Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> Đề thi có 01 trang<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2012-2013<br /> MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 CHUYÊN<br /> Ngày thi:31 /03/2013<br /> Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> Câu 1. (4 điểm)<br /> 1) Giải phương trình<br /> sin 2 x cos 2 x + 4sin x cos 2 x − 3sin 2 x − cos2 x − 2 cos x + 3 = 0,<br /> (x ∈ ℝ ).<br /> 2) Giải phương trình<br /> x − 1 + x + 7 + x 2 − 3 x − 2 = 0,<br /> (x ∈ ℝ ).<br /> Câu 2. (4 điểm)<br /> y<br /> <br /> + y2 = 0<br /> x +<br /> 2<br /> 1+ x + x<br /> <br /> 1) Giải hệ phương trình<br /> (x, y ∈ ℝ ).<br />  2<br />  x + 2 x 2 + 1 + y 2 = 3,<br />  y2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> 2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn: 1Cn + 2Cn + 3Cn + ... + nCnn = 128n.<br /> Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của<br /> f ( x) = 2(1 + x) n + x(2 + x) n +1 .<br /> Câu 3. (4 điểm)<br /> 1) Cho dãy số (un) được xác định như sau<br />  x1 = 1<br /> <br /> 1<br /> 2013 <br /> <br />  xn +1 = 2  xn + x  , n ≥ 1.<br /> n <br /> <br /> <br /> Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim xn .<br /> <br /> n →+∞<br /> <br /> 2) Tính giới hạn<br /> <br /> lim<br /> x →0<br /> <br /> 4 + x.3 1 + 2 x − 2<br /> .<br /> x<br /> <br /> Câu 4. (6 điểm)<br /> 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Đường thẳng chứa cạnh BD có<br /> phương trình: 2x + y – 1 = 0. Điểm M(6;-1) và điểm N(2;1) lần lượt nằm trên các đường thẳng (AB),<br /> (AD). Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết B có hoành độ dương.<br /> 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với<br /> mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Gọi N là trung điểm BC.<br /> a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN.<br /> b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DN.<br /> Câu 5. (2 điểm)<br /> Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng<br /> sin A + sin B + sin C<br /> ≤ 1.<br /> A<br /> B<br /> C<br /> cos + cos + cos<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> --------------------------------Hết------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:.................................................<br /> Giám thị 1: (Họ tên và ký).........................................................................................................<br /> Giám thị 2: (Họ tên và ký).........................................................................................................<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH<br /> NGÀY THI 31 /3/2013<br /> MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN<br /> Bản hướng dẫn chấm có 03 .trang<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Câu<br /> Câu I<br /> <br /> Phương pháp – Kết quả<br /> 1) Phương trình đã cho tương đương với<br /> sin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0<br /> ⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0<br /> ⇔ 2cos2x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0<br /> ⇔ (sin 2x - 1)(cos2 x + cos x - 2) = 0<br /> sin 2 x = 1<br /> π<br /> <br /> cos x = 1 ⇔  x = + kπ<br /> ⇔ <br /> 4<br /> <br /> cos x = −2<br />  x = k 2π<br /> <br /> <br /> ) (<br /> <br /> x −1 −1 +<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> 0,5<br /> <br /> 2) Điều kiên x ≥ 1<br /> Phương trình tương đương với<br /> <br /> (<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> )<br /> <br /> x + 7 − 3 + x2 − 3x + 2 = 0<br /> <br /> x−2<br /> x−2<br /> +<br /> + ( x − 1)( x − 2) = 0<br /> x −1 + 1<br /> x+7 +3<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> ⇔ ( x − 2) <br /> +<br /> + x − 1 = 0<br /> x+7 +3<br />  x −1 + 1<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> Vì x ≥ 1 nên<br /> +<br /> + x −1 > 0<br /> x −1 + 1<br /> x+7 +3<br /> Do đó (*) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.<br /> ⇔<br /> <br /> Câu II<br /> <br /> (*)<br /> <br /> 1) Điều kiện y ≠ 0.<br /> Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x + y ( x 2 + 1 − x) + y 2 = 0<br /> x<br /> + y + x2 + 1 − x = 0<br /> y<br /> x<br /> ⇔ x2 + 1 = x − ( + y)<br /> y<br /> ⇔<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được<br /> <br />  x<br /> <br /> x2<br /> + 2  x −  + y  + y 2 = 3<br /> 2<br /> y<br /> <br />  y<br /> 2<br /> <br /> x<br /> <br /> x<br /> <br /> ⇔  + y  − 2 + y  = 3<br /> y<br /> <br /> y<br /> <br /> x<br />  y + y = −1<br /> ⇔<br /> x<br /> y + y=3<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ( 3)<br /> <br /> thay vào<br /> <br /> giải ra ta có nghiệm (x, y) = (0, -1).<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> 2) Chứng minh được 1Cn + 2Cn + 3Cn + ... + nCnn = n.2n −1<br /> Từ đó suy ra 2n – 1 = 128 ⇔ n = 8.<br /> <br /> 8<br /> <br /> i =0<br /> <br /> Vậy f ( x) = 2(1 + x)8 + x(2 + x)9 = ∑ 2C8k x k + ∑ C9i 29 −i xi +1<br /> <br /> Câu<br /> III<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 9<br /> <br /> k =0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Từ đó tìm được hệ số cần tìm là 2C86 + C95 .2 4 = 2072.<br /> 1) Dễ thấy xn > 0 với mọi n<br /> 1<br /> 2013  1<br /> 2013<br /> Ta có xn +1 =  xn +<br /> = 2013<br />  ≥ .2 xn .