Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội

Chia sẻ: Kiều Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội sẽ giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới được tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC NĂM HỌC 2020 – 2021 KHOAN-THẠCH THẤT MÔN THI: TOÁN 10 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = x 2 – 2 x + 4 và các đường thẳng (dm): y = 3 x + 2m + 1 (m là tham số) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m. Câu 2 (4,5 điểm) Giải các bất phương trình sau : 1 1 a/ f ( x ) = − 0 b/ x 2 5x 4 5 x2 5x 28 x −3 2 Câu 3 (5 điểm) 1/ Cho lục giác ABCDEF có AB vuông góc với EF và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm. Chứng minh rằng AB2 + EF 2 = CD 2 . 2/ Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot A + cot C =  cot B . b2 + c2 − a 2 a.Chứng minh rằng cot A = 4s 1 b. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1 của tam giác ABC khi  = . 2 Câu 4 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các đường cao của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng BC có phương trình : y = 1 - 2x a/ Tìm tọa độ của M biết M là trung điểm của BC b/ Tìm tọa độ của điểm B biết B có hoành độ dương Câu 5 (2 điểm) Tìm m để phương trình: 4 + x + 4 − x + 2 16 − x 2 = m có nghiệm duy nhất. Câu 6 (3điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + z --------------------HẾT-------------------- Thí sinh không mang tài liệu và máy tính vào phòng thi Giám thị không cần giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ................................................Số báo danh: ............................ Họ và tên, chữ kí CBCT 1: .................................................................................. Họ và tên, chữ kí CBCT 2: ..................................................................................
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC NĂM HỌC 2020 – 2021 KHOAN-THẠCH THẤT ĐÁP ÁN MÔN THI: TOÁN 10 Lưu ý: Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Nội dung Điểm Cho parabol (P): y = x – 2 x + 4 và các đường thẳng (dm): 2,5 2 y = 3 x + 2m + 1 (m là tham số) 1) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m. Xét phương trình hoành độ: x2 – 2x + 4 = 3x + 2m + 1 1  x – 5x + 3 – 2m = 0 (1). Ta có:  = 8m + 13 2 Câu 13 0,5 1 (2,5 +) Nếu m  − ( >0) thì (1) có hai nghiệm phân biệt, do đó (dm) cắt (P) điểm) 8 tại hai điểm phân biệt. 13 0,5 +) Nếu m = − (  = 0 ) thì (1) có 1 nghiệm kép, do đó (dm) cắt (P) tại 8 một điểm. 13 0, 5 +) Nếu m  − (   0 ) thì (1) vô nghiệm, do đó (dm) không cắt (P). 8 Câu 1 1 Giải bất phương trình: 1/ f ( x ) = − 0 2(5, x −3 2 2,0 điểm) 1 1 1 1 5− x Ta có − 0 −  0. 0 x −3 2 x −3 2 2. ( x − 3) 0,5 5−t Đặt t = x , bpt trở thành  0 . Cho 5 − t = 0  t = 5 Cho 2 ( t − 3) 0,5 t −3 = 0  t = 3 Bảng xét dấu a 0,5 Căn cứ bảng xét dấu ta được x  3 hay x  5 . 0,5 Đáp án thi HSG môn Toán 10 - Năm học 2020-2021 Trang 1/4 trang
b b) Bất phương trình x2 5x 4 5 x2 5x 28 2,5 Đặt t x2 5x 28 , t 0 x2 5x 4 t2 24 0,5 Bất phương trình trở thành t 2 24 5t 1 t2 5t 24 0 3 t 8 Suy ra x2 5x 28 8 x2 5x 36 0 9 x 4 0,5 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S 9; 4 0,5 Câu a/ Cho lục giác ABCDEF có AB vuông góc với EF và hai tam giác ACE 3 (5 và BDF có cùng trọng tâm. Chứng minh rằng AB2 + EF 2 = CD 2 . 2,00 điểm) ( ) 2 Ta có AB ⊥ EF  AB.EF = 0 suy ra AB2 + EF 2 = AB + EF (1) 0,5 Mặt khác ACE và BDF có cùng trọng tâm nên AB + CE + EF = 0 (2) có chứng minh 1 Từ (1) và (2) suy ra AB2 + EF 2 = CD 2 0, 5 b/ Tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot A + cot C =  cot B . b2 + c2 − a 2 Câu 3 1.Chứng minh rằng cot A = (5 điểm) 4s 3đ 2. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1 của tam giác ABC khi  = 1 . 2 b2 + c2 − a 2 Chứng minh được rằng cot A = 1, 0 4s Ta có: 0, 5 b +c −a 2 2 a +c −b 2 b +a −c 2 2 2 2 2 2 cot A = ;cot B = ;cot C = 4s 4s 4s 0, 5 Khi  = 1 . Ta có: 2 1 cot A + cot C = cot B 2 b2 + c 2 − a 2 a 2 + b2 − c 2 1 c 2 + a 2 − b2  + = 0, 5 4s 4s 2 4s  5b 2 = a 2 + c 2 Ta có: 0, 5 Đáp án thi HSG môn Toán 10 - Năm học 2020-2021 Trang 2/4 trang
4 2 4  b2 + c 2 a 2  4 4  a 2 + b2 c2  AG 2 = AA1 =  −  ; CG 2 = CC12 =  −  9 9 2 4 9 9 2 4 4 a 2 + c 2  4  5b 2 + 4b 2  2 Suy ra AG 2 + CG 2 =  b2 + =   = b  AA1 ⊥ CC1 . 9  4  9 4  Vậy góc giữa AA1 và CC1 bằng 90°. Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các đường cao của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng BC có Câu 4 phương trình (3,0điểm) 2 x + y - 1 = 0. 3,0 a/ Tìm tọa độ của M biết M là trung điểm của BC b/ Tìm tọa độ của điểm B biết B có hoành độ dương Gọi M là trung điểm của BC, tứ giác BCDE nội tiếp ta có MD = ME 1 0,5 vẽ hình minh họa Gọi M ( m; −2m + 1) , ta có MD = ME nên  5m2 − 8m + 5 = 5m 2 − 10m + 5  m = 0  M ( 0;1) , 0,5 Ta có B ( b; −2b + 1) , b  0.MB = ( b − 0 ) + ( −2b + 1 − 1) = 5b 2 2 2 MB = MD = 5  5b 2 = 5, b  0  b = 1  B (1; −1) 1,0 Câu Tìm m để phương trình: 4 + x + 4 − x + 2 16 − x 2 = m có nghiệm duy 5 (2 nhất. 2 điểm) 4 + x + 4 − x + 2 16 − x 2 = m (điều kiện −4  x  4) 0, 5 Điều kiện cần. Giả sử hệ có nghiệm duy nhất là x0 Ta có 4 + x0 + 4 − x0 + 2 16 − x02 = m 4 + ( − x0 ) + 4 − ( − x0 ) + 2 16 − ( − x0 ) = m 2 0, 5  − x0 là một nghiệm của phương trình Vì phương trinh duy nhất nên x0 = − x0  x0 = 0  m = 12 Đáp án thi HSG môn Toán 10 - Năm học 2020-2021 Trang 3/4 trang
Điều kiện đủ: Xét m = 12 phương trình đã cho trở thành 0, 5 ( ) 2 2 16 − x 2  2 16 = 8 4+ x + 4− x = 8 + 2 16 − x 2 = 12 4 + x + 4 − x + 2 16 − x 2  16 0, 5  4 + x + 4 + x + 2 16 − x 2  4 + 8 = 12 Đẳng thức xảy ra  x = 0 . Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0, vậy m = 12. Câu 6 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8. Tìm giá trị (3điểm) nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + z 3 S 2 = ( x + y + z ) = x2 + y 2 + z 2 + 2 ( x y + y z + z x ) 2 S 2 = x2 + y 2 + z 2 + x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) 0, 5 Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có y + z  y + z = −x = x  x ( y + z )  z2 Chứng minh tương tự y ( z + x )  y 2 , z ( x + y )  z 2 1 Vì vậy S 2  2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) Thay x 2 + y 2 + z 2 = 8  S 2  16  S  4 1 Dấu bằng có thể xảy ra, khi ( x, y, z ) = ( 2; −2;0 ) hoặc các hoán vị, ta có S=4 0, 5 Vậy min S = 4 Đáp án thi HSG môn Toán 10 - Năm học 2020-2021 Trang 4/4 trang