Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THCS Quảng Chính, Quảng Xương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

‘Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THCS Quảng Chính, Quảng Xương’ sau đây sẽ giúp bạn đọc nắm bắt được cấu trúc đề thi, từ đó có kế hoạch ôn tập và củng cố kiến thức một cách bài bản hơn, chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THCS Quảng Chính, Quảng Xương

UBND HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS QUẢNG CHÍNH NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1.(4.0điểm) 1) Thực hiện phép tính:  −5 9  −3  −4 8  −3 a) A =  +  : ( ) +  +  : ( )  9 15  2  9 20  2 8 4 5 4 6 .2 − 4 .18 b) B = 3 4 9 13 27 .8 − 3 .2 a 3 + b3 + c 3 2) Tính giá trị biểu thức Q = với a, b, c thỏa mãn: ( 3a − 2b ) + 4b − 3c ≤ 0 2 abc Bài 2. (4,0điểm) 1 4 2 1) Tìm x biết: x − + =( −3,2 ) + 3 5 5 2022  2 2) Tìm x, y, z biết ( 2x − 3) 2020 +y−  + x+y−z ≤0  5 x y y z 3) Tìm x; y; z biết= = ; và x + y − z =39 4 7 5 6 4) Ba thửa ruộng hình chữ nhật A, B , C có cùng diện tích. Chiều rộng các thửa ruộng A; B; C lần lượt tỉ lệ thuận với 4; 5; 6. Chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài của thửa ruộng B và C là 42 m. Tính chiều dài mỗi thửa ruộng? Bài 3 (4,0điểm) 1) Chứng minh rằng : 3a + 2b  17 ⇔ 10a + b  17 (a, b ∈ Z ) 2)Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn: x 2 − x ( y + 5 ) = y − 9 −4 Bài 4 (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC tại I. 1. Chứng minh DM = EN. 2. Chứng minh IM = IN, BC < MN. 3. Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng ∆BMO = . Từ đó suy ra điểm O cố định. ∆CNO 2) Bác Long có một căn phòng hình hộp chữ nhật có một cửa ra vào và một cửa sổ hình vuông với các kích thước như hình bên. Hỏi bác Long cần trả bao nhiêu chi phí để sơn bốn bức tường xung quanh của căn phòng này (không sơn cửa)? Biết rằng để sơn mỗi mét vuông tốn 30 nghìn đồng. Bài 5.(1,0điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ca ) …….Hết……. Họ và tên thí sinh……………………………………. Số báo danh…………………
UBND HUYỆN QUẢNG XƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS QUẢNG CHÍNH NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN TOÁN 7 (Gồm 05 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1.(4.0điểm) 1) Thực hiện phép tính:  −5 9  −3  −4 8  −3 a) A =  + :( )+ + :( )  9 15  2  9 20  2 68.2 4 − 45.184 b) B = 273.84 − 39.213 a 3 + b3 + c 3 2) Tính giá trị Q = với a, b, c thỏa mãn: ( 3a − 2b )2 + 4b − 3c ≤ 0 abc  −5 3  −2  −4 2  −2 A =  +  .( ) +  +  .( )  9 5 3  9 5 3 0,25 −2  −5 3 −4 2  = ( A ) + + + 0,25 1(a) 3  9 5 9 5   1,0đ −2  −5 −4  3 2  = ( A ). +  + ( + ) 0,25 3  9  9  5 5  −2 −2 = ( ). [(−1) + = A 1] = 0 .0 0,25 3 3 68.2 4 − 45.184 (2.3)8 .2 4 − (22 )5 (2.32 )4 28.38.2 4 − 210.2 4.38 = = B = 0,25 273.84 − 39.213 (33 )3 .