Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Lâm Thao

Chia sẻ: Nguyễn Văn Tuấn | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

1.584
lượt xem 76
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các em ôn tập và củng cố lại kiến thức Toán học trước khi bước vào kì thi, TaiLieu.VN giới thiệu đến các em Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2016-2017. Hy vọng đây sẽ là đề thi hay giúp các em ôn tập thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Lâm Thao

PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2016 – 2017 Môn: Toán 7 Thời gian: 90 phút I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1: Giá trị của x trong biểu thức ( x 1 )2 = 0,25 là: 9 1 1 9 9 1 9 1 A. ; B. − ; − C. ; − D. − ; 4 4 4 4 4 4 4 4 Câu 2: Cho góc xOy = 500, điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am. Để Am song song với Ox thì số đo của góc OAm là: A. 500 B. 1300 C. 500 và 1300 D. 800 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x > 1. Biết f(n) = (n 1).f(n – 1) và f(1) = 1. Giá trị của f(4) là: A. 3 B. 5 C. 6 D. 1 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 6 , Â = 30 . Phân giác góc C cắt AB tại D. Khi đó độ dài 0 đoạn thẳng BD và AD lần lượt là: A.2; 4 B. 3; 3 C. 4; 2 D. 1; 5 Câu 5: Cho a = 4. Kết quả của 2a 5 là: 2m 6m A. 123 B. 133 C. 123 D. 128 Câu 6: Cho tam giác DEF có E = F. Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . Ta có: A. ∆ DIE = ∆ DIF B. DE = DF , IDE = IDF C. IE = IF; DI = EF D Cả A, B,C đều đúng Câu 7: Biết a + b = 9. Kết quả của phép tính 0, a(b) + 0, b(a ) là: A. 2 B. 1 C, 0,5 D. 1,5 Câu 8: Cho (a b) + 6a.b = 36. Giá trị lớn nhất của x = a.b là: 2 A. 6 B. 6 C. 7 D. 5 Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Biết AC > AB. Khi đó độ dài hai đoạn thẳng BM và CN là: A. BM ≤ CN B. BM > CN C. BM
2 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng: HA + HB + HC m.b = n2. d => b M n2 vì (a,b) = 1= (b,d) 0,25 Và n2 M b => b = n2 0,5 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm 0,5 2(4 1. Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 điểm) = x2 – 4x + 2015 A, Với x = 4 ta được A = 2015 x=0 B, A = 2015 => x2 – 4x = 0 => x(x 4) = 0 ó x=4 2. Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề bài ta có b : c = 1,5: 1,2 và b – a = 120 a = 32,5%( a + b + c) Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây 3(5 điểm) A, Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E. Chứng minh ∆AOC = ∆BOE ( g − c − g ) � AC = BE ; CO = EO
Chứng minh ∆DOC = DOE ( c − g − c ) � CD = ED 0,25 Mà ED = EB + BD = AC + BD . Từ đó : CD = AC + BD (đpcm) 0,25 B, Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta có: 0,25 0,25 OE 2 = OB 2 + EB 2 � OE 2 + OD 2 = 2OB 2 + EB 2 + DB 2 OD = OB + DB 2 2 2 Mà OE 2 + OD 2 = DE 2 ; Nên 0,25 DE 2 = 2OB 2 + EB 2 + DB 2 = 2OB 2 + EB. ( DE − BD ) + DB.( DE − BE ) = 2OB 2 + EB.DE − EB.BD + DB.DE − DB.BE = 2OB 2 + ( EB.DE + DB.DE ) − 2 BD.BE = 2OB 2 + DE. ( EB + DB ) − 2 BD.BE 0,5 = 2OB 2 + DE 2 − 2 BD.BE Suy ra 2OB 2 − 2 BD.BE = 0 � BD.BE = OB 2 AB Mà BE = AC ; OB = . 2 0,25 2 2 �AB � AB Vậy AC.BD = � �= (đpcm) �2 � 4 2. 0,25 Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB tại E Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –cg)  AD = HE; AE = HD 0,25 Δ AHD có HA
