + d = 0  2 9 + 6b + d = 0 c = 1 d = 0  1 9 14 Vậy bán kính mặt cầu ( S ) là: R = a 2 + b2 + c 2 − d = + +1 = . 4 4 2 Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A ( 2;4; −1) , B (1;4; −1) , C ( 2;4;3) , D ( 2;2; −1) , biết M ( x; y; z ) để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng 21 A. 6 . B. . C. 8 . D. 9 . 4 Lời giải   7 7 Xét điểm I ( a; b; c ) thỏa mãn IA + IB + IC + ID = 0 . Khi đó I  ; ;0  . 4 2 
Ta có MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = ( MI + IA) + ( MI + IB ) + ( MI + IC ) + ( MI + ID ) 2 2 2 2 ( ) = 4 MI 2 + 2 MI IA + IB + IC + ID + IA2 + IB 2 + IC 2 + ID 2 = 4MI 2 + IA2 + IB 2 + IC 2 + ID 2  IA2 + IB 2 + IC 2 + ID 2 7 7  7 7 21 Dấu " = " xảy ra  M  I tức là M  ; ;0   x + y + z = + = . 4 2  4 2 4 Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 3 y + 2 z − 1 = 0, ( Q ) : x − z + 2 = 0 . Mặt phẳng ( ) vuông góc với cả ( P ) và ( Q) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mp ( ) là A. x + y + z − 3 = 0 B. x + y + z + 3 = 0 C. −2 x + z + 6 = 0 D. −2 x + z − 6 = 0 Lời giải Chọn A ( P) có vectơ pháp tuyến nP = (1; −3; 2) , (Q) có vectơ pháp tuyến nQ = (1;0; −1) . Vì mặt phẳng ( ) vuông góc với cả ( P ) và ( Q) nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là nP , nQ  = ( 3;3;3) = 3 (1;1;1) .   Vì mặt phẳng ( ) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên ( ) đi qua điểm M ( 3;0;0 ) . Vậy ( ) đi qua điểm M ( 3;0;0 ) và có vectơ pháp tuyến n = (1;1;1) nên ( ) có phương trình: x + y + z − 3 = 0. Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 3; −2; −2 ) , B ( 3; 2;0 ) , C ( 0; 2;1) . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là A. 2 x − 3 y + 6 z + 12 = 0 . B. 2 x + 3 y − 6 z − 12 = 0 . C. 2 x − 3 y + 6 z = 0 . D. 2 x + 3 y + 6 z + 12 = 0 . Lời giải Chọn C Cách 1: Ta có: AB = ( 0; 4; 2 ) , AC = ( −3; 4;3) , n =  AB; AC  = ( 4; − 6;12 ) . Ta có n = ( 4; − 6;12 ) cùng phương n1 = ( 2; − 3;6 ) Mặt phẳng ( ABC ) đi qua điểm C ( 0; 2;1) và có một vectơ pháp tuyến n1 = ( 2; − 3;6 ) nên ( ABC ) có phương trình là: 2 ( x − 0 ) − 3 ( y − 2 ) + 6 ( z − 1) = 0  2 x − 3 y + 6 z = 0 . Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2 x − 3 y + 6 z = 0 . Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và không âm trên thỏa mãn f ( x ) . f  ( x ) = 2 x f 2 ( x ) + 1 và f ( 0 ) = 0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn 1;3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P = 2M − m có dạng a 11 − b 3 + c , ( a , b , c  ) . Tính a+b+c A. a + b + c = 7 . B. a + b + c = 4 . C. a + b + c = 6 . D. a + b + c = 5 . Lời giải Chọn A f ( x). f ( x) f ( x). f ( x) Ta có: f ( x ) . f  ( x ) = 2 x f 2 ( x ) + 1  = 2x   dx =  2 xdx f 2 ( x) +1 f 2 ( x) +1  f 2 ( x ) + 1 = x2 + C .
Mà f ( 0 ) = 0  C = 1  f 2 ( x ) + 1 = x 2 + 1  f 2 ( x ) = ( x 2 + 1) − 1 = x 4 + 2 x 2 2  f ( x ) = x4 + 2x2 . 2 x3 + 2 x Ta có: f  ( x ) =  0, x  1;3  max f ( x ) = f ( 3) = 3 11; min f ( x ) = f (1) = 3 . x4 + 2 x2 1;3 1;3 Ta có: P = 2M − m = 6 11 − 3  a = 6; b = 1; c = 0  a + b + c = 7 . Câu 48. Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4m , chiều rộng AB = 4m , AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng /m2 , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng /m2 . Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 đồng. B. 4077000 đồng. C. 7368000 đồng. D. 11370000 đồng. Lời giải Chọn A Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox , A trùng O khi đó parabol có đỉnh G ( 2; 4 ) và đi qua gốc tọa độ. Giả sử phương trình của parabol có dạng y = ax 2 + bx + c ( a  0) . c = 0  b a = −1   Vì parabol có đỉnh là G ( 2; 4 ) và đi qua điểm O ( 0;0 ) nên ta có − = 2  b = 4 .  2 a c = 0 a.22 + b.2 + c = 4  Suy ra phương trình parabol là y = f ( x) = − x 2 + 4 x . 4 4  x3  Diện tích của cả cổng là S =  ( − x + 4 x ) dx =  − + 2 x 2  = ( m2 ) . 2 32 0  3 0 3 Mặt khác chiều cao CF = DE = f ( 0,9 ) = 2,79(m) ; CD = 4 − 2.0,9 = 2, 2 ( m ) . Diện tích hai cánh cổng là SCDEF = CD.CF = 6,138 ( m 2 ) . Diện tích phần xiên hoa là S xh = S − SCDEF = 32 3 − 6,14 = 6793 1500 ( m2 ) . 6793 Vậy tổng số tiền để làm cổng là 6,138.1200000 + .900000 = 11441400 đồng. 1500
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A (1;1;1) , B ( 2; 0;2) , C ( −1; −1; 0) , D ( 0;3; 4) . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B,C, D thỏa = 4 . Viết phương trình mặt phẳng ( BCD  ) biết tứ diện ABCD có thể tích nhỏ AB AC AD + + AB AC AD nhất? A. 16 x + 40 y + 44 z − 39 = 0 B. 16 x − 40 y − 44 z + 39 = 0 C. 16 x + 40 y − 44 z + 39 = 0 D. 16 x − 40 y − 44 z − 39 = 0 Lời giải Chọn C AB AC AD AB AC AD Đặt x = ,y = ,z = . Ta có + + = 4 . Suy ra AB AC AD AB AC AD 1 1 1 1 27 4= + +  33  xyz  . Dấu " = " xảy ra khi x = y = z . x y z xyz 64  AB = (1; −1;1) ;     AB; AC  = ( 3; −1; −4) ; AD = ( −1;2;3) .  AC = ( −2; −2; −1)   1 17 Thể tích của tứ diện ABCD là VABCD =  AB; AC  .AD = 6  6 Lại có VABCD = xyzVABCD  tứ diện ABCD có thể tích nhỏ nhất khi xyz nhỏ nhất  Mặt phẳng mặt phẳng ( BCD  ) song song với mặt phẳng ( BCD ) 3 Khi và chỉ khi x = y = z = 4 3  3 3 3  7 1 7 và đi qua điểm B . Vì AB = AB =  ; − ;  nên B  ; ;  4  4 4 4  4 4 4  BC = ( −3; −1; −2) ;     BC; BD  = ( 4;10; −11)  ( BCD ) nhận VTPT là n = ( 4;10; −11)    BD = ( −2;3;2) Suy ra phương trình mặt phẳng ( BCD  ) : 16 x + 40 y − 44 z + 39 = 0 Câu 50. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 2; −2; 2 ) và mặt cầu ( S ) : x2 + y 2 + ( z + 2) = 1 . Điểm M di chuyển trên mặt cầu ( S ) đồng thời thỏa mãn OM . AM = 6 . 2 Điểm M thuộc mặt phẳng nào sau đây? A. 2 x − 2 y − 6 z + 9 = 0 . B. 2 x − 2 y + 6 z − 9 = 0 . C. 2 x + 2 y + 6 z + 9 = 0 . D. 2 x − 2 y + 6 z + 9 = 0 . Lời giải Giả sử M ( x; y; z ) thì OM = ( x; y; z ) , AM = ( x − 2; y + 2; z − 2 ) .  x ( x − 2 ) + y ( y + 2 ) + z ( z − 2 ) = 6 Vì M  ( S ) và OM . AM = 6 nên ta có hệ   x + y + ( z + 2 ) = 1 2 2 2  x + y + z − 2x + 2 y − 2z = 6 2 2 2  2  2x − 2 y + 6z + 9 = 0 .   x + y 2 + z 2 + 4 z + 4 = 1 Vậy điểm M thuộc mặt phẳng có phương trình: 2 x − 2 y + 6 z + 9 = 0 .