Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2013 - 2014<br /> MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN<br /> Ngày thi: 29/3/2014<br /> Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> (Đề thi có 01 trang)<br /> Câu 1 ( 4, 0 điểm)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1) Giải phương trình 3  4sin 2 x 3  4sin 2 3x  1  2cos10 x.<br /> <br />  2  x  2 y2<br /> <br /> 2) Giải hệ phương trình <br /> 2<br /> 4 1  x  xy 4  y  0.<br /> <br /> Câu 2 ( 6, 0 điểm)<br /> 1) Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống. Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn<br /> bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và<br /> một toa không có khách nào lên tầu.<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển f ( x)    x  x 2  (2 x  1)15 thành đa thức.<br /> 4<br /> <br /> 13<br /> <br /> 3) Cho các số thực dương a, b  a  b  và hai dãy số un  ;vn  xác định như sau:<br /> <br /> u1  a ; v1  b<br /> <br /> <br /> un  vn<br /> un 1  2 ; vn 1  un .vn ,  n <br /> <br /> <br /> *<br /> <br /> .<br /> <br /> Chứng minh rằng hai dãy un  ;vn  có giới hạn hữu hạn và lim un  lim vn .<br /> Câu 3 ( 2, 0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2a  4b  11c  0 . Chứng minh rằng phương trình<br /> <br /> ax2  bx  c  0 luôn có nghiệm thuộc khoảng  0;1 .<br /> Câu 4 ( 6, 0 điểm)<br /> 1) Cho đường thẳng  có phương trình x  y  3  0 và đường tròn  C  : x  2    y  1  1 . Tìm tọa<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> độ điểm M nằm trên đường thẳng  sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm ) và<br /> đường thẳng AB đi qua điểm E  3;-2  .<br /> 2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB  AD = a ; AA '=<br /> <br /> a 3<br /> ; BAD  600. Gọi M và N lần lượt là<br /> 2<br /> <br /> trung điểm của A'D' và A'B', E là giao điểm của MN và A'C'.<br /> a) Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng BE và mặt phẳng (ACC'A').<br /> b) Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).<br /> Câu 5 ( 2, 0 điểm). Cho x, y <br /> <br /> thỏa mãn<br /> <br /> x  4  y 8 <br /> <br /> x y<br /> . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất<br /> 3<br /> <br /> của S  x  y .<br /> ------ HẾT -----Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm<br /> Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:..................................<br /> Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................<br /> Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> <br /> HDC ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN<br /> (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)<br /> <br /> NGÀY THI 29/3/2014<br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> <br /> Câu<br /> Câu 1<br /> Xét sin x<br /> <br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> k ,k<br /> <br /> Xét sin x<br /> <br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> k ,k<br /> <br /> Điểm<br /> (4đ)<br /> <br /> . Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn.<br /> (*).<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Nhân hai vế của phương trình đã cho với sin x<br /> Phương trình tương đương với<br /> sin 9 x sin x 2 cos10x sin x<br /> x<br /> <br /> 1.1.<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> cos 6x sin 5x<br /> <br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> m<br /> <br /> sin11x<br /> <br /> 5<br /> <br /> sin x<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> , m, n<br /> n<br /> <br /> 12<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 6<br /> <br /> Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là<br /> <br /> x<br /> <br /> m<br /> <br /> x<br /> <br /> m<br /> <br /> 5k; m, n, k<br /> <br /> 5<br /> <br /> 12<br /> <br /> ,<br /> n<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 6<br /> <br /> .<br /> <br />  2  x  2 y  2 (1)<br /> <br /> <br /> 2<br /> 4 1  x  xy 4  y  0 (2).