Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2019-2020 – Trường THCS Hương Sơn

Chia sẻ: Ha Trung Hieu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán lớp 9. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi để nắm chi tiết nội dung.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2019-2020 – Trường THCS Hương Sơn

PHÒNG GD& ĐT TÂN KỲ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (lần 2) TRƯỜNG THCS HƯƠNG Năm học: 20192020 SƠN Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút x x − x −1 x +2 3 x − 10 Bài 1 (4 điểm). Cho biểu thức: P = − . − x −2 x−2 x x +1 x−2 x −3 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P với x = 3 7 + 50 + 3 7 − 50 Bài 2 (3 điểm). a) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – 2 có giá trị là một số nguyên tố b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 với n là số nguyên. Bài 3 (3 điểm). a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy 2x2 – 3x + 4 = 0. b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2019 . a2 b2 c2 Tìm GTNN của: M = + + b+c c+a a+b Bài 4 (4 điểm). Giải các phương trình sau: a) x − 2 + 10 − x = x2 − 12x + 40 3− x b) 2x − 1 − x + 2 = 2 Bài 5 (6 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC ( M khác B và C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh rằng: ∆ OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TOÁN 9 LẦN 2 Ý Đáp án Điểm x x− x −1 x+2 3 x − 10 Bài 1 (4 điểm). Cho biểu thức: P = − . − x−2 x− 2 x x +1 x− 2 x −3 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P với x = 3 7 + 50 + 3 7 − 50 a ĐKXĐ: x > 0, x ( 4x + 2) ( x − 3) − 3 x + 10 0,5 x − x + x +1 (2 điểm) P = . ( ) 1 2 P = = ( x xx +−12) ( x + 1) ( 3x=− 3) x − 2 x − 2 . 1 b ( x3 −72+) 50 Ta có x3x = ( ( x++3 17) −( x50− 3)= 14 – 3x ) x ( x − 3) 0,5 (2 điểm) x3 + 3x – 14 = 0 2 (x – 2)(x−2 2 4 + 2x + 7) = 0 2 −5 x = 2 0,5 Với x = 2 thì P = = 0,5 2 ( ) 2 −3 7 Bài 2 (3 điểm). a) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – 2 có giá trị là một số nguyên tố b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 với n là số nguyên. a Ta có: P = n3 – 6n2 + 9n – 2 = (n – 2)(n2 – 4n + 1) 0,25 (1,5 điểm) Để P là số nguyên tố thì n – 2 = 1 hoặc n2 – 4n + 1 = 1 0,25 +) n – 2 = 1 n = 3 0,5 +) n2 – 4n + 1 = 1 n = 0 hoặc n = 4 Thử lại ta thấy n = 4 thì P là số nguyên tố 0,25 Vậy n = 4 thì P là số nguyên tố 0,25 b Ta có: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 0,5 (1,5 điểm) Do n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là tích của 5 số nguyên liên tiếp 0,25 A M 3 (1) Trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có hai số chẵn liên tiếp 0,25 A M 8 (2) Mà (3, 8) = 1 (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) A M 3.8 = 24. 0,25 Bài 3 (3 điểm). a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy 2x2 – 3x + 4 = 0. b) Cho các số dương a, b, c th ỏa mãn a + b + c = 2019 . a2 b2 c2 Tìm GTNN của: M = + + a 2 b + 2c c + a Ta có: x y + xy 2x – 3x + 4 = 0 a + b 0,25
(1,5 điểm) xy(x + 1) – 2x(x + 1) – (x + 1) = 5 (x + 1)(xy – 2x 1) = 5 0,25 Do x, y là số nguyên nên ta có bảng 0,5 x + 1 1 1 5 5 xy – 2x 1 5 5 1 1 x 0 2 4 6 y Không có 1 7/2 1 Vậy PT có nghiệm (x, y) = (2; 1), (6; 1) 0,5 b Vì a, b, c d ương nên theo bđt Cosi ta có: 0,5 a2 b+c a2 b + c (1,5 điểm) + 2 . = a . b + c 4 b2 c ++ ca 4 c 2 b a+b Tương tự + b; + c c+a 4 a+b 4 a+b+c Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có M + a+b+c 0,5 . 2 a + b + c 2019 Hay M = . 2 2 2019 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2019 2019 3 Vậy min M = a=b=c= 0,5 2 3 Bài 4 (4 điểm). Giải các phương trình sau: 3− x a) x − 2 + 10 − x = x2 − 12x + 40 b) 2x − 1 − x + 2 = 2 a ĐKXĐ: 2 x 10 0,5 (2 điểm) Ta có: x2 – 12x + 40 = (x – 6)2 + 4 4 0,5 Dấu “=” xẩy ra khi x = 6 (1) Theo Bunhiacopxki ta có: 0,5 x − 2 + 10 − x ( 1 + 1) ( x − 2 + 10 − x ) =4 Dấu “=” xẩy ra khi x = 6 (2) Từ (1), (2) PT có nghiệm x = 6. 0,5 1 b ĐKXĐ: x 0,25 2 3− x 2x − 1 − x − 2 x −3 (2 điểm) 2x − 1 − x + 2 = + =0 0,75 1 2 2x1− 1 + x + 2 2 ( x − 3) + =0 x =3 0,75 2x − 1 + x + 2 2 Vậy PT có nghiệm x = 3 0,25 Bài 5 (6 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC ( M khác B và C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh rằng: ∆ OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng.
O M H a 0,5 D C N (2,5 điểm) Xét ∆ OMC = ∆ OEB (cgc) 1 OM = OE (1) và EOB ﾷﾷ = MOC Mà MOBﾷﾷ + MOC = 900 ﾷ MOB ﾷ + EOB = 900 (2) 0,5 Từ (1) và (2) ∆ OEM vuông cân. 0,5 b Ta có: ∆ OMC : ∆ OEB (gg) 0,5 (2 điểm) CM MN = (3) BM MA Mà CM = BE, BM = AE (4) 0,5 BE MN 0,5 Từ (3), (4) = AE MA ME // BN (định lý Ta lét đảo) 0,5 c Gọi H’ là giao điểm của OM với BN 0,25 (1,5 điểm) Do EM // BN OME ﾷﾷ ' B = 450 (5) = MH ∆MCO : ∆MHB (g− g) 0,25 MO MC 0,25 = MB MH ' ∆OMB : ∆CMH ' (c − g − c) ﾷ ' C = MBO MH ﾷ = 450 (6) 0,25 Từ (5), (6) CH ﾷ ' B = 900 H’ trùng với H 0,25 Vậy O, M, H thẳng hàng 0,25