intTypePromotion=3

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2

Chia sẻ: Lê Ngọc Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
479
lượt xem
77
download

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các em học sinh lớp 10 có thêm tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán sắp tới. TaiLieu.VN đã sưu tầm "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2" gửi đến các em. Hy vọng, đây sẽ là tài liệu ôn tập hữu ích trong quá trình ôn tập và rèn luyện của các em!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD&ĐT THANH HÓA<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> <br /> TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2<br /> <br /> NĂM HỌC 2014- 2015<br /> MÔN : TOÁN - KHỐI 10<br /> <br /> §Ò CHÝNH THøC<br /> <br /> (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> Câu 1 (5điểm):<br /> Cho parabol y = - 2x2 (P) và đường thẳng d: y = ax + a – 2<br /> 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).<br /> 2. Tìm số nguyên a sao cho d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thoã mãn AB = 5<br /> <br /> Câu 2 (2 điểm):<br /> Giải phương trình:<br /> <br /> x  5 ( x  x  5 )3  2<br /> <br /> Câu 3 (2 điểm):<br /> 4 x 3  y 3  x  2 y<br /> <br /> Giải hệ phương trình:  2<br /> 52 x  82 xy  21 y 2  9<br /> <br /> <br /> Câu 4 (2 điểm):<br /> Giải bất phương trình:<br /> <br /> x x<br /> 1  2( x 2  x  1)<br /> <br /> 1<br /> <br /> Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC có diện tích S. Chứng minh rằng:<br /> cotA + cotB + cotC =<br /> <br /> a 2  b2  c2<br /> 4S<br /> <br /> Câu 6 (2 điểm):<br /> Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm trên d điểm M sao cho vectơ:<br /> MA  2MB  3MC có độ dài nhỏ nhất.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu 7 (2 điểm):<br /> Biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2)<br /> 5 5<br /> 2 2<br /> <br /> và trung điểm M( ; ) của BC. Tìm toạ độ A, B, C biết xB > xC<br /> Câu 8 (2 điểm):<br /> Cho ba số thực dương x, y, z thoã mãn x  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> xz<br /> y2<br /> x  2z<br /> <br /> <br /> P= 2<br /> y  yz xz  yz x  z<br /> <br /> ………………………………..Hết…………………………………<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2014 – 2015<br /> Câu 1:<br /> 1. (2 điểm): Tự vẽ<br /> 2. (3 điểm): Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 2x2 + ax + a – 2 = 0 (*) có<br />  = (a – 4)2 với a  4 thì (*) có hai nghiệm x1 = -1 và x2 =<br /> 2  a (2  a) 2<br /> A(-1;-2) và B(<br /> ). ta có AB =<br /> ;<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 2a<br /> . Khi đó<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 5  AB = 5 <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br />  2  a   2  a <br />  1  <br />  2  5 <br /> <br /> <br />  2<br />   2<br /> <br /> <br /> <br /> a 4  8a 3  17 a 2  8a  4  0  ( a  2)(a 3  6a 2  5a  2)  0<br /> <br /> Với a 3  6a 2  5a  2  0  a(a  1)( a  5)  2 thì không tồn tại số nguyên a thoã mãn. Vậy<br /> a = 2 là giá trị duy nhất cần tìm.<br /> Câu 2: (3 điểm)<br /> ĐKXĐ: x  5<br /> a  x<br /> <br /> b  x  5<br /> <br /> <br /> Đặt: <br /> <br /> (a > b  0 )<br /> <br /> ba  b 3  2<br /> b(a  b) 3  2<br /> b( a  b) 2<br /> a<br /> a 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   9 hoặc <br /> Ta có:  2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> b 2<br /> 25<br /> b<br /> ( a  b)<br /> a  b  5<br /> (a  b) (a  b)  25<br /> <br /> <br /> <br /> Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình là: x = 9; x =<br /> <br /> 81<br /> 16<br /> <br /> Câu 3: ( 2 điểm)<br /> Ta có – 9(4x3 – y3) = (x + 2y)(52x2 – 82xy + 21y2)  8x3 + 2x2y – 13xy2 + 3y3 = 0 <br /> (x - y)(8x2 + 10xy – 3y2) = 0  (x-y)(4x - y)(2x + 3y) = 0<br /> Từ đó tìm được nghiệm của hệ là (1 ;1) ; (-1 ; -1)<br /> Câu 4 : (2 điểm)<br /> ĐKXĐ : x  0<br /> Nhận xét : 2(x2 – x + 1) – 1 = 2x2 – 2x + 1 > 0 với mọi x  2( x 2  x  1)  1, x nên mẫu số<br /> âm vậy bất phương trình đã cho tương đương với:<br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> x  x  1  2( x 2  x  1)  2( x 2  x  1)  1  x  x<br /> a  1  x<br /> <br /> Đặt <br /> <br /> b  x<br /> <br /> suy ra a2 + b2 = x2 – x + 1<br /> <br /> Vậy bất phương trình trở thành:<br /> 2( a 2  b 2 )  a  b  ( a  b) 2  0  a  b <br /> <br /> vậy nghiệm của bất phương trình là x <br /> <br /> x  1 x  x <br /> <br /> 3 5<br /> (t / m)<br /> 2<br /> <br /> 3 5<br /> 2<br /> <br /> Câu 5: (2 điểm)<br /> Ta có: cos A <br /> <br /> 1<br /> 2S<br /> b2  c2  a2<br /> . Mặt khác từ S = bc sin A suy ra SinA =<br /> 2<br /> bc<br /> 2bc<br /> <br /> b2  c2  a2<br /> suy ra cot A <br /> 4S<br /> <br /> Tương tự ta có:<br /> a2  c2  b2<br /> cot B <br /> 4S<br /> cot C <br /> <br /> a2  b2  c2<br /> 4S<br /> <br /> Suy ra: cotA + cotB + cotC =<br /> <br /> a2  b2  c2<br /> 4S<br /> <br /> Câu 6: (2 điểm)<br /> Lấy điểm D trên AB sao cho DA = 2DB. Gọi E là trung điểm của CD ta có:<br /> MA  2 MB  3MC  3MD  3MC  3ME . Suy ra điểm M cần tìm là hình chiếu của điểm E trên<br /> <br /> đường thẳng d<br /> Câu 7 : (2 điểm)<br /> * Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta chứng minh được : IH  3IG<br /> 4<br /> 3<br /> <br /> Từ đó tìm ra G( ;2 )<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br />  Phương trình đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với MI nên BC có phương<br /> trình : 3x + y – 10 = 0<br />  Phương trình đường thẳng AH đi qua H và vuông góc với BC nên AH có phương trình :<br /> x – 3y + 4 = 0<br />  Phương trình đường thẳng AG đi qua A và G nên AG có phương trình là :<br /> 3x – 7y + 10 = 0<br /> Ta có điểm A là giao điểm của AH và AG nên A(-1 ; 1)<br /> Do B thuộc BC nên B có toạ độ dạng : B(a ; 10 – 3a). Do M là trung điểm của BC nên C có<br /> toạ độ dạng C(5 – a; 3a - 5).<br /> Mặt khác vì H là trực tâm nên BH vuông góc với AC, tương đương với<br /> BH . AC  0  a 2  5a  6  0  a  2, a  3 . Vì xB > xC nên a = 3<br /> <br /> vậy A(-1;1); B(3;1); C(2;4)<br /> Câu 8: 2 điểm<br /> Ta có:<br /> y2<br /> 2z<br /> 1<br /> 2<br /> xz<br /> y<br /> x  2z<br /> yz<br /> x<br /> P 2<br /> <br /> <br />  2<br /> <br /> <br /> xz<br /> z<br /> y  yz xz  yz x  z<br /> y<br /> 1 1<br /> 1<br /> yz<br /> x<br /> yz<br /> x<br /> 2z<br /> y<br /> 1<br /> y<br /> x<br /> <br />  z <br /> y<br /> x<br /> z<br /> 1<br /> 1 1<br /> z<br /> y<br /> x<br /> xz<br /> yz<br /> <br /> <br /> <br /> a2<br /> b2<br /> 1  2c 2<br />  2<br /> <br /> b2  1 a 1 1 c2<br /> <br /> trong đó ta ký hiệu: a 2 <br /> Chú ý : a 2 b 2 <br /> <br /> *<br /> <br /> x 2 y 2 z<br /> , b  , c  ( a , b, c  R  )<br /> y<br /> z<br /> x<br /> <br /> x 1<br /> <br />  1 do x  z<br /> z c2<br /> <br /> a2<br /> b2<br /> 2ab<br /> F<br />  2<br /> <br />  2<br /> 2<br /> 2<br /> b  1 a  1 ab  1 (b  1)(a  1)(ab  1)<br /> <br /> Trong đó F = a2(a2 + 1)(ab + 1) + b2(b2 + 1)(ab + 1) – 2ab(b2 + 1)(a2 + 1)<br /> = ab(a4 + b4 – 2ª2b2) + (a4 + b4 – a3b – ab3) + (a2 + b2 – 2ab)<br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản