Nhằm giúp các bạn làm tốt các bài tập, đồng thời các bạn sẽ không bị bỡ ngỡ với các dạng bài tập chưa từng gặp, hãy tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thị xã Xoài Nhơn dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi cho kì thi chọn HSG cấp huyện sắp tới. Chúc các bạn thi tốt!
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thị xã Xoài Nhơn
- HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
THỊ XÃ HOÀI NHƠN Năm học: 2020 – 2021
Môn: TOÁN – Ngày thi: 04/12/2020
Đề chính thức
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (4.5 điểm)
Rút gọn các biểu thức:
a) A 5 3 29 12 5 .
b) B 3 70 4901 3 70 4901 .
1 1 1 1
c) C ... .
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
Bài 2. (4.5 điểm)
a2 b2
a) Cho a , b . Tính giá trị của biểu thức: A
*
, biết A có giá trị nguyên.
ab
b) Cho ba số nguyên a , b , c và M a b b c c a abc . Chứng minh rằng:
" Nếu a b c 4 thì M 4 ".
c) Tìm số abcd biết abcd 3 và abc bda 650 .
Bài 3. (4.0 điểm)
a) Giải phương trình: 4 x 2 9 y 1 3 x 6 xy .
b) Cho hai số dương x , y thỏa mãn: x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1
2
2
A x y .
x y
Bài 4. (3.0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm
O ( I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp
tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D .
a) Chứng minh C , I , D thẳng hàng.
CD 2
b) Chứng minh AC .BD .
4
Bài 5. (4.0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD ( D thuộc BC ) sao cho BD a và
CD b (với a b ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC
tại M . Tính MA theo a và b .
b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB 2 R và M là một điểm thuộc nửa đường
tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O lần
lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM
và BDM .
---------- HẾT ----------
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 1
- HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951
ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TOÁN 9 THỊ XÃ HOÀI NHƠN – 2021
Bài 1. (4.5 điểm)
Rút gọn các biểu thức:
a) A 5 3 29 12 5 .
b) B 3 70 4901 3 70 4901 .
1 1 1 1
c) C ... .
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
2
2
a) Ta có: A 5 3 29 12 5 5 3 5 3 5 32 5 3
2
5 5 1 5 5 1 1 .
b) Ta có: B 3 140 3 3 70 4901 70 4901 . 3
70 4901 3 70 4901
B 3 3B 140 0 B 3 125 3 B 15 0 B 5 B 2 5B 28 0
B 5
B 5 0
2 5 87
2
.
B 5B 28 0 0 v« nghiÖm
B
2
4
Vậy B 5 .
1 1 n 1 n 1 1
c) Ta có: .
n 1 n n n 1
n. n 1 n n 1 n. n 1 n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
Áp dụng ta được: C ... .
1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 10
Bài 2. (4.5 điểm)
a2 b2
a) Cho a , b * . Tính giá trị của biểu thức: A , biết A có giá trị nguyên.
ab
b) Cho ba số nguyên a , b , c và M a b b c c a abc . Chứng minh rằng:
" Nếu a b c 4 thì M 4 ".
c) Tìm số abcd biết abcd 3 và abc bda 650 .
a d .m
a) Đặt d cln a , b , suy ra: ; với m , n 1 và m , n , d * .
b d .n
d 2 .m 2 d 2 .n 2 m 2 n 2
Khi đó A .
d 2 .m.n m.n
Vì A có giá trị nguyên nên
m 2 n 2 m n 2 m m n
m 2 n 2 m.n 2 , mà m , n 1
m n .
m n 2 n m 2 n n m
m n
2 2
2m 2
Vậy A 2 2.
m.n m
b) Ta có: M a b b c c a abc
a b c c ab bc ca c 2 abc
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 2
- HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951
a b c ab bc ca a b c c 2 ab bc ca c 2 c abc
a b c ab bc ca 2abc .
Vì a b c 4 nên trong ba số a , b , c phải có ít nhất một số chẵn
2abc 4 .
Vậy M 4 .
c) Vì abc bda 650 mà 650 là số tròn chục nên c a .
Suy ra ab bd 65 10a b 10b d 65 10a 65 9b d 74 (do b 1 ).
Lại có 10a 90 a 8; 9 .
b 1
Với a 8 9b d 15 . Khi đó abcd 8186 3 . Do đó trường hợp này loại.
d 6
b 2
Với a 9 9b d 15 . Khi đó abcd 9 297 3 . Do đó trường hợp này thỏa.
d 7
Vậy số cần tìm là: 9 297 .
Bài 3. (4.0 điểm)
a) Giải phương trình: 4 x 2 9 y 1 3 x 6 xy .
b) Cho hai số dương x , y thỏa mãn: x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
2
2
1
A x y .
x y
a) Điều kiện xy 0 .