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 2017 TIỀN HẢI m¤N: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút) 212.35 - 46.92 510.73 - 255.492 Bài 1 (5 điểm)a) Thực hiện phép tính: A= 6 - 3 ( 22.3) + 84.35 ( 125.7) + 59.143 b) Tính giá trị biểu thức: B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 17.18.19 c) Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục và giảm chữ số hàng đơn vị đi n đơn vị thì được một số có 3 chữ số gấp n lần số có 3 chữ số ban đầu. Bài 2 (3 điểm)a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 3x = 4y, 5y = 6z và xyz = 30. 1 3 3 b) Tìm x biết: x- + = - 1,6 + 2 4 5 Bài 3 (3 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x a) Tìm m biết: f(2) – f(–1) = 7 b) Cho m = 5. Tìm x biết f(3 – 2x) = 20 1 2 2 3 2) Cho các đơn thức A = - x yz , B = - xy2z2, C = x3y 2 4 Chưng minh r ́ ằng các đơn thức A, B, C không thể cùng nhận giá trị âm. Bài 4 (7 điểm)Cho D ABC nhọn có góc A bằng 600. Phân giác ABC ? ? cắt AC tại D, phân giác ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I. a) Tính số đo góc BIC. b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chưng minh ́ D CID = D CIF. c) Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC. Chưng minh ́ D BCM là tam giác đều. Bài 5 (2 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n = 2n+11 HƯỚNG DẪN BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 12 5 2 .3 - 4 .9 6 2 10 3 5 .7 - 25 .49 5 2 12 5 2 .3 - 2 .3 12 4 5 .7 - 5 .7 10 3 10 4 (5đ) A= 6 - 3 = - 9 3 0.5 ( 2 .3) 2 + 84.35 ( 125.7) + 5 .14 9 3 2 .3 + 2 .3 5 .7 + 59.23.73 12 6 12 5 212.34 ( 3- 1) 5 .7 ( 1- 7) 10 3 A= - 0.5 a 212.35 ( 3+ 1) 59.73 ( 1+ 23) 2 5.(- 6) A= - 0.5 3.4 9 1 - 10 7 A= - = 0.5 6 3 2 4B=1.2.3.4+2.3.4.(5 – 1)+3.4.5.(6 – 2)+…+17.18.19.(20 – 16) 0.5 4B=1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + 17.18.19.20 – 16.17.18.19 0.5 b 4B=17.18.19.20 0.5 B = 17.18.19.5 = 29070 0.5 c Gọi số có 3 chữ số cầìm tìm là abc (a, b, c là STN có 1 chữ số, a 0) 0.25 Theo bài ra ta có: (a + n)(b - n)(c - n) = n.abc ￞ 100(a + n) + 10(b – n) + (c – n) = n(100a + 10b + c) 0.25 ￞ 100a + 100n + 10b – 10n + c – n = 100an + 10bn + cn ￞ 100(n – 1)a + 10(n – 1)b + (n – 1)c = 89n
￞ 89n M n – 1 mà (89; n – 1) = 1 nên n M n – 1 0.25 Tìm được n = 2 Số có 3 chữ số cần tìm là 178 0.25 x y y z x y z � = ; = � = = =k 0.25 4 3 6 5 8 6 5 ￞ x = 8k, y = 6k, z = 5k 0.25 a xyz = 30 ￞ 8k.6k.5k = 30 ￞ 240k3 = 30 ￞ k = ½ 0.5 5 ￞ x = 4, y = 3, z = 0.5 2 2 1 3 3 1 3 8 3 (3đ) x- + = - 1,6 + � x - + = - + 0.25 2 4 5 2 4 5 5 1 3 � x - + =1 0.25 2 4 b 1 1 � x- = 0.5 2 4 3 1 � x = hoac x = 0.5 4 4 Vì f(2) – f(–1) =7 ￞ (m – 2).2 – (m – 1).(–1) = 7 0.25 1.a ￞ 2m – 4 + m – 1 = 7 0.25 ￞ 3m – 5 = 7 ￞ m = 4 0.5 Với m = 5 ta có hàm số y = f(x) = 4x 0.25 1.b Vì f(3 – 2x) = 20 ￞ 4(3 – 2x) = 20 0.25 ￞ 12 – 8x = 20 ￞ x = –1 0.5 Giả sử cả 3 đơn thức A, B, C cùng có giá trị âm 3 0.25 ￞ A.B.C có giá trị âm (1) (3đ) 3 Mặt khác: A.B.C = (– ½ x2yz2).(– ¾ xy2z2). x3y = x6y4z4 0.25 8 2 3 6 4 Vì x y z4 0 ∀ x, y ￞ A.B.C 0 ∀ x; y (2) 0.25 8 Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) ￞ điều giả sử sai. Vậy ba đơn thức A = – ½ x2yz2, B = – ¾ xy2z2, C = x3y không thể cùng có 0.25 giá trị âm. 4 Vẽ hình đúng, ghi đúng giả thiết, kết luận 0.5
A D E I 2 1 2 1 B 3 F C 4 N (7đ) M BD là phân giác của góc ABC nên B1=B2= ½ ABC 0.5 CE là phân giác của góc ACB nên C1=C2= ½ ACB a Mà tam giác ABC có A+B+C = 1800 suy ra 600 + ABC+ACB = 1800 0.5 ￞ ABC+ACB = 1200 ￞ B2+C1= 600 0.5 ￞ BIC = 1200 0.5 D BIE = D BIF (cgc) ￞ BIE = BIF 0.5 BIC = 1200 ￞ BIE = 600 ￞ BIE = BIF = 600 0.5 b Mà BIE + BIF + CIF = 1800 ￞ CIF = 600 0.5 CID = BIE = 600 (đ.đ) ￞ CIF = CID = 600 0.5 ￞ D CID = D CIF (gcg) 0.5 Trên đoạn IM lấy điểm N sao cho IB = IN ￞ NM = IC 0.5 ￞ D BIN đều ￞ BN = BI và BNM = 1200 0.5 c ￞ D BNM = D BIC (cgc) 0.5 ￞ BM = BC và B2 = B4 ￞ D BCM đều 0.5 Đặt S = 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n 0.5 S = 2S – S = (2.23 + 3.24 + 4.25 + …+ n.2n+1) – (2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n) 5 S = n.2n+1 – 23 – (23 + 24 + …+ 2n1 + 2n) 0.5 (2đ) Đặt T = 23 + 24 + …+ 2n1 + 2n . Tính được T = 2T – T = 2n1 – 23 0.5 ￞ S = n.2n+1 – 23 – 2n1 + 23 = (n – 1).2n+1 0.5 ￞ (n – 1).2n+1 = 2n+11 ￞ n – 1 = 210 ￞ n = 210 +1 = 1025 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 HUYỆN THẠCH THÀNH MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2016 – 2017 Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề Câu 1: (4,5 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau: �−3 4 � 7 �−4 7 � 7 212.35 − 46.92 a) A = � + � : + � + �: b) B = 2 6 4 5 �7 11 �11 �7 11 �11 (2 .3) + 8 .3 x y 5x + 3y 2 2 2. Cho = . Tính giá trị biểu thức: C = 3 5 10x 2 − 3y 2 x y y z Câu 2: (4,5 điểm)1. Tìm các số x, y, z, biết: a) = ; = và x + y + z = 92 2 3 5 7
b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 2. Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6 Câu 3: (3,0 điểm) 1. Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a). a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng: a) BE = CD b) V BDE là tam giác cân c) EIC ￞￞ = 600 và IA là tia phân giác của DIE Câu 5: (2,0 điểm) 1. Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên. 2. Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c.ĐÁP ÁN �−3 4 � 7 �−4 7 � 7 �−3 4 �11 �−4 7 �11 Câu 1: 1.a) A = � + �: + � + �: = � + � . +� + � . �7 11 �11 �7 11 �11 �7 11 �7 �7 11 �7 11 ��−3 4 � �−4 7 � � 11 � �−3 −4 � �4 7 � � 11 11 A = � � + �+ � + � � = � � + �+ � + � � = [ (−1) + 1] = .0 = 0 7� �7 11 � �7 11 � � 7� �7 7 �� 11 11 � � 7 7 212.35 − 46.92 212.35 − (22 ) 6 .(32 ) 2 212.35 − 212.34 212.34 (3 − 1) 212.34.2 1 b) B = 2 6 4 5 = 12 6 = = B = = (2 .3) + 8 .3 2 .3 + (23 ) 4 .35 212.36 + 212.35 212.35 (3 + 1) 212.35.4 6 x y x = 3k 5x 2 + 3y 2 5(3k) 2 + 3(5k)2 45k 2 + 75k 2 120k 2 2. Đặt = = k . Khi đó:C = = = = = 8 3 5 y = 5k 10x 2 − 3y 2 10(3k) 2 − 3(5k) 2 90k 2 − 75k 2 15k 2 �x y �x y = �2 3 � = � �10 15 x y z Câu 2: 1.a) Ta có: � �� = = �y = z �y = z 10 15 21 �5 7 �15 21 x y z x+y+z 92 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được: = = = = =2 10 15 21 10 + 15 + 21 46 x =2 10 x = 20 �y � � � = 2 � �y = 30 �15 �z = 42 z =2 21 b ) Ta có: (x – 1)2016 0 ∀ x (2y – 1)2016 0 ∀ y |x + 2y – z| 2017 0 ∀ x, y, z (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 0 ∀ x, y, z ( x – 1) = 0 2016 ( 2y – 1) = 0 2016 Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 nên dấu "=" xảy ra 2017 x + 2y – z =0 x =1 x =1 � 1 � 1 �y = � �y = � 2 � 2 � 1 �z = 2 1 + 2. – z = 0 2 2. Ta có: xy + 3x – y = 6 x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3 (x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau:
x – 1 1 3 – 1 – 3 y + 3 3 1 – 3 – 1 x 2 4 0 – 2 y 0 – 2 – 6 – 4 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) Câu 3: 1. Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 2. a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) + 2 a2 + a = a2 – a + 2 2a = 2 a = 1 b) Với a = 1 thì y = f(x) = x + 2 1 Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x) (2x – 1) + 2 = (1 – 2x) + 2 4x = 2 x = 2 Câu ∆ ABC, A￞ = 900, ∆ ABD và ∆ ACE đều B 4:GT I = BE CD a) BE = CD KL b) V BDE là tam giác cân D ￞￞ 1 I c) EIC = 600 và IA là tia phân giác của DIE 2 1 1 ￞ DAC =A￞ 1 + 900 = 600 + 900 = 1500 A3 1 C a) Ta có: ￞ � DAC ￞ = BAE 2 2 ￞ BAE ￞ 2 + 90 = 60 + 90 = 150 =A 0 0 0 0 Xét V DAC và V BAE có: DA = BA (GT) 2 1 ￞ DAC ￞ = BAE (CM trên) 2 AC = AE (GT) E V DAC = V BAE (c – g – c) BE = CD (Hai cạnh tương ứng) b) Ta có: A ￞ 3 +A ￞ 1 + BAC ￞ +A￞ 2 = 360 0 A￞ 3 + 600 + 900 + 600 = 3600 A￞ 3 = 1500 A￞ 3 = DAC ￞ = 1500 Xét V DAE và V BAE có: DA = BA (GT) ￞ 3 = DAC A ￞ (CM trên) AE: Cạnh chung V DAE = V BAE (c – g – c) DE = BE (Hai cạnh tương ứng) V BDE là tam giác cân tại E c) Ta có: V DAC = V BAE (CM câu a) E ￞ 1 = C ￞ 1 (Hai góc tương ứng) Lại có: $I1 + E￞ 2 + ICE ￞ = 180 0 (Tổng 3 góc trong V ICE) $I1 + (AEC ￞￞ 1 ) + (C −E ￞ 1 +C ￞ 2 ) = 180 0 $I1 + 600 − E ￞ 1+C ￞ 1 + 600 = 1800 $I1 + 1200 = 1800 (Vì E ￞ 1 = C ￞ 1) $I1 = 600 Vì V DAE = V BAE (Cm câu b) E ￞ 1 = E ￞ 2 (Hai góc tương ứng) EA là tia phân giác của DEI￞ (1) ∆DAC = ∆BAE Vì V DAC = V DAE D ￞ 1 = D ￞ 2 (Hai góc tương ứng) DA là tia phân giác ∆DAE = ∆BAE của EDC￞ (2)
Từ (1) và (2) A là giao điểm của 2 tia phân giác trong V DIE IA là đường phân giác thứ ba trong V DIE hay IA là tia phân giác của DIE ￞ m Câu 5: 1. Gọi x = (m, n Z, n 0, (m, n) = 1). Khi đó: n 1 m n m2 + n 2 x + = + = (1) x n m mn 1 Để x + nguyên thì m2 + n2 M mn x m2 + n2 M m n2 M m (Vì m2 M m) n M m Mà (m, n) = 1 nên m = 1 hoặc m = – 1 *) Với m = 1: 1 12 + n 2 1 + n 2 1 Từ (1), ta có: x + = = . Để x + nguyên thì 1 + n2 M n 1 M n hay n = 1 x 1.n n x *) Với m = – 1: 1 (−1) 2 + n 2 1 + n 2 1 Từ (1), ta có: x + = = . Để x + nguyên thì 1 + n2 M(– n) 1 M (– n) hay n = x (−1).n −n x 1 m 1 1 −1 −1 Khi đó x = = = = = hay x = 1 n 1 −1 1 −1 2. Ta có: a + 3c = 2016 (1) và a + 2b = 2017 (2) Từ (1) a = 2016 – 3c 1 + 3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = 1 b = . Khi đó: 2 1 + 3c � 1 � −6c + 3c + 2c 1 c P = a + b + c = (2016 – 3c) + + c = � 2016 + �+ = 2016 − . Vì a, b, c không 2 � 2� 2 2 2 1 c 1 1 âm nên P = 2016 − 2016 , MaxP = 2016 c = 0 2 2 2 2 PHÒNG GIÁO DỤCĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỨC PHỔ NĂM HỌC 2015 2016 1 1 1 Câu 1: (5 điểm)a) Tính giá trị biểu thức P = a − + a− , với a = . 