<br /> <br /> x<br /> 1 2y<br /> thỏa mãn.<br /> <br /> 2<br /> x<br /> <br /> 2<br /> 1.2<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> Xét f t<br /> <br /> 0;<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> t 4<br /> 2<br /> x<br /> <br /> Thay vào (1) 2<br /> <br /> g<br /> <br /> 2<br /> <br /> KL x ; y<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> y2<br /> <br /> 0 nên y<br /> <br /> y<br /> <br /> 4<br /> <br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2<br /> <br /> , chứng minh được f (t ) đồng biến trên<br /> 4<br /> .<br /> y2<br /> <br /> 2y 2 . Xét g t<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> t2<br /> <br /> 2t<br /> <br /> 2<br /> <br /> nghịch biến trên<br /> <br /> 2 và từ đó x = 1.<br /> <br /> ;0<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> 1; 2 .<br /> <br /> (6đ)<br /> <br /> Câu 2<br /> 2.1<br /> <br /> 0 ; và x = 0 không<br /> <br /> 2<br /> <br /> t 2 trên 0;<br /> y<br /> <br /> 0. Kết hợp (2) được x<br /> <br /> Gọi A là biến cố cần tính xác suất.<br /> Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là | | 45<br /> Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là C 53<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 10 .<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 1<br /> Số cách chọn một toa để xếp ba người này là C 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> Số cách xếp hai người (mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là A2<br /> 3<br /> Suy ra |<br /> <br /> | 10.4.6<br /> <br /> A<br /> <br /> 240<br /> |<br /> <br /> Vậy xác suất cần tìm là P<br /> <br /> 2.2<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> 21<br /> <br /> 2x )21<br /> <br /> Ta có (1<br /> <br /> |<br /> <br /> A<br /> <br /> |<br /> <br /> 240<br /> 45<br /> <br /> |<br /> <br /> 1<br /> (2x+1)6 .(2x+1)15<br /> 64<br /> <br /> Ta có f (x )<br /> <br /> 6<br /> <br /> 15<br /> .<br /> 64<br /> <br /> 1<br /> (1<br /> 64<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2x)21 .<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> k<br /> C 21 2k x k<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> k 0<br /> <br /> 13<br /> Hệ số của số hạng chứa x 13 trong khai triển của (2x+1)21 là C 21 213<br /> <br /> Vậy hệ số của số hạng chứa x 13 trong khai triển thành đa thức của f (x ) là<br /> 1 13 13<br /> 13<br /> C 21 2<br /> C 21 27 26046720<br /> 64<br /> Ta có<br /> v2<br /> <br /> u1v1<br /> u1<br /> <br /> u2<br /> <br /> ab<br /> v1<br /> <br /> b<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> uk<br /> <br /> uk<br /> vk<br /> <br /> 2.3<br /> <br /> uk v k<br /> <br /> 1<br /> <br /> v1<br /> <br /> v2<br /> <br /> uk<br /> 1<br /> <br /> vk<br /> <br /> u1<br /> <br /> vk (do uk<br /> <br /> 1<br /> <br /> u2<br /> 1<br /> <br /> ...<br /> <br /> uk<br /> <br /> vk 1 )<br /> <br /> vk<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> uk .<br /> <br /> 2<br /> <br /> ...<br /> <br /> vk ;<br /> <br /> vk ;<br /> vk<br /> 1<br /> <br /> uk<br /> <br /> 1<br /> <br /> uk<br /> <br /> ...u1 .<br /> <br /> Vậy (un ) giảm và bị chặn dưới; (vn ) tăng và bị chặn trên nên tồn tại<br /> lim un<br /> <br /> un<br /> <br /> un<br /> 1<br /> <br /> vn<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy lim un<br /> <br /> Xét f (x )<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> lim vn<br /> <br /> ;<br /> <br /> .<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> lim vn<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> u1<br /> <br /> ...<br /> <br /> uk 1.vk<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> uk<br /> <br /> vk<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> v1<br /> a<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> Chứng minh bằng quy nạp v1 v2<br /> <br /> Câu 3<br /> ax<br /> <br /> bx<br /> <br /> c liên tục trên đoạn [0; 1].