Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Trường THPT Tân Kỳ

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT NGHỆ AN<br /> <br /> KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014<br /> <br /> TRƯỜNG THPT TÂN KỲ<br /> <br /> MÔN : TOÁN – KHỐI 11<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Thời gian: 150 phút<br /> <br /> Câu 1.(3 điểm) Cho phương trình: (2sin x  1)(2co s 2 x  2sin x  m)  1  2cos 2 x (Với m là tham<br /> số)<br /> Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 0;  <br /> <br /> Câu 2 . (4 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.<br /> a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A <br /> <br /> b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M <br /> <br /> cos B  cosC<br /> sin B  sin C<br /> <br /> sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C<br /> cos 2 A  cos 2 B  cos 2C<br /> <br /> Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 4x 2  4 x  2   11 x 4  4<br /> <br /> Câu 4: (2 điểm) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5  k  2011.<br /> Chứng minh rằng:<br /> <br /> C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C k 5  Ck<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2016 .<br /> <br /> u1  2<br /> <br /> 2<br /> un  2012un<br /> Câu 5. (2 điểm) Cho dãy {un} xác định bởi: <br /> un 1 <br /> 2013<br /> <br /> n<br /> <br /> Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: S n <br /> <br /> <br /> i 1<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> ui<br /> u i 1  1<br /> <br /> .<br /> <br /> n N*<br /> <br /> Tìm lim Sn<br /> n <br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> n 3  8n 2  1<br /> Câu 6: (2 điểm) Tìm n  Z sao cho phần nguyên của<br /> là một số nguyên tố.<br /> 3n<br /> *<br /> <br /> <br /> Câu7.(2 điểm) Trong mp Oxy cho hai đường tròn (C1) : x 2  y 2  13 , (C2) : ( x  6)2  y 2  25 .<br /> Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A<br /> cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.<br /> <br /> Câu 8: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c.<br /> .Chứng minh rằng:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 9<br />  2 2 2 2 2<br /> a 2b 2 b c c a<br /> S<br /> <br /> (S là diện tích toàn phần của tứ diện)<br /> ---------- Hết ----------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM<br /> Câu<br /> Câu1<br /> <br /> Lời giải<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Phương trình đã cho tương đương với : (2sin x  1)(2co s 2 x  m  1)  0<br /> Với sin x <br /> <br /> 1<br /> <br /> 5<br /> x x<br />   0;  <br /> 2<br /> 6<br /> 6<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc 0;   thì phương trình :<br /> cos 2 x <br /> <br /> 1 m<br /> <br /> 5<br /> vô nghiệm hoặc có hai nghiệm x  ; x <br /> .<br /> 2<br /> 6<br /> 6<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Từ đó ta được m 3 v m =0 .<br /> <br /> 0.5<br /> a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A <br /> Câu 2<br /> <br /> cos B  cosC<br /> sin B  sin C<br /> <br /> A<br /> cos B  cosC<br /> A<br /> A sin 2<br /> A<br /> Từ sin A <br />  2sin .cos <br />  2cos 2  1  cos A  0 <br /> sin B  sin C<br /> 2<br /> 2 cos A<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Â là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A.<br /> <br /> 1.0<br /> sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C<br /> sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C<br /> b, M <br />  M 1 <br /> 1<br /> cos 2 A  cos 2 B  cos 2C<br /> cos 2 A  cos 2 B  cos 2C<br /> 3<br /> 3<br /> M 1 <br />  cos 2 A  cos 2 B  cos 2C <br /> . Biến đổi về<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> cos A  cos B  cos C<br /> M 1<br /> <br /> 3<br /> 0<br /> M 1<br /> 3 <br /> 3 <br /> <br /> <br /> 2<br />    cos 2 ( A  B )  4  1 <br />   0  4 1 <br />   cos ( A  B)  1<br />  M 1<br />  M 1 <br /> 3<br /> 1<br />  1<br />   M 3<br /> M 1 4<br /> cos 2 C  cos C .cos( A  B)  1 <br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> cos 2 ( A  B)  1<br /> <br /> M 3 <br />  A  B  C  600<br /> 1<br /> cos C  cos( A  B)<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều.<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Câu 3:<br /> <br /> Giải phương trình: 4x 2  4 x  2   11 x 4  4 ĐK: x  R<br /> <br /> <br /> <br /> 0.5<br /> <br /> <br /> <br /> 4 x 2  4 x  2  11 x 4  4<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2 3 x 2  2 x  2  x 2  2 x  2  11 x 2  2 x  2 x 2  2 x  2<br /> <br /> <br /> <br />  6t 2  11t  2  0(*)<br /> <br /> Với t <br /> <br /> x 2  2x  2<br /> 0<br /> x 2  2x  2<br /> <br /> Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầu<br /> Nên t <br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> x 2  2x  2<br /> x 2  2x  2<br /> 5 7<br /> 2 2<br />  4  3 x 2  10 x  6  0  x <br /> 2<br /> 3<br /> x  2x  2<br /> x  2x  2<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> Câu 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5  k  2011.<br /> Chứng minh rằng:<br /> 5<br /> <br /> Dễ thấy 1  x  1  x <br /> <br /> 2011<br /> <br /> C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C k 5  Ck<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2016<br /> <br />  1  x <br /> <br /> 2016<br /> <br /> ; và<br /> <br /> 5<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> 4<br /> M  1  x   C0  C1 x1  C5 x 2  C5 x 3  C5 x 4  C5 x 5<br /> 5<br /> 5<br /> 5<br /> <br /> N  1  x <br /> <br /> 2011<br /> <br /> k<br /> 2011<br />  C0  C1 x1  ...  C2011x k  ...  C2011x 2011.<br /> 2011<br /> 2011<br /> <br /> 2016<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2016<br />  C0  C1 x  ...  Ck x k  ...  C2016 x 2016 .<br /> 2016<br /> 2016<br /> 2016<br /> <br /> P  1  x <br /> <br /> Ta có hệ số của x k trong P là Ck .<br /> 2016<br /> Vì P  M.N , mà số hạng chứa x k trong M.N là :<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 2<br /> 4<br /> C0.Ck xk C1xCk1 xk1 C5x2Ck2 xk2 C3x3Ck3 xk3 C5x4Ck4 xk4 C5x5Ck5 xk5<br /> 5 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> <br /> nên C0 .C k  C1 .C k 1  ...  C5 .C k 5  Ck<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 5<br /> 2011<br /> 2016<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> Tacó:<br /> Câu 5<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> un  2012un un  2013un  un<br /> <br /> 2013<br /> 2013<br /> u  u  1<br />  n n<br />  un (*) ; n  N *<br /> 2013<br /> u1  2  u1  u2  .........  un  un 1  ........<br /> <br /> un1 <br /> <br /> Suy ra un là dãy tăng<br /> Giả sử un bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho lim un  L ( L  2) . Từ<br /> n <br /> <br /> L  1<br /> un (un  1)<br /> L( L  1)<br /> (vô lý)<br />  lim un  L <br /> L <br /> n<br /> n <br /> 2013<br /> 2013<br /> L  0<br /> 0.5<br /> <br /> (*) ta có: lim(un1 )  lim<br /> n <br /> <br />  un không bị chặn trên.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> n  u<br /> n<br /> <br /> Suy ra lim un    lim<br /> n <br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />