Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 có đáp án môn: Toán – Trường THCS Mỹ Hưng (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

236
lượt xem 52
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 có đáp án môn "Toán – Trường THCS Mỹ Hưng năm học 2015-2016 với cấu trúc gồm 5 câu hỏi trong thời gian làm bài 150 phút, mời các bạn cùng tham khảo để củng cố kiến thức lý thuyết đã học và rèn luyện kỹ năng làm bài thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 có đáp án môn: Toán – Trường THCS Mỹ Hưng (Năm học 2015-2016)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG Môn : Toán Năm học : 20152016 Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (6 điểm) x 3 x 2 x x 1 1 1,Cho biểu thức: K = : x x 2 x 1 x 1 x 1 a/ Rút Gọn K b/ Tính giá trị của biểu thức K khi x = 24+ 5 − 3 − 29 − 12 5 . 1 x 1 c / Tìm x để : 1 K 8 2,Cho các số thực dương x , y ,z thỏa mãn điều kiện 3 3 x 1 y2 y 1 z 2 z 1 x2 chứng minh rằng x 2 y 2 z 2 2 2 Bài 2: (4điểm) a ) Giải phương trình 7 x x 1 x 2 6 x 13 b ) Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn : a + b +c = a b c 2 a b c 2 Chứng minh rằng : 1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c) Bài 3: (3điểm) x2 y2 z2 a) Tìm GTNN của A = + + biết x, y, z > 0 , x+y y+z z+x xy + yz + zx = 1 . a b c b) Chứng minh + + > 2 với a, b, c > 0 b+c a +c a+b Bài 4:(6 điểm).Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R>r) . Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC ( B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm (I) . Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E. a) Chứng minh tam giác ABC vuôngtại A b) OE cắt AB tại N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F; A cùng nằm trên một đường tròn. 2 c) Chứngtỏ BC 4 Rr Tính diện tích tứ giác BCIO theo R ;r Bài5: (1 điểm )Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1
xy2 + 2xy – 243y + x = 0 Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9 TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG N¨m häc 2015- 2016 M«n thi : To¸n Bài Ý NỘI DUNG CẦN ĐẠT ĐIỂM 1.(4đ) a, Với x 0 , x≠ 1 ta có: 0,5 a)(2đ) x 1 K= 2 x 0,75 b,Ta có : x = 24+ = 24+ = 24+ Bài 1 = 24+ (6đ) = 25 0,75 Thay x = 25 vào K ta có: 25 1 3 K = 2 25 5 0,5 b)(1 đ) 1 x 1 2 x x 1 x 6 x 9 1 1 0 0 K 8 x 1 8 8( x 1) c )(1đ (*) Do : 8( x 1) 0 x nên (*) ) 0,75 ( x 3) 2 0 ( x 3) 2 0 mặtkhác ( x 3) 2 0 x 3 x 9 0,75 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm ta có x2 1 y2 y2 1 z 2 x 1 y2 y 1 z 2 z 1 x2 2 2 2)(2đ) 2 z 1 x 2 3 0,5 2 2 0,5 0,5 2
x 1 y2 x2 1 y2 y 1 z2 y2 1 z2 (dpcm) 0,5 Đẳngthứcsảyra : 2 2 z 1 x2 z 1 x a,(2đ) a, 0,5 ĐK: 1 x 7 Ápdụng BĐT Bunyakovsky Bài 2 tacó (4đ) 0,5 ( 7 x x 1) 2 2(7 x x 1) 16 7 x x 1 4 ) 0,5 2 2 lạicó x 6 x 13 ( x 3) 4 4 0,5 7 x x 1 do đó PT x 3 x 3 0 b) Đặt x a; y b; z c thì 0,5 b(2đ) x2 y2 z 2 x y z 2 2( xy yz zx) 22 2 2 xy yz zx 1 0,5 1 a xy yz zx x2 (x y )( x z) Do đó : 1 b xy yz zx y2 (y z )( y x) 1 c xy yz zx z2 (z x)( z y) 0,5 Vìvậy a b c x y z 1 a 1 b 1 c (x y )( x z ) ( y z )( y x) (z x)( z 0,5 y) 2( xy yz zx) 2 ( x y )( y z )( z x) (1 a)(1 b)(1 c) 3
x2 y2 z2 x+y+z 0,5 a : + + . Theo bất đẳng thức a(1,5đ x+y y+z z+x 2 ) Cauchy : x+y y+z z+x x+y+z xy + yz +0,5zx 1 xy ; yz ; zx nên = 2 2 2 2 2 2 1 1 0,5 Bài 3 min A = � x = y = z = . 2 3 (3đ) b )Theo bấtđẳngthức Cauchy : 0,5 b+ c �b + c � b+ c+ a b(1,5) .1 � + 1�: 2 = . a �a � 2a a 2a Do đó : . Tươngtự : b+ c a+ b + c b 2b c 2c ; a+ c a+ b + c a+ b a+ b + c a b c 2(a + b + c) 0,5 Cộngtừngvế : + + = 2. b+ c c+ a a+ b a+ b+ c a = b+ c Xảyradấuđẳngthức : b = c + a � a + b + c = 0 , c = a+ b tráivớigiảthiết a, b, c > 0. 0,5 Vậydấuđẳngthứckhôngxảyra. a(1,5đ Hìnhvẽ ) B E C N F O A I Bài 4 (6đ) 0,5 0,5 a )Ta có : BE và AE là 2 tiếptuyếncắtnhau AE = BE 1 Tươngtự ta có AE =EC AE BE EC BC 2 tam giác ABC vuông tai A 0,5 4
b) 0,5 Theo tínhchất 2 tiếptuyếncắtnhauthì EO làphângiáccủa tam giáccân AEB OE làtrungtrực AB hay b(1,5đ 0,5 OE AB ENA 90 0 ) Tươngtự EÈA 90 0 0,5 Mà NAF 90 0 tứgiác FANE là hìnhchữnhật 4 điểm F ;A ; N ;E cùngnằmtrênđườngtròn 0,5 c )tứgiác FANE là hìnhchữnhật 0,5 OEI vuôngtại E và EA OI ( tínhchấttiếptuyến ) Ápdụnghệthứclượngtrongtamgiácvuông ta có AE 2 OA. AI c(1,5) 0,5 BC BC 2 Mà AE ; OA R; AI r Rr BC 2 4 Rr 2 4 0,5 d/SBCIO=? Ta cótứgiác BCIO là hìnhthangvuông d(1,5) OB IC SBCIO= BC 0,5 2 (r R) rR S= 2 Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = 0 x(y + 1)2 = 243y (1) Từ (1) vớichú ý rằng (y + 1; y) = 1 ta suy ra (y + 1)2làướccủa 0,5 243. Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8) 0,5 Bài 5 1đ 5
6