2014 2016 2015 6 x −1 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số và là một số nguyên. x +1 3 Câu 2: (5 điểm)a) Cho a > 2, b > 2. Chứng minh ab > a + b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó. Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông tại D và DF > DE, kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF. ￞ a) Chứng minh MDH =E ￞ −F ￞ b) Chứng minh EF DE > DF DH a1 + a2 + a3 + ... + a15 Câu 4: (2 điểm) Cho các số 0 < a1 < a2 < a3 < .... < a15 . Chứng minh rằng
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu NỘI DUNG ĐÁP ÁN Điểm 1 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức P = a − + a− , với a = . 2014 2016 2015 0.25 1 1 1 1 1 Thay a = vào biểu thức P = − + − 0.5 2015 2015 2014 2015 2016 1 1 1 1 1 1 0.5 2.5 đ Ta có P = − + − P = − 0.5 2014 2015 2015 2016 2014 2016 2016 − 2014 2 1 1 0.5 P = = P = = 0.25 2014.2016 2014.2016 1007.2016 2030112 6 x −1 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số và là một số nguyên. x +1 3 2.5 đ 6 x −1 2 x −1 0.25 Đặt A = . = . x +1 3 x +1 1 2( x − 1) 0.25 = x +1 2x − 2 0.25 = x +1 2( x + 1) − 4 = x +1 0.25 4 = 2− x +1 0.5 Để A nhận giá trị nguyên thì x + 1 là Ư(4) = { 1; 2; 4} Suy ra x { 0; −2;1; −3;3; −5} 2 2. a) Cho a > 2, b > 2. Chứng minh ab > a + b 1 1 1 1 1 1 a+b 0.5 Từ a > 2 � < b > 2 � < Suy ra + < 1 � a + b 0.5 2đ 0.5 b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 3đ và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó. Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là S1 , S 2 , S3 , chiều dài, chiều rộng tương ứng là d1 , r1; d 2 , r2 ; d 3 , r3 theo đề bài ta có S1 4 S 2 7 0.5 = ; = và d1 = d 2 ; r1 + r2 = 27; r2 = r3 , d3 = 24 S 2 5 S3 8 Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài 0.5 S1 4 r1 r r r + r 27 = = � 1= 2 = 1 2 = =3 S 2 5 r2 4 5 9 9 0.25 Suy ra chiều rộng r1 = 12cm, r2 = 15cm 0.25 Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng
S2 7 d2 7d 7.24 0.25 = = � d2 = 3 = = 21cm S3 8 d 3 8 8 Vậy diện tích hình thứ hai S 2 = d 2 r2 = 21.15 = 315 cm 2 0.25 4 4 Diện tích hình thứ nhất S1 = S2 = .315 = 252 cm 2 0.25 5 5 8 8 0.25 Diện tích hình thứ ba S3 = S 2 = .315 = 360 cm 2 0.25 7 7 0.25 3đ Cho ∆DEF vuông tại D và DF > DE, kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF. a) Chứng minh MDH ￞￞ −F =E ￞ Hình vẽ đúng, chính xác 0.5 Vì M là trung điểm của EF suy ra MD = ME = MF 0.25 ∆MDE cân tại M E ￞ = MDE ￞ 0.25 Mà HDE￞ =F ￞ cùng phụ với E ￞ Ta có MDH ￞￞ = MDE ￞ − HDE 0.25 Vậy MDH ￞￞ −F￞ 0.25 =E b) Chứng minh EF DE > DF DH Trên cạnh EF lấy K sao cho EK = ED, trên cạnh DF lấy I sao cho DI = DH Ta có EF DE = EF EK = KF DF DH = DF DI = IF 0.25 Ta cần chứng minh KF > IF EK = ED ∆DHK EDK ￞￞ = EKD 0.25 EDK ￞￞ + KDI ￞ = EKD ￞ + HDK = 900 0.25 KDI ￞￞ 0.25 = HDK ∆DHK = ∆DIK (cgc) 0.25 KID ￞￞ = DHK = 900 0.25 Trong ∆KIF vuông tại I KF > FI điều phải chứng minh 4 Cho các số 0 < a1 < a2 < a3 < .... < a15 . (2đ) a1 + a2 + a3 + ... + a15 Chứng minh rằng
Ta có ￞ABC + ￞ACB = 1800 ￞A = 600 0.5 1￞ 1￞ 0.5 B + C = 300 2 2 0.5 ￞ BIC = 1500 0.5 ￞ Mà BIM ￞ 0.25 = CIN = 300 ￞ MIN = 900 0.25 b) Chứng minh CE + BF