(23 )4 − 39.213 39.212 − 39.213 212.38 − 214.38 B= 0,25 1(b) 39.212 − 39.213 212.38 (1 − 22 ) 212.38.(−3) = = 9 12 1,0đ B 0,25 39.212 (1 − 2) 3 .2 .(−1) Rút gọn đúng được kết quả B = 1 0,25 2 Vì ( 3a − 2b )2 ≥ 0; 4b − 3c ≥ 0 nên để ( 3a − 2b )2 + 4b − 3c ≤ 0 thì: 2,0đ ( 3a − 2b ) =3a = 2b a b c  2 0 1,0  ⇒ ⇒ = =   4b − 3c = 0 4b = 3c 2 3 4 a b c Đặt = = = k ⇒ a = 2k ; b = 3k ; c = 4k Thay vào Q ta có: 2 3 4 1,0 a 3 + b3 + c 3 ( 2k ) + ( 3k= 3 ) + ( 4k ) 3 3 k 3 ( 23 + 33 + 43 ) 33 Q = = = abc 2k .3k .4k 24k 3 8
Bài 2. (4,0điểm) 1 4 2 1) Tìm x biết: x − + =( −3,2 ) + 3 5 5 2022  2 2) Tìm x, y, z biết ( 2x − 3) 2020 +y−  + x+y−z ≤0  5 x y y z 3) Tìm x; y; z biết= = ; và x + y − z =39 4 7 5 6 4) Ba thửa ruộng hình chữ nhật A, B , C có cùng diện tích. Chiều rộng các thửa ruộng A; B; C lần lượt tỉ lệ thuận với 4; 5; 6. Chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài của thửa ruộng B và C là 42 m. Tính chiều dài mỗi thửa ruộng? 1 4 2 1 4 −16 2 x− + =( −3, 2 ) + ⇔ x − + = + 0,25 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 ⇔ x− + = 1(a) 3 5 5 0,25 1,0đ  x −1 = 2 = 7 x 1 ⇔ x − =2 ⇔  1 3 ⇔  35 0,5 3  x− = 2 −  x=−  3  3 2022  2 x, y , z Vì ( 2x − 3) ≥ 0; x + y − z ≥ 0 với mọi 2020 ≥ 0;  y −   5 0,25 2022  2 x, y , z Nên : ( 2x − 3) + x + y − z ≥ 0 với mọi 2020 +y−   5 1(b) ( 2x − 3)2020 =x = 3 1,0đ 0    2 0,75   2 2022  2 Do đó (1) xảy ra khi và chỉ khi  y −  = y = 0 ⇔  5  5 x+y−z = 0  19   z = 10  x y y z x y y z Vì = ; = ⇒ = ; = 0,25 4 7 5 6 20 35 35 42 2) x y z ⇒ = = 0,25 1,0đ 20 35 42 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y = = = z x+y−z 39 = = 3 0,25 20 35 42 20 + 35 − 42 13 Suy ra được: x = 60; y = 105; z =126 0,25 Gọi chiều rộng các thửa ruộng hình chữ nhật A; B ; C lần lượt là: a; b; c 3) (m) 1,0đ chiều dài các thửa ruộng hình chữ nhật A; B ; C lần lượt là: x; y; z (m) 0,25 ( Điều kiện: 0 < a < x; 0 < b < y; 0 < c < z) Chiều rộng các thửa ruộng A; B; C lần lượt tỉ lệ thuận với 4; 5; 6 nên
a b c = = 4 5 6 Vì chiều dài thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài thửa ruộng B và C là 42m nên ta có: y + z − x =42 Vì ba thửa ruộng cùng diện tích nên: ax = by = cz a b c 4.x. = 5.y. = 6.z. ⇒ 4x = 5y = 6z 0,25 4 5 6 4x 5y 6z x y z Suy ra: 4x = 5y = 6z ⇒ = = ⇒ = = 0,25 60 60 60 15 12 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra x = 90; y = 72; z = 60 0,25 Vậy chiều dài của các thửa ruộng A; B; C lần lượt là: 90 m; 72m; 60m 1) Chứng minh rằng : 3a + 2b  17 ⇔ 10a + b  17 (a, b ∈ Z ) 2)Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn: x 2 − x ( y + 5 ) =4 y − 9 − * 3a + 2b  17 ⇒ 10a + b  17 Ta có : 3a + 2b  17 ⇒ 9 ( 3a + 2b )  17 1,0 ⇒ 27a + 18 b  17 ⇒ ( 17a + 17b) + ( 10a + b )  17 1 ⇒ 10a + b  17 2,0đ * 10a + b  17 ⇒ 3a + 2b  17 Ta có : 10a + b  17 ⇒ 2 ( 10a + b )  17 1,0 ⇒ 20a + 2b  17 ⇒ 17a + 3a + 2b  17 ⇒ 3a + 2b  17 Ta có: x − x ( y + 5 ) =4 y − 9 2 − x 2 − 5 x + 9 = xy − 4 y ⇒ x2 − 5x + 9 y ( x − 4) = 0,25 ⇒ x 2 − 5 x + 9 x − 4 ⇒ x ( x − 4 ) − ( x − 4 ) + 5 x − 4 ⇒ 5 x − 4 0,25 2 ⇒ x − 4 ∈ {±1; ±5} ⇒ x ∈ {−1;3;5;9} 2,0đ 0,5 Với x = −1 thì y = −3 Với x = 3 thì y = −3 Với x = 5 thì y = 9 Với x = 9 thì y = 9 Vậy ( x, y ) ∈ {( −1; −3) , ( 3; −3) , ( 5;9 ) , ( 9;9 )} 1,0
Bài 4 (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC tại I. 1. Chứng minh DM = EN. 2. Chứng minh IM = IN, BC < MN. 3. Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng ∆BMO = . Từ đó suy ra điểm O cố định. ∆CNO 2) Bác Long có một căn phòng hình hộp chữ nhật có một cửa ra vào và một cửa sổ hình vuông với các kích thước như hình bên. Hỏi bác Long cần trả bao nhiêu chi phí để sơn bốn bức tường xung quanh của căn phòng này (không sơn cửa)? Biết rằng để sơn mỗi mét vuông tốn 30 nghìn đồng. 1 A 5,0đ M B I C E D N 1. O     Tam giác ABC cân tại A nên ABC ACB; NCE ACB; (đối đỉnh) = = 0,75 Do đó: ∆MDB = ( g.c.g ) ⇒ DM =. ∆NEC EN 0,75 2. Ta có ∆MDI = ( g.c.g ) ⇒ MI = ∆NEI NI 0,5 Vì BD = CE nên BC = DE . Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN 0,75 Suy ra BC < MN. 0,25 3) Ta chứng minh được: ∆ABO = (c.g .c) ⇒ OC =,  = . ∆ACO OB ABO ACO ∆MIO = (c.g .c) ⇒ OM = ∆NIO ON . 0,75 Ta lại có: BM = CN. Do đó ∆BMO = (c.c.c) ∆CNO 0,5 ⇒ MBO =, Mà: MBO =  suy ra NCO =  , mà đây là hai góc  NCO   ACO  ACO kề bù nên CO ⊥ AN. 0,5 Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh. 0,25 2 Diện tích xung quanh của căn phòng là: 0,25 Sxq = 2. (5 + 6) . 3 = 66 (m2).
1,0đ Diện tích phần cửa lớn và cửa sổ là: 0,25 1,2 . 2 + 1 . 1 = 3,4 (m2) Diện tích phần cần sơn là: 0,25 66 – 3,4 = 62,6 (m2). Tổng chi phí cần để sơn là: 62,6. 30 000 = 1 878 000 (đồng). Vậy bác Long cần 1 878 000 đồng để sơn bốn bức tường xung quanh 0,25 của căn phòng này. Bài 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ca ) Ta có: ( a − b ) ≥ 0 ⇒ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab 2 Tương tự ta cũng có: b 2 + c 2 ≥ 2bc; c 2 + a 2 ≥ 2ac 0,5 ⇒ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2 ( ab + ac + bc ) 2,0đ ⇒ ab + ac + bc ≤ a 2 + b 2 + c 2 (1) 0,25 Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ ∆ABC đều 0,25 Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: a + b > c ⇒ ac + bc > c 2   a + c > b ⇒ ab + bc > b 2  ⇒ a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + ac + bc ) (2) 0,5 b + c > a ⇒ ab + ac > a 2   Từ (1) và (2) ta có: ab + ac + bc ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + ac + bc ) 0,5