Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội

Chia sẻ: Blog Toán | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn làm tốt các bài tập, đồng thời các bạn sẽ không bị bỡ ngỡ với các dạng bài tập chưa từng gặp, hãy tham khảo “Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội” dưới đây để tích lũy kinh nghiệm giải toán trước kì thi nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 28 tháng 9 năm 2022 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4 điểm) Cho hàm số y  x 3  3x  1 có đồ thị (C ). 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm M (2;3). 2) Tìm tất cả giá trị của a để qua điểm A  a; 1 kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C ) trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu II (5 điểm) 1) Giải phương trình x  1  2 x  2  x 2  2 x 2  1.  x3  3x2  4 x  2  y y  1  2) Giải hệ phương trình  .   y2  2x  3 y  9  y  6 Câu III (2 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 sao cho các chữ số 1 và 2 xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Tính xác suất để số được chọn có các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. Câu IV (3 điểm) Cho dãy số  un  xác định bởi u1  2; un1  un  2un  2un ; n  1, 2,3,... 3 2 1) Chứng minh dãy số  un  là dãy số tăng. u1 u u2022 2) Chứng minh  2 2  ...  2  1. u  u1  1 u2  u2  1 2 1 u2022  u2022  1 Câu V (4 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABCD) bằng 600. 1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD. 2) Gọi M và N là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng SD và BC thỏa mãn MS NC  . Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN . MD NB Câu VI (2 điểm) Với a, b, c là các số thực dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 16 9 . P  a  b  c  1  a  b   a  2c  b  2c  ----------------- Hết ---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .............................................................. Số báo danh: ........................... Chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Chữ kí của cán bộ coi thi số 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi: 28 tháng 09 năm 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm I 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm M (2; 3). 2,0 (4 đ) Gọi N (x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến  cần tìm. 0,5   Phương trình  có dạng: y  3x 0  3 x  x 0  x 0  3x 0  1. 2 3    Do M (2; 3)  , suy ra: 3  3x 0  3 2  x 0  x 0  3x 0  1 2 3  0,5 x  2   x  2  x 0  3x 0  4  0  x 0  2 3 2 1  0   0 . 0,5  x 0  1 0  Từ đó suy ra  : y  9x  15 hoặc  : y  3. 0,5  2) Tìm tất cả giá trị của a để qua điểm A a; 1 kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ  2,0 thị (C ) trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Phương trình tiếp tuyến  tại tiếp điểm N (x 0 ; y 0 ) có dạng:    y  3x 0  3 x  x 0  x 0  3x 0  1. 2 3 0,5  Do A(a; 1)   nên ta có: 1  3x 0  3 a  x 0  x 0  3x 0  1 2 3      x 0  1 2x 0  (3a  2)x 0  3a  2  0 2  x  1   02 . 2x 0  (3a  2)x 0  3a  2  0 (1)    Từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị C khi và chỉ khi PT (1) có hai nghiệm phân 0,5 biệt khác 1  2   0  a    3    a  2 . 2  (3a  2)  3a  2  0   a  1  Do f '(1)  0 nên từ A kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C ) khi và chỉ khi PT (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa mãn f '(x 1 ).f '(x 2 )  1. 0,5 2 2  Ta có: f '(x 1 ).f '(x 2 )  1  9 x 1 x 2  x1  x 2  1  1 2 2  0,5 28   9 x 1 x 2  x 1  x 2    2x 1x 2  1  1  9 3a  2  1  1  a   2 2 2 (TM ).     27 1
