Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 có đáp án môn: Toán – Trường THCS Xuân Dương (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

236
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau đây là đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 có đáp án môn "Toán – Trường THCS Xuân Dương" năm học 2015-2016. Mời các bậc phụ huynh, thí sinh và thầy cô giáo cùng tham khảo để để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 có đáp án môn: Toán – Trường THCS Xuân Dương (Năm học 2015-2016)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIOI C ̣ ̉ ẤP HUYỆN LỚP 9 TRƯỜNG THCS XUÂN NĂM HỌC 2015 – 2016 DƯƠNG Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kê th ̉ ơi gian giao đê) ̀ ̀ Câu 1: (6đ) Cho biÓu thøc P = - + ( víi x≥ 0 ; x≠ 1) a) Rót gän biÓu thøc P b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc víi x = + + 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P Câu 2: (4đ) a) Giải phương trình: 2x 2 9x 4 3 2x 1 2x 2 21x 11 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của xy yz zx A = với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1 z x y Câu 3: (3đ) a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 1 1 1 b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn + + =6. x+ y y+z z+x 1 1 1 3 Chứng minh rằng: + + . 3x + 3 y + 2 z 3x + 2 y + 3z 2 x + 3 y + 3z 2 Câu 4: (6đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với ABtạiI. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J. a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’). b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất. Câu 5: (1đ) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 Hết 1
PHONG GD&ĐT THANH OAI ̀ ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOAN 9 ́ TRƯƠNG THCS XUÂN D ̀ ƯƠNG Năm hoc: 2015– 2016 ̣ Câu ý Nội dung trình bày Điể m a. P = - + 0,5. 1 = (6đ) = 0,5. = =..... = = 0,5 b. §Æt y = + y = 7+5 + 7 - 5 + 3( + ). 0,5 y = 14 3y y +3y 14 = 0 ………… 0,75 (y 2)( y + 2y + 7) = 0 ( vì y + 2y + 1 + 6 ≥ 6) …….. y = 2 x = 4 0,25 Thay x =4 vµo biÓu thøc rót gän cña P ta ®îc P=4 0,25 c. P = = …. = +3 + - 6 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ®èi víi 2 sè d¬ng ta cã 0,25 P = +3 + - 6 ≥ 2 - 6 P ≥ 10 - 6 = 4 VËy Min P = 4 +3 = x = 4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 2 a ĐK: x 4 hoặc x=0,5 0,5 2
(4đ) Biến đổi: 2x 2 9x 4 3 2x 1 2x 2 21x 11 x 4 2x 1 3 2x 1 x 11 2 x 1 x 4 2x 1 3 2x 1 x 11 2 x 1 0 1,0 2 x 1( x 4 3 x 11) 0 2x 1 0(1) Hoặc x 4 3 x 11 0 (2) Giải (1) được x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) được x=5 (thỏa mãn) 0,5 xy yz zx b A = x z y 2 2 x y y2z2 z2x2 Nên A2 = 2 2 ( vì x2+y2+z2 =1) z x2 y2 0,75 = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có x2 y2 y2z2 x2 y2 y2 z2 2y2 z2 x2 2 2 z x 2 2 y z z 2 x2 Tương tự 2 2 2z 2 x y x2 y2 z2x2 2x 2 z2 y2 Cộng vế với vế ta được 2B 2 B 1 0,75 Do đó A2 = B +2 3 nên A 3 0,5 Vậy Min A = 3 x=y=z= 3 3 3 a Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3y)2 +(x3)2=320 0,5 => (x3)2 ﾣ 320 (3đ) mà x nguyên nên x ﾣ 2 0,75 Nếu x=1 hoặc x=1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=2 hoặc y=6 Nếu x=2 => y=6 hoặc y=2 Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là: 0,25 (2;2);(2;6);(2;6);(2;2) 3
b 1 1 4 0,5 Áp dụng BĐT + (với a, b > 0) a b a +b 1 1 �1 1� + � � a+b 4 �a b� Ta có: 1 1 1� 1 1 � = � + � 3x + 3 y + 2 z ( 2 x + y + z ) + ( x + 2 y + z ) 4 �2 x + y + z x + 2 y + z � 1� 1 1 � 1 �1 � 1 1 1 1 �� + � �� + + + �� 4 �( x + y ) + ( x + z ) ( x + y ) + ( y + z ) � 4 �4 �x + y x + z x + y y + z �� 1�2 1 1 � � + + � 16 �x + y x + z y + z � 1 1 �2 1 1 � Tương tự: � + + � 3x + 2 y + 3 z 16 �x + z x + y y + z � 1 1�2 1 1 � � + + � 2 x + 3 y + 3z 16 �y + z x + y x + z � 0,5 Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 1 1�4 4 4 � + + � + + � 3x + 3 y + 2 z 3x + 2 y + 3z 2 x + 3 y + 3 z 16 �x + y x + z y + z � 4�1 1 1 � 1 3 � + + �= .6 = 16 �x + y x + z y + z � 4 2 0,5 4 1,0 C (6đ) J A I M O O’ B D a Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB ⊥ CD : gt) 0,5 ACMD là hình thoi 4
AC // DM, mà AC ⊥ CB (do C thuộc đường tròn đường kính 0,5 AB) DM ⊥ CB; MJ ⊥ CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB) 0,5 D, M, J thẳng hàng. ﾣ Ta có : IDM ﾣ + IMD ﾣ = 900 (vì DIM = 900 ) 0,5 ﾣ Mà IJM ﾣ = IDM (do IC = IJ = ID : ∆ CJD vuông tại J có JI là trung tuyến) ﾣ MJO' ﾣ = JMO' ﾣ = IMD (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); ˆ ' và IMD JMO ˆ đối đỉnh) ﾣ IJM ﾣ + MJO' ﾣ = 900 IJ là tiếp tuyến của (O’), = 90 0 IJO 0,5 J là tiếp điểm AB b Ta có: IA = IM IO’ = = R (R là bán kính của (O)) 2 O’M = O’B (bán kính (O’) 0,5 ∆ JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 0,5 2 2 Mà IJ + O’J 2IJ.O’J = 4SJIO’ 0,5 R2 Do đó SJIO’ 4 R2 0,5 SJIO’ = khi IJ = O’J và ∆ JIO’ vuông cân 4 có cạnh huyền IO’ = R nên : 2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = R 2 2 Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 2 0,5 5 Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 0,5 � 4 xy + 2 x + 2 y + 1 = 167 (1đ) � (2 x + 1)(2 y + 1) = 167 Do x,y nguyên dương � (2 x + 1);(2 y + 1) �Z 0,5 � (2 x + 1);(2 y + 1) �Ư(167) Lập bảng tìm được (x,y)=(0;83);(83;0). 5