Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Đông Hưng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo “Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Đông Hưng” để bổ sung kiến thức, nâng cao tư duy và rèn luyện kỹ năng giải đề chuẩn bị thật tốt cho kì thi sắp tới các em nhé! Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Đông Hưng

UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 7 Đề chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 (4,0 điểm).  2 2 5  2022  0, 4 − 11 + 13 2,5 − 3 + 1, 25  a) Thực hiện phép tính sau A = : +  2023  1, 4 − 7 + 7 3,5 − 2 1 + 1,75   11 13 3  32023 − 4 32022 − 4 b) Cho B = và C = 2021 . Hãy so sánh B và C . 32022 − 1 3 −1 Câu 2 (4,0 điểm). 1 1 21 a) Tìm x , biết 3 : 4 − . 2x − 1  = .   2  3  22 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x − 2022 + x − 2023 Câu 3 (4,5 điểm). bz − cy cx − az ay − bx x y z a) Biết = = ( a, b, c ≠ 0 ). Chứng minh rằng = = . a b c a b c 1 1 b) Lúc ban đầu ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi bán đi số thóc ở kho I, số 5 6 1 thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho 11 có bao nhiêu tấn thóc? Câu 4 (6,5 điểm). 1. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA . a) Chứng minh rằng: AC = EB và AC / / BE. b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng. c) Từ B kẻ BP ⊥ AM , từ C kẻ CQ ⊥ AM (P, Q ∈ AE). Chứng minh AP + AQ = 2AM . 2. Cho tam giác ABC có BAC = 150 , ABC = 450 , trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính số đo ADC . Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng ab + bc + ca ≤ a 2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca). ------ Hết ------ Họ và tên thí sinh :……………………………..………..Số báo danh………………….
UBND HUYỆN ĐÔNG HƯNG HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 7 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM  2 2 5  2022  0, 4 − 11 + 13 2,5 − 3 + 1, 25  a) Thực hiện phép tính sau A = : +  2023  1, 4 − 7 + 7 3,5 − 2 1 + 1,75   11 13 3  3 −4 2023 3 −4 2022 b) Cho B = 2022 và C = 2021 . Hãy so sánh B và C . 3 −1 3 −1  2 2 5  2022  0, 4 − 11 + 13 2,5 − 3 + 1, 25  A= : +  2023  1, 4 − 7 + 7 3,5 − 2 1 + 1,75   11 13 3  2 2 2 5 5 5  2022  5 − 11 + 13 2 − 3 + 4  = : +  0,5 2023  7 − 7 + 7 7 − 2 1 + 7   5 11 13 2 3 4 a  1 1 1   1 1 1  2022  2.  5 − 11 + 13  5.  2 − 3 + 4   (2,0đ) = :  +   0,5 2023   1 1 1   1 1 1  7. − +  7.  − +    5 11 13     2 3 4   Câu 1 2022  2 5  (4,0 điểm) = : +  0,5 2023  7 7  2022 = 0,25 2023 2022 Vậy A = 0,25 2023 32023 − 4 32022 − 4 Cho B = và C = 2021 . Hãy so sánh B và C . 32022 − 1 3 −1 Ta có : 0,5 32023 − 4 1 32023 − 4 1 B = 2022  B = 2023 = 1 − 2023 3 −1 3 3 −3 3 −3 b (2,0đ) 3 −4 1 2022 3 −4 2022 1 C = 2021  C = 2022 = 1 − 2022 0,5 3 −1 3 3 −3 3 −3 1 1 Vì 32023 − 3 > 32022 − 3  < 0,5 3−3 3 −3 2023 2022 1 1 1 1  1 − 2023 > 1 − 2022  B> C 0,25 3 −3 3 −3 3 3 Vậy B > C 0,25 1 1 21 Câu 2 a) Tìm x , biết: 3 :  4 − . 2 x − 1  = .   2  3  22 (4,0 điểm) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x − 2022 + x − 2023
1 1 21 Tìm x , biết: 3 :  4 − . 2 x − 1  = .   2  3  22  1  1 21   4 − . 2x −1  = 3 :  3  2 22 0,5 1 11  4 − . 2 x −1 = 3 3 a 1 1 (2,0đ)  . 2 x −1 = 3 3 0,5  2x −1 = 1 2x + 1 = 1 2 x = 0 x = 0    0,75  2 x + 1 = −1  2 x = −2  x = −1 Vậy x ∈{0; −1} 0,25 Lưu ý : Học sinh làm thiếu một trường hợp cho 1,5 điểm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x − 2022 + x − 2023 Ta có : F = x − 2022 + x − 2023 0,5 = x − 2022 + 2023 − x b Vì x − 2022 ≥ x − 2022 dấu = có khi x − 2022 ≥ 0  x ≥ 2022 0,5 (2,0đ) 2023 − x ≥ 2023 − x dấu = có khi 2023 − x ≥ 0  x ≤ 2023 0,5 F = x − 2022 + 2023 − x ≥ x − 2022 + 2023 − x  F ≥ 1  x ≥ 2022 0,25 Dấu = có khi   2022 ≤ x ≤ 2023  x ≤ 2023 Vậy Min F = 1 khi 2022 ≤ x ≤ 2023 0,25 bz − cy cx − az ay − bx a) Biết = = ( a, b, c ≠ 0 ). a b c x y z Chứng minh rằng = = . a b c 1 b) Lúc ban đầu ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi bán đi số thóc ở 5 1 1 kho I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở ba 6 11 kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc? Câu 3 bz − cy cx − az ay − bx (4,5 điểm) Biết = = ( a, b, c ≠ 0 ). a b c x y z Chứng minh rằng = = . a b c a Từ giả thiết ta có a, b, c ≠ 0  a2 + b2 + c 2 ≠ 0 (2,0đ) bz − cy cx − az ay − bx a (bz − cy ) b(cx − az ) c(ay − bx) 0,5 = = = = = a b c a2 b2 c2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có a(bz − cy ) b(cx − az ) c(ay − bx) 0 0,5 = = = 2 =0 a 2 b 2 c 2 a + b2 + c 2
y z  bz − cy = 0  = b c z x x y Tương tự ta có = ; = 0,75 c a a b x y z  = = . a b c x y z Vậy = = . 0,25 a b c 1 Lúc ban đầu ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi bán đi số thóc ở kho 5 1 1 I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở ba kho 6 11 bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc? Gọi số thóc lúc đầu ở kho I, II, III lần lượt là x, y, z (tấn) 0,5  x + y + z = 710 Sau khi bán đi một số thóc thì số thóc còn lại ở ba kho I, II, III 4 5 10 0,75 còn lại lần lượt là x; y; z. (tấn) 5 6 11 Theo bài ra ta có : b 4 5 10 4 5 10 (2,5đ) x= y= z x= y= z 5 6 11 5.20 6.20 11.20 0,5 x y z x + y + z 710  = = = = = 10 25 20 22 71 71  x = 250; y = 240; z = 220 0,5 Vậy số thóc ở kho I, II, III lúc đầu lần lượt có 250 tấn, 240 0,25 tấn, 220 tấn. 1. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA . Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC / / BE. b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Câu 4 Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng. (6,5điểm) c) Từ B kẻ BP ⊥ AM , từ C kẻ CQ ⊥ AM (P, Q ∈ AE). Chứng minh AP + AQ = 2AM . 2. Cho tam giác ABC có BAC = 150 , ABC = 450 , trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính số đo ADC .
A I P B C M Q K E Xét ∆AMC và ∆EMB có: MA = ME ( gt ), AMC = EMB (đối đỉnh), MB = MC ( gt ) 1,0 1.a  ∆AMC = ∆EMB ( c.g.c ) (2,0đ)  AC = EB (hai cạnh tương ứng) 0,5 Vì ∆AMC = ∆EMB ( cmt )  MAC = MEB vì MAC ; MEB ở vị trí 0,5 so le trong nên AC / / BE. Xét ∆AMI và ∆EMK có : AM = EM ( gt ); MAI = MEK (∆AMC = ∆EMB); AI = EK ( gt ) 0,75 1.b  ∆AMI = ∆EMK (c.g.c)  AMI = EMK (1,5đ) Mà AMI + IME = 1800 (hai góc kề bù) 0,25  EMK + IME = 1800  IMK = 1800 0,25 Vậy ba điểm I , M , K thẳng hàng. 0,25 Xét ∆BMP và ∆CMQ có BPM = CQM = 900 ; MB = MC ( gt ); BMP = CMQ (đối đỉnh) 0,5 1.c  ∆BMP = ∆CMQ (ch − gn) (1,0đ)  MP = MQ 0,25 Ta có AP + AQ = AM − MP + AM + MQ = AM + AM = 2 AM 0,25 Vậy AP + AQ = 2 AM D 2 C (2,0đ) E F A B Kẻ DE ⊥ CA 0,5
Xét ∆ABC , có ACB = 1800 − 450 − 150 = 1200  ACD = 600 hay ECD = 600  EDC = 300 Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EC = EF . Ta chứng minh được ∆DCF đều 0,5 1  CE = CD  CE = CB 2  CBE = CEB = 300 = EDC  ∆EBD cân tại E 0,5  EBA = 15  ∆BEA cân tại E. 0  EA = EB = ED  ∆AED vuông cân 0,25  ADE = 45 0 Vậy ADB = ADE + EDB = 750 0,25 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : ab + bc + ca ≤ a 2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca). Ta có (a − b)2 ≥ 0  a 2 − 2ab + b2 ≥ 0  a 2 + b2 ≥ 2ab 0,25 Tương tự ta có b 2 + c 2 ≥ 2bc ; c 2 + a 2 ≥ 2ac  2(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + ac + bc ) Câu 5 0,25  a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc (1) (1,0 điểm) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác, ta có : a + b > c  ac + bc > c 2   0,25 a + c > b  ab + bc > b 2   a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + ac + bc) (2) b + c > a  ab + ac > a 2   Từ (1) và (2) ta có ab + bc + ca ≤ a 2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca). 0,25 Lưu ý : Học sinh làm cách khác đúng, lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa!