CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014

TRƯỜNG THPT TÂN KỲ MÔN : TOÁN – KHỐI 11

x

1)(2

co

s 2

x

2sin

 x m

  ) 1 2

cos x 2

Thời gian: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC

(Với m là tham

Câu 1.(3 điểm) Cho phương trình: (2sin số)

 0;

Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 

sin

A

Câu 2 . (4 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.

cos sin

B cosC C B sin

 

2

2

2

A

sin

sin

B

a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu :

M

2

2

sin C 2 cos A cos B cos C

 

 

4

2

4

4

x

2

11

x

4

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình:

 x

 

Câu 4: (2 điểm) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011.

 

... C .C

C

0 C .C 5

k 2011

1 C .C 5

 k 1 2011

5 5

 k 5 2011

k 2016

2

*

 n N

u

Chứng minh rằng: .

2 n

n

1

n

 u 2012 2013

 u 1   u   

n

u

i

S

n

Câu 5. (2 điểm) Cho dãy {un} xác định bởi:

n



1

Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: . Tìm lim n S

 u 1

i

i

1

Trang | 1

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

3

n

1

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

*  Zn

28 n n 3

2

2

2

x

y

2 13 

(

x

6)

y

25

Câu 6: (2 điểm) Tìm sao cho phần nguyên của là một số nguyên tố.

. Câu7.(2 điểm) Trong mp Oxy cho hai đường tròn (C1) : , (C2) :

Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

Câu 8: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c.

.Chứng minh rằng:

2

1 2 2 a b

1 2 2 b c

1 2 c a

9 2 S

(S là diện tích toàn phần của tứ diện)

Trang | 2

---------- Hết ----------

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu Lời giải Điểm

x

1)(2

co

s 2

x m

   1) 0

sin

x

    

x

x

0;

0.5 Câu1 Phương trình đã cho tương đương với : (2sin

 

1 2

 6

 5 6

Với

0; thì phương trình :

1.0

1

cos x 2

x

;

x

Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc 

 m 2

  5 6

 6

vô nghiệm hoặc có hai nghiệm .

1.0 Từ đó ta được m <-1v m >3 v m =0 .

sin

A

0.5

cos sin

B cosC C B sin

 

a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu :

sin

2

sin

A

2sin

cos .

cos 2

  1

cos

A

  0

Câu 2

cos sin

B cosC C B sin

 

A 2

A 2

A 2

cos

Từ

A 2 A 2

1.0

 là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A.

2

2

2

2

2

2

B

A

sin

sin

A

sin

sin

B

1.0

M

   M

1

1

2

2

2

2

 

 

sin C 2 cos A cos B cos C

 

 

2

2

M

  1

2 cos A cos B cos C

b,

2

2

sin C 2 cos A cos B cos C 3 2 cos A cos B cos C

3 

1

M

0

2 cos C

cos

C cos A B (

.

) 1

 

1

. Biến đổi về

2

2

  

0

  

cos A B (

 ) 4 1

cos A B (

 ) 1

M 3 

1

M

3  M

1

3    

  

 4 1  

  

  1

  

M

3

3 

1

M

1 4

0.5

Trang | 3

0.5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

2

cos A B (

 ) 1

0

M

  3

 

A B C

60

cos

C

cos A B (

)

    

1 2

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều. 0.5

2

4

4

4

x

2

11

x

4

Rx 

0.5

Câu 3: Giải phương trình: ĐK:

 x

2

4

4

x

2

4

2

2

2

2

2

x

2

11

2

x

2

2

x

2

0.5

 x 

 x 2

2

 

 x

 x

2

 4   x 32 t 6 

t 11

 2

x 11   x (*)0

2

t

0

2

x x

 

2 2

x x

 

2 2

Với

0.5

2

2

7

5

2

t

 2



3

4

x

10

x

 0

6

x

Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầu 0.5

2

2

 3

x x

 

2 2

x x

 

2 2

x x

 

2 2

x x

 

2 2

Nên

0.5

0.5

Trang | 4

0.5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Câu 4 Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011.

 

 

... C .C

C

0 C .C 5

k 2011

1 C .C 5

 k 1 2011

5 5

 k 5 2011

k 2016

5

2011

2016

Chứng minh rằng:

 1 x

 1 x

 

   1 x

2

4

5

3  C x C x

   M 1 x

5

1 1 C C x C x 5

2 5

0 5

4 5

3 5

5 C x 5

; và Dễ thấy 

1

k

C

 

 

   N 1 x

2011

0 2011

1 C x 2011

k ... C x 2011

2011 2011 . ... C x 2011

k

2016

P

C

  C x ... C x

 

... C x

.

   1 x

2016

0 2016

1 2016

k 2016

2016 2016

k

0.5

kx trong P là

2016C

k

1 5

 4 4 k 4 k 4  C x C x 2011 5

Ta có hệ số của .