<br /> <br /> (2 đ)<br /> 0.5<br /> <br /> 1<br /> f (1) 2a+4b+11c=0<br /> 3<br /> 1<br /> f (1) 0 thì x = 1/3 là nghiệm thỏa mãn.<br /> Nếu f (0) 9 f<br /> 3<br /> 1<br /> ; f (1) không đồng thời bằng 0 thì trong ba số này phải có cả số<br /> Nếu f (0);9 f<br /> 3<br /> âm và số dương.<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Từ tính liên tục của f(x) ta được phương trình ax2  bx  c  0 luôn có nghiệm<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Ta có f (0)<br /> 2.0 điểm<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 9f<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> thuộc khoảng  0;1 .<br /> (6đ)<br /> <br /> Câu 4<br /> Đường tròn (C) có tâm I(2; 1).<br /> Gọi M(2m ; 2m + 3) thuộc . Trung điểm của IM là E(m+1; m+ 2).<br /> Đường tròn đường kính MI có phương trình<br /> 2<br /> 2<br /> (C1 ) : x (m 1)<br /> y (m 2)<br /> (m 1)2 (m 1)2<br /> 4.1<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> Lập luận {A, B}<br /> <br /> C1<br /> <br /> 2(m<br /> <br /> 1)y<br /> <br /> 1)x<br /> <br /> 2(m<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> (C ) nên đường thẳng AB:<br /> 6m<br /> <br /> 1<br /> <br /> Vì AB đi qua E nên từ (*) suy ra m<br /> <br /> 0.<br /> <br /> (*)<br /> 9<br /> . Suy ra M<br /> 4<br /> <br /> 0.5<br /> 9<br /> ;<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> .<br /> 2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> A<br /> B<br /> O<br /> F<br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> A'<br /> N<br /> <br /> B'<br /> <br /> E<br /> <br /> 4.2a<br /> <br /> M<br /> <br /> O'<br /> <br /> (2 .0 điểm)<br /> D'<br /> <br /> C'<br /> <br /> Gọi O là giao điểm của AC và BD<br /> Suy ra AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết.<br /> BD (ACC'A') . Vậy OE là hình chiếu của BE trên mặt phẳng (ACC'A').<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Góc (BE, (ACC'A')) = góc (BE, OE) = góc BEO.<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Xét tam giác EOO' vuông tại O', tính được EO<br /> <br /> a 15<br /> .<br /> 4<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2 15<br /> .<br /> 15<br /> 15<br /> Vậy cosin của góc giữa đường thẳng BE và (ACC'A') là<br /> .<br /> 19<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Theo chứng minh trên ta có BD vuông góc AC' (1)<br /> Gọi O' là trung điểm của A'C'; I là giao điểm của OO' và AC'.<br /> Xét tam giác ACC' và tam giác EOO' có CAC ' EOO' 300 ; AIO<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Trong tam giác BEO vuông tại O. Tính được tan BEO=<br /> <br /> 4.2b<br /> (2.0 điểm)<br /> <br /> Từ đó chứng minh được EO vuông góc với AC' (2)<br /> Từ (1) và (2) suy ra AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).<br /> <br /> Câu 5<br /> <br /> 600<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> 0.5<br /> (2đ)<br /> <br /> Đặt a<br /> <br /> x<br /> <br /> a<br /> <br /> 4;b<br /> <br /> b<br /> <br /> Suy ra<br /> <br /> a2<br /> <br /> b2<br /> <br /> y<br /> <br /> S<br /> 3<br /> <br /> a<br /> S<br /> <br /> 4<br /> <br /> Từ (*) và do a, b<br /> <br /> 0 nên<br /> <br /> Giải (**) được 6<br /> <br /> 2.0 điểm<br /> <br /> 8 (a,b<br /> <br /> S<br /> <br /> S<br /> 3<br /> <br /> b<br /> S2<br /> <br /> ab<br /> S<br /> 3<br /> S2<br /> <br /> 0).<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 9S+36<br /> 18<br /> <br /> (*)<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 9S+36<br /> (**)<br /> 0<br /> 18<br /> 2<br /> S<br /> S 2 9S+36<br /> 4<br /> 3<br /> 18<br /> <br /> 12 .<br /> <br /> Vậy Smin 6 khi a = b = 1 hay x = -3; y = 9.<br /> Smax 12 khi a = b = 2 hay x = 0; y = 12.<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Lưu ý khi chấm bài:<br /> - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.<br /> Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.<br /> - Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần<br /> tương ứng.<br /> <br />