Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Hậu Lộc 4

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD & ĐT THANH HÓA<br /> <br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> <br /> TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4<br /> <br /> NĂM HỌC 2015 – 2016<br /> MÔN THI: TOÁN - KHỐI 10<br /> ( Thời gian làm bài: 120 phút)<br /> <br /> 2<br /> Câu 1 (5.0 điểm). Cho hàm số y  x  2  m  1 x  4<br /> <br /> 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn<br /> <br /> x1  x2  4 .<br /> 2. Tìm m để y  0 với mọi x  1; 2  .<br /> Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:<br /> 1.<br /> <br />  x  5  2  x   3.<br /> <br /> x 2  3x<br /> <br /> 2.<br /> <br /> 2( x  1)<br />  x2 7<br /> x2<br /> <br /> 3.<br /> <br />  x2  y 2  1  2 y  x 2  x  1  3<br /> <br />  2<br /> 2<br />  x  x  y  y   1<br /> <br /> <br /> Câu 3 (2.0 điểm). Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :<br /> <br /> sin A <br /> <br /> sin B  2sin C<br /> 2 cos B  cosC<br /> <br /> Câu 4 (2.0 điểm). Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ,<br />    <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> QM. Chứng minh rằng: MB  NC  PD  QA  0<br /> Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường<br /> thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ;<br /> 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.<br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4  a  b  c   3abc<br /> chứng minh rằng:<br /> <br /> 1 1 1 3<br />    .<br /> a 3 b3 c 3 8<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10<br /> NĂM HỌC 2015- 2016<br /> Câu<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> 1<br /> (5đ)<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 2<br /> Cho hàm số y  x  2  m  1 x  4<br /> <br /> 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ<br /> x1 ; x2 thỏa mãn<br /> <br /> 3.0<br /> <br /> x1  x2  4 .<br /> <br /> 2<br /> xét phương trình: x  2  m  1 x  4  0 (*)<br /> <br /> để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa<br /> mãn<br /> <br /> x1  x2  4 trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> 2<br /> <br />  m  1  4  0<br /> '  0<br /> <br /> <br /> <br /> x1 ; x2  0  s  0  2  m  1  0<br /> p  0<br /> <br /> <br /> 4  0<br /> <br /> m  1<br /> <br />    m  3  m  1 ; theo định lí viet ta có:<br /> <br /> m  1<br /> <br /> <br />  x1  x2  2( m  1)<br /> <br />  x1. x2  4<br /> <br /> x1  x2  4  x1  x2  2 x1.x2  16  2(m  1)  4  16  m  5 (TM)<br /> 2. Tìm m để y  0 với mọi x  1; 2  .<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> 1.0<br /> 2.0<br /> <br /> để y  0 với mọi x  1; 2   đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với<br />  '  0<br /> <br /> mọi x  1; 2    y(1)  0<br />  y (2)  0<br /> <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> m  1<br />  m  1<br /> <br /> <br />   m  3<br />   m  3<br /> <br /> 3<br /> 3<br /> <br /> <br /> m<br /> 3  2m  0   m <br /> 2<br /> 2<br /> 4  4m  0<br /> <br /> <br /> m  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 1.<br /> <br />  x  5  2  x   3.<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> x 2  3x<br /> <br /> (8đ)<br /> <br /> 3.0<br /> Đk : x 2  3x  0<br /> 0.5<br /> pt  x 2  3 x  3. x 2  3 x  10  0<br /> đặt t  x 2  3 x ( đk t  0 ). Ta có phương trình: t 2  3t  10  0<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> t  2<br /> kết hợp với điều kiện ta được t = 2<br /> <br /> t  5<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> x  1<br /> (TM).<br />  x  4<br /> <br /> với t =2  x 2  3x  2  x 2  3x  4  0  <br /> 2.<br /> <br /> 2( x  1)<br />  x2 7<br /> x2<br /> <br /> Đk x > 2<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> 3.0<br /> 1.0<br /> <br /> bpt  2.  x  1  x  2  7. x  2  7. x  2  3 x  4<br /> vì x > 2 nên 2 vế đều dương, do đó<br /> x  6<br /> 2<br /> 2<br /> bpt  49( x  2)  9 x  24 x  16  9 x  73x  114  0   19<br /> x <br /> 9<br /> <br /> <br /> 1.0<br /> <br /> 19<br /> <br />  2  x  9  tập nghiệm của bpt là:<br /> kết hợp với đk ta được<br /> <br /> x  6<br /> <br /> S = ( 2;<br /> <br /> 19<br /> ) (6; )<br /> 9<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 3.<br /> <br />  x2  y 2  1  2 y  x 2  x  1  3<br /> <br />  2<br /> 2<br />  x  x  y  y   1<br /> <br /> ( x 2 y 2  2 x 2 y  x 2 )  2 y ( x  1)  3<br /> <br /> hpt  <br /> <br />  x( x  1) y ( y  1)  1<br /> <br /> 2.0<br /> <br />  ( xy  x ) 2  2( xy  y )  3<br /> <br />  ( xy  x )( xy  y )  1<br /> <br /> 0.5<br /> a  xy  x<br /> , ta có hệ:<br /> b  xy  y<br /> <br /> đặt <br /> <br /> 2<br /> <br /> a  2b  3<br /> <br /> ab  1<br /> <br />  2 2<br />  3<br /> (a  1)2 (a  2)  0<br />  a  a  3 a  3a  2  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> b  1<br /> b <br /> b <br /> a<br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> 0.5<br /> <br />  a  2<br /> a  1<br /> <br /> <br /> hoặc <br /> 1<br /> b  1<br /> b   2<br /> <br /> <br /> a  1  xy  x  1<br /> 1  5<br /> <br /> xy<br /> 2<br /> b  1  xy  y  1<br /> <br /> với <br /> <br /> 3<br /> <br />  a  2<br />  xy  x  2<br />  xy  x  2<br />  x ( x  2 )  x  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> với <br /> 1<br /> 1<br /> 3 <br /> b   2<br />  xy  y   2<br /> x  y   2<br /> y  x  3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2 x 2  5 x  4  0<br /> <br /> (vô nghiệm)<br /> <br /> 3<br /> y  x <br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :<br /> <br /> (2đ)<br /> <br /> sin A <br /> <br /> 2.0<br /> <br /> sin B  2sin C<br /> (1)<br /> 2 cos B  cosC<br /> <br /> Ta có: (1) <br /> a<br /> <br /> 2R<br /> <br /> b<br /> 2c<br /> <br />  a 2  c 2  b 2 a 2 b 2  c 2 <br /> 2 R 2R<br />  a<br /> <br />   b  2c<br /> a 2 c 2  b 2 a 2 b 2  c 2<br /> ac<br /> 2ab<br /> <br /> <br /> 2.<br /> <br /> 2ac<br /> 2ab<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />