Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án - Phòng GD&ĐT Yên Định

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hãy tham khảo “Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án - Phòng GD&ĐT Yên Định” được chia sẻ dưới đây để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt điểm tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án - Phòng GD&ĐT Yên Định

UBND HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 7 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 26 tháng 3 năm 2024 Câu 1: (4 điểm) 1. Tính bằng cách hợp lí: a) A = 2000  4  24  5  20 b) B = 1  1 1  1 1  1  .... 1  1        2024 24 2024 7 24  3  4  5   2024 2. Tìm x, y biết:  2 x  6  2024  x 2  3 y  12  0 Câu 2: (4 điểm) y z 1. Tìm các số x, y, z biết 3x   và 9 x2  y 2  3z 2  60 4 5 2. Cho đa thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c (x là ẩn; a, b, c là hệ số). Biết rằng: f  0   2020 , f 1  2021 , f  1  2023 . Tính f  2  . Câu 3: (4 điểm) 1. Cho các số a,b,c,d thỏa mãn: abcd chia hết cho 3. Chứng minh rằng: a 3  b3  c3  d3 cũng chia hết cho 3 2. Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a; a+b; a+2b là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì b chia hết cho 6. Câu 5: (6 điểm) Cho  ABC c n t i , trên c nh BC l y điểm D (D không trùng với B và C), trên tia đối c a tia CB l y điểm E sao cho BD CE, qua D k đ ờng th ng vuông g c với BC cắt B t i M, qua E k đ ờng th ng vuông g c với BC cắt C t i N. 1. Chứng minh rằng: DM EN. 2. Chứng minh rằng đ ờng th ng BC cắt MN t i trung điểm c a MN. 3. Đ ờng th ng vuông g c với MN t i cắt tia ph n giác c a BAC t i O. OM 2  ON 2  MN 2 Chứng minh rằng:  OM .ON  ON .MN  MN.OM 2 Câu 6: (2 điểm) Chứng tỏ rằng: P  1   1  2  1  3  ... 1  2024  1 1 1 1      3  2  2  2   2  ---------------Hết----------------- Lưu ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………….SBD:…………………………….
H-íng dÉn chÊm m«n to¸n khèi 7 Biểu Câu Đáp án điểm 1. a) A = 2000  4  24  5  20 2024 24 2024 7 24 1 5 5 5  (1  1)   0   7 7 7 b) B = 1  1 1  1 1  1  .... 1  1         3  4  5   2024  4 5 6 2025 = . . ... 0.75 3 4 5 2024 2025 =  675 3 0.25 1 2. Tìm x; y biết:  2 x  6   x 2  3 y  12  0 2024 (4 điểm)  2 x  6 2024 0 0,25 Vì: mọi x,y x 2  3 y  12  0 0,25 Nên để:  2 x  6  2024  x 2  3 y  12  0 thì:  2 x  6 2024  0  x  3  x  3 0,5    2  2   x  3 y  12  0  x  3 y  12  0 9  3 y  12  0 0.5   0.5  x  3  x  3   0.5 9  3 y  12  0  y  1 0.5 Vậy: ( x, y) (3; 1),(3; 1) y z 1. Tìm các số x, y, z biết 3x   và 9 x2  y 2  3z 2  60 4 5  k x  3 y z  0.5 2 Đặt 3x    k   y  4k 4 5  z  5k (4 điểm)   0.75 k Mà: 9 x2  y 2  3z 2  60 nên: 9( )2  (4k )2  3(5k )2  60 0.75 3 Suy ra: 60k 2  60  k  1
 1  1 x  3 x  3   Với k 1 thì   y  4 Với k -1 thì:   y  4 z  5  z  5     1 Vậy :  x; y; z   ( ; 4;5), (  1  ; 4; 5)   3 3  2. Cho đa thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c (x là ẩn; a, b, c là hệ số). Biết rằng: f  0   2020 , f 1  2021 , f  1  2023 . Tính f  2  . Xét x = 0: f (0)  2020  c  2020 0.5 Xét x = 1: f (1)  2021 a  b  c  2021  a  b  1 (1) 0.5 Xét x = -1: f (1)  2023  a  b  c  2023  a  b  3 (2) Cộng vế (1) và (2) suy ra a 2 Thay a 2 vào (1) tìm đ ợc: b -1 0.5 Từ đ tìm đ ợc f  x   2x 2  x  2020 Suy ra: ( ) 0.5 1. Cho các số a,b,c,d thỏa mãn: abcd chia hết cho 3. Chứng minh rằng: a 3  b3  c3  d3 cũng chia hết cho 3 Vì abcd chia hết cho 3 nên a  b  c  d 3 0.5 Nên ta đi chứng minh: a 3  b3  c3  d3 3 Xét a 3  a  a(a2 1)  a(a  1)(a  1) 3 0.5 b3  b 3 T ơng tự: c3  c 3 d3  d 3 0.5 3 Nên (a 3  b3  c3  d3 )  (a  b  c  d ) 3 (4 điểm) Mà a  b  c  d 3 nên a 3  b3  c3  d3 3 0.5 Ta đ ợc điều phải chứng minh. 2. Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a; a+b; a+2b là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì b chia hết cho 6. . Vì a; a+b; a+2b là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên là các số l và không chia 0,25 hết cho 3: a + b - a = b là số chẵn nên chia hết cho 2 (1) 0,5
Mặt khác a; a+b; a+2b không chia hết cho 3 nên khi chia 3 số đ cho 3 sẽ d 1 0.25 hoặc 2 Suy ra khi chia 3 số đ cho 3 sẽ c 2 sô cùng d : 0.25 + Nếu a và a+b cùng d khi chia cho 3 thì a+b - a b chia hết cho 3 + Nếu a và a+2b cùng d khi chia cho 3 thì a+2b - a 2b chia hết cho 3 suy ra b chia hết cho 3 ( Vì (2,3) 1) + Nếu a+b và a+2b cùng d khi chia cho 3 thì (a+2b) - (a+b) b chia hết cho 3 0,5 Cả 3 tr ờng hợp ta đều c b chia hết cho 3 (2) 0,25 Từ (1) và (2 ) ta c b chia hết cho 6 ( Vì (2,3) =1) A M 1 I 1 C B 2 E D H O N 1. Ta có ̂ ̂ ̂ ̂ Nên ̂ ̂ 0.5 Xét hai tam giác MBD và tam giác NCE ta có : BD=CE; ̂ ̂; ̂ ̂ 0.75 4 (6 điểm) Suy ra: MDB  NEC  g.c.g   DM  EN (cặp c nh t ơng ứng) 0.75 2. MDI vuông t i D: DMI  MID  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) NEI vuông t i E: ENI  NIE  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI  ENI 0.75  MDI  NEI ( g.c.g )  IM  IN (cặp c nh t ơng ứng) 0.75 Vậy BC cắt MN t i điểm I là trung điểm c a MN 0.5 3. Đ ng th ng vu ng g c với MN t i I c t tia ph n giác c a BAC t i O
OM 2  ON 2  MN 2 Chứng minh rằng :  OM .ON  ON .MN  MN .OM 2 A Ta có :3 c nh OM, ON, MN t o thành OMN 0.25 Đặt OM a, ON b, MN c a 2  b2  c 2 0.25 Bài toán trở thành :  ab  bc  ca M 2 a  b  c  a 2  ab  ac 1 I 1 C 0.75 E Theo BĐT tam giác ta c : b  a  c  b  ab  bc 2 B D H 2 c  a  b  c 2  ac  bc 0.5 Từ đ ta c a 2  b2  c 2  2(ab  bc  ca) O N a 2  b2  c 2 0.25 Suy ra  ab  bc  ca 2 Chứng tỏ rằng: P  1   1  2  1  3  ... 1  2024   3 1 1 1 1        2  2  2 2    Ta có 2  2  2(n  N ) nn 0.25 1 1 1 1  n n  1 n  1 n 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n  1 n  0.5 Câu 6 2 2(2n  2) (2 điểm) Áp dụng vào P ta đ ợc : P = 1  1  2 1  3  ..... 1  2024  1 1 1 1        2  2  2   2  3 2 1 2 1 2 3 2 1 4 2 1 2024 0.75  . . . .... 2 2(2  1) 2(2  1) 2(2  1) 2(22023  1) 2 3 3 22024  1 22024  1 3  . 2023  3. 2024  3  2024  3 2 2 2 2 0.25