0 k 5 2011 nên

kx trong M.N là :  3 3 k 3 k 3  C x C x 2011 5  C

0.5 5 5 k 5 k 5   C x C x 2011 5

k 2011

 k 5 2011

 k 1 2011

k 2016

Vì P M.N  k 1 k 1   C .C x C xC x 2011 0 1 C .C C .C 5 5 , mà số hạng chứa  2 2 k 2 k 2   C x C x 5 2011 5   ... C .C 5 0.5

0.5

Tacó:

u

u

u

2 n

n

n

n

2 n

u

n

 1

u 2013 2013

 u 2012 2013   1

*

u

(*)

;

 n N

n

2

u

.........

u

u

........

 u u n n 2013    u 1

u 1

2

n

n

 1

Câu 5

Suy ra un là dãy tăng

u

L

(

L

2)

n

n

1

1)

1)

)

u

. Từ Giả sử un bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho lim 

  L

L

n

 1

n

u lim(  n

lim  n

lim  n

 u u ( n n 2013

0

 L L ( 2013

L      L

(*) ta có: (vô lý)

u

  

 0

0.5

n

lim  n

lim  n

1 u n

Trang | 5

 un không bị chặn trên. Suy ra

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

u

1)

2 n

n

u

u

n

 1

n

 u 2012 2013

 u u ( n n 2013 u )

  1)

u 2013(

2013

u

   1

 1

n

u u ( n

n

n

 1

n

 1

u n

 

 

u

1

2013

2013

  u n

u n u

 1 1   1

n 

1

u

1 

1

u

1

n

n

 1

n

u n

 1

  

   1  

  

  

Mặt khác :

Cho n

  1

2013

2013 1

u 1 

1

1 

1

1 

1

u

1 

1

u 2

2

u 1

u 2

  

  

  

  

2013

u 2 

u

1

1 

1

1 

1

u

3

u 3

2

  

  

0.5

u

1

2013

n 

1

u

1 

1

u

u

1

n

 1

n

n

 1

  

  

Tương tự

n

Cộng vế theo vế ta được :

u

1

1

S

2013 1

S

2013

n

n

lim  n

lim 2013 1  n

i 

1

u

u

1

u

1

i

 1

i

 1

n

 1

n

 1

  

  

  

  

Trang | 6

0.5 

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

0.5

Gọi S là tập hợp các số nguyên tố Câu 6

k 3n

2

2

k 3

k 8

A

1 k 9

2

n 3  k 3

n 8 3 

k 8

1 n 3  k

k 3

8

 A

     3 1

S

n

k

 A

Trường hợp 1:

n

k 3

 1

2

Trường hợp 2:

2

2

k 3

A

k 8

2

k

k 3

10

k

  3

8   3

1 n 3

1 n 3

2

n 3  k 3

n 8 3 

1 3 n   k 3

10

k

A

1   3  k 3 3

 1

     

0

S

n

k

1

A

 

 

1.0

n

k 3

2

n

 1

2

2

A

k 3

4

k

k 8

k 3

12

k

  

6

2 3

1 n 3

2

k 3

12

4   3  

k

6 3

16 3 2 k

1 3 n k 4

S

 A

 

   2 

Trường hợp 3:

  

n

S

1;3 

0.5

 A

13

Kết luận: 

R  1

5

R  .

(C1) có tâm O(0;0),bán kính

2

(C2) có tâm I(6;0),bán kính

Trang | 7

Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Với A có tung độ dương nên A(2;3)

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0

d O d d ,

);

(

d I d ( ,

)

d 1

2

d

  

d

12

0.5 Gọi

2 R 2

2 2

2 R 1

2 d 1

2 2

2 d 1

Yêu cầu của bài toán trở thành:

2

2

2

  

12

b

3

ab

3

a

a (4 2 a

 

b 3 ) 2 b

a (2 2 a

 

b 3 ) 2 b

 b 0      0 b 

Câu 7

*b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0

*b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0 0.5

0.5

0.5

Trang | 8

0.5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

A

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Câu 8

G

D

E

C

B

0.5

F

0.5

*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4

0.5 *BĐT tương đương a2+b2+c2  9R2

2

2

2

2

2

2

 BC

 CA

 AB

  OC OB  (

)

  OA OC  (

)

  OB OA  ( )

*Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a2+b2+c2=

    .OB OC OCOA OAOB





=6R2-2( ) 0.5

29R

 =9R2-( OA OB OC 





 O trùng trọng tâm G tam giác

 *Dấu bằng xảy ra khi OA OB OC O  ABC  tam giác ABC đều  ABCD là tứ diện đều.

Trang | 9

)2

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU

- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên

môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học.

- Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM

-

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.

Trang | 10

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807