Đề thi hết học kỳ III môn Giải tích năm 2014 - 2015 (Đề số 09)

Học viện Nông nghiệp Việt Nam<br /> Khoa CNTT - Bộ môn Toán<br /> Đề số 09<br /> Ngày thi: 30/8/2015<br /> <br /> ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015<br /> Học phần: Giải tích<br /> Thời gian làm bài: 90 phút<br /> Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu<br /> <br /> Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm)<br /> Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi:<br /> 64<br /> f ( x)<br /> ln(80 x 2 ).<br /> x<br /> a) Tính đạo hàm f ' ( x) của hàm cầu f (x) .<br /> b) Tính vi phân của hàm f tại điểm x 4 . Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,01 đơn vị tiền so với<br /> giá ban đầu là 4 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu?<br /> Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm)<br /> 1 3<br /> 1<br /> x x<br /> arctan x.<br /> 3<br /> 4<br /> a) Tính đạo hàm g ' ( x) của hàm số g (x) . Từ đó tính 1 [ g ' ( x)]2 .<br /> <br /> Cho hàm số g ( x)<br /> <br /> b) Tính độ dài đường cong OA cho bởi phương trình y<br /> <br /> g (x) với O(0;0) và A(1;<br /> <br /> 4<br /> ).<br /> 3 16<br /> <br /> Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm)<br /> Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x<br /> và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng x, y là hàm<br /> hai biến h(x, y) xác định như sau:<br /> <br /> h(x, y) =125x + 70y 2x 2 xy y2 +15.<br /> Hãy tìm mức sản lượng x, y để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.<br /> Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm)<br /> Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau:<br /> a) ( x 2 y)dx (2 x y)dy 0.<br /> b) y" y' 6y = xe x .<br /> Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm)<br /> Xét sự hội tụ của chuỗi số<br /> n<br /> <br /> (2n 1)3n<br /> (Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be).<br /> n!<br /> 1<br /> <br /> ……………………………. Hết …………………………….<br /> Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm<br /> Cán bộ ra đề<br /> Duyệt đề<br /> Nguyễn Văn Hạnh<br /> Phạm Việt Nga<br /> Nguyễn Hữu Hải<br /> <br /> Học viện Nông nghiệp Việt Nam<br /> Khoa CNTT - Bộ môn Toán<br /> Đề số 10<br /> Ngày thi: 30/8/2015<br /> <br /> ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015<br /> Học phần: Giải tích<br /> Thời gian làm bài: 90 phút<br /> Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu<br /> <br /> Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm)<br /> Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi:<br /> 75<br /> f ( x)<br /> ln(95 x 2 ).<br /> x<br /> a) Tính đạo hàm f ' ( x) của hàm cầu f (x) .<br /> b) Tính vi phân của hàm f tại điểm x 5 . Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,02 đơn vị tiền so với<br /> giá ban đầu là 5 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu?<br /> Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm)<br /> <br /> 1 3 1<br /> x<br /> x arctan x.<br /> 12<br /> 4<br /> 2<br /> a) Tính đạo hàm g ' ( x) của hàm số g (x) . Từ đó tính 1 [ g ' ( x)] .<br /> <br /> Cho hàm số g ( x)<br /> <br /> b) Tính độ dài đường cong OA cho bởi phương trình y<br /> <br /> g (x) với O(0;0) và A(1;<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> ).<br /> <br /> Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm)<br /> Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x<br /> và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng x, y là hàm<br /> hai biến h(x, y) xác định như sau:<br /> <br /> h(x, y) = 85x +80y x 2 xy y2 + 20.<br /> Hãy tìm mức sản lượng x, y để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.<br /> Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm)<br /> Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau:<br /> a) ( x 2 y)dx (2 x y)dy 0.<br /> b) y"+ y' 6y = (2x +1)e x .<br /> Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm)<br /> Xét sự hội tụ của chuỗi số<br /> n<br /> <br /> (3n 1)2n<br /> (Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be).<br /> n!<br /> 1<br /> <br /> ……………………………. Hết …………………………….<br /> Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm<br /> Cán bộ ra đề<br /> Duyệt đề<br /> Nguyễn Văn Hạnh<br /> Phạm Việt Nga<br /> Nguyễn Hữu Hải<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015<br /> Học phần: Giải tích<br /> Thời gian làm bài: 90 phút<br /> Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu<br /> <br /> Học viện Nông nghiệp Việt Nam<br /> Khoa CNTT - Bộ môn Toán<br /> Đề số: 09 - Ngày thi 30/08/2015<br /> (Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh)<br /> <br /> Câu<br /> Đáp án vắn tắt<br /> a<br /> 1<br /> 60<br /> 2x<br /> Tính đạo hàm f ' ( x)<br /> 2<br /> (2đ)<br /> x<br /> 80 x 2<br /> Vi phân tại x = 4 là df (4)<br /> 4,125dx<br /> <br /> Điểm<br /> 4*0,25<br /> 0.25+0.25<br /> <br /> b Nếu dx = 0,01 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,04125<br /> a<br /> 2<br /> Tính đạo hàm g ' ( x)<br /> (2đ)<br /> <br /> 1 [ g ' ( x)]2<br /> <br /> 1<br /> <br /> [ x2 1<br /> b<br /> <br /> 4( x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1)<br /> <br /> 4( x<br /> <br /> 4( x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1)<br /> <br /> 1)<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> ]2<br /> <br /> ]2<br /> <br /> 0.25<br /> 1<br /> <br /> 1 [ g ' ( x)]2 dx<br /> <br /> 1<br /> <br /> [ x2 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 3<br /> (2đ)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> Đô dài l<br /> <br /> 4(1 x 2 )<br /> <br /> 0<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> l [ x3<br /> 3<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> 1<br /> <br /> x2 1<br /> <br /> 1 [ x2 1<br /> <br /> 1<br /> arctan x]<br /> 4<br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> '<br /> Tính hx ( x, y) 125 4x<br /> '<br /> Điểm dừng hx ( x, y)<br /> "<br /> xx<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> '<br /> y; hy ( x, y) 70 x 2 y<br /> <br /> '<br /> hy ( x, y) 0<br /> <br /> 1; h ( x, y)<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> 2<br /> <br /> "<br /> xy<br /> <br /> A h (180 / 7;155/ 7)<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> x 180 / 7; y 155 / 7<br /> "<br /> yy<br /> <br /> 4; h ( x, y)<br /> <br /> "<br /> xx<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> ]dx<br /> <br /> 4<br /> 3 16<br /> <br /> "<br /> xy<br /> <br /> Tính h ( x, y)<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> 4; B h (180 / 7;155/ 7)<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 1; C<br /> <br /> "<br /> yy<br /> <br /> h (180 / 7;155/ 7)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 2<br /> <br /> AC B 7 0; A<br /> 4 0 nên h đạt cực đại tại (180/7 ;155/7). Vậy lợi nhuận đạt<br /> được tối đa nếu mức sản lượng x = 180/7 và y = 155/7.<br /> a<br /> 4<br /> 2y x<br /> y'<br /> (3đ)<br /> y 2x<br /> 2u 1<br /> Đặt y = ux<br /> xu ' u<br /> u 2<br /> (u 2)du<br /> dx<br /> 2<br /> u 1<br /> x<br /> 2<br /> 1 d (u 1)<br /> du<br /> dx<br /> 2 2<br /> 2<br /> 2 u 1<br /> u 1<br /> x<br /> <br /> 1 y2<br /> ln<br /> 2 x2<br /> <br /> 1 2 arctan<br /> <br /> b Ptđt: k 2<br /> <br /> k<br /> <br /> 6<br /> <br /> 0<br /> <br /> y<br /> x<br /> <br /> ln x<br /> k<br /> <br /> 2; k<br /> <br /> Nghiệm tq của pt thuần nhất: y<br /> <br /> 1<br /> ln x 2<br /> 2<br /> <br /> C<br /> <br /> 2 arctan<br /> <br /> 3<br /> C1e<br /> <br /> y<br /> x<br /> <br /> C<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25+0,25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> 2x<br /> <br /> C2 e<br /> <br /> Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: Y<br /> Y ' ( Ax<br /> <br /> y2<br /> <br /> 0.25+0,25<br /> <br /> A B)e x ;Y " ( Ax 2 A B)e<br /> <br /> 3x<br /> <br /> ( Ax<br /> x<br /> <br /> 0.25<br /> B )e<br /> <br /> x<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Thay vào phương trình ta được A<br /> Nghiệm tq của pt đã cho y<br /> 5<br /> (1đ)<br /> <br /> 1<br /> ,B<br /> 4<br /> C1e<br /> <br /> Ta có<br /> lim<br /> <br /> n<br /> <br /> un 1<br /> un<br /> <br /> un 1<br /> un<br /> <br /> y Y<br /> <br /> 2x<br /> <br /> 3<br /> 16<br /> C2e3 x<br /> <br /> (2n 3)3n 1<br /> n!<br /> 3(2n 3)<br /> n<br /> (n 1)! (2n 1)3<br /> (n 1)(2n 1)<br /> 3(2n 3)<br /> lim<br /> 0 1<br /> n<br /> (n 1)( 2n 1)<br /> <br /> Theo t/c Đa-lăm-bem chuỗi đã cho hội tụ<br /> <br /> 0,25<br /> 1<br /> (x<br /> 4<br /> <br /> 3<br /> )e<br /> 4<br /> <br /> x<br /> <br /> 0,25<br /> 0.25+0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015<br /> Học phần: Giải tích<br /> Thời gian làm bài: 90 phút<br /> Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu<br /> <br /> Học viện Nông nghiệp Việt Nam<br /> Khoa CNTT - Bộ môn Toán<br /> Đề số: 10 - Ngày thi 30/08/2015<br /> (Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh)<br /> <br /> Đáp án vắn tắt<br /> 75<br /> 2x<br /> 2<br /> x<br /> 95 x 2<br /> 22<br /> Vi phân tại x = 5 là df (5)<br /> dx<br /> 3,143dx<br /> 7<br /> b Nếu dx = 0,02 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,06286<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Câu<br /> a<br /> 1<br /> Tính đạo hàm f ' ( x)<br /> (2đ)<br /> <br /> 2<br /> (2đ)<br /> <br /> a<br /> <br /> 1<br /> <br /> Đô dài l<br /> <br /> 1<br /> l [ x3<br /> 12<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> x arctan x]<br /> 4<br /> 0<br /> <br /> '<br /> x<br /> <br /> Tính h ( x, y)<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> '<br /> x<br /> <br /> Tính h ( x, y)<br /> "<br /> xx<br /> <br /> A h (30;25)<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> 0.25+0.25<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> y; h ( x, y) 80 x 2 y<br /> '<br /> y<br /> <br /> Điểm dừng h ( x, y)<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> '<br /> y<br /> <br /> 85 2x<br /> <br /> "<br /> xx<br /> <br /> 4<br /> (3đ)<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> 1 2<br /> 1<br /> ( x 1)<br /> 2<br /> 4<br /> x 1<br /> 1<br /> 1 2<br /> [ ( x 2 1)<br /> ]<br /> 2<br /> 4<br /> x 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1 [ g ' ( x)]2 dx [ ( x 2 1)<br /> ]dx<br /> 4<br /> 1 x2<br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 3<br /> (2đ)<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> Tính đạo hàm g ' ( x)<br /> <br /> 1 [ g ' ( x)]2<br /> b<br /> <br /> 4*0,25<br /> <br /> h ( x, y) 0<br /> "<br /> xy<br /> <br /> 2; h ( x, y)<br /> <br /> x 30; y<br /> "<br /> yy<br /> <br /> 1; h ( x, y)<br /> <br /> "<br /> xy<br /> <br /> 2; B h (30;25)<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> 25<br /> <br /> 0.25+0.25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> "<br /> yy<br /> <br /> 1; C<br /> <br /> h (30;25)<br /> <br /> 2<br /> <br /> AC B 2 3 0; A<br /> 2 0 nên h đạt cực đại tại (30; 25). Vậy lợi nhuận đạt<br /> được tối đa nếu mức sản lượng x = 30 và y = 25.<br /> a<br /> 2y x<br /> y'<br /> y 2x<br /> 2u 1<br /> Đặt y = ux<br /> xu' u<br /> u 2<br /> (u 2)du<br /> dx<br /> 2<br /> u 1<br /> x<br /> 2<br /> 1 d (u 1)<br /> du<br /> dx<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2 u 1<br /> 1 u<br /> x<br /> 1<br /> 1 u<br /> 1<br /> x y<br /> ln u 2 1 ln<br /> ln x C<br /> ln x 2 y 2 ln<br /> C<br /> 2<br /> 1 u<br /> 2<br /> x y<br /> b Ptđt: k 2 k 6 0<br /> k 2; k<br /> 3<br /> <br /> Nghiệm tq của pt thuần nhất: y<br /> <br /> C1e<br /> <br /> 2x<br /> <br /> C2 e<br /> <br /> Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: Y<br /> Y ' ( Ax<br /> <br /> A B)e ;Y " ( Ax 2 A B)e<br /> 1<br /> Thay vào phương trình ta được A 3 , B<br /> x<br /> <br /> 3x<br /> <br /> ( Ax<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25+0,25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25+0,25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> B )e<br /> <br /> x<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> 9<br /> <br /> 0,25<br /> <br />