1.b 0.5 2.0 Biểu thức y = có giá trị nguyên 0.5 điểm 0.5 0.5 Bài 2: 2.a Ta có 5n+2 + 3n+2 3n – 5n = (5n+2 – 5n) + ( 3n+2 – 3n) 0.5 6.0 2.0 = 5n.24 + 3n.8 0.5 điểm điểm Vì n nguyên dương nên5n.24 chia hếtcho 24; 3n.8 chia hết cho 24 0.5 Vậy5n+2 + 3n+2 3n – 5n chia hếtcho 24 với mọi số nguyên dương n 0.5 2.b 0.5 2.0 Ta có = điểm 0.5 = 0.5 0.5 Vậy 2.c Ta có f(1) = g(2) 0.5 2.0 điểm f(2) = g(1) 0.5 1.0 Từ (1) và (2) suyra Bài 3: 3.a 0.5 4.0 2.0 Vì a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn nên ad
Bài 4: 0.5 6.0 A điểm N B M C H 4.a 0.5 2.0 điểm 0.5 0.5 0.5 4.b Ta có BC – AB = BC – BM = MC 0.5 2.0 AC – AH = AC – AN = NC 0.5 điểm Tam giác MNC vuôngtại N nên MC >NC .Suyra 0.5 BC – AB > AC – AH BC + AH > AB + AC 0.5 4.c Áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông ABH ; ACH ; ABC ta có : 1.5 CH2 – BH2 = ( AC2 – AH2 ) – ( AB2 – AH2 ) điểm = AC2 – AB2 0.5 = AC2 – ( BC2 – AC2) = 2AC2 0.5 0.5 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TRIỆU SƠN Năm học 2015 2016 Câu 1: (5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 a. A 1 1 1 ... 1 . b. B = 2x2 – 3x + 5 với x . 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 2 0 2015 c. C = 2 x 2 y 13 x y x 3 2 y 2 15 y x 2 x y , biết x – y = 0. 2016 2 1 Câu 2: (4,0 điểm) 1. Tìm x, y biết: 2 x 3 y 12 0. 6 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3z 2. Tìm x, y, z biết: và x + y + z = 18. 4 3 2 Câu 3: (5,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0. 2. Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101. Tính f(100). 3. Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được ba số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Câu 4: (5,0 điểm) 1. Cho ABC có B + C = 600, phân giác AD. Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho ABM = ABO. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ACN = ACO. Chứng minh rằng: a. AM = AN. b. MON là tam giác đều. 2. Cho tam giác ABC vuông ở A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M trên AC, AB. Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất. a2 b2 Câu 5: (1,0 điểm) Cho x + y = 1, x 0, y 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (a và b là x y hằng số dương đã cho). PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TRIỆU SƠN ) Hướng dẫn chấm Câu Nội dung Điểm 1 1 1 1 1 a. A 1 1 1 ... 1 2 1 .3 2 .4 3 .5 2015.2017 0,75 1 2 2 3 3 4 4 2016 2016 . . . ... . 2 1 3 2 4 3 5 2015 2017 0,75 1 2 2 3 3 4 4 2016 2016 2016 . . . ... . . 2 1 3 2 4 3 5 2015 2017 2017 1 1 1 b. Vì x = nên x = hoặc x = 0,5 2 2 2 1 1 1 1 0,75 Với x = thì B = 2.( )2 – 3. + 5 = 4 (5,0đ) 2 2 2 1 1 1 0,75 Với x = thì B = 2.( )2 – 3.( ) + 5 = 7 2 2 2 1 1 Vậy B = 4 với x = và B = 7 với x = . 2 2 0 2015 c. C = 2 x 2 y 13x y x 3 2 y 2 15 y x x y 2 2016 1,5 2 x y 13 x 3 y 2 x y 15 xy x y 1 1 (vì x – y = 0). 2 1 1. Vì 2 x 0 với x; 3 y 12 0 với y, do đó: 0,5 6 2 1 0,25 2 x 3 y 12 0 với x, y. 6 1 2 1 2 0,5 2 Theo đề bài thì 2 x 3 y 12 0 . Từ đó suy ra: 2 x 3 y 12 0 6 6 (4,0đ) 1 Khi đó 2 x 0 và 3 y 12 0 6 0,75 1 ó x và y 4. 12 1 Vậy x và y 4. 12