II 1) Giải phương trình x  1  2 x  2  x 2  2 x 2  1. 2,0 (5 đ) Điều kiện: x  2.     2 2 1,0 Ta có: x  1  2 x  2  x 2  2 x 2  1  x 2 1 x2  1  1  x2  1  x  2  x2  x  1  0 0,5  1 5 x   2 (TM ). 0,5  1 5 x  2  x 3  3x 2  4x  2  y y  1 (1)  2) Giải hệ phương trình  2 . 3,0 y  2x  3y  9  y  6 (2)    3     3 Điều kiện: 1  y  9. Ta có: (1)  x  1  x  1  y 1  y  1. 0,5 Xét hàm số f (t )  t 3  t, t  . Ta có: f '(t )  3t 2  1  0, t  . 0,5  Suy ra f (t ) đồng biến trên . Từ f x  1  f    y  1  x  1  y  1. Thay vào (2) ta được y 2  2 y  1  3y  9  y  4  0  2 1      y  5 y  2   0  y 1 2 9 y  2  1,0 y  5 (TM )   2 1 . y 2   0 (*)  y 1 2 9y 2  2 Do  1 nên VT (*)  0 , suy ra PT (*) vô nghiệm. 0,5 y 1 2 x  1  Với y  5  x  1. Vậy hệ phương trình có nghiệm  . 0,5 y  5  III Tính xác xuất để số được chọn có các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. 2,0 (2 đ) 8! Số các số tự nhiên thuộc A là:  10080 (số). 0,5 2!.2! 7! Số các số tự nhiên thuộc A có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau là:  2520 (số). 2! 7! Số các số tự nhiên thuộc A có hai chữ số 2 đứng cạnh nhau là:  2520 (số). 0,5 2! Số các số tự nhiên thuộc A có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau và hai chữ số 2 đứng cạnh nhau là: 6 !  720 (số). 2
Do đó số số tự nhiên thuộc A có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là: 0,5 2520  2520  720  4320 (số). 4320 4 Vậy xác suất cần tính là: P  1   . 0,5 10080 7 IV 1) Chứng minh dãy số un là dãy số tăng.   2,0 (3 đ) Chứng minh quy nạp un  0, n  * . 0,5   2 Ta có: un 1  un  un un  1  0, n  * 0,5  un 1  un  un  u1  2, n   * . 0,5     2 Suy ra un 1  un  un un  1  0, n  *  un là dãy số tăng. 0,5 u1 u2 u2022 2) Chứng minh   ...   1. 1,0 u1  u1  1 2 u 2  u2  1 2 u2022  u2022  1 2   2 Ta có: un 1  1  un un  1  un  1 1 1 u   un 1  1  un  1 un  un  1  2   u n 1  1   2 n u n  1 un  u n  1 0,5 un 1 1 .    u  un  1 2 n u n  1 u n 1  1 2022 un 1 1  u n 1 2  un  1   u1  1 u2023  1  1. 0,5 n V 1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD. 2,0 (4 đ) Ta có   SBA  600  SA  AB. tan SBA  a 3. 0,5 Chứng minh được BD  (SAC ). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Kẻ OK  SC tại K . Chứng minh được OK là đoạn vuông góc chung của hai đường 0,5 thẳng SC và BD. Chứng minh được CKO  CAS . 0,5 SAOC a 30 . . Ta có BD  a 2 và SC  a 5  OK   SC 10 0,5 3
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN . 2,0  Kẻ MP  SC P  CD  0,5 NC MS PC     NP  BD. NB MD PD SM CN Đặt   x (0  x  1). SD CB 0,5         Ta có MN  MP  PN  (1  x )SC  xDB . Chứng minh được MN 2  (1  x )2 SC 2  x 2DB 2 . 0,5 10a 2 . 5 Suy ra MN 2  (7x 2  10x  5)a 2  Dấu bằng xảy ra khi x  (TM ). 7 7 0,5 a 70 . Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng 7 VI 16 9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P   2,0 (2 đ) a b c 1 a b  a  2c b  2c  1 Ta có a  2c b  2c   2 a  b  4c  0,5   a b  a  2c b  2c   1  3a  3b a  b  4c  6 2 0,5 1  4a  4b  4c  2   2     a b c . 6 2  3 16 27 . P   a b c 1 2 a b c   2 16 27 16 27  Xét hàm f t   2 , t  0 có f ' t  t  1 2t  (t  1)2  3. t 0,5 Ta có f '(t )  0  t  3. Bảng biến thiên t 0 +∞ f'(t) + 0 – f(t) –∞ 0 0,5 5 Suy ra P  . Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  1. 2 5 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng . 2 4