‘Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Châu Đức’ sau đây sẽ giúp bạn đọc nắm bắt được cấu trúc đề thi, từ đó có kế hoạch ôn tập và củng cố kiến thức một cách bài bản hơn, chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Châu Đức
- UBND HUYỆN CHÂU ĐỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 – 2023
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài:150 phút
Ngày thi: 16/02/2023
Bài 1. (6.0 điểm)
a) Chứng minh rằng với x > 0; x 1 thì giá trị biểu thức
x x 1 x x 1 x2 x x x x
A . không phụ thuộc vào giá trị của biến.
x x x x x 1
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n lẻ thì n 2 + 4n + 3 chia hết cho 8.
c) Tìm số tự nhiên m có 2 chữ số biết rằng 2m + 1 và 3m + 1 đều là các số chính phương.
Bài 2. (4.0 điểm)
a) Giải phương trình x x x 2 2 .
2x3 x2 y 3
b) Giải hệ phương trình 3 2
.
2y xy 3
Bài 3. (4.0 điểm)
a) Cho họ đường thẳng có phương trình mx 2m 1 y 3 0 . Chứng minh rằng các đường
thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của điểm M.
1 1
b) Cho 2 số dương a, b thỏa mãn + = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b
1 1
Q= + 4 .
a + b + 2ab b + a + 2ba 2
4 22 2
Bài 4. (4.0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R)
thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với
đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của
đường thẳng OI và đường thẳng MN. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) OI.OH = R2.
c) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. (2.0 điểm) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm
về một phía bờ sông. Khoảng cách từ A, B đến bờ sông lần lượt là
118 m và 487 m (tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A đến
bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người
đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét).
--------Hết--------
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………………………….. Họ, tên chữ ký GT 1: ………………………………...
Số báo danh:……………………………………
- UBND HUYỆN CHÂU ĐỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 – 2023 - MÔN: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
( Hướng dẫn gồm tất cả 4 trang)
I. Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học
sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa.
2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và không làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm:
Bài 1. (6.0 điểm)
a) Chứng minh rằng với x > 0; x 1 thì giá trị biểu thức
x x 1 x x 1 x2 x x x x
A . không phụ thuộc vào giá trị của biến.
x x x x x 1
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n lẻ thì n 2 + 4n + 3 chia hết cho 8.
c) Tìm số tự nhiên m có 2 chữ số biết rằng 2m + 1 và 3m + 1 đều là các số chính phương.
Câu Nội dung trình bày Điểm
a) 1 1 x( x − 1) + x ( x − 1)
(2.0đ) Với x > 0; x 1 ta có: A = 1 + − 1− . 0,5
x ( x + 1) x ( x − 1) x +1
x − 1 − x − 1 ( x − 1)( x + x ) −2 ( x − 1) x ( x + 1)
= . = . = −2
x ( x − 1) x +1 x ( x − 1) x +1 0,5x3
Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Với n là số nguyên lẻ, đặt n = 2k + 1 (với k Z ), ta có:
(2.0đ) 0,5
n 2 + 4n + 3 = (2k + 1) 2 + 4(2k + 1) + 3
= 4k 2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 3 = 4k ( k + 1) + 8k + 8 0,5
Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên k (k + 1)M2 4k ( k + 1)M8 0,5
4k ( k + 1) + 8k + 8 chia hết cho 8.
0,5
Vậy với mọi số nguyên n lẻ thì n 2 + 4n + 3 chia hết cho 8.
c) Vì m là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 m 99 21 2m 1 199 0,5
(2.0đ) 2m 1 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81;100 ;121;144 ;169 ;196 0,5
m 12 ; 24 ; 40 ; 60 ; 84 0,5
và 3m + 1 cũng là SCP nên m = 40 0,5
Bài 2. (4.0 điểm)
2x3 x2 y 3
a) Giải phương trình x x x 2 2. b) Giải hệ phương trình 3 2
.
2y xy 3
Câu Nội dung trình bày Điểm
a) ĐK: x 2 0,5
(2.0đ) x x x 2 2 x 2 x x 2 0 x 2. x 2 x 0 0,5
x 2 0 x 2 ( n)
x 2 0,5x2
x 2 x 0 x 2 x 0 (VN )
b) Điều kiện: x, y 0. 0,5
- (2.0đ) 2x3 x2 y 3
Trừ theo vế hai phương trình của hệ 3 2
ta được:
2y xy 3 0,5
2( x3 − y 3 ) + xy ( x − y ) = 0 ( x − y )(2 x 2 + 3 xy + 2 y 2 ) = 0
2
x = y (vì x, y 0 nên 2 x + 3 xy + 2 y = 2 x + 3 y
2 2
+
7 2
y > 0) 0,5
4 8
Thay vào hệ phương trình ta được: 3 x3 = 3 x =1 y =1.
0,5
Vậy hệ có nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) .
Bài 3. (4.0 điểm)
a) Cho họ đường thẳng có phương trình mx 2m 1 y 3 0 . Chứng minh rằng các đường thẳng trên
luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của điểm M.
1 1
b) Cho 2 số dương a, b thỏa mãn + = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b
1 1
Q= + 4 .
a + b + 2ab b + a + 2ba 2
4 2 2 2
Câu Nội dung trình bày Điểm
a) Gọi (dm) : mx 2m 1 y 3 0
(2.0đ) 0,5
M(x0; y0) là điểm cố định của (dm)
M thuộc (dm) với mọi m
0,5
mx0 2m 1 y0 3 0 với mọi m
x0 2 y0 m y0 3 với mọi m 0,5
x0 2 y0 0 x0 6
y0 3 0 y0 3 0,5
Vậy M(-6; 3) là điểm cố định
b) Với a > 0; b > 0 ta có: (a 2 − b) 2 0 a 4 − 2a 2b + b 2 0 a 4 + b 2 2a 2b
(2.0đ) 1 1
a 4 + b 2 + 2ab 2 2a 2b + 2ab 2 ۣ a + b + 2ab
4 2 2
2ab ( a + b )
(1)
0,5
1 1
Tương tự có (2) .
b + a + 2 a 2b
4 2
2ab ( a + b )
1
Từ (1) và (2) Q 0,5
ab ( a + b )
1 1 1 1
Vì + =2 a + b = 2ab mà a + b۳ 2 ab ab 1 Q . 0,5
a b 2(ab) 2 2
1 1
Khi a = b = 1 thì Q= . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Q là 0,5
2 2
Bài 4. (4.0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi
đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi
I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường
thẳng MN.
a) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh OI.OH = R2.
c) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu Nội dung trình bày Điểm
- H
M
C
I
E
B
A O
N
a) ˆ
OMA 1v (T/chất của tiếp tuyến) M thuộc đường tròn đường kính OA 0,5
(2.0đ) ˆ N thuộc đường tròn đường kính OA
ONA 1v (T/chất của tiếp tuyến) 0,5
ˆ
OIA 1v (T/chất của đường kính và dây) I thuộc đường tròn đường kính OA 0,5
Vậy bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. 0,5
b) Gọi K là giao điểm của OA và MN và Chứng minh được OI,OH = OK,OA 0,5
(1.0đ)
Chứng minh được OK .OA OM 2 IO.OH R2 0,5
c) AM AB
(1.0đ) ∆AMB ∽ ∆ACM (g-g) = AM 2 = AB.AC 0,25
AC AM
AM AE
∆AME ∽ ∆AIM (g-g) = AM 2 = AI.AE 0,25
AI AM
AB.AC = AI.AE (*)
Do A, B, C cố định nên trung điểm I của BC cố định nên từ (*) suy ra E cố định. 0,5
Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm E cố định
Bài 5. (2.0 điểm) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về
một phía bờ sông. Khoảng cách từ A, B đến bờ sông lần lượt là 118 m
và 487 m (tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A đến bờ sông để
lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi
được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét).
Câu Nội dung trình bày Điểm
0,25
Gọi C , D lần lượt là hình chiếu của A, B lên bờ sông.
Ta có CD = 6152 − ( 487 − 118 ) 2 = 492. Đặt CE = x ( 0 < x < 492 )
Quãng đường di chuyển của người đó là AE + EB 0,25
( 492 − x )
2
= x 2 + 1182 + + 487 2
- 0,25
( a + c) +(b+d)
2 2
Ta có với mọi a, b, c, d thì a 2 + b2 + c 2 + d 2 (1).
Thật vậy ( 1) a 2 + b2 + c2 + d 2 + 2 (a 2
+ b2 ) ( c2 + d 2 ) ( a + c)
2
+(b+d)
2
(a 2
+ b2 ) ( c2 + d 2 ) ac + bd (2)
Nếu ac + bd < 0 thì (2) luôn đúng. Nếu ac + bd 0 bình phương hai vế ta được 0,25
(2) trở thành ( ad − bc ) 0,25
2
0. Dấu đẳng thức xảy ra khi ad = bc.
Áp dụng (1) thì AE EB x 492 x
2
487 118
2
608089 780 (m) 0,25
Dấu đẳng thức xảy ra khi 487 x 294 ( ۻx )
118 − x =
96m 0,25
Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780 m 0,25
------Hết------
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