3 x 2 y 2 z 4 x 4 y 3z 2. Ta có: 4 3 2 4 3x 2 y 3 2z 4x 2 4 y 3 z 12 x 8 y 6 z 12 x 8 y 6 z 0,5 Suy ra: 0 16 9 4 29 3x 2 y x y 0,25 Do đó: 0 3x 2 y (1) 4 2 3 2z 4x x z 0,25 0 2z 4x (2) 3 2 4 0,25 x y z Từ (1) và (2) suy ra . 2 3 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0,5 x y z x y z 18 2. 2 3 4 2 3 4 9 0,25 Suy ra: x = 4; y = 6; z = 8. 1. Ta có: x – 2xy + y – 3 = 0 ó 2x – 4xy + 2y – 6 = 0 ó 2x – 4xy + 2y – 1 = 5 ó 2x(1 – 2y) – (1 – 2y) = 5 ó (2x – 1)(1 – 2y) = 5 0,75 Lập bảng : 2x – 1 1 5 1 5 1 – 2y 5 1 5 1 x 1 3 0 2 1,0 y 2 0 3 1 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy x; y 1; 2 , 3;0 , 0;3 , 2;1 . 0,25 2. Ta có: f(x) = x – 101x + 101x – 101x + … – 101x + 101 10 9 8 7 = x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … – 101x + 101 0,75 = x9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100) + … + x(x – 100) – (x – 101) 0,75 3 Suy ra f(100) = 1. 0,5 (5,0đ) 3. Giả sử 8 số nguyên dương tùy ý đã cho là a 1, a2, a3, …, a8 với 1 a1 a2 … a8 20. 0,25 Nhận thấy rằng với ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c và b + c > a thì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Từ đó, ta thấy nếu trong các số a1, a2, a3, …, a8 không chọn được 3 số là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: 0,25 a6 a7 + a8 1 + 1 = 2 a5 a6 + a7 2 + 1 = 3 a4 a5 + a6 3 + 2 = 5 a3 a4 + a5 5 + 3 = 8 0,25 a2 a3 + a4 8 + 5 = 13 a1 a2 + a3 13 + 8 = 21 (trái với giả thiết). Vậy điều giả sử trên là sai. Do đó, trong 8 số nguyên trên đã cho luôn chọn được ba số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. 0,25
1. a. 0,5 0,75 ABM = ABD (g.c.g) 0,5  AM = AO (1) ACN = ACO (g.c.g)  AN = AO (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra AM = AN. 0,25 b. AOM = AON (c.g.c) 0,5  OM = ON (3) 4 AOM = AMN (c.g.c) (5,0đ) 0,5  OM = NM (4) Từ (3) và (4) suy ra OM = ON = NM. 0,5 Do đó MON là tam giác đều. 2. Hướng dẫn: DE = AM AH (AH là đường cao của ABC). 0,5 Vậy DE nhỏ nhất ó AM nhỏ nhất ó M trùng với H. 0,5 a2 b2 a 2 .1 b 2 .1 a2 x y b2 x y a2 y b2 x Ta có: P a2 b2 x y x y x y x y 0,5 a2 y b2 x 2 2 a b . x y a2 y b2 x 0,25 5 Các số dương và có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và x y (1,0đ) 0,25 a2 y b2 x a chỉ khi a2 y 2 b2 x2 ay bx a 1 x bx x x y a b b Suy ra y a b a b Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b 2 khi x và y . a b a b PHÒNG GD&ĐT VŨ THƯ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 20152016 MÔN: TOÁN 7 Bài 1 (5 điểm ) 1.Thực hiện phép tính:
� �2 3 �193 33 �� 7 11 �1008 1007 � A=� � − . � + �� : � + . � + � �193 386 �17 34 �� 1008 2016 � 25 � 2016 � � 2 1 �1 � B= .7 4 (−11) 2 .77 5. � 2 �: ( 7 3.116 ) −77 2 �7 � a −b+c c−a +b a −c+b 2. Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn: = = 2b 2a 2c � c �� b �� a � 1+ Tính giá trị biểu thức: P = � .� � 1+ � .�1+ � � b �� a �� c � 2 3 Bài 2 (5 điểm )a) Tìm x biết: = x − 2 + 2 6 − 3x + 1 b) Tìm hình chữ nhật có kích thước các cạnh là số nguyên sao cho số đo diện tích bằng số đo chu vi. c) Tìm các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn: ( x − y ) + ( y − z ) + 2015. x − z = 2017 3 2 Bài 3 (3 điểm) Cho hàm số: y = f ( x ) = x + 3 x (1) 2 a) Vẽ đồ thị hàm số (1). 