Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 14

Chia sẻ: 01629871 01629871 | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự kì thi chọn học sinh giỏi. Mời các em và giáo viên tham khảo Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 14 có hướng dẫn giải chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 14

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2015 2016 Môn thi:Toán Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) �x+2 x 1 � x −1 Cho biểu thức: P = � � + + �: (Với x 0, x 1) �x x − 1 x + x +1 1− x � � 2 a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm giá trị của P khi x = 11 − 3 8 + 3 − 8 . c. So sánh: P2 và 2P. Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 4 x 2 + 3 x + 3 = 4 x 3 + 3 x 2 + 2 2 x − 1 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d 1): y = 3x – m – 1 và (d2) : y = 2x + m 1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của (d 1) và (d2) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 3: (... điểm) a) Tìm số nguyên a sao cho a 4 + 4 là số nguyên tố b) Đặt a 3 2 3 3 2 3 64 Chứng minh rằng M = 3a là số chính phương. (a 2 3) 3 Bài 4: (… điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a. Chứng minh rằng: S Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S AEF = cos A. 2 ABC b. Chứng minh rằng : S DEF = ( 1 − cos A − cos B − cos 2 C ) .S ABC 2 2 HA HB HC c.Chứng minh rằng: + + 3. BC AC AB Bài 5: (… điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi. HẾT (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.....................................................;
Số báo danh................................ UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO Môn thi: Toán Lớp 9 TẠO Bài 1: ( 2 điểm) Ý/Phầ Đáp án Điể n m ĐKXĐ Với x 0, x 1 �x + 2 + x − x − x − x − 1 � x − 1 a) P=� � ( x − 1)( x + x + 1) � �: 2 � � 0.75 x − 2 x +1 2 2 = . = . ( x − 1)( x + x + 1) x − 1 x + x + 1 x = 11 − 6 2 + 3 − 2 2 = (3 − 2) 2 + ( 2 − 1) 2 = 3− 2 + 2 − 1 = (3 − 2) + ( 2 − 1) =2(TM ĐKXĐ) 0.25 b) 2 2 2(3 − 2) Thay x =2 vào P ta có P = = = 0.25 2 + 2 +1 3 + 2 7 2(3 − 2) Vậy khi x = 2 thì P = 0.25 7 Vì x + x + 1 >0 nên P >0 Với x 0 thì x + x 0 nên x + x + 1 1 1 2 c) suy ra: �1 � P = �2 0.25 x + x +1 x + x +1 Do 0
5 Suy ra quan hệ : ym = xm 1 với mọi m 2 Vậy khi m thay đổi, giao điểm M của (d1) và (d2) luôn nằm 5 0.25 trên đường thẳng cố định (d) : y = x 1. 2 Bài 3: ( 2 điểm) Ý/ Đáp án Điể Phần m a) Ta có : a 4 + 4 = (a 4 + 4a 2 + 4) − 4a 2 = ( a 2 2a+2 ) ( a 2 +2a+2 ) 0.25 Vì a ή�� Z a 2 2a+2 Z ;a 2 +2a+2 Z Có a 2 +2a+2= ( a+1) + 1 1 ∀a 2 Và a 2 2a+2= ( a1) + 1 1 ∀a 2 0.25 nên a 4 + 4 là số nguyên tố thì a 2 +2a+2=1 hoặc a 2 2a+2=1 0.25 Nếu a 2 +2a+2=1 a = −1 thử lại thấy thoả mãn Nếu a 2 2a+2=1 a = 1 thử lại thấy thoả mãn Vậy a 4 + 4 là số nguyên tố thì a=1 hoặc a= 1 0.25 b) Từ a 3 2 3 3 2 3 a 3 = ( 3 2 − 3 + 3 2 + 3 )3 a3 = 3a +4 a3 3a = 4 0.25 Mặt khác từ a3 = 3a +4 a(a2 3 ) = 4 a2 3 = 4 : a 0.25 (vì a3 = 3a +4 nên a ≠0 ) 64 Thay vào và rút gọn ta có M = 2 3 3a = a3 3a = 4 (a 3) Vậy M là số chính phương . 0.5 Bài 4: ( 3 điểm) Ý/Phầ Đáp án Điể n m a) A E F H B C D AE 0.5 Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = AB
AF Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = . AC AE AF Suy ra = ∆AEF : ∆ABC (c.g .c) AB AC 0.5 2 S AEF �AE � * Từ ∆AEF : ∆ABC suy ra = � �= cos 2 A S ABC �AB � b) S S = cos 2 B, CDE = cos 2 C. Tương tự câu a, SBDF S ABC 0.25 ABC Từ đó suy ra SDEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = = 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C S ABC S ABC 0.5 Suy ra S DEF = ( 1 − cos A − cos B − cos C ) .S ABC 2 2 2 c) HC CE HC.HB CE.HB S Từ ∆AFC : ∆HEC � AC = CF � AC. AB = CF . AB = S HBC ABC HB.HA S HA.HC S Tương tự: AC.BC = S HAB ; AB.BC = S . Do đó: HAC 0.25 ABC ABC HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB + + = =1 AC. AB AC.BC AB.BC S ABC Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có: 2 �HA HB HC � �HA.HB HB.HC HC.HA � 0.5 � + + � 3. � + + �= 3.1 = 3 �BC AC AB � �BC.BA CA.CB AB. AC � HA HB HC Suy ra + + 3. BC AC AB Bài : 5 (1 điểm) Ý/Phầ Đáp án Điể n m
Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của vuông. Khi đó: a, b, c N và a 5; b, c 3 0.5 a 2 b2 c2 (1) Ta có hệ phương trình: bc 3(a b c) ( 2) (1): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c) a2 + 6a + 9 = (b + c)2 – 6(b + c) + 9 (a + 3)2 = (b + c – 3)2 a + 3 = b + c – 3 a = b + c – 6 (2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6) (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có các trường hợp sau: 1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25 2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17 0.5 3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15