<br /> xn  2<br /> xn<br /> 2<br /> 2013 với mọi n ≥ 1.nên (xn) là dãy bị chăn dưới<br /> 2<br /> 2013 − xn<br /> 1 2013<br /> − xn ) =<br /> ≤ 0 vì xn ≥ 2013 , ∀n ≥ 2<br /> Mặt khác xn +1 − xn = (<br /> 2 xn<br /> 2 xn<br /> Do đó dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ 3.<br /> Từ đó suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn.<br /> 1<br /> 2013 <br /> 2013<br /> Đặt a = lim xn suy ra a =  a +<br /> ⇔ a = ± 2013<br /> ⇔a=<br /> n →+∞<br /> 2<br /> a <br /> a<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Do đó xn ≥<br /> <br /> Suy ra lim xn =<br /> n →+∞<br /> <br /> 2) Ta có lim<br /> x →0<br /> <br /> 2013 vì xn > 0 với mọi n.<br /> <br /> 4 + x.3 1 + 2x − 2<br /> 4 + x .( 3 1 + 2 x − 1) + 4 + x − 2<br /> = lim<br /> x →0<br /> x<br /> x<br />  4 + x .( 3 1 + 2 x − 1)<br /> 4+ x −2<br /> = lim <br /> +<br /> <br /> <br /> x →0 <br /> x<br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 4+ x<br /> 1<br /> <br /> = lim <br /> +<br /> x →0  3<br /> <br /> 4+ x +2<br /> (1 + 2 x) 2 + 3 1 + 2 x + 1<br /> <br /> 4 1 19<br /> = + = .<br /> 3 4 12<br /> Câu<br /> IV<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1) Gọi n(a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.<br /> Vì góc giữa AB và BD bằng 450 nên ta có<br /> <br /> 2<br /> | 2a + b |<br /> =<br /> ⇔ 3a 2 + 8ab − 3b 2 = 0<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 5(a + b )<br />  a = −3b<br /> ⇔ <br /> a = b<br /> 3<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> TH1: a = - 3b, chọn b = -1, a = 3<br /> Lập được phương trình (AB): 3x – y – 19 = 0<br /> (AD): x + 3y – 5 = 0.<br /> Từ đó tìm được A(<br /> TH2: a =<br /> <br /> 31 2<br /> 13 24<br /> 2 9<br /> ; − ), B (4; −7), C (− ; − ), D(− ; )<br /> 5 5<br /> 5<br /> 5<br /> 5 5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> b<br /> , chọn b = 3, a = 1<br /> 3<br /> <br /> Lập được phương trình (AB): x + 3y – 3 = 0<br /> Tìm được B(0; 1) (loại)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2) Góc giữa SB và (ABCD) là SBA = 600<br /> Từ đó tính được SA = a 3<br /> Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA ⇒ KL//SD và CK // AN<br /> Do đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK<br /> a 5<br /> a 11<br /> , KL = a, LC =<br /> Tính được CK =<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 5<br /> CK + KL − LC<br /> Do đó cos CKL =<br /> =−<br /> 2CK .KL<br /> 10<br /> 5<br /> .<br /> Suy ra cos α =<br /> 10<br /> 2) Dễ chứng minh được DN // (SBK)<br /> Do đó d(SB; DN) = d(D; (SBK))<br /> Mà AD cắt (SBK) tại K là trung điểm AD<br /> nên d(D; (SBK)) = d(A; (SBK)) := h.<br /> Tứ diện ABSK là tứ diện vuông nên<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> =<br /> +<br /> +<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> h<br /> AS<br /> AB<br /> AK 2<br /> a 3<br /> .<br /> Từ đó tìm được d(SB; DN) = h =<br /> 4<br /> <br /> Câu V<br /> <br /> Chứng minh được<br /> <br /> sin A + sin B ≤ 2 cos<br /> <br /> Từ đó chứng minh được<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> C<br /> 2<br /> <br /> sin A + sin B + sin C ≤ cos<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> <br /> A<br /> B<br /> C<br /> + cos + cos<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Suy ra điều phải chứng minh.<br /> Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.<br /> <br /> Lưu ý khi chấm bài:<br /> Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ.<br /> Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.<br /> <br /> 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br /> -<br /> <br /> Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn<br /> cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br /> Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải<br /> cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br /> Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br /> kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br /> <br /> -<br /> <br /> CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br /> -<br /> <br /> Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát,<br /> hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br /> thời gian tốt nhất để học.<br /> Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br /> <br /> + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý<br /> thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên<br /> cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn<br /> cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br /> + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này<br /> Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em<br /> thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm<br /> các dạng toán mới.<br /> <br /> HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br /> -<br /> <br /> -<br /> <br /> Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn<br /> cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt<br /> đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br /> Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động<br /> thời gian học tập của mình.<br /> Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian<br /> ngắn nhất.<br /> Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br /> nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br /> Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên<br /> toàn quốc.<br /> Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br /> trình học.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br />