4 b) Gọi E và F là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ lần lượt là (4) và , xác định tọa 5 độ hai điểm E, F. Tìm trên trục tung điểm M để EM+MF nhỏ nhất. Bài 4 (6 điểm)1. Cho tam giác ABC nhọn; vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là tam giác ABD và tam giác ACE. a) Chứng minh DC = BE và DC BE. b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến ED và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh A, M, H thẳng hàng . 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3cm; AC= 4cm. Điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến BC. Tính MB. Bài 5 (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 thì tổng: 3 8 15 n2 −1 S = + + + ... + 2 không thể là một số nguyên. 4 9 16 n §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm chÊm HSG m«n to¸n 7 năm học 2015-2016 Bài 1(5điểm ) Câu Nội dung Điểm 1 2 3 193 33 7 11 1008 1007 2® (3 điểm) a)Tính A . : . 193 386 17 34 1008 2016 25 2016 2 3 33 7 11 1007 0,75 A : . 17 34 34 25 50 2016 1 1007 0,5 A 1: 2 2016 2015 0,25 A 1: 2016 2016 0,25 A 2015 2016 0,25 Vậy A 2015
1 1 2 1,5® b ) Tính B 2 .7 4 ( 11) 2 .77 5. 2 : 7 3\ .116 77 7 1 1 1 0,5 B 2 2 .7 4.112.7 5.115. 4 . 3 6 7 .11 7 7 .11 9 7 .11 7 0,5 B 7 9.118 1 B . 11 0,25 1 Vậy B . 11 0,25 2 (1,5®iểm) c b a b c a b c a b c a b c a 0,25 P 1 1 1 . . . . với a,b,c 0 b a c b a c a c b a b c a c b Khi a+b+c =0 b c a P . . 1 a c b 0,5 c a b Khi a+b+c 0 , áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c c a b a c b a b c c a b a c b 1 2b 2a 2c 2(c a b) 2 a c c b a b a c c b a b 0,25 1 2 2b 2a 2c b a c P 8 0,25 Với a,b,c 0 thì P =1 khi a+b+c =0; P = 8 khi a+b+c 0 0,25 Câu Nội dung Điểm a) 2 3 a) Tìm x biết : x 2 2 6 3x 1 (2 điểm) 2 3 0,5 x 2 2 3x 2 1 6x 2 2 3x 2 6 0,25 3x 2 4 0,25 4 x 2 3 0,25 4 x 2 0,25 3 4 x 2 3 10 x 0,25 3 2 x 3 10 2 0,25 Vậy x ; 3 3 b)
(1,5điểm) Gọi kích thước hình chữ nhật cần tìm là x,y (đơn vị độ dài ) 0,25 (x,y N * ; x y ) Ta có diện tích và chu vi hình chữ nhật lần lượt là : x.y và 2(x+y) Theo bài ra ta có : x.y= 2(x+y) với x,y N * ; x y 0,25 xy 2 x 2 y 0 x( y 2) 2( y 2) 4 ( y 2)( x 2) 4 0,25 Với x,y N * ta có ( y 2); ( x 2) Z y 2; x 2 Ư(4)= 1; 2; 4 nhưng vì x2 ; y2 > 2 và x y 0,25 Ta có 2 trường hợp sau : x 2 4 x 6 x 2 2 x 4 hoặc 0,25 y 2 1 y 3 y 2 2 y 4 Có hai hình chữ nhật thỏa mãn bài toán : Hình chữ nhật có kích thước 6 và 3; 4 và 4. 0,25 c) (1,5điểm) Chứng minh: ( x − y ) − ( x − y ) chia hết cho 2 3 0,25 ( y − z ) − ( y − z ) chia hết cho 2 0,25 2 z − x − ( z − x ) chia hết cho 2 0,25 ( x − y ) + ( y − z ) + 2015 x − z = 3 2 0,5 ( x − y ) − ( x − y ) + ( y − z ) − ( y − z ) + z − x − ( z − x ) + 2014 z − x 3 2 Chia hết cho 2 Mà 2017 không chia hết cho 2 nên không tồn tại các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn đề bài 0,25 Bài 3(3 điểm ) Câu Nội dung Điểm a) 3 (1,5điểm) Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)= x x (1) 2 5 Từ hàm số (1) ,ta có : y= x với x 0 2 1 y= x với x 0 0,25 2 Cho x= 2 y 5 , ta có điểm A(2 ;5) thuộc đồ thị hàm số(1) 0,25 Cho x= 2 y 1 , ta có điểm B(2 ;1) thuộc đồ thị hàm số (1) 0,25 Đồ thị hàm số (1) là hai tia OAvà OB 0,25