Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Gia Viễn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Gia Viễn" hỗ trợ các em học sinh hệ thống kiến thức cho học sinh, giúp các em vận dụng kiến thức đã được học để giải các bài tập được ra. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Gia Viễn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 7 THCS HUYỆN GIA VIỄN NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2023 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Họ và tên thí sinh :..............................................................Số báo danh ....................................... Họ và tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất: ............................................................................................ Giám thị thứ hai:............................................................................................... Câu 1 (4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 3 3 0,375 − 0,3 +− a) A = 7 . 5 + 7 .12 + −30 . b) B = 11 12 . 23 17 23 17 23 5 5 0, 625 − 0,5 + − 11 12 c) M =a + 3b + 2c, biết a + b = b + c = 8. 5; − Câu 2 (4,0 điểm) x y y z a) Tìm x, y, z biết: = = , và 2 x − 3 y + z = 6. − 3 4 3 5 b) Tìm số nguyên x, y biết 2 xy − x + y = 6. Câu 3 (4,0 điểm) a) Cho đa thức Q( x) = ax 2 + bx + 4c. Chứng minh rằng nếu đa thức Q( x) nhận 2 và -2 là nghiệm thì a và c là hai số đối nhau. (a − b) (c − d) 2023 2023 a c b) Cho = , với b ≠ 0, d ≠ 0; c ≠ d . Chứng minh rằng 2023 2023 = 2023 2023 . b d a −b c −d c) Chứng tỏ rằng tích của hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm 9 thì chia hết cho 4. Câu 4 (6,0 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), D là trung điểm của BC , trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA . Gọi H và K thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống đường thẳng AE , M là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC . a) Chứng minh BK = CH . b) Chứng minh CD > KM . c) Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại P và cắt BH tại N. Chứng minh ba điểm D, M, N thẳng hàng. d) Giả sử  = 360 , tia phân giác của  cắt AD tại F. Chứng minh tam giác CEF là ACB ACB tam giác cân. Câu 5 (2,0 điểm) a) Một cái hộp đựng 60 quả bóng giống nhau, gồm ba màu: màu đỏ, màu xanh và màu vàng. Trong đó có 18 quả bóng màu đỏ và 25 quả bóng màu vàng. Hỏi cần phải lấy ra ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu quả bóng để chắc chắn rằng lấy ra được 2 quả bóng xanh? 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 6. y − + x 2 − 4 x + 7. 8 -----------Hết-----------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 7 THCS NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán Ngày thi 30/3/2023 (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm a) (1,5 điểm) 7 5 7 12 −30 7  5 12  −30 0,5 a) A= . + . + = . +  + 23 17 23 17 23 23  17 17  23 7 −30 −23 1,0 =+ .1 == −1. 23 23 23 b) (1,5 điểm) Câu 1: 3 3 3 3 3 3 3.  1 − 1 + 1 − 1  0,375 − 0,3 + − (4,0 điểm) − + −   1,5 =b) B = 11 12 8 10 11 12 =  8 = 3. 10 11 12  5 5 5 5 5 5 1 1 1 1  5 0, 625 − 0,5 + − − + − 5.  − + −  11 12 8 10 11 12  8 10 11 12  c) (1,0 điểm) Ta có: M = + 3b + 2c = a + b ) + 2b + 2c a ( 02,5 M = (a + b) + 2 (b + c) 0,25 Thay a + b = b + c = 8 vào M = ( a + b ) + 2 ( b + c ) ta được: 5; − 0,5 M = 5 + 2 ( −8) = 5 + ( −16 ) = −11 a) (2,0 điểm) x y x y y z y z 0,5 a) = ⇒ = (1); = ⇒ = (2) 3 4 9 12 3 5 12 20 x y z 0,5 Từ (1) và (2) ta có = = . 9 12 20 x y z 2x 3y z 2x − 3y + z −6 0,5 = = = = = = = = −3 9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2 Tìm được x = -27; y =- 36; z = -60. 0,5 b) (2,0 điểm) 2 xy − x + y = ⇒ 4 xy − 2 x + 2 y = 12 ⇒ 2 x ( 2 y − 1) + ( 2 y − 1) = 12 − 1 6. Câu 2: 0,5 (4,0 điểm) ⇒ ( 2 x + 1)( 2 y − 1) = 11 ⇒ 2 y − 1;2 x + 1∈ Ư(11) ⇒ 2 y − 1;2 x + 1∈ {±1; ±11} 0,5 Giải tìm được 4 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: 1,0 ( 0;6 ) ; ( −1; −5) ; ( 5;1) ; ( −6;0 ). x+6 0,5 Cách 2: 2 xy − x + y = 6 ⇒ y ( 2 x + 1) = x + 6 ⇒ y = ∈Z 2x + 1 ⇒ x + 6( 2 x + 1) ⇒ 2 ( x + 6 ) − ( 2 x + 1)( 2 x + 1) ⇒ 11( 2 x + 1) 0,5