1
Trường hợp 1: x 0 , ta được phương trình: 9 y 1 0 y .
9
1
Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là: x ; y 0 ; .
9
3
2
7
Trường hợp 2: y 0 , ta được phương trình: 4 x 2 1 3 x 2 x 0 (vô nghiệm).
4 4
Do đó, trong trường hợp này phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 3: x 0 , y 0 . Khi đó
2
4 x 2 9 y 1 3 x 6 xy 4 x 2 4 x 1 9 y 6 xy x 0 2 x 1 3 y x
2
0
2 x 12 0
2 x 1 0
Vì
1 1
x và y .
3 y x 0 3 y x 0
2
2 18
1 1
Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là: x ; y ; .
2 18
Trường hợp 4: x 0 , y 0 . Khi đó
2
4 x 2 9 y 1 3 x 6 xy 4 x 2 4 x 1 9 y 6 xy x 0 2 x 1 3 y x
2
0
2 x 12 0
2 x 1 0
Vì
hệ này vô nghiệm.
3 y x 0 3 y x 0
2
Do đó, trong trường hợp này phương trình vô nghiệm.
1 1 1
Vậy nghiệm của phương trình là: x ; y ; , 0 ; .
2 18 9
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 3
- HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951
1 1 1
b) Với x , y dương và x y 1 , ta có: P x 2 y 2 2 4 x 2 y 2 .1 2 2 4 .
x 2
y x y
x y
2
x y 1 1
Ta có: x y
2 2
x 2 y 2 .
2 2
1 1
Lại có: 1 x y 4 xy , suy ra
2
4
2 2 16 .
xy x y
1 25 1
Do đó P .1 16 4 , đẳng thức xảy ra x y .
2 2 2
25 1
Vậy Pmin , xảy ra khi và chỉ khi x y .
2 2
Bài 4. (3.0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm
O ( I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp
tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D .
a) Chứng minh C , I , D thẳng hàng.
CD 2
b) Chứng minh AC .BD .
4
a) Vì BH , BD là tiếp tuyến của đường tròn I nên IB
I I .
là tia phân giác của HID 1 2
Vì AC , AH là tiếp tuyến của đường tròn I nên IA là
I I .
tia phân giác của CIH 3 4
Vì AIB có AB là đường kính của đường tròn O và I
nằm trên đường tròn O 90 I I 90 .
AIB 2 3
Do đó I1 I2 I3 I4 180
C , I , D thẳng hàng.
b) Tam giác AIB vuông tại I có IH là đường cao nên
IH 2 HA.HB .
CD
Vì C , I , D thẳng hàng mà I là tâm của đường tròn nên CD là đường kính IH .
2
Vì BH , BD là tiếp tuyến của đường tròn I nên HB BD .
Vì AC , AH là tiếp tuyến của đường tròn I nên HA AC .
CD
2
CD 2
Do đó IH HA.HB
2
AC . BD AC . BD .
2 4
Bài 5. (4.0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD ( D thuộc BC ) sao cho BD a và
CD b (với a b ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC
tại M . Tính MA theo a và b .
b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB 2 R và M là một điểm thuộc nửa đường
tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O lần
lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM
và BDM .
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 4
- HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951
là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Ta có: MAC
là góc nội tiếp cùng chắn một cung MAC
và ABC ABC.
AC DC b
Vì AD là đường phân giác của ABC .
AB DB a
Xét MAC và MBA , ta có:
ABC
MAC (chứng minh trên)
chung.
AMB
Do đó MAC MBA (g - g)
MA MC AC b MC MC MA b 2
Suy ra .
MB MA AB a MB MA MB a 2
b2 b2 b 2 b2 b2
MC MB. 2 MC a b . 2 MC 1 2 a b . 2 MC .
a a a a a b
MC b a.MC ab
Ta có: MA .
MA a b a b
b) Ta có: CA CM và DB DM (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Ta có: CD CM MD CD AC BD .
Kẻ MH AB ( H AB ), khi đó MH MO R .
Tứ ABDC là hình thang vuông nên CD AB 2 R .
AC BD .AB CD.AB AB 2
Ta có: S ABDC 2R2 .
2 2 2
MH .AB MO.AB
SMAB R2 .
2 2
Do đó SCAM SDBM S ABCD SMAB 2 R 2 R 2 R 2 .
Dấu " " xảy ra khi H O M là điểm chính giữa cung AB .
Vậy SCAM SDBM đạt giá trị nhỏ nhất bằng R 2 khi M là điểm chính giữa cung AB .
---------- CHÚC CÁC EM MAY MẮN ----------
GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 5
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
