Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2011-2012 - THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,0 điểm) (2 x  3) 4 x  1  (2 y  3) 4 y  1  2 (2 x  3)(2 y  3)   y  x  4 xy  1. Giải hệ phương trình:  2. Tìm tất cả hàm số f :  thoả mãn: f ( x  y )  f ( x)  y x, y  1 f ( x)   và f    2 x x x  0 . Câu 2 (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p , q sao cho  7 p  4 p  7q  4q  chia hết cho pq . Câu 3 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn. Một đường thẳng đường  đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C). Gọi I1 , I 2 và I 3 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD. Tiếp tuyến của đường tròn ( I1 ) song song với CD (gần CD hơn) cắt  tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác I1 I 2 I3 . Câu 4 (2,0 điểm). Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  2b  3c  20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L  a bc  3 9 4    a 2b c Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít nhất hai phần tử và với mọi m, n  X , m  n thì tồn tại k  X sao cho n  mk 2 . —Hết— Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online Trang | 1 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai ĐÁP ÁN I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câ Điể Ý Nội dung trình bày u m 1 1 2,0 điểm (2 x  3) 4 x  1  (2 y  3) 4 y  1  2 (2 x  3)(2 y  3)    y  x  4 xy  1 4 Điều kiện xác định: x  ; y  (2)  x  y (4 x  1)  (1) (2) 1 4 0,5 x y  4 x  1   4 y  1 thay vào (1) ta được y x x y  (2 y  3)  2 (2 x  3)(2 y  3) y x (2 x  3) Do (2 x  3) x y  (2 y  3)  2 (2 x  3)(2 x  3) y x 0,5 0,5 Suy ra (1)  x(2 x  3)  y (2 y  3)  ( x  y )(2 x  2 y  3)  0  x  y thay vào (2) ta  x  0 (lo¹i) được 2 x  x  0   x  1  y  1  2 2 2 0,5 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  . 2 2 2 1,0 điểm Ta có: f  x  y   f  x   y  f ( y )  f (0)  y y  .  f ( x )  a  x với a  f (0) . 0,25 1 1 1 f    f (0)   a  x  0. x x  x  1  f ( x ) f (0)  x a  x  2 x  0 . Mặt khác f    2  x x2 x x Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,25 Trang | 2 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai a 1 ax  2 x  0  ax 2  a x  0  a  0. x x 0,25 Vậy f ( x )  x x  . 2 0,25 2,0 điểm p , q đều khác 2 , 7 . Không mất tính tổng quát ta giả sử q  p . Khi đó từ giả thiết 0,5 ta được 7 p  4 p  p hoặc 7q  4q  p TH1. 7 p  4 p  p , theo định lí Fermat ta có: 0,5 7 p  4 p  3  mod p   3  0  mod p   p  3. TH2. 7q  4q  p , ta có  p  1, q   1  tồn tại 2 số nguyên dương u , v sao cho 1  p 1u qv   p  1 u  1  7 q  4q  mod p   7 qv  4 qv  mod p   7 1  p 1u 4  mod p  0,5  7  4  mod p   3  0  mod p   p  3. Với p  3 , từ giả thiết ban đầu ta được: 7 3  43  7q  4q  3q  9.31.  7q  4q  3q  q  3, q  31. 0,5 Vậy  p , q    3, 3 ,  31, 3 ,  3, 31 . 3 2,0 điểm A B I1 H K I3 E D L I2 C F Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD của đường tròn  I1  cắt BC tại K và đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD tại L, suy ra CKHL là một hình bình hành. Do các tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên AD  HL  AD  CK  AD  BC  BK  AB  CD  BK  AB  BK  CD  AH  HK  CD  AH  LC  CD  AH  DL Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,5 0,5 Trang | 3 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Suy ra tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với ( I3 )   4     Vì FD  KH ; FH  HA nên các đường phân giác HI1 của góc AHK và FI3 của góc HFD vuông góc với nhau; hay I1 H  I 2 I3 (Do F , I 2 , I 3 thẳng hàng) (1) Chứng minh tương tự, cũng được HI 3  EI 2 hay I 3 H  I1 I 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 2,0 điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a 9 9 1 9  2 b·  6   b    3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b  3 b b 2 b 0,5 4 4 3 4  2 a·  4   a    3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  2 a a 4 a b 0,5 0,5 16 16 1  16   2 c·  8   c    2, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c  4 c c 4 c  3a b c 3 9 4      8 Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được 4 2 4 a 2b c c (1) a b 3c Mặt khác, do a  2b  3c  20 nên    5 (chia hai vế cho 4) 4 2 4 0,5 (2) 3 9 4   13. a 2b c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  2, b  3, c  4. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức L bằng 13, đạt được khi a  2, b  3, c  4. Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được L  a  b  c   5 1,0 điểm Giả sử tìm được tập hợp X thỏa mãn và m  n là hai phần tử bé nhất của X. Khi đó, do cách xác định X nên tồn tại k  X sao cho n  mk 2 . Suy ra m  k  n và do đó k  m hoặc k  n . Với k  n  n  m.n 2  m.n  1 vô lí. Với k  m  m  n  m3  m  1 +) Nếu | X | 2 thì tập hợp X  m, m3 m  1 .   +) Nếu | X | 3 , gọi q là phần tử bé thứ ba của X (tức là m  n  q ). Khi đó tồn tại   X sao cho q  m 2 . Do q   nên hoặc   m hoặc   n . Nếu   m thì q  m 3  n , vô lý. Vậy   n  m3 và q  m2  m7 . Nhưng tồn tại t  X sao cho q  nt 2 , do đó t  m 2 . Mà m  m 2  m3  m 2  X , vô  lý. Vậy | X | 2 và X  m, m3 m  1 .   Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang | 4