⇒ 2 x + 1∈ Ư(11) ⇒ 2 x + 1∈ {±1; ±11} 1,0 Giải tìm được 4 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: ( 0;6 ) ; ( −1; −5) ; ( 5;1) ; ( −6;0 ). a) (1,5 điểm) Vì Q( x) = ax 2 + bx + 4c nhận 2 và -2 là nghiệm nên 0,5 Q(2) 0; Q(−2) 0. = = Ta có: Q(2) = a.22 + b.2 + 4c = 4a + 2b + 4c = 0 0,5 Q(−2) = a.(−2) 2 + b.(−2) + 4c = 4a − 2b + 4c = 0 ⇒ 4a + 2b + 4c + 4a − 2b + 4c =0 ⇒ 8a + 8c =0 0,25 Câu 3: ⇒ 8(a + c) = 0 ⇒ a + c = 0 0,25 (4,0 điểm) ⇒ a và c là hai số đối nhau. b) (1,5 điểm) Với b ≠ 0, d ≠ 0; c ≠ d , thì a c a b a −b 0,5 = ⇒ = = (1) b d c d c−d a 2023 b 2023 ( a − b ) 2023 ⇒ 2023 = 2023 = (2) 0,5 (c − d ) 2023 c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a 2023 b 2023 ( a − b ) 2023 a 2023 − b 2023 = = 2023 = c 2023 d 2023 ( c − d ) c 2023 − d 2023 0,5 (a − b) (c − d ) 2023 2023 ⇒ = a 2023 − b 2023 c 2023 − d 2023 c) (1,0 điểm) Gọi hai số nguyên lẻ liên tiếp là 2a + 1 và 2a − 1 ( a ∈ Z ) 0,25 Tích của hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm 9 bằng: 0,25 ( 2a + 1)( 2a − 1) + 9 = 4a 2 − 2a + 2a − 1 + 9 0,25 = 4a 2 + 8 ( = 4. a2 + 2 4 ) Vậy tích của hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm 9 thì chia hết cho 4. 0,25
Câu 4: 0,5 (6,0 điểm) a) (1,5 điểm) Chứng minh ∆HBD = (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ HD = ∆KCD KD 0,75 Chứng minh ∆DBK = (c-g-c) ⇒ BK = ∆DCH CH 0,75 b) (2,0 điểm) Chứng minh: AM MC ⇒ ∆AMC cân tại M = 0,5 Chứng minh: ∆AMC cân tại M, có DM là đường cao nên đồng thời là trung 0,5 tuyến. Suy ra M là trung điểm của AC. 1 Xét ∆ACK vuông tại K, có KM là trung tuyến nên KM = AC (1) 2 0,5 1 Mà CD = BC (2) 2 Lại có ∆ABC vuông tại A ⇒ BC > AC (3) 0,5 Từ (1), (2) và (3) ⇒ CD > KM . c) (1,0 điểm) Chứng minh BE // AC 0,25 Xét ∆BEN có hai đường cao BP và EH cắt nhau tại D nên điểm D là trực 0,25 tâm của ∆BEN ⇒ ND ⊥ BE (4) Lại có DM ⊥ AC (gt) , mà BE // AC ⇒ NM ⊥ BE (5) 0,25 Từ (3), (4) và (5) suy ra ba điểm D, M, N thẳng hàng. 0,25 d) (1,0 điểm) ∆ABC vuông tại A,  = 360 nên ABC = 540 ACB  0,25 Có ∆ABD = ∆ECD ⇒  = ECD = 54O ABD  Do đó  =  + BCE = 90O ACE ACB  Từ ∆ABC = ⇒  = CAE = 36O ∆CEA ACB  0,25 Mặt khác, CF là phân giác  nên  DCF 18O ACB ACF  = = CFE là góc ngoài của ∆ACE nên CFE =  + EAC =180 + 360 = 54o   ACF  0,25    Tính được CEF = 54O ⇒ CEF = CFE = 54O ⇒ ∆CEF cân tại C. 0,25 a) (1,0 điểm) Số quả bóng màu xanh là: 60 - 18 - 25 = 17 (quả). 0,25
Trường hợp xấu nhất: Ta lấy ra được 25 quả bóng màu vàng, 18 bóng 0,5 màu đỏ và 1 quả bóng màu xanh. Khi đó, ta cần lấy thêm 1 quả bóng nữa thì chắc chắn có được 2 quả bóng màu xanh. Vậy cần lấy ít nhất là: 25 + 18 + 1 + 1 = 45 quả bóng để thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 b) (1,0 điểm) 1 Câu 5: Ta có: P= 6. y − + x 2 − 4 x + 7. (2,0 điểm) 8 1 0,25 6. y − ≥ 0, ∀y 8 x2 − 4x + 7 = x2 − 2x − 2x + 4 + 3 = x ( x − 2) − 2 ( x − 2) + 3 0,25 ( x − 2) .( x − 2) + 3 = ( x − 2) + 3 > 0, ∀x (vì ( x − 2 ) ≥ 0, ∀x ) 2 2 =  1 0,25 6. y − =  y = 1  0  ⇒ P ≥ 3, ∀x,y. Dấu “=” xảy ra khi:  8 ⇒ 8  x = 2 ( x − 2 ) =  2  0  1 0,25 y = Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3 khi  8 x = 2  Lưu ý: - Lời giải trong hướng dẫn chấm chỉ trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hoàn chỉnh, lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